[035-1a] 
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷三十
體部八
各體權度比例
堆垜
[035-2a]
各體權度比例
數學至體而備以其綜線面之全而盡度量衡之用
也葢線面存乎度體則存乎量求輕重則存乎衡是
以又有權度之比例其法㮣以諸物製爲正方其邊
一寸其積千分較量豪釐俾有定率然後凡物知其
體積即知其重輕知其重輕即知其體積而權度無
遁情也且體之爲質不一邊積等者輕重不同輕重
等者邊積不同皆有互相比例之法而各體無混淆
[035-2b]
也
赤金十六兩八錢
紋銀九兩
水銀十二兩二錢八分
紅銅七兩五錢
白銅六兩九錢八分
黃銅六兩八錢
綱六兩七錢三分
生鐵六兩七錢
[035-2b]
熟鐵六兩七錢三分
[035-3a]
高錫六兩三錢
六錫七兩六錢
倭鉛六兩
黑鉛九兩九錢三分
白玉二兩六錢
金珀八錢
白瑪瑙二兩三錢
紅瑪瑙二兩二錢
[035-3b]
硨磲一兩五錢二分
青石二兩八錢八分
白石二兩五錢
紅石二兩五錢六分
象牙一兩五錢四分
牛角一兩九錢
沉香八錢二分
白檀八錢三分
紫檀一兩零二分
[035-3b]
花梨八錢七分
[035-4a]
楠木四錢八分
黃楊七錢五分
烏木一兩一錢
油八錢三分
水九錢三分
設如有金一方每邊三寸問重幾何
法以一寸爲一率金寸方重一十六兩
八錢爲二率今所設之金方每邊三寸
[035-4b]
自乘再乘得二十七寸爲三率求得四
率四百五十三兩六錢即金之重數也
此法葢因金方每邊三寸則體積爲二
十七寸以一寸與一十六兩八錢之比
同於二十七寸與四百五十三兩六錢
之比也
設如有銀一方每邊二寸問重幾何
法以一寸爲一率銀寸方重九兩爲二
率今所設之銀方每邊二寸自乘再乘
[035-4b]
得八寸爲三率求得四率七十二兩即
[035-5a]
銀之重數也此法葢因銀方每邊二寸
則體積爲八寸以一寸與九兩之比同
於八寸與七十二兩之比也
設如黄銅一條重三百七十四兩問積幾何
法以黃銅寸方重六兩八錢為一率一
寸爲二率今所設黄銅重三百七十四
兩爲三率求得四率五十五寸即黃銅
之積也
[035-5b]
設如熟鐵一塊重十六兩欲鎔爲正方體問毎邊幾
何
法以熟鐵寸方重六兩七錢三分爲一
率一寸爲二率今鐵重十六兩爲三率
求得四率二寸三百七十七分四百一
十四釐有餘開立方得一寸三分三釐
有餘即每邊之數也
設如水銀一匣但知匣闊四寸長六寸高三寸五分
問内水銀重數幾何
[035-5b]
法以匣闊四寸與長六寸相乘得二十
[035-6a]
四寸又以高三寸五分再乘得八十四
寸爲水銀一匣之積數爰以一寸爲一
率水銀寸方重一十二兩二錢八分爲
二率今所得之水銀一匣之積數八十
四寸爲三率求得四率一千零三十一
兩五錢二分即水銀之重數也
設如白玉一方重九十三兩六錢但知闊比高多一
寸長比闊多三寸問高闊長各幾何
[035-6b]
法以玉寸方重二兩六錢爲一率一寸
爲二率今所設玉重九十三兩六錢爲
三率求得四率三十六寸爲長方體積
乃以闊比高多一寸長比闊多三寸爲
帶兩縱之較用帶兩縱不同較數開立
方法算之得高二寸加闊比高多一寸
得三寸爲闊再加長比闊多三寸得六
寸爲長也
設如金與銀鎔於一處共得正方體積二十七寸重
[035-6b]
二百七十四兩二錢問金與銀各幾何
[035-7a]
法以共積二十七寸以銀寸方重九兩
乘之得二百四十三兩與共重二百七
十四兩二錢相減餘三十一兩二錢乃
以銀寸方重九兩與金寸方重十六兩
八錢相減餘七兩八錢爲一率金一寸
爲二率今相減所餘之三十一兩二錢
爲三率求得四率四寸即金之寸數於
共積二十七寸内減去四寸餘二十三
[035-7b]
寸即銀之寸數也以金四寸與金寸方
重十六兩八錢相乘得六十七兩二錢
以銀二十三寸與銀寸方重九兩相乘
得二百零七兩兩數相併得二百七十
四兩二錢仍與原數相合也此即和較
比例之法葢銀二十七寸則其重數應
得二百四十三兩與共重二百七十四
兩二錢相減餘三十一兩二錢即金重
於銀之數而金每寸比銀毎寸多七兩
[035-7b]
八錢故多七兩八錢則金有一寸今多
[035-8a]
三十一兩二錢則知金有四寸也若欲
先得銀數則仍以七兩八錢爲一率一
寸爲二率將共積二十七寸以金寸方
重十六兩八錢乘之得四百五十三兩
六錢内減共重二百七十四兩二錢餘
一百七十九兩四錢爲三率求得四率
二十三寸即銀之寸數與共積二十七
寸相減餘四寸即金之寸數葢少七兩
[035-8b]
八錢則銀有一寸今少一百七十九兩
四錢則知銀有二十三寸也
設如金鑲玉爐一座共重四十六兩七錢問金玉各
幾何
法用盛水器皿一件置爐其中實之以
水取出爐看水淺幾何設如盛水器皿
係正方形每邊五寸取出爐水淺五分
即以毎邊五寸自乘得二十五寸以水
淺五分爲高再乘得一十二寸五百分
[035-8b]
爲爐之體積即金玉之共積爰以共積
[035-9a]
一十二寸五百分以玉寸方重二兩六
錢乘之得三十二兩五錢與共重四十
六兩七錢相減餘一十四兩二錢乃以
玉寸方重二兩六錢與金重一十六兩
八錢相減餘一十四兩二錢爲一率金
一寸爲二率今相減所餘一十四兩二
錢爲三率求得四率一寸爲金之寸數
於共積一十二寸五百分内減去一寸
[035-9b]
餘十一寸五百分爲玉之寸數金一寸
重得十六兩八錢玉十一寸五百分與
玉寸方重二兩六錢相乘得二十九兩
九錢爲玉之重數兩數相併共得四十
六兩七錢仍與原數相合也如欲先得
玉數則仍以一十四兩二錢爲一率一
寸爲二率將所得共積一十二寸五百
分以金寸方重十六兩八錢乘之得二
百一十兩内減共重四十六兩七錢餘
[035-9b]
一百六十三兩三錢爲三率求得四率
[035-10a]
一十一寸五百分爲玉之寸數與共積
一十二寸五百分相減餘一寸即金之
寸數也
設如空心金球一個外徑一尺二寸厚三分問重幾
何
法以金球外徑一尺二寸自乘再乘得
一尺七百二十八寸乃用方邊球徑相
等方積球積不同之定率比例以方積
[035-10b]
一○○○○○○○○○爲一率球積
五二三五九八七七五爲二率今球徑
自乘再乘之正方體積一尺七百二十
八寸爲三率求得四率九百零四寸七
百七十八分六百八十三釐有餘爲球
之全體積又以厚三分倍之得六分與
外徑一尺二寸相減餘一尺一寸四分
爲空心徑自乘再乘得一尺四百八十
一寸五百四十四分仍以方積一○○
[035-10b]
○○○○○○○爲一率球積五二三
[035-11a]
五九八七七五爲二率今空心徑自乘
再乘之正方體積一尺四百八十一寸
五百四十四分爲三率求得四率七百
七十五寸七百三十四分六百二十三
釐有餘爲球内空心虛積兩積相減餘
一百二十九寸零四十四分零六十釐
有餘爲空心球體積乃以一寸爲一率
金寸方重十六兩八錢爲二率空心球
[035-11b]
體積一百二十九寸零四十四分零六
十釐有餘爲三率求得四率二千一百
六十七兩九錢四分有餘即空心金球
體之重數也
設如正方青石一塊紅石一塊紅石比青石毎邊多
二寸體積多五十六寸問二石之邊數及重數各
幾何
法以紅石比青石每邊多二寸爲邊較
體積多五十六寸爲積較用大小二立
[035-11b]
方有邊較積較求邊法算之以邊較二
[035-12a]
寸自乘再乘得八寸與積較五十六寸
相減餘四十八寸三歸之得一十六寸
以邊較二寸除之得八寸爲長方面積
以邊較二寸爲長闊之較用帶縱較數
開平方法算之得闊二寸即青石之邊
數加紅石比青石每邊多二寸得四寸
即紅石之邊數乃以一寸爲一率紅石
寸方重二兩五錢六分爲二率紅石毎
[035-12b]
邊四寸自乘再乘得六十四寸爲三率
求得四率一百六十三兩八錢四分即
紅石之重數也又以一寸爲一率青石
寸方重二兩八錢八分爲二率青石每
邊二寸自乘再乘得八寸爲三率求得
四率二十三兩零四分即青石之重數
也此法因二石皆爲正方體故用大小
二立方有邊較積較求邊之法求得二
石之邊自乘再乘即得二石之體積用
[035-12b]
寸方重數定率以比例之即得二石之
[035-13a]
重數也
設如有正方水桶三個第一桶每邊一尺第三桶比
第二桶每邊多二寸第三桶體積與第一桶第二
桶兩桶之共積相等問三桶水之重數各幾何
法以一寸爲一率水寸方重九錢三分
為二率第一桶正方每邊一尺自乘再
乘得一千寸爲三率求得四率九百三
十兩爲第一桶水之重數又以第三桶
[035-13b]
比第二桶每邊多二寸爲邊較以第一
桶體積一千寸爲第三桶比第二桶所
多之積較用大小二立方有邊較積較
求邊法算之以邊較二寸自乘再乘得
八寸與積較一千寸相減餘九百九十
二寸三歸之得三百三十寸六百六十
六分六百六十六釐有餘以邊較二寸
除之得一尺六十五寸三十三分三十
三釐有餘爲長方面積以邊較二寸爲
[035-13b]
長闊之較用帶縱較數開平方法算之
[035-14a]
得闊一尺一寸八分九釐有餘爲第二
桶之邊數加較二寸得一尺三寸八分
九釐有餘爲第三桶之邊數乃以一寸
爲一率水寸方重九錢三分爲二率第
二桶每邊一尺一寸八分九釐有餘自
乘再乘得一尺六百八十寸九百二十
四分有餘爲三率求得四率一千五百
七十兩九錢九分三釐有餘即第二桶
[035-14b]
水之重數又以一寸爲一率水寸方重
九錢三分爲二率第三桶每邊一尺三
寸八分九釐有餘自乘再乘得二尺六
百七十九寸八百二十六分有餘爲三
率求得四率二千四百九十二兩二錢
三分八釐有餘即第三桶水之重數也
此法葢因第三桶之體積與第一第二
兩桶之共積相等則第一桶體積一千
寸即第三桶體積比第二桶體積所多
[035-14b]
之較也而第三桶比第二桶每邊多二
[035-15a]
寸故用大小二立方有邊較積較求邊
法求得二桶之邊數自乘再乘即得二
桶之體積用寸方重數定率以比例之
即得二桶水之重數也
設如金球一個徑二寸二分六釐今欲作一銀球其
重與金球等問徑幾何
法以金方邊一寸爲一率銀方邊一寸
二分三釐爲二率今所設之金球徑二
[035-15b]
寸二分六釐爲三率求得四率二寸七
分七釐有餘即銀球之徑數也此法葢
因各色俱爲正方體其重數俱設爲十
六兩八錢與金寸方等故金方邊爲一
寸銀方邊爲一寸二分三釐水銀方邊
爲一寸一分一釐鉛方邊爲一寸一分
九釐銅方邊爲一寸三分一釐鐵方邊
爲一寸三分六釐錫方邊爲一寸三分
九釐石方邊爲一寸八分九釐水方邊
[035-15b]
爲二寸六分四釐油方邊爲二寸七分
[035-16a]
四釐皆係邊與邊之比例故球徑與球
徑之比同於方邊與方邊之比而爲相
當比例四率也
設如青石一塊正方一尺二寸重四千九百七十六
兩六錢四分今欲作與青石一樣大熟鐵一塊問
重幾何
法以青石寸方重二兩八錢八分爲一
率熟鐵寸方重六兩七錢三分爲二率
[035-16b]
今所設之青石重四千九百七十六兩
六錢四分爲三率求得四率一萬一千
六百二十九兩四錢四分即與青石一
樣大熟鐵之重數也
[035-17a]
堆垜
堆垜之法雖爲體屬而一面平堆與方圓束形實與
面同方者即平方法其餘則用梯形法以其每層皆
遞加之數也束形亦與一面平堆同法葢圓者以六
包一方者以八包一三角者以九包一有邊求積有
周求積其理皆相通也若夫以方面層累者則爲四
角尖堆以三角面層累者則爲三角尖堆此二者每
層之邊皆同爲遞加一數每層之面積則三角爲按
[035-17b]
位相加之數四角爲按位自乘相加之數其傍皆崚
嶒不平故與體亦微異也至於以長方面層累者則
爲長方堆以全堆而減去上截者則爲半堆總以尖
堆之法御之分之以立其法合之以明其理一一按
法解之於後
設如一面直角尖堆底十二求積幾何
法以底十二加尖上一得十三與層數
十二相乘得一百五十六折半得七十
八即一面直角尖堆之積也如圖甲乙
[035-17b]
丙一面直角尖堆乙丙爲底十二其甲
[035-18a]
乙高亦即爲十二層其每層皆加一爲
挨次遞加之數成直角三角形試另作
一丁戊己直角三角形合於原形之側
則成甲乙丁戊長方形其高即層數其
底即首數與末數相加之數其積即總
數加一倍之數見算法原本二/卷第三十二節故以底
十二與上尖一相加與層數十二相乘
得長方積析半即得一面直角尖堆之
[035-18b]
積也此法與勾股求積之法異者葢勾
股之上尖爲一㸃無數可紀此上尖一
即其上之闊成斜方形故用斜方求積
之法以上闊與下闊相加以高數乘之
折半而得積也
設如一面直角尖堆積二十八求底幾何
法以一面直角尖堆積二十八倍之得
五十六爲長方積以一爲長闊之較用
帶縱較數開平方法算之得闊七即一
[035-18b]
面直角尖堆之底數也如圖甲乙丙一
[035-19a]
面直角尖堆積倍之則成甲乙丁戊長
方形積其乙丁長比甲乙闊多一故用
帶縱較數開平方法算之得甲乙與乙
丙等爲一面直角尖堆之底闊也
設如一面三角尖堆底七求積幾何
法以底七加上尖一得八與層數七相
乘得五十六折半得二十八即一面三
角尖堆之積也如圖甲乙丙一面三角
[035-19b]
尖堆乙丙爲底七其甲乙高亦即爲七
層其每層皆加一爲挨次遞加之數成
等邊三角形試另作一丁戊巳等邊三
角形合於原形之側則成甲乙丁戊斜
方形其高即層數其底即首數與末數
相加之數其積即總數加一倍之數故
以底七與上尖一相加與層數七相乘
得斜方積折半得一面三角尖堆之積
也
[035-19b]
設如一面三角尖堆積三十六求每邊幾何
[035-20a]
法以一面三角尖堆積三十六倍之得
七十二爲長方積以一爲長闊之較用
帶縱較數開平方法算之得闊八即一
面三角尖堆每一邊之數也如圖甲乙
丙一面三角尖堆積倍之則成甲乙丁
戊斜長方積若直排之即與直角長方
積等故其求邊之法亦與前直角尖堆
求邊之法同也
[035-20b]
設如一面梯形堆上五下九求積幾何
法以上五與下九相加得十四又視上
五以上至一虛四位即以所虛之四與
下九相減餘五爲層數與上下相加之
十四相乘得七十折半得三十五即一
面梯形堆之積也如圖甲乙丙丁一面
梯形堆甲丁爲上五乙丙爲下九甲乙
爲層數五凡自一遞加之數其末數即/位數今首數爲五計自一己
截去四位故於末數内減去所少之位/即爲今之所有之位見算法原本二巻
[035-20b]
第三十/二節試另作一戊己庚辛梯形合於
[035-21a]
原形之側則成甲乙己庚斜方形其底
即上數與下數相加之數其高即層數
其積即總數加一倍之數故以上數與
下數相加與層數相乘折半即得一面
梯形堆之積也
又法以底九用一面三角尖堆求積法
求得總積四十五又以上五内減一餘
四爲上虛小一面三角尖堆之底亦用
[035-21b]
三角尖堆求積法求得上虛小一面三
角尖堆積十兩積相減餘三十五即一
面梯形堆之積也如圖甲乙丙丁一面
梯形堆先求得戊乙丙三角尖堆總積
又求得戊己庚上虛小三角尖堆積相
減即得甲乙丙丁梯形堆之積也如有
上闊或下闊與層數求積者則於層數
内減一餘爲上下闊之較與上闊相加
則得下闊與下闊相減則得上闊皆用
[035-21b]
有上下闊之法算之而得積也
[035-22a]
設如一面梯形堆積三十五下九問上幾何
法以下九用一面三角尖堆求積法求
得總積四十五内減梯形積三十五餘
十爲上虛小一面三角尖堆積用一面
三角尖堆有積求邊法求得每邊四加
一得五即一面梯形堆之上闊也如圖
甲乙丙丁一面梯形堆先以乙丙下九
求得戊乙丙三角尖堆總積内減甲乙
[035-22b]
丙丁梯形堆積餘戊己庚上虛小一面
三角尖堆積乃用有積求邊法求得己
庚四因每層埃次遞加一故加一即得
甲丁五爲上闊也如有上闊求下闊者
則以上闊内減一爲上虛小三角尖堆
之底求得上虛小三角尖堆積與梯形
積相加爲三角尖堆總積亦用有積求
邊法算之即得下闊也
設如一面梯形堆積三十五上闊比下闊少四問上
[035-22b]
下闊各幾何
[035-23a]
法以梯形堆積三十五倍之得七十又
以上下闊之較四加一得五爲層數以
除倍積七十得十四爲上下闊之和加
較四得十八折半得九爲下闊内減較
四餘五爲上闊也如圖甲乙丙丁一面
梯形堆積每層挨次加一今甲丁上闊
比乙丙下闊少四即知甲乙爲五層矣
故以甲乙丙丁梯形積倍之則成甲乙
[035-23b]
戊己斜方積以甲乙五層除之得乙戊
爲上下闊之和加上下闊之較折半即
得下闊於下闊内減上下闊之較即得
上闊也如有積與上下闊之和求上下
闊者則將積數加一倍以上下闊之和
除之即得層數内減一即得上下闊之
較或有積與層數求上下闊者則於層
數内減一即得上下闊之較以層數除
倍積即得上下闊之和既有較有和即
[035-23b]
得上下闊矣
[035-24a]
設如一面六角堆每邊六求積幾何
法以一面六角堆分作六三角尖堆算
之以每邊六減一餘五爲每一面三角
尖堆之底與毎邊六即底加/一也相乘得三
十折半得十五爲每一面三角尖堆積
六因之得九十加中心一得九十一即
一面六角堆之積也如圖甲乙丙丁戊
己一面六角堆六分之則成甲庚辛類
[035-24b]
六三角尖堆而餘中心一其每一三角
尖堆之甲庚一邊比六角堆之甲己一
邊少一故以六角堆之每一邊内減一
即得三角尖堆之每一邊而求得一面
三角尖堆積六因之再加中心一即得
一面六角堆之總積也
設如一面六角堆積九十一求每邊幾何
法以一面六角堆積九十一減中心一
餘九十六歸之得十五爲一面三角尖
[035-24b]
堆積用一面三角尖堆有積求邊法算
[035-25a]
之得每邊五加一得六即六角堆之每
一邊也如圖甲乙丙丁戊己一面六角
堆積先減去中心一以六歸之則得甲
庚辛一三角尖堆積其三角尖堆之甲
庚一邊比六角堆之甲己一邊少一故
用一面三角尖堆有積求邊法求得一
邊再加一爲一面六角堆之每一邊也
此即算書所謂圓束也本以六包一不
[035-25b]
能成圓凡云圓者皆六邊也
周四十求積幾何
法以外周四十加四得四十四四歸之
得十一爲方束每一邊之數自乘得一
百二十一即方束之積也如圖甲乙丙
丁方束其四隅之四各爲兩邊所同用
故必以外周加四以四歸之始得甲乙
每一邊之數以一邊自乘即爲方束之
積數也
[035-25b]
又法以外周四十加八得四十八與外
[035-26a]
周四十相乘得一千九百二十十六除
之得一百二十加中心一得一百二十
一爲方束之積也葢方束以八包一其
外周所包之數亦必以八遞加爲超位
平加之數如甲乙丙丁方束除却中心
之一最内一層爲八第二層爲十六第
三層爲二十四第四層爲三十二第五
層爲四十毎層皆加八爲超位平加之
[035-26b]
數引而長之成戊己庚辛梯形外周四
十即梯形之底内周八即梯形之上闊
如以首數八與末數四十相加得四十
八用層數五乘之折半即得總數見算/法原
本二卷第/三十二節然其層數之五乃係外周四
十用八歸所得之數今以内周八與外
周四十相加即與外周四十栒乘是未
用八歸故將相乘所得之數必以八歸
又以二歸即折/半始得總數夫先用八歸
[035-26b]
後用二歸即與用十六歸除等二與八/相因得
[035-27a]
一十六合兩次/除爲一次除故以十六歸除得總數
再加中心一即得方束之積也又按第
一法以外周四十加四以四歸之得方
束之每一邊是外周加四則得每邊之
四倍若以外周加四自乘必得方束積
之十六倍而以十六歸除亦即得方束
之積今以外周加八與外周相乘成長
方形則其長比毎邊之四倍多四其闊
[035-27b]
比每邊之四倍少四其積必爲方束積
之十六倍而少十六以十六歸除則得
方束積而少一故加一而得方束積也
此方束毎邊十一係奇數故有中心之
一若方束毎邊係偶數者則無中心之
一詳見下法
設如方束外周三十六求積幾何
法以外周三十六加四得四十四歸之
得一十爲方束毎一邊之數自乘得一
[035-27b]
百即方束之積也
[035-28a]
又法以外周三十六加八得四十四與
外周三十六相乘得一千五百八十四
十六除之得九十九加一得一百爲方
束之積也此方束每邊係偶數無中心
一其最内一層爲四其外周三十六用
八歸之則得四層半然其立法亦與前
法同乘除得數仍加一者葢以外周加
四則得每邊之四倍若以外周加四自
[035-28b]
乘必得方束積之十六倍而以十六歸
除亦即得方束之積今以外周加八與
外周相乘成長方形則其長比每邊之
四倍多四其闊比每邊之四倍少四其
積必爲方束積之十六倍而少十六以
十六歸除則得方束積而少一故加一
而得方束積也
設如方束積一百求外周幾何
法以方束積一百開平方得一十四因
[035-28b]
之得四十内減四餘三十六即方束外
[035-29a]
周之數也如圖甲乙丙丁方束開方則
得甲乙一邊前法以外周加四四歸之
而得一邊此法以一邊四因之減四而
即得外周也
又法以方束積一百内減一餘九十九
以十六乘之得一千五百八十四爲長
方積以八爲長闊之較用帶縱較數開
平方法算之得闊三十六即方束之外
[035-29b]
周數也此即方束有外周求積之法而
轉用之前法以外周加八與外周相乘
十六除之再加一而得積此法則以積
數減一餘用十六乘之以八爲長闊之
較用帶縱開方得闊而爲外周也
設如三稜束外周二十七求積幾何
法以外周二十七加三得三十三歸之
得一十爲三稜束每一邊之數用一面
三角尖堆有邊求積法以每邊一十加
[035-29b]
一得一十一與每邊一十相乘得一百
[035-30a]
一十折半得五十五即三稜束之積也
如圖甲乙丙三稜束其三角之三各爲
兩邊所同用故必以外周加三以三歸
之始得甲乙每一邊之數即如一面三
角尖堆之每一邊故用一面三角尖堆
有邊求積法算之即得三稜束之積也
又法以外周二十七加九得三十六與
外周二十七相乘得九百七十二以十
[035-30b]
八歸除得五十四加中心一得五十五
爲三稜束之積也葢三稜束以九包一
其外周所包之數亦必以九遞加爲超
位平加之數如甲乙丙三稜束除却中
心之一最内一層爲九第二層爲十八
第三層爲二十七每層皆加九爲超位
平加之數引而長之成丁戊己庚梯形
外周二十七即梯形之底内周九即梯
形之上闊如以首數九與末數二十七
[035-30b]
相加得三十六用層數三乘之折半即
[035-31a]
得總數見算法原本二/卷第三十二節然其層數之三
乃係外周二十七用九歸所得之數今
以内周九與外周二十七相加即與外
周二十七相乘是未用九歸故將相乘
所得之數必以九歸又以二歸即折/半始
得總數夫先用九歸後用二歸即與十
八歸除等二與九相乘得一十八/合兩次除爲一次除故以
十八歸除得總數再加中心一即得三
[035-31b]
稜束之積也又按第一法以外周二十
七加三以三歸之得一面三角尖堆之
每一邊是外周加三則得每邊之三倍
若以毎邊之三倍再加三與每邊之三
倍相乘必得一面三角尖堆積之十八
倍葢以一面三角尖堆之毎一邊加一/與每邊之數相乘則得一面三角尖
堆積之二倍今以毎邊之三倍加三與/每邊之三倍相乘是邊加三倍則積加
九倍彼旣爲一面三角尖堆積/之二倍故此即爲十八倍也而以十
八歸除亦即得三稜束之積今以外周
[035-31b]
加九與外周相乘成長方形則其長比
[035-32a]
每邊之三倍加三者尚多三其闊比每
邊之三倍少三其積必爲一面三角尖
堆積之十八倍而少十八以十八歸除
則得一面三角尖堆積而少一故加一
而得三稜束之積也此三稜束亦有無
中心之一者葢緣三稜束包中心一爲
一層者周圍九其底則四包中心一爲
二層者周圍十八其底則七凡如此類
[035-32b]
周遞加九邊遞加三者皆有中心之一
其餘皆無中心之一詳見下法
設如三稜束外周三十求積幾何
法以外周三十加三得三十三三歸之
得十一爲三稜束每一邊之數用一面
三角尖堆有邊求積法以每邊十一加
一得十二與每邊十一相乘得一百三
十二折半得六十六即三稜束之積也
又法以外周三十加九得三十九與外
[035-32b]
周三十相乘得一千一百七十十八除
[035-33a]
之得六十五加一得六十六爲三稜束
之積也此三稜束無中心其最内一層
爲三其外周三十用九歸之則得三層
又三分之一然其立法亦與前法同乘
除得數仍加一者葢以外周加三則得
每邊之三倍若以每邊之三倍再加三
與每邊之三倍相乘必得一面三角尖
堆積之十八倍而以十八歸除亦即得
[035-33b]
三稜束之積今以外周加九與外周相
乘成長方形則其長比每邊之三倍加
三者尚多三其闊比每邊之三倍少三
其積必爲一面三角尖堆積之十八倍
而少十八以十八歸除則得一面三角
尖堆積而少一故加一而得三稜束之
積也
設如三稜束積六十六求外周幾何
法以三稜束積六十六倍之得一百三
[035-33b]
十二爲長方積以一爲長闊之較用帶
[035-34a]
縱較數開平方法算之得闊十一爲三
稜束之每一邊三因之得三十三内減
三餘三十即三稜束之外周數也如圖
甲乙丙三稜束用一面三角尖堆有積
求邊法求得甲乙一邊前法以外周加
三三歸之而得一邊此法以一邊三因
之減三而即得外周也
又法以三稜束積六十六内減一餘六
[035-34b]
十五以十八乘之得一千一百七十爲
長方積以九爲長闊之較用帶縱較數
開平方法算之得闊三十即三稜束之
外周數也此即三稜束有外周求積之
法而轉用之前法以外周加九與外周
相乘十八除之再加一而得積此法則
以積數減一餘用十八乘之以九爲長
闊之較用帶縱開方得闊而爲外周也
設如圓束外周三十求積幾何
[035-34b]
法以外周三十六歸之得五爲一面三
[035-35a]
角尖堆之每一邊用一面三角尖堆有
邊求積法以每邊五加一得六與每邊
五相乘得三十折半得十五爲每一三
角尖堆積六因之得九十加中心一得
九十一即圓束之積也如圖甲乙丙丁
戊己圓束六分之則成甲庚辛類六三
角尖堆形而餘中心一故以外周六分
之而得甲庚每一邊之數即如一面三
[035-35b]
角尖堆之每一邊而求得一三角尖堆
積六因之得六三角尖堆積加中心一
即爲圓束之積數也
又法以外周三十加六得三十六與外
周三十相乘得一千零八十十二除之
得九十加中心一得九十一爲圓束之
積也葢圓束以六包一其外周所包之
數亦必以六遞加爲超位平加之數如
甲乙丙丁戊己圓束除却中心之一最
[035-35b]
内一層爲六第二層爲十二第三層爲
[035-36a]
十八第四層爲二十四第五層爲三十
每層皆加六爲超位平加之數引而長
之成庚辛壬癸梯形外周三十即梯形
之底内周六即梯形之上闊如以首數
六與末數三十相加得三十六用層數
五乘之折半即得總數見算法厚本二/卷第三十二節
然其層數之五乃係外周三十用六歸
所得之數今以内周六與外周三十相
[035-36b]
加即與外周三十相乘是未用六歸故
將相乘所得之數必以六歸又以二歸
即析/半始得總數夫先用六歸後用二歸
即與十二歸除等二與六相因得一十/二合兩次除爲一次
除/故以十二歸除得總數再加中心一
即得圓束之積也又按第一法以外周
三十六歸之得一面三角尖堆之每一
邊是圓束之外周爲一面三角尖堆每
邊之六倍若以外周加六與外周相乘
[035-36b]
則必得一面三角尖堆積之七十二倍
[035-37a]
葢以一面三角尖堆之毎一邊加一與/每一邊之數相乘則得一面三角尖堆
積之二倍今以每邊之六倍加六與毎/邊之六倍相乘是邊加六倍則積加三
十六倍彼既爲一面三角尖堆積/之二倍故此即爲七十二倍也以一
面三角尖堆積六倍之加中心一則得
圓束積今將七十二倍積以十二除之
亦得一面三角尖堆積之六倍故加中
心一而得圓束之積也凡圓束皆有中
心設此解與前法相通耳
[035-37b]
設如圓束積九十一求外周幾何
法以圓束積九十一減中心一餘九十
六歸之得一十五倍之得三十或即以/九十三
歸之所得亦同葢六歸二/因與三歸所得之數同也爲長方積以
一爲長闊之較用帶縱較數開平方法
算之得闊五又以六因之得三十即圓
束之外周數也如圖甲乙丙丁戊己圓
束減去中心一以六歸之則得甲庚辛
一面三角尖堆形故用一面三角尖堆
[035-37b]
有積求邊法求得甲庚一邊以六因之
[035-38a]
而得外周也
又法以圓束積九十一減一餘九十以
十二乘之得一千零八十爲長方積以
六爲長闊之較用帶縱較數開平方法
算之得闊三十即圓束之外周數也此
即圓束有外周求積之法而轉用之前
法以外周加六與外周相乘十二除之
再加一而得積此法則將積數減一餘
[035-38b]
用十二乘之以六爲長闊之較用帶縱
開方得闊而爲外周也
設如塹堵堆底五求積幾何
法以底五自乘得二十五爲底面積又
以位數五加一得六與底面積二十五
相乘得一百五十折半得七十五即塹
堵堆之積也如圖甲乙丙丁戊塹堵堆
即一面直角尖堆累積之體也兩直角
面相合成長方面形比原位數多一行
[035-38b]
而兩塹堵體相合成長方體形比原位
[035-39a]
數亦必多一面故以位數加一與底面
積相乘所以增其一面之數成長方體
形爲塹堵堆之二倍折半而得塹堵堆
之積也
設如三角尖堆每邊五求積幾何
法以每邊五加一得六與每邊五相乘
得三十折半得十五爲底面積再以每
邊五加二得七與底面積十五相乘得
[035-39b]
一百零五三歸之得三十五即三角尖
堆之積也如圖甲乙丙丁三角尖堆每
面皆一面三角尖堆累積成等邊三角
體形其每邊之數即位數也試按位作
㸃排之第一層爲一第二層爲三第三
層爲六第四層爲十第五層爲十五爲
每次按位相加之數如以位數加二與
末數相乘取其三分之一即得總數見/算
法原本二卷/第三十四節今以每邊加一與每邊之
[035-39b]
數相乘折半即得底面積再以位數加
[035-40a]
二爲高與底面積相乘成平行面之三
稜體是爲三角尖體之三倍故以三除
之而得也然必以位數加二爲高者葢
以三三角尖體相湊乃成上下相等之
平行面體其高必比原有之位數多二
層兩相角面相合比原位數多一行今/三三角體相合故必比原位數多二
面/也又以一平行面三稜體分爲三三角
尖體其二面爲兩體所同用今以位數
[035-40b]
加二爲高與底數相乘所以增其二面
之分也
又法以每邊五加一得六與每邊五相
乘得三十爲倍底積再以位數加二得
七與倍底積三十相乘得二百一十六
歸之亦得三十五爲三角尖堆之積也
此法與前法同葢以每邊加一與每邊
之數相乘則得底面積之二倍前法以
位數加二與底數相乘既爲三角尖堆
[035-40b]
積之三倍此法以位數加二與倍底積
[035-41a]
相乘即爲三角尖堆積之六倍矣故以
六歸之得積也
又法以每邊五自乘再乘得一百二十
五爲第一數再以每邊五自乘得二十
五爲第二數又以每邊五加一得六與
每邊五相乘得三十倍之得六十爲第
三數三數相加共得二百一十六歸之
得三十五即三角尖堆之積也此法與
[035-41b]
第二法同葢以每邊自乘再乘爲第一
數是未以每邊加一相乘亦未以位數
加二再乘也因未以每邊加一相乘則
其所成之正方形必比前所得之長少
一層之數故又以每邊自乘爲第二數
也因未以位數加二再乘則其高必比
前所得之高少二層之數故又以每邊
加一與每邊相乘即如前之/倍底積又倍之爲
第三數也三數相加始爲三角尖堆積
[035-41b]
之六倍故以六歸之而得積也
[035-42a]
設如三角尖堆積一百二十求每邊幾何
法以三角尖堆積一百二十六因之得
七百二十爲長方體積以一爲長與闊
之較以二爲高與闊之較用帶兩縱不
同較數開立方法算之得闊八即三角
尖堆之每一邊也此法即三角尖堆有
邊求積之法而轉用之葢有邊求積則
以每邊加一與每邊相乘又以每邊加
[035-42b]
二再乘得長方體積爲三角尖堆積之
六倍是長比闊多一高比闊多二今以
三角尖堆積六因之得長方體積故用
帶兩縱不同較數開立方法算之得闊
爲每邊之數也
設如四角尖堆每邊五求積幾何
法以每邊五加半得五個半與每邊五
相乘得二十七個半又以每邊五加一
得六與二十七個半相乘得一百六十
[035-42b]
五三歸之得五十五即四角尖堆之積
[035-43a]
數也如圖甲乙丙丁四角尖堆底面爲
正方傍四面皆一面三角尖堆累積成
方底四角尖體形其每邊之數即位數
也試按位作㸃排之第一層爲一第二
層爲四第三層爲九第四層爲十六第
五層爲二十五爲每次按位自乘相加
之數如以每邊加半與每邊相乘復以
位數加一乘之取其三分之一即得總
[035-43b]
數見算法原本二/卷第三十五節今以每邊加半與每
邊相乘是得長方面積復以位數加一
爲高乘之是得長方體積爲四角尖體
之三倍故以三除之即得也然以邊數
加半爲長以位數加一爲高者葢以三
四角尖體相湊乃成上下相等之長方
體其底必比正方面多半行其高必比
原有之位數多一層三角體以邊數加/一與邊數相乘四
角體以邊數加半與邊數相乘三角體/以位數加二爲高四角體以位數加一
[035-43b]
爲高總以四角體比三角體底式大一/倍故三角體爲長方體六分之一四角
[035-44a]
體爲長方體三分之一三角體加/數幾何而此四角體皆用其半也又以
一長方體分爲三四角尖體其三面爲
兩體所同用而少一行之數試以甲乙
丙丁四角尖體作爲戊己庚辛陽馬尖
體形爲長方體三分之一所餘爲三分
之二其戊己庚戊庚辛兩面爲兩體所
同用而戊庚一行又爲兩面所同用是
此兩面爲兩體所同用而少一行之數
[035-44b]
也又以其所餘三分之二平分之必有
一面爲兩體所同用是以長方體分爲
三四角尖體有三面爲兩體所同用而
少一行之數也今以每邊加半與每邊
之數相乘又以位數加一乘之所以增
其三面少一行之分也葢其高既比原/位數多一則其
傍面一層宜爲一面三角尖堆之倍數/而其傍面只比毎邊多半是傍面只爲
一面三角尖堆之數也又其高旣比原/位多一則其上面一層爲毎邊自乘之
數即爲一面三角尖堆之倍數而少/一行共之爲三面少一行之數也
[035-44b]
又法以每邊五自乘再乘得一百二十
[035-45a]
五爲第一數再以每邊五自乘得二十
五爲第二數又以每邊五加一得六與
每邊五相乘得三十折半得十五爲第
三數三數相加共得一百六十五三歸
之得五十五即四角尖堆之積也此法
與第一法同葢以每邊自乘再乘爲第
一數是未以每邊加半與每邊相乘亦
未以位數加一再乘也因未以位數加
[035-45b]
一再乘則其上層即少一每邊自乘之
數故以每邊自乘爲第二數也因未以
每邊加半相乘則其傍面即少一面三
角尖堆之數故以每邊加一與每邊相
乘折半爲第三數也三數相加始爲四
角尖堆積之三倍故以三歸之而得積
也
又法以每邊五加一得六與每邊五相
乘得三十又以每邊五加二得七乘之
[035-45b]
得二百一十三歸之得七十爲三角尖
[035-46a]
堆之倍積又以每邊五求得一面三角
尖堆積十五與倍三角尖堆積七十相
減亦得五十五爲四角尖堆之積也如
圖甲乙丙丁四角尖堆爲戊己庚辛三
角尖堆積之一倍而少一面之數葢四
角尖堆底面積爲三角尖堆底面積之
一倍而少一行故四角尖堆體積爲三
角尖堆體積之一倍而少一面是以求
[035-46b]
得倍三角尖堆積内減一面三角尖堆
積即得四角尖堆積也
又法以每邊五用塹堵堆求積法求得
塹堵堆積七十五又以每邊五用三角
尖堆求積法求得三角尖堆積三十五
兩數相加得一百一十折半得五十五
即四角尖堆之積也如圖甲乙丙丁四
角尖堆先以乙丙一邊求得戊己庚辛
壬塹堵堆積四角尖體爲塹堵體三分
[035-46b]
之二三角尖體爲塹堵體三分之一故
[035-47a]
又求得癸子丑寅三角尖堆積與塹堵
堆積相加即與二方底四角尖堆之積
等故折半而得四角尖堆之積也
設如四角尖堆積二百零四求每邊幾何
法以四角尖堆積二百零四三因之得
六百一十二爲長方體積以半爲長與
闊之較以一爲高與闊之較用帶兩縱
不同較數開立方法算之得闊八即四
[035-47b]
角尖堆之每一邊也此法即四角尖堆
有邊求積之法而轉用之葢四角尖堆
有邊求積則以每邊加半與毎邊相乘
又以毎邊加一再乘得長方體積爲四
角尖堆積之三倍是長比闊多半高比
闊多一今以四角尖堆積三因之得長
方體積故用帶兩縱不同較數開立方
法算之得闊爲每邊之數也
設如長方堆底長九闊七上一行收頂求積幾何
[035-47b]
法以底闊七爲方堆之底用四角尖堆
[035-48a]
有邊求積法求得四角尖堆積一百四
十又以底闊七與長九相減餘二爲兩
一面三角尖堆即以底闊七用一面三
角尖堆有邊求積法求得一面三角尖
堆積二十八二因之得五十六爲兩一
面三角尖堆積與前所得四角尖堆積
一百四十相加得一百九十六即長方
堆之積也如圖甲乙丙丁戊長方堆丙
[035-48b]
丁長比乙丙闊多庚丁二試自己至庚
截去二面則成甲乙丙庚一四角尖堆
形己庚丁戊兩一面三角尖堆形其乙
丙闊與丙庚等即四角尖堆之毎一邊
亦即一面三角尖堆之毎一邊故以一
邊求得四角尖堆積又求得兩一面三
角尖堆積相加即得長方堆之積也
又法以闊七與長九相減餘二折半得
一又加半得一個半與長九相加得十
[035-48b]
個半與底闊七相乘得七十三個半又
[035-49a]
以底闊七即層/數加一得八再乘得五百
八十八三歸之得一百九十六即長方
堆之積也此法與前法之理同如甲乙
丙丁戊長方堆既分爲一四角尖堆兩
一面三角尖堆其甲乙丙庚四角尖堆
固當以丙庚加半與乙丙相乘以甲乙
加一再乘得一長方體形爲一四角尖
堆之三倍其己庚丁戊兩一面三角尖
[035-49b]
堆當以庚丁與乙丙相乘以戊丁同甲/乙
加一再乘得二長方面形爲兩一面三
角尖堆之二倍因一爲三倍一爲二倍
其倍數不同故又以庚丁折半與庚丁
相加即增其一長方面之分得三長方
面形亦爲兩一面三角尖堆之三倍故
以三歸之得一四角尖堆兩一面三角
尖堆合之與甲乙丙丁戊一長方堆之
積相等也
[035-49b]
又法以底闊七與長九相減餘二再加
[035-50a]
一得三爲頂上之長乃以底長九倍之
得十八加頂長三得二十一與底闊七
相乘得一百四十七再以高數七加一
得八再乘闊數即/高數也得一千一百七十六
六歸之得一百九十六即長方堆之積
也此法與第二法同葢前法以長闊相
減折半加半與長相加此法以長闊相
減不折半加一與倍長相加則其長比
[035-50b]
前法多一倍闊與高皆與前數同而體
積亦必比前數大一倍故前法用三歸
此法用六歸也
設如長方堆積二百七十六長比闊多二求每邊幾
何
法以長方堆積二百七十六三因之得
八百二十八爲長方體積以長比闊多
二折半又加半得一個半與二相加得
三個半爲長與闊之較以一爲高與闊
[035-50b]
之較用帶兩縱不同較數開立方法算
[035-51a]
之得闊八爲底闊加長比闊多二得十
爲長也此法即長方堆有邊求積之法
而轉用之葢長方堆有邊求積則以原
長闊之較折半又加半與原長相加乃
與闊相乘又以闊加一再乘得長方體
積爲長方堆之三倍是長比闊多原長
闊之較又多半較仍多半高比闊多一
今以長方堆積三因之得長方體積故
[035-51b]
用帶兩縱不同較數開立方法算之得
闊爲底邊之闊加長闊之較得數爲長
也
設如三角半堆底邊八上邊五求積幾何
法以底邊八用三角尖堆有邊求積法
求得三角尖堆全積一百二十又以上
邊五減一得四爲上虚三角尖堆之每
邊亦用三角尖堆有邊求積法求得上
虛三角尖堆積二十與先所得三角尖
[035-51b]
堆全積一百二十相減餘一百即三角
[035-52a]
半堆之積也如圖甲乙丙丁戊己三角
半堆若於其上加一小三角尖堆則成
一大三角尖堆形其上所加之小三角
尖堆之每邊比三角半堆之上邊少一
故先求得大三角尖堆全積又求得上
虚小三角尖堆積相減即得三角半堆
之積也
又法以底邊八加一得九與底邊八相
[035-52b]
乘得七十二爲第一數又以上邊五與
底邊八相併得十三以上邊五加一得
六乘之得七十八爲第二數兩數相併
得一百五十又以上邊五與下邊八相
減餘三加一得四爲層數與兩數相加
之一百五十相乘得六百六歸之得一
百爲三角半堆之積也此法與等邊三
角尖堆求積之法同葢等邊三角尖堆
其上尖一即上邊其每邊之數即底邊
[035-52b]
亦即層數其法以每邊加一與每邊相
[035-53a]
乘又以每邊加二再乘得長方體積爲
三角尖堆積之六倍分之則得長比高
闊多一之一長方體形又得長比闊多
一之二長方面形即上多/二層若依此法以
底邊加一與底邊相乘即長比闊多一
之長方體之一面數也以上邊一與下
邊相加又以上邊一加一得二乘之則
得長比闊多一之二長方面之兩行數
[035-53b]
也此兩數相併以層數乘之則亦得長
比高闊多一之一長方體形又得長比
闊多一之二長方面形共成一長方體
形爲三角尖堆之六倍矣
設如三角半堆積一百上邊五求底邊幾何
法以上邊五減一餘四爲上虚小三角
尖堆之底用三角尖堆有邊求積法求
得上虛三角尖堆積二十與半堆積一
百相加得一百二十爲等邊三角尖堆
[035-53b]
全積用三角尖堆有積求邊法求得每
[035-54a]
邊八即三角半堆之底邊也如有底邊
求上邊者則以底邊求得三角尖堆全
積與半堆積相減餘爲上虚三角尖堆
積求得上虚小三角尖堆之毎邊加一
即上邊也
設如四角半堆底邊十二上邊五求積幾何
法以底邊十二用四角尖堆有邊求積
法求得四角尖堆全積六百五十又以
[035-54b]
上邊五減一得四爲上虚四角尖堆之
每邊亦用四角尖堆有邊求積法求得
上虚四角尖堆積三十與先所得四角
尖堆全積六百五十相減餘六百二十
即四角半堆之積也如圖甲乙丙丁戊
己庚四角半堆若於其上加一小四角
尖堆則成一大四角尖堆形其上所加
之小四角尖堆之每邊比四角半堆之
上邊少一故求得大四角尖堆全積又
[035-54b]
求得上虚小四角尖堆積相減即得四
[035-55a]
角半堆之積也
又法以上邊五自乘得二十五爲第一
數以底邊十二自乘得一百四十四爲
第二數以上邊五與底邊十二相乘得
六十爲第三數又以上邊五與底邊十
二相減餘七折半得三個半爲第四數
四數相併得二百三十二個半又以上
下邊相減所餘之七加一得八爲層數
[035-55b]
與四數相併之二百三十二個半相乘
得一千八百六十三歸之得六百二十
即四角半堆之積也此法與等邊四角
尖堆求積之法同葢等邊四角尖堆其
上尖一即上邊其每邊之數即底邊亦
即層數其法以每邊加半與每邊相乘
又以每邊加一再乘得長方體積爲四
角尖堆積之三倍分之則得每邊自乘
再乘之一正方體形每邊自乘之一正
[035-55b]
方面形又得長比闊多一之半層長方
[035-56a]
面形若以底邊自乘即正方體之一面
數也以上邊一與底邊相乘則得每邊
自乘正方面之一行數也以上邊一自
乘又以上邊一與底邊相減折半此兩
數相併即得長比闊多一之半層長方
面之一行數也四數相併再以層數乘
之則亦得一正方體形一正方面形又
得長比闊多一之半層長方面形共成
[035-56b]
一長方體形爲四角尖堆之六倍矣又
此法與上下不等正方體之法異者在
多上下邊相減折半之一數因堆垜之
傍面有餘分故也
設如四角半堆積六百二十上邊五求底邊幾何
法以上邊五減一餘四爲上虚小四角
尖堆之底用四角尖堆有邊求積法求
得上虛四角尖堆積三十與半堆積六
百二十相加得六百五十爲等邊四角
[035-56b]
尖堆全積用四角尖堆有積求邊法求
[035-57a]
得每邊十二即四角半堆之底邊也如
有底邊求上邊者則以底邊求得四角
尖堆全積與半堆積相減餘爲上虚四
角尖堆積求得上虛小四角尖堆之每
邊加一即上邊也
設如長方半堆底長十二闊十上長八闊六求積幾
何
法以底長十二闊十用長方堆求積法
[035-57b]
求得長方堆全積四百九十五又以上
長八闊六各減一得長七闊五爲上虛
長方堆之長闊亦用長方堆求積法求
得上虛長方堆積八十五與先所得長
方堆全積相減餘四百一十即長方半
堆之積也如圖甲乙丙丁戊己庚長方
半堆若於其上加一小長方堆則成上
一行收頂之長方堆形其上所加之小
長方堆之每邊比長方半堆之上邊少
[035-57b]
一故先求得長方堆全積又求得上虛
[035-58a]
小長方堆積相減即得長方半堆之積
也
又法以上長八與上闊六相乘得四十
八爲第一數以底長十二與底闊十相
乘得一百二十爲第二數以上長八與
底闊十相乘得八十以上闊六與底長
十二相乘得七十二兩數相併折半得
七十六爲第三數又以上下長相減餘
[035-58b]
四折半得二爲第四數以此四數相加
得二百四十六又以上長與底長相減
所餘之四加一得五爲層數與四數相
加之二百四十六相乘得一千二百三
十三歸之得四百一十即長方半堆之
積也此法與四角半堆求積之法同葢
四角半堆長闊皆相等此則有長闊之
不同故四角半堆以上邊自乘爲第一
數者此則以上長闊相乘爲第一數四
[035-58b]
角半堆以下邊自乘爲第二數者此則
[035-59a]
以下長闊相乘爲第二數四角半堆以
上下相乘爲第三數者此則以上長與
下闊相乘上闊與下長相乘相併折半
爲第三數四角半堆以上下相減折半
爲第四數者此則以上下長相減折半
爲第四數如以上下闊相/減折半亦同其理皆相通
也
又法以上長八倍之得十六加下長十
[035-59b]
二得二十八以上闊六乘之得一百六
十八又以下長十二倍之得二十四加
上長八得三十二以下闊十乘之得三
百二十又以下長十二與上長八相減
餘四三數相加得四百九十二又以上
下長相減所餘之四加一得五爲層數
與三數相加之四百九十二相乘得二
千四百六十六歸之得四百一十即長
方半堆之積也此法與第二法同葢此
[035-59b]
法用數比前法大一倍故前法用三歸
[035-60a]
此法用六歸也又此法與上下不等長
方體之法異者在多上下長相減之一
數因堆垜之傍面有餘分故也
又法以底闊十與長十二相乘得一百
二十又以長十二闊十各減一得長十
一闊九相乘得九十九又以長十一闊
九各減一得長十闊八相乘得八十又
以長十闊八各減一得長九闊七相乘
[035-60b]
得六十三再以長九闊七各減一得長
八闊六即上/長闊相乘得四十八以此五數
相加共得四百一十即長方半堆之積
也此法將每層長闊相乘得每層之積
故總加之即五層之共積也法雖層累
相加實爲顯而易見凡堆垜諸法皆可
以此法御之若層數太多者用本法爲
簡易也
設如長方半堆積四百一十上長八闊六求底長闊
[035-60b]
各㡬何
[035-61a]
法以上長八闊六各減一得長七闊五
爲上虚小長方堆之長闊用長方堆有
邊求積法求得上虛小長方堆積八十
五與半堆積四百一十相加得四百九
十五爲長方堆全積用長方堆有積求
邊法求得闊十長十二即長方半堆之
底邊數也如有底邊長闊求上邊長闊
者則以底邊求得長方堆全積與半堆
[035-61b]
積相減餘爲上虛小長方堆積求得上
虚小長方堆之長闊兩邊各加一即長
方半堆上邊長闊之數也
[035-61b]
御製數理精藴下編卷三十
