[010-1a] 
欽定四庫全書
新法算書卷十 明 徐光啟等 撰
大測卷二
表法篇第四
既得前六宗率更用三要法作表
要法一 前後兩弦其能等于半徑圖説系法俱見本/篇總論第十二條
要法二 有各弧之前後兩弦求倍本弧之正弦
如上甲戊弧三十五度其正弦為戊己得五七三五七
[010-1b]
六四其餘弦即乙己得八一九一五二○今以此二弦
求倍甲戊而為甲丁弧之正弦其法以乙
戊半徑千萬為第一率以戊己正弦為第
二率以乙壬餘弦為第三率即得壬庚第
四率與辛癸等為四六九八四六二倍之得丁癸為九
三九六九二四其弧甲丁七十度
論曰乙戊己與乙壬甲兩三角形比例等則乙己與乙壬等
而戊己與甲壬亦等乙己與乙壬等故乙壬為餘弦也而乙
壬庚乙戊己兩形之比例等故第四率為壬庚壬庚與辛癸
[010-1b]
同為直角形之邉故等又丁壬戊戊壬甲同為直角則甲
[010-2a]
戊戊丁兩弧等甲壬壬丁兩弦亦等而丁辛與壬庚亦等故
倍辛癸得丁癸也又丁辛壬壬庚甲兩形之三邉俱等依句
股法得甲庚邉倍之為甲癸以減半徑得癸乙為餘弦
要法三各弧之全弦上方與其正半弦上偕其矢上兩方幷等
句股術也
如上甲丁弧之正弦為丁辛其矢為甲辛
此兩線上方幷與甲丁上方等
系法有一弧之正弦及其餘弦而求其半弧之正弦
[010-2b]
如上甲丁弧其正弦為丁辛餘弦為乙辛而求甲戊弧
之甲己半弦其法于甲乙半徑減乙辛餘
弦得甲辛矢其上方偕丁辛半弦上方并
與甲丁通弦上方等開方得甲丁線半之
得甲己為甲戊弧之正弦其數如上甲丁弧三十度其
半弦丁辛為五○○○○○○乙辛餘弦為八六六○
二五四以減全半徑得甲辛矢一三三九七四六丁辛上
方為二五○○○○○○○○○○○○甲辛上方為
一七九四九一九三四四五一六并之得二六七九四
[010-2b]
九一九三四四五一六開方得甲丁線五一七六三六
[010-3a]
○即甲丁弧三十度之弦也半之為甲己半弦得二五
八八一九○其弧十五度
用前三要法即大測表大畧可作又有簡法二題其用甚
便但非恒有
簡法一 兩正弦之較與六十度左右距等弧之正弦
等見本卷/第二篇
解曰甲乙丙象限内有丙己小弧丙己戊
丁大弧丙戊弧為六十度而戊己戊丁兩
[010-3b]
弧等其前兩正弦一為己辛一為丁庚其
較丁癸題言丁癸較與己壬壬丁兩正弦各等
論曰試作一己子線則丁己子成三邉等角形何也此
形中有子丁壬壬己子兩三角形此兩角
形等又何也子壬同腰而丁壬壬己兩腰
等則丁壬己壬兩直角亦等而丁子子己
兩底亦等子丁己子己丁兩角亦等又丙戊弧既六十
度其餘戊乙弧必三十度而乙甲戊角為三十度角甲
乙庚丁既平行甲戊線截二線于子即内外角等而丁
[010-3b]
子戊角亦三十度戊子己角亦三十度是丁子己為六
[010-4a]
十度角也丁與全己全子三角既等兩直角一之三/十二則
共為一百八十度于中減全子角六十度則丁己兩全
角百二十度而此兩角既等即各得六十度則此形之
三角三邊俱等夫丁己己子兩線等則己癸垂線所分
之丁癸子癸兩直角亦等而己癸同腰則丁癸與癸子
必等丁癸為丁子之半丁壬為丁己之半全線等則所
分必等是丁癸與丁壬等與壬己亦等
系題兩弧各有其正半弦兩半弦至弧之㸃在六十度
[010-4b]
之左右而距度㸃等則前兩正半弦之較即後兩半弦
如圖丙己戊弧六十度丙己弧五十度己戊弧十度丙
己之正半弦己辛先得七千六百六十丙丁弧七十度
丁戊弧亦十度丙丁弧之正半弦為丁庚先得九千三
百九十六今求丁戊弧之半弦其法以己辛丁庚兩半
弦相減得丁癸較一千七百三十六即丁戊弧十度之
丁壬半弦此數半徑/設一萬
次系有六十度左右相離弧之正弦一率又有其原正
弦一率而求其相對之彼正弦其法有二一以大求小
[010-4b]
一以小求大以大求小者用大弧之正弦與相離弧之
[010-5a]
正弦相減其較為小弧之正弦餘則稱餘/倒則稱倒以小求大者
用相離弧之半弦加小弧之半弦即大弧之半弦
如上丁壬離弧之正弦即己壬與丁癸較
等為一千七百三十六丁庚大弦為九千
三百九十六相減得癸庚七千六六○即
己丙弧之己辛小弦反之丁癸較為一千七百三十六
即丁壬/離弦以加于癸庚即辛己/小弦七千六百六十得丁庚大
弦九千三百九十六
[010-5b]
用此法于象限内先得半弦六十率用加減法即得其
餘三十率
簡法二 有兩弧不等之各正弦又有其各餘弦而求
兩弧相加相減弧之各正弦其法有二一相加一相減
相加者以前弧之正弦乘後弧之餘弦以後弧之正弦
乘前弧之餘弦各得數并之為實以半徑為法而一得
兩弧相加為總弧之正弦相減者亦如前法互乘得各
數相減餘為實以半徑為法而一為
兩弧相減弧之正弦
[010-5b]
如上甲乙前弧二十度乙丙後弧十
[010-6a]
五度總三十五度其差五度甲乙弧之半弦為三四二
○二○一其餘弧甲丁之半弦為九三九六九二六乙
丙弧之半弦為二五八八一九○其餘弧乙丁之半弦
為九六五九二五八以甲乙半弦與丙丁餘弦之半乘
得三三○三六六○三八七○八五八以乙丙半弦與
甲丁餘弦乘得二四三三二一○二九九○五七四○
以相加得五七三五七六三以下滿半收為/一不滿去之三七七六
五九八以半徑為法而一得五七三五七六三即三十
[010-6b]
五度弧之半弦若以相減則餘八七一五五七三九六
五一一八以半徑為法而一得八七一五五七即○五
度弧之半弦此題多羅某所用全弦故説中云半弦而
圖與數皆全弦然全與全半與半比例等則亦未有異
也
有前六宗率為資有後三要法為具資為材料/具如器械即可作大
測全表
如用前法求得十二度弧之正半弦率而求其相通之
他率
[010-6b]
弧 度 分 用法得半弦數
[010-7a]
正弧 一二 二○七九一一七
半之/ ○六 一○四五二八五
又半之/ ○三 五二三三六○
又半之/ ○一三○ 二六一七六九
又半之/ ○○四五 一三○八九六
其餘弧 八四 六度之餘/第一九九四五二一九
八七 三度之餘/ 九九八六二九五
八八三○一度半之/餘 九九九六五七三
[010-7b]
八九一五○度四十/五分之餘 九九九九一四三
弧 度 分 用法得正弦數
半其餘八/十四度四二 六六九一三○六
半之/ 二一 三五八三六七九
又半之/ 十○三○ 一八二二三五五
又半之/ ○五一五 九一五○一六
半其餘八/十七度四三三○ 六八八三五四六
又半之/ 二一四五 三七○五五七四
半其餘八/八三○四十四 十五 六九七七九○五
[010-7b]
又用前七率之餘弧而求其正弦
[010-8a]
四八 四十二之/餘第一七四三一四四八
六九 二十一之/餘 九三三五八○四
七九三○十度半之/餘 九八二二五四九
八四四五五度十五/分之餘 九九五八○四九
四六三○四十三度/半之餘 七二五三七四四
六八一五二十一四/十五分餘 九二八八○九六
四五四五四十四十/五分之餘 七一六三○一九
又半前七率而求其正弦
[010-8b]
二四 四十八之/半 四○六七三六六
弧 度 分 用法得正弦數
三四三○六十九之/半 五六六四○六二
一七一五三十四三/十分之半 二九六五四一六
三九四五七十九三/十分之半 六三九四三九○
二三一五四十六三/十分之半 三九四七四三九
又用前五率之餘弧而求其半弦
六六 二十四之/餘第一九一三五四五五
五五三○三十四三/十分之餘 八二四一二六二
[010-8b]
七二四五十七度十/五分之餘 九五五○一九九
[010-9a]
五○一五三十九四/十五分餘 七六八八四一八
六六四五二十三度/十五分餘 九一八七九一二
又半前五率而求其正弦
三三 六十六之/半 五四四六三九○
一六三○三十三之/半 二八四○一五三
○八一五一十六三/十分之半 一四三四九二六
二七四五五十五三/十分之半 四六五六一四五
又用前四率之餘弧而求其正弦
[010-9b]
五七 三十三之/餘第一八三八六七○六
弧 度 分 用法得正弦數
七三三○十六度三/十分之餘第一九五八八一九七
八一四五八度十五/分之餘 九八九六五一四
六二一五二十七四/十五分餘 八八四九八七六
又半前四率而求其正弦
二八三○五十七度/之半 四七七一五八八
一四一五二十八三/十分之半 二四六一五三三
三六四五七十三三/十分之半 五九八三二四六
[010-9b]
又用前三率之餘而求其正弦
[010-10a]
六一三○二十八度/三十分餘第一八七八八一一一
七五四五十四度十/五分之餘 九六九二三○九
五三一五三十六四/十五分餘 八○一二五三八
又半前六十一度三十分而求其正弦
三○四五 五一一二九三一
又用前三十○度四十五分之餘而求其正弦
五九一五 第一八五九四○六四
已上皆十二度所生之率再用其餘弧七十八度推之
[010-10b]
亦如前法又十二度之弧為前六宗率之十五邉形也
其餘五形如三邊四邉五邉六邊十邉形亦如前法作
此既畢即大測表之大段全具矣何者首得者四十五
分其次為一度三十分又次為二度一十五分如此常
越四十五分而得一率乃至九十度皆然所少者其中
之各第一以至四十四分也今欲求初度一分以至四
十五分如何其法以四十五分弧之半弦一三○八九
六用第二第三法半之得二十二分三十秒之弧其半
弦為六五四四九又半前弧得一十一分一十五秒之
[010-10b]
弧其半弦為三二七二四半夫二十二分三十秒之前
[010-11a]
弧倍于一十一分十五秒之後弧而前半弦亦倍于後
半弦蓋繇初度之弦與弧切近畧似相合為一線故也
則用同比例法即三/率法以二十二分三十秒之弧為第一
率以其半弦六五四四九為第二率設十分之弧為第
三率而得第四率為二九○八八再用此法得一分之
弧為二九○九弱既得一分即用前法推之可至一十
五分此外更用前三要法推之以至九十度
其求切線皆用三率法
[010-11b]
以餘半弦為第一率以半弦為第二率以半徑為第三
率而得第四切線
如三十度之弧其餘半弦八六六○二五
四為第一率其半弦五○○○○○○為
第二率半徑一○○○○○○○為第三
率則得第四率五七七三五○二
其求割線亦用三率法
以餘半弦為第一率半徑為第二率又為第三率而得
割線第四率
[010-11b]
如前戊乙為三十度之弧其餘半弦甲丙八六六○二
[010-12a]
五四為一率半徑甲戊一○○○○○○○為二率又
以半徑甲乙為第三率而得甲丁一一五四七○○五
為三十度弧之割線
其求割線之約法不用三率而用加減法
如上乙己弧二十度其切線為乙戊餘
弧為己丙七十度半之得己丁三十五
度即截乙庚弧與己丁等次作乙辛切
線得數以加乙戊切線即兩切線并為戊乙辛切線與
[010-12b]
甲戊割線等
其求矢法以餘半弦減半徑得小矢
如丙丁弧五十度餘弧甲丁四十度其餘
半弦丁戊即己乙為六四二七八七六以
減乙丙千萬得己丙矢
已上所述皆逺西法也彼自度以下逓析為六十今中
厯遞用百析為便故須會通前表為百分之表其會通
法如西六十分即中之百分半之三十分即五十分又
半之十五分即二十五分以五為法西三分即中五分
[010-12b]
次用倍法六分即十分九分即十五分十二分即二十
[010-13a]
分如是以至六十
三/五 六/十 九五/十 十二/二十 十五五十八十二十一五二十四/二十 三 三十 四十 二十七/四十五 三十/五十
三三/五五 三六/六十 三九/六五 四二/七十 四五/七五 四八/八十 五一/八五 五四/九十 五七/九五 六十/百
通表法書各度之四種割圓線中西法皆同所不同者
分也其分數書五分用其三分之率書十分用其六分
之率如是逓至于百所闕者每二率相距少其間四率
耳則用加減法求之
如二十四度○三分即中五分也其小弦數小弦者十/萬為半徑
[010-13b]
也/四○七五三又二十四度○六分即中十分也其小
半弦四○八三三其差八十五分之得十六為一差以
加于前小半弦即得四○七六九為中厯二十四度六
分之半弦再加一差得四○七八五為七分之半弦三
加得四○八○一為八分之半弦四加得四○八一七
為九分之半弦五加得四○八三三為十分之半弦合
前率矣如是逓加之得六十與百分相通之全表
西法每二率各有差其差大抵半度而一更也若差數
有畸零不盡者如西表二十四度二十七分之半弦為
[010-13b]
四一三九○又二十四度三十分之半弦為四一四六
[010-14a]
九其差得七十九五分之得十五又五分之四為一差
通之則從中表二十四度四十五分首加一差
二十四度四十五分 四一三九○
差/法一五 五之四
四十六分 加一/差 四一四○五 五之四
四十七分 加二/差 四一四二一 五之三
四十八分 加三/差 四一四三七 五之二
四十九分 加四/差 四一四五三 五之一
[010-14b]
五十○分 加五/差 四一四六九
如上有畸零者滿半收為一不滿去之
[010-15a]
考表法 作表未必無誤其考之之法
如表書七十七度一十八分其切線為四四三七三四
九九此率如屬可疑則以前後各二率考之
[010-16a]
表用篇第五
表用一 有弧數求其正弦
如三十七度五十四分之弧求其正弦查本度本分表
得六一四二八五三
又如三十七度五十四分四十六秒求其半弦查本度
本分之半弦為六一四二八五三又取次率五十五分
之半弦為六一四五一四八相減得差二二九五若表/上有
差率即/取本差此差以當六十秒用三率法以六十秒為第一
[010-16b]
率以二二九五差為二率以四十六秒為三率而求四
率得一七五九以加所取之前半弦六一四二八五三
共得六一四四六一二即所求
系凡求切線割線同上法
次系有正弧求餘弦視本弧同位之餘度分向正弧表
上取其正弦
如求三十度之餘弦視正弧表上與同位者為餘弦六
十度即向正弧六十度取其弦八六六○二五四即三
十度之餘弦表上逆列同位者為五十九度六十分而/此言六十度盖并其六十分為六十度其
[010-16b]
逆列六十度者則是六十一度何者凡/所書弧分皆所書弧度之算外分故也
[010-17a]
又如求五十度○分之餘弦本表逆列同位者為三十
九度六十分即于正弦表上簡三十九度六十分之弦
得六四二七八七六即所求
三系測三角形欲得見弧見弧者有己得之弧而求其/弦也隠弧者有己得之弦而
求其弧也凡己得者稱見未得/稱隠諸線諸角之屬皆倣此之各線查表之本度分
直取之則各線咸在也如弧三十度求其割圓各線即
查表之三十度初分又查其同位之六十度所得如左
三十度初/分正弦 五○○○○○○
[010-17b]
切線 五七七三五○三
割線 一一五四七○○五
餘五十九度/六十分弦 八六六○三五四
切線 一七三二○五○八
割線 二○○○○○○○
四系有鈍角求其各線如鈍角一百四十二度六分其
正弦則以一百四十二度六分減半周餘三十七度五
十四分查表求其正弦得六一四三八五三
如上丙丁正弦當丙乙小弧亦當丙戊大弧故當丙甲
[010-17b]
丁鋭角亦當丙甲戊鈍角何者甲上鋭鈍二角原當兩
[010-18a]
直角而表上無鈍角之弧與其正弦故減鈍
角于百八十度得鋭角三十七度五十四分
其半弦丙丁以當丙戊大弧即以當大弧之
鈍角也
表用二 有正弦求其弧
與前題相反如有正弦八八八八八三九欲求其弧查
表上正弦格得此數即得本度為六十二本分為四十
四也
[010-18b]
又如正弦五七六五八三四求弧查表無此數即取其
近而畧小者得三十五度十二分之弦為五七六四三
二三與見弦相減餘一五一一又取其近而畧大者得
五七六六七○○與前小弦相減餘二三七七以此大
差當六十秒用三率法以二三七七大差為第一率以
六十秒為第二率以一五一一小差為第三率而得第
四率為三十五度十二分三十秒即所求他各線求弦
俱倣此
表用三 有弧求其通弦
[010-18b]
如七十五度四十八分之弧求通弦其法半之得三十
[010-19a]
七度五十四分求其正弦得六一四二八五二倍之得
一二二八五七○四即所求
如甲乙弧七十五度四十八分半之為乙戊
弧求得乙丁正弦倍之即乙丁甲通弦也因
通弦無表故用半弧正弦倍之即是他準此
表用四 有弧求其大小矢
如乙丁弧三十七度五十四分求兩矢查表
截矢數得乙丙小矢為二一○九一五九以
[010-19b]
減全徑二○○○○○○○得大矢一七八
九○八四一如表無小矢即求見弧之餘弦得七八九
○八四一以減半徑得小矢
[010-20a]
測平篇第六
測平者測平面上三角形也凡此形皆有六率曰三邊曰
三角角無測法必以割圓線測之其比例甚多今用四
法以為根本依此四根法可用大測表測一切平面三
角形亦執簡御繁之術也凡測三角形皆用三率法即/同
比/例三率法又以相似兩三角形幾何六/卷四為宗下文詳之
根法一 各三角形之兩邊與其各對角兩正弦比例等
一云右邊與左邊若左角之弦與右角之弦
[010-20b]
如上甲乙丙平面三角形其甲丙兩為鋭角即以甲為
心甲乙為半徑作乙戊弧次作乙己垂線即
乙戊弧之正弦亦即甲角之正弦也又以甲
乙為度從丙截取丙庚從丙心庚界作庚辛
弧又作垂線庚丁即庚辛弧與丙角之正弦
也題言乙角之甲乙右邊與乙丙左邉若左角丙之庚
丁正弦與右角甲之乙己正弦
論曰乙丙己三角形有乙己庚丁兩平行線即乙丙與
乙己若庚丙與庚丁而丙庚原與甲乙等即乙丙與乙
[010-20b]
己若甲乙與庚丁更之即甲乙與乙丙若庚丁與乙己
[010-21a]
如上甲乙丙形乙為直角有丙乙丁戊兩平
行線即甲丙與丙乙若甲丁與丁戊而乙丙
與甲丁等即甲丙與丙乙若丙乙與丁戊反
之則丙角之丙乙右邊與丙甲左邊若左角
甲之丁戊弦與右角乙之丙乙弦
如上甲乙丙形乙為鈍角其正弦丙壬而甲
戊線與乙丙等甲角之正弦為戊己題言丙
角之甲丙右邊與丙乙左邊若左角乙之丙
[010-21b]
壬弦與右角甲之戊己弦何也試于形外引
甲乙至丁作丙丁線與丙乙等即丁角與乙鋭角等依
首條甲丙與丙丁若丙壬與戊己即甲丙與丙乙亦若
丙壬與戊己
總論之各三角形各兩邊之比例與兩對
角之兩正弦比例等者何也試于形外作
切圏則三邊為三弦而本形之各邊皆為
各對角之通弦即乙丙邉與甲乙邉若甲角之弦與丙
角之弦也當已即是豈止同比例而已乎夫全與全半
[010-21b]
與半比例等則各半弦與各通弦之比例亦等
[010-22a]
此題為用對角根本
根法二 各三角形以大角為心小邊為半徑作圏而截
兩邊各為圏内外兩線即底線與兩腰并若腰之外分
與底之外分
如上甲乙丙形其小邉甲丙其底乙丙以
甲為心甲丙為半徑作圏截底于戊截大
腰于庚題言乙丙底與乙甲甲丙兩腰并
若腰外分乙庚與底外分乙戊
[010-22b]
論曰試作乙己引出線即甲己與甲丙等而乙己與兩
腰并等乙己乙庚矩内形與乙丙乙戊矩内形兩容等
幾何三/卷三五即兩形邉為互相視之邊而乙己與乙丙若乙
戊與乙庚既得乙戊底外分以減全底得戊丙半之得
垂線所至為丁丙
此題為用垂線根本
根法三 有兩角并之數又有其各正弦之比例求兩分
角之數
如上乙甲丙角有其弧乙辛丙之數其兩分之大角為
[010-22b]
乙甲壬小角為壬甲丙未得數但知大角正弦乙丁小
[010-23a]
角正弦丙戊之比例亦未得數而求兩分
角之數其法以乙辛丙弧兩平分于辛作
甲辛線乙甲辛辛甲丙兩角等而辛甲壬
角為半弧與小弧之差又為大弧與小弧之半差次截
辛庚弧與辛戊等作甲庚線即庚甲壬角為大小兩弧
之差夫乙丙者總角之弦乙丑平分弧之正弦而己辛
為乙辛半弧之切線辛癸為辛丙半弧之切線此二線
等而辛壬辛庚各為半差弧之切線亦等又乙丁子子
[010-23b]
丙戊兩形為兩正弦上三角形此兩形之丁與戊皆直
角又同底即兩正弦之對角為子上兩交
角亦等幾何一/卷十題而丁乙子子丙戊兩角亦
等幾何一/卷三二則兩形為相似形而乙丁正弦
與丙戊正弦若乙子與子丙幾何六/卷四先既有乙丁丙戊
兩正弦之比例即得乙子與子丙之比例而又得乙子
與子丙之較為子寅夫乙丙己癸兩線同為甲辛半徑
上之垂線即平行甲乙丙甲己癸兩形之各角等即為
相似之形六卷/四而兩形内所分之各兩三角形如甲庚
[010-23b]
癸甲寅丙之類俱相似即以兩線之并數乙丙為第一
[010-24a]
率以兩線之差數子寅為第二率以兩半弧之兩切線
己癸為第三率則得兩差弧之切線庚壬為第四率矣
而此比例稍繁别有簡者則半之曰丙丑與子丑若癸
辛與壬辛也有更簡者則曰乙丙與子寅若辛癸與辛
壬也今用第三法云乙丙為兩邉之并數子寅其較數
辛癸為兩角總數内半弧之切線而辛壬為大小兩角
較弧之切線既得辛壬切線即得辛甲壬角以加乙甲
辛半角即得乙甲壬大角以減辛甲丙半角即得壬甲
[010-24b]
丙小角
以數明之乙甲丙角為四十度所包大小
兩隠角為乙甲壬壬甲丙其兩正弦乙丁
丙戊之比例為七與四即乙子子丙之比
例亦七與四而乙丙之總數如十一平分之于丑即乙
丑丑丙各得五有半而乙辛辛丙兩弧各二十度又以
大線七與半線相減餘一有半以半線五有半與小線
四相減亦餘一有半又甲辛為半徑即辛丙二十度弧
之切線辛癸為三六三九七○二即以丑丙五有半為
[010-24b]
第一率以辛癸切線三六三九七○二為第二率以子
[010-25a]
丑一有半為第三率而得辛壬切線九九二六四六為
第四率既得第四率即得辛壬所當辛甲壬角為五度
四十○分八秒以減辛丙二十度餘壬甲小角一十四
度一十九分五十二秒以加半弧乙辛得乙甲壬大角
二十五度四十○分八秒
此題為用切線根本
根法四 凡直角三邊形之各邉皆能為半徑
其一以弦線為半徑作弧即餘兩腰包直角者各為其
[010-25b]
對角之正弦
如上甲乙丙形其乙丙為對直角之弦線
以為半徑作丁丙弧即甲丙小腰為對角
乙之正弦甲乙大腰為對角丙之正弦
其二以大腰為半徑即小腰為小角之切線而弦線為
小角之割線
如上甲乙大腰為半徑即甲丙小腰為乙
小角之切線而乙丙為乙角之割線
其三以小腰為半徑即大腰為大角之切線而弦線為
[010-25b]
大角之割線
[010-26a]
如上甲丙小腰為半徑即甲乙大腰為丙
大角之切線而乙丙弦線為其割線
此題為用割圓各線根本
[010-26b]
新法算書卷十
