[090-1a]
欽定四庫全書
新法算書卷九十 明 徐光啟等 撰
測量全義
界説
第一界
面者有長有廣
第二界
平面者一面平
[090-1b]
第三界
曲面者一面曲
無界者如球卵之面有界者如窑橋之面
第四界
一界之面
一曲線内之形如圓形在圏界之内凡有三一平圓從心
至界各線俱等一撱圓如
圓柱而斜剡之得兩面焉
一無法曲線如桃棃之面
[090-1b]
第五界
[090-2a]
二界之面
如兩弧或無法之曲線或一直
線一曲線而形之有法與否則
視曲線
第六界
三界之面
三邊或直或曲以曲線為邊者先定曲線
之有法與否面因之量與二界同法以直
[090-2b]
線為本
如丙丁戊曲邊形從丙角至丁作丙丁直
線成丙乙丁兩角襍形從丙至戊從戊至
丁亦如之細分元形各依法量之用所得
或加或减以得其容凡三邊形或俱等或
俱不等或兩邊等或有直角或無直角皆有法之形也
第七界
四界之面
方面有五邊角俱等者正方也角等邊不等者長方也
[090-2b]
邊等角不等者斜方也各對角對邊等者長斜方也邊角
[090-3a]
俱不等者無法之方也首兩種之外皆屬無法葢有設邊
無設角或大或小容積
因之異焉欲求其容須
定角之度或中長線也
第八界
五以上多界之面
邉角俱等者有法之形也或邉或
角不等者皆無法之形也
[090-3b]
第九界
定度者求兩物之比例
凡量度萬形先定一有幾何之度如三丈之物以一丈之度量
之謂之某物與定度為三倍大則一丈之度名曰公度因其能
量之勢定各所量之物也凡量髙長廣逺皆屬線類則以
線為公度葢比例之兩率為同類也故量線者先具一定線或
一丈或一尺以為公度量面者先具一定面或方歩或方丈邉
等角直以為公度量線用直線以直線在萬線中為最短
[090-3b]
故量面用平面用正方以平面在萬面中為最短正方之
[090-4a]
理視萬形之理為最凖故量體亦定一度如一石斗為/六面體各面等各角及邉等
第十界
量算
丈尺寸分滿十進位畆法歩法則否二百四十方歩為
畆二十五方尺為歩一百方寸復為尺也凡若干歩之
積歩約為畆以二百四十方歩而一若干尺之積約為
歩以二十五方尺而一若干寸之積約為尺以一百方
寸而一約歩約畆則逓以歩法畆法除之
[090-4b]
第十一界
中垂線
從形心至邉作直角者為中垂線有法形之各中垂線
必等無法形各邉不等中垂線亦不等
第十二界
中長線
從形之一邉或一角至對邊作垂線是各邉上極逺之
線以得本形中之直角三邊形
第十三界
[090-4b]
直線為有法形之徑
[090-5a]
直線形本無徑聊借圓形之徑名之然有法之形周内
周外可作全圏在外者形之各邉切圏周在内者各用
切圏周故圏之徑亦可謂容形之徑
第一題
量四邉形其法有三/
形之類有二有直線有曲線兹先解直線形若曲線形
後方詳之
公量為方有法之方形二有正方四邉四
[090-5b]
角俱等直角/也以所設一邉自之得面之容
如正方田一叚各邉四歩自之其容為十六
方歩有長方以所設兩邉相乗得面之容如
長方田一叚縱五横六相乗其容為三十方歩
若斜方具邉無角亦無法之類也有中長線
之數則以底數乘之得斜方之容若無中長線之數而知一
角之數則先以角求中長線如乙丁斜方形有長濶若干
有丁角之數即從丙鈍角作丙甲垂線即中/長線則丙丁甲直
角形有丙丁邊丁角依法求甲得數以乗乙丙得元形之容
[090-5b]
若等邊斜方形作兩對角線分元形為四
[090-6a]
句股形兩對角線之交為直
法法以兩對角線相乗二而
一
四邉形有上下不等而在平行線内者名梯田舊法并
兩廣半之以中長線乗之 論曰戊己丁
丙形從上廣之兩界己戊作己甲戊乙兩
垂線即中/長線中成長方形旁有兩句股形次
[090-6b]
引戊己廣至庚得庚己與乙丙等成己庚
丁句股形與丙乙戊形等則庚乙方形與
梯田形等丙乙甲丁為兩廣之較半之者
損下廣以益上廣也兹舊法所自出也
凡斜田箕田諸法俱同前兩腰之等與不等角之等與
不等俱以平行線為本若不知中長線而
知斜邊或一角者如下文
知斜邉如丁己先分形成甲丁己直角形
[090-6b]
有甲丁為兩廣之半較有己丁弦法以兩
[090-7a]
數自之相减開方得己甲中長線
知角者如己甲丁形有甲丁邉有丁角或己角求己甲
即全數與丁角之切線若丁甲邊與己甲邊
舊法曰一面長乗中濶得形之容駁曰中廣必垂線乃
准垂線而外皆斜線必長于
中長線况斜邉乎今設兩形
之同邊異積如上圖其理易
見
[090-7b]
二不等田東長三十六西長三十北廣二十五無南廣
問田舊法并兩長折半乗北廣
駁曰若北兩皆直角者即梯田之類也否
則從何定南廣之度乎
舊法四不等田北四十二南五十六東六十四西五十
八并東西兩邉半之并南北兩邉亦半之
兩半相乗得二九八九歩為其容
駁曰若甲為直角試作乙丁對直角線成
[090-7b]
甲乙丁句股形有句股以求弦為七十六
[090-8a]
又一五三之九四其積為一三四四又以乙丙丁形之
三邉求其容得一五三七此法見後/第三題并兩形積得二八
七一知法為未合也
論曰兩廣或兩長在平行線内者并而折半損有餘補
不足改為方形也以中長線乗之則得其容若四不等
無法形也損此益彼一不能為方一不能為中長線何
縁得合乎
第二題
[090-8b]
量三邉形
乙丙丁三邊形有邉數無角數求實其法
并三邉數半之為實以每邊之數為法各
减之三較連乗得數以半總數乗之為實
平方開之得實
如三邊為七為十二為九并得二十八半之為一十四
减七較七减十二較二减九較五三較連乗得七十以
半總十四乘之得九百八十○開方得三十一又六十
二之一十九不盡
[090-8b]
又如三邊為十三十八二十一并得五十二半之為二
[090-9a]
十六减十三較十三减十八較八减二十
一較五三較連乘得五百二十○以半總
數二十六乘之得一萬三千六百二十○
開方得一百一十六又二三
二七之一六四不盡
解曰如圖乙丙丁斜角形先
平分丙丁二角作丙戊丁戊
二線遇于戊從戊向各邊作
[090-9b]
垂線為戊壬戊己戊庚三線
皆等戊壬丙戊己丙兩直角/形同用戊丙邉兩丙角
亦等形必等則戊己戊壬亦/等又壬戊丁丁戊庚兩直角
形同用戊丁邊兩丁角亦等/形必等則壬戊戊庚亦等
次從乙作乙戊平分乙角乙
戊己乙戊庚兩直角形有己
戊戊庚兩邉等同用乙戊邉
形必等則兩乙角亦等依三角形推壬丙與丙己己乙
與乙庚庚丁與丁壬各等共六線三等次于三相等邉
[090-9b]
各取一邉如乙己己丙壬丁合之為元形三邉并之半
[090-10a]
或丁庚庚乙壬丙或每相等兩形邉/减一邊得三較亦元形三邉并之半次乙丙邊引長之
取丙辛與丁壬等乙丁邊引長之取丁癸與己丙等則
乙辛乙癸皆元形三邊并之半亦三較之總數也次從
辛從癸作兩垂線遇于子乙戊引長之亦與辛子癸子
遇于子乙癸子乙辛子兩直角形之乙癸乙辛兩邉等/兩乙角亦等即乙子弦必等而辛子子癸亦等
次截丙午與壬丁等作午子線又截辛丑與壬丙等作
丑子線即丑子與丁子必等癸丁子辛丑子兩直角形/之丁癸與辛丑等癸子與
辛子等則其弦/丁子丑子必等又午丁子辛丑子兩形亦等丁子與丑/子等丁午
[090-10b]
與辛丑等則午/子與辛子必等則午為直角相似之辛角/先已為直角而丙辛子丙
午子兩直角形亦等又此兩
形并成一斜方形而丙辛子
午四角内减午辛兩直角餘
子丙兩角并為兩直角凡四/邉形
之四角并/為四直角又□ 丙壬壬丙辛
兩角并亦等兩直角而减共
用之壬丙辛餘午子辛壬丙己兩角等其各半角亦等
即丙子辛己/丙戊兩角即己丙戊辛子丙兩直角形相似己辛等/為直角
[090-10b]
己丙戊辛子丙兩角/又等即其對邉相似而戊己小句/一率與己丙小股/二率若丙辛
[090-11a]
大句/三率與辛子大股/四率次以線變為數乙丙三十五乙丁五/十丁丙五十乙己十
七强己丙十八弱丙壬十八弱壬丁三十二强辛/子四十八各有竒今約用成數令直截易算也則戊
己十二與己丙十八若丙辛三十二與辛子四十八也
又以第一率乘第四以
第二率乘第三得數必
等則戊己辛子之矩内
實己丙丙辛之矩内實
各五/七六通用可也又戊己
[090-11b]
小句/一率與辛子大句/二率若乙
己小股/三率與乙辛大股/四率
而以第一自乘又以
乘第二其兩方之比
例亦若第三與第四
見幾何七/卷十七題則戊己方
一四/四與戊己十/二辛子
四/八矩五七/六若戊己十/二
與辛子四八其比例/皆四之一亦若乙己十/七與乙辛六八何者乙/己戊乙辛子
[090-11b]
兩直角形同用己乙戊角則相似/則乙己與己戊若乙辛與辛子反之則乙己十七/一率與
[090-12a]
乙辛六八/二率若戊己方一四四/三率與戊己辛子矩五七六/四率或
與己丙丙辛矩又四率亦五七六也一二與三四異類/而為比例者根與根若積與積也四與
四異形而為同比例者論積不論形也故/先定戊己辛子矩己丙丙辛矩可通用也
又四率法既云一乘四二乘三
兩矩積等今依法乘之即得乙
己根十七/一率乗己丙丙辛矩五七/六第
四/率所得數九七/九二與乙辛根六八/二率
乗戊己方一四四/第三率所得數九七/九二
[090-12b]
等次再以乙辛乗之即得乙辛
根第一率六十八/二邉總之半乗乙辛根
六/八偕戊己元形中/垂線方一四/四之
矩實共九七九二/為第二率所得數六/六
五八/五六與乙辛根第三率六十/八三邉總之
半/乘乙己根十/七偕己丙辛丙
矩五七六乙己己丙辛/丙者三差之各數也之矩
實共九七九二/為第四率所得數六六五/八五六等依此用三較連相乘
又以半總乘之得數為實開平方得元形之積此用前
[090-12b]
所得數本法也或用元形中垂線自乘以乘半總又以
[090-13a]
半總乘之得數為實
開平方亦得元形之
積此用後所得數證
法也
何謂中垂線自乘以
乘半總又再乘而得
積以句股法解之如
戊己丙句股形若以戊己句乘己丙股得
[090-13b]
戊己丙形之倍積即己戊壬丙兩形并之
積兩形/等故又乙戊己句股形以戊己句
乘乙己股得倍積即乙庚戊己兩形
并之積又以戊壬句乘壬丁股或戊/己乘
丙/辛得倍積即庚戊壬丁兩形并之積
故戊己乘乙辛得元形之積如此即
一乘可得何待他法然元法中無戊己也特以戊己自
乘又再乘乙辛而得積與三較連乘以乘半總之元法
所得大積等故以開方而得元形之積亦等則知元法
[090-13b]
之不謬故謂垂線三乘為證法也又論二法之相合者
[090-14a]
算術中兩方相乘開方得兩根相乘之
數如圖戊己一/二自乘為戊子方一四/四以
乘乙辛六八即/戊寅為戊丑長方九七/九二又以
乘乙辛為戊寅大方六六五/八五六此前證法所得數也若以
乙辛六/八自之得四六/二四以戊己方一四/四乘之所謂兩方相
乘也得六六五/八五六開方各得八一六即戊己根一/二乙辛根
六/八相乘之數也若三較連乘又以乘乙辛雖不成方形
而連乘所得亦九七九二以乘乙辛亦六六五八五六
[090-14b]
以開方亦得八一六故三較連乘之元法無證以垂線
三乘法為證也
若直角三邉形以句股數相乘得數半
之為形之容葢方形與三角形同底同
在平行線内則方形之容倍于三邉形
之容或用半
若三邉等形則有中長線者法與句股
同為本線分元形為兩直角形也無中
長線者以法求之如乙丙丁三邉等形
[090-14b]
從丁角作垂線至乙丙邉平分元形為
[090-15a]
二一卷二/十六用句股法以乙丁乙甲兩方相减餘為甲丁
方其根則甲丁中長線也如設乙丙線一即乙甲線為
二之一各自之乙丙之方一乙甲之方四之一相减餘
四之三甲丁上方也開方得四之三之方根何謂四之/三之方根
葢四之三為方之實可明而其根不可明算家謂之不/發之根若方實百開其根為十則能發之根也既不能
發即有别法以求之故摽之以號曰四之三之方根/四之三方實也四之三之方根根號也法見下文次
以四之三乘甲乙四之一甲乙四之一與乙丙一皆有/能發之根為同類故可以相
乘若能發之根與不發之根為異類不可相乗故别求/同類者乘之同類者則兩方數也算法根乘根得方開
[090-15b]
方得方之根方乘方得方方開方得根之方今于兩率/各减其根號獨用兩方相乘得數以分法開之得異類
兩根相乘之容方積/也詳見句股索隱得方方根即根/之方十六之三為元形
之容次用分法開之得九十之三十九約之為三十之
十三元形之容也然不能畢合以開方不盡故
系三十為元形乙丙邉上方形十三
為乙丙丁三邉形之容葢兩形同底
則其比例為三十與十三求分之母
為全數全數者一也則一邉之方數亦一其根亦一
法曰三角形邊上方形與三邉形之容若三十與十三
[090-15b]
則用一邊之方數乘十三以三十除之得三邊形之容
[090-16a]
如各邊設十自之得一百以十三乘之得一三○○以
三十除之得四十三又三之一元形之容也
又如各邊為十其半五五自之得二十
五以减全邉方之一百餘七十五開方
得八又一百之六十六以五乘之得四
十三又十之三較前少差以開不盡故
公法先求形之中垂線以形之半周乘
之得形之容凡有法之形通用此
[090-16b]
解曰設三邊等形從心向各邊作垂線
又向各角作線必分元形為六直角形
而等夫甲皆直角甲乙邊俱等則其為
句股形亦各相等半句即甲乙/之半乘股即/甲
丙中/垂線得甲乙丙之容六倍之得元形之容凡用甲乙三
次為半句/者六也乘甲丙故法曰形周之半乘中垂線得形之
容如設各邊十則甲乙為五乙全角六十度則甲乙丙
角必三十度今甲乙丙角形有角有一邊用法求甲丙
邊則全數與甲乙五若乙角三十度之切線五七七二
[090-16b]
五與甲丙邊之數二八八六八五有竒為中垂線也各
[090-17a]
邊十共三十半之得十五以甲丙中垂線二八八六八
五乘之得四三三○二七五若所設各邊十為一尺約
之得其面四十二方尺又三十方寸有竒如前法
試用本題第一法邊之總數為三十半之為十五减邊
之較各五五連自乘得一二五又以半總十五乘之得
一八七五開方得四三同前法
一系若三邊等形之邊為全數如十百千等其中長
線及其容積皆不發之數十四卷/十二
[090-17b]
二系二邊等形先求中長線如三邉等形之法如兩
腰各五底六半之三自之得九以减腰
五上方二十五得十六開方得四中長
線也餘與前等
三系三邊不等形有一明角而求中長線則從一隱
角向對邊作垂線成句股形有角有弦
以求句如乙丙丁形乙丙二十四半丙
丁十二丁乙十五乙角二度二分從丁
作丁甲垂線成兩句股形其甲丁乙形
[090-17b]
有丁乙邊乙角而求丁甲邊為全數内/
[090-18a]
與丁乙邊十五外/若乙角之正弦三七五一五内/與
甲丁邉五六二七二五外/約得五尺有竒以所得與
底之十二又四之一相乘得六八九三四約之得六
十八方尺有竒元形之容也凡先設先得者為明所/求為隱邉角同下文倣
此/
若俱隱角則用本書一卷六題法從大
角至底作垂線求兩任分底之各分若
干既分元形為兩句股各有弦又求得
[090-18b]
句以求股若干即元形之中長線
法曰丁乙丁丙兩小邉相并為總相减
得存存總相乘為實底數為法而一數
與底相减所餘半之得相小邉之小半
底甲丙用句股法乙丁乙甲各自之相
减開方得丁甲如乙丙二十四丁丙十五丁乙十七
兩小邉并得三十二總也相减得二存也相乘得六
十四以底二十四除之得二又三之二以减底得二
十一又三之一半之得十又三之二甲丙也自之得
[090-18b]
一○七又九之一乙丁邉自之得二八九相减餘一
[090-19a]
八一又九之八開方得十三又三十七之十三不盡
中長線丁甲也乘半㡳十二得一六二弱元形之積也
試用本題一法三邉并得五十六半之二十八各邉
之减較為四為十三為十一連乘得五七二以半總
乘之得一六○一六開方得一二六有竒不盡若有
角求一邉或有二角求二邊亦先求邉本書一卷十/五十六題
若形之邉為斷幾何如圓果平積
之邉其法以邉數自之又加邉數
[090-19b]
半之為形之積假如各邉有三自
之得九加邊得十二半之得六形
積也又如設邉五自之得二十五
加邉三十半之得十五積也見算
章逓加法
第三題
量多邉形
一解曰有法多邉形求其容必先分元形皆為兩邉等
三角形故不論㡬何邉俱同法
[090-19b]
法曰多邉形從心至各作線悉分為兩邉等三角形
[090-20a]
各形有邊數有角數求其中長線得各三角形之容并
之得元形之容
如八邊邉設十歩從心至角作線輳心成八角皆等凡
輳心必四直角分三百六十度八而
一每角得四十五度乙丙丁角形二
邉等有丁丙底有丁乙丙角則丁丙
兩角并得一百三十五度半之得六
十七度又二之一為乙丁丙角又甲乙丁角形有丁甲
[090-20b]
半元邉/為五求甲乙垂線即全數内/與丁甲五/外若丁角之切
線二四一四/二一内與甲乙邉一二○七/一○五外約
之得十二歩有竒以乘甲丁五歩得
六二三五五二五約六十歩有竒八
之得四八八四二四○○約得四百
八十八歩有竒為元形之容
若有中長線如甲戊以其半乘半周所得與前等
又如十二邉有法形邉設十歩以十二除三百六十度
得三十度為丙乙丁角即乙丁丙角必七十五度從心
[090-20b]
作乙甲線至丁丙邉又甲乙丁角形有甲丁五歩有丁
[090-21a]
角七十五度求甲乙線即全數内/與甲乙五/外若丁角之
切線三七三二/○五内與甲乙八一八六六/○二五外約得十八歩有竒
甲乙中垂線也次如前
或用正弦數法曰各邉為本弧之弦
即半邉為半弧之正弦而中垂線為
半弧之餘弦以邊數除三百六十得
設邊之弧邉數及弧度各半之次用
半弧度求其正弦及餘弦末用三率法以半弧之正弦
[090-21b]
為第一半邉數為第二餘弦數為第三得第四為正垂
線即乙甲
如五邉等形邉設十二以五除三百
六十得七十二半之得三十六其正
弦五八七七九為一率内/其餘弦八
○九○二為三率内/半邉六為二率
外/得九又九之一為四率外/即一邉上之垂線次以形
周乘四率得數半之為形之積五邉形之周為六十乘
得五四六又九之四為五邉形之并積
[090-21b]
多邉有法形之比例 多邊有法形之具三曰邉曰周
[090-22a]
曰積形大小不等其比例等故有一形某具之比例可
得他形某具之比例
每形之邊為一一虚數也丈尺/寸分唯所設之
三邊形之周三積為三十之十三
四邉形之周四積為一
五邊之周五積為一又一一七七五七○六之八四
六九七一九約為十一之八不盡
六邉形之周六積為二又五百萬之二九九○三八
[090-22b]
一約為五之三不足
七邉形之周七積為三又八六七七六七四之五五
○七二二一約為八之一而盈
八邉形之周八積為四又一九一三四一七之一五
八五一二七約為十九之十六不足
九邉形之周九積為六又六八四○四○二之一二
四三七五五約為十七之三不盡
十邊形之周十積為七又一二三六○六八之八五
八○八九約為三之二不足
[090-22b]
用法設他形之邊求積以其邊數自之以上所列同類
[090-23a]
形之積數乘之若設他形之積求邊則上所列同類形
之積數除之所得之根設形之邊也
舊法三角形每面十四以六乘面得八十四以七而一
得十二為實半面七為法乘之得八四積也試用前法
分元形作兩句股形各形有弦有句以
求股而求積得八四又三十之二十八
幾為八五非八四
論曰所以然者古法正六面七謂丙乙十四則丙甲十
[090-23b]
二故七六相乘得四十二為丙乙丁之實八十四矣不
知丙乙十四乙甲七各自之相减開方
乃十二有竒非十二也且七除又七乘
安用之
舊法六角形每面十五以面數自之得二二五以三乘
之得六七五今用幾何四卷十五之系六邉等形内有
三角等邊形六用古法得各形之積為
九十六又七之六六因之得五九一又
七之一非六七五
[090-23b]
論曰所以然者十五自之為二二五彼以為此乙丙邉
[090-24a]
乘得乙丙丁戊形之實也不知二二五者乙丙上正方
形之實此乙丙丁戊則斜方斜方與正方同邉而異積
也斜方之積必少于正方之積故實少而誤以為多
古法八角田每面十四以面五乘得七十七而一得十
倍之得二十求一面得三十四自之得一一五六為實
面數自之得一九六為法减之餘九六○八角形積也
正法作圖每兩邉引長之遇于甲成正
方形其内有元八邉形又有甲乙丙四
[090-24b]
句股形以丙乙元形邉十四為弦求丙
甲而句股等法以弦十四自之得一九
六半之得九八開方為九又十九之十
七甲乙也甲乙甲丁等合之加于乙丁
元形之邉得三十二又十九之十七為甲甲正方之邉
自之得一一四又三六一之二二五正方之積也次求
句股四形之積得一九六弱以减正方積餘九四四有
竒元八角形之積也古法曰九六○謬矣
論曰所以然者古法方五斜七不知方五則斜七有竒
[090-24b]
不發之根也彼以甲乙等各句各股俱為十則乙丙邉
[090-25a]
與乙丙弦俱十四不知各率皆是而獨乙丙弦非十四
也故八角形之積實少而誤以為多
[090-25b]
新法算書卷九十