[092-1a] 
欽定四庫全書
新法算書卷九十二 明 徐光啟等 撰
測量全義卷六
論體
厯家所重全在測量所當測者略有三事一曰線測其長
短二曰面測其長短廣狹三曰體測其長短廣狹厚薄所
以測體者何也即如交食一法日與月各有不同心本天
各有最髙度最髙衝度其去人逺近也恒不等其自相去
[092-1b]
之逺近恒不等人目所見二曜之體大小恒不等若此者
必于地體推之故有日與月與地三大之比例别有/本書不用
此比例何繇知交食之歳月日時地影即闇/虛比于月體小
大之數幾何乎不因地月之比例何從推日輪之視體幾
何大去人幾何逺乎則何繇知日食旣之有無金環乎何
繇知月食過分之闇虛幾何大乎何繇定食限之幾何時
刻乎不知地球之大何繇定東西相去幾何里即交食前
後相去幾何時刻南北相去幾何里即日食應有應無有
則幾何分秒乎則安得不講于量體之法乎然則測線測
[092-1b]
面者何也曰體者諸面之積也未能測面安能測體面者
[092-2a]
又諸線之積也未能測線安能測面又測候七政行度皆
以句股弧弦諸法諸法則皆線也諸線之積為面不知面
理則亦不能晰線之體勢故三測為並重也雖然測天皆
曲線曲面也直線與平面何為乎曰曲線法從直線出也
曲面法從平面出也猶圓體法從方體出也故繇線而面
而體繇直線而曲線平面而曲面方體而圓體譬之跬步
前步未行後步不可得進也是測量之全義也
體者面之積或實如金木土石等或空如盤池陶穹等俱同
[092-2b]
理同法
其界為面面居體之周面截面生稜如線遇線生/角也又稜為兩面之共界
一面之體如球如卵
二面之體如半球半卵圓角圓堆
[092-3a]
三面之體如剖球卵之一分
四面之體如三面角體而四面等
即三面角體第因各面俱等故屬四面
[092-3b]
五面之體如四面角體因角體之面無定數/故左方不列其名
六面之體如立方正立方斜立方
八面之體八面俱等
十二面之體十二面俱等
二十面之體二十面俱等自四六八十二二十面之外/不能為等面胥無法之體也
公量如斗如升皆足為體之量總之以立方為本如用
尺寸分為度而一尺之體其長其廣其袤各一尺八俱
直稜八俱直角乘法一千實寸為一實尺一千實分為
一實寸則以立方之體再自之耳此為物數均齊推算
[092-3b]
簡易者也
[092-4a]
幾何原本一十一卷詳解其理今略引一二如左
有法之體二其上者各面俱等盖設一邊即知其面其
容也其次則對面為平行面或同類之體有公法如角
體者是也球亦有法之體盖其徑其周其外面其容之
比例恒相等第以比例無盡分之數亦屬次焉
第一體名立面體如正立方斜立方多邊立體正立圓體
扁圓體因其上下為平/行面亦屬等面公法以高乘底之積得其容高/深
兩名/互用其高之度則垂線也
[092-4b]
幾何原本十二卷七增題曰兩平行面内之體或同高
兩體其比例為體與體若底與底但取同類相求以正
高為據不論體勢直與不直
又本卷三十二題曰同類之體與體凡比體者皆以/其容積相比為
[092-5a]
其邊與邊三加之比例 解曰三加之比例者四幾何
為同理之連比例則一與二為一加與三為再加與四
為三加也五卷/十界此云三加者謂體之一與二若其邊之
一與四也如二 四 八 十六為四幾何同理之連
比例其首二尾十六為三加之比例則小體之邊二大
體之邊四其小體之容與大體之容若小邊之二與大
邊之十六也
系凡同類數體測定一體之容即其容與他體之容
[092-5b]
為其邊與邊三加之比例設有立方體其邊八其容
五一二又設次體其邊十二即八與十二再加之得
十八三加之得二七其超法為/一身有半則初體與次體若八
與二十七或用三率法八與二十七若五一二與一
七二六或以四率連比例之第二率再自之得數同
第二體名角體底廣上銳如堆垜錐亭峰之類其法同也
幾何十二卷七題之系曰同底同高之角體與平行面
體即同/高體之比例若一與三法曰如方錐之底邊設九則
底積八十一設髙十八以乘底積得一四五八以三為
[092-5b]
法而一得四八六方錐之容也又如圓堆之底周設十
[092-6a]
二尺設高五尺則先求周之徑得三又十一之九相乗
得四五又十一之九以四為法而一得十一又十一之
五底積也以高乗之得五七實尺又十一之三以三為
法而一得十九又十一之一為圓堆之容系凡委粟及/𠋣垣等角體
皆求立體之容三/除之為角體之容
[092-6b]
若不知其正高但知其底及稜則先求其正高
法曰若稜為偶數如上圖得四甲乙
丙丁為底之四邊各八又半甲丙對
角線十二弱戊為角頂戊甲戊乙戊
丁戊丙為四稜各十而求次圖之中
長線戊己次圖何物如上圖戊甲丁/丙乙為全體若從戊頂向
甲丙對角線平分之為二即所截之/兩面各成戊甲丙三角形甲丙底十
二弱戊甲戊丙各十以此三邊/求中長線戊已即角體之高
法以半底甲已自之得三十六句/方以減腰方一百弦/方餘
[092-6b]
六十四股/方開方得甲已八為角體之正高餘如前
[092-7a]
若稜為竒數如五底之各邊為十二稜之度為二十則
先求一面之中長線各體有底有面有/稜底之邊隨體無
定數面則恒各為三邊形形之/底線即底之一邊兩腰即稜也依句股
法半底邊得六為/句自之得三十六句/方稜
度自之得四百弦/方相減得三百六十四
股/方開方得一十九又一十三之一即股即面形/之中長線
次求底形之中長線用正弦法以五底之/邊數為法三百六
十全圈/之周為實幾何論凡有法之形形外可作圈切/形之各角形内可作圈切形之各邊而一
[092-7b]
得七十二度為一邊之弧半弧之正弦即底之/半邊為五八
七七九第一率也内/半邊之數六為二率外/半弧之餘
弦八○九○二為三率内/算得八又四之一不盡外/為
五邊底形從心所出之中垂線又正弦内/與半邊外/若
全數内/與半徑外/得一十又五之一强形外圈/之半徑兩數并
得一十八又二十之九强為五邊形之中長線
次以面形之中長線底形之中長線及一稜之度三線
相遇成一三角形平分全體所/分之兩面有三邊之數求中長線
得一十六又半不盡為所求元體之正高
[092-7b]
底之周六十半之得三十以中垂線乗之得五七二又
[092-8a]
十三之四為底積以正高乗之得九四三八三而一為
元體之容得三一四六也
若稜之度長短不等則用最長之稜及其對面之中長
線求體之正高
論曰角體為立面體三之一者何也如正立方體自上
而下對角平分之為兩塹堵毎一塹堵得正立方二之
一又于塹堵之兩方面自上而下對角平分之成大小
二分大者為陽馬得塹堵三之二小者為鼈臑得塹堵
[092-8b]
三之一則一正立方分之為塹堵得二陽馬則三鼈臑
則六角體者陽馬也故得立面體三之一也說見九/章算
又外切圈之半徑為句稜數為弦用句股法求股即元
體之正高此法甚簡易但須各稜/俱等乃可非公法也
截圓角體法有五從其軸平分直截之所截兩平面為
三角形一也横截之與底平行截面為平圓形二也斜
截之與邊平行截面為圭竇形頂不銳近底之/兩腰稍平行三也直
[092-9a]
截之與軸平行截面為陶邱形頂曲漸下漸直/底兩旁為銳角四也無
平行任斜截之截面為撱圓形五也内第一第二第五
有/本論第三第四其面皆為一直線一曲
線兩界之面所截體之一分皆為兩平
面一曲面三界之體亞竒黙徳備論其
量法然非測量所必須又各截面皆有
底有軸即中/長線有曲線若轉軸環行即徑
線為平底界曲線為曲面界生二界之
[092-9b]
體其邊名曰平曲之邊平曲者從曲頂
而下漸趨平也若以此體為空體則皆造作燧鑒之法
以其淺深為光心之逺近亦非測天所用未及詳焉
第三名斗體古名方窖圓窖等其上下兩面不等而相似
盖角體之截分也引長其稜即相遇而成全角之體凡/置
斗體大面居下本角體之截分角體/欲自立底必在下也其置截分亦然
法曰若知本角體之高即先求本
角體之容後求所闕截分之容相
減餘為元體之容假如斗體之底
[092-9b]
長方一邊得八一邊得九則其積
[092-10a]
七十二以全高二十四乗之得一七二八以三為法而
一得五七六全角體之容也次置斗體上面之一邊四
一邊四又半其積十八即闕分/之底以闕分之高十二乗之
得二一六以三為法而一得七二闕分之容也以減全
角體其較五○四斗體之容也
若不知全角體之高則截體分求之
法曰如甲乙丙丁斗體之大面也邊
各二十四戊已庚辛小面也邊各一
[092-10b]
十八用垂線截斗體從戊已邊向下
至午未底分元體為二從辛庚邊向下至申酉底從庚
已至戍亥從辛戊至子丑皆如之分元體為九一居中
成立面體四邊四體為塹堵正二面一立一斜/側二面為句股四隅四
體為陽馬即角體亦/名方錐各以本法求其容并為斗體之容
塹堵以高乗底積二而一/陽馬以高乗底積三而一
立面體上下兩面等各邊十八其積為三
二四以高十五乗之得四八六○
塹堵一名句/股體其底長方辛子三兩面之較/六折半得
[092-10b]
三/辛庚為十八乗得五十四為底積以正高乗之得八
[092-11a]
一二為法而一得四○五四倍之得一
六二○四邊四/體故陽馬其底各三其積九
以正高乗之得一三五以三為法而一
得五四四倍之得一八○
若斗面為多邊形而無法或其稜不等亦用次法從上
[092-11b]
邊向下截成衆體如圖甲皆為塹堵
乙皆為陽馬其中間無法之形則以
形為底分之中作一立面體餘為四
三邊形各形有稜有高可知其容又
公法上二法遇/圓體而窮設上下面之邊與正高與兩面之積法
曰上下兩面積各開方兩根相乗得數并入兩面積以
正高乗之得數三而一為斗體之容如斗體各率同前
下面各邊二四其積為五七六上面之各邊一八其積
為三二四兩根相乗得四三二與前兩積并以高一五
[092-12a]
乗之得一九九八○以三除之得六六六○斗體之容
也
又便法小差而/不逺并兩面之邊半之自乗得數以高乗之
得斗之容如前數上面邊一八下面邊二四并得四二
半之得二一自之得四四一以高一五乗之得六六一
五比前少四五其差為一四七之一耳
凡有法之體五其面其稜皆等其大小相容相抱與球相
似幾何十一十二十二十四卷極/論此理今稍引用為比例之法
[092-12b]
一曰四面體各面為三邊等形用堅楮依圖裁而合之
成一全體有六稜四隅
設各邊一百因前法求
其容為一一七四七二
半 此下五則皆名法體求容凡同類之體皆依此為
例以顯推隱故下文稱例體例邊
二曰六面體立方也各面各稜等有十二稜八隅其面
為正方形設各邊一百
因前法求其容為十萬
[092-13a]
三曰八面等之體各面為三邊等形有十二稜六隅各
邊設一百因幾何求其
容為四七一四二五有
竒
四曰十二面等之體各面為五邊等形有三十稜二十
隅邊設一百其容為七
六八六三八九
[092-13b]
五曰二十面等之體各面為三邊等形有三十稜十二
隅邊設一百其
容為五二三八
○九
依幾何之説得一體之容可推同類同類者同若/干面數也萬體
之容盖同類兩體之容之比例與兩體邊上立方之比
例等
假如置四面兩體大者邊設一百小者邊設五十兩數
各再自之得一百萬與一二五○○○此兩數為兩體
[092-13b]
之容之比例而以大不等為一百萬之一二五○○○
[092-14a]
約為八之一用三率法則命分數為一率得分數為三
率前所立例體之容為二率得四率為所求他體之
容
如前數欲知五十邊上小體之容以例體大邊上立方
一百萬為一率以所求小體邊上立方為二率以大體
之容為三率用法得一四六八四又四之一為小體之
容第三率大體之容於前法體求/容五例内簡其同類者即用之
一率 一百萬
[092-14b]
二率 一二五○○
三率 一七七四七二半為前例所立大體之容
四率得一四六八四又四之一為所求小體之容
又欲知十二面體之容各邊二五法以同類之例體邊
再自之得一百萬所設體之邊亦再自之得一五六二
五如前推之
一率 一百萬
二率 一五六二五
三率 七六八六三八九為前例所立十二面體之容
[092-14b]
四率 得一二○○九九為所求十二面體之容
[092-15a]
又設一體之容欲知其邊若干因此容與他容若此邊
上立方與他邊上立方其法以例體之容為一率設體
之容為二率例體邊上之立方數為三率得設體邊上
之立方為四率開方得根即所求邊也如有一四六八
四又四之一為今設四面等之容求其邊若干查前例
其同類之體邊一百其容一一七四七二又半依三率
法得立方根為五十即所求設體邊數
一率 一一七四七二半例容/
[092-15b]
二率 一四六八四又四之一設容/
三率 一百萬例邊/
四率得一二五○○○為所求邊上立方開得五十
為所求設體之邊
量圓球之容
圓球之全體見亞竒黙徳圓球圓柱書併見幾何一
十四卷兹借數題明之
第一題
球上大平圜之積為本球圜面積四之一此亞竒黙徳之/一卷三十一題
[092-15b]
也大平圜者從大圏過心剖球體為二所分兩/平面是也圜面積者全球大曲面之平積也
[092-16a]
系 凡周乗徑生球圓面之積亦生大平圜積之四倍
大圜周線上方形與球圓面之比例若大圜之周線與
其徑 解曰如圖甲乙丙丁球上之大平圜也甲丙其
徑與球/徑等己辛與圜之周線等上成己壬方形形之庚辛
與甲丙徑等而己壬方形外復成庚戊方形題言己庚
矩形為大平圜之四倍壬戊矩形與
庚己矩形等盖壬辛己辛同為矩方
形之一邊戊辛辛庚亦同為矩方形
[092-16b]
之一邊則兩矩方形必等夫己壬周
線上之方形也壬戊為大平圜之四倍而與球之圓面
等則其比例如己辛與辛戊矣五卷二周與徑比例之/數為二二三之七一或
二十二/之七又大圜徑上方形與球之圓面若圜之徑與其
周盖己庚矩方形與球之圓面等庚戊為徑上之方形
則兩形之比例必若己辛周與辛戊徑矣
二系 球徑上方形與球之圓面為一與三又七一之
十或一與三又七之一
第二題
[092-16b]
徑三之二乗大平圜之積生球容之數亞竒黙徳之一/卷三十二題
[092-17a]
解曰設大平圜之周一凡大測當以全數為母則易推/故設周為一自之再自之恒為
一/其大徑為二二三之七一其半為四四六之七一以
半周二之一乗之得八九二之七一此大平圜之盈積
也又以六六九之一四二此大徑三/分之二乗之約之為二九
八三七四之五○四一得球容之數
又大平圜之周再自之恒為一知大圜周上立方與球
容之比例何者全數為母即一幾何謂/之命分數是周上之立方
也子數幾何之/得分數為球容則球容與大圜周上立方之比
[092-17b]
例若五○四一與二九八三七四而盈用小徑之數得
四九與二九○四
又球徑上立方與球容之比例若二十一與一十一而
盈若四二六與二二三而朒法置球徑一大平圜之大
積為十四分徑上方之十一以徑三之二乗之得四十
二之二十二約之得二十一之十一為球之容
又球徑上立方為一則其與球容之比例為二十一與
十一而盈或用朒法則大平圜之小積得四二六與二
二三亦徑上立方與球容之比例也右徑上立方與/球容之比例
[092-17b]
因前論置球之徑 一求球之圜面以二十二乗徑數
[092-18a]
以七除之以所得之徑乗之得圓面之積用二十二與/七而盈用二
二三與七/十一則朒 一求球之容以二十二乗徑以七除之得
數以徑三之二乘之得球之容右以徑求圜面/積及球之容
又徑上立方與球之容若二一與一一而盈若四二六
與二二三則朒 置大圜之周大圜周上之立方與球
容若二九八三七四與五○四一而盈若二九四與四
九則朒 置徑置球之圓面相乗六而一
置徑四之一乗圓面三之二/三之一乘圓面二之一 乗大圜之積三而二
[092-18b]
或徑乗積三分之二 或徑三分之二乗積俱得球之
容
或半徑乗大圜積三分之二所得為球容之半 或大
圜半積乘徑三分之二所得亦半
量球一分之曲面
凡截球面過心其一分為全球之若干量法與全球無
異或半球或四之一/或五之一俱同法 若截球面不
過心為直面而曲面界為球上之圏
則借天球之界以明之
[092-18b]
解曰甲丁己辛為子午圏甲比己南
[092-19a]
丁辛為夏至之圏從夏至圏截之甲至丁
作直線用此線為半徑作甲丁别圏亞竒
黙徳之一卷四十題曰甲丁别圏之積與
丁甲辛球分之曲面等又從巳至丁作直
線為他圏之半徑其圏之積亦與丁己辛
球分之曲面等若曲面非全球之若干
分則為無法之形
量球一分之容
[092-19b]
取球之一分截面過心其曲面之界為圏亞竒黙德曰
想圓角體其底之圏幾何與所截凸面之一分等其高
為球之半徑此體之容與今所解之球分等
如甲丁己辛球丁甲辛庚為截分丁甲辛
為凸面丁庚辛庚截面過心則先求丁甲
半徑倍之以二二乗之以七除之所得之
半以半徑乗之為凸面之積次以甲庚半徑乗之三而
一為丁甲辛庚球分之容
若截為直面不過心如甲丁辛之一分而求其容則先
[092-19b]
求甲丁辛凸面之積以徑乗之六而一為丁甲辛庚體
[092-20a]
之容次丁辛截面至心則想丁辛庚圓角體求其容以
減丁甲辛庚體之容餘為丁甲辛球分之容
量撱圓體之容
撱圓亦有法之體也又次於圓球其為體則長圓形
之長徑為軸旋轉所生如一㸃直行生線一線横行
生面一面上行生體平圓面以徑為軸轉軸環行是
生圓球長圓面則有二徑一長一短以長徑為軸轉
軸環行是生撱圓之體以短徑為軸轉軸環行是生
[092-20b]
扁圓之體撱圓之體或名為卵體非也凡烏卵一端
大一端小是為無法之體撱圓體則兩端等亞竒黙
徳之第一卷備解此體及分角體之理今略述之
凡截圓球生兩圓面成兩圏若平分之即過心過心之
截分恒相等若撱圓體從小徑横截之生兩平圓面因
小徑過心故若從其長徑直截之生兩長圓面即元體
之長圓也若横截與小徑平行亦成平圓面若斜截之
則其面皆不等皆成長圓形
凡圓角體其底之徑為撱圓體之小徑其高半長徑則其
[092-20b]
體之容為撱圓體四之一
[092-21a]
如甲乙為長徑丙丁為小徑
即丙戊丁甲半撱圓體倍大
于甲丙丁角體
解曰小徑以二十二乗之七而一小徑之周也得數以
乗小徑四而一小徑之平圓面積也得數以乗半長徑
圓柱之容也三而一角體之容也得數四之撱圓半體
之容也
若截面與小徑平行如庚己
[092-21b]
壬求撱圓分體如庚甲壬之
容黙徳法曰先求庚壬甲角體之容次用三率法己乙
大分之/軸線與戊乙半長/徑線甲己小分之/軸線并若角體甲庚壬之
容與撱圓小分庚己壬甲之容
若求大分之容先求角體庚
壬乙之容次用三率法甲己
小分之/軸線與甲乙長/徑戊乙半長/徑
并若角體庚壬乙之容與撱圓大分庚己壬乙之容
量無法之體
[092-21b]
解曰以錫為正方櫝各邊一尺或五寸若用木則以三
[092-22a]
和灰塗其罅令不漏實之以水投所
量物其中則水溢取出物量水減幾
何得物之容如減一寸而櫝邊設一
尺則得一百寸為物之容盖各邊一
尺上面積為一百寸水減一寸則為
一百寸若水減不及寸或過焉則量若干分以面積乘
之得物之容
[092-22b]
[092-22b]
新法算書卷九十二
