[093-1a]
欽定四庫全書
新法算書卷九十三 明 徐光啟等 撰
測量全義卷七 球面曲線形
圏内線相當之理
每弧毎角有八種線曰正弦曰正切線曰正割線曰正矢
曰餘弦曰餘切線曰餘割線曰餘矢幷全數為九種諸
線内各有相當之理皆依三邊形等角比例法㡬何六/卷四題
如上圖丙丁為正弧甲丁為正弦
[093-1b]
丙辛為正切線乙辛為正割線甲
丙為正矢戊丁為餘弦己壬為餘
切線乙壬為餘割線戊己為餘矢乙己乙丁乙丙皆全
數也即辛丙乙壬己乙兩形相似何者己丙兩直角己
乙辛丙為平行線辛乙直線割兩平行即其相對兩内
角必等既丙辛乙壬乙己兩角等即其對邊相似
一全數為正弦餘割線兩率之中率
如丙丁弧之正弦為甲丁全數為
丁乙餘割線為乙壬則甲丁與丁
[093-1b]
乙若乙己與乙壬矣丁乙乙己皆
[093-2a]
全數必等則甲丁與丁乙若丁乙與乙壬也
又全數為餘弦正割線之中率如戊丁與丁乙若丁乙
與乙丙/等故與乙辛
一系凡四率全數為中率或二/或三若第一率
為正弦即棄正弦而變餘割線為中率全
數為第一省而一 若第一率為餘弦則
變正割線為中率 若第一率為正割線則變餘弦
若第一率為餘割線則變正弦 凡所變者皆以易全
[093-2b]
數而使為第一率
論曰凡有連比例之三率一率與二如二/與六若二率與三
如六與/十八别有二數其比例若連理之一率與二如八與/二十四
即可代用或連理之一率與二如二/與六若他數與别數八/與
二十/四可也或連理之二率與三六與/十八若他數與别數八/與
二十/四亦可也為其比例等故也皆三/之一今連理之一率為
甲正/弦二率為乙全/數三率為丙餘割/線次有斷理之第三率
丁第四率戊即可代用謂一甲正/弦與二乙全/數若三丁與
四戊可也謂二乙全/數與三丙餘割/線若三丁與四戊亦可
[093-2b]
也是于連理之三率二比中棄前比而用後比初以全
[093-3a]
數為第二餘割為三今以全數為一餘割為二也
如三十八度一十七分之正弦六一九五五與全數若
三十度之正弦與某數常法二三率相乘以一率為法
而一得第四今法用三十八度一十七分之餘割線一
六一四○七為二率以易全數而為第一以二三率相
乘即得第四何者正弦全數餘割線為連比例故也
二系凡四率中無全數若第一率為正弦則變餘割線
為第一率若第一率為餘弦則變正割線為第一率法
[093-3b]
用一二率相乘得數以全為法去後五位所存若干位
與全數等而一又以乘第三率得數如前而一得四率
名為而一者再皆以全數為法止减末位不/難也常法一乘一除此用兩乗猶是㨗法
假如一十八度四十○分之正弦三二○○六與二十
五度三十七分之正弦四三二三一若六十三度三十
二分之切線二○○八六二與某數其常法二三率相
乘第一率而一今用㨗法取一十八度四十分之餘割
線三一二四三九乘第二率四三二三一得一三五○
七○○○○○○為實以全數為法而一得一三五○
[093-3b]
七○又以第三率一二四三二二乘之得一六七九二
[093-4a]
二○○○○○以全為法而一得一六七九二二為四率
二三○七三五 六十四度十九分之正割線
又假設三率如一二二三四一
二三四三二
第一率變取六十四度十九分之餘弦四三三四○以
乗第二率得數减後五位以所存乘第三率得數又减
後五位所存即第四率
二全數為正餘兩切線之中率
[093-4b]
如上圗辛丙與丙乙若乙己與己壬
何者丙乙乙己皆全數則辛丙丙乙或乙/己己壬為三率
連比例
系凡四率斷比例全數為中率若第一為正切線變餘
切線為中率以易全為第一若第一為餘切線變正切
線為中率以易全為第一
三正弦與餘弦若全數與餘切線餘弦與正弦若全數與
正切線
如前圗甲丁與丁戊即甲/乙故若乙己與己壬戊丁即甲/乙故與
[093-4b]
甲丁若乙丙與丙辛
[093-5a]
系四率斷比例若一二率為正弦與餘弦變為全數與
餘切線若為餘弦與正弦變為全數與正切線
四凡兩弧之正割線與其餘弦為互相視之線兩弧之餘
割線與其正弦為互相視之線
如上圗丙癸丙丁兩弧丙癸弧之正
割線為乙寅丙丁弧之正割線為乙
辛丙癸弧之餘弦為庚癸丙丁弧之
餘弦為戊丁則乙寅與乙辛若戊丁
[093-5b]
與癸庚
論曰全數在正弧丙/癸為其正割線乙/寅及其餘弦癸/庚之中
率在他弧丙/丁亦為其正割線乙/辛及其餘弦丁/戊之中率兩
理之各前後矩内形各與全數上方形等各為其/中率故即兩
矩内形自相等其邊互相視㡬何六/卷十四
五凡兩弧之正切線與其餘切線為互相視之線同上論
卷中諸圏皆以曲線當圎球之大圏相交相截人目視球
曲面或近或逺或上或下或左或右所見不同有時視曲
線而為直線即同是曲線而形象不一葢平面圖球不能
[093-5b]
盡球之理宜從論説中領其意義乃得耳
[093-6a]
圓球原本内借論題 古徳阿多西阿撰
一大圏皆與球同心 系大圏皆相等若從大圏分球過
心必為兩平分一卷/六
二兩大圏於球上相交各為兩平分
三反之兩圏於球上相分為兩平分必兩皆大圏一卷十/一十二
如赤道/黄道等
四大圏過他圏之兩極必相交為直角一卷十五題如子/午圏過赤道極則
兩圏交處/皆為直角
[093-6b]
五大圏與本極距一象限九十度
六大圏交兩大圏若作直角則元圏之極在兩圏之交
如赤道與極至交圏極分交圏為直角則兩圏之交在
赤道極
七大圏三百六十平分之小圏亦然但小圏去離大圏一
分其小圏之各分必小於大圏之各分
八兩大圏相交其交角必等或上或下兩角幷必等兩直
角與直線相交同理
九球上大圏不能相偕為平行弧一心止一圏故也若同
[093-6b]
心而能為多圏則是距等小圏非大圏矣
[093-7a]
分球上三角形之各類
球上圏相交成三角形若三皆大圏之弧此形為大測之
本若有小圏之一弧即未能定圏大小之數/安能定其弧數明大測不用小圏之弧也
球上角形或三邊等其角必等邊之度若四之一九十/度則
角為直角過四之一則鈍角不及則鋭角如正球之赤/道地平子午
圏皆相交為直角/則各邊俱九十度
或二邊等其對角亦等若邊過象限為鈍角不及為鋭
角或各邊不等各角亦不等
[093-7b]
球上角形或三直角其邊皆四之一或兩為直角其兩對
邊皆四之一此二類自明勿論所論者一為直角餘或
鈍或鋭各有本法如左
一圗外大圏内兩大圏分皆相交為直角則各圏之極
在他兩圏之交用號作十者指直角作○/者指鈍角作丨者指鋭角
邊云多者謂過四之一/云少者謂不及四之一
二圗兩直角形第三角或鋭或鈍己上二/圗俱不
論/
三圗甲乙丙形甲為直角餘皆鋭其邊少
[093-7b]
甲丙戊形甲直角丙鈍戊鋭鈍角之對邊
[093-8a]
大即甲已戊弧鋭角之對邊小即甲丙弧
或一直角兩鈍角如乙丙丁形乙丙兩鈍
角其對邊過四之一即乙壬丁弧
凡兩角或鋭或鈍若同𩔖其間所容弧不及四之一
直線三角形與球上曲線三角形異理
一直線形之三角幷與兩直角等曲線形之三角幷其數
不定但不能及四直角四直角者三/百六十度也
二直線形得兩角即得其三曲線形否
[093-8b]
三直線直角形有兩邊以句股開方法求其三曲線形否
四直線形有三角不能求三邊若干但得其比例耳曲形
設三角可推三邊若干
五直線形各邊能當全數曲線之各邊否
六兩直線形等角即兩形之邊有比例曲線等角形之邊
必等
七直線形但有一易法以垂線分元形是也曲形有六易
法
八直線形不過二種一直角二或鈍或鋭角其邊雖有長
[093-8b]
短不變其𩔖曲形邊有大小其法不同
[093-9a]
球上斜三角形因各角各邊不等分為九種或恒用或否/俱見下文
第一三角皆鋭其邊皆小於四之一如第/一圖
甲/形
第二三角皆鈍其一邊適足四之一其二
邊大於四之一後凡四之一皆言足小於/四之一者皆言少大於四
之一者皆言多/如第二圗乙形
第三三角皆鈍其兩邊多一邊少如三圖/丙形
第四三角皆鈍其三邊皆多如四圖/丁形
[093-9b]
第五一角鈍兩鋭其三邊皆少如三圗/戊形
第六一角鈍兩鋭其兩鋭間之一邊多鈍
角之兩旁少如四圖/己形
第七一角鈍兩鋭一鋭角之對邊少餘皆
多如三圖/庚形
第八一角鈍兩鋭鈍角之對邊足餘皆少如二圖/壬形
第九一角鈍兩鋭其邊皆不等一多一少一足如二圖/辛形
[093-10a]
球上三角形相易其法有五
第一甲乙丙直角形甲為直角於乙甲乙
丙各引長之滿象限為乙丁乙戊又甲丙
邊引長之作甲丙己象限次聨丁戊引至
己亦作象限乙丁乙戊俱象限則丁戊己/弧心為乙又丙甲乙為直角
乙丁戊亦直角則甲己丁己/遇于己而己為乙丁弧之心得丙戊己直
角形若甲乙丙形設甲乙乙丙兩邊若干
即有甲丁丙戊兩餘弧次丙戊己形有戊直角有丙戊
[093-10b]
邊即有己角其弧/甲丁
若元形有直角之對邊及直角旁一邊即
次形有直角旁一邊及其對角一圖/
若元形有二角即次形有一角一邊二圖/
若元形有一角及直角之對邊即次形有直角旁兩邊
三/圖
第二甲乙丙直角形於甲乙引長作乙丁
象限弧乙丙引至戊甲丙引至己皆滿象
限次作丁戊己象弧得丙戊己形次丙戊
[093-10b]
引至庚丙己至辛戊己至癸皆象弧次作
[093-11a]
庚辛癸弧成辛己癸形此形與元形甲乙丙相當何者
元形有乙丙兩角即次形有兩邊有乙角之弧戊丁即/有其餘弧戊己有戊
己弧卽有己癸邊與乙角之數等有丙角即/辛庚丙形之丙角弧為庚辛其餘弧為辛癸
元形之乙丙易為癸角乙丙邊餘為丙戊丙戊之/餘為戊庚是癸角之度
元形之甲乙邊易為辛己癸角甲乙弧之餘為甲丁其/對角為丁己甲或辛己
癸皆甲乙/之餘弧角
元形之丙甲邊易為辛己邊甲丙弧之餘為己丙己丙/弧之餘為辛己則辛己與
甲丙/等
[093-11b]
第三斜角形兩腰等角/或鋭或鈍兩腰引長至半周必相遇成他
形與元形相當如圖甲乙甲丙兩腰引至
丁成丁乙丙他形從乙丙作乙丙己成全
圏引乙甲至己丙甲至戊又成甲戊己他
形此兩他形者皆與元形相當何者有甲
乙邊自有其半周内之餘乙丁亦有其半
周内之餘甲已即乙丙與戊己等丙乙戊乙戊/己皆半周故又丁角
與甲角等凡兩大圏相交為兩角必等如/黄赤二道相交于春秋分是也丁乙丙為甲
乙丙之餘角乙丙丁為甲丙乙之餘角甲戊己為乙丙
[093-11b]
甲之餘角甲己戊為丙乙甲之餘角則元形變易而生
[093-12a]
兩形各相似相當 問本用曰元形邊大多于/象限角鈍易
為次形邊小角鋭三角形六問中所用也六問詳/見後篇
第四甲乙丙三不等形從乙甲弧作甲辰戊全圏次甲
角為心作丁壬辰大圏分乙角為
心作戊癸寅大圏分丙角為心作
己丑夘大圏分三圏分必相交成
癸寅丑形此形與元形相當而元
形之邊易為角角易為邊何者甲
[093-12b]
壬弧滿一象限丙午同之减同用之丙壬即午壬與丙
甲等壬午弧限壬丑午角之度其
餘角為癸丑寅又甲丁乙戊皆象
弧减同用之乙丁即甲乙與丁戊
等丁戊為寅癸丑交角之度又乙
辛丙子皆象弧减同用之丙辛即
辛子與乙丙等辛子弧即辛寅子角之度則元形甲乙
邊易為次形之癸角甲丙邊易為癸丑寅餘角乙丙邊
易為寅角元形之三邊易為次形之三角邊易/為角
[093-12b]
又元形乙角之餘易為癸寅邊甲角易為癸丑邊丙角
[093-13a]
易為寅丑邊角易/為邊
第五凡斜角形設一角二邊法從他角作垂弧至其對
弧為直角如一圖若不能則引長其對/弧令受垂弧如二圖若
設二角一邊法從他邊之對角作垂弧
如圖乙丁丙形有丙角丙乙丙丁兩邊即
作乙甲垂弧分為兩直角形其甲丙乙形
有一角一邊可求其餘甲丁乙直角形先
得甲乙甲丁兩邊可求其餘
[093-13b]
凡底邊兩旁角為同類垂弧在形内若異類垂弧在形
外
凡曲線三角形如得實球即指畫易明
直角形直角之對邊名底斜角形大角之
對邊名底
凡言直角其邊小於象限則用之大於象限則依前法
變為小而用之
[093-14a]
球上直角形各邊角正弦等線之比例
第一題
直角形人數數即直角/之本數與某角之正弦若底弧之正弦與某
角對邊之正弦
欲明此論宜以渾體解之今權設渾象以堅厚楮作一
圓形中心折作直角半平者其弧如赤道之半周也半
立者其弧如極分交圏之半周也又作一半周形合於
全形之直角兩徑相切共為半圏面三一平一立一中
[093-14b]
居中者其弧如黄道之半周也中圏面上下㳺移任作
若干度角如黄赤道之相距又作九十度之兩弧上合
下分一置三半周之中如極至交圏為定弧一以下端
㳺移平弧上恒與平弧為直角上割中弧而遇定弧於
極㸃之上謂之㳺弧㳺弧之上容中平二弧之距度而
此一定一㳺兩弧者皆如過極之經圏也恒偕平弧為
三弧兩邊等直角形
今於平面作圖擬彼圓象用意推測聊足可明其諸名
義亦借渾天以便識别也如上圖乙丁寅圏為赤道乙
[093-14b]
丙癸為黄道乙寅為春秋分癸為夏至午辰為南北極
[093-15a]
午癸丁辰為極至交圏午丙甲為過極經圏以限黄道
之經度容赤黄二道之距度
平置乙丁寅赤道圏從黄癸
下垂線為極至圏上癸丁相
距弧之正弦從赤丁上立垂
線遇夘癸半徑之引長線於
戊得戊丁與癸己平行為癸
丁弧之切線夘戊其割線也己夘則癸丁弧之餘弦也
[093-15b]
又從黄道若干度之㸃如丙作兩線一丙辛垂線為過
極經圏上丙甲斜弧之正弦辛壬乙寅徑/之垂線其餘弦一丙
壬為寅乙極線之垂線即丙乙黄弧之正弦次從赤道
過極兩圏之交甲立甲子直線又於寅乙黄赤交之/對截線上
作甲丑垂線次于乙丙癸圏黄平面上從丑作丑子為
乙寅之垂線過甲子于子子甲者過極圏上丙甲弧之
切線也而甲丑為甲乙赤弧之正弦丑夘其餘弦則圖
中有直線直角形四一癸己夘二戊丁夘三丙辛壬四
子甲丑因夘壬丑三角等故三形俱相似
[093-15b]
題言癸夘全/數與癸己癸乙丁角/之正弦若丙壬丙乙底弧/之正弦與丙
[093-16a]
辛丙甲為乙角之對/邊丙辛其正弦
如上圖甲乙丙形凡稱甲者/恒為直角全數一/率與乙
角之正弦二/率若丙乙邊之正弦三/率與丙甲
邊之正弦四/率此比例用㡬何五卷之六理
云更之則一與三若二與四又反之二與一若四與三
又反而更之三與一若四與二
系若以大圏割本形作戊丁直角弧則丁戊與甲丙
若乙戊與乙丙俱用/正弦
[093-16b]
第二題
全數與某邊如甲/丙之餘弦即丙戊弧/之正弦若他邊甲/乙之餘弦即/戊
角之/正弦與底直角之對/弧如丙乙之餘弦即丁丙弧/之正弦
若直角形内有一鈍角或二鈍角其理同
本題
第三題
直角形全數與某角丙/之正弦即丁丙戊/角之正弦若設角丙/旁邊
甲/丙之餘弦即戊丙底/之正弦與其邊對角乙/之餘弦即丁戊邊/之正弦
[093-16b]
此題之丁丙戊形與一題之甲乙丙皆有底有一角其
[093-17a]
理同也
一系依相當第四法及此第一題顯全數
與乙角乙丙角/互用之正弦若角對邊甲/丙之餘
割線與底弧乙/丙之餘割線三四率各有正弦可/用其餘割線當之
二系依相當第四法及第一題顯全數與底乙/丙之正弦
若某邊甲/丙之餘割線與對角乙/之餘割線三四率有正/弦互易為餘
割/線
三系依相當第一法及此第一題顯全數
[093-17b]
與某角乙/之餘割線若對邊甲/丙之正弦與
底乙/丙之正弦第一題之比例為角之正弦與全若角對/邊之正弦與底之正弦相當法則以正弦
當餘割/線也
四系依相當第一法及此第一題顯全數與底乙/丙之餘
割線若邊甲/丙之正弦與對角乙/之正弦一題内底之正/弦與全若邊之
正弦與角之正弦今易底之正弦/為餘割而居第二以全為第一
五系依相當法第四及第二題顯全數與某邊甲/丙之餘
弦若底乙/丙之割線與他邊之割線二題云全與邊之餘/弦若他邊之餘弦與
底之餘弦此云底之割線與邊之割/線葢以割線當餘弦而為三四率也
[093-17b]
六系依相當第一法及第二題顯全與某邊甲/乙之割線
[093-18a]
若底乙/丙之餘弦與他邊甲/丙之餘弦第二題之四率反用/之為二與一若四與
三則第一率為餘弦第二率為全數/也今依相當一法易之為全與割線
七系依第四相當法及三題顯全數與角乙/之正弦若
他角丙/之割線與他角對邊甲/乙之割線三題言全與角/之正弦若設角
旁邊之餘弦與他角之餘弦今用相當第/四法反四率為三三率為四易餘弦為割
線葢兩弧之餘弦與其/正割線為互相視之線
八系依三題第四相當法顯全與邊甲/丙之餘弦若邊對
角乙/之割線與他角丙/之餘割線三題三四率邊旁角/之正弦與他角之餘
[093-18b]
弦今互變邊對角之割/線與他角之餘割線
九系依相當第一法及第三題之四率前後易之顯全
數與角之餘割線若他角之餘弦與其對邊之餘弦
十系三題之四率前後相易用第一相當法顯全與邊
之割線若邊對角之餘弦與他角之正弦
十一系因一系反理及相當一法顯全與角之割線若
底之餘割線與角對邊之餘割線
十二系因上五系反用其率及相當一法顯全與邊甲/丙
之割線若他邊之割線與底之割線
[093-18b]
十三系因九系反用其率及相當一法顯全與角之餘
[093-19a]
割線若邊之割線與其對角之割線
第四題
曲線直角形其全數與角乙/之切線若角旁邊甲/乙之正弦
與角對邊甲/丙之切線如前/圗
解用一題平面全圖之甲乙丙
形甲為直角戊丁為甲乙丙角
之切線甲丑為甲乙邊之正弦
[093-19b]
子甲為丙甲邊之切線可見夘
丁與乙角之切線丁戊若乙角旁邊甲乙之正弦甲丑
與乙角對邊甲丙之切線甲子三角形皆相/似故見一題
系用相易第一法則全與邊甲/乙之餘切線或丁甲弧之/正切線或戊
己丙角之/正切線若邊旁角乙之餘弦即戊己弧/之正弦與底之餘切
線即丙戊之/正切線 按本題第二率為乙角之
切線系易為丁戊之餘弧或己戊邊三率
為角旁邊甲/乙之正弦系易為邊戊/己旁角己/
或丁甲弧之餘弦即甲乙/正弦四率為角對邊甲/丙之切線系
[093-19b]
易為底之餘切線或甲丙弧之正切線
[093-20a]
二系全與底之餘弦或甲丙邊/之正弦若角丙/之切線兩形為/交角
與他角已/之餘切線即甲乙邊/之正切線
三系依相當五法餘切線能當正切線二三率/可互易為全數
與邊之正弦若他邊之餘切線與其對角之餘切線
四系若一二三四率反用為二與一若四與三即變第
一率切線為餘切線則為全數與角之餘切線若角對
邊之切線與他邊之正弦
向下諸系皆用相當法及反理省文不解
[093-20b]
五全數與邊之餘切線若他邊之切線與其對角之切
線
六全與角之餘弦若底之切線與角旁邊之切線
七全與邊之切線若底之餘切線與角旁邊之餘弦
八全與角之割線若底之餘切線與角旁邊之餘切線
九全與底之割線若角之餘割線與他角之切線
十全與角之餘切線若他角之餘切線與底之正弦
十一全與邊之餘割線若邊旁角之餘切線與他邊之
餘切線
[093-20b]
十二全與邊之餘切線若邊對角之切線與他邊之餘
[093-21a]
割線
十三全與角之割線若角旁邊之切線與底之切線
十四全與底之切線若邊之餘切線與邊旁角之割線
十五全與角之切線若他角之切線與底之割線
因上四題即每一設形有十二算法 今設甲乙丙一
形有乙丙底三十/度及甲丙邊十一度三/十一分求乙角
一為乙丙邊之正弦五○○/○○與全十萬/分若
甲丙之正弦一九九/六五與乙角之正弦三九/九一
[093-21b]
三/查得二十三度三十一分三十○抄
二為全十/萬與丙乙之正弦五○○/○○若甲丙之餘割線五/○
○八/六九與乙角之餘割線二二○/六一七
三為甲丙之餘割線五○○/八六九與全十/萬若丙乙之餘割線
二○○/○○○與乙角之正弦三九九/一三
四為全十/萬與甲丙之正弦一九九/六五若乙丙之餘割線二/○
○○/○○與乙角之正弦三九九/一三
五為乙丙之餘割線二○○/○○○與全十/萬若甲丙之餘割線
五○○/八六九與乙角之餘割線三二○/六一七
[093-21b]
六為甲丙之正弦一九九/六五與全十/萬若乙丙之正弦五○/○○
[093-22a]
與乙角之餘割線二二○/六一七
七為乙丙之餘弦八六六/○三與乙丙之餘切
線一七三/二○五若甲丙之正弦一九九/六五與乙角
之正弦三九九/一三
八為乙丙之餘切線一七三/二○五與乙丙之餘弦八六六/○三若
甲丙之餘割線五○○/八六九與乙角之餘割線二二○/六一七
九為乙丙之正弦五○○/○○與甲丙之切線二○三/七六若甲
丙之餘弦九七九/八七與乙角之正弦三九九/一三
[093-22b]
十為甲丙之切線二○三/七六與乙丙之正弦五○○/○○若甲
丙之正割線一○二/○五五與乙角之餘割線二二○/六一七
十一為甲丙之割線一○二/○五五與乙丙之餘割線二○○/○○○
若甲丙之切線二○三/七六與乙角之正弦三九九/一三
十二為甲丙之正弦一九九/六五與乙丙之切線五七七/三五若
乙丙之餘弦八六六/○三與乙角之餘割線二五○/六一七
以上十二法俱可得乙角因除法為繁故約用乘法如
下方
[093-23a]
球上直角形相求約法
球上直角三邊形有三角三邊此六者有三可推其餘
交互為三十求各以乘法得之
第一設乙丙兩角凡甲皆直角乙/丙或鋭或鈍一求甲乙邊為全數
與乙角之正弦若丙角之割線與甲乙邊
之割線或全與乙角之餘割線若丙角之
餘弦與甲乙邊之餘弦 丙角定數
解曰同類者或皆過九十度或皆不及若丙角過九十
[093-23b]
度則所求之邊亦過九十若丙角不及九十度所求之
弧亦不及下倣此
二求甲丙甲丙甲乙兩邊互用/乙丙兩角亦互用為全數與丙角之正弦
若乙角之割線與甲丙邊之割線 或全與丙角之餘
割線若乙角之餘弦與甲丙邊之餘弦 乙角定類
三求丙乙對直角/之底為全與乙角之切線若
丙角之切線與乙丙邊之割線 或全與
乙角之餘切線若丙角之餘切線與乙丙邊之餘弦
或乙或丙兩角定類
[093-23b]
凡定類有二號者若二號為同類所得為不足九十度
[093-24a]
若兩號為異類所得為過九十度
第二設乙角及乙甲邊 四求丙角為全與乙角之餘
割線若乙甲邊之割線與丙角之割線 或全與乙甲
邊之餘弦若乙角之正弦與丙角之餘弦直線直角形/設一得二取
其較也此與異者曲/直兩線為異類故也 甲乙弧定類
五求甲丙邊為全與甲乙之正弦若乙角之切線與甲
丙邊之切線 或全與乙甲邊之餘割線
若乙角之餘切線與甲丙邊之餘切線
[093-24b]
乙角定類
六求乙丙邊為全數與乙角之割線若甲乙邊之切線
與乙丙邊之切線 或全數與乙角之餘弦若甲乙邊
之餘切線與乙丙邊之餘切線 乙角或甲乙邊定類
第三設乙角及甲丙邊 七求丙角為全數與甲丙邊
之割線若乙角之餘弦與丙角之正弦
或全數與甲丙邊之餘弦若乙角之割線
與丙角之餘割線 乙角或甲乙邊定類
八求甲乙為全數與甲丙邊之切線若乙角之餘切線
[093-24b]
與甲乙邊之正弦 或全數與甲丙邊之餘切線若乙
[093-25a]
角之切線與甲乙邊之餘割線 乙角或甲丙邊定類
九求丙乙為全數與乙角之餘割線若丙甲邊之正弦
與丙乙邊之正弦 或全數與乙角之正弦若丙甲邊
之餘割線與丙乙邊之餘割線 乙角定類
第四設乙角及乙丙邊 十求丙角為全數與乙丙之
割線若乙角之餘切線與丙角之切線 或全數與乙
丙邊之餘弦若乙角之切線與丙角之餘
切線 乙角及乙丙定類
[093-25b]
十一求甲乙為全數與乙角之餘弦若丙乙邊之切線
與甲乙邊之切線 或全數與乙角之割線若乙丙邊
之餘切線與甲乙邊之餘切線 乙角及乙丙定類
十二求甲丙為全數與丙乙邊之正弦若乙角之正弦
與甲丙邊之正弦 或全數與丙乙邊之餘割線若乙
角之餘割線與甲丙邊之餘割線 乙角定類
第五設丙角及甲乙邊 十三求乙角為全數與甲乙
邊之割線若丙角之餘弦與乙角之正弦 或全數與
甲乙邊之餘弦若丙角之割線與乙角之
[093-25b]
餘割線 丙角定類
[093-26a]
十四求甲丙邊為全數與甲乙邊之切線若丙角之餘
切線與甲丙邊之正弦 或全數與甲乙邊之餘切線
若丙角之切線與甲丙邊之餘割線 甲乙邊定類
十五求乙丙為全數與丙角之餘割線若甲乙之正弦
與乙丙邊之正弦 或全數與丙角之正弦若甲乙邊
之餘割線與乙丙邊之餘割線 丙角定類
第六設丙角及甲丙邊 十六求乙角為全數與丙角
之餘割線若甲丙邊之割線與乙角之割線 或全數
[093-26b]
與甲丙邊之餘弦若丙角之正弦與乙角之餘弦 甲
丙邊定類
十七求甲乙邊為全數與甲丙邊之正弦
若丙角之切線與甲乙邊之切線 或全數與甲丙邊
之餘割線若丙角之餘切線與甲乙邊之餘切線 丙
角定類
十八求乙丙邊為全數與丙角之割線若甲丙邊之切
線與乙丙邊之切線 或全數與丙角之餘弦若甲丙
邊之餘切線與乙丙邊之餘切線 丙角及甲丙邊定
[093-26b]
類
[093-27a]
第七設丙角及丙乙邊 十九求乙角為全數與丙乙
邊之割線若丙角之餘切線與乙角之切線 或全數
與丙乙邊之餘弦若丙角之切線與乙角
之餘切線 丙角及丙乙邊定類
二十求甲乙邊為全數與丙乙邊之正弦若丙角之正
弦與甲乙邊之正弦 或全數與乙丙邊之餘割線若
丙角之餘割線與甲乙邊之餘割線 丙角定類
二十一求甲丙邊為全數與丙角之餘弦若丙乙邊之
[093-27b]
切線與甲丙邊之切線 或全數與丙角之割線若丙
乙邊之餘切線與甲丙邊之餘切線 丙角及丙乙邊
定類
第八設甲乙甲丙兩邊 二十二求乙角為全數與甲
乙邊之餘割線若甲丙邊之切線與乙角
之切線 或全數與甲乙邊之正弦若甲
丙邊之餘切線與乙角之餘切線 甲丙邊定類
二十三求丙角為全數與甲丙邊之餘割線若甲乙邊
之切線與丙角之切線 或全數與甲丙邊之正弦若
[093-27b]
甲乙邊之餘切線與丙角之餘切線 甲乙邊定類
[093-28a]
二十四求乙丙邊為全數與甲乙邊之割線若甲丙邊
之割線與乙丙邊之割線 或全數與甲乙之餘弦若
甲丙之餘弦與乙丙之餘弦 甲乙甲丙定類
第九設甲乙乙丙兩邊 二十五求乙角為全數與丙
乙邊之切線若甲乙邊之餘切線與乙角
之割線 或全數與乙丙邊之餘切線若
甲乙邊之切線與乙角之餘弦 甲乙及乙丙定類
二十六求丙角為全數與乙丙邊之餘割線若甲乙邊
[093-28b]
之正弦與丙角之正弦 或全數與丙乙邊之正弦若
甲乙邊之餘割線與丙角之餘割線 乙角定類
二十七求甲丙邊為全數與甲乙邊之餘弦若乙丙邊
之割線與甲丙邊之割線 或全數與甲乙之割線若
乙丙之餘弦與甲丙之餘弦 甲乙及乙丙定類
第十設甲丙乙丙兩邊 二十八求乙角為全數與丙
乙邊之餘割線若甲丙邊之正弦與乙角之正弦 或
全數與乙丙邊之正弦若甲丙邊之餘割線與乙角之
餘割線 甲丙邊定類
[093-28b]
二十九求丙角為全數與乙丙邊之切線若甲丙邊之
[093-29a]
餘切線與丙角之割線 或全數與乙丙
邊之餘切線若甲丙邊之切線與丙角之
餘弦 甲丙及丙乙定類
三十求甲乙邊為全數與甲丙邊之餘弦若乙丙邊之
割線與甲乙邊之割線 或全數與甲丙邊之割線若
丙乙邊之餘弦與甲乙邊之餘弦 甲丙及丙乙定類
[093-30a]
球上斜角形各邊角正弦等線之比例
第一題
各角之正弦與其對邊之正弦皆為同比例
若形是直角則借彼第一題為全數甲/與
某角乙/之正弦若底弧乙/丙之正弦與某角
乙/對邊甲/丙之正弦則用更理為甲角全數與其對邊乙
丙若乙角與甲丙或若丙角與甲乙用反理亦然凡不/言某
線者皆正弦/也下倣此
[093-30b]
若斜角形借相易第五法如丙丁乙形從乙從丁從丙
作乙甲丁戊丙壬各垂弧至其對邊為直
角因前論甲乙丙角與甲丙邊甲乙丁角
與甲丁邊為同比例合之丙乙丁角之正弦與丙丁邊
之正弦若乙丁丙角之正弦與乙丙邊之正弦若戊為/直角則
戊丁丙角與戊丙邊若戊乙丁角與戊乙邊合之乙丁/丙角與丙乙邊若某角與某邊或用壬直角其理不異
若甲直角在形外其理亦同 如乙丙甲乙甲丁兩角
對乙甲乙丁兩邊乙丁甲乙甲丙兩角對
甲乙乙丙兩邊各减共用之甲直角即丙
[093-30b]
對甲乙乙丁兩邊丁對甲乙乙丙兩邊又各减共用之
[093-31a]
甲乙則丁角之正弦與乙丙邊之正弦若丙角之正弦
與乙丁邊之正弦乙角與丁丙邊同理
第二題
四率斷比例若第一率為全數則全數上方與二三率之
矩内形若第一率與第四率
解曰甲乙全數線上方數與線兩類/相當互解丙丁
丙戊為二三率之矩内方己方形之容與
丁戊矩方等又甲乙丁丙丙戊壬四線為
[093-31b]
斷比例題言甲乙上方與丁戊矩方若甲
乙線一/率與壬線四/率
論曰因㡬何六卷/十甲乙壬兩率矩内形與丁戊兩中率
矩内形等或與已方形等即甲乙己壬三線為連比例
第一率上方與第二率上方若第一率與三率等六卷/十七
則全數甲/乙上方與二三率之矩内方丁丙丙戊矩/丙形或已形若甲
乙線一/率與壬線四/率
系若二三率為切線或割線或正弦即相乘以全數除
之得第四率
[093-31b]
第三題
[093-32a]
球上斜角形全數上方形與兩腰之正弦矩内形若兩腰
間角之矢與兩矢之較兩矢者其一為底弧即角/對邊之之
矢其一為兩腰較弧之矢
圗説乙丙丁斜角形於乙丙乙丁引長之各滿半周遇
於戊其極線為戊己乙己為心戊丙乙己為平面上半
圈戊丁乙為斜面半
圈兩半圈各平分于
辛于寅作己辛己寅
[093-32b]
已丙皆半徑又作寅
辛弧即乙角之弧也其正弦為寅庚其矢為庚辛又取
乙壬弧與乙丁腰等作丁壬小圏之弧次從丁作丁甲
從壬作壬甲各為戊乙之垂線則小圏之半徑亦為乙
丁腰之正弦即丁戊弧/之正弦次從丁作丁酉即丁壬小圏弧
之正弦其矢為酉壬又取丙癸弧與底弧丁丙等又從
乙從壬從癸向丙己半徑作乙辰壬夘癸午各垂線末
從酉向壬夘作酉子垂線
解曰乙辰為乙丙小腰之正弦其矢辰丙寅庚為乙角
[093-32b]
亦寅/辛弧之正弦其矢庚辛午夘為兩腰較弧壬/丙之正弦其
[093-33a]
矢夘丙癸午為底丁丙/亦丙
癸/之正弦其矢午丙午
夘酉子/同為兩腰較弧壬/丙
之矢夘/丙與底弧丁丙或/丙癸
之矢午/丙之較矢丁甲壬甲/同為乙丁大腰之正弦題合全
數乙己丙/己之類上方形與乙辰偕壬甲兩正弦矩内形若辛
庚乙角/之矢與兩矢之較午夘
論曰丁甲酉寅己庚兩形相似酉與庚皆直角甲己兩/角之腰平行又同在兩
[093-33b]
靣内/即等則寅己全數辛己/同與庚己若乙丁弧之正弦丁甲
壬甲/同與酉甲或辛己寅己/同與庚己若壬甲丁甲/同與酉甲
依㡬何五卷/十九之論辛己與辛庚若壬甲與壬酉全與全/兩所截
取之分比例等則兩/截取之餘分必等或辛己全/數與壬甲乙丁大腰/之正弦若辛
庚乙角之矢亦/寅辛弧之矢與壬酉丁壬弧/之矢
又乙己辰壬子酉兩直角形相似壬夘乙辰兩線平行/即壬甲乙三角幷為
一形之角而甲壬夘為辰乙己角之餘又辰/己乙角為乙角之餘則與夘壬甲角必等則乙己全/數
與乙辰乙丙小腰/之正弦若壬酉丁壬弧/之矢與子酉兩矢之較/也午夘同
同乘理之法兩理前兩/比例之第一率一辛巳/一乙己相乘得全數
[093-33b]
上方形兩理之第二率一乙丁大腰之正弦壬甲/一乙丙小腰之正弦乙辰相乘
[093-34a]
得兩弧之正弦矩内形依合理㡬何/五卷為若乙角之矢辛
庚一理之/第三率與兩矢之較子酉二理之/第四率
系斜角形全數與所得之第四率第四率者如上題全/數為一率兩腰之正
弦為二三率用三率法/乗除所得則第四率也若兩腰間角之矢與某矢某矢/者兩
矢之較兩矢者一為底弧/之矢一為兩腰較弧之矢
二系斜角形全數上方形與兩角之兩正弦矩内形或/全
數與第/四率若兩角内邊之矢與某矢某矢者/兩矢之
較兩矢者一為邊對角之/矢一為兩角較角之矢
[093-34b]
解用第四相易法設角易為邊即兩弧之
正弦矩内形與兩角之正弦矩内形必等或兩腰内角
之矢與兩角内邊之矢必等
第四題
全數上方形為兩腰或兩/角兩正弦矩内形及兩腰兩餘割
線矩内形之中率
解曰乙正/弦與丙全/數若丙與丁餘割/線如有兩
正弦兩全數兩餘割線各以類相乗其形
依合理為比例等反之或用餘弦矩内形
[093-34b]
及正割線矩内形亦同
[093-35a]
系若兩正弦兩餘割線各以類相乘或用餘弦/及正割線以全數
除之所得兩數亦全數為中率
假如乙丙丁形乙丁邊五十四度五十/分丁丙邊五十八度求其正弦其餘
割線相乘以全數除之從尾截去若干位
所存如全數之位則五十四度五十分之/正弦八一七四八五
十八度之正弦/八四八○五相乘得六九三二六三九一四○五十/四度
五十分之餘割線一二二三二七五/十八度之餘割線一一七九一八相乘得一四四二
四五五五一八六全數為兩數之中率試之一全數上
[093-35b]
方積為實所得第一率為法除之或用减九數法亦可
二系兩弧之正弦餘割線互乘所得兩數亦全數上方
形為中率或用餘弦正/割線理同
如前系一弧之正弦全數與其餘割線作三率連比例
為第一理一弧之餘割線全數與其正弦作三率連比
例為第二理用合理以兩理之第一率相乘得數二三
亦如之所得三數之比例與前同理則一弧之正弦他
弧之餘割線矩内形全數上方形一弧之餘割線他弧
之正弦矩内形為三率連比例形如前法/試之若三率形皆
[093-35b]
以全數除之比例如前則一弧之正弦他弧之餘割線
[093-36a]
相乘以全除之所得為一率全數為二率一弧之餘割
線他弧之正弦相乘以全除之所得為三率
三系兩弧之正切線矩内形兩弧之兩餘切線矩内形
亦全數上方形為中率如圖戊正切與己/全若丙全與丁餘
切用合/理如前若三率形皆以全數除之所得三
數之比例如前系
四系若一弧之正切線乘他弧之餘切線或一弧之餘
切線乘他弧之正切線亦全數上方形為中率若三率
[093-36b]
形皆以全數除之比例亦然
五系一弧之正切線他弧之正弦矩内形又一弧之餘
切線他弧之餘割線矩内形亦全數上方形為中率如/上
系戊正切全數丁餘切為連比例反/之則丁與丙丙與戊用合理如前若三率形以全數
除之比例亦然
六系一弧之餘切線他弧之正弦矩内形一弧之正切
線他弧之餘割線矩内形亦全數上方為中率
七系一弧之正切線他弧之餘弦矩内形一弧之餘切
線他弧之正割線矩内形亦全數上方為中率
[093-36b]
八系一弧之餘切線他弧之餘弦矩内形一弧之正切
[093-37a]
線他弧之正割線矩内形亦全數上方為中率若各三
率形各以全數除之比例皆同
第五題
無直角形從一角向其對邊為垂弧分元形為二直角形
各直角對邊之餘弦若底弧受垂弧/者為底兩分之餘弦
解乙丙丁形從丙作丙甲垂弧甲為直角
則丙丁弧之餘弦與丙乙弧之餘弦若丁
甲之餘弦與甲乙弧之餘弦又兩邊之割
[093-37b]
線若兩分之割線
論曰依前直角形第二題為全一/與某邊之餘弦二/若
他邊之餘弦三/與底之餘弦今用更理二率與一若四
率與三以論甲丙丁形則甲丁邊之餘弦一/與全二/若
丙丁直角形之底即/直角之對邊之餘弦三/與丙甲之餘弦四/以論
甲丙乙形則甲乙一/與全二/若丙乙三/與
甲丙四/此二理平之則甲丁與甲乙兩理/之兩
一/率若丙丁與丙乙兩理之/第三率各弧之餘弦成
割線其理皆同為丙丁邊之割線與全若甲丁邊之割/線與甲丙邊之餘弦又丙乙割線與全
[093-37b]
若甲乙割線與甲丙邊之餘弦今用兩理平之則一/丙丁與一丙乙若三甲丁與三甲乙各弧之割線
[093-38a]
第六題
垂弧旁兩角之正弦若他兩角之餘弦
解甲丙丁甲丙乙兩角之正弦若丁乙兩
角之餘弦又丙上兩分角之餘割線若丁
乙兩角之正割線
解依直角第三題甲丙丁角之正弦一/與全二/若丁角
之餘弦三/與丙甲邊四/又曰全一/與甲丙乙角之正弦
二/若丙甲邊之餘弦與乙角之餘弦今以第二理更之
[093-38b]
為二與一若四與三又以二理平之一與一若三與三
則甲丙丁角一/與甲丙乙角一/若丁角三/與乙角三/
又用三題十三系可算割線之比例
第七題
垂弧旁兩弧之餘切線若垂弧旁兩角之餘
解丙甲垂弧遇丙丁丙乙兩邊於丙即丁
丙甲角之餘切線與甲丙乙角之餘切線
若丙丁邊之餘弦與丙乙邊之餘弦
用直角第四題依前論試之
[093-38b]
又兩弧之正切線若兩角之正割線 亦用四題之系
[093-39a]
及十三系試之
第八題
垂弧旁兩弧之餘割線若垂弧相對兩角之正弦又兩弧
之正弦若兩角之餘割線
解丙甲垂弧旁兩弧為丙丁丙乙又丙甲
垂弧之對角為丁為乙 用直角三題試
之
第九題
[093-39b]
垂弧分底為二兩分之正弦若垂弧相對兩角之切線又
兩分之餘割線若兩角之正切線又兩分之正割線若
兩對邊之正切線又兩分之餘切線若兩對角之餘切
線
右各題之理皆從直角形之理出前解已明今不贅
[093-40a]
斜角形相求約法
凡所設為異類或邊與角/或角與邊用第五易分兩直角形法見前
凡形之弧或角過九十度用三四易得相似形其弧不及
一象限
設三邊若二邊等即用垂弧分為兩直角等形各形有元
形之一邊有元底之半求其角
解丙乙丙丁兩弧等丙甲垂弧分乙丁底
及乙丙丁角各兩平分依圓球原本第一
[093-40b]
卷二十一題知兩形必等
若三邊各不等求某角有三法
其一以本角旁兩腰之正弦相乘以全除之得數名初
得數又以兩腰之正矢相乘以全除之得數名次得數
以次得數與角對邊之弦或相加或相减解見/下文得數以
全乘之以初得數除之得某角之餘弦
解凡角之對邊大以象限而角之兩腰同類同類者或/皆大于象
限或/皆小則兩數相加所求之/角為鈍角若異類則兩
數相减其次得數為實大而受减/者為實則角鋭
[093-40b]
次得數為法小而以减/者為法則角鈍 凡角之
[093-41a]
對邊小于象限而兩腰同類則兩數相减其次得數為
實即角鈍次得數為法即角鋭若異類則兩數相加角
為鋭角
其二角兩腰之餘/割線相乗以全除之得初數又兩腰之
餘/弦相乗以全除之得次數以次數與角對邊之餘/弦或加
或减如前法以所得數乗第一得數以全除之得角之/餘弦
三法用前斜角三題全圗解為全數與一腰之正弦若
他腰之正弦與初得數又初得數與兩矢之較兩矢者/兩腰較
[093-41b]
弧之矢及底弧之/矢此名次得數若全數與角之矢
球上三角形比類法見宗動天諸問向上諸篇皆先言其
理諸問見本/篇八卷
上法之外尚多别法或用實球從球面界畫諸圏測之或
用平立環渾儀測之或用平渾儀測之或用比例規或
用宗動天之象限或用規于平面畫圗以綴術算之或
先算成各度分之數而列為立成表俱有本書本論本
㨗法然方之前法則踈而不宻故近来厯家舍置不用
也
[093-41b]
古法用弦數以推步七政必湏句股開平立三乘方等術
[093-42a]
至繁而易紊用力多而見功少今悉置不用獨用乘除
簡矣此卷中幷除法不用而獨用乘法更簡也又有加
减術幷乘除俱不用然其理必繇乘除而出故先用本
卷之法此法既明用之既熟然後用加减取徑㨗焉
三角形有三邊求角三法假如丙丁邊十九度三十分
丙戊邊十五度五十八分戊丁邊十二度九分
求戊角 第一法兩腰戊丙/戊丁正弦丙戊為二七/五○八戊丁
為二一/○四七相乘以全除之初得五七八九又餘弦相乘以
[093-42b]
全除之丙戊為九六一四二/丙丁為九七七六○次得九三九八八丙丁邊
餘弦為九四二六四比次得數為大因兩腰同類/其三為小即戊
角為鋭其較為二七六加五○以初得數除之得四七
六七為角之餘弦查表得八十七度十六分 二法兩
腰餘割線丙戊三六三五三三/丙丁四七五一二三相乗以全除之初得一
七一七二二九其餘弦如上法次得九三九八八與第
三邊餘弦相減得較以較乗初得數以全除之得如前
此法更便可免除法 三法兩腰正弦如上兩矢較如
前解求兩腰之較度得三度四十八分其矢為二二一
[093-42b]
又對邊之矢為五七三六兩數相减得五五一五為實
[093-43a]
加五○以初數除之得角之矢為九五二三一其度如
上
[093-43b]
新法算書卷九十三