[022-1a]
欽定四庫全書
新法算書卷二十二 明 徐光啟等 撰
籌算
算數之學大者畫野經天小者米鹽凌雜凡有
形質有度數之物與事靡不藉為用焉且從事
此道者步步蹠實非如談空說𤣥可欺人以口
舌明明布列非如握槊奪標可欺人以强力層
層積累非如繇旬刹那可欺人以荒誕也而為
[022-1b]
術最繁不有簡法濟之即當年不能殫惡暇更
工他學哉敝國以書算其來逺矣乃人之記函
弱而心力柔厭與昏每乘之多有畏難而中輟
者後賢别立巧法易之以籌余為譯之簡便數
倍以似好學者皆喜以為此術之津梁也遂梓
行之傳不云不有博奕者乎為之猶賢乎已是
書稍賢於博奕然旅人入來未及他有論著以
此先之不亦末乎行復自哂曰小道可觀聊為
之佐一籌而已崇禎戊辰暮春廿日羅雅谷識
[022-1b]
造法
[022-2a]
一造籌
或牙或骨或木或合楮俱可其形長方廣為長六之一
厚約廣五之一諸籌相準不得有短長廣狹厚薄須平
正光潔便于畫方書字凡籌數任意多寡總之五籌兩
面可當一單數說見定數條十籌當十數十五籌當百
數二十籌當千數二十五籌當萬數三十籌當十萬數
約以衆籌之厚為一籌之長便于作開方籌入匣也詳
造匣條
[022-2b]
二分方
每籌横平分為九作九方籌籌相等横列之線線相直
方方相對
三分角
每方自左上至右下斜作一對角線則每方成直角三
邊形二横列之則兩籌對角
線又成一斜直線其兩直角
三邊形又合成一平行線方形
[022-2b]
四定數
[022-3a]
數自一至九并○共十位籌有二面五籌可滿十數其
數以方數與籌上方數相乘每方之中既以對角線分
而為二即每方各成二位右位即零數左位即十數至
第九籌第九方九九相承得八十一而止
第一籌一面作零數九方對角線之上各畫一圏一面
作一數九方對角線之上順
書一二三四五六七八九數
[022-3b]
第二籌一面作二數第一方線右書二第二方線右書
四二籌二方二二如四也第
三方線右書六二籌三方二
三得六也後推此則第四方
線右書八第五方線右書○線左書一二籌五方二五
得十故左位一右位○以當零數也後推此則第六方
線右書二線左書一第七方線右書四線左書一第八
方線右書六線左書一第九方線右書八線左書一一
面作三數第一方線右書三第二方線右書六第三方
[022-3b]
線右書九第四方線右書二線左書一第五方線右書
[022-4a]
五線左書一第六方線右書八線左書一第七方線右
書一線左書二第八方線右書四線左書二第九方線
右書七線左書二
第三籌一面作四數第一方線右書四第二方線右書
八第三方線右書二線左書
一第四方線右書六線左書
一第五方線右書○線左書
二第六方線右書四線左書二第七方線右書八線左
[022-4b]
書二第八方線右書二線左書三第九方線右書六線
左書三一面作五數第一方線右書五第二方線右書
○線左書一第三方線右書五線左書一第四方線右
書○線左書二第五方線右書五線左書二第六方線
右書○線左書三第七方線右書五線左書三第八方
線右書○線左書四第九方線右書五線左書四
第四籌一面作六數第一方線右書六第二方線右書
二線左書一第三方線右書
八線左書一第四方線右書
[022-4b]
四線左書二第五方線右書
[022-5a]
○線左書三第六方線右書六線左書三第七方線右
書二線左書四第八方線右書八線左書四第九方線
右書四線左書五一面作七數第一方線右書七第二
方線右書四線左書一第三方線右書一線左書二第
四方線右書八線左書二第五方線右書五線左書三
第六方線右書二線左書四第七方線右書九線左書
四第八方線右書六線左書五第九方線右書三線左
書六
[022-5b]
第五籌一面作八數第一方線右書八第二方線右書
六線左書一第三方線右書
四線左書二第四方線右書
二線左書三第五方線右書
○線左書四第六方線右書八線左書四第七方線右
書六線左書五第八方線右書四線左書六第九方線
右書二線左書七一面作九數第一方線右書九第二
方線右書八線左書一第三方線右書七線左書二第
四方線右書六線左書三第五方線右書五線左書四
[022-5b]
第六方線右書四線左書五第七方線右書三線左書
[022-6a]
六第八方線右書二線左書七第九方線右書一線左
書八
五定號
號者應于面之左右兩旁厚處露出匣外者記本面數
目○至九共十號其旁狹難
書一二三四等字姑作横線
如○則無線一則一横線也
至五則結為一縱線以該之如五則一縱六則一縱一
[022-6b]
横七則一縱二横也各書本面之右用時視其旁即可
得之
六平立方籌
諸小籌之外别作一大籌長與諸籌等廣約長六分之
二兩面横分九方亦與諸籌
等其一面平方籌縱作二行
其右行九方書一至九之數
為平方根其左行九方亦如
小籌作對角線以平方根數
[022-6b]
自乘之各書根數之左第一方線右書一第二方線右
[022-7a]
書四第三方線右書九第四方線右書六線左書一第
五方線右書五線左書二第六方線右書六線左書三
第七方線右書九線左書四第八方線右書四線左書
六第九方線右書一線左書八其一面立方籌縱作六
分右一分作一行九方書一至九之數為立方根中二
分作一行九方書一至九各自乘之數與平方籌同左
三分作一行九方每方止截左邊三分之二亦如小籌
作對角線是每方分為直角三邊形無法四邊形各一
[022-7b]
也而無法四邊形之中暗具一直角方形在右一直角
三邊形在左今止以左中右分之以中行自乘之數再
乘之各書方數之左名立方數第一方右書一第二方
右書八第三方右書七中書二第四方右書四中書六
第五方右書五中書二左書一第六方右書六中書一
左書二第七方右書三中書四左書三第八方右書二
中書一左書五第九方右書九中書二左書七
七造匣
匣合紙或木為之其形短方其空廣如籌之長空厚如
[022-7b]
籌之廣匣有蓋以籌長五分之三為匣之深其二為葢
[022-8a]
之深使籌入匣而旁號露於匣口之上以便抽取也小
籌比立匣中方根籌側於小籌之旁下切匣口上切蓋
頂正相容也若蓋之外徑等於匣之外徑則匣口必出
筍以入蓋夫方根籌之廣與匣之深并尚不及小籌之
長以其不及為筍之高則匣與蓋外切籌與蓋匣内切
矣若匣之外徑等於蓋之内徑則匣自為筍蓋冒之可
無庸筍也
賴用算法凡三條/
[022-8b]
算家加減二法并命分法亦用籌所賴故各具一
則
一加法
加者多小幾何并為一大幾何也亦謂之計先以第一
小數從左向右横列于上次以第二小數如前横列于
下從視之則零對零十對十百對百也分錢兩及寸尺
丈俱依此推次視零位若成十成十則進一位又視十
位若干百則進一位千萬以上俱依此推
假如有銀九萬一千七百六十一兩又八萬二千○
[022-8b]
七十八兩又四千五百二十兩又九萬○六百五十
[022-9a]
四兩俱横列則視末位有一八○四
并得十三本位書三進位加一與六
七二五并得二十一本位書一進位
加二與七五六并得二十本位作○
進位加二與一二四并得九本位書九首位九八九
并得二十六本位書六進位書二得二十六萬九千
○一十三兩如物數是斤兩則十六兩成一斤進位
尺步畝之類俱依此推
[022-9b]
二減法
減者一大幾何減去一小幾何餘幾何也亦謂之除以
大數書于上應減數書于下亦零對零十對十百對百
也次於每位對除之若除數多於原數則借前位一以
除之蓋前位之一即本位之十也除完則得餘數
假如有銀三十○萬○一百七十六
兩三錢四分内除去二十九萬八千
六百四十三兩八錢五分從左首位
起上數三下數二三除二存一次位
[022-9b]
上數○下數九借前一成一○除九
[022-10a]
存一三位上數○下數八借前一成一○除八存二
四位上數一下數六借前一成一一除六存五五位
上數七下數四七除四存三六位上數六下數三六
除三存三七位上數三下數八借前一成一三除八
存五八位上數四下數五借前一成一四除五存九
該存一千五百三十二兩四錢九分
三命分二法
命分者一大幾何已分幾何尚餘幾何今應命此餘者
[022-10b]
為幾何分之幾何也又所餘之小幾何再分得幾何今
應命此得者為幾何分之幾何也前解曰法數為母餘
數為子如法數一六八餘數四九即命為一百六十八
分之四十九後解曰得數為子得數前位為母如得數
一位則前位為十得數六即命為十分之六得數二位
則前位為百得數三四即命為百分之三十四得數三
位則前位為千得數二八三即命為千分之二百八十
三得數四五位以上推此第前位定于一數十則一十
百則一百千則一千萬則一萬前一法即九章之命分/法亦即幾何原本之命
[022-10b]
比例法後一法即九章之小數如衡有錢/分釐毫量有尺寸分釐厯有分秒微纖也
[022-11a]
用法凡四條/
一乘法
乘數有實有法先將實數依號查籌從左向右齊列其
兩籌相並所成平行線斜方形合成一位方形内之數
并為一數矣次以籌之方位為法數如法數是五則視
兩籌第五方是九則視兩籌第九方即得數矣若法有
二數則先查法尾所得數横列之次查法首所得數進
一位横列之末用加法并之得數法有三數以上依此
[022-11b]
推顯
解曰乘者陞也九九陞積之義也數有二一為實一
為法可互用大畧以位數多者為實可也用籌則如
實數列籌自左而右次視法數依籌之同數格上横
取之并得啇數列書之更視次法如前得次啇數進
一位書初啇之下三以上倣此啇畢并諸啇數即乘
得之數
假如八十三為實以四乘之先列八三兩籌視其第
四格八號籌下左半斜方有三兩籌合一斜方有二
[022-11b]
一并作三三號籌下右半斜方有二并為三百三十
[022-12a]
二也
又如毎銀一錢糴米九升五合今有銀三兩五錢問
該米若干則以三五為實九
五為法先查實數二籌齊列
次視法尾五查二籌第五横
行内數是一七五另列再視
法首九查二籌第九横行内
數有三一五進一位列于前
[022-12b]
得數之下併之得三三二五該米三石三斗二升五
合
又如有米一斗賣錢一百二十五文今有米一十八
石三斗問該錢若干則以一
八三為實一二五為法先查
實數三籌齊列次視法尾五
查三籌第五横行内數是九
一五另列次視法次二查三
籌第二横行内數是三六六
[022-12b]
進一位列于前得數之下次視法首一查三籌第一
[022-13a]
横行内數是一八三又進一位列于前得二數之下
併之得二二八七五該錢二萬二千八百七十五文
如法數有○則徑作一○以當其位再查法數如前
如六八三為實三○○為法則作二○乃查三籌之
第三横行内數從二○左進書之餘放此
二除法
除法有實有法有啇先將法數依號查籌從左向右齊
列次于諸籌從上至下查横行内連數之等于實數或
[022-13b]
畧少于實數者在第幾行即是初啇數如在第一行即
得數是一在第九行即得數是九也次以查得之數減
其實數如已盡則止知有初啇未盡則知宜有再啇也
有再啇者即再查横行内數之等于存實或畧少于存
實者在第幾行即是再啇數又以查得之數減其存數
如前又未盡則更有三啇亦如上法三以上倣此若初
得已除實數未盡乃實數次位無實則知當有○位即
作一○以當次啇或三位俱無則知得有二○即又作
一○以當三啇乃從後數查之若雖有餘數而其數小
[022-13b]
于法數是為不盡法法之數用命分法
[022-14a]
解曰除法者分率之法也有實有法先列實次以法
數平分之故古九章法名為實如法而一或省曰而
一也除法有二一歸除一啇除啇除者古法歸除則
後來捷法珠算可任用之若書算籌算必獨用啇除
也用籌則先如法數列籌自左而右别列實數簡籌
之某格與實數相合者或畧少于實數者以減實即
初啇數也若未盡即如前再啇三啇以上皆如之又
未盡則以法命之
[022-14b]
假如列實一百○八以三十六為法除之簡三六兩
籌列之視其第三格六號籌下右半斜方有八中各
斜方有一九共十進一位成百即一百○八除實盡
也
又如有米九升五合價銀一錢今有米三石三斗二
升五合問該銀若干以三三
二五為實九五為法先以法
數二籌齊列次于各行横數
内求三三二有則徑減實數
[022-14b]
無則取其田 者二八五以
[022-15a]
二八五減三三二餘四七五為實而此二八五數乃
在第三行即三為初啇數次視第五行有四七五正
與餘實相等減盡即五為次啇數是三五為得數也
該銀三兩五錢
又如每錢三百七十四文買米一斗今有錢八萬七
千一百四十二文問該米若干以八七一四二為實
三七四為法先以法數三籌齊列次視各行横數内
求八七一無則取其畧少者七四八以七四八減八
[022-15b]
七一餘一二三四二為實而此七四八乃在第二行
即二為初啇數次視各行中
無一二三四及畧少者惟第
三行有一一二二以一一二
二減一二三四餘一一二二
為實即三為次啇數次視第
三行有一一二二正與餘實
相等除盡即三為三啇數該
米二十三石三斗
[022-15b]
若積數為八七二四八尚有一○六為餘實再欲細
[022-16a]
分即用命分第一法以餘數一○六為子法數三七
四為母即命為三百七十四分之一百○六
或用命分第二法于餘實一○六後加一○依上法
再分之得二又加一○再分之得八又加一○再分
之得三得數為二八三凡三位即命為一千之二百
八十三
三開平方法
開平方有積數有啇數啇有方法有廉法隅法置積為
[022-16b]
實從末位下作一㸃向前隔一位作一㸃每一㸃當作
一啇次視平方籌内自乘之數有與實首相等者即除
之若無相等則取其相近之畧少者除之但實首以左
第一㸃為主若㸃前無位則自乘止于零數如一四九
是也若㸃前有一位則自乘應有十數如十六至八十
一是也而此乘數在第幾格則第幾數即初啇數如所
用數是九九為三之自乘在第三格即三為啇數也若
有二㸃者即以初啇數倍之如一倍為二三倍為六也
即查所倍之籌列于方籌之左如四倍為八即取第八
[022-16b]
籌九倍為十八即取第一第八兩籌也次視諸籌横行
[022-17a]
内數之與存實相等者除之而此數在第幾格則第幾
數即次啇數如在第五格即五為次啇數也不盡以法
命之三㸃以上倣此
解曰開平方者即自乘還原也而法實相同無從置
算故以積求形必用方廉隅三法啇除之如有積一
百啇其根根者一邊之/數四邊皆同十即盡實此獨用方法無用
廉隅矣若一百二十一初啇十除實百餘二十一則
倍初啇方根為廉法任加于初啇實一角之旁兩/邊故曰廉兩廉故倍初啇根次
[022-17b]
啇一以乘廉得二十以一為隅法實盡則百二十一
之積開其根得十一也在籌則右行自一至九者即
方根數也左二行即方根自乘之數自乘之數止于
二位故隔一位作㸃查實下作幾㸃知方根當幾位
也法先于左第一㸃上一位或二位為乘數平行求
得其根適足則已不合則用其少者餘實以待次啇
也左㸃或一位或二位者㸃在實首則乘數為單數
㸃在實首之次位則乘數為十數也
如上圖先以第一㸃求初啇根為方法
[022-17b]
乙為方積也不盡為二㸃之實以初啇
[022-18a]
根倍之為廉法甲丙之長邊也次啇若干即以為隅
法丁方之一邊也并二廉一隅法以除實甲乙丙丁
平方也不盡三啇之啇而不盡者以法命之其籌法
先列本籌得初啇次啇則列廉法籌于本籌之左本
籌之自乘數即隅積也其根隅法也次查所列籌何
格中平行并數可當廉法之幾倍及隅方積得其根
以除實即得設實下有二㸃則左一㸃之根為十數
右一㸃之根為單數故廉法籌為十數本籌數為單
[022-18b]
數也三㸃以上倣此
假如有積六百二十五别列為實從末位五向前隔
一位各作一㸃即知啇二位
也㸃在實首六為單數視方
籌内自乘之數無六其下九
過實用其上四實之近少數
也平行向右取二為方法即/方
根/另列之為初啇即以四百
減六百/存二百/以并次㸃之
[022-18b]
實得二二五為餘實次倍初啇根得四為廉法廉有/二故
[022-19a]
倍方/根取四號籌列方籌左于列籌内并數取其合餘
實或近少于餘實者至五格
適合即五為廉次率為隅法
為次啇而本方之根得二十
五
又如積四千四百八十九别
列為實從末位九向前作二
㸃知啇二位㸃在次位則實
[022-19b]
首四為十數也視籌内自乘
無四四近少為三六平方取六為方法為初啇即以
三六減四四存八以并次㸃之實得八八九為餘實
次倍初根得十二為廉法取一二號兩籌列方籌左
於列籌并數得八八九在第七格除實盡即七為廉
次率為隅法為次啇而本方之根得六十七
又如有積三萬二千○四十一列為實從末向前隔
一位作一㸃得三㸃知啇三
位㸃在實首三為單數視籌
[022-19b]
自乘無三近少為一平行取
[022-20a]
一為方法為初啇即以一減
三存二以并次㸃實得二二
○為餘實次倍初根得廉法
二取二號籌列左籌方於列
籌并數得近少者一八九在
第七格即七為隅法為次啇
列初啇之右以一八九減餘
實得三一以并三㸃之實得
[022-20b]
三一四一為次餘實次倍前
根十七得三四為次廉法取三四兩籌列方籌左于
列籌并數得三一四一在第九格適盡即九為三啇
為隅法列次啇之右而本方之根得一百七十九
又如有積六十五萬一千二百四十九列為實從末
位九向前隔一位作一㸃得三
㸃知啇三位㸃在次位則實
首六為實數也視籌自乘無
六五近少為六四平行取八
[022-20b]
為方法為初啇以六四減六
[022-21a]
五存一以并次㸃實得一一
二為餘實次倍初根得廉法
一六取一六兩籌列方籌左
於列籌并數查無一一二亦
無近小數即知次啇為○也
則於八下加○以當次啇而
以一一二并三㸃之實得一
一二四九為次餘實次倍前
[022-21b]
根八得一六進一位得一六
○為次廉法取○籌列一六兩籌之右于列籌并數
得一一二四九在第七格適盡即七為三啇為隅法
列前二啇之下而本方之根得八○七
其啇而不盡者以法命之則有二術其一如前第一
六十六萬二千七百四十九
如前三啇得根八百一十四
餘積一百五十三更啇一當
倍廉加隅得一千六百二十
[022-21b]
八今不足則命為未盡者一
[022-22a]
千六百二十八之一百五十三也
法曰凡開方不盡實其命分法倍前啇數二廉/也加一
立/隅為母續啇/之餘實為子依法命之然終不能盡如設
積六十求開方初啇七餘十一倍七加一得十五為
母十一為子可命六十之根為七又一十五之一十
一而縮試并初啇及分數自之得四十九又二二五
之二四三一約之為一十一是二二五之一八一以
并四十九得五十九又二二五之一八一不及元積
[022-22b]
若倍初啇不加一為母命為十四之十一試自之得
六十○又一九六之一四一過元積而盈
其一欲得其小分則通為小數如前第二法更開之
當於餘積之右加兩圏是原積之一/化為百也如法開之得根
數當命為一十分之幾分也或加四圏是原積之/化為萬也
得根數命為一百分之幾分
也或加六圏一化為/百萬得根命
數為一千分之幾分或加十
圏一化為/百萬萬 得根命為十萬
[022-22b]
分之幾分也
[022-23a]
如圖原積六六二七四九已啇得八一四不盡者一
五三欲得其細分加六圏是一百五十三化為一萬/五千三百○十○萬○千
○百○/十○也更開得數為○九三因空位六則命為一千
分之○百九十三也欲更細更加空位終不能盡何
故六十者本無根之方也
四開立方法
開立方亦有積數有啇數啇有方法有平廉法長廉法
隅法置積為實從末位向前隔二位作㸃每一㸃有一
[022-23b]
啇次視立方籌内再乘之數有與實首相等者即除之
若無相等則取其近少者除之但實首以左第一㸃為
主若㸃前無位則再乘止于零數如一如八是也若㸃
前有一位則再乘應有十數如二七如六四是也若㸃
前有二位則再乘應有百數如一二五至七二九是也
而此乘數在第幾格則第幾數即初啇數如所用數是
八八為二之再乘在第二格即二為初啇也若有二㸃
者以初啇數自乘而三倍之如二之自乘得四四之三
倍為一十二為平廉法以初啇數三倍之如二之三倍
[022-23b]
得六為長廉法次以平廉法數查籌列立方籌左又以
[022-24a]
長廉法數查籌列立方籌右次視左籌與方籌并之横
行内數啇其少于餘實者平行取數為約數即以此數
為次啇如在五格即次啇五也次以次啇自乘之數與
長廉法數相乘進一位書于約數之下以此二數併之
除其餘實即得立方根不盡者以法命之三㸃以上倣
此
解曰立方形者六方面積為一實體也每面等每邊
每角各等立方積者一數自乘再乘之所積也線有
[022-24b]
長面有長有廣體有長有廣有高所謂一乘作面再
乘作體是也開立方者亦以積求形之術其異于平
方者平方為面面有四等線開之求得四線之一為
方根也立方為體體有十二等線開之求得十二線
之一為方根也三乘方以上亦
皆十二線有等有不等而皆求
其最初第一面之一界線為方
根也今解立方廉隅法姑作分
合圖論之若截木或鎔蠟作八
[022-24b]
體分合解之尤易曉矣 其一
[022-25a]
作六方面形一事諸面線角皆
相等此名方法體即上圖甲乙
丙丁立方體是也 其二作六
面扁方體三事其上下面各與
方法等旁四面之高少于方法之高任意多寡/開訖乃得而四
稜線皆等此名平廉法體即上圖戊己庚辛是也
其三作六面長方體三事其上下左右四面與平廉
之旁面等兩端之四界線皆與平廉之高等此名長
[022-25b]
廉法體即上圖壬癸是也 其四作六面小立方體
一事六面之廣袤皆與長廉之兩端等此名隅法體
即上圖子丑是也
右度數家以度理解數學度者㸃線面體量法也數/者一十百千等算法也
亦以數理解度學如鳥兩翼交相待而為用也今依
此借數以明立方之體如初方
體之邊各四則一面之積為一
六其容積六四平廉之兩大面
亦一六其高設五相乘得容積
[022-25b]
八○長廉之長亦四其兩端之
[022-26a]
高廣各五則其容積一○○立隅之邊各五則其容
一二五此八體并之以三平廉合于初方之甲丙乙
丙丙丁三面以三長廉補三平廉三闕以立隅補三
長廉之闕即成一總立方也 又算法單數乘單數
生單數如四乘六為二四是為六者四積/為二十四而其根四乃單數也單數乘十
數生十數如四乘三十為一二是為三十者四/積為一百二十而其根二乃十數也十數
乘十數生百數如三十乘八十為二四是為八十者/三十積為二千四百而其根四乃四
百/也推之則十乘百生千百乘百生萬也 今依此推
[022-26b]
前總立方以四十五為全根其初方之一邊為四十
其面則為四十者四十是一千六百也是十乘十生
百也其容積為一千六百者四十是六萬四千也是
十乘百生千也 其平廉之兩大面與初方之面等
亦一千六百其高五是單數以乘百得八十者百是
八千也是單乘百生百也立廉三三倍之得二萬四
千也 長廉之高廣皆與平廉之高等為五是單數
其面為二五單根也其長與初方等為四十相乘得
四十者二十五是為一百者十則一千也是單乘十
[022-26b]
生十也長廉三三倍之得三千也 立隅體與平廉
[022-27a]
之高等為五是單數自乘得二五亦單數也再乘得
一二五亦單數也是單乘單生單數也 已上共得
九萬一千一百二十五為兩啇之總立方積其根四
十五右以數明立體之理其在籌則右行自一至九
者立方根數也左三行自一至七二九者即方根自
乘再乘之數也自乘再乘止于三位如三自乘再乘
為二十七九自乘再乘為七百二十九故列實下隔
二位作㸃查實下幾㸃知立方根當幾位也法先于
[022-27b]
第一㸃以上查實簡籌或適足或畧少者即初啇之
立方體平行求得其根也 次初啇根自乘得平廉
面與初啇之體等三倍者三平廉也平廉之籌列立
方籌之左者立方籌之右行為單數中行為十左行
為百平廉籌右行之號亦百數也以合於立籌之左
行共為幾百也 次平廉之面積三偕初啇之根三
并為分率數以求六廉一隅之高於立籌平籌上求
餘實之近少數不欲太少為尚有/長廉之容故也約可用者平行取
根即次啇也不言隅法者次啇之再乘即是立隅籌
[022-27b]
上所自有也又平行取次啇之平方積乘長廉籌之
[022-28a]
數得長廉之容長廉之號為十數以列于約數之下
進一位作十數 次求七體之總積初體之外有平
廉三長廉三立隅一其定位立隅在本籌之上為單
數次啇與三長廉法相乘得數為三長廉之實此數
之號為十數三平廉之籌加于立籌之外其號為百
數通併之以除餘實未盡而原實有三㸃者以先兩
啇之總方為初體復如前法三啇之亦并八體為一
總體不及啇為一者依法命之
[022-28b]
同文算指曰先得之根初啇/也乘于三十今曰三之長/廉
法/也所得之號為十數也又曰先根之方初體/之面乘于三
百今曰三之平廉/法也所得之號為百數也一也
假如有積四千九百一十三别列為實從末位三向
前隔二位各作一㸃即知啇二位也㸃在實首四為
單數視立方籌内再乘之數無四下八過實用其上
一實之近少數也平行向右取一為方法即方/根另列
之為初啇即以一千/減四千/存三千/以并次㸃之實
得三九一三為餘實次用初啇一自乘為平/廉面而三倍
[022-28b]
之三平/廉故得三百為平廉法亦名倍/方數取三號籌列立方
[022-29a]
籌左又以初啇一十三倍之
一者長廉邊三/長廉故三倍得三為長廉
法亦名倍/根數取三號籌列立方
籌右于列籌立方籌與/平廉籌也内并
數取其少于餘實者為約數
第其中有長廉之實不得過
少又不得多多者如第九格
遇三四二九以為約數近少
[022-29b]
矣另列之向右平籌自乘數
内平行取八十一乘于長廉法三得二百四十三列
近少數三四/二九下進一位并得五八五九則多于餘實
也至第七格遇二四四三以為約數另列之向右平
籌自乘數平行取四十九以乘長廉法三得一百四
十九列近少數二四/四三下進一位并得三九一三除實
盡平廉籌之二千一百平廉實也立方籌之三百四/十三立隅積也平方籌之四十九長廉兩端之面
也以乘長廉法三十得一四七/長廉積也諸籌之上一一分明平行求其根得七即
七為次啇也得總立方之根一十七
[022-29b]
又如積九百一十五萬九千八百九十九别列為實
[022-30a]
從末位九向前隔二位作一㸃凡三㸃當啇三位也
㸃在實首九為單數視立方籌内再乘之數無九下
二七過實用其上八實之近少數也平行向右取二
為方法另列為初啇即以八
減九存一以并下位得一一
五九為餘實次用初啇二自
乘而三倍之得一十二為平
廉法取一號二號兩籌列立
[022-30b]
方籌左又以初啇二三倍之
得六為長廉法取六號籌列
立方籌右於列籌立方與平/廉共三籌
内并數取其少于餘實者為
約數試之而無有最少者為/第一格之
一二/○一則知啇有空位於初啇
下作圏以當次啇復開第三
㸃之餘實為一一五九八九
九前二啇二○百十/也自乘之
[022-30b]
得四○○四萬/也三倍之為一
[022-31a]
二○○一千/二百依數取四籌為
平廉法列立方籌左前啇二
○三倍之得六○取二籌為
長廉法列立方籌右於列籌
立方與平/廉共五籌内并數取其少于
餘實者為約數至第九格方
得一○八○七二九另列之
向右平籌自乘數平行取八
[022-31b]
十一以乘長廉法六○得四
八六○列近少數一○八○/七二九
下進一位并得一一二九三
二九除實不盡三○五七○
其三啇平行取根得九并初
二啇得立方根二○九不盡
者更欲細分之則用命分第
二法於餘實後加三圏得三
○五七○○○○為餘實依
[022-31b]
上法再開之以前啇二○九
[022-32a]
自乘為四三六八一又三倍
之為一三一○四三取此六
籌列方籌左為平廉法又以
前啇二○九三倍之為六二
七取此三籌列方籌右為長
廉法於列籌左籌/七内并數取
其近少為約數試之至第二
格遇二六二○八六○八為
[022-32b]
近少于餘實三○五七/○○○○另列
之向右平籌自乘數内平行
取四乘于長廉法六二七得
二五○八列近少數二六二/○八六
○/八下進一位并得二六二三
三六八八以除實不盡四三
三六三一二即取右根二為
啇數依法命為一十分之二
分也若欲再開則餘實後又
[022-32b]
加三圏得四三三六三一二
[022-33a]
○○○為餘實依上法以前
啇二○九二自乘為四三七
六四六四又三倍之得一三
一二九三九二取此八籌列
方籌左為平廉法又以前啇
二○九二三倍之為六二七
六取此四籌列方籌右為長
廉法於列籌左九/籌内并數取
[022-33b]
其近少至第三格遇三九三
八八一七六二七為近少于
餘實四三三六三/一二○○○另列之向
右平籌自乘數平行取九乘
於長廉法六二七六得五六
四八四列近少數三九三八/八一七六
二/七下進一位并得三九三九
三八二四六七以除實不盡
三九六九二九五三三即取
[022-33b]
右根三為啇數依法命為二
[022-34a]
百○九又一百分之二十三
分也若再開則餘實後又加
三圏得三九六九二九五三
三○○○為餘實依上法以
前啇二○九二三自乘為四
三七七七一九二九又三倍
之得一三一三三一五七八
七取此十籌列方籌左為平
[022-34b]
廉法又以前啇二○九二三
三倍之得六二七六九取此
五籌列方籌右為長廉法於
列籌左十/一籌并數取約至第三
格遇三九三九九四七三六
一二七為近少于餘實三九/六九
二九五三/三○○○另列之向右平籌
自乘數平行取九乘于長廉
法六二七六九得五六四九二一列近少數三九三/九九四
[022-34b]
七三六/一二七下進一位并得三九四○○○三八五三三
[022-35a]
七以除實不盡為二九二九一四七六六三即取右
根三為啇數依法命為二百○九又一千分之二百
三十三也餘實任開之終不盡何者無立方數不得
有立方根也
算子錢法増/
以籌布算其乘除諸法皆能去繁就簡不待論矣若算
章中有用開平立方者有用開無名方者至難至賾也
用籌則比他算特為簡易故附載此法 按九章算衰
[022-35b]
分篇中有借本還利皆用乘法即此法之還原也今法
必用開方故為難耳
假如借銀若干滿若干年還本息總銀若干問每年息
銀若干
如本銀一百兩滿一年總還一百二十兩問息若干
法兩數本銀一/總銀一相減餘二十是百兩一年之息也又
滿二年總還一百四十四兩問每年息例若干法以
母銀數一/百乘總還數一百四/十四得數為積開方得根數
為實以母銀為法減之所餘者為原銀一年之息也
[022-35b]
若滿三年總還一百七十二兩八錢問息例若干又
[022-36a]
滿四年以上皆息轉為本紛莫可尋則依圖法求之
圖說
圖有直行有横行直行者每年所用之法與數横行
者諸同類之法同類之數也其直行之首無年數無
總銀數者則上年之次法或又次法任用之白字為/法墨字
為/數
第一横行為滿年數借日至還日/積年之數
第二横行為所還之總銀母銀并息/銀之總數
[022-36b]
第三横行為母銀所用之法或母銀自乘或再乘三/乘等以求積而開方
第四横行為母銀用法所乘出數與總銀相乘得數
第五横行為各年所用開積之本法如開方或/開立方等
第六横行為所求之數即滿一年之總數/本息俱見者也減原銀得息
例
用法
假如初借母銀三兩滿四年總還銀四十八兩問每
年若干起息母銀三兩滿一年總還若干即轉為次/年之母依前例起息總應若干又轉為
母如是嵗嵗遞加母/數漸増息例如舊
[022-36b]
法依圖試查滿四年直行其第一格為年數即/四第二
[022-37a]
格為總還四十/八兩之銀原銀若干息例若干/各依本例積成總數第三格母
銀所用之法為再乘即以原銀三再自之得二十七
第四格以二十七母所乘/出之數乘四十八總/銀得一二九六
為實積第五格本年所用開積之法為開平方二次
積為一/二九六初開得三十六再開得六六者滿一年之總
銀減原銀三餘三為滿一年之息
又如母銀五十八兩四錢滿三年總還銀一百二十
五兩三錢問一年息若干
[022-37b]
法用本行第三格曰自乘即原數自之得三四一○
五六以總銀乘之得四四九二七六一六八第五格
法曰開立方用法開得七十六兩五錢不盡實加三/位開零根得
八分九釐八毫不盡減原銀餘十八兩一錢八分九
釐八毫為滿一年之息依此例求母銀百兩息幾何
用三率法原銀為一率息例為二率今銀一/百為三率
依法得四率三十一兩一錢四分六釐九毫不盡為
百兩一年之息
此用遞加倍數之法詳見算學全義義見幾何第十
[022-37b]
卷
[022-38a]