[039-1a] 
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷三十四
末部四
借根方比例線類/
[039-2a]
線類
設如有一竹竿長一丈欲分為大小兩分大分比小
分多四尺問大小分各幾何
法借一根為小分則大分即為一根多
四尺兩數相加得二根多四尺與一丈
相等二根既多四尺乃減去所多四尺
餘二根又於一丈内亦減去四尺餘六
尺是為二根與六尺相等二根既與六
[039-2b]
尺相等則一根必與三尺相等前既借
一根為小分則三尺即小分再加四尺
得七尺即大分也此減法也於一丈内/減去大分所多之四
尺餘六尺折半得三尺即小分之數此/法甚易盖因借根比例之首先設此以
明其理使人由/淺以入深也
設如有銀三百四十三兩分給衆匠其為首一人所
得之銀與衆匠人數相等衆匠每人得銀六兩問
共人數幾何
法借一根為為首一人所得之銀數亦
[039-2b]
即為衆匠之人數以衆匠之人數一根
[039-3a]
與六兩相乗得六根為衆匠之銀數相
加得七根與三百四十三兩相等七根
既與三百四十三兩相等則一根必與
四十九兩相等即為首一人所得之銀
數亦即衆匠之人數以四十九人與六
兩相乗得二百九十四兩即衆匠所得
共銀數再加為首一人所得銀數四十
九兩得三百四十三兩以合原數也此/歸
[039-3b]
除法也以每匠得銀六兩加一兩得七/兩以除共銀三百四十三兩即得四十
九兩為為首一人所得銀數亦即衆匠/之人數葢為首一人之銀既與衆匠人
數等若以為首一人之銀分給衆匠每/人必多得一兩故於每人之銀數外加
一兩以除共/銀即得也
設如有繩二條不言丈數但知其長短之比例同於
九與五其相差之較與短繩除長繩所得之數相
等問二繩各長若干
法借九根為長繩之數五根為短繩之
數兩數相減餘四根以五根除九根得
[039-3b]
一八即一丈八尺是為四根與一丈八
[039-4a]
尺相等四根既與一丈八尺相等則一
根必與四尺五寸相等九因之得四丈
零五寸即長繩數五因之得二丈二尺
五寸即短繩數以二丈二尺五寸與四
丈零五寸相減餘一丈八尺以二丈二
尺五寸除四丈零五寸亦得一丈八尺
也此歸/除法
設如甲乙丙三人有銀不言數但知甲乙共銀九十
[039-4b]
兩乙丙共銀四十五兩甲丙共銀七十三兩問三
人各銀幾何
法借一根為三人之總銀數以甲乙共
銀九十兩計之則丙為一根少九十兩
以乙丙共銀四十五兩計之則甲為一
根少四十五兩以甲丙共銀七十三兩
計之則乙為一根少七十三兩三數相
加得三根少二百零八兩而與所借之
一根相等三根少二百零八兩與一根
[039-4b]
各加二百零八兩得三根與一根多二
[039-5a]
百零八兩相等三根少二百零八兩内/加二百零八兩則補足
三根整數一根上再加二百零八/兩則為一根多二百零八兩矣三根
與一根再各減一根則餘二根與二百
零八兩相等二根既與二百零八兩相
等則一根必與一百零四兩相等即三
人之總銀數總銀一百零四兩内減甲
乙共銀九十兩餘一十四兩為丙銀數
減乙丙共銀四十五兩餘五十九兩為
[039-5b]
甲銀數減甲丙共銀七十三兩餘三十
一兩為乙銀數也此加減法也如以三/數相加得二百零八
兩折半得一百零四兩即總銀數總銀/數内減甲乙共銀數餘為丙銀數總銀
數内減甲丙共銀數餘為乙銀數總銀/數内減乙丙共銀數餘為甲銀數也
設如甲乙丙三人有銀不言數但知甲乙共銀數比
丙銀多六十八兩乙丙共銀數比甲銀多一百兩
丙甲共銀數比乙銀多一百二十四兩問三人各
銀幾何
法借二根為三人之總銀數以甲乙共
[039-5b]
銀數比丙銀多六十八兩計之則甲乙
[039-6a]
共銀為一根多三十四兩丙銀為一根
少三十四兩二根既為三人之總銀數/平分之則甲乙應得一根
丙應得一根甲乙共銀比丙所多六十/八兩平分之則甲乙應得三十四兩丙
應得三十四兩甲乙所得為多丙所得/為少故甲乙為一根多三十四兩丙為
一根少三十四兩共相/差為六十八兩下倣此以乙丙共銀數
比甲銀多一百兩計之則乙丙共銀為
一根多五十兩甲銀為一根少五十兩
以丙甲共銀數比乙銀多一百二十四
[039-6b]
兩計之則丙甲共銀為一根多六十二
兩乙銀為一根少六十二兩乃以丙銀
一根少三十四兩甲銀一根少五十兩
乙銀一根少六十二兩三數相加得三
根少一百四十六兩而與所借之二根
相等三根少一百四十六兩與二根各
加一百四十六兩得三根與二根多一
百四十六兩相等三根與二根再各減
二根則餘一根與一百四十六兩相等
[039-6b]
一根既與一百四十六兩相等則二根
[039-7a]
必與二百九十二兩相等即三人之總
銀數前既以丙銀為一根少三十四兩
乃於一百四十六兩内減三十四兩餘
一百一十二兩即丙銀數甲為一根少
五十兩乃於一百四十六兩内減五十
兩餘九十六兩即甲銀數乙為一根少
六十二兩乃於一百四十六兩内減六
十二兩餘八十四兩即乙銀數也此加/減法
[039-7b]
也如以甲乙比丙所多之六十八兩與/乙丙比甲所多之一百兩相加得一百
六十八兩折半得八十四兩即乙銀數/又以乙丙比甲所多之一百兩與甲丙
比乙所多之一百二十四兩相加得二/百二十四兩折半得一百一十二兩即
丙銀數再以乙丙數相加得一百九十/六兩内減去乙丙比甲所多之一百兩
餘九十六兩/即甲銀數也
設如有銀分賞衆人不言銀數亦不言人數但知第
一人得銀一兩又得餘銀之十分之一第二人得
銀二兩又得餘銀之十分之一第三人得銀三兩
又得餘銀之十分之一以下分賞之數皆準此例
[039-7b]
所得之銀皆相等問人數及銀數各幾何
[039-8a]
法借一根為第一人所得餘銀之數
則一兩多一根為第一人所得總銀數
又第一人得餘銀十分之一則餘銀必為
十根減去一根仍餘九根再於九根内
減去第二人所得之二兩為九根少二
兩以九根少二兩取其十分之一得十
分根之九少二錢與第二人之二兩相
加得二兩作二/十錢多十分根之九少二錢
[039-8b]
為與第一人所得之一兩作一/十錢多一根
相等一兩多一根與二兩多十分根之
九少二錢各加二錢得一兩二錢多一
根與二兩多十分根之九相等多一根
與多十分根之九各減十分根之九餘
一兩二錢多十分根之一與二兩相等
一兩二錢與二兩又各減一兩二錢則
餘十分根之一與八錢相等十分根之
一既與八錢相等則一根必與八兩相
[039-8b]
等即第一人所得餘銀之數乃以十因
[039-9a]
之得八十兩又加第一人所得之一兩
共八十一兩即原共銀數第一人得一
兩又加餘銀八十兩之十分之一八兩
共為九兩第二人得二兩又加餘銀七
十兩之十分之一七兩亦共為九兩第
三人得三兩又加餘銀六十兩之十分
之一六兩亦共為九兩第四人得銀四
兩又加餘銀五十兩之十分之一五兩
[039-9b]
亦共為九兩第五人得銀五兩又加餘
銀四十兩之十分之一四兩亦共為九
兩第六人得銀六兩又加餘銀三十兩
之十分之一三兩亦共為九兩第七人
得銀七兩又加餘銀二十兩之十分之
一二兩亦共為九兩第八人得銀八兩
又加餘銀十兩之十分之一一兩亦共
為九兩第九人得銀九兩銀盡無餘是
共九人每人得銀九兩皆相等也此加/減法
[039-9b]
也以分母十與分子一相減餘九即人/數以人數九自乗得八十一即總銀數
[039-10a]
也葢惟人數與每人所得銀數相等者每/人遞加一兩又各加餘銀十分之一所得
始能相等故以人數/自乗即得銀數也
設如有人行路共二千八百里步行則日行七十里
坐船則日行九十里乗馬則日行一百里但知步
行之日數倍於坐船坐船之日數倍於乗馬問步
行及坐船乗馬之日數各若干
法借一根為乗馬之日數則坐船之日
數為二根步行之日數為四根以一根
[039-10b]
與一百里相乗得一百根為乗馬所行
之里數以二根與九十里相乗得一百
八十根為坐船所行之里數以四根與
七十里相乗得二百八十根為步行所
行之里數三數相加得五百六十根是
為五百六十根與二千八百里相等五
百六十根既與二千八百里相等則一
百根必與五百里相等前既以一百根
為乗馬所行之里數則與一百根相等
[039-10b]
之五百里即乗馬所行之里數以乗馬
[039-11a]
每日行一百里除之得五日與一根相
等即乗馬所行之日數倍之得十日即
坐船所行之日數以坐船每日行九十
里乗之得九百里為坐船所行之里數
再以坐船所行之十日倍之得二十日
即步行之日數以步行每日行七十里
乗之得一千四百里為步行之里數以
乗馬所行之五百里與坐船所行之九
[039-11b]
百里及步行之一千四百里相併共得
二千八百里以合原數也此遞加比例/法用借衰互
徵法算/之亦可
設如一驢一馬一車共馱載一千五百二十斤馬所
馱之數倍於驢仍多四十斤車所載之數倍於馬
驢共馱之數却少四十斤問驢馬車各馱載幾何
法借一根為驢所馱之數則馬為二根
多四十斤車為六根多四十斤驢馬數/相併得
三根多四十斤倍之為六根多八十斤/内減去少四十斤則為六根多四十斤
[039-11b]
三數相加得九根多八十斤是為九根
[039-12a]
多八十斤與一千五百二十斤相等多
八十斤與一千五百二十斤各減去八
十斤則餘九根與一千四百四十斤相
等九根既與一千四百四十斤相等則
一根必與一百六十斤相等即驢所馱
之數倍之得三百二十斤再加四十斤
得三百六十斤為馬所馱之數將馬驢
所馱之數相加得五百二十斤倍之得
[039-12b]
一千零四十斤再減去四十斤得一千
斤即車所載之數驢馱一百六十斤馬
馱三百六十斤車載一千斤三數相加
共一千五百二十斤以合原數也此按/數加
減比例法用借衰/互徵法算之亦可
設如有銀三百八十五兩令十一人挨次遞加三兩
分之問每人各得若干
法借一根為第一人所得銀數以十一
乗之得十一根又以第一人至第十一
[039-12b]
人遞加三兩計之共得多一百六十五
[039-13a]
兩是為十一根多一百六十五兩與三
百八十五兩相等十一根多一百六十
五兩與三百八十五兩各減一百六十
五兩則餘十一根與二百二十兩相等
十一根既與二百二十兩相等則一根
必與二十兩相等即第一人所得銀數
遞加三兩則知第二人得二十三兩第
三人得二十六兩第四人得二十九兩
[039-13b]
第五人得三十二兩第六人得三十五
兩第七人得三十八兩第八人得四十
一兩第九人得四十四兩第十人得四
十七兩第十一人得五十兩各數相加
共得三百八十五兩以合原數也此按/數加
減比/例法
設如有銀四百七十四兩令十二人挨次遞加分之
但知第一人得銀一十二兩問每人各得若干
法借一根為每人遞加之數以第一人
[039-13b]
至第十二人遞加一根計之則得六十
[039-14a]
六根再以十二兩與十二人相乗得一
百四十四兩是為六十六根多一百四
十四兩與四百七十四兩相等六十六
根多一百四十四兩與四百七十四兩
各減去一百四十四兩則餘六十六根
與三百三十兩相等六十六根既與三
百三十兩相等則一根必與五兩相等
即每人遞加之數以第一人所得十二
[039-14b]
兩加五兩即第二人所得十七兩依此
遞加則知第三人得二十二兩第四人
得二十七兩第五人得三十二兩第六
人得三十七兩第七人得四十二兩第
八人得四十七兩第九人得五十二兩
第十人得五十七兩第十一人得六十
二兩第十二人得六十七兩各數相加
共得四百七十四兩以合原數也此按/數加
減比/例法
[039-14b]
設如一人借銀營利三次每次得利之後則還銀二
[039-15a]
百四十兩復以餘銀作本其每次所得利銀皆與
每次本銀相等至第三次還銀後則銀盡無餘問
原借銀若干
法借一根為原借本銀數則第一次利
銀亦為一根是本利共二根除還銀二
百四十兩則初次餘銀即為二根少二
百四十兩再以二根少二百四十兩為
第二次本銀數加第二次利銀則為四
[039-15b]
根少四百八十兩除還銀二百四十兩
則第二次餘銀即為四根少七百二十
兩再以四根少七百二十兩為第三次
本銀數加第三次利銀則為八根少一
千四百四十兩除還銀二百四十兩則
第三次餘銀當為八根少一千六百八
十兩八根少一千六百八十兩而銀盡
無餘即八根與一千六百八十兩相等
也八根既與一千六百八十兩相等則
[039-15b]
一根必與二百一十兩相等即原借本
[039-16a]
銀之數因每次所得利銀皆與本銀相
等故以原借本銀之數倍之得四百二
十兩除還二百四十兩餘一百八十兩
為第二次本銀之數又倍之得三百六
十兩又除還二百四十兩餘一百二十
兩為第三次本銀之數又倍之得二百
四十兩再還二百四十兩則銀恰盡無
餘也此按分遞折比例法用/疊借互徵法算之亦可
[039-16b]
設如甲乙丙三人各作一器則甲六日可完乙八日
可完丙二十四日可完今命三人同作問得日幾
何
法借一千一百五十二根三分母連/乗之數為
三人同作完之日數以甲六日計之則
甲每日得一百九十二根以乙八日計
之則乙每日得一百四十四根以丙二
十四日計之則丙每日得四十八根三
數相加共得三百八十四根與一日相
[039-16b]
等三百八十四根既與一日相等則一
[039-17a]
千一百五十二根必與三日相等即三
人同作完之日數也此和數/比例法
設如甲丙二商不言本銀若干但知甲之本銀四倍
於丙而甲本銀内減去七十二兩則兩人之銀適
等問二人本銀各幾何
法借一根為丙本銀數則甲本銀為四
根以甲本銀減七十二兩與丙銀相等
計之則於甲本銀四根内減七十二兩
[039-17b]
是為甲四根少七十二兩與丙一根相
等四根少七十二兩與一根各加七十
二兩得四根與一根多七十二兩相等
四根與一根各減去一根則餘三根與
七十二兩相等三根既與七十二兩相
等則一根必與二十四兩相等即丙本
銀數再加七十二兩得九十六兩即甲
本銀數也此較數/比例法
設如甲乙二人分銀其數相等甲用過一百兩乙用
[039-17b]
過三十兩則乙之餘銀三倍於甲問二人原各分
[039-18a]
銀幾何
法借一根為原分銀之數則甲之餘銀
為一根少一百兩乙之餘銀為一根少
三十兩乙之餘銀既三倍於甲則將甲
餘銀一根少一百兩三倍之為三根少
三百兩即與乙之餘銀一根少三十兩
相等矣三根少三百兩與一根少三十
兩各加三百兩則得三根與一根多二
[039-18b]
百七十兩相等甲三根少三百兩今加/三百兩則補足三根整
數乙一根少三十兩今加三百兩以三/十兩補原少之數則止多二百七十兩
三根與一根各減去一根則餘二根與
二百七十兩相等二根既與二百七十
兩相等則一根必與一百三十五兩相
等前既借一根為原分銀之數則此一
百三十五兩即原分銀之數矣甲用過
一百兩餘三十五兩乙用過三十兩餘
一百零五兩故乙之餘銀三倍於甲也
[039-18b]
此較數比例法用疊/借互徵法算之亦可
[039-19a]
設如甲乙二人行路兩日行到初日乙所行之路四
倍於甲次日甲所行之路三倍於乙但知初日乙
行二百四十里甲行六十里問次日二人各行若
干
法借一根為次日乙所行之路則甲次
日所行之路為三根以初日乙行二百
四十里與一根相加得一根多二百四
十里為乙兩日所行之路以初日甲行
[039-19b]
六十里與三根相加得三根多六十里
為甲兩日所行之路是為乙一根多二
百四十里與甲三根多六十里相等一
根與三根各減一根多二百四十里與
多六十里各減六十里則餘一百八十
里與二根相等一百八十里既與二根
相等則九十里必與一根相等即次日
乙所行之路三因之得二百七十里即
次日甲所行之路以乙次日所行九十
[039-19b]
里與初日所行二百四十里相加得三
[039-20a]
百三十里以甲次日所行二百七十里
與初日所行六十里相加亦得三百三
十里是兩人同行俱到也此較數/比例法
設如有甲乙二商各有本銀生理但知乙本銀比甲
本銀多六兩數年得利之後甲本利共銀比原銀
為十一倍乙本利共銀比原銀為七倍而兩人之
銀適等問二人原有本銀各幾何
法借一根為甲本銀數則乙本銀為一
[039-20b]
根多六兩甲本利共銀既比原銀為十
一倍則以十一乗一根得十一根為甲
本利共銀數乙本利共銀既比原銀為
七倍則以七乗一根多六兩得七根多
四十二兩為乙本利共銀數是為甲十
一根與乙七根多四十二兩相等十一
根與七根各減七根餘四根與四十二
兩相等四根既與四十二兩相等則一
根必與十兩零五錢相等即甲原銀之
[039-20b]
數十一乗之得一百一十五兩五錢即
[039-21a]
甲本利共銀之數以六兩與十兩零五
錢相加得一十六兩五錢即乙原銀之
數七因之亦得一百一十五兩五錢為
乙本利共銀之數也此較數比例法用/疊借互徵法算之
亦/可
設如甲乙二人分銀其數相等甲銀外加三百兩乙
銀外加六十五兩則甲之共銀三倍於乙問二人
原各分銀若干
[039-21b]
法借一根為原分銀之數則乙之共銀
為一根多六十五兩甲之共銀為一根
多三百兩甲之共銀既三倍於乙則將
乙之共銀一根多六十五兩三倍之為
三根多一百九十五兩即與甲之共銀
一根多三百兩相等矣三根多一百九
十五兩與一根多三百兩各減一百九
十五兩則餘三根與一根多一百零五
兩相等三根與一根再各減去一根則
[039-21b]
餘二根與一百零五兩相等二根既與
[039-22a]
一百零五兩相等則一根必與五十二
兩五錢相等前既借一根為原分銀之
數則此五十二兩五錢即原分銀之數
矣以五十二兩五錢與六十五兩相加
得一百一十七兩五錢為乙之共銀數
以五十二兩五錢與三百兩相加得三
百五十二兩五錢為甲之共銀數即乙
之共銀之三倍也此較數比例法用疊/借互徵法算之亦可
[039-22b]
設如金球十二銀球十八其輕重適等若將銀球七
換金球七則銀球邊多三百二十二兩問金球銀
球各重幾何
法借一根為金球換銀球之差數以七
乗之得七根為七金球換七銀球之差
數是為七根與三百二十二兩相等七
根既與三百二十二兩相等則一根必
與四十六兩相等即一金球一銀球相
換之差數一金球一銀球相換之差數
[039-22b]
既為四十六兩則一金球比一銀球之
[039-23a]
重必差二十三兩一金球比一銀球既
重二十三兩則十二金球比十二銀球
必重二百七十六兩如以銀球再加六
個十八/個即與十二金球等是銀球六個
與二百七十六兩相等也乃以六歸之
得四十六兩即一銀球之重數加二十
三兩得六十九兩即一金球之重數以
四十六兩與十八銀球相乗得八百二
[039-23b]
十八兩以六十九兩與十二金球相乗
亦得八百二十八兩也此較數/比例法
設如一人買縀十二疋一人買紬三十二疋用銀適
等但知緞每疋價比紬每疋價多六兩問紬緞價
銀各若干
法借一根為紬價則緞價為一根多六
兩各以總數乗之則紬總價得三十二
根緞總價得十二根多七十二兩是為
紬價三十二根與緞價十二根多七十
[039-23b]
二兩相等三十二根與十二根各減去
[039-24a]
十二根則餘二十根與七十二兩相等
二十根既與七十二兩相等則一根必
與三兩六錢相等即紬每疋之價加緞
每疋比紬每疋多六兩得九兩六錢即
緞每疋之價以九兩六錢乗十二疋得
一百一十五兩二錢為緞總價以三兩
六錢乗三十二疋亦得一百一十五兩
二錢為紬總價兩數適等也此較數/比例法
[039-24b]
設如甲乙二人共買緞一百疋甲買三十八疋止與
銀三百一十二兩乙買六十二疋止與銀六百兩
而兩人所欠之銀適等問緞價及欠銀各若干
法借一根為緞每疋價銀數則甲三十
八疋總銀數為三十八根又甲止與銀
三百一十二兩則甲所欠之銀即為三
十八根少三百一十二兩乙六十二疋
總銀數為六十二根又乙止與銀六百
兩則乙所欠之銀即為六十二根少六
[039-24b]
百兩是為甲三十八根少三百一十二
[039-25a]
兩與乙六十二根少六百兩相等少三
百一十二兩與少六百兩各加六百兩
得三十八根多二百八十八兩與六十
二根相等乙為六十二根少六百兩今/加六百兩則補足六十二根
整數甲為三十八根少三百一十二兩/今加六百兩以三百一十二兩補原少
之數則止多二/百八十八兩也又三十八根與六十二
根各減去三十八根則餘二十四根與
二百八十八兩相等二十四根既與二
[039-25b]
百八十八兩相等則一根必與十二兩
相等即緞每疋之價銀數再以十二兩
乗三十八疋得四百五十六兩即甲所
買緞之總銀數内減甲與銀三百一十
二兩餘一百四十四兩為甲所欠銀數
又以十二兩乗六十二疋得七百四十
四兩為乙所買緞之總銀數内減乙與
銀六百兩亦餘一百四十四兩為乙所
欠銀數也此較數/比例法
[039-25b]
設如有米分給大小二等工人但知小工人數比大
[039-26a]
工人數為七倍大工人給米一升二合小工人給
米八合共給過米五石四斗四升問人數米數各
幾何
法借一根為大工人之數則七根為小
工人之數以一根與一升二合相乗作/一
十二/合得一十二根為大工人米數以七
根與八合相乗得五十六根為小工人
米數兩米數相加得六十八根與五石
[039-26b]
四斗四升相等六十八根既與五石四
斗四升相等則十二根必與九斗六升
相等前既以十二根為大工人米數則
與十二根相等之九斗六升即大工人
之米數爰以大工人每人所得一升二
合除之得八十人與一根相等即大工
人之數七因之得五百六十即小工人
之數以八合乗之得四石四斗八升即
小工人之米數也此和較比例法用疊/借互徵法算之亦可
[039-26b]
設如有銀一百兩分給大小二等匠人共一百名大
[039-27a]
匠人每人給銀一兩五錢小匠人每人給銀五錢
問大小匠人各若干
法借一根為大匠人數則小匠人為一
百少一根以一兩五錢與一根相乗得
十五根為大匠人共銀數又以五錢與
一百少一根相乗得五十兩作五/百錢少五
根為小匠人共銀數兩銀數相加得五
十兩作五/百錢多十根原少五根加十五/根則反多十根也與
[039-27b]
銀一百兩作一/千錢相等五十兩與一百兩
各減去五十兩則餘十根與五十兩相
等十根既與五十兩相等則十五根必
與七十五兩即七百/五十錢相等前既以十五
根為大匠人共銀數則與十五根相等
之七十五兩即大匠人之共銀數爰以
大匠人每人所得一兩五錢除之得五
十人與一根相等即大匠人之數於共
一百人内減大匠人五十人餘五十人
[039-27b]
即小匠人之數以五錢乗之得二十五
[039-28a]
兩即小匠人之共銀數也此和較比例/法用方程法
算之/亦可
設如有銀一百兩分賞馬步兵共一百名馬兵一人
賞三兩步兵三人賞一兩問馬步兵各若干
法借一根為步兵所得銀數則馬兵所
得銀數即為三根相加得四根為馬步
兵共得銀數是為四根與一百兩相等
四根既與一百兩相等則一根必與二
[039-28b]
十五兩相等即步兵所得銀數於一百
兩内減之餘七十五兩為馬兵所得銀
數以每人三兩歸之得二十五即馬兵
人數於一百名内減之餘七十五即步
兵人數也此和較/比例法
設如雞兔同籠但知共頭三十六共足一百問雞兔
各若干
法借一根為兔數則雞為三十六少一
根以兔四足乗兔一根得四根為兔之
[039-28b]
共足數以雞二足乗雞三十六少一根
[039-29a]
得七十二少二根為雞之共足數兩數
相加得七十二多二根與一百相等七
十二與一百各減七十二則餘二根與
二十八相等二根既與二十八相等則
一根必與十四相等即兔數於共三十
六内減兔十四餘二十二即雞數兔十
四以四足乗之得五十六為兔共足數
雞二十二以二足乗之得四十四為雞
[039-29b]
共足數相加得一百以合原數也此和/較比
例/法
設如有人行路乗馬乗船共六十三日乗馬日行一
百六十里乗船日行一百四十四里乗船所行之
里數比乗馬所行之里數為十八倍問乗馬乗船
之日數各若干
法借一根為乗馬之日數則乗船之日
數為六十三日少一根以一根與一百
六十里相乗得一百六十根為乗馬所
[039-29b]
行之里數以六十三日少一根與一百
[039-30a]
四十四里相乗得九千零七十二里少一
百四十四根為乗船所行之里數乗船
所行里數既為乗馬所行里數之十
八倍則以十八乗乗馬所行之里數一
百六十根得二千八百八十根是為二
千八百八十根與九千零七十二里少
一百四十四根相等二千八百八十根
與少一百四十四根各加一百四十四
[039-30b]
根得三千零二十四根與九千零七十
二里相等三千零二十四根既與九千
零七十二里相等則一百六十根必與
四百八十里相等前既以一百六十根
為乗馬所行之里數則與一百六十根
相等之四百八十里即乗馬所行之里
數以乗馬每日所行一百六十里除之
得三日與一根相等即乗馬所行之日
數以三日與六十三日相減餘六十日
[039-30b]
為乗船所行之日數以乗船每日行一
[039-31a]
百四十四里乗之得八千六百四十里
即乗船所行之里數為乗馬所行之里
數之十八倍也此和較比例法用疊/借互徵法算之亦可
設如有青緞藍緞二色共七十疋青緞每疋長四十
七尺藍緞每疋長六十尺其藍緞總尺數比青緞
總尺數多二十七尺問青緞藍緞二色各若干
法借一根為青緞疋數則藍緞為七十
疋少一根各以尺數乗之則青緞之總
[039-31b]
尺數得四十七根藍緞之總尺數得四
千二百尺少六十根於藍緞總尺數内
減去比青緞所多之二十七尺得四千
一百七十三尺少六十根是為青緞四
十七根與藍緞四千一百七十三尺少
六十根相等四十七根與少六十根各
加六十根得一百零七根與四千一百
七十三尺相等一百零七根既與四千
一百七十三尺相等則四十七根必與
[039-31b]
一千八百三十三尺相等前既以四十
[039-32a]
七根為青緞之總尺數則與四十七根
相等之一千八百三十三尺即青緞之
總尺數以每疋長四十七尺除之得三
十九疋與一根相等即青緞之疋數以
三十九疋與七十疋相減餘三十一疋
即藍緞之疋數以三十一疋與六十尺
相乗得一千八百六十尺即藍緞之總
尺數比青緞多二十七尺也此和較/比例法
[039-32b]
設如有人買絹紬二色共價銀一百二十七兩四錢
絹一尺價銀七分紬一尺價銀一錢四分其絹之
尺數比紬之尺數為五倍問絹紬尺數各若干
法借一根為紬之尺數則絹之尺數為
五根以紬價一錢四分作一十/四分乗一根
得一十四根為紬共價以絹價七分乗
五根得三十五根為絹共價兩數相加
共得四十九根是為四十九根與一百
二十七兩四錢相等四十九根既與一
[039-32b]
百二十七兩四錢相等則十四根必與
[039-33a]
三十六兩四錢相等前既以十四根為
紬共價則與十四根相等之三十六兩
四錢即紬之共價以紬每尺價一錢四
分除之得二百六十尺與一根相等即
紬之尺數五因之得一千三百尺即絹
之尺數也此和較/比例法
設如甲有十成銀一百二十四兩丙有三成銀不知
數但知將二色銀鎔於一處則俱為五成銀問三
[039-33b]
成銀幾何
法借一根為丙銀數因二色銀鎔於一
處俱為五成故以五成與丙銀三成相
減餘二成為每兩所少之數以五成與
甲銀十成相減餘五成為每兩所多之
數乃以每兩所少二成乗丙銀一根得
二根以每兩所多五成乗甲銀一百二
十四兩得六百二十成是為二根與六
百二十成相等丙之所少即甲之/所多其數相等也以丙
[039-33b]
銀每兩少二成除之則得一根與三百
[039-34a]
一十兩相等前既借一根為丙銀數則
與一根相等之三百一十兩即丙之銀
數也此和較/比例法
設如有銀大小共九百二十四錠重二百七十六兩
大錠重三分兩之一小錠重七分兩之二問大小
錠各若干
法借一根為大錠數則小錠為九百二
十四錠少一根因大錠重三分兩之一
[039-34b]
小錠重七分兩之二其分母不同乃以
兩分母三與七相乗得二十一為共母
數又以小錠分母七互乗大錠分子一
得七即變三分之一為二十一分之七
為大錠之重數又以大錠分母三互乗
小錠分子二得六即變七分之二為二
十一分之六為小錠之重數乃以一根
與大錠分子七相乗得七根為大錠之
重數以九百二十四錠少一根與小錠
[039-34b]
分子六相乗得五千五百四十四少六
[039-35a]
根為小錠之重數兩數相加得五千五
百四十四多一根為共重數又各重數
既皆通為二十一分則共重二百七十
六兩亦以分母二十一通之得五千七
百九十六是為五千五百四十四多一
根與五千七百九十六相等五千五百
四十四與五千七百九十六各減五千
五百四十四則餘一根與二百五十二
[039-35b]
相等即大錠之共數與共九百二十四
錠相減餘六百七十二為小錠之共數
以大錠重三分兩之一與大錠共數相
乗得八十四兩為大錠之共重數以小
錠重七分兩之二與小錠共數相乗得
一百九十二兩為小錠之共重數相加
得二百七十六兩以合原數也此和較/比例法
設如衆人雇船每人出銀一兩二錢則少四兩四錢
每人出銀一兩五錢則多八兩二錢問人數及船
[039-35b]
價銀各若干
[039-36a]
法借一根為人數以一根與一兩五錢
相乗得十五根則船價銀為十五根少
八兩二錢又以一根與一兩二錢相乗
得十二根則船價銀又為十二根多四
兩四錢此二數為相等兩邊各加八兩
二錢得十五根與十二根多十二兩多
錢相等兩邊再各減十二根則餘三根
與十二兩六錢相等三根既與十二兩
[039-36b]
六錢相等則一根必與四兩二錢相等
前既借一根為人數則此四兩二錢即
為四十二人為雇船之人數以每人出
一兩二錢乗之得五十兩零四錢再加
四兩四錢得五十四兩八錢為船價以
每人出一兩五錢乗之得六十三兩減
去八兩二錢亦為五十四兩八錢兩數
相同也此盈/朒法
設如有銀買緞二色下號緞每疋價銀八兩上號緞
[039-36b]
每疋價銀十一兩若俱買下號者則銀多二百九
[039-37a]
十六兩若俱買上號者則銀多三十二兩問緞數
及銀數各若干
法借一根為緞數以一根與十一兩相
乗得十一根為上號緞共價則共銀為
十一根多三十二兩又以一根與八兩
相乗得八根為下號緞共價則共銀為
八根多二百九十二兩此二數為相等
兩邊各減三十二兩得十一根與八根
[039-37b]
多二百六十四兩相等兩邊再各減八
根則餘三根與二百六十四兩相等三
根既與二百六十四兩相等則一根必
與八十八兩相等前既借一根為緞數
則此八十八兩即為八十八疋為緞之
總數以每疋八兩乗之得七百零四兩
為下號緞共價數加多二百九十六兩
得一千兩為共有銀數以每疋十一兩
乗之得九百六十八兩為上號緞共價
[039-37b]
數加多三十二兩亦得一千兩兩數相
[039-38a]
同也此盈/朒法
設如有井一口不知其深有繩一條不知其長但知
取繩六分之一比井深少三尺四寸取繩四分之
一比井深適等問井深及繩長各若干
法借二十四根為繩長數兩分母相/乗之數取
其四分之一得六根則井深即為六根
又取其六分之一得四根則井深又為
四根多三尺四寸此二數為相等兩邊
[039-38b]
各減四根得二根與三尺四寸相等二
根既與三尺四寸相等則一根必與一
尺七寸相等而二十四根必與四丈零
八寸相等即繩之長數也取其六分之
一得六尺八寸再加三尺四寸共得一
丈零二寸為井深或取其四分之一亦
得一丈零二寸兩數相同也此盈/朒法
設如有人買房用本銀三分之二則比房價多五十
九兩用本銀五分之二則比房價少四十九兩八
[039-38b]
錢問本銀房價各若干
[039-39a]
法借十五根為本銀數兩分母相/乗之數以用
本銀三分之二比房價多五十九兩計
之則房價為十根少五十九兩以用本
銀五分之二比房價少四十九兩八錢
計之則房價又為六根多四十九兩八
錢此二數為相等兩邊各加五十九兩
得十根與六根多一百零八兩八錢相
等兩邊再各減去六根則餘四根與一
[039-39b]
百零八兩八錢相等四根既與一百零
八兩八錢相等則一根必與二十七兩
二錢相等而十五根必與四百零八兩
相等即本銀數取其三分之二得二百
七十二兩減多五十九兩得二百一十
三兩為房價數又將本銀取其五分之
二得一百六十三兩二錢加少四十九
兩八錢亦得二百一十三兩兩數相同
也此盈/朒法
[039-39b]
設如有銀分給二等人其上等人比下等人多一倍
[039-40a]
上等人比下等人每人多得四兩今欲與下等人
每人三兩則銀多七十三兩每人四兩則銀少二
十兩問人數及銀數各若干
法借一根為下等人數則上等人數為
二根以一根與四兩相乗得四根為下
等人所得共銀數以二根與八兩下等/每人
四兩上等多四/兩故每人八兩相乗得十六根為上等
人所得共銀數兩數相加得二十根為
[039-40b]
上下二等人所得共銀數則原銀數即
為二十根少二十兩又以一根與三兩
相乗得三根為下等人所得共銀數以
二根與七兩相乗得十四根為上等人
所得共銀數兩數相加得十七根為上
下二等人所得共銀數則原銀數即為
十七根多七十三兩此兩數為相等兩
邊各加二十兩得二十根與十七根多
九十三兩相等兩邊再各減十七根則
[039-40b]
餘三根與九十三兩相等三根既與九
[039-41a]
十三兩相等則一根必與三十一兩相
等前既借一根為下等人數則此三十
一兩即為三十一人為下等人數倍之
得六十二人即上等人數以下等三十
一人用三兩乗之得九十三兩以上等
六十二人用七兩乗之得四百三十四
兩兩數相加共得五百二十七兩再加
所多七十三兩得六百兩為原銀數若
[039-41b]
以下等三十一人用四兩乗之得一百
二十四兩以上等六十二人用八兩乗
之得四百九十六兩兩數相加共得六
百二十兩減去所少二十兩亦得六百
兩兩數相同也此盈/朒法
設如有人分銀不言人數亦不言銀數但知毎四人
分銀十八兩則銀少八兩每三人分銀十一兩則
銀多十二兩問人數及銀數各若干
法借十二根為人數以四人分銀十八
[039-41b]
兩計之則每人應得四兩五錢爰以四
[039-42a]
兩五錢乗十二根得五十四根為共分
銀之數而原銀即為五十四根少八兩
以三人分銀十一兩計之則每人應得
三兩又三分兩之二爰以三兩又三分
兩之二乗十二根得四十四根為共分
銀之數而原銀又為四十四根多十二
兩此兩數為相等兩邊各加八兩得五
十四根與四十四根多二十兩相等兩
[039-42b]
邊各減四十四根得十根與二十兩相
等十根既與二十兩相等則十二根必
與二十四兩相等前既借十二根為人
數則此二十四兩即為二十四人為共
人數也以三人為一率十一兩為二率
二十四人為三率求得四率八十八兩
加多十二兩共一百兩為原銀數或以
四人為一率十八兩為二率二十四人
為三率求得四率一百零八兩減少八
[039-42b]
兩亦得一百兩兩數相同也此雙套/盈朒法
[039-43a]
設如有一商人販緞不言每疋價銀之數亦不言每
疋稅銀之數但知販緞八十疋納稅用緞四疋則
多銀二兩販緞三百一十疋納稅用緞十四疋則
少銀六兩五錢問每疋價銀及稅銀幾何
法借一根為緞一疋之價銀數以納稅
用緞四疋多銀二兩計之則緞八十疋
之稅銀數為四根少銀二兩以納稅用
緞十四疋少銀六兩五錢計之則緞三
[039-43b]
百一十疋之稅銀數為十四根多銀六
兩五錢此兩緞數不相等故難用比例
須用互乗法以八十疋與三百一十疋
相乗得二萬四千八百疋為共緞數乃
以三百一十疋乗四根少銀二兩得一
千二百四十根少銀六百二十兩為二
萬四千八百疋之稅銀數又以八十疋
乗十四根多銀六兩五錢得一千一百
二十根多五百二十兩亦為二萬四千
[039-43b]
八百疋之稅銀數此兩緞數既為相等
[039-44a]
故乗出之稅銀數亦為相等兩邊各加
六百二十兩得一千二百四十根與一
千一百二十根多一千一百四十兩相
等兩邊再各減一千一百二十根則餘
一百二十根與一千一百四十兩相等
一百二十根既與一千一百四十兩相
等則一根必與九兩五錢相等即緞一
疋之價銀數以緞四疋與銀九兩五錢
[039-44b]
相乗得三十八兩減去多二兩餘三十
六兩即緞八十疋之稅銀數以八十疋
除三十六兩得四錢五分即緞一疋之
稅銀數以四錢五分與緞三百一十疋
相乗得一百三十九兩五錢即緞三百
一十疋之稅銀數又以緞十四疋與九
兩五錢相乗得一百三十三兩再加少
六兩五錢亦得一百三十九兩五錢兩
數相同也此雙套/盈朒法
[039-44b]
設如有銀一千二百零九兩令甲乙二人分之取甲
[039-45a]
四分之一與乙三分之一相加即與甲銀等問二
人各得幾何
法借十二根兩分母/相乗數為甲銀數則乙銀
為一千二百零九兩少十二根取甲銀
四分之一為三根取乙銀三分之一為
四百零三兩少四根相加得四百零三
兩少一根是為十二根與四百零三兩
少一根相等十二根與少一根各加一
[039-45b]
根得十三根與四百零三兩相等十三
根既與四百零三兩相等則十二根必
與三百七十二兩相等即甲銀數於總
銀内減甲銀數餘八百三十七兩即乙
銀數取甲銀四分之一得九十三兩取
乙銀三分之一得二百七十九兩相加
得三百七十二兩與甲銀等也此借衰/互徵法
用方程法/算之亦可
設如有銀一千兩令甲乙丙三人分之乙所得之數
[039-45b]
倍於甲仍多三十兩丙所得之數倍於乙問每人
[039-46a]
各得若干
法借一根為甲銀數則乙為二根多三
十兩丙為四根多六十兩三數相併共
得七根多九十兩而與一千兩相等九
十兩與一千兩各減九十兩餘七根與
九百一十兩相等七根既與九百一十
兩相等則一根必與一百三十兩相等
即甲所得銀數倍之再加三十兩得二
[039-46b]
百九十兩為乙所得銀數又倍之得五
百八十兩為丙所得銀數也此借衰互/徵法用方
程法算/之亦可
設如甲乙丙三人分銀六千兩乙得甲三分之一丙
得乙二分之一問三人各得幾何
法借一根為甲銀數則乙銀為三分根
之一丙銀為六分根之一三數相加得
六分根之九以甲一根為六分則乙為/六分根之二丙為六分根
之一共得六分根/之九即一根半與六千兩相等各以
[039-46b]
六乗之得九根與三萬六千兩相等九
[039-47a]
根既與三萬六千兩相等則一根必與
四千兩相等即甲銀數三分之得一千
三百三十三兩又三分兩之一為乙銀
數又二分之得六百六十六兩又三分
兩之二為丙銀數也
又法借一根為丙銀數則乙銀為二根
甲銀為六根相加得九根與六千兩相
等九根既與六千兩相等則一根必與
[039-47b]
六百六十六兩又三分兩之二相等即
丙銀數倍之得一千三百三十三兩又
三分兩之一為乙銀數三因之得四千
兩即甲銀數也此借衰/互徵法
設如有金銀錫銅四色不言重數但知共數五分之
二為銅數金銀錫共數七分之四為錫數金銀共
數八分之五為銀數金重三千零二十四兩問四
色各重若干
法借二百八十根為共數用三分母連/乗之數取其
[039-47b]
可以度/盡也取其五分之二得一百一十二
[039-48a]
根為銅數與二百八十根相減餘一百
六十八根為金銀錫之共數取其七分
之四得九十六根為錫數與一百六十
八根相減餘七十二根為金銀之共數
又取其八分之五得四十五根為銀數
與七十二根相減餘二十七根為金數
是為二十七根與三千零二十四兩相
等二十七根既與三千零二十四兩相
[039-48b]
等則一根必與一百一十二兩相等四
十五根必與五千零四十兩相等即銀
數九十六根必與一萬零七百五十二
兩相等即錫數一百一十二根必與一
萬二千五百四十四兩相等即銅數四
數相加共得三萬一千三百六十兩以
所借共重二百八十根與每一根之一
百一十二兩相乗亦得三萬一千三百
六十兩為四色之共數也此借衰/互徵法
[039-48b]
設如有銀三百五十六兩分與三等人一等五人二
[039-49a]
等四人三等三人一等所得倍於二等内少二兩
二等所得倍於三等又多四兩問三等人每人各
得幾何
法借一根為三等一人所得銀數則二
等一人所得銀數為二根多四兩一等
一人所得銀數為四根多六兩以各等
共人數因之則三等所得共銀數為三
根二等所得共銀數為八根多十六兩
[039-49b]
一等所得共銀數為二十根多三十兩
三數相加共得三十一根多四十六兩
為與三百五十六兩相等三十一根多
四十六兩與三百五十六兩各減去四
十六兩則餘三十一根與三百一十兩
相等三十一根既與三百一十兩相等
則一根必與十兩相等即三等一人所
得銀數倍之加四兩得二十四兩即二
等一人所得銀數又倍之減二兩得四
[039-49b]
十六兩即一等一人所得銀數三等三
[039-50a]
人共得三十兩二等四人共得九十六
兩一等五人共得二百三十兩三數相
加共得三百五十六兩以合原數也此/借
衰互/徵法
設如甲丙二人共有米三百八十四石甲納官八分
之一丙納官六分之一共納五十四石問二人原
米及納官米各若干
法借一根為甲納米數則丙納米為五
[039-50b]
十四石少一根將甲納米一根八因之
得八根為甲原米數丙納米五十四石
少一根六因之得三百二十四石少六
根為丙原米數相加得三百二十四石
多二根為甲丙共米數是為三百二十
四石多二根與三百八十四石相等三
百二十四石與三百八十四石各減去
三百二十四石餘二根與六十石相等
二根既與六十石相等則一根必與三
[039-50b]
十石相等即甲所納米數八因之得二
[039-51a]
百四十石為甲原米數以甲原米數與
三百八十四石相減餘一百四十四石
為丙原米數六歸之得二十四石即丙
所納米數也此疊借互徵法用/方程法算之亦可
設如甲乙二人不言本銀若干但知以乙本銀三分
之一與甲本銀相加再加六十兩共得一千兩以
甲本銀五分之一與乙本銀相加亦得一千兩問
二人本銀各幾何
[039-51b]
法借十五根兩分母/相乗數為乙本銀數以乙
三分之一與甲本銀相加又加六十兩
共得一千兩計之則甲本銀應得九百
四十兩少五根取其五分之一則為一
百八十八兩少一根以甲本銀五分之
一一百八十八兩少一根與乙本銀十
五根相加得一百八十八兩多十四根
與一千兩相等一邊一百八十八兩一
邊一千兩各減去一百八十八兩則得
[039-51b]
十四根與八百一十二兩相等十四根
[039-52a]
既與八百一十二兩相等則一根必與
五十八兩相等前既借十五根為乙本
銀數乃以十五乗之得八百七十兩即
乙本銀數取其三分之一得二百九十
兩與一千兩相減又減六十兩餘六百
五十兩即甲本銀數也此疊借互徵法/用方程法算之
亦/可
設如甲乙二商不言本銀若干但知各得利銀九十
[039-52b]
兩其甲之本利共銀三倍於乙之本銀乙之本利
共銀二倍於甲之本銀問每人本銀幾何
法借三根為甲之本銀數加利銀九十
兩得三根多九十兩為甲之本利共銀
數甲之本利共銀既三倍於乙之本銀
則乙之本銀數即為一根多三十兩再
加利銀九十兩得一根多一百二十兩
為乙之本利共銀數亦為甲之本銀之
二倍也乃以甲之本銀三根倍之得六
[039-52b]
根與乙之一根多一百二十兩相等六
[039-53a]
根與一根各減去一根則餘五根與一
百二十兩相等五根既與一百二十兩
相等則三根必與七十二兩相等即甲
之本銀數加利銀九十兩得一百六十
二兩三歸之得五十四兩為乙之本銀
數以乙本銀五十四兩加利銀九十兩
共一百四十四兩為甲之本銀之二倍
也此疊借互徵法用/方程法算之亦可
[039-53b]
設如甲丙二人有銀不言其數但知甲銀加九兩為
丙銀之三倍丙銀加七兩為甲銀之二倍問二人
各銀若干
法借六根三倍二倍/相乗數為甲銀數加九兩
為六根多九兩甲銀加九兩既為丙銀
之三倍則以三歸之得二根多三兩為
丙銀數加七兩為二根多十兩丙銀加
七兩既為甲銀之二倍則以二歸之得
一根多五兩仍為甲銀數先借六根與
[039-53b]
今所得一根多五兩既同為甲銀數則
[039-54a]
其數必等六根與一根各減一根餘五
根與五兩相等五根既與五兩相等則
六根必與六兩相等即甲銀數加九兩
得一十五兩三歸之得五兩即丙銀數
加七兩得一十二兩即甲銀六兩之二
倍也此疊借互徵法用/方程法算之亦可
設如甲丙二人有銀不言其數但知將丙銀與甲二
兩則甲銀為丙銀之二倍若將甲銀與丙三兩則
[039-54b]
丙銀為甲銀之三倍問二人各銀若干
法借六根二倍三倍/相乗數為甲原銀數加丙
與甲二兩得六根多二兩以丙銀與甲
二兩則甲銀為丙銀之二倍計之則以
六根多二兩半之得三根多一兩為丙
餘銀數丙先以二兩與甲則丙之原銀
必為三根多三兩加甲與丙二兩得三
根多六兩以甲銀與丙三兩則丙銀為
甲銀之三倍計之則以三根多六兩三
[039-54b]
歸之得一根多二兩為甲餘銀數甲先
[039-55a]
以三兩與丙則甲之原銀必為一根多
五兩夫先借六根與今所得一根多五
兩既同為甲原銀數則其數必等六根
與一根各減一根餘五根與五兩相等
五根既與五兩相等則六根必與六兩
相等即甲原銀之數加丙與甲二兩得
八兩半之得四兩為丙餘銀之數丙餘
銀既為四兩則原銀必為六兩加甲與
[039-55b]
丙三兩得九兩三歸之得三兩即甲餘
銀之數也此疊借互徵法用/方程法算之亦可
設如甲乙二人共銀一千二百四十兩於甲銀内加
乙銀四分之一乙銀内加甲銀五分之一其數相
等問二人原銀各幾何
法借二十根兩分母/相乗數為甲原銀數則一
千二百四十兩少二十根為乙原銀數
甲原銀五分之一為四根乙原銀四分
之一為三百一十兩少五根將甲原銀
[039-55b]
五分之一四根與乙原銀一千二百四
[039-56a]
十兩少二十根相加得一千二百四十
兩少十六根原少二十根加入/四根止少十六根將乙原
銀四分之一三百一十兩少五根與甲
原銀二十根相加得三百一十兩多十
五根原二十根補乙少/五根餘十五根此二數為相等
少十六根與多十五根各加十六根則
得一千二百四十兩與三百一十兩多
三十一根相等再一千二百四十兩與
[039-56b]
三百一十兩各減三百一十兩則餘九
百三十兩與三十一根相等九百三十
兩既與三十一根相等則六百兩必與
二十根相等前既借二十根為甲原銀
數則此六百兩即甲原銀之數以六百
兩與一千二百四十兩相減餘六百四
十兩即乙原銀之數若甲銀内加乙原
銀四分之一一百六十兩乙銀内加甲
原銀五分之一一百二十兩則俱為七
[039-56b]
百六十兩也此疊借互徵法用/方程法算之亦可
[039-57a]
設如甲原有銀五十兩乙原有銀八十兩乙用過之
銀比甲用過之銀爲三分之一甲所餘之銀比乙
所餘之銀亦爲三分之一問二人用銀及餘銀各
若干
法借一根爲乙用過銀數則甲用過之
銀爲三根而乙所餘之銀爲八十兩少
一根甲所餘之銀爲五十兩少三根甲
餘銀既比乙餘銀爲三分之一則以甲
[039-57b]
餘銀五十兩少三根三因之爲一百五
十兩少九根是爲乙餘銀八十兩少一
根與甲餘銀一百五十兩少九根相等
少一根與少九根各加九根得八十兩
多八根與一百五十兩相等再八十兩
與一百五十兩各減八十兩餘八根與
七十兩相等八根既與七十兩相等則
一根必與八兩七錢五分相等即乙用
過銀數三因之得二十六兩二錢五分
[039-57b]
即甲用過銀數以甲用過銀數與甲原
[039-58a]
有銀數相減餘二十三兩七錢五分爲
甲所餘銀數三因之得七十一兩二錢
五分即乙所餘銀數也此疊借互徵法/用方程法算之
亦/可
設如甲乙丙三人有銀不言數但知甲銀比乙銀所
多之數與丙銀四分之一相等乙銀比丙銀所多
之數與甲銀五分之一相等若以乙銀五分之二
與丙銀相較則丙銀多一百一十四兩問三人各
[039-58b]
銀幾何
法借五根爲乙銀數則丙銀數爲二根
多一百一十四兩於乙銀數五根内減
去丙銀數二根多一百一十四兩餘三
根少一百一十四兩爲乙銀比丙銀所
多之數與甲銀五分之一相等五因之
得一十五根少五百七十兩爲甲銀數
又於甲銀數一十五根少五百七十兩
内減去乙銀數五根餘十根少五百七
[039-58b]
十兩爲甲銀比乙銀所多之數與丙銀
[039-59a]
四分之一相等四因之得四十根少二
千二百八十兩亦爲丙銀數此四十根
少二千二百八十兩與二根多一百一
十四兩既同爲丙銀數是爲相等乃於
二根多一百一十四兩與四十根少二
千二百八十兩各加二千二百八十兩
得二根多二千三百九十四兩與四十
根相等二根與四十根再各減二根則
[039-59b]
餘三十八根與二千三百九十四兩相
等三十八根既與二千三百九十四兩
相等則一根必與六十三兩相等而五
根必與三百一十五兩相等即乙銀數
丙銀數既爲二根多一百一十四兩乃
以六十三兩倍之得一百二十六兩即/二
根之數亦即乙/五分之二之數加一百一十四兩共得
二百四十兩即丙銀數甲銀比乙銀所
多之數既爲丙銀四分之一乃以丙銀
[039-59b]
數四歸之得六十兩與乙銀三百一十
[039-60a]
五兩相加得三百七十五兩即甲銀數
也此疊借互徵法用/方程法算之亦可
設如甲乙丙三人有銀但知甲銀七十兩乙銀三十
四兩而丙銀不知數如以丙銀與甲銀相減又以
丙銀與乙銀相減其甲銀之餘則三倍於乙問丙
銀若干
法借一根爲丙銀數則甲丙相減之餘
爲七十兩少一根乙丙相減之餘爲三
[039-60b]
十四兩少一根甲之餘銀既三倍於乙
則以乙丙相減之餘三十四兩少一根
三因之得一百零二兩少三根是爲七
十兩少一根與一百零二兩少三根相
等少一根與少三根各加三根得七十
兩多二根與一百零二兩相等七十兩
與一百零二兩各減七十兩則餘二根
與三十二兩相等二根既與三十二兩
相等則一根必與十六兩相等即丙銀
[039-60b]
數與甲銀七十兩相減餘五十四兩與
[039-61a]
乙銀三十四兩相減餘十八兩是甲餘
銀爲乙餘銀之三倍也此疊借互徵法/用方程法算之
亦/可
設如甲乙丙三人各有銀不言數但知將乙銀十兩
與甲則甲乙二人之銀相等若將丙銀十四兩與
乙則乙丙二人之銀相等若將甲銀十八兩與丙
則丙銀比甲銀爲五倍問三人各銀若干
法借一根爲甲原銀數則乙之原銀必
[039-61b]
爲一根多二十兩以十兩與甲則皆爲/一根多十兩其數相
等/丙之原銀必爲一根多四十八兩乙/之
原銀既爲一根多二十兩再加十四/兩俱爲一根多三十四兩其數相等又
甲之原銀既爲一根以十八兩與丙計
之則爲一根少十八兩丙之原銀既爲
一根多四十八兩今再加十八兩則爲
一根多六十六兩此丙之一根多六十
六兩比甲之一根少十八兩既爲五倍
則以甲之一根少十八兩五因之得五
[039-61b]
根少九十兩而與丙之一根多六十六
[039-62a]
兩爲相等少九十兩與多六十六兩各
加九十兩得五根與一根多一百五十
六兩相等五根與一根各減一根則餘
四根與一百五十六兩相等四根既與
一百五十六兩相等則一根必與三十
九兩相等即甲原銀之數甲原銀既爲
三十九兩則乙原銀必爲五十九兩以
十兩與甲則皆得四十九兩乙原銀既
[039-62b]
爲五十九兩則丙原銀必爲八十七兩
以十四兩與乙則皆得七十三兩丙原
銀既爲八十七兩甲原銀既爲三十九
兩甲以十八兩與丙則丙爲一百零五
兩而甲爲二十一兩是丙銀比甲銀爲
五倍也此疊借互徵法用/方程法算之亦可
設如甲乙丙三人有銀但知甲銀二萬五千兩乙得
甲丙共銀二分之一丙得甲乙共銀八分之一問
乙丙二人各銀幾何
[039-62b]
法借二根爲丙銀數則甲乙共銀數爲
[039-63a]
十六根乙銀數爲十六根少二萬五千
兩甲丙共銀數爲二根多二萬五千兩
半之又得乙銀數爲一根多一萬二千
五百兩十六根少二萬五千兩與一根
多一萬二千五百兩既同爲乙銀數則
爲相等十六根少二萬五千兩與一根
多一萬二千五百兩各加二萬五千兩
得十六根與一根多三萬七千五百兩
[039-63b]
相等十六根與一根各減一根則餘十
五根與三萬七千五百兩相等十五根
既與三萬七千五百兩相等則二根必
與五千兩相等即丙銀數與甲銀二萬
五千兩相加得三萬兩半之得一萬五
千兩即乙銀數也此疊借互徵法用/方程法算之亦可
設如一商貿易不言本銀若干但知第一次所得利
銀比本銀爲四分之一用去銀二十兩第二次所
得利銀比第二次本銀爲五分之二用去銀十四
[039-63b]
兩第三次所得利銀比第三次本銀爲三分之一
[039-64a]
用去銀十五兩合計所餘利銀共八十兩問原本
銀及每次所得利銀各幾何
法借十二根爲原本銀數則第一次利
銀爲三根本利相加得十五根内減用
去銀二十兩得十五根少二十兩爲第
二次本銀數取其五分之二得六根少
八兩爲第二次利銀數本利相加得二
十一根少二十八兩又減用去銀十四
[039-64b]
兩得二十一根少四十二兩爲第三次
本銀數取其三分之一得七根少十四
兩爲第三次利銀數以第三次本利相
加得二十八根少五十六兩又減用去
銀十五兩則爲二十八根少七十一兩
而原借十二根與所餘利銀八十兩遂
爲十二根多八十兩是爲二十八根少
七十一兩與十二根多八十兩相等少
七十一兩與多八十兩各加七十一兩
[039-64b]
得二十八根與十二根多一百五十一
[039-65a]
兩相等二十八根與十二根各減十二
根得十六根與一百五十一兩相等十
六根既與一百五十一兩相等則十二
根必與一百一十三兩二錢五分相等
即原本銀數四歸之得二十八兩三錢
一分二釐五毫即第一次所得利銀數
本利相加減用去二十兩得一百二十
一兩五錢六分二釐五毫即第二次本
[039-65b]
銀數取其五分之二得四十八兩六錢
一 二分五釐即第二次所得利銀數本利
一 相加又減用去十四兩得一百五十六
兩一錢八分七釐五毫即第三次本銀
數三歸之得五十二兩零六分二釐五
毫即第三次所得利銀數本利相加又
減用去十五兩得一百九十三兩二錢
五分即原本銀與三次所餘共利銀相
加之數蓋原本銀一百一十三兩二錢
[039-65b]
五分又加所餘共利銀八十兩即一百
[039-66a]
九十三兩二錢五分兩數相等也此疊/借互
徵/法
設如有人貿易四次第一次所得利銀比原本銀爲
九分之一用去銀比原本銀爲十二分之一第二
次所得利銀比原本銀爲六分之一用去銀比原
本銀爲九分之四第三次所得利銀比原本銀爲
四分之一用去銀比原本銀爲二分之一第四次
所得利銀比原本銀爲三分之一用去銀比原本
[039-66b]
銀爲三分之二合四次利銀已用盡仍用本銀六
百兩問本利銀各若干
法借三十六根爲本銀數借三十六者/以九與十二
與六皆係用三可以度盡之數獨四與/九不能度盡故借四九相乘之數則各
分母皆可/以度盡也則第一次利銀爲四根第二
次利銀爲六根第三次利銀爲九根第
四次利銀爲十二根四數相加共得三
十一根爲四次利銀之共數第一次用
去爲三根第二次用去爲十六根第三
[039-66b]
次用去爲十八根第四次用去爲二十
[039-67a]
四根四數相加共得六十一根爲四次
用去銀之共數以四次利銀皆用盡仍
用本銀六百兩計之則四次利銀之共
數三十一根仍如本銀六百兩乃與四
次用去銀之共數六十一根相等也三
十一根與六十一根各減去三十一根
則餘三十根與六百兩相等三十根既
與六百兩相等則一根必與二十兩相
[039-67b]
等而三十六根必與七百二十兩相等
即本銀數三十一根又與六百二十兩
相等即利銀數六十一根又與一千二
百二十兩相等即用去銀數也此疊借/互徵法
設如甲乙丙丁四人同出銀作生理内甲丙丁三人
所出銀不言數但知乙出銀五兩若將甲所出銀
二分之一與乙又將乙所出銀五分之一與丙又
將丙所出銀七分之一與丁又將丁所出銀九分
之一與甲則四人所出之銀皆相等問四人各出
[039-67b]
銀若干
[039-68a]
法借二根爲甲出銀數則甲將一根二/分
之/一與乙乙將一兩五分/之一與丙是甲爲一
根乙爲一根多四兩今以甲與乙相較
則數不相等蓋因甲尚當得丁銀九分
之一也甲因未得丁銀九分之一故比
乙銀少四兩是四兩即丁銀之九分之
一也九分之一既爲四兩則三十六兩
即爲丁原銀數丁既以四兩與甲則丁
[039-68b]
所餘止三十二兩以丁三十二兩與乙
一根多四兩相較其數又不相等蓋因
丁尚當得丙銀七分之一也丁因未得
丙銀七分之一故比乙銀差一根少二
十八兩於乙一根多四兩内減去三十/二兩即餘一根少二十八兩也
是一根少二十八兩即丙銀之七分之
一也七分之一既爲一根少二十八兩
則七根少一百九十六兩即爲丙原銀
數丙既以一根少二十八兩與丁則丙
[039-68b]
所餘爲六根少一百六十八兩再加乙
[039-69a]
所與之一兩則丙得六根少一百六十
七兩矣夫四人既按分各與之則乙爲
一根多四兩甲餘一根又得丁四兩亦
爲一根多四兩丁餘三十二兩又得丙
一根少二十八兩亦爲一根多四兩其
數皆相等則丙之六根少一百六十七
兩亦必與一根多四兩爲相等矣少一
百六十七兩與多四兩各加一百六十
[039-69b]
七兩得六根與一根多一百七十一兩
相等六根與一根各減一根則餘五根
與一百七十一兩相等五根既與一百
七十一兩相等則一根必與三十四兩
二錢相等而二根必與六十八兩四錢
相等即甲所出銀數又七根必與二百
三十九兩四錢相等内減去一百九十
六兩丙原爲七根少/一百九十六兩餘四十三兩四錢
爲丙所出銀數乃於丁所出銀内減九
[039-69b]
分之一餘三十/二兩加丙銀之七分之一六/兩
[039-70a]
二/錢得三十八兩二錢於丙所出銀内減
七分之一餘三十七/兩二錢加乙銀之五分之
一一/兩亦得銀三十八兩二錢於乙所出
銀内減五分之一餘四/兩加甲銀之二分
之一三十四/兩二錢亦得銀三十八兩二錢於
甲所出銀内減二分之一餘三十四/兩二錢加
丁銀之九分之一四/兩亦得銀三十八兩
二錢也此疊借互徵法用/方程法算之亦可
[039-70b]
設如甲乙丙丁戊五人各出銀不言數但知甲乙共
銀二百四十兩丙銀爲甲銀三分之一丁銀爲乙
銀四分之一戊銀七十二兩與丙丁共數相等問
五人各銀若干
法借十二根爲甲銀數則乙銀爲二百
四十兩少十二根丙銀爲四根丁銀爲
六十兩少三根以丙丁二數相加得六
十兩多一根而與戊銀七十二兩相等
七十二兩與六十兩各減六十兩得十
[039-70b]
二兩與一根相等十二兩既與一根相
[039-71a]
等則十二根必與一百四十四兩相等
即甲銀數甲乙共銀二百四十兩内減
甲銀數餘九十六兩即乙銀數將甲銀
數三歸之得四十八兩即丙銀數將乙
銀數四歸之得二十四兩即丁銀數也
此疊借互徵法用/方程法算之亦可
設如有銀六百兩令甲乙丙丁戊己六人分之甲乙
共得二百兩丙丁共得二百兩戊己共得二百兩
[039-71b]
丙所得銀比甲所得銀爲四分之一戊所得銀比
丁所得銀爲三分之一乙所得銀比己所得銀爲
二分之一問六人各分銀幾何
法借十二根爲甲所得銀數則乙所得
銀爲二百兩少十二根丙所得銀爲三
根丁所得銀爲二百兩少三根戊所得
銀爲六十六兩又三分兩之二少一根
戊比丁爲三分之一/以三除丁數即是己所得銀爲四百
兩少二十四根乙比己爲二分之一/以二乗乙數即是以
[039-71b]
戊己兩數相加得四百六十六兩又三
[039-72a]
分兩之二少二十五根是爲二百兩與
四百六十六兩又三分兩之二少二十
五根相等二百兩與四百六十六兩又
三分兩之二少二十五根各加二十五
根得二百兩多二十五根與四百六十
六兩又三分兩之二相等二百兩與四
百六十六兩又三分兩之二各減二百
兩則餘二十五根與二百六十六兩又
[039-72b]
三分兩之二相等二十五根既與二百
六十六兩又三分兩之二相等則一根
必與十兩又三分兩之二相等三根必
與三十二兩相等即丙所得銀數四因
之得一百二十八兩爲甲所得銀數甲
乙共得二百兩内減甲所得銀數餘七
十二兩爲乙所得銀數丙丁共得二百
兩内減丙所得銀數餘一百六十八兩
爲丁所得銀數乙所得銀七十二兩二
[039-72b]
因之得一百四十四兩爲己所得銀數
[039-73a]
丁所得銀一百六十八兩三歸之得五
十六兩爲戊所得銀數也此疊借互徵/法用方程法
算之/亦可
設如有駝一羣七十二個馬一羣不知數牛一羣與
駝馬相併之數等羊一羣與駝馬相乗之數等又
爲牛數之六十倍問馬牛羊各幾何
法借一根爲馬數則一根多七十二爲
牛數以駝數七十二與馬數一根相乗
[039-73b]
得七十二根爲羊數再以牛數一根多
七十二與六十相乗得六十根多四千
三百二十亦爲羊數此兩數既同爲羊
數則爲相等七十二根與六十根各減
六十根則餘十二根與四千三百二十
相等十二根既與四千三百二十相等
則一根必與三百六十相等即馬一羣
之數與駝數相加得四百三十二即牛
一羣之數再與六十相乗得二萬五千
[039-73b]
九百二十即羊一羣之數以駝七十二
[039-74a]
與馬三百六十相乘亦得二萬五千九
百二十爲相等也此疊借互徵法用/方程法算之亦可
設如有大小二石不知重數有銅條一根重十二兩
均分十二分以繩繫於第五分之上一頭五分一
頭七分將大石掛於銅條之端離提繫五分而以
小石作砣稱之離提繫六分始平又將小石掛於
銅條之端離提繫五分而以大石作砣稱之離提
繫四分始平問二石各重若干
[039-74b]
法先以五分加一倍與十二分相減餘
二分折半得一分與五分相加爲六分
乃以五分爲一率六分爲二率餘二分
之重二兩爲三率求得四率二兩四錢
即五分之端加二兩四錢始與七分相
平也今大石離提繫五分小石離提繫
六分而平是大石重六分小石重五分
而大石多二兩四錢則小石爲大石六
分之五而少二兩也銅條五分之端應/加二兩四錢而平
[039-74b]
今大石在五分之一頭是大石多二兩/四錢也將二兩四錢以大石之六分除
[039-75a]
之每分得四錢是大石比小石每分多/四錢以小石五分計之則大石比小石
多二兩故小石爲大石之/六分之五而少二兩也又小石離提
繫五分大石離提繫四分而平是小石
重四分大石重五分而小石多二兩四
錢則小石爲大石五分之四而多二兩
四錢也銅條五分之端應加二兩四錢/而平今小石在五分之一頭是
小石多二兩四錢也將二兩四錢以小/石之四分除之每分得六錢是小石比
大石每分多六錢以小石四分計之則/小石比大石多二兩四錢故小石爲大
[039-75b]
石之五分之四而/多二兩四錢也乃借三十根六分五/分相乗
之/數爲大石之重數以小石爲大石六分
之五而少二兩計之則小石之重爲二
十五根少二兩以小石爲大石五分之
四而多二兩四錢計之則小石之重又
爲二十四根多二兩四錢此兩數爲相
等兩邊各加二兩得二十五根與二十
四根多四兩四錢相等兩邊再各減去
二十四根餘一根與四兩四錢相等一
[039-75b]
根既與四兩四錢相等則三十根必與
[039-76a]
一百三十二兩相等即大石之重數六
歸之得二十二兩五因之得一百一十
兩減去二兩得一百零八兩即小石之
重數或以大石之重數五歸之得二十
六兩四錢四因之得一百零五兩六錢
加二兩四錢亦得一百零八兩爲小石
之重數也此疊借互徵法用/方程法算之亦可
設如有銀買馬牛二色馬四匹牛八頭共價五十六
[039-76b]
兩又馬三匹牛五頭共價三十八兩問馬牛各價
若干
法借一根爲牛一頭之價則前牛八頭
之共價爲八根前馬四匹之共價爲五
十六兩少八根而後牛五頭之共價爲
五根乃以前馬四匹爲一率共價五十
六兩少八根爲二率後馬三匹爲三率
求得四率四十二兩少六根爲後馬三
匹之共價内加後牛五頭之共價五根
[039-76b]
得四十二兩少一根爲後馬三匹牛五
[039-77a]
頭之共價與後共價三十八兩相等四
十二兩少一根與三十八兩各加一根
得四十二兩與三十八兩多一根相等
四十二兩與三十八兩多一根再各減
去三十八兩則餘四兩與一根相等即
牛一頭之價八因之得三十二兩爲前
牛八頭之共價於前共價五十六兩内
減之餘二十四兩爲前馬四匹之共價
[039-77b]
四歸之得六兩爲馬一匹之價又以後
馬三匹因之得十八兩爲後馬三匹之
共價於後共價三十八兩内減之餘二
十兩爲後牛五頭之共價五歸之亦得
四兩爲牛一頭之價也此二色和/數方程法
設如有錢買桃梨二色桃四個比梨八個少錢十二
文桃九個比梨六個多錢二十一文問桃梨多價
若干
法借一根爲桃一個之價則前桃四個
[039-77b]
之共價爲四根前梨八個之共價爲十
[039-78a]
二文多四根而後桃九個之共價爲九
根乃以前梨八個爲一率共價十二文
多四根爲二率後梨六個爲三率求得
四率九文多三根爲後梨六個之共價
加後桃比梨多錢二十一文得三十文
多三根與後桃九個之共價九根相等
九桃比六梨多二十一文故以二十一/文與六梨之價相加即與九桃之價等
也/三十文多三根與九根各減去三根
[039-78b]
則餘三十文與六根相等三十文既與
六根相等則五文必與一根相等即桃
一個之價四因之得二十文爲前桃四
個之共價加入桃比梨少錢十二文得
三十二文爲前梨八個之共價八歸之
得四文爲梨一個之價又以後梨六個
因之得二十四文爲後梨六個之共價
加入桃比梨多錢二十一文得四十五
文爲後桃九個之共價九歸之亦得五
[039-78b]
文爲桃一個之價也此二色較/數方程法
[039-79a]
設如有銀買緞紗紬三色初次買緞二疋紗六疋紬
八疋共價八十四兩二次買緞一疋紗四疋紬七
疋共價六十兩三次買緞三疋紗五疋紬九疋共
價九十兩問緞紗紬每疋各價若干
法借一根爲紬每疋之價則初次紬之
共價爲八根二次紬之共價爲七根三
次紬之共價爲九根而初次緞之共價
爲八十四兩少八根仍少紗六疋乃以
[039-79b]
初次緞二疋爲一率緞價八十四兩少
八根仍少紗六疋爲二率二次緞一疋
爲三率求得四率四十二兩少四根仍
少紗三疋爲二次緞價加入二次紬價
七根紗四疋得四十二兩多三根仍多
紗一疋爲二次緞一疋紗四疋紬七疋
之共價與二次共價六十兩相等四十
二兩多三根多紗一疋與六十兩各減
去四十二兩餘三根多紗一疋與十八
[039-79b]
兩相等三根多紗一疋與十八兩再各
[039-80a]
減去三根餘紗一疋與十八兩少三根
相等即紗一疋之價爲十八兩少三根
也又以二次緞一疋爲一率緞價四十
二兩少四根仍少紗三疋爲二率三次
緞三疋爲三率求得四率一百二十六
兩少十二根仍少紗九疋爲三次緞價
加入三次紬價九根紗五疋得一百二
十六兩少三根仍少紗四疋爲三次緞
[039-80b]
三疋紗五疋紬九疋之共價與三次共
價九十兩相等一百二十六兩少三根
少紗四疋與九十兩各加紗四疋得一
百二十六兩少三根與九十兩多紗四
疋相等一百二十六兩少三根與九十
兩多紗四疋再各減去九十兩餘三十
六兩少三根與紗四疋相等即紗四疋
之價爲三十六兩少三根也前所得紗
一疋之價爲十八兩少三根今又得紗
[039-80b]
四疋之價爲三十六兩少三根此二分
[039-81a]
雖同而疋數不一故又以紗一疋爲一
率前所得之紗一疋之價十八兩少三
根爲二率今紗四疋爲三率求得四率
七十二兩少十二根爲紗四疋之價乃
與後所得紗四疋之價三十六兩少三
根相等三十六兩少三根與七十二兩
少十二根各加十二根得三十六兩多
九根與七十二兩相等三十六兩多九
[039-81b]
根與七十二兩再各減去三十六兩餘
九根與三十六兩相等九根既與三十
六兩相等則一根必與四兩相等即紬
一疋之價也紗一疋之價既爲十八兩
少三根則於十八兩内減去三根之共
數十二兩餘六兩即紗一疋之價初次
紗六疋以紗價六兩乘之得三十六兩
初次紬八疋以紬價四兩乘之得三十
二兩兩數相加得六十八兩與初次共
[039-81b]
銀八十四兩相減餘十六兩爲緞二疋
[039-82a]
之價二歸之得八兩即緞一疋之價也
其二次緞之共價爲八兩紗之共價爲
二十四兩紬之共價爲二十八兩相加
共得六十兩三次緞之共價爲二十四
兩紗之共價爲三十兩紬之共價爲三
十六兩相加共得九十兩皆合原數也
此三色和/數方程法
設如甲乙丙三人各有銀買銅鐵錫三色甲買銅二
[039-82b]
斤鐵二斤錫一斤共銀九錢乙買銅三斤比鐵六
斤錫二斤之價多二錢丙買銅二斤鐵四斤與錫
四斤之價相等問銅鐵錫每斤各價若干
法借一根爲錫每斤之價則甲錫之價
即爲一根乙錫之價爲二根丙錫之價
爲四根而甲銅之共價爲九錢少一根
仍少鐵二斤乃以甲銅二斤爲一率銅
價九錢少一根仍少鐵二斤爲二率乙
銅三斤爲三率求得四率一兩三錢五
[039-82b]
分少一根半仍少鐵三斤爲乙銅三斤
[039-83a]
之價内減比錫二斤鐵六斤所多之二
錢餘一兩一錢五分少一根半仍少鐵
三斤與乙錫二斤之共價二根多鐵六
斤相等一兩一錢五分少一根半少鐵
三斤與二根多鐵六斤各加鐵三斤得
一兩一錢五分少一根半與二根多鐵
九斤相等一兩一錢五分少一根半與
二根多鐵九斤再各減去二根餘一兩
[039-83b]
一錢五分少三根半與鐵九斤相等即
鐵九斤之價爲一兩一錢五分少三根
半也又以甲銅二斤之共價九錢少一
根仍少鐵二斤即爲丙銅二斤之共價
丙銅與甲銅俱爲二斤故/其共價相等省一四率也加鐵四斤得
九錢少一根多鐵二斤與丙錫四斤之
共價四根相等九錢少一根多鐵二斤
與四根各加一根得九錢多鐵二斤與
五根相等九錢多鐵二斤與五根再各
[039-83b]
減去九錢餘鐵二斤與五根少九錢相
[039-84a]
等即鐵二斤之價爲五根少九錢也前
所得鐵九斤之價爲一兩一錢五分少
三根半今又得鐵二斤之價爲五根少
九錢此二分雖同而斤數不一故又以
鐵二斤爲一率今所得之鐵二斤之價
五根少九錢爲二率前所得之鐵九斤
爲三率求得四率二十二根半少四兩
零五分爲鐵九斤之價乃與前所得鐵
[039-84b]
九斤之價一兩一錢五分少三根半相
等二十二根半少四兩零五分與一兩
一錢五分少三根半各加四兩零五分
得二十二根半與五兩二錢少三根半
相等二十二根半與五兩二錢少三根
半再各加三根半得二十六根與五兩
二錢相等二十六根既與五兩二錢相
等則一根必與二錢相等即錫每斤之
價也鐵二斤之價既爲五根少九錢則
[039-84b]
以五根之共數一兩内減去九錢餘一
[039-85a]
錢爲鐵二斤之共價半之得五分即鐵
每斤之價於甲共銀九錢内減去鐵二
斤之價一錢又減去錫一斤之價二錢
餘六錢爲銅二斤之共價半之得三錢
爲銅每斤之價也其乙銅三斤之共價
爲九錢乙鐵六斤之共價爲三錢乙錫
二斤之共價爲四錢是銅三斤比錫二
斤鐵六斤之價多二錢也丙銅二斤之
[039-85b]
共價爲六錢丙鐵四斤之共價爲二錢
丙錫四斤之共價爲八錢是銅二斤鐵
四斤與錫四斤之價等也此三色和較/兼用方程法
[039-85b]
御製數理精藴下編卷三十四
