[028-1a] 
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷二十三
體部一
立方
[028-2a]
立方
立方者等邊六面之體積也以形而言雖為六面十
二邊之所合以積而言則為自乗再乗之數因其縱
横與髙俱相等故十二邊皆如一線得其一邊而十
二邊莫不相同其積之也自線而面自面而體次第
相乗而後得其全積其開之也必次第析之而後得
其一邊是故古人立為方廉長廉之制每積三位而
得邊之一位所謂一千商十定無疑三萬纔為三十
[028-2b]
餘九十九萬不離十百萬方為一百推是也其法先
從一角而剖其體以自一至九自乗再乗之數為方
根與實相審量其足減者而定之是為初商初商減
盡無餘則方根止一位若有餘實即初商方積外别
成一缺角三面磬折體其附初商之三面者謂之方
廉其附初商之三邊者謂之長廉其附初商之角者
謂之隅廉有三故以三為廉法隅惟一而隅之三面
即符於三長廉之端合三方廉三長廉一隅始合次
商之數故商除之法以初商自乗三因為三方廉面
[028-2b]
積視初商餘實足方廉面積幾倍即定為次商乃以
[028-3a]
次商乗三長廉為三長廉面積又以次商自乗為小
隅面積共合三方廉三長廉及一小隅面積以次商
數乗之為次商廉隅之共積所謂初商方積外别成
一缺角三面磬折體者是也如次商外尚有不盡之
實則初商次商方積外仍為三方廉三長廉一小隅
又成一三面磬折體但較前方廉愈大長廉愈長而
隅愈小耳凡有幾層廉隅俱照次商之例逓析之實
盡而止如開至多位實仍不盡者必非自乗再乗之
[028-3b]
正數此開立方之定法也體形不一而容積皆以立
方為準故立方為算諸體之本諸體必通之立方而
法乃可施也
設如正方體積一百二十五尺開立方問毎一邊數
幾何
法列正方體積一百二十五尺自末位
起算每方積三位定方邊一位今積止
有三位則於五尺上作記定單位以自
一至九自乗再乗之方根數與之相審
[028-3b]
知與五尺自乗再乗之數恰合乃以五
[028-4a]
尺書於方積五尺之上而以五尺自乗
再乗之一百二十五尺書於方積原數
之下相減恰盡即得開方之數為五尺
也如圖甲乙丙丁戊己正方體形毎邊
皆五尺其中函一尺小方體一百二十
五自邊計之為五尺自面計之則為五
尺自乗之二十五尺自通體計之則為
五尺自乗再乗之一百二十五尺以積
[028-4b]
開之則與五尺自乗再乗之數相準故
商除之恰盡也蓋方積為三位是以方
邊止一位方積即五尺自乗再乗之數
别無廉隅故不用次商如有餘實則自
成廉隅而用次商矣
設如正方體積一丈七百二十八尺開立方問每一
邊數幾何
法列正方體積一丈七百二十八尺自
末位起算每方積三位定方邊一位故
[028-4b]
隔二位作記即於八尺上定尺位一丈
[028-5a]
上定丈位其一丈為初商積與一丈自
乗再乗之數相合即定初商為一丈書
於方積一丈之上而以一丈自乗再乗
之一丈書於初商積之下相減恰盡爰
以方邊末位餘積七百二十八尺續書
於下大凡以餘積續書於下者每取方/積之三位以當方邊之一位也
為次商廉隅之共積乃以初商之一丈
作一十尺自乗得一百尺三因之得三
[028-5b]
百尺為次商三方廉面積以除方積七
百二十八尺足二尺即定次商為二尺
書於方積八尺之上而以初商之一十
尺與次商之二尺相乗得二十尺三因
之得六十尺為次商三長廉面積復以
次商二尺自乗得四尺為次商一小隅
面積合三方廉三長廉一小隅面積共
得三百六十四尺為廉隅共法書於餘
積之左以次商之二尺乗之得七百二
[028-5b]
十八尺與餘積相減恰盡是開得一丈
[028-6a]
二尺為正方體積每一邊之數也如圖
甲乙丙丁正方體形毎邊皆一丈二尺
其中函積一丈七百二十八尺是為共
積其先從一角所分戊乙庚己方體每
邊一丈即初商數其中函積亦一丈即
初商自乗再乗之數所餘辛形壬形癸
形三方體為三方廉其每邊一丈即初
商數其厚二尺即次商數而子形丑形
[028-6b]
寅形三長方體為三長廉其每邊一丈
亦即初商數其闊其厚皆二尺亦即次
商數方廉有三故三倍初商之自乗為
廉法以定次商其卯形一小正方體為
隅其長與闊與厚皆同為二尺亦即次
商數故以次商為隅法合辛壬癸三方
廉子丑寅三長廉夘一方隅而成一磬
折體形附於初商自乗再乗之方體三
面而成一甲乙丙丁之總正方體積此
[028-6b]
立方廉隅之法所由生也三商以後皆
[028-7a]
倣此逓析開之
又法列積一丈七百二十八尺自末位
起算作記定位同前乃截一丈為初商
積與一丈自乗再乗之數相合則定初
商為一丈書於方積一丈之上而以一
丈自乗再乗之一丈書於初商積之下
相減恰盡乃以方邊末位餘積七百二
十八尺續書於下為次商廉隅之共積
[028-7b]
而以初商之一丈作一十尺自乗得一
百尺三因之得三百尺為次商三方廉
面積即以三方廉面積三百尺除方積
七百二十八尺足二尺則定次商為二
尺書於方積八尺之上合初商共一丈
二尺自乗再乗得一丈七百二十八尺
與原積符合相減恰盡即定立方邊為
一丈二尺也此法止用三方廉面積除
立方體積得次商數即併初商數自乗
[028-7b]
再乗得數與原積相減雖為省去長廉
[028-8a]
小隅一層然方邊位數少者還為簡易
至於方邊位數過四位以上則累次自
乗再乗反比逓析之理為煩矣
設如正方體積一十四萬八千八百七十七尺開立
方問每一邊數幾何此題正方體積之六位皆以/尺命位似與前題分丈尺者
不同然其取方積三位續書於下其末/位即命為單位立算則與丈尺同也
法列正方體積一十四萬八千八百七
十七尺自末位起算每方積三位定方
[028-8b]
邊一位故隔二位作記乃於七尺上定
單位八千尺上定十位其一十四萬八
千尺為初商積以初商本位計之則八
千尺為初商積之單位而一十四萬八
千尺為一百四十八止與五自乗再乗
之數相準即定初商為五書於方積八
千尺之上而以五自乗再乗之一百二
十五書於初商積之下相減餘二萬三
千尺爰以方邊第二位餘積八百七十
[028-8b]
七尺續書於下共二萬三千八百七十
[028-9a]
七尺為次商廉隅之共積乃以初商之
五作五十尺自乗得二千五百尺三因
之得七千五百尺為次商三方廉面積
以除方積二萬三千八百七十七尺足
三尺即定次商為三尺書於方積七尺
之上而以初商之五十尺與次商之三
尺相乗得一百五十尺三因之得四百
五十尺為次商三長廉面積復以次商
[028-9b]
三尺自乗得九尺為次商一小隅面積
合三方廉三長廉一小隅面積共得七
千九百五十九尺為廉隅共法書於餘
積之左以次商之三尺乗之得二萬三
千八百七十七尺與餘積相減恰盡是
開得五十三尺為正方體積每一邊之
數也如圖甲乙丙丁正方體形每邊五
十三尺其中函積一十四萬八千八百
七十七尺是為共積其從一角所分戊
[028-9b]
乙庚己方體每邊五十尺即初商邊數
[028-10a]
其中函積一十二萬五千尺即初商自
乗再乗之數所餘辛形壬形癸形三方
體為三方廉其每邊五十尺即初商數
其厚三尺即次商數而子形丑形寅形
三長方體為三長廉其每邊五十尺亦
即初商數其闊其厚皆三尺亦即次商
數方廉有三故三倍初商之自乗為廉
法以定次商其邜形一小正方體為隅
[028-10b]
其長與闊與厚皆同為三尺亦即次商
數故以次商為隅法合辛壬癸三方廉
子丑寅三長廉卯一方隅而成一磬折
體形附於初商自乗再乗之方體三面
而成一甲乙丙丁之總正方體積也
又法列積一十四萬八千八百七十七
尺自末位起算作記定位同前乃截一
十四萬八千尺為初商積與五十自乗
再乗之數相準則定初商五十尺書於
[028-10b]
方積八千尺之上而以五十自乗再乗
[028-11a]
之一十二萬五千尺書於原積一十四
萬八千之下相減餘二萬三千尺乃合
第二位積八百七十七尺共二萬三千
八百七十七尺為次商廉隅之共積而
以初商五十尺自乗得二千五百尺三
因之得七千五百尺為次商三方廉面
積即以三方廉面積除方積二萬三千
八百七十七尺足三尺即定次商為三
[028-11b]
尺書於方積七尺之上合初商共得五
十三尺自乗再乗得一十四萬八千八
百七十七尺與原積符合相減恰盡即
定立方邊為五十三尺也此法亦止用
三方廉面積除立方體積得次商數即
併初商數自乗再乗以減原積也
設如正方體積一丈八百六十尺八百六十七寸開
立方問每一邊數幾何
法列正方體積一丈八百六十尺八百
[028-11b]
六十七寸自末位起算每方積三位定
[028-12a]
方邊一位故隔二位作記即於七寸上
定寸位空尺上定尺位一丈上定丈位
其一丈為初商積與一丈自乗再乗之
數相合即定初商為一丈書於方積一
丈之上而以一丈自乗再乗之一丈書
於初商積之下相減恰盡爰以方邊第
二位餘積八百六十尺續書於下為次
商廉隅之共積乃以初商之一丈作一
[028-12b]
十尺自乗得一百尺三因之得三百尺
為次商三方廉面積以除八百六十尺
足二尺即定次商為二尺書於方積空
尺之上而以初商之一十尺與次商之
二尺相乗得二十尺三因之得六十尺
為次商三長廉面積復以次商之二尺
自乗得四尺為次商一小隅面積合三
方廉三長廉一小隅面積共得三百六
十四尺為次商廉隅共法書於餘積之
[028-12b]
左以次商之二尺乗之得七百二十八
[028-13a]
尺與次商廉隅共積相減餘一百三十
二尺即一十三萬二千寸復以方邊第
三位餘積八百六十七寸續書於下共
一十三萬二千八百六十七寸為三商
廉隅之共積乃以初商次商之一丈二
尺作一百二十寸自乗得一萬四千四
百寸三因之得四萬三千二百寸為三
商三方廉面積以除一十三萬二千八
[028-13b]
百六十七寸足三寸即定三商為三寸
書於方積七寸之上而以初商次商之
一百二十寸與三商之三寸相乗得三
百六十寸三因之得一千零八十寸為
三商三長廉面積復以三商之三寸自
乗得九寸為三商一小隅面積合三方
廉三長廉一小隅面積共得四萬四千
二百八十九寸為三商廉隅共法書於
餘積之左以三商之三寸乗之得一十
[028-13b]
三萬二千八百六十七寸與三商廉隅
[028-14a]
共積相減恰盡是開得一丈二尺三寸
為正方體積每一邊之數也
設如正方體積九千四百八十一萬八千八百一十
六尺開立方問每一邊數幾何
法列正方體積九千四百八十一萬八
千八百一十六尺自末位起算每方積
三位定方邊一位故隔二位作記乃於
六尺上定單位八千尺上定十位四百
[028-14b]
萬尺上定百位其九千四百萬尺為初
商積以初商本位計之則四百萬尺為
初商積之單位而九千四百萬尺為九
十四止與四自乗再乗之數相準即定
初商為四書於方積四百萬尺之上而
以四自乗再乗之六十四書於初商積
之下相減餘三千萬尺爰以方邊第二
位餘積八十一萬八千尺續書於下共
三十零八十一萬八千尺為次商廉隅
[028-14b]
之共積以次商本位計之則八千尺為
[028-15a]
次商積之單位而三千零八十一萬八
千尺為三萬零八百一十八而初商之
四即為四十乃以初商之四十自乗得
一千六百三因之得四千八百為次商
三方廉面積以除三萬零八百一十八
足五倍即定次商為五書於方積八千
尺之上而以初商之四十與次商之五
相乗得二百三因之得六百為次商三
[028-15b]
長廉面積復以次商之五自乗得二十
五為次商一小隅面積合三方廉三長
廉一小隅面積共得五千四百二十五
為次商廉隅共法書於餘積之左以次
商之五乗之得二萬七千一百二十五
與次商廉隅共積相減餘三百六十九
萬三千尺復以方邊末位餘積八百一
十六尺續書於下共三百六十九萬三
千八百一十六尺為三商廉隅之共積
[028-15b]
以三商本位計之則積與邊皆仍為本
[028-16a]
位乃以初商次商之四百五十尺自乗
得二十萬零二千五百三因之得六十
萬零七千五百為三商三方廉面積以
除三百六十九萬三千八百一十六尺
足六倍即定三商為六書於方積六尺
之上而以初商次商之四百五十與三
商之六相乗得二千七百三因之得八
千一百為三商三長廉面積復以三商
[028-16b]
之六自乗得三十六為三商一小隅面
積合三方廉三長廉一小隅面積共得
六十一萬五千六百三十六為三商廉
隅共法書於餘積之左以三商之六乗
之得三百六十九萬三千八百一十六
與三商廉隅共積相減恰盡是開得四
百五十六尺為正方體積毎一邊之數
也
設如正方體積三百四十七丈四百二十八尺九百
[028-16b]
二十七寸開立方問每一邊數幾何
[028-17a]
法列正方體積三百四十七丈四百二
十八尺九百二十七寸自末位起算毎
隔二位作記即於七寸上定寸位八尺
上定尺位七丈上定丈位其三百四十
七丈為初商積與七丈自乗再乗之數
相準即定初商為七丈書於方積七丈
之上而以七丈自乗再乗之三百四十
三丈書於初商積之下相減餘四丈即
[028-17b]
四千尺爰以方邊第二位餘積四百二
十八尺續書於下共四千四百二十八
尺為次商廉隅之共積乃以初商之七
丈作七十尺自乗得四千九百尺三因
之得一萬四千七百尺為次商三方廉
面積以除方積四千四百二十八尺其
數不足是次商為空位也乃書一空於
方積八尺之上以存次商之位復以方
邊末位餘積九百二十七寸續書於下
[028-17b]
共四千四百二十八尺九百二十七寸
[028-18a]
即四百四十二萬八千九百二十七寸
為三商廉隅之共積仍以次商三方廉
面積一萬四千七百尺作一百四十七
萬寸為廉法以除四百四十二萬八千
九百二十七寸足三寸即定三商為三
寸書於方積七寸之上又以初商之七
丈為七百寸與三商之三寸相乗得二
千一百寸三因之得六千三百寸為三
[028-18b]
商三長廉面積復以三商之三寸自乗
得九寸為三商一小隅面積合三方廉
三長廉一小隅面積共得一百四十七
萬六千三百零九寸為三商廉隅共法
書於餘積之左以三商之三寸乗之得
四百四十二萬八千九百二十七寸與
三商廉隅共積相減恰盡是開得七丈
零三寸為正方體積毎一邊之數也此
法商出之方邊有空位凡廉法除餘積
[028-18b]
而數不足者皆依此例推之
[028-19a]
設如正方體積三千九百三十萬四千尺開立方問
每一邊數幾何
法列正方體積三千九百三十萬四千
尺補三空位以足其分自末空位起算
每隔二位作記乃於空尺上定單位四
千尺上定十位九百萬尺上定百位其
三千九百萬尺為初商積以初商本位
計之則九百萬尺為初商積之單位而
[028-19b]
三千九百為三十九止與三自乗再乗
之數相準即定初商為三書於方積九
百萬尺之上而以三自乗再乗之二十
七書於初商積之下相減餘一千二百
萬尺爰以方邊第二位餘積三十萬四
千尺續書於下共一千二百三十萬四
千尺為次商廉隅之共積以次商本位
計之則四千尺為次商積之單位而一
千二百三十萬四千尺為一萬二千三
[028-19b]
百零四而初商之三即為三十乃以初
[028-20a]
商之三十自乗得九百三因之得二千
七百為次商三方廉面積以除餘積一
萬二千三百零四足四倍即定次商為
四書於方積四千尺之上又以初商之
三十與次商之四相乗得一百二十三
因之得三百六十為次商三長廉面積
復以次商之四自乗得一十六為次商
一小隅面積合三方廉三長廉一小隅
[028-20b]
面積共得三千零七十六為次商廉隅
共法書於餘積之左以次商之四乗之
得一萬二千三百零四與餘積相減恰
盡是開得三百四十尺為正方體積每
一邊之數也此法方積之末有三空位
故所得方邊之末亦補一空位凡設數
未至單位者皆依此例補足位分然後
開之
設如正方體積一丈八百七十九尺零八十寸九百
[028-20b]
零四分開立方問每一邊數幾何
[028-21a]
法列正方體積一丈八百七十九尺零
八十寸九百零四分自末位起算毎隔
二位作記於四分上定分位空寸上定
寸位九尺上定尺位一丈上定丈位其
一丈為初商積與一丈自乗再乗之數
相合即定初商為一丈書於方積一丈
之上而以一丈自乗再乗之一丈書於
初商積之下相減恰盡爰以方邊第二
[028-21b]
位餘積八百七十九尺續書於下為次
商廉隅之共積乃以初商之一丈作一
十尺自乗得一百尺三因之得三百尺
為次商三方廉面積以除八百七十九
尺足二尺即定次商為二尺書於方積
九尺之上而以初商之一十尺與次商
之二尺相乗得二十尺三因之得六十
尺為次商三長廉而積復以次商之二
尺自乗得四尺為次商一小隅面積合
[028-21b]
三方廉三長廉一小隅面積共得三百
[028-22a]
六十四尺為次商廉隅共法書於餘積
之左以次商之二尺乗之得七百二十
八尺與餘積相減仍餘一百五十一尺
即一十五萬一千寸又以方邊第三位
餘積八十寸續書於下共一十五萬一
千零八十寸為三商廉隅之共積乃以
初商次商之一丈二尺作一百二十寸
自乗得一萬四千四百寸三因之得四
[028-22b]
萬三千二百寸為三商三方廉面積以
除一十五萬一千零八十寸足三寸即
定三商為三寸書於方積空寸之上而
以初商次商之一百二十寸與三商之
三寸相乗得三百六十寸三因之得一
千零八十寸為三商三長廉面積復以
三商之三寸自乗得九寸為三商一小
隅面積合三方廉三長廉一小隅面積
共得四萬四千二百八十九寸為三商
[028-22b]
廉隅共法書於餘積之左以三商之三
[028-23a]
寸乗之得一十三萬二千八百六十七
寸與餘積相減仍餘一萬八千二百一
十三寸即一千八百二十一萬三千分
又以方邊第四位餘積九百零四分續
書於下共一千八百二十一萬三千九
百零四分為四商廉隅之共積乃以初
商次商三商之一百二十三寸作一千
二百三十分自乗得一百五十一萬二
[028-23b]
千九百分三因之得四百五十三萬八
千七百分為四商三方廉面積以除一
千八百二十一萬三千九百零四分足
四分即定四商為四分書於方積四分
之上而以初商次商三商之一千二百
三十分與四商之四分相乗得四千九
百二十分三因之得一萬四千七百六
十分為四商三長廉面積復以四商之
四分自乗得一十六分為四商一小隅
[028-23b]
面積合三方廉三長廉一小隅面積共
[028-24a]
得四百五十五萬三千四百七十六分
為四商廉隅共法書於餘積之左以四
商之四分乗之得一千八百二十一萬
三千九百零四分與餘積相減恰盡是
開得一丈二尺三寸四分為正方體積
每一邊之數也
設如正方體積八十億六千零一十五萬零一百二
十五尺開立方問毎一邊數幾何
[028-24b]
法列正方體積八十億六千零一十五
萬零一百二十五尺自末位起算每隔
二位作記於五尺上定單位空千尺上
定十位空百萬尺上定百位八十億尺
上定千位其八十億尺為初商積以初
商本位計之則八十億尺為初商積之
單位而八十億尺為八止與二自乗再
乗之數相合即定初商為二書於方積
八十億尺之上而以二自乗再乗之八
[028-24b]
書於初商積之下相減恰盡爰以方邊
[028-25a]
第二位餘積六千萬尺續書於下為次
商廉隅之共積以次商本位計之則空
百萬尺為次商之單位而六千萬尺為
六十而初商之二即為二十故以初商
之二十自乗得四百三因之得一千二
百為次商三方廉面積以除六十其數
不足是次商為空位乃書一空於方積
空百萬尺之上以存次商之位復以方
[028-25b]
邊第三位餘積一十五萬尺續書於下
共六千零一十五萬尺為三商廉隅之
共積以三商本位計之則空千尺為三
商之單位而六千零一十五萬尺為六
萬零一百五十而初商之二即為二百
次商之空即為空十故以初商次商之
二空作二百自乗得四萬三因之得十
二萬為三商三方廉面積以除六萬零
一百五十其數仍不足是三商亦為空
[028-25b]
位乃再書一空於方積空千尺之上以
[028-26a]
存三商之位復以方邊末位餘積一百
二十五尺續書於下共六千零一十五
萬零一百二十五尺為四商廉隅之共
積以四商本位計之則積與邊皆仍為
本位乃以初商次商三商之二千空百
空十自乗得四百萬尺三因之得一千
二百萬尺為四商三方廉面積以除六
千零一十五萬零一百二十五尺足五
[028-26b]
尺即定四商為五尺書於方積五尺之
上而以初商之二千尺與四商之五尺
相乗得一萬尺三因之得三萬尺為四
商三長廉面積復以四商之五尺自乗
得二十五尺為四商一小隅面積合三
方廉三長廉一小隅面積共得一千二
百零三萬零二十五尺為四商廉隅共
法書於餘積之左以四商之五尺乗之
得六千零一十五萬零一百二十五尺
[028-26b]
與餘積相減恰盡是開得二千零五尺
[028-27a]
為正方體積每一邊之數也此法商出
之方邊有二空位凡開立方遇此類者
皆依此例推之
設如正方體積三十二億九千四百六十四萬六千
二百七十二尺開立方問每一邊數幾何
法列正方體積三十二億九千四百六
十四萬六千二百七十二尺自末位起
算每隔二位作記於二尺上定單位六
[028-27b]
千尺上定十位四百萬尺上定百位三
十億尺上定千位其三十億尺為初商
積以初商本位計之則三十億尺為初
商積之單位而三十億尺為三止與一
自乗再乗之數相準即定初商為一書
於方積三十億尺之上而以一自乗再
乗之一書於初商積之下相減餘二十
億尺爰以方邊第二位餘積二億九千
四百萬尺續書於下共二十二億九千
[028-27b]
四百萬尺為次商廉隅之共積以次商
[028-28a]
本位計之則四百萬尺為次商積之單
位而二十二億九千四百萬尺為二千
二百九十四而初商之一即為一十乃
以初商之一十自乗得一百三因之得
三百為次商三方廉面積以除二千二
百九十四足七倍因定次商為七而以
初商之一十與次商之七相乗得七十
三因之得二百一十為次商三長廉面
[028-28b]
積復以次商之七自乗得四十九為次
商一小隅面積合三方廉三長廉一小
隅面積共得五百五十九為次商廉隅
共法以次商之七乗之得三千九百一
十三大於次商廉隅之共積是次商不
可商七也乃改商六而以初商之一十
與次商之六相乗得六十三因之得一
百八十為次商三長廉面積復以次商
之六自乗得三十六為次商一小隅面
[028-28b]
積合三方廉三長廉一小隅面積共得
[028-29a]
五百一十六為次商廉隅共法以次商
之六乗之得三千零九十六仍大於次
商廉隅之共積是次商不可商六也又
改商五而以初商之一十與次商之五
相乗得五十三因之得一百五十為次
商三長廉面積復以次商之五自乗得
二十五為次商一小隅面積合三方廉
三長廉一小隅面積共得四百七十五
[028-29b]
為次商廉隅共法以次商之五乗之得
二千三百七十五仍大於次商廉隅之
共積是次商又不可商五也乃改商四
而以初商之一十與次商之四相乗得
四十三因之得一百二十為次商三長
廉面積復以次商之四自乗得一十六
為次商一小隅面積合三方廉三長廉
一小隅面積共得四百三十六為次商
廉隅共法以次商之四乗之得一千七
[028-29b]
百四十四是小於次商廉隅之共積可
[028-30a]
減也乃以次商之四書於方積四百萬
尺之上而以次商乗廉隅共法之一千
七百四十四與次商廉隅之共積相減
餘五億五千萬尺復以方邊第三位餘
積六十四萬六千尺續書於下共五億
五千零六十四萬六千尺為三商廉隅
之共積以三商本位計之則六千尺為
三商積之單位而五億五千零六十四
[028-30b]
萬六千尺為五十五萬零六百四十六
而初商次商之一十四即為一百四十
乃以初商之一百四十自乗得一萬九
千六百三因之得五萬八千八百為三
商三方廉面積以除五十五萬零六百
四十六足九倍因定三商為九而以初
商次商之一百四十與三商之九相乗
得一千二百六十三因之得三千七百
八十為三商三長廉面積復以三商之
[028-30b]
九自乗得八十一為三商一小隅面積
[028-31a]
合三方廉三長廉一小隅面積共得六
萬二千六百六十一為三商廉隅共法
以三商之九乗之得五十六萬三千九
百四十九大於三商廉隅之共積是三
商不可商九也乃改商八而以初商次
商之一百四十與三商之八相乗得一
千一百二十三因之得三千三百六十
為三商三長廉面積復以三商之八自
[028-31b]
乗得六十四為三商一小隅面積合三
方廉三長廉一小隅面積共得六萬二
千二百二十四為三商廉隅共法以三
商之八乗之得四十九萬七千七百九
十二是小於三商廉隅之共積可減也
乃以三商之八書於方積六千尺之上
而以三商乗廉隅共法之四十九萬七
千七百九十二與三商廉隅之共積相
減餘五千二百八十五萬四千尺復以
[028-31b]
方邊末位餘積二百七十二尺續書於
[028-32a]
下共五千二百八十五萬四千二百七
十二尺為四商廉隅之共積以四商本
位計之則積與邊皆仍為本位乃以初
商次商三商之一千四百八十尺自乗
得二百一十九萬零四百三因之得六
百五十七萬一千二百為四商三方廉
面積以除五千二百八十五萬四千二
百七十二足八倍即定四商為八書於
[028-32b]
方積二尺之上而以初商次商三商之
一千四百八十與四商之八相乗得一
萬一千八百四十三因之得三萬五千
五百二十為四商三長廉面積復以四
商之八自乗得六十四為四商一小隅
面積合三方廉三長廉一小隅面積共
得六百六十萬六千七百八十四為四
商廉隅共法以四商之八乗之得五千
二百八十五萬四千二百七十二與餘
[028-32b]
積相減恰盡是開得一千四百八十八
[028-33a]
尺為正方體積毎一邊之數也此法蓋
因方邊之第三位第四位二數太大故
次商廉隅之共積以次商之三方廉除
得次商之邊繼而以次商之邊與次商
廉隅共法相乗大於原積甚多改商三
次所乗之數始與次商廉隅之共積相
準而後次商之數可定凡開立方遇此
類者皆依此例推之如或廉隅共法與
[028-33b]
商出之數相乗得數大於廉隅共積幾
一倍者則改商必審其與廉隅共積相
近小數始可為準也
設如有積一萬四千七百三十四尺開立方問每一
邊數幾何
法列積一萬四千七百三十四尺自末
位起算隔二位作記於四尺上定單位
四千尺上定十位其一萬四千尺為初
商積以初商本位計之則四千尺為初
[028-33b]
商積之單位而一萬四千為一十四止
[028-34a]
與二自乗再乗之數相準即定初商為
二書於方積四千尺之上而以二自乗
再乗之八書於初商積之下相減餘六
千尺爰以方邊第二位餘積七百三十
四尺續書於下共六千七百三十四尺
為次商廉隅之共積以次商本位計之
則邊與積皆仍為本位而初商之二則
為二十尺乃以初商之二十尺自乗得
[028-34b]
四百尺三因之得一千二百尺為次商
三方廉面積以除方積六千七百三十
四尺足五尺乃以初商之二十尺與次
商之五尺相乗得一百尺三因之得三
百尺為次商三長廉面積復以次商之
五尺自乗得二十五尺為次商一小隅
面積合三方廉三長廉一小隅面積共
一千五百二十五尺為次商廉隅共法
以次商之五尺乗之得七千六百二十
[028-34b]
五尺大於次商廉隅之共積是次商不
[028-35a]
可商五尺也乃改商四尺書於方積四
尺之上而以初商之二十尺與次商之
四尺相乗得八十尺三因之得二百四
十尺為次商三長廉面積復以次商之
四尺自乗得一十六尺為次商一小隅
面積合三方廉三長廉一小隅面積共
得一千四百五十六尺為次商廉隅共
法書於餘積之左以次商之四尺乗之
[028-35b]
得五千八百二十四尺與餘積相減仍
餘九百一十尺是開得二十四尺為方
體每一邊之數仍餘九百一十尺不盡
也如欲以餘數再開則得方邊之寸數
乃増三空於總積之後復續書三空於
九百一十尺之後為幾百幾十幾寸之
位是則九百一十尺作九十一萬寸為
三商廉隅之共積爰以初商次商之二
十四尺作二百四十寸自乗得五萬七
[028-35b]
千六百寸三因之得一十七萬二千八
[028-36a]
百寸為三商三方廉面積以除餘積九
十一萬寸足五寸即定三商為五寸書
於餘積空寸之上而以初商次商之二
百四十寸與三商之五寸相乗得一千
二百寸三因之得三千六百寸為三商
三長廉面積復以三商之五寸自乗得
二十五寸為三商一小隅面積合三方
廉三長廉一小隅面積共得一十七萬
[028-36b]
六千四百二十五寸為三商廉隅共法
書於餘積之左以三商之五寸乗之得
八十八萬二千一百二十五寸與餘積
相減仍餘二萬七千八百七十五寸不
盡如再以餘數開之則得方邊之分數
乃又續書三空於原積空寸之後復續
書三空於二萬七千八百七十五寸之
後為幾百幾十幾分之位是則二萬七
千八百七十五寸作二千七百八十七
[028-36b]
萬五千分為四商廉隅之共積爰以初
[028-37a]
商次商三商之二十四尺五寸作二千
四百五十分自乗得六百萬零二千五
百分三因之得一千八百萬零七千五
百分為四商三方廉面積以除餘積二
千七百八十七萬五千分足一分即定
四商為一分書於餘積空分之上而以
初商次商三商之二千四百五十分與
四商之一分相乗仍得二千四百五十
[028-37b]
分三因之得七千三百五十分為四商
三長廉面積復以四商之一分自乗仍
得一分為四商一小隅面積合三方廉
三長廉一小隅面積共得一千八百零
一萬四千八百五十一分為四商廉隅
共法書於餘積之左以四商之一分乗
之仍得一千八百零一萬四千八百五
十一分與餘積相減仍餘九百八十六
萬零一百四十九分不盡是開得二十
[028-37b]
四尺五寸一分為方體每一邊之數也
[028-38a]
此法原積本非自乗再乗所得之數雖
逓析之終不能盡凡開立方遇此類者
皆以此例推之
設如有方亭幾座用方甎鋪地共用一千七百二十
八塊其所鋪之座數與毎座毎行之甎數相等問
亭之座數幾何
法列方甎一千七百二十八塊為立方
積用開立方法開之於八塊上定單位
[028-38b]
一千塊上定十位其一千塊為初商積
以初商本位計之則一千為初商積之
單位與一自乗再乗之數相合即定初
商為一書於方積一千之上而以一自
乗再乗之一書於初商積之下相減恰
盡爰以第二位餘積七百二十八塊續
書於下為次商廉隅之共積而以初商
之一作一十自乗得一百三因之得三
百為次商三方廉面積以除七百二十
[028-38b]
八足二倍即定次商為二書於方積八
[028-39a]
塊之上而以初商之一十與次商之二
相乗得二十三因之得六十為次商三
長廉面積復以次商之二自乗得四為
次商一小隅面積合三方廉三長廉一
小隅面積共得三百六十四書於餘積
之左以次商之二乗之得七百二十八
與餘積相減恰盡是得所鋪亭數為一
十二座也此法因所鋪之亭數與每行
[028-39b]
甎數相等是每行甎一十二塊其亭亦
一十二座雖非立方形而法則立方法
也故用立方開之
設如有方倉一座共盛糧八百七十八石八斗問倉
髙幾何
法以每石定法二尺五百寸乗八百七
十八石八斗得二千一百九十七尺為
立方積用開立方法開之其二千尺為
初商積以初商本位計之則二千尺為
[028-39b]
初商積之單位止與一自乗再乗之數
[028-40a]
相準即定初商為一書於方積二千之
上而以一自乗再乗之一書於初商積
之下相減餘一千尺爰以第二位餘積
一百九十七尺續書於下共一千一百
九十七尺為次商廉隅之共積而以初
商之一作一十自乗得一百三因之得
三百為次商三方廉面積以除一千一
百九十七尺足三倍即定次商為三書
[028-40b]
於方積七尺之上而以初商之一十與
次商之三相乗得三十三因之得九十
為次商三長廉面積復以次商之三自
乗得九為次商一小隅面積合三方廉
三長廉一小隅面積共得三百九十九
為次商廉隅共法書於餘積之左以次
商之三乗之得一千一百九十七尺與
餘積相減恰盡是開得方倉之高為一
十三尺也此法因糧是石法所問乃倉
[028-40b]
之尺數故先將石變為尺而開立方即
[028-41a]
得倉之髙也
設如有方石一塊重一二萬六千六百二十兩問每邊
尺寸幾何
法以石之定率每寸重二兩五錢除二
萬六千六百二十兩得一萬零六百四
十八寸為立方積用開立方法開之其
一萬寸為初商積以初商本位計之則
空千位為初商積之單位而一萬尺為
[028-41b]
一十與二自乗再乗之數相準即定初
商為二書於空千寸之上而以二自乗
再乗之八書於初商積之下相減餘二
千寸爰以第二位餘積六百四十八寸
續書於下共二千六百四十八寸為次
商廉隅之共積而以初商之二作二十
自乗得四百三因之得一千二百為次
商三方廉面積以除二千六百四十八
寸足二倍即定次商為二書於方積八
[028-41b]
寸之上而以初商之二十與次商之二
[028-42a]
相乗得四十三因之得一百二十為次
商三長廉面積復以次商之二自乗得
四為次商一小隅面積合三方廉三長
廉一小隅面積共得一千三百二十四
為次商廉隅共法書於餘積之左以次
商之二乗之得二千六百四十八寸與
餘積相減恰盡是開得二十二寸為正
方石毎一邊之數也此法因石是兩數
[028-42b]
所問乃石之寸數故先將石之兩數變
為寸而開立方即得石之寸數也
設如有水銀一萬六千三百四十四兩六錢八分欲
作一方匣盛之問匣高幾何
法先以水銀定率毎寸重一十二兩二
錢八分除一萬六千三百四十四兩六
錢八分得一千三百三十一寸為立方
積用開立方法開之其一千寸為初商
積以初商本位計之則一千為初商積
[028-42b]
之單位與一自乗再乗之數相合即定
[028-43a]
初商為一書於一千寸之上而以一自
乗再乗之一書於方積一千寸之下相
減恰盡爰以第二位餘積三百三十一
寸續書於下為次商廉隅之共積而以
初商之一作一十自乗得一百三因之
得三百為次商三方廉面積以除三百
三十一寸足一倍即定次商為一書於
方積一寸之上而以初商之一十與次
[028-43b]
商之一相乗得一十三因之得三十為
次商三長廉面積復以次商之一自乗
仍得一為一小隅面積合三方廉三長
廉一小隅面積共得三百三十一為次
商廉隅共法書於餘積之左以次商之
一乗之仍得三百三十一與餘積相減
恰盡是開得一十一寸為方匣之高也
設如有方池一區其深與方相等容水四千零九十
六尺問深幾何
[028-43b]
法列四千零九十六尺為立方積用開
[028-44a]
立方法開之其四千尺為初商積以初
商本位計之則四千為初商積之單位
與一自乗再乗之數相準即定初商為
一書於四千尺之上而以一自乗再乗
之一書於方積四千尺之下相減餘三
千尺爰以第二位餘積九十六尺續書
於下共三千零九十六尺為次商廉隅
之共積而以初商之一作一十自乗得
[028-44b]
一百三因之得三百為次商三方廉面
積以除三千零九十六尺可得十尺若
商十尺則合於初商之數再合方廉長
廉小隅面積必大於次商廉隅之共積
可知故商九尺八尺七尺皆仍大於次
商廉隅之共積乃改商六尺書於方積
六尺之上而以初商之一十與次商之
六相乗得六十三因之得一百八十為
次商三長廉面積復以次商之六自乗
[028-44b]
得三十六為次商一小隅面積合三方
[028-45a]
廉三長廉一小隅面積共得五百一十
六為次商廉隅共法書於餘積之左以
次商之六乗之得三千零九十六與餘
積相減恰盡是開得一十六尺為池之
深也此法因池之深與方相等其所容
水數即正方體積故立方開之得一邊
之數即池之深也
[028-45b]
[028-45b]
御製數理精藴下編卷二十三
