[084-1a] 
欽定四庫全書
新法筭書卷八十四 明 徐光啟等 撰
㡬何要法
總説
圜成於線線有二種為曲為直直線或單或衆前卷已
詳之衆線或三而成三角形或四而成方形或多而成
諸不等形曲線或半或全半線有不等之用全線或成
圜形或成卯形等角形及方形卯形詳見後卷今先論
[084-1b]
圜形
界說章第一十二則/
第一界
圓形於平地居一界之間為圜
第二界
外圓線為圜之界
第三界
圜之中處為圜心
第四界
[084-1b]
自圜之界作一直線過中心至他界為圜徑如上圖甲
[084-2a]
丁乙戊為圜界丙為心甲乙為徑
第五界
凡直線切圜界過之而不與界交者為切線
如上圖甲乙丙線是也若先切圜界而引之
入圜内則謂之交線如丁戊是也
第六界
凡兩圜相切而不相交者為切圜相切而相
[084-2b]
入者為交圜加上圖
第七界
凡直線形居他直線形内而此形之各角切
他形之各邉為形内切形如上圖丁戊己為
甲乙丙形内切形
第八界
凡直線形居他直線形外而此形之各邉切他形之各
角為形外切形如前圖甲乙丙為丁戊己形外切形其
餘各形倣此二例
[084-2b]
第九界
[084-3a]
直線形之各角切圜之界為圜内切形如上
圖甲乙丙形之三角各切圜界於甲於乙於
丙是也圜之界切直線形之各角為形外切
圜同上圖
第十界
直線形之各邉切圜之界為圜外切形如上
甲乙丙形之三邉切圜於丁於己於戊是也
[084-3b]
第十一界
一圜之界切直線形之各邉為形内切圜如前圖
第十二界
一直線之兩界各抵圜界為合圜線如上圖
之甲乙線
造規章第二法有四/
圜形以至圓為凖至圓必出於規規必欲極凖極順其
用甚活乃堪造厯凡造規之法有四詳列於後
第一法
[084-3b]
先以銅或鐡範成二股上濶下窄至末而鋭近頭小半
[084-4a]
截作凹凸狀令可相合次以釘釘其圓頭貴寛𦂳得宜
任意可開收規下半截為規髀一規髀作墨池如首卷
第三章法以適用凡欲造厯象必須備規其造式見後
規圖
第二法
[084-4b]
凡規有三用一畫虚線則須鉛條當先以銅葉為管虚
其中横開小路上套小銅圜可上下鬆𦂳以出入鉛條
末畧奓出以留小圜如下甲圖一畫墨線則當作墨路
如前章法如下乙圖一畫銅板線須以純鋼為末如下
丙圖右三髀俱另作不相連本規其本規如前法造但
截去一髀臨截處長半寸許作一小箱狀虚其中亦令
方可受規髀柄如下圖丁處箱面作旋螺用時任入一
規髀以銅消息如旋螺者貫定之如下戊圖則任意可
畫線而一規可具三用矣此為第二法如下圖
[084-5a]
第三法
造厯恒用規依比例法分線分圜或以大形移變小形
或以小度移變大度其分法稍難今作一四髀規或銅
或鐡畧如剪形上下作四規髀上短下長令上凖下度
或半或三之一或十之一及種種不等則作線圜時或
[084-5b]
欲以大變小先以下髀取度次以上髀移度或欲以小
變大先以上髀取度次以下髀移度則得所求其或半
或三之一或十之一俱從髀之長短而分下愈長則度
愈大上愈短則度愈促
第四法
前三種規長不踰尺止堪小用如欲造璣衡大噐則當
[084-6a]
更變其式如下圖其規以銅範為極方條上下如一任
作㡬尺於條左末作錐垂下二三寸以純鋼為之更造
一錐與前錐等上方寸許仍鑿方孔令透可受方條任
逺近可推移方孔旁更鑿圓孔仍前法作旋螺貫定方
條使兩錐堅定不爽分毫可畫大圜如下圖
有圜求兩平分之章第三一法/
[084-6b]
如有甲乙丙圜求兩平分用尺任以圜一處
為界正過心畫一直線則圜體兩平分矣
有圜之分求兩平分之章第四一法/
如有甲乙丙圜分求兩平分之先於圜分兩
界作甲乙線次兩平分之於丁從丁作丙丁
為甲乙之垂線一卷第/八章即丙丁分甲乙圜分
為兩平分若有圜不露其心又求兩平分之亦如此法
有圜求四平分之章第五一法/
[084-7a]
凡立天象多用四分圜為周天四象限故造法不可不
凖如有甲乙丙圜求四平分先以前法作甲
乙線過戊心兩平分之次依作垂線法於戊
心上自丙至丁作垂線得所求
有圜求六平分之章第六一法/
凡厯家分周天度多用六數或十二或二十
四今詳其法如有一圜求作六分不用他法
惟以畫圜之元規周圜界六歩則自然分為
[084-7b]
甲乙丙丁戊己六平分矣
有圜求十二平分之章第七一法/
先以本卷五章法四平分於甲乙丙丁次以
畫圜元規從甲從乙上下各指一㸃又從丙
從丁左右各指一㸃則得所求若欲二十四
分毎分為兩則得所求矣
有圜求三百六十平分之章第八一法/
凡厯家所用細分周天度以三百六十為率今詳其
法
[084-7b]
如有甲乙丙圜先依前法四平分之為四象限次以規
[084-8a]
元度依前法十二平分為十二宫
就以所分十二宫各三分之各包
十度次毎十兩平分之各包五次
毎宫又五平分之各包六今用六
度之規至終不改從子宫初一度歩
起完一周又次從初五度初十度
十五度二十度二十五度各歩完一周則平分三百六
十分矣
[084-8b]
有圜之分任截㡬度章第九一法/
如有甲乙圜之一分欲取三十五度如
用常法必須先求圜分之心依後十一
章法成圜後均分三百六十乃取三百
六十之三十五分其法頗繁今有簡妙
法先備一銅板分一子丑寅象限為九
十分合極凖設有甲乙圜之界自甲起
欲取三十五度之分先從甲至圜心作
甲丙半徑線如與子丑寅象限半徑合
[084-8b]
則移彼度子卯至甲乙線上至庚即得所求如大小不
[084-9a]
合則以規取子丑寅半徑以丙為心或甲乙内或外作
一圜分若丁戊圜在外則當引長甲丙線至丁取子丑
寅限三十五度以丁為始移於丁戊圜上至己從丙心
過己作一直線截甲乙於庚則甲庚為甲乙圜上三百
六十分之三十五也若所範銅板欲其用廣當從寅心
重重作圜與子丑平行又自子丑外圜逐度引直線至
寅心後所欲取圜分之度若其半徑與子寅不等或同
於他子丑内圜之半徑則可徑移其度於所分圜上不
[084-9b]
爾仍用前法
有圜求㝷其心章第十一法/
如有甲乙丙丁圜欲求其心先於圜之兩界
任作一戊己直線次以平分線法作丙丁垂
線兩平分之於庚則庚為圜心
有圜之分求成圜章第十一一法/
如有甲乙丙圜分求成圜先於圜分任取三㸃於甲於
乙於丙從甲至丙丙至乙各作一直線各兩
平分於丁於戊次於丁戊上各作垂線相交
[084-9b]
處為己末以己為心以圜為界旋轉即得所
[084-10a]
求
任設三㸃不在一直線求作一過三㸃之圜章第十
二法有二/
第一法
如有甲乙丙三㸃求作一圜貫之先以甲為心任取一
度向乙上下各作小圜分又以乙為心向甲
仍用元度上下各作小圜分相交處為丁為
戊次又以甲為心向丙上下作小圜分如前
[084-10b]
次以丙為心亦如之相交處為己為庚次從丁至戊從
己至庚各作直線相交處為辛末以辛為心任取一㸃
為界旋規成圜即得所求
第二法
先以三㸃作三直線相聨成甲乙丙三角形次平分兩
線於丁於戊次於丁戊上各作垂線合相遇
於己末以己為心甲為界作圜即得所求
有圜求作合圜線與所設線等此設線不大於圜之
[084-10b]
徑線章第十三一法/
[084-11a]
如有甲乙丙圜求作合線與所設丁線等其丁線不大
於圜之徑線徑為圜内之最大線更大不可
合先作甲乙圜徑為乙丙若乙丙與丁等者
即是合線若丁小於徑者即於乙丙上截取
乙戊與丁等次以乙為心戊為界作甲戊圜交甲乙丙
圜於甲末作甲乙合線即與丁等何者甲乙與乙戊等
則與丁等
三角形求作形外切圜章第十四一法/
[084-11b]
甲乙丙角形求作形外切圜先平分兩邉於丁於戊次
於丁戊上各作垂線為己丁己戊而相遇於
己末以己為心甲為界作圜必切甲乙丙而
為三角形之形外切圜
三角形求作形内切圜章第十五一法/
甲乙丙角形求作形内切圜先以甲乙丙角甲丙乙角
各兩平分之作乙丁丙丁兩直線相遇於丁
次自丁至角形之三邉各作垂線為丁己丁
庚丁戊末以丁為心戊為界作圜即過庚己
[084-11b]
為戊庚己圜而切角形之甲乙乙丙丙甲三邉於戊於
[084-12a]
己於庚此為形内切圜
有圜求作圜内三角切形與所設三角形等角章第
十六
甲乙丙圜求作圜内三角切形其三角與所設丁戊己
形之三角各等先作庚辛線切圜於甲次作
庚甲乙角與設形之己角等次作辛甲丙角
與設形之戊角等末作乙丙線即圜内三角
切形與所設丁戊己形等角
[084-12b]
有圜求作圜外三角切形與所設三角形等角章第
十七
甲乙丙圜求作圜外三角切形其三角與所設丁戊己
形之三角各等先於戊己邉各引長之為庚辛次於圜
界抵心作甲壬線次作甲壬乙角與丁戊庚
等次作乙壬丙角與丁己辛等末於甲乙丙
上作癸子子丑丑癸三垂線此三線各切圜
於甲於乙於丙而相遇於子於丑於癸若作/甲丙
[084-12b]
線即癸甲丙癸丙甲兩角小於兩直/角而子癸丑癸兩線必相遇餘倣此此癸子
[084-13a]
丑三角與所設丁戊己三角各等
有圜求作内切圜直角方形章第十八
有甲乙丙丁圜求作内切圜直角方形先作甲丙乙丁
兩徑線以直角相交於戊次作甲乙乙丙丙
丁丁甲四線即甲乙丙丁為内切圜直角方
形
有圜求作外切圜直角方形章第十九法有二/
第一法
[084-13b]
甲乙丙丁圜其心戊求外切圜直角方形先作甲丙乙
丁兩徑線以直角相交於戊次於甲乙丙丁
作庚己己辛辛壬壬庚四線為兩徑末界之
垂線而相遇於己於辛於壬於庚即己庚壬
辛為外形
第二法
以戊甲為度依平行線法作己庚辛壬上下兩線與乙
丁平行次用元度作己辛庚壬左右兩線與甲丙平行
即得所求同前圖
[084-13b]
有直角方形求作形内切圜章第二十
[084-14a]
甲乙丙丁直角方形求作形内切圜先以四邉各兩平
分於戊於己於庚於辛而作辛己戊庚兩線
相交於壬末以壬為心戊為界作圜必過戊
己庚辛而切甲丁丁丙丙乙乙甲四邉是為
形内切圜
有直角方形求作形外切圜章第二十一
甲乙丙丁直角方形求作外切圜先作對角
兩線為甲丙乙丁而交於戊末以戊為心甲
[084-14b]
為界作圜必過乙丙丁甲而為形外切圜
有圜求作圜内五邉切形其形等邉等角章第二十
二
如有甲乙丙丁戊圜求作五邉内切圜形等
邉等角先作己庚辛兩邉等角形而庚辛兩
角各倍大於己角次於圜内作甲丙丁角形
與己庚辛角形各等角次以甲丙丁甲丁丙
兩角各兩平分作丙戊丁乙兩線末作甲乙
乙丙丙丁丁戊戊甲五線相聨即甲乙丙丁戊為五邉
[084-14b]
内切圜形而五邉五角俱自相等
[084-15a]
有一圜求作内切圜五邉及十邉形章二十三
如有甲乙丙圜心為丁先作甲丙過心線次作乙丁垂
線次平分丁丙線於戊作乙戊線次取戊乙
度移於徑線為戊己次作乙己直線盖乙己
為甲乙丙圜五分之一以此為度可作内切
圜五邉形丁己度可作内切圜十邉形
有圜求作圜外五邉切形其形等邉等角章第二十
四
[084-15b]
甲乙丙丁戊圜求作五邉外切圜形等邉等角先依前
章法作圜内甲乙丙丁戊五邉等邉等角切
形次乃從己心作己甲己乙己丙己丁己戊
五線次從此五線作庚辛辛壬壬癸癸子子
庚五垂線相遇於庚於辛於壬於癸於子五垂線既切
圜即成外切圜五邉形而等邉等角
五邉等邉等角形求作形内切圜章第二十五
甲乙丙丁戊五邉等邉等角形求作内切圜
先分乙甲戊甲乙丙兩角各兩平分其線為
[084-15b]
己甲己乙而相遇於己自己作己丙己丁己
[084-16a]
戊三線次從己向各邉作己庚己辛己壬己癸己子五
垂線末作圜以己為心庚為界必過辛壬癸子庚而為
甲乙丙丁戊五邉形之内切圜
五邉等邉等角形求作形外切圜章第二十六
甲乙丙丁戊五邉等邉等角形求作外切圜先分乙甲
戊甲乙丙兩角各兩平分其線為己甲己乙
而相遇於己次從己作己丙己丁己戊三線
與己甲己乙俱等末以己為心甲為界作圜
[084-16b]
必過乙丙丁戊甲即得所求
求作圜内六邉切形其形等邉等角章二十七
如有甲乙丙丁戊己圜其心庚求作六邉内切圜形等
邉等角先作甲丁徑線次以丁為心庚為界
作圜兩圜相交於丙於戊次從庚心作丙庚
戊庚兩線各引長之為丙己戊乙末作甲乙
乙丙丙丁丁戊戊己己甲六線相聯即得所求
求作圜内十五邉切形其形等邉等角章第二十
八
[084-16b]
如有甲乙丙圜求作十五邉内切圜形等邉等角先作
[084-17a]
甲乙丙内切圜平邉三角形即各邉當圜十
五分之五次從甲作甲戊己庚辛内切圜五
邉形等角各邉當圜十五分之三而戊乙得
十五分之二次以戊乙圜分取乙己度兩平分於壬則
壬乙得十五分之一次作壬乙線依壬乙共作十五合
圜線即得所求以此為例推用逓/分可作無量數形
圜内有同心圜求作一多邉形切大圜不至小圜其
多邉為偶數而等章第二十九
[084-17b]
如有甲乙丙丁戊兩圜同以己為心求於甲乙丙大圜
内作多邊切形不至戊丁小圜其多邉為偶
數而等先從己心作甲丙徑線截丁戊圜於
戊也次從戊作庚辛為甲戊之垂線即庚辛
線切丁戊圜於戊也次以甲丙兩平分於乙
乙丙兩平分於壬以壬丙兩平分於癸則丙癸圜分必
小於丙庚而作丙癸合圜線即丙癸為所求切圜形之
一邉也次以癸丙為度遞分一圜各作合圜線得所求
形
[084-17b]
新法算書卷八十四
