[087-1a] 
欽定四庫全書
新法算書卷八十七 明 徐光啟等 撰
測量全義叙目
測量全義十卷前九卷屬法原後一卷屬法器法
原者法之所以然也凡事不明於所以然則其已
然者茫茫不知所来其當然者昧昧不知所徃即
使沿其流齊其末窮智極慮求法之確然不易弗
可得已况天之髙星辰之逺厯數之𧷤且隠也而
[087-1b]
不究其原可乎旋觀徃代如二十一史所載漢以
後諸家之厯詳矣大都專求法數罕言名理即才
士間出亦各窺一二莫覩大全雜以易卦樂律益
增迷瞀何恠乎千八百年而未有定法也夫厯法
之原有二其一則象緯之原也天事也其一則推
測之原也人事也象緯之原如測天約說所論百
中之一二耳其他散見於七政本論㑹而通之聊
足著明矣此書所論則推測之原也古今言推測
者又有二其可以形察可以度審者謂之叀術不
[087-1b]
可以形察不可以度審者謂之綴術此所論者又
[087-2a]
綴術也綴術之用又有二其一總物以為度論其
幾何大曰量法也其一截物以為數論其幾何衆
曰算法也厯象之家兼用二法如鳥之傅兩翼也
則無所不可之矣凡幾何之屬有四曰㸃曰線曰
靣曰體㸃引為線線展為靣靣積為體究此四者
諸有形有質之物細若纎芥鉅若大圜悉可極其
數而盡其變所以能範圍不過曲成不遺也㸃不
可為度線不可為形必三線交始成三角形焉凡
[087-2b]
度與數不用此形即巧厯無從布算故三角者雖
形體之始基實測量之綱要諸卷中當首論者此
也凡言度數必通大小通近逺者也三角形繇兩
視線一徑線徑線者所測物之廣也徑之兩端出
兩直線入交於目睛之最中而成形如分寸咫尺
為近小之形乃至大圜七政為逺大之形形絶不
等然其為三角等則比例必等因而用小推大用
近推逺亡不合者故曰通大小通逺近也夫學難
者必自近也學微者必自顯也最難且微莫如天
[087-2b]
之三光最易且顯莫如地之百物次卷所測測地
[087-3a]
與物以此故也然而測一物之髙一山之髙與測
日月星辰去地之髙也無以異則亦通大小通逺
近者也其次進而測靣靣者平方平圓之類其變
不可勝窮也然而測物之靣與測地景之靣測日
月星之靣其理一也又進而測體體者立方立圓
之類其變不可勝窮也然而測物之容與測地之
容日月星之容其理一也是皆逺近大小通焉者
也既曰通焉而不言逺大先言近小者則所以習
[087-3b]
之也習之奈何習手與目以求其貫也習心與意
以求其信也不習不貫未有能信者也習且貫未
有不信者也故習小習近言逺大者之所求也夫
論度數至於測體深矣微矣然而皆平靣直線也
天則圓體其靣圓靣其線曲線也測圓靣之難十
倍平靣測曲線之難十倍直線蓋圓與曲謂之弧
而測弧無法於無法中求有法其勢不得不難世
有傳弧矢算術測圓術者皆非術也其本術稍見
於大測其為數則割圓八線表而此書第七至第
[087-3b]
九則言其理與法也蓋以弧背求弦矢用測曲線
[087-4a]
三角形展轉推求展轉變易凡周天衆規相交
相距所以經緯七政運行四時推遷運㑹者上
下百千萬年可知也諸天諸曜種種運行悉無
一定之法其為紛𧷤莫可勝原此弧弦諸法則
何以能追求至盡乎蓋所論者非諸曜自行之
度數而宗動天之度數也宗動者不依七政而
能為七政之凖則厯家謂之天元道天元極天
元分至終古無變易也因此推歩是以有恒御
[087-4b]
無恒厯家之立法最難在此其用法最易亦在
此矣終之以法器何也曰器之用大矣智者非
器不作明者非器不述差者非器不改合者非
器不驗教者非器無以措其辭學者非器莫能
領其意巧者非器未繇見其長拙者非器有所
匿其短是以唐虞欽若首在璣衡厯代以還屢
更其制據今所有則渾天儀簡儀立運儀渾天
象四器也而年逾數百久闕繕治地址傾墊樞
軸鏽蝕渾天一儀不復運動簡儀立運猶似堪
[087-4b]
用復少黄道規環且測候多端止慿一器架柱
[087-5a]
森列多成映蔽均賦辰度尚未精宻刻定宿度
則又元時所測非今測也此卷中分列諸器擇
其最急畧有五種曰測髙儀曰距度儀曰地平
經緯儀曰赤道經緯儀曰黄道經緯儀有此諸
儀相襲並用彼礙則此通可以無求不得矣更
求宻測責以分秒無差則一式又湏三器三器
俱列用相參較三測並合則製器精工安置如
式測驗得法灼然具見矣有不合者可以推究
[087-5b]
病源更求釐正釐正之後測復參差則擇其同
者用之若止據一器有得即真烏從知其然不
然可不可乎且舊儀大環徑止五尺二寸度止
十分今擬新式用半徑者六尺則三倍大也度
得百分則十倍細也用全徑亦六尺度可六十
分亦六倍細也夫今之改憲欲求倍勝於古非
倍勝之器諒無從得之矣或疑法器重大取數
復多即用物必奢是又不然今之舊儀不能揣
知輕重大都唐宋以来考諸史志約畧相等宋
[087-5b]
史言東都渾儀四座每座約銅二萬餘斤今擬
[087-6a]
諸式槩從輕省若得宋元一儀之費足以盡
造諸器有餘矣且每式三器誠不可少若宛
轉相就則經緯儀可以得距地平儀可以得
髙一倍本數亦能通用或五大既全稍從狹
小以為副貳兼用精鐵以省銅材固無不可
則所計一儀之費尚可損其半也惟是舊儀
欲將脩改則一器止堪一用其脩改之費恐
過於造作計不當為之耳惟渾天象止以測
[087-6b]
到度分量度經緯在於施用未為闗切今體
製完美無煩再造矣
界說二十三則
第一界
正弧全圏四分之一或大焉或小焉
如圖甲乙丁為全圈之半乙丙丁為四分之
一是名一象限九十度正弧之大無過於此
若甲乙丙則大於象限丙丁則小於象限但
小者皆名正弧而大者則名過弧
[087-6b]
第二界
[087-7a]
餘弧正弧之剰分
如庚己正弧庚乙為餘弧是正小於己
乙也如庚丁過弧則大於丁乙而庚乙
為過弧之餘弧也
第三界
通弦者通弧之相當線分圏為兩分相當線亦/名對線
如庚丙線與庚乙丙弧相當又與庚己子丙弧相當
第四界
[087-7b]
圏内線極大過心者為圏徑
如己戊丁是
第五界
正弦弦之半
如丙甲庚弦半之為丙甲正弦當丙乙弧又丙辛子弦
半之為丙辛正弦當丙丁弧或曰正弦者從圏上一㸃
作垂線至己丁徑上則丙辛為丙丁弧相當之正弦
第六界
餘弦餘弧之正弦
[087-7b]
如丁丙正弧則丙乙其餘弧丙甲為丙乙之正弦丙丁
[087-8a]
之餘弦
第七界
倒弦者餘弦與半徑之較亦名矢
如丙甲餘弦與辛戊線等以辛戊减丁
戊半徑存辛丁為丙丁弧之倒弦亦為
丙丁弧之矢
第八界
全弦徑之半象限弧之正弦
[087-8b]
第九界
直線角在圏心或大或小皆居對弧兩腰間相當弧亦/曰對弧
如丙戊丁角在戊心向丙丁正弧則角生於
丙戊丁戊兩腰間
第十界
餘角者餘弧之正角對角亦名正角/亦名相當角
如丙戊乙角為丙丁正弧之餘角即丙乙餘弧之正角
第十一界
[087-8b]
切線者圏徑界之垂線亦名切圈線在圏外如下界之/丙甲線
[087-9a]
第十二界
割線者直角之對線亦名交線亦名截線在圏之内外
如甲戊丙形甲直角凡言甲角當九/十度弧之直角戊為
心丙戊交圏於乙割線也此線限心上角
限甲乙弧則角與弧胥生於甲戊戊丙兩腰間又曰正
割線者正弧之割線如甲乙正弧則戊丙正割線也
第十三界
餘切線者餘弧之切線
[087-9b]
第十四界
餘割線者餘弧之割線
如戊丁餘弧乙己為割線是甲戊弧之餘
割線
第十五界
全圏三百六十度半徑之全數十萬平分或用一萬或用/百萬千萬皆可
第十六界
設弧者任取全圏之一分凡言設者先有定數/也或稱有或稱得
如甲戊丙角形戊為心甲乙丁其象限弧
[087-9b]
也取甲乙一分四十度則甲乙為設弧也
[087-10a]
第十七界
設角者設弧之角
如戊心甲戊戊乙兩腰弧甲乙則因弧而
稱甲戊乙角言角之度分即對弧之度分
第十八界
設正弦
如丁戊半徑十萬分先言丙辛若干分則
所設丙丁弧之正弦
[087-10b]
第十九界
設切線
如甲乙全數先言甲丙若干數則所設切
線
第二十界
設割線
如甲乙全數先言乙丙若干數則所設割
線
[087-10b]
第二十一界
[087-11a]
設邉線
如甲乙丙角形先言甲乙四丈或乙丙五
丈或甲丙三丈俱所設邉線
第二十二界
方數者方形邉自乗之數
如正方邉四自之得一十六方之各邉俱等
方形根者開方所得方形一邉之數
第二十三界
[087-11b]
平形有方有矩方者直角方形矩/者矩内直角形
矩形邉兩兩自相等有一邉有實用算得所求他邉開
方法有本論本書今别撮為圖欲求根一簡即得省布
算焉簡法見籌算
測量全義卷一
第一題
通弦與通弧正弦與正弧比例等比例等後/省曰若
解曰有己庚乙丙丁圏其通徑己戊丁戊
上作乙戊垂線别作庚甲丙線與己丁平
[087-11b]
行則庚甲丙為庚乙丙通弧之對弦題言
[087-12a]
庚甲丙通弦與庚乙丙通弧之比例若丙甲正弦與乙
丙正弧
論曰戊心上垂線作直角平分庚乙丙弧則庚甲戊丙
甲戊兩角形等何者庚戊丙戊從心至界等甲兩旁直
角等甲戊同邉則兩形必等兩角之對弧亦等幾何三/卷二十
六/故庚甲丙偕庚乙丙兩全與丙甲偕丙乙兩半比例
等
第二題
[087-12b]
圏内正弧等正弦亦等反之正弦等正弧亦等
解曰有全圏丁丙乙寅己丁寅為徑設丁
丙乙寅兩正弧等從丙從乙作丙戊乙己
兩垂線截徑於辛於壬作直角平分兩弦
三卷/第三亦平分丙丁戊乙寅己兩弧三卷/三十是丙丁丁戊偕
乙寅寅己之各兩半與丙丁戊偕乙寅己之兩全比例
等則其弦丙辛戊乙壬己之兩全與丙辛辛戊偕乙壬
壬己之各兩半比例亦等題言丁丙乙寅兩正弧既等
則丙辛乙壬兩正弦必等
[087-12b]
論曰丙丁與乙寅兩弧既等則作丙庚乙庚自心至界
[087-13a]
之兩等線得丙庚丁角與乙庚寅角等三卷二/十七丙辛庚
與乙壬庚兩直角亦等而丙辛庚乙壬庚兩三角形必
等故丙辛乙壬兩正弦必等反之丙辛與乙壬丙庚與
乙庚各等丙辛庚乙壬庚兩直角等則丙
庚辛乙庚壬兩角亦等一卷/第八而丙丁乙寅
兩對弧必等三卷第/二十六
第三題
圏之内大弧大弦小弧小弦反之大弦大弧小弦小弧各
[087-13b]
相對
解曰甲乙丙丁圏甲己大弧丙庚小弧題言己
卯弦大於庚寅弦
論曰試取甲辛弧與丙庚弧等從庚乙己辛各
作垂線過甲丙徑至於丑於丁於癸於子其庚寅辛壬兩半
等本卷/二即庚丑辛子兩全亦等三卷/第三己癸近心大於辛子三/卷
十/五是全大於其全也五卷/十五己卯視辛壬半不大於其半乎
次論曰試截卯己於午與庚寅等午上作垂線至辛與
丙甲徑平行午卯庚寅既等自與辛壬等皆在兩平/行線内甲
[087-13b]
辛丙庚兩弧亦等己甲全弧大於辛甲分弧己卯大弦
[087-14a]
必大於辛壬小弦是大弦對大弧小弦對小弧也
第四題
圏徑截弦亦截弧任分弦之兩分與兩弧之正弦各相似
解曰有圏徑乙辛截丙丁通弦於己截丙
乙丁通弧於乙其丙乙乙丁兩分弧之各
正弦為丙甲戊丁題言丙己己丁兩分弦
與甲丙戊丁兩正弦比例等
論曰丙甲己丁戊己兩角形相似何者兩形有相等之
[087-14b]
己交角有相等之兩直角即丁角與丙角必等一卷三/十二
是形與形邉與邉俱相似而丙己己丁兩分弦之比例
與丙甲丁戊兩正弦自相似
第五題三支/
三不等角形作垂線任分底為二其大分依大邉大邉上
方大於小邉上方其較為底全線偕分餘線矩内形
先解曰丁乙丙角形三邉不等丁乙小丁
丙次之乙丙大為底凡邉大/者為底從丁角作垂
線至底題言分底為二者謂垂線之甲㸃
[087-14b]
在形内蓋乙丙邉大即對角之乙丁丙角
[087-15a]
亦大乙丙兩角必小如謂㸃在形外即以乙丙邉引長
於己而令己作直角將丁己乙三角形内有丁乙己鈍
角甲乙丁為/銳角故也又有己直角是兩角大於兩直角也可乎
次解曰丁甲垂線任分乙丙底題言甲丙大分依丁丙
大邉
論曰丁丙邉既大於丁乙邉即其上方形
亦大而丁丙上方與甲丁甲丙上兩方幷
等一卷四/十七則甲丁甲丙兩邉幷亦大於甲
[087-15b]
丁甲乙兩邉幷試减同用之甲丁則所存
甲丙亦大於甲乙是甲丙大分依丁丙大邉也
三解曰丁丙方大於丁乙方其較乙丙偕戊丙矩内形
論曰試截甲戊與甲乙等其乙戊線平分於甲有引增
戊丙線則乙丙偕戊丙矩内形及甲戊上方形幷與甲
丙上方形等二卷/第六次各加一甲丁上方形則乙丙偕戊
丙矩内形及乙甲即甲/戊也甲丁上兩方形或丁乙上方形
乙甲甲丁兩方幷與/丁乙方等一卷四七與甲丙甲丁上兩方幷或丁丙上
方形俱等夫丁乙上方形内有甲乙甲丁上兩方形獨
[087-15b]
少乙丙偕戊丙矩内形則丁丙上方大於丁乙上方形
[087-16a]
之較為乙丙偕戊丙矩内形
第六題四支/
三不等角形從角作垂線任分底為二知其邉數即知各
分數
解曰同前圖乙甲甲戊等戊丙為任分之較
法曰丁乙丁丙上兩方之實相减餘者以底
數而一得戊丙以减底數餘者半之得乙甲
小分如丁丙十五丁乙十乙丙底十八丁丙自之得二百二
[087-16b]
十五丁乙自之得一百相减存一百二十五以底十八為法
而一得六又十八之十七戊丙也以减十八存十一又十八之
一乙戊也半之得五又三十六之十九乙甲也
次解曰依二卷十三題乙丙為兩銳角則丁丙上方小於
丁乙乙丙上兩方其較為乙丙偕乙甲矩内形二
法曰用前數乙丁一百乙丙三百二十四兩方形幷為
四百二十四减去丁丙方形之數二百二十五存一百
九十九為實底數一十八為法而一得乙甲之數約之
為五又三十六之十九者二
[087-16b]
三解曰以丁大角為心丁乙小邉為界作全圏截丁丙
[087-17a]
於己乙丙於戊丁丙引長於辛丁乙丁辛兩半徑等則
辛丙偕己丙與乙丙偕戊丙兩矩内形等三卷三/十六乙甲
甲戊又等三卷/三丙乙大邉有戊丙分在圏外
法曰用前數丁丙十五加丁乙十或丁辛
得辛丙二十五丁己與丁乙等則辛己徑
為二十以己丙五乗辛丙得一百二十五
為實乙丙十八為法而一得六又十八之
十七為戊丙有戊丙得乙戊平分乙戊得乙甲
[087-17b]
四解曰以丁大角為心丁丙大邉為界作全圈乙丙底引
長於戊丁乙邉引長於庚於己即庚乙乙己矩内形與丙
乙乙戊矩内形等三卷三/十五丙甲甲戊既等庚丁
丁丙亦等庚乙邉二十五丁丙丁乙兩邉幷亦
二十五丁己丁丙各十五减丁乙十存乙己五
與庚乙相乗得一百二十五為實乙丙十八為法而一得六
有竒為戊乙以加乙丙十八得戊丙平分得丙甲
第七題
斷比例之四率以三推一名三率法
[087-17b]
解曰四幾何為兩比例等先有三推得第四或同類或
[087-18a]
異類其前其後不得更易用反理亦用轉理列第一第
二第三率即可推第四率依七卷十九題中率相乗與
首尾兩率相乗得數等故二三相乗為實第一為法而
一得四率也昔人因其用大算家必需稱為全法焉同/類
異類反理轉理/俱見幾何四卷
第八題
三邉直角形銳角為心底為界作象限圏半徑為全數在
心角對邉為其弧之正弦其旁為正弧之餘餘弧之正
[087-18b]
解曰如前圖甲乙丙直角形乙銳角為心乙丙底為界
作丁己象限圏引乙甲邉於丁從心作乙
己垂線題言甲直角乙丙為對邉作全數
本界/說八丙甲邉為在心角之對邉即丁丙弧
之正弦本界/說五而甲乙邉為丁丙正弧之餘弦為丙己餘
弧之正弦所以然者試從丙作丙戊與甲乙平行甲直
角丙戊乙亦直角則丙戊甲乙兩線等一卷三/十四丙己弧
為丁丙正弧之餘弧丙戊為丙己餘弧之
正弦為丁丙正弧之餘弦甲乙/同
[087-18b]
又如後圖用銳角丙為心乙為界則乙甲
[087-19a]
為丙角之對邉為乙丁正弧之正弦甲丙其餘弦乙戊/同
第九題
三角形邉與邉之比例若各對角之正弦
解曰題一言直角形依前論各邉為對角
之正弦在心角與正弧與正弦俱同理則
弧與弧弦與弦角與角其比例俱等二言
三邉等即三角俱等一卷/五角之正弦亦等
則邉與邉皆若角與角三言己乙丙雜角
[087-19b]
形三邉形不等則以己乙小邉引長於丁為乙丁與己
丙等丙為心己為界作己庚弧又乙為心丁為界作丁
戊弧末作丁辛甲己兩垂線至乙丙底
論曰丁辛乙甲己乙兩直角形之丁辛甲己平行同用
乙角即各邉俱相似六卷/四則乙丁與乙辛若乙己與乙
甲又先設乙丁己丙等是丙己邉與丁辛若己乙邉與
甲己也夫丁辛為乙角之正弦甲己為丙角之正弦更
之則丙己邉與己乙邉若乙角正弦之丁辛與丙角正
弦之甲己也
[087-19b]
第十題
[087-20a]
有三角即有三邉之比例
解曰直角形設一銳角自有其二一卷三/十二三邉等形設
一邉自有其三兩邉等形有腰間角以减兩直角平分
其較自得底上角雜角形有兩角幷以减兩直角其較
為第三角雜角者總直鈍銳也/下文以直角為例如乙角四十二度查正
弦得六六九一三丙角四十八度得七四
三一四則丙甲邉與乙甲邉若六六九一
三與七四三一四約之為三十三與三十
[087-20b]
七有竒也其乙丙與丙甲若全數與乙角之正弦六六
九一三也鈍角同理
第十一題
三角形有設角之比例即有各角之幾何
解曰乙丙丁角形丁角與乙角若三與四乙角與丙角
若四與六題言可得各角之幾何
論曰三幾何分之有比例幷之亦有比例
五卷/十八乙丙丁三角幷得十三其與丙若十
三與六與丁若十三與三與乙若十三與
[087-20b]
四
[087-21a]
如求每角幾度則用三率法三角幷為第一兩直角幷
一百八十為第二每角之分數為第三推之得第四
或用四卷八題之法三與四四與六四數横列之以第
一第三相乗所得為第一率以第二第三相乗所得為
第二以第三第四相乗所得為第三再用/前法又如乙與丙
若三與四丙與丁若五與六列數如圖
[087-21b]
第十二題 論直角三邉 四支/
三角形有銳角及直角之對邉求餘邉
一法曰置弦三角形之弦直/角之對邉也如乙丙二丈
五尺乙角三十六度五十二分丙角必五
十三度○八分求丙甲邉以乙角為心作
[087-22a]
丁丙戊象限弧則乙丙全數也丙甲邉乙角之正弦也
一率甲直角之全數十萬
二率丙乙邉外數二十五尺言内者八線表數言外者/今所求得數如丈尺等
三率乙角三十/六一度五十二分 或用丙角五十三度
正弦内數五九九九五 其正弦内數八○○○三
四率得一四九九約得一丈四尺 四率得二丈
為甲丙邉外數 為甲乙邉外數
用加减法
[087-22b]
凡全數為第一率如置十萬即第二第三率之數進
為萬加○若過萬則退位兩率各當正弦向各表上
取其弧兩弧幷而相减求總存兩弧之各餘弦若總
數過九十者兩餘弦相加其半為第四率總數不過
九十者兩餘弦相减所存半之為第四率
如全數與二十五若五九九九五與所求數法二十
五作二萬五千正弦表取其弧得十四度二十九分
查第三率得三十六度五十二分兩弧幷得五十度
二十分其餘弦為六三八三三相减存二十二度二
[087-22b]
十四分其餘弦九二四五五兩餘弦之較二八六二
[087-23a]
三半之得一四三一為第四率與三率乗除所得同
用切割兩線
二法曰丙乙角為心甲為界作甲戊己
弧截乙丙於戊則乙甲邉全數也甲丙
乙角之切線也乙丙乙角之割線也有
乙設角即有其切線與割線而求甲乙邉則乙角之
割線與乙丙外/若乙甲全數與乙甲外/又求甲丙邉
則乙角之割線與乙角之切線若乙丙外/與丙甲外/
[087-23b]
一乙角三十六度五十二分之割線三四九九五
二乙丙外邉二十五 或二乙角之切線七四九九一
三全數十萬 ○三乙丙外邉二十五
四得二十為外甲乙邉 四得十五為外甲丙邉
三法曰設直角傍之一邉如乙丙甲角
五十三度八分用正弦則乙丙為全數
其法為丙角之正弦與乙甲外數若甲
直角之全數與乙丙底外數
丙角五十三度八分之正弦八○○○三
[087-23b]
乙甲邉外數二十
[087-24a]
乙丙全數十萬 乙角之正弦五九九九五
得二十五强即乙丙底外數 得一十五强乃甲丙邉外數
用割切二線
四法曰設乙甲邉與乙角則甲乙全内/數
與其外數若乙丙割線内/數與其外數或
若甲丙切線内/數與其外數底與邉俱得
乙甲全數十萬
乙甲邉數二十
[087-24b]
乙角割線内數一二四九九五 乙角切線内數七四九九一
得二十五强即乙丙外數 得一十五强即甲丙外數
第十三題三支/
有兩邉求餘邉又求其角
一支兩邉在直角之傍
一法曰先求邉用勾股法兩邉數自之幷
而開方得直角之對邉一卷四/十七次以邉求其角因角與
角之比例若邉與邉用正弦數為丙乙邉之外數與甲
角之全數若丙甲邉外數與乙角之正弦亦若甲乙邉
[087-24b]
外數與丙角之正弦
[087-25a]
丙乙外數五
全十萬
甲乙外數三 甲丙邉外數四
用剖切線
二法曰丙銳角為心丙甲為全數甲乙
其切線丙乙割線也先求角則甲丙邉
外數與全數若甲乙邉外數與丙角之切線
[087-25b]
丙甲外數四
全十萬
甲乙邉外數三
得七五○○○為丙角之切線查得三十六度五十二分
有丙角自有乙角而求丙乙邉則全數與甲丙外數若
丙角之交線與丙乙外數
全十萬
甲丙外數四
丙角交線一二五○二二
[087-25b]
得五為丙乙邉外數
[087-26a]
二支一邉為直角之對一邉在直角之傍
三法曰先用勾股法兩設邉各自之相减餘開方得所
求邉有邉求角則角與角之比例若邉與邉
四法曰不用開方用第一支求角法有二
邉即有對角之數次求邉則丙乙全數與
丙乙外數若乙角之正弦與丙甲外數
全數十萬
乙丙外數五
[087-26b]
乙角之正弦八○○○三
得四為甲丙邉外數
用割切兩線
五法曰求角用乙角之割線則乙甲外
數與全數若乙丙外數與乙丙内數内
乙丙者乙角之割線也
乙甲邉外數三
全數十萬
乙丙外數五
[087-26b]
得一六六六六六為乙角之割線查得五十三度五十二分丙角三十六/度○八分
[087-27a]
六法曰求邉用乙角之切線則乙甲内全數與乙甲外
數若乙角之切線與甲丙外數
乙甲内全數十萬 或乙角之割線一六六六七九
甲乙外數三 乙角之切線一三三三四九
乙角之切線一三三三四九 乙丙邉外數五
得四為甲丙邉外數 得四為甲丙邉外數
又問有一邉及兩邉之比例餘邉幾何
法曰設一邉與第二邉有比例或大或小則
[087-27b]
以大比例為前數為第一率設邉數為二率
比例之後數為三率用三率法得四率為第三邉之數
次用勾股法求第三邉如乙甲一丈乙甲與甲丙若二
十與二十五得甲丙一丈二尺五寸次用開方求之
又問設兩邉總之較問各邉若干此測量不常用見勾
股索隠
又增題 三邉直角形設兩腰以求角
法曰設甲乙七十五甲丙百則以乙丙底平
分於丁作丁戊垂線交丙甲腰於戊從戊至
[087-27b]
乙角作戊乙線是與戊丙等一卷/十次以戊為
[087-28a]
心乙為界作丙乙己半圏丙甲腰引長至己
即乙甲為丙甲甲己之中比例線六卷/十三是乙
甲上方形與丙甲甲己矩内形等次以乙甲
邉自之以丙甲邉而一得甲己知丙己徑之
數即知丙戊及戊乙半徑之數用三率法外戊乙與全
數若外乙甲與乙戊甲角之正弦夫乙戊甲在心角也
丙在弧角也弧角半於心角則因乙戊/甲角得丙角三卷/二十
題/
[087-28b]
甲乙七十五自之五千六百二十五甲丙百而一得五
十六又四之一與丙甲幷得一百五十六又四之一即
丙己半之得七十八又八之一即丙戊半徑
戊丙七八又八之一
全十萬
甲乙七五
乙己弧正弦九六○○○
查得七十三度二十二分半之得三十六度四十一
分用切線甲丙全數也丙甲為丙乙甲角之切線則
[087-28b]
甲丙一率也全數二率也甲乙三率也所得丙角之
[087-29a]
切線也
第十四題論雜角三邉形/
有三角及一邉求第二第三邉
解曰依前論邉與邉若角與角如設乙角六十○度丁
角三十六度丙角八十四度乙丙邉一十○
歩
法曰所有邉其對角之正弦為第一率邉數
為二率所求邉對角之正弦為三率得四率即所求邉
[087-29b]
數
丁角之正弦五八七七九
乙丙邉數一十
丙角之正弦九九四五二 乙角之正弦八六六○○一
得十七為丁乙邉 得十五為丙丁邉
若三角形有鈍角當借用其餘角之正弦
第十五題三支/
有角及其旁兩腰求餘邉餘角
一支不論角之體勢 如丁乙丙角形乙丁邉一十二
[087-29b]
歩丁丙一十五歩丁角二十四度三十七分而求乙丙
[087-30a]
邉乙角丙角先以丙丁邉引長之丁為心乙
為界作乙壬辛戊弧截引長邉於戊次作戊
乙通弦從丁作丁庚辛線與丙乙平行末平
分戊乙弦作丁甲壬線
解曰乙丁丙角二十四度半强則乙丁戊角
必一百五十五度半弱庚丁戊角與丙角等在平行/線内庚
丁乙角亦與丁乙丙角等蓋丁乙線交兩平行線故其
相對兩内角等則乙丁邉與丙角之正弦或庚丁戊角
[087-30b]
之正弦若丁丙與乙角之正弦或庚丁乙角之正弦依
顯戊庚弦與庚乙弦若庚丁戊角之正弦與乙丁庚角
之正弦亦若乙丁一十/二與丁丙一十/五也本卷/四題次以乙丁
丁丙同比例之戊庚庚乙幷得戊乙二十七半之得甲
戊一十三又半為外一率甲丁戊角之切線為内二率
甲戊内减比例之小數戊庚存甲庚一有半為外三率
求得甲丁庚角之切線為内四率查得本角之度知甲
丁戊角則亦知甲戊切線知甲庚庚戊之比例則亦知
甲丁庚角之切線甲庚也甲丁庚為乙丙兩角之較以
[087-30b]
加减得各角之數
[087-31a]
乙丁邉十二丁丙邉十五總二十七代以乙戊也半之
得十三半甲戊也减比例小數即十二餘一半甲庚也
丁角二十四度三十七分乙丙兩角幷得一百五十五
度二十三分即戊丁乙也其半七十七度四十一分甲
丁戊也
法曰乙丁丁丙兩邉數幷半之為第一率乙丁戊角之
數半之為甲丁戊其切線為二率甲戊内减去比例之
小數十二所存甲庚為三率得甲丁庚角之切線查度
[087-31b]
以减甲丁戊外角所存為庚丁戊角之度即丙角之度
既得角則用前法求邉或兩腰總數作第一/率兩腰較作第三率
甲戊十三有半
甲丁戊角之切線四五八○○一
甲庚有一半
得五○八一五為甲丁庚角之切線查得二十六度五十六分
甲丁乙角七十七度四十一分加甲丁庚角二十六度
五十六分共一百○四度三十七分即丁乙丙角也又
甲戊丁角七十七度四十一分减甲丁庚角二十六度
[087-31b]
五十六分餘五十度四十五分為丙角則乙丁邉與丁
[087-32a]
丙邉若丙角與乙角
二支所設為鈍角解曰如丁乙丙角形丙
鈍角一百三十度丁丙邉一十二歩丙乙
邉一十五歩用設邉如乙丙引長之從丁
作垂線至引長邉得甲㸃在形外何者甲
乙丁角形有甲直角丁丙乙角形有丙鈍
角則丙丁乙丙乙丁兩角小於甲丁乙丁乙甲兩角蓋
每角形之三角幷等兩直角鈍大於直則所餘兩角幷
[087-32b]
必小於直角之兩餘幷矣故丁甲線在丙丁之外丁丙
乙角既一百三十度甲丙丁其餘角也必五十度丙丁
甲角必四十度一法用正弦用開方丁角為心丁乙邉
為界作戊乙辛圏分又丁丙為界作午丙子象限圈即
甲丁丙直角形有丁丙邉十二歩甲丙丁角五十度丙
丁甲角必四十度而求甲丁甲丙兩邉其法全數與丁
丙若甲丙丁角之正弦與甲丁甲丙亦如之既得兩邉
開方求丁乙邉甲丙丙乙幷之得/勾丁甲為股故也
全數十萬
[087-32b]
丁丙邉外數十二
[087-33a]
甲丙丁五十度角之正弦七六六○四 甲丁丙四十度角之正弦六四二七九
得九又一百之十九為甲丁邉外數 得七又一百之七十一為甲丙邉外數
甲乙二十二又一百之七十一/甲丁九又一百之十九自之幷得一萬之六
○○二四三五開方得一百之二四四九即丁乙邉
約之得二十五不足有三邉以求角則丁乙邉與全
數若丁丙邉與乙角之正弦查得二十二度有竒
用割切兩線丁為心作甲己象限圏即丙丁為丙丁甲
角之割線甲丙其切線也乙丁為乙丁甲角之割線甲
[087-33b]
乙其切線也甲丙丁角有五十度其形内有丁丙兩銳
角有丁丙邉十二歩而求甲丁甲丙兩腰
得甲丁九歩又一百之一十九甲丙七歩
又一百之七十一以丙乙丙甲幷為甲乙
邉二十二歩有竒則甲丁乙三角形有甲
丁甲乙兩邉開方求丁乙底得二十四歩
半有竒
甲丁丙角割線一三○五四
丁丙邉外數十二
[087-33b]
全數十萬 甲丁邉角切線八三九一○
[087-34a]
得九又一百之十九為甲丁邉外數
有三邉以求角則甲丁邉外數與全數若甲乙邉外數
與乙丁甲角之切線
甲丁邉數九歩一十九分
全數十萬
甲乙邉之數二十二歩七十一分
得二四七一一六為乙甲丁角之切線查得六十度五十分
三支所設為銳角解曰如丁乙丙角形乙銳角二十四
[087-34b]
度二十七分丁乙邉三十六歩乙丙邉五十二歩十五
之十一一法用正弦數亦用開方從乙丙底之對角丁
作垂線分元形為甲乙丁甲丙丁兩形次以丁為心丙
為界作寅丙壬弧又以乙為界作辛乙庚
弧夫甲乙丁角形丁乙為全數設乙角則
甲丁為正弦甲乙又丁角之正弦用法求
甲丁為一十五歩求甲乙為二十二歩又
一十五之一十一則以甲乙减丙乙存甲
丙線二十歩依顯丁甲丙角形有丁甲一十五歩甲丙
[087-34b]
二十歩用開方法求丁丙得五歩末以三邉求甲丙丁
[087-35a]
角得三十六度五十○分
全數十萬
丁乙邉外數三十六
乙角之正弦四六六七 乙角之餘弦九○九○六
得十五為丁甲邉外數 得二十三又十五之十一為乙甲邉外數
丁丙邉二十五
甲丁邉十五
全十萬
[087-35b]
得六○○○○為丙角之正弦查得三十六度五十五分
用割切兩線丁為心丁甲垂線為界作己甲午半圏丁
甲乙角形丁甲為全數丁乙邉為乙丁
甲角之割線甲乙其切線也又丁甲丙
角形丁甲為全數丁丙邉為丙丁甲角
之割線甲丙其切線也丁乙甲角形有
丁乙邉三十六歩有丁角為乙之餘角
六十五度二十二分用法求丁甲甲乙兩邉於丙乙
减甲乙存二十為甲丙邉又丁甲丙角形有丁甲甲
[087-35b]
丙兩邉用法求丙角亦求丁丙邉
[087-36a]
乙丁甲角之割線二三九九九九
丁乙外邉三十六
全數十萬 乙丁甲角之切線二一八一七三
得十五為所求外丁甲 得三十二又十五之十一為外甲乙
求角甲丁邉十五
全數十萬
甲丙邉二十
得一三三三三三為甲乙丙角之切線查得五十三度○七分
[087-36b]
求邉全數十萬
甲丁丙角之割線一六六六六五
丁丙邉十五
得二十五弱為丁丙邉
甲丙甲丁兩邉之正方實幷而開方得丁丙二十五弱
第十六題四支/
雜角形設兩邉及一邉之對角求餘邉餘角
一支不論角之體勢依邉與邉若角與角比
例之法
[087-36b]
先求乙角則丁乙為外一率其對角即丙/角之
[087-37a]
正弦為二率丁丙為外三率所得為乙角之正弦以丁
二十五歩弱丁丙十二歩丙角百三十度列數得之
丁乙邉二十五歩弱
丙一百三十度用五十度角之正弦七六六○四為/一
弦當大/小兩弧
丁丙邉十二
得三七五○○為乙角之正弦查得二十二度○二分
幷乙丙兩角之度以减一百八十餘二十七度五十八
[087-37b]
分得丁角
次有角求丙乙邉則乙角之正弦與外丁丙若丁角之
正弦與外丙乙
乙角之正弦三七五○○
丁丙邉十二
丁角之正弦四七○○○
得十五為丙乙邉
二支所設為鈍角數如/前用所設兩腰間之丁角為心以
丙以乙為界各作弧用正弦數如十四題第一圖丁丙
[087-37b]
乙鈍角一百三十度則甲丙丁角必五十度丙丁甲角
[087-38a]
必四十度甲直/角故求甲丁邉用前法如一/圖
又甲丁乙角形有甲丁邉九歩又百分之
一十九分丁乙邉二十四歩求甲乙丁角
如二/圖 又丁丙乙角形有乙角有丁丙乙
角依前法求丙乙邉如三/圖
全數十萬
丁丙邉十二
甲丙丁五十度角之正弦七六六○四
[087-38b]
得九又一百之十九為甲丁邉數
丁乙邉二十四歩半 乙角之正弦三七五○
全十萬 丁丙邉十二
甲丁邉九歩又一百之十九 丙甲乙角之正弦四六八九六
得三七五一為甲乙丁角之正弦 得十五為乙丙邉
用割切兩線甲丁為全數丁丙為甲丁丙角之割線甲
丙其切線也丁乙為甲丁乙角之割線
甲乙其切線也今有丁丙乙角一百三
十度餘角甲丙丁必五十度則甲丁丙
[087-38b]
直角形有兩角有丁丙對直角之邉而
[087-39a]
求甲丁邉
一圖
甲丁丙四十度之割線一三○五四一
丁丙邉十二
全數十萬
得九又一百之十九為甲丁邉外數
二圖
或甲丁丙角之切線八三九一○為三率
[087-39b]
得七又半不盡為甲丙邉外數
三圖
甲丁邉九有竒
丁乙二四半
全數
得二六六五九四為甲丁乙割線查得六十七度二十三分乙角之度二十/二度○十○分
四圖
全數
甲丁邉九有竒
[087-39b]
丙切線之較一六一三五
[087-40a]
得十五為丙乙邉
又甲乙為甲丁乙角之切線甲丙為甲丁丙
角之切線丙乙為兩切線之較則全數與甲
丁邉若切線之較與丙乙如四/圖
三支三角形有兩邉及銳角其二亦銳角如丁乙丙形
有丁乙邉三十六歩丁丙邉二十五歩丁
乙丙銳角二十四度三十七分丁丙為其
對邉法用所設兩腰間之丁角作甲丁垂
[087-40b]
線至丙乙邉用正弦數丁為心丙為界作
戊丙弧乙為界作己乙弧即甲丁乙角形有丁乙邉有
乙角可求甲丁甲/乙兩邉如一/二圖甲丁丙角形有甲丁丁丙兩邉
可求丙角如三/圖可求丙甲邉如四/圖
一圖
全數十萬
丁乙邉三十六
乙角之正弦四六六七
得十五為甲丁邉外數
[087-40b]
二圖
[087-41a]
或乙丁甲角之正弦九○九○六為三率
得三十二又十五之十一為甲乙邉外數
三圖
丁丙邉二十五
全數十萬
甲丁邉十五
得六○○○○為甲丙丁角之正弦查得三十六度五十○分
四圖
[087-41b]
全數十萬
丁丙邉二十五○○○○
甲丁丙角正弦八○○○○
得十五為甲丙邉外數
用割切兩線丁乙為乙丁甲角之割線甲乙其切線也
即甲丁乙角形有丁乙六十三歩乙角二
十四度三十七分可求丁甲甲乙兩邉如/一
二/圖又甲丙丁角形有甲丁丁丙兩邉可求
甲丁丙角甲丙邉如三/四圖
[087-41b]
一圖
[087-42a]
乙丁甲角之割線二三九九九九
全數十萬
丁乙邉三十六
得十五為甲丁邉外數
二圖
或乙丁甲角之切線二一八二五一
得三十二又十五之十一為乙甲邉外數
三圖
[087-42b]
甲丁邉十五
全數十萬
丙丁邉二十五
得一六六六七九為甲丁丙角之割線查得五十三度八分
四圖
全數十萬
甲丁丙角之切線一三三四九
甲丁邉十五
得二十七又十五之四為甲丙邉外數
[087-42b]
四支所設為銳角有兩邉其旁為鈍角
[087-43a]
一法用正弦數如丁乙邉二十四歩半丁
丙邉一十二歩乙銳角二十二度○二分
丙為鈍角用第二支圖作丁甲垂線即甲
丁乙直角形丁乙二十四歩可求甲丁甲
乙兩邉如一/二圖甲丁丙直角形有甲丁丁丙兩邉可求甲
丁丙角如三/圖甲丙邉如四/圖
一圖
全數十萬
[087-43b]
乙丁邉二十四歩半
乙角之正弦三七五一五
得九歩又一百之十九為甲丁邉
二圖
或甲丁乙角之正弦九二六九七為三率
得二十二又一百之七十一為甲乙邉
三圖
丁丙邉十二
全數
[087-43b]
甲丁邉九又一百之十九
[087-44a]
得七六六○一為甲丁丙角之正弦查得五十度
四圖
全數
丙丁甲角之正弦六四三○一
丁丙邉十二
得七又一百之七十五為甲丙邉外數
用割切兩線法與前同
第十七題
[087-44b]
三角形有三邉求三角
三邉等則三角亦等各角皆六十度於一
百八十度為三分之一或兩邉等如丁乙
丁丙法從丁作丁甲垂線至乙丙底分本
形為甲丁乙甲丁丙兩角形而等何者丁乙丁丙兩腰
等乙甲甲丙又等丁甲同腰則兩形必等一卷/八即甲乙
丁角形有丁乙腰乙甲半底依角與角若邉與邉用三
率法求之先置各腰五歩乙丙六半之為乙甲三推得
乙丁甲角倍之得乙丁丙角以减兩直角餘為乙丙兩
[087-44b]
角幷之數半之得兩角數為兩角等故
[087-45a]
丁乙邉五
全數
乙丙邉三
得六○○○○為乙丁甲之正弦查得三十六度五十二分
甲丁乙三十六度五十二分即所倍乙丁丙為七十三
度四十四分以减一百八十存一百○六度一十六分
為乙丙兩角之幷數半之得五十三度○八分為乙丙
兩角之各本數
[087-45b]
或各邉不等如丁乙丙角形丁乙一十歩丁丙一十五
歩丙乙一十八歩用丁角為心此角在兩/小腰間
丁乙為界作戊乙己辛圈而以丙丁邉引
長至戊依五題求甲乙得五歩半甲丙得
一十二歩半即甲丙丁直角形有丁丙甲
丙兩邉求得丙丁甲角如一/圖因得甲丙丁角又甲丁乙
直角形有丁乙甲乙求得甲丁乙角如二/圖因得甲乙角
又幷兩角得丙丁乙角亦得丙乙兩角為是丁上兩角
之餘故
[087-45b]
一圖
[087-46a]
丁丙邉十五
甲丙邉十二半
全數
得八三三三三為丙丁甲角之正弦查得五十六度二十六分
二圖
丁乙邉十
乙甲五半
全數
[087-46b]
得五五○○○為甲丁乙角之正弦查得三十三度二十
二分即丙角
[087-46b]
新法算書卷八十七
