KR3f0013 新法算書-明-徐光啟 (master)


[022-1a]
欽定四庫全書
 新法算書卷二十二  明 徐光啟等 撰
  籌算
   算數之學大者畫野經天小者米鹽凌雜凡有
   形質有度數之物與事靡不藉為用焉且從事
   此道者步步蹠實非如談空說𤣥可欺人以口
   舌明明布列非如握槊奪標可欺人以强力層
   層積累非如繇旬刹那可欺人以荒誕也而為
[022-1b]
   術最繁不有簡法濟之即當年不能殫惡暇更
   工他學哉敝國以書算其來逺矣乃人之記函
   弱而心力柔厭與昏每乘之多有畏難而中輟
   者後賢别立巧法易之以籌余為譯之簡便數
   倍以似好學者皆喜以為此術之津梁也遂梓
   行之傳不云不有博奕者乎為之猶賢乎已是
   書稍賢於博奕然旅人入來未及他有論著以
   此先之不亦末乎行復自哂曰小道可觀聊為
   之佐一籌而已崇禎戊辰暮春廿日羅雅谷識
[022-1b]
 造法
[022-2a]
  一造籌
或牙或骨或木或合楮俱可其形長方廣為長六之一
厚約廣五之一諸籌相準不得有短長廣狹厚薄須平
正光潔便于畫方書字凡籌數任意多寡總之五籌兩
面可當一單數說見定數條十籌當十數十五籌當百
數二十籌當千數二十五籌當萬數三十籌當十萬數
約以衆籌之厚為一籌之長便于作開方籌入匣也詳
造匣條
[022-2b]
  二分方
每籌横平分為九作九方籌籌相等横列之線線相直
          方方相對
 
  三分角
每方自左上至右下斜作一對角線則每方成直角三
          邊形二横列之則兩籌對角
          線又成一斜直線其兩直角
三邊形又合成一平行線方形
[022-2b]
  四定數
[022-3a]
數自一至九并○共十位籌有二面五籌可滿十數其
數以方數與籌上方數相乘每方之中既以對角線分
而為二即每方各成二位右位即零數左位即十數至
第九籌第九方九九相承得八十一而止
第一籌一面作零數九方對角線之上各畫一圏一面
          作一數九方對角線之上順
          書一二三四五六七八九數
 
[022-3b]
第二籌一面作二數第一方線右書二第二方線右書
          四二籌二方二二如四也第
          三方線右書六二籌三方二
          三得六也後推此則第四方
線右書八第五方線右書○線左書一二籌五方二五
得十故左位一右位○以當零數也後推此則第六方
線右書二線左書一第七方線右書四線左書一第八
方線右書六線左書一第九方線右書八線左書一一
面作三數第一方線右書三第二方線右書六第三方
[022-3b]
線右書九第四方線右書二線左書一第五方線右書
[022-4a]
五線左書一第六方線右書八線左書一第七方線右
書一線左書二第八方線右書四線左書二第九方線
右書七線左書二
第三籌一面作四數第一方線右書四第二方線右書
          八第三方線右書二線左書
          一第四方線右書六線左書
          一第五方線右書○線左書
二第六方線右書四線左書二第七方線右書八線左
[022-4b]
書二第八方線右書二線左書三第九方線右書六線
左書三一面作五數第一方線右書五第二方線右書
○線左書一第三方線右書五線左書一第四方線右
書○線左書二第五方線右書五線左書二第六方線
右書○線左書三第七方線右書五線左書三第八方
線右書○線左書四第九方線右書五線左書四
第四籌一面作六數第一方線右書六第二方線右書
          二線左書一第三方線右書
          八線左書一第四方線右書
[022-4b]
          四線左書二第五方線右書
[022-5a]
○線左書三第六方線右書六線左書三第七方線右
書二線左書四第八方線右書八線左書四第九方線
右書四線左書五一面作七數第一方線右書七第二
方線右書四線左書一第三方線右書一線左書二第
四方線右書八線左書二第五方線右書五線左書三
第六方線右書二線左書四第七方線右書九線左書
四第八方線右書六線左書五第九方線右書三線左
書六
[022-5b]
第五籌一面作八數第一方線右書八第二方線右書
          六線左書一第三方線右書
          四線左書二第四方線右書
          二線左書三第五方線右書
○線左書四第六方線右書八線左書四第七方線右
書六線左書五第八方線右書四線左書六第九方線
右書二線左書七一面作九數第一方線右書九第二
方線右書八線左書一第三方線右書七線左書二第
四方線右書六線左書三第五方線右書五線左書四
[022-5b]
第六方線右書四線左書五第七方線右書三線左書
[022-6a]
六第八方線右書二線左書七第九方線右書一線左
書八
  五定號
號者應于面之左右兩旁厚處露出匣外者記本面數
          目○至九共十號其旁狹難
          書一二三四等字姑作横線
          如○則無線一則一横線也
至五則結為一縱線以該之如五則一縱六則一縱一
[022-6b]
横七則一縱二横也各書本面之右用時視其旁即可
得之
  六平立方籌
諸小籌之外别作一大籌長與諸籌等廣約長六分之
          二兩面横分九方亦與諸籌
          等其一面平方籌縱作二行
          其右行九方書一至九之數
          為平方根其左行九方亦如
          小籌作對角線以平方根數
[022-6b]
自乘之各書根數之左第一方線右書一第二方線右
[022-7a]
書四第三方線右書九第四方線右書六線左書一第
五方線右書五線左書二第六方線右書六線左書三
第七方線右書九線左書四第八方線右書四線左書
六第九方線右書一線左書八其一面立方籌縱作六
分右一分作一行九方書一至九之數為立方根中二
分作一行九方書一至九各自乘之數與平方籌同左
三分作一行九方每方止截左邊三分之二亦如小籌
作對角線是每方分為直角三邊形無法四邊形各一
[022-7b]
也而無法四邊形之中暗具一直角方形在右一直角
三邊形在左今止以左中右分之以中行自乘之數再
乘之各書方數之左名立方數第一方右書一第二方
右書八第三方右書七中書二第四方右書四中書六
第五方右書五中書二左書一第六方右書六中書一
左書二第七方右書三中書四左書三第八方右書二
中書一左書五第九方右書九中書二左書七
  七造匣
匣合紙或木為之其形短方其空廣如籌之長空厚如
[022-7b]
籌之廣匣有蓋以籌長五分之三為匣之深其二為葢
[022-8a]
之深使籌入匣而旁號露於匣口之上以便抽取也小
籌比立匣中方根籌側於小籌之旁下切匣口上切蓋
頂正相容也若蓋之外徑等於匣之外徑則匣口必出
筍以入蓋夫方根籌之廣與匣之深并尚不及小籌之
長以其不及為筍之高則匣與蓋外切籌與蓋匣内切
矣若匣之外徑等於蓋之内徑則匣自為筍蓋冒之可
無庸筍也
 賴用算法凡三條/
[022-8b]
  算家加減二法并命分法亦用籌所賴故各具一
  則
  一加法
加者多小幾何并為一大幾何也亦謂之計先以第一
小數從左向右横列于上次以第二小數如前横列于
下從視之則零對零十對十百對百也分錢兩及寸尺
丈俱依此推次視零位若成十成十則進一位又視十
位若干百則進一位千萬以上俱依此推
 假如有銀九萬一千七百六十一兩又八萬二千○
[022-8b]
 七十八兩又四千五百二十兩又九萬○六百五十
[022-9a]
       四兩俱横列則視末位有一八○四
       并得十三本位書三進位加一與六
       七二五并得二十一本位書一進位
       加二與七五六并得二十本位作○
 進位加二與一二四并得九本位書九首位九八九
 并得二十六本位書六進位書二得二十六萬九千
 ○一十三兩如物數是斤兩則十六兩成一斤進位
 尺步畝之類俱依此推
[022-9b]
  二減法
減者一大幾何減去一小幾何餘幾何也亦謂之除以
大數書于上應減數書于下亦零對零十對十百對百
也次於每位對除之若除數多於原數則借前位一以
除之蓋前位之一即本位之十也除完則得餘數
       假如有銀三十○萬○一百七十六
       兩三錢四分内除去二十九萬八千
       六百四十三兩八錢五分從左首位
       起上數三下數二三除二存一次位
[022-9b]
       上數○下數九借前一成一○除九
[022-10a]
 存一三位上數○下數八借前一成一○除八存二
 四位上數一下數六借前一成一一除六存五五位
 上數七下數四七除四存三六位上數六下數三六
 除三存三七位上數三下數八借前一成一三除八
 存五八位上數四下數五借前一成一四除五存九
 該存一千五百三十二兩四錢九分
  三命分二法
命分者一大幾何已分幾何尚餘幾何今應命此餘者
[022-10b]
為幾何分之幾何也又所餘之小幾何再分得幾何今
應命此得者為幾何分之幾何也前解曰法數為母餘
數為子如法數一六八餘數四九即命為一百六十八
分之四十九後解曰得數為子得數前位為母如得數
一位則前位為十得數六即命為十分之六得數二位
則前位為百得數三四即命為百分之三十四得數三
位則前位為千得數二八三即命為千分之二百八十
三得數四五位以上推此第前位定于一數十則一十
百則一百千則一千萬則一萬前一法即九章之命分/法亦即幾何原本之命
[022-10b]
比例法後一法即九章之小數如衡有錢/分釐毫量有尺寸分釐厯有分秒微纖也
[022-11a]
 用法凡四條/
  一乘法
乘數有實有法先將實數依號查籌從左向右齊列其
兩籌相並所成平行線斜方形合成一位方形内之數
并為一數矣次以籌之方位為法數如法數是五則視
兩籌第五方是九則視兩籌第九方即得數矣若法有
二數則先查法尾所得數横列之次查法首所得數進
一位横列之末用加法并之得數法有三數以上依此
[022-11b]
推顯
 解曰乘者陞也九九陞積之義也數有二一為實一
 為法可互用大畧以位數多者為實可也用籌則如
 實數列籌自左而右次視法數依籌之同數格上横
 取之并得啇數列書之更視次法如前得次啇數進
 一位書初啇之下三以上倣此啇畢并諸啇數即乘
 得之數
 假如八十三為實以四乘之先列八三兩籌視其第
 四格八號籌下左半斜方有三兩籌合一斜方有二
[022-11b]
 一并作三三號籌下右半斜方有二并為三百三十
[022-12a]
 二也
 又如毎銀一錢糴米九升五合今有銀三兩五錢問
          該米若干則以三五為實九
          五為法先查實數二籌齊列
          次視法尾五查二籌第五横
          行内數是一七五另列再視
          法首九查二籌第九横行内
          數有三一五進一位列于前
[022-12b]
 得數之下併之得三三二五該米三石三斗二升五
 合
 又如有米一斗賣錢一百二十五文今有米一十八
          石三斗問該錢若干則以一
          八三為實一二五為法先查
          實數三籌齊列次視法尾五
          查三籌第五横行内數是九
          一五另列次視法次二查三
          籌第二横行内數是三六六
[022-12b]
 進一位列于前得數之下次視法首一查三籌第一
[022-13a]
 横行内數是一八三又進一位列于前得二數之下
 併之得二二八七五該錢二萬二千八百七十五文
 如法數有○則徑作一○以當其位再查法數如前
 如六八三為實三○○為法則作二○乃查三籌之
 第三横行内數從二○左進書之餘放此
  二除法
除法有實有法有啇先將法數依號查籌從左向右齊
列次于諸籌從上至下查横行内連數之等于實數或
[022-13b]
畧少于實數者在第幾行即是初啇數如在第一行即
得數是一在第九行即得數是九也次以查得之數減
其實數如已盡則止知有初啇未盡則知宜有再啇也
有再啇者即再查横行内數之等于存實或畧少于存
實者在第幾行即是再啇數又以查得之數減其存數
如前又未盡則更有三啇亦如上法三以上倣此若初
得已除實數未盡乃實數次位無實則知當有○位即
作一○以當次啇或三位俱無則知得有二○即又作
一○以當三啇乃從後數查之若雖有餘數而其數小
[022-13b]
于法數是為不盡法法之數用命分法
[022-14a]
 解曰除法者分率之法也有實有法先列實次以法
 數平分之故古九章法名為實如法而一或省曰而
 一也除法有二一歸除一啇除啇除者古法歸除則
 後來捷法珠算可任用之若書算籌算必獨用啇除
 也用籌則先如法數列籌自左而右别列實數簡籌
 之某格與實數相合者或畧少于實數者以減實即
 初啇數也若未盡即如前再啇三啇以上皆如之又
 未盡則以法命之
[022-14b]
 假如列實一百○八以三十六為法除之簡三六兩
 籌列之視其第三格六號籌下右半斜方有八中各
 斜方有一九共十進一位成百即一百○八除實盡
 也
 又如有米九升五合價銀一錢今有米三石三斗二
          升五合問該銀若干以三三
          二五為實九五為法先以法
          數二籌齊列次于各行横數
          内求三三二有則徑減實數
[022-14b]
          無則取其田 者二八五以
[022-15a]
 二八五減三三二餘四七五為實而此二八五數乃
 在第三行即三為初啇數次視第五行有四七五正
 與餘實相等減盡即五為次啇數是三五為得數也
 該銀三兩五錢
 又如每錢三百七十四文買米一斗今有錢八萬七
 千一百四十二文問該米若干以八七一四二為實
 三七四為法先以法數三籌齊列次視各行横數内
 求八七一無則取其畧少者七四八以七四八減八
[022-15b]
 七一餘一二三四二為實而此七四八乃在第二行
          即二為初啇數次視各行中
          無一二三四及畧少者惟第
          三行有一一二二以一一二
          二減一二三四餘一一二二
          為實即三為次啇數次視第
          三行有一一二二正與餘實
          相等除盡即三為三啇數該
 米二十三石三斗
[022-15b]
 若積數為八七二四八尚有一○六為餘實再欲細
[022-16a]
 分即用命分第一法以餘數一○六為子法數三七
 四為母即命為三百七十四分之一百○六
 或用命分第二法于餘實一○六後加一○依上法
 再分之得二又加一○再分之得八又加一○再分
 之得三得數為二八三凡三位即命為一千之二百
 八十三
  三開平方法
開平方有積數有啇數啇有方法有廉法隅法置積為
[022-16b]
實從末位下作一㸃向前隔一位作一㸃每一㸃當作
一啇次視平方籌内自乘之數有與實首相等者即除
之若無相等則取其相近之畧少者除之但實首以左
第一㸃為主若㸃前無位則自乘止于零數如一四九
是也若㸃前有一位則自乘應有十數如十六至八十
一是也而此乘數在第幾格則第幾數即初啇數如所
用數是九九為三之自乘在第三格即三為啇數也若
有二㸃者即以初啇數倍之如一倍為二三倍為六也
即查所倍之籌列于方籌之左如四倍為八即取第八
[022-16b]
籌九倍為十八即取第一第八兩籌也次視諸籌横行
[022-17a]
内數之與存實相等者除之而此數在第幾格則第幾
數即次啇數如在第五格即五為次啇數也不盡以法
命之三㸃以上倣此
 解曰開平方者即自乘還原也而法實相同無從置
 算故以積求形必用方廉隅三法啇除之如有積一
 百啇其根根者一邊之/數四邊皆同十即盡實此獨用方法無用
 廉隅矣若一百二十一初啇十除實百餘二十一則
 倍初啇方根為廉法任加于初啇實一角之旁兩/邊故曰廉兩廉故倍初啇根
[022-17b]
 啇一以乘廉得二十以一為隅法實盡則百二十一
 之積開其根得十一也在籌則右行自一至九者即
 方根數也左二行即方根自乘之數自乘之數止于
 二位故隔一位作㸃查實下作幾㸃知方根當幾位
 也法先于左第一㸃上一位或二位為乘數平行求
 得其根適足則已不合則用其少者餘實以待次啇
 也左㸃或一位或二位者㸃在實首則乘數為單數
      㸃在實首之次位則乘數為十數也
      如上圖先以第一㸃求初啇根為方法
[022-17b]
      乙為方積也不盡為二㸃之實以初啇
[022-18a]
 根倍之為廉法甲丙之長邊也次啇若干即以為隅
 法丁方之一邊也并二廉一隅法以除實甲乙丙丁
 平方也不盡三啇之啇而不盡者以法命之其籌法
 先列本籌得初啇次啇則列廉法籌于本籌之左本
 籌之自乘數即隅積也其根隅法也次查所列籌何
 格中平行并數可當廉法之幾倍及隅方積得其根
 以除實即得設實下有二㸃則左一㸃之根為十數
 右一㸃之根為單數故廉法籌為十數本籌數為單
[022-18b]
 數也三㸃以上倣此
 假如有積六百二十五别列為實從末位五向前隔
          一位各作一㸃即知啇二位
          也㸃在實首六為單數視方
          籌内自乘之數無六其下九
          過實用其上四實之近少數
          也平行向右取二為方法即/方
          根/另列之為初啇即以四百
          減六百/存二百/以并次㸃之
[022-18b]
 實得二二五為餘實次倍初啇根得四為廉法廉有/二故
[022-19a]
 倍方/根取四號籌列方籌左于列籌内并數取其合餘
          實或近少于餘實者至五格
          適合即五為廉次率為隅法
          為次啇而本方之根得二十
          五
          又如積四千四百八十九别
          列為實從末位九向前作二
          㸃知啇二位㸃在次位則實
[022-19b]
          首四為十數也視籌内自乘
 無四四近少為三六平方取六為方法為初啇即以
 三六減四四存八以并次㸃之實得八八九為餘實
 次倍初根得十二為廉法取一二號兩籌列方籌左
 於列籌并數得八八九在第七格除實盡即七為廉
 次率為隅法為次啇而本方之根得六十七
 又如有積三萬二千○四十一列為實從末向前隔
          一位作一㸃得三㸃知啇三
          位㸃在實首三為單數視籌
[022-19b]
          自乘無三近少為一平行取
[022-20a]
         一為方法為初啇即以一減
         三存二以并次㸃實得二二
         ○為餘實次倍初根得廉法
         二取二號籌列左籌方於列
         籌并數得近少者一八九在
         第七格即七為隅法為次啇
         列初啇之右以一八九減餘
         實得三一以并三㸃之實得
[022-20b]
         三一四一為次餘實次倍前
 根十七得三四為次廉法取三四兩籌列方籌左于
 列籌并數得三一四一在第九格適盡即九為三啇
 為隅法列次啇之右而本方之根得一百七十九
 又如有積六十五萬一千二百四十九列為實從末
         位九向前隔一位作一㸃得三
         㸃知啇三位㸃在次位則實
         首六為實數也視籌自乘無
         六五近少為六四平行取八
[022-20b]
         為方法為初啇以六四減六
[022-21a]
         五存一以并次㸃實得一一
         二為餘實次倍初根得廉法
         一六取一六兩籌列方籌左
         於列籌并數查無一一二亦
         無近小數即知次啇為○也
         則於八下加○以當次啇而
         以一一二并三㸃之實得一
         一二四九為次餘實次倍前
[022-21b]
         根八得一六進一位得一六
 ○為次廉法取○籌列一六兩籌之右于列籌并數
 得一一二四九在第七格適盡即七為三啇為隅法
 列前二啇之下而本方之根得八○七
 其啇而不盡者以法命之則有二術其一如前第一
          六十六萬二千七百四十九
          如前三啇得根八百一十四
          餘積一百五十三更啇一當
          倍廉加隅得一千六百二十
[022-21b]
          八今不足則命為未盡者一
[022-22a]
 千六百二十八之一百五十三也
 法曰凡開方不盡實其命分法倍前啇數二廉/也加一
 立/隅為母續啇/之餘實為子依法命之然終不能盡如設
 積六十求開方初啇七餘十一倍七加一得十五為
 母十一為子可命六十之根為七又一十五之一十
 一而縮試并初啇及分數自之得四十九又二二五
 之二四三一約之為一十一是二二五之一八一以
 并四十九得五十九又二二五之一八一不及元積
[022-22b]
 若倍初啇不加一為母命為十四之十一試自之得
 六十○又一九六之一四一過元積而盈
 其一欲得其小分則通為小數如前第二法更開之
 當於餘積之右加兩圏是原積之一/化為百也如法開之得根
 數當命為一十分之幾分也或加四圏是原積之/化為萬也
          得根數命為一百分之幾分
          也或加六圏一化為/百萬得根命
          數為一千分之幾分或加十
          圏一化為/百萬萬 得根命為十萬
[022-22b]
          分之幾分也
[022-23a]
 如圖原積六六二七四九已啇得八一四不盡者一
 五三欲得其細分加六圏是一百五十三化為一萬/五千三百○十○萬○千
 ○百○/十○也更開得數為○九三因空位六則命為一千
 分之○百九十三也欲更細更加空位終不能盡何
 故六十者本無根之方也
  四開立方法
開立方亦有積數有啇數啇有方法有平廉法長廉法
隅法置積為實從末位向前隔二位作㸃每一㸃有一
[022-23b]
啇次視立方籌内再乘之數有與實首相等者即除之
若無相等則取其近少者除之但實首以左第一㸃為
主若㸃前無位則再乘止于零數如一如八是也若㸃
前有一位則再乘應有十數如二七如六四是也若㸃
前有二位則再乘應有百數如一二五至七二九是也
而此乘數在第幾格則第幾數即初啇數如所用數是
八八為二之再乘在第二格即二為初啇也若有二㸃
者以初啇數自乘而三倍之如二之自乘得四四之三
倍為一十二為平廉法以初啇數三倍之如二之三倍
[022-23b]
得六為長廉法次以平廉法數查籌列立方籌左又以
[022-24a]
長廉法數查籌列立方籌右次視左籌與方籌并之横
行内數啇其少于餘實者平行取數為約數即以此數
為次啇如在五格即次啇五也次以次啇自乘之數與
長廉法數相乘進一位書于約數之下以此二數併之
除其餘實即得立方根不盡者以法命之三㸃以上倣

 解曰立方形者六方面積為一實體也每面等每邊
 每角各等立方積者一數自乘再乘之所積也線有
[022-24b]
 長面有長有廣體有長有廣有高所謂一乘作面再
 乘作體是也開立方者亦以積求形之術其異于平
 方者平方為面面有四等線開之求得四線之一為
 方根也立方為體體有十二等線開之求得十二線
         之一為方根也三乘方以上亦
         皆十二線有等有不等而皆求
         其最初第一面之一界線為方
         根也今解立方廉隅法姑作分
         合圖論之若截木或鎔蠟作八
[022-24b]
         體分合解之尤易曉矣 其一
[022-25a]
         作六方面形一事諸面線角皆
         相等此名方法體即上圖甲乙
         丙丁立方體是也 其二作六
         面扁方體三事其上下面各與
 方法等旁四面之高少于方法之高任意多寡/開訖乃得而四
 稜線皆等此名平廉法體即上圖戊己庚辛是也
 其三作六面長方體三事其上下左右四面與平廉
 之旁面等兩端之四界線皆與平廉之高等此名長
[022-25b]
 廉法體即上圖壬癸是也 其四作六面小立方體
 一事六面之廣袤皆與長廉之兩端等此名隅法體
 即上圖子丑是也
 右度數家以度理解數學度者㸃線面體量法也數/者一十百千等算法也
 亦以數理解度學如鳥兩翼交相待而為用也今依
         此借數以明立方之體如初方
         體之邊各四則一面之積為一
         六其容積六四平廉之兩大面
         亦一六其高設五相乘得容積
[022-25b]
         八○長廉之長亦四其兩端之
[022-26a]
 高廣各五則其容積一○○立隅之邊各五則其容
 一二五此八體并之以三平廉合于初方之甲丙乙
 丙丙丁三面以三長廉補三平廉三闕以立隅補三
 長廉之闕即成一總立方也 又算法單數乘單數
 生單數如四乘六為二四是為六者四積/為二十四而其根四乃單數也單數乘十
 數生十數如四乘三十為一二是為三十者四/積為一百二十而其根二乃十數也十數
 乘十數生百數如三十乘八十為二四是為八十者/三十積為二千四百而其根四乃四
 百/也推之則十乘百生千百乘百生萬也 今依此推
[022-26b]
 前總立方以四十五為全根其初方之一邊為四十
 其面則為四十者四十是一千六百也是十乘十生
 百也其容積為一千六百者四十是六萬四千也是
 十乘百生千也 其平廉之兩大面與初方之面等
 亦一千六百其高五是單數以乘百得八十者百是
 八千也是單乘百生百也立廉三三倍之得二萬四
 千也 長廉之高廣皆與平廉之高等為五是單數
 其面為二五單根也其長與初方等為四十相乘得
 四十者二十五是為一百者十則一千也是單乘十
[022-26b]
 生十也長廉三三倍之得三千也 立隅體與平廉
[022-27a]
 之高等為五是單數自乘得二五亦單數也再乘得
 一二五亦單數也是單乘單生單數也 已上共得
 九萬一千一百二十五為兩啇之總立方積其根四
 十五右以數明立體之理其在籌則右行自一至九
 者立方根數也左三行自一至七二九者即方根自
 乘再乘之數也自乘再乘止于三位如三自乘再乘
 為二十七九自乘再乘為七百二十九故列實下隔
 二位作㸃查實下幾㸃知立方根當幾位也法先于
[022-27b]
 第一㸃以上查實簡籌或適足或畧少者即初啇之
 立方體平行求得其根也 次初啇根自乘得平廉
 面與初啇之體等三倍者三平廉也平廉之籌列立
 方籌之左者立方籌之右行為單數中行為十左行
 為百平廉籌右行之號亦百數也以合於立籌之左
 行共為幾百也 次平廉之面積三偕初啇之根三
 并為分率數以求六廉一隅之高於立籌平籌上求
 餘實之近少數不欲太少為尚有/長廉之容故也約可用者平行取
 根即次啇也不言隅法者次啇之再乘即是立隅籌
[022-27b]
 上所自有也又平行取次啇之平方積乘長廉籌之
[022-28a]
 數得長廉之容長廉之號為十數以列于約數之下
 進一位作十數 次求七體之總積初體之外有平
 廉三長廉三立隅一其定位立隅在本籌之上為單
 數次啇與三長廉法相乘得數為三長廉之實此數
 之號為十數三平廉之籌加于立籌之外其號為百
 數通併之以除餘實未盡而原實有三㸃者以先兩
 啇之總方為初體復如前法三啇之亦并八體為一
 總體不及啇為一者依法命之
[022-28b]
 同文算指曰先得之根初啇/也乘于三十今曰三之長/廉
 法/也所得之號為十數也又曰先根之方初體/之面乘于三
 百今曰三之平廉/法也所得之號為百數也一也
 假如有積四千九百一十三别列為實從末位三向
 前隔二位各作一㸃即知啇二位也㸃在實首四為
 單數視立方籌内再乘之數無四下八過實用其上
 一實之近少數也平行向右取一為方法即方/根另列
 之為初啇即以一千/減四千/存三千/以并次㸃之實
 得三九一三為餘實次用初啇一自乘為平/廉面而三倍
[022-28b]
 之三平/廉故得三百為平廉法亦名倍/方數取三號籌列立方
[022-29a]
          籌左又以初啇一十三倍之
          一者長廉邊三/長廉故三倍得三為長廉
          法亦名倍/根數取三號籌列立方
          籌右于列籌立方籌與/平廉籌也内并
          數取其少于餘實者為約數
          第其中有長廉之實不得過
          少又不得多多者如第九格
          遇三四二九以為約數近少
[022-29b]
          矣另列之向右平籌自乘數
 内平行取八十一乘于長廉法三得二百四十三列
 近少數三四/二九下進一位并得五八五九則多于餘實
 也至第七格遇二四四三以為約數另列之向右平
 籌自乘數平行取四十九以乘長廉法三得一百四
 十九列近少數二四/四三下進一位并得三九一三除實
 盡平廉籌之二千一百平廉實也立方籌之三百四/十三立隅積也平方籌之四十九長廉兩端之面
 也以乘長廉法三十得一四七/長廉積也諸籌之上一一分明平行求其根得七即
 七為次啇也得總立方之根一十七
[022-29b]
 又如積九百一十五萬九千八百九十九别列為實
[022-30a]
 從末位九向前隔二位作一㸃凡三㸃當啇三位也
 㸃在實首九為單數視立方籌内再乘之數無九下
 二七過實用其上八實之近少數也平行向右取二
          為方法另列為初啇即以八
          減九存一以并下位得一一
          五九為餘實次用初啇二自
          乘而三倍之得一十二為平
          廉法取一號二號兩籌列立
[022-30b]
          方籌左又以初啇二三倍之
          得六為長廉法取六號籌列
          立方籌右於列籌立方與平/廉共三籌
          内并數取其少于餘實者為
          約數試之而無有最少者為/第一格之
          一二/○一則知啇有空位於初啇
          下作圏以當次啇復開第三
          㸃之餘實為一一五九八九
          九前二啇二○百十/也自乘之
[022-30b]
          得四○○四萬/也三倍之為一
[022-31a]
          二○○一千/二百依數取四籌為
          平廉法列立方籌左前啇二
          ○三倍之得六○取二籌為
          長廉法列立方籌右於列籌
          立方與平/廉共五籌内并數取其少于
          餘實者為約數至第九格方
          得一○八○七二九另列之
          向右平籌自乘數平行取八
[022-31b]
          十一以乘長廉法六○得四
          八六○列近少數一○八○/七二九
          下進一位并得一一二九三
          二九除實不盡三○五七○
          其三啇平行取根得九并初
          二啇得立方根二○九不盡
          者更欲細分之則用命分第
          二法於餘實後加三圏得三
          ○五七○○○○為餘實依
[022-31b]
          上法再開之以前啇二○九
[022-32a]
          自乘為四三六八一又三倍
          之為一三一○四三取此六
          籌列方籌左為平廉法又以
          前啇二○九三倍之為六二
          七取此三籌列方籌右為長
          廉法於列籌左籌/七内并數取
          其近少為約數試之至第二
          格遇二六二○八六○八為
[022-32b]
          近少于餘實三○五七/○○○○另列
          之向右平籌自乘數内平行
          取四乘于長廉法六二七得
          二五○八列近少數二六二/○八六
          ○/八下進一位并得二六二三
          三六八八以除實不盡四三
          三六三一二即取右根二為
          啇數依法命為一十分之二
          分也若欲再開則餘實後又
[022-32b]
          加三圏得四三三六三一二
[022-33a]
          ○○○為餘實依上法以前
          啇二○九二自乘為四三七
          六四六四又三倍之得一三
          一二九三九二取此八籌列
          方籌左為平廉法又以前啇
          二○九二三倍之為六二七
          六取此四籌列方籌右為長
          廉法於列籌左九/籌内并數取
[022-33b]
          其近少至第三格遇三九三
          八八一七六二七為近少于
          餘實四三三六三/一二○○○另列之向
          右平籌自乘數平行取九乘
          於長廉法六二七六得五六
          四八四列近少數三九三八/八一七六
          二/七下進一位并得三九三九
          三八二四六七以除實不盡
          三九六九二九五三三即取
[022-33b]
          右根三為啇數依法命為二
[022-34a]
          百○九又一百分之二十三
          分也若再開則餘實後又加
          三圏得三九六九二九五三
          三○○○為餘實依上法以
          前啇二○九二三自乘為四
          三七七七一九二九又三倍
          之得一三一三三一五七八
          七取此十籌列方籌左為平
[022-34b]
          廉法又以前啇二○九二三
          三倍之得六二七六九取此
          五籌列方籌右為長廉法於
          列籌左十/一籌并數取約至第三
          格遇三九三九九四七三六
          一二七為近少于餘實三九/六九
          二九五三/三○○○另列之向右平籌
          自乘數平行取九乘于長廉
 法六二七六九得五六四九二一列近少數三九三/九九四
[022-34b]
 七三六/一二七下進一位并得三九四○○○三八五三三
[022-35a]
 七以除實不盡為二九二九一四七六六三即取右
 根三為啇數依法命為二百○九又一千分之二百
 三十三也餘實任開之終不盡何者無立方數不得
 有立方根也
 算子錢法増/
以籌布算其乘除諸法皆能去繁就簡不待論矣若算
章中有用開平立方者有用開無名方者至難至賾也
用籌則比他算特為簡易故附載此法 按九章算衰
[022-35b]
分篇中有借本還利皆用乘法即此法之還原也今法
必用開方故為難耳
假如借銀若干滿若干年還本息總銀若干問每年息
銀若干
 如本銀一百兩滿一年總還一百二十兩問息若干
 法兩數本銀一/總銀一相減餘二十是百兩一年之息也又
 滿二年總還一百四十四兩問每年息例若干法以
 母銀數一/百乘總還數一百四/十四得數為積開方得根數
 為實以母銀為法減之所餘者為原銀一年之息也
[022-35b]
 若滿三年總還一百七十二兩八錢問息例若干又
[022-36a]
 滿四年以上皆息轉為本紛莫可尋則依圖法求之
圖說
 圖有直行有横行直行者每年所用之法與數横行
 者諸同類之法同類之數也其直行之首無年數無
 總銀數者則上年之次法或又次法任用之白字為/法墨字
 為/數
第一横行為滿年數借日至還日/積年之數
第二横行為所還之總銀母銀并息/銀之總數
[022-36b]
第三横行為母銀所用之法或母銀自乘或再乘三/乘等以求積而開方
第四横行為母銀用法所乘出數與總銀相乘得數
第五横行為各年所用開積之本法如開方或/開立方等
第六横行為所求之數即滿一年之總數/本息俱見者也減原銀得息

用法
 假如初借母銀三兩滿四年總還銀四十八兩問每
 年若干起息母銀三兩滿一年總還若干即轉為次/年之母依前例起息總應若干又轉為
 母如是嵗嵗遞加母/數漸増息例如舊
[022-36b]
 法依圖試查滿四年直行其第一格為年數即/四第二
[022-37a]
 格為總還四十/八兩之銀原銀若干息例若干/各依本例積成總數第三格母
 銀所用之法為再乘即以原銀三再自之得二十七
 第四格以二十七母所乘/出之數乘四十八總/銀得一二九六
 為實積第五格本年所用開積之法為開平方二次
 積為一/二九六初開得三十六再開得六六者滿一年之總
 銀減原銀三餘三為滿一年之息
 又如母銀五十八兩四錢滿三年總還銀一百二十
 五兩三錢問一年息若干
[022-37b]
 法用本行第三格曰自乘即原數自之得三四一○
 五六以總銀乘之得四四九二七六一六八第五格
 法曰開立方用法開得七十六兩五錢不盡實加三/位開零根得
 八分九釐八毫不盡減原銀餘十八兩一錢八分九
 釐八毫為滿一年之息依此例求母銀百兩息幾何
 用三率法原銀為一率息例為二率今銀一/百為三率
 依法得四率三十一兩一錢四分六釐九毫不盡為
 百兩一年之息
 此用遞加倍數之法詳見算學全義義見幾何第十
[022-37b]
 卷
[022-38a]


[022-39a]


[022-40a]
 
 
 
 
 
 
 
 
[022-40b]
 
 
 
 
 
 
 
 新法算書卷二十二