[018-1a] 
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷十三
面部三
勾股勾股弦和較相求法下股勾股/積與和較相求 正勾 比例
[018-2a]
勾股弦和較相求法下/
設如有勾股較七尺勾股弦總和四十尺求勾股弦
各幾何第三/十四
法以勾股弦總和四十尺内減勾股較
七尺餘三十三尺為兩勾一弦之共數
葢勾股弦總和為一勾一股一弦之共/數内減勾股較是於股内減勾股較即
又得一勾矣故/為兩勾一弦也自乗得一千零八十九
尺又以勾股較七尺自乗得四十九尺
[018-2b]
兩自乗數相減餘一千零四十尺折半
得五百二十尺為長方積乃以勾股弦
總和四十尺與兩勾一弦之共數三十
三尺相加得七十三尺為長闊和用𢃄
縱和數開方法算之得闊八尺為勾加
勾股較七尺得十五尺為股於勾股弦
總和四十尺内減勾八尺又減股十五
尺餘十七尺為弦也如圖甲乙丙丁為
兩勾一弦自乗之一大正方内戊己庚
[018-2b]
辛為弦自乗之一正方甲子戊壬丑乙
[018-3a]
寅己庚夘丙辰癸辛己丁為勾自乗之
四正方壬戊辛癸子丑巳戊巳寅卯庚
辛庚辰己為勾弦相乗之四長方弦自
乗之一正方内容四勾股積為勾股相
乗之二長方又勾股較自乗之一小正
方今於甲乙丙丁兩勾一弦自乗之一
大正方内減去午未申酉勾股較自乗
之一小正方尚餘勾股相乗之二長方
[018-3b]
勾弦相乗之四長方勾自乗之四正方
折半得勾股相乗之一長方勾弦相乗
之二長方勾自乗之二正方與戌亥乾
坎長方形等其濶即勾其長為兩勾兩
弦一股其長濶和為三勾兩弦一股故
以勾股弦總和與兩勾一弦之共數相
併為長闊和用𢃄縱和數開方法算之
得闊為勾也
又法以勾股弦總和四十尺自乗得一
[018-3b]
千六百尺折半得八百尺為長方積乃
[018-4a]
以勾股較七尺為長闊較用𢃄縱較數
開方法筭之得闊二十五尺為勾弦和
得長三十二尺為股弦和於勾股弦總
和四十尺内減勾弦和二十五尺餘十
五尺為股減勾股較七尺餘八尺為勾
又於勾弦和二十五尺内減勾八尺餘
十七尺為弦也如圖甲乙丙丁為勾股
弦總和自乗之一大正方内戊己庚丁
[018-4b]
為弦自乗之一正方辛壬癸己為股自
乗之一正方子乙丑壬為勾自乗之一
正方甲辰辛寅與癸己卯丙為勾弦相
乗之二長方寅辛己戊與己癸卯庚為
股弦相乗之二長方辰子壬辛與壬丑
己癸為勾股相乗之二長方如以勾自
乗之一正方與股自乗之一正方相併
則又與弦自乗之一正方相等是為弦
自乗之正方二股弦相乗之長方二勾
[018-4b]
弦相乗之長方二勾股相乗之長方二
[018-5a]
折半即得弦自乗之正方一股弦相乗
之長方一勾弦相乗之長方一勾股相
乗之長方一而與午未申酉勾弦和與
股弦和相乗之長方等葢午未申酉之
長方内戌亥乾酉為弦自乗之一正方
午坎亥戌為股弦相乗之一長方亥艮
申乾為勾弦相乗之一長方坎未艮亥
為勾股相乗之一長方其濶即勾弦和
[018-5b]
其長即股弦和其長濶較即勾股較故
以勾股較為長闊較用𢃄縱較數開方
法算之得濶為勾弦和也
設如有勾弦較九尺勾股弦總和四十尺求勾股弦
各幾何第三/十五
法以勾股弦總和四十尺内減勾弦較
九尺餘三十一尺為兩勾一股之共數
盖勾股弦總和為一勾一股一弦之共/數内減勾弦較是於弦内減勾弦較即
又得一勾矣故/為兩勾一股也自乗得九百六十一尺
[018-5b]
又以勾股弦總和四十尺與勾弦較九
[018-6a]
尺相加得四十九尺爲兩弦一股之共
數葢勾股弦總和為一勾一股一弦之/共數今加勾弦較是於勾數加勾弦
較即又得一弦矣/故為兩弦一股也自乗得二千四百零
一尺兩數相減餘一千四百四十尺四
歸之得三百六十尺為長方積乃以勾
弦較九尺為長闊較用𢃄縱較數開方
法算之得濶十五尺為股於勾股弦總
和四十尺内減股十五尺餘二十五尺
[018-6b]
為勾弦和減勾弦較九尺餘十六尺折
半得八尺為勾加勾弦較九尺得十七
尺為弦也如圖甲乙丙丁為兩勾一股
自乗之一大正方内戊己庚辛為股自
乗之一正方甲子戊壬丑乙寅己庚卯
丙辰癸辛己丁為勾自乗之四正方壬
戊辛癸子丑己戊己寅卯庚辛庚辰己
為勾股相乗之四長方又午未申酉為
兩弦一股自乗之一大正方内戊己庚
[018-6b]
辛為股自乗之一正方午乾戊戌坎未
[018-7a]
艮己庚震申巽亥辛離酉為弦自乗之
四正方戌戊辛亥乾坎巳戊巳艮震庚
辛庚巽離為股弦相乗之四長方今於
午未申酉之正方内減去甲乙丙丁之
正方所餘四隅之午乾子甲壬戌等類
四磬折形皆為弦自乗之方内減去勾
自乗之方與股自乗之四正方積相等
四面之戌壬癸亥等類四長方形乃勾
[018-7b]
弦較與股相乗之四長方戌戊為弦壬/戊為勾故戌
壬為勾/弦較以四歸之則餘股自乗之一正
方勾弦較與股相乗之一長方共為戌
坤兌亥一長方其闊即股其長即股與
勾弦較之和故以勾弦較為長闊較用
𢃄縱較數開方法算之得濶為股也
設如有股弦較二尺勾股弦總和四十尺求勾股弦
各幾何第三/十六
法以勾股弦總和四十尺内減股弦較
[018-7b]
二尺餘三十八尺為兩股一勾之共數
[018-8a]
盖勾股弦總和為一勾一股一弦之共/數内減股弦較是於弦内減股弦較即
又得一股矣故/為兩股一勾也自乗得一千四百四十
四尺又以勾股弦總和四十尺與股弦
較二尺相加得四十二尺為兩弦一勾
之共數葢勾股弦總和為一勾一股一/弦之共數今加股弦較是於股
數加股弦較即又得一/弦矣故為兩弦一勾也自乗得一千七
百六十四尺兩數相減餘三百二十尺
四歸之得八十尺為長方積乃以股弦
[018-8b]
較二尺為長闊較用𢃄縱較數開方法
算之得闊八尺為勾於勾股弦總和四
十尺内減勾八尺餘三十二尺為股弦
和減股弦較二尺餘三十尺折半得十
五尺為股加股弦較二尺得十七尺為
弦也如圖甲乙丙丁為兩股一勾自乗
之一大正方内戊己庚辛為勾自乗之
一正方甲子戊壬丑乙寅己庚卯丙辰
癸辛己丁為股自乗之四正方壬戊辛
[018-8b]
癸子丑巳戊己寅卯庚辛庚辰己為勾
[018-9a]
股相乗之四長方又午未申酉為兩弦
一勾自乗之一大正方内戊己庚辛為
勾自乗之一正方午乾戊戌坎未艮己
庚震申巽亥辛離酉為弦自乗之四正
方戌戊辛亥乾坎巳戊巳艮震庚辛庚
巽離為勾弦相乗之四長方今於午未
申酉之正方内減去甲乙丙丁之正方
所餘四隅之午乾子甲壬戌等類四磬
[018-9b]
折形皆為弦自乗之方内減去股自乗
之方與勾自乗之四正方積相等四面
之戌壬癸亥等類四長方形乃股弦較
與勾相乗之四長方戌戊為弦壬戊為/股故戌壬為股弦
較/以四歸之則餘勾自乗之一正方股
弦較與勾相乗之一長方共為戌坤兊
亥一長方其闊即勾其長即勾與股弦
較之和故以股弦較為長闊較用𢃄縱
較數開方法算之得闊為勾也
[018-9b]
設如有勾股和二十三尺弦與勾股較之較十尺求
[018-10a]
勾股弦各幾何第三/十七
法以勾股和二十三尺自乗得五百二
十九尺又以勾股和二十三尺與弦與
勾股較之較十尺相加得三十三尺為
兩勾一弦之共數葢弦與勾股較之較/為一勾一股弦較之
共數與勾股和相加則得兩勾一股一/股弦較而股加股弦較即弦故為兩勾
一弦之/共數也自乗得一千零八十九尺兩自
乗數相減餘五百六十尺折半得二百
[018-10b]
八十尺為長方積乃以弦與勾股較之
較十尺與兩勾一弦之共數三十三尺
相加得四十三尺為長濶和用𢃄縱和
數開方法算之得闊八尺為勾於勾股
和二十三尺内減勾八尺餘十五尺為
股又於股十五尺内減勾八尺餘七尺
為勾股較與弦與勾股較之較十尺相
加得十七尺為弦也如圖甲乙丙丁為
勾股和自乗之一大正方内戊己庚丁
[018-10b]
為股自乗之一正方辛乙壬己為勾自
[018-11a]
乗之一正方甲辛己戊與己壬丙庚為
勾股相乗之二長方又癸子丑寅為兩
勾一弦自乗之一大正方内卯辰巳寅
為弦自乗之一正方未申酉辰亥乾申
未乾子坎申申坎艮酉為勾自乗之四
正方癸亥未午午未辰卯辰酉戌己酉
艮丑戌為勾弦相乗之四長方今以兩
正方相減則是癸子丑寅方内減去離
[018-11b]
辰坤震股自乗之一正方即如前圖之
戊己庚丁然又未申酉辰勾自乗之一
正方即如前圖之辛乙壬己然又巽未
辰離辰酉兑坤勾股相乗之二長方即
如前圖之甲辛己戊己壬丙庚然所餘
之卯離震坤己寅一磬折形與勾自乗
之一正方等弦自乗之正方内減股自/乗之方則與勾自乗之方
等/再午巽離卯與坤兌戌己二小長方
為股弦較與勾相乗之二長方若各補
[018-11b]
於勾自乗之二正方内即成勾與弦與
[018-12a]
勾股較之較相乗二長方葢弦與勾股/較之較乃弦
内減去勾股較之餘然弦内有一勾一/勾股較一股弦較若減去勾股較則所
餘為一勾一股弦較矣今以股弦較與/勾相乗之長方補於勾自乗之正方内
則其長為一勾一股弦較即弦與勾股/較之較其濶即勾故為勾與弦與勾股
較之較相乗/之長方也合計之則為勾自乗二正
方勾弦相乗二長方勾與弦與勾股較
之較相乗二長方折半則餘勾自乗一
正方勾弦相乗一長方勾與弦與勾股
[018-12b]
較之較相乗一長方之共積與金木水
火長方形等其闊即勾其長為一勾一
弦一弦與勾股較之較其長闊和為兩
勾一弦一弦與勾股較之較故以弦與
勾股較之較與兩勾一弦之共數相加
用帯縱和數開方法算之得闊為勾也
設如有勾股和二十三尺弦與勾股較之和二十四
尺求勾股弦各幾何第三/十八
法以勾股和二十三尺自乗得五百二
[018-12b]
十九尺又以弦與勾股較之和二十四
[018-13a]
尺自乗得五百七十六尺兩數相加得
一千一百零五尺為長方積乃以弦與
勾股較之和二十四尺倍之得四十八
尺為長闊較用𢃄縱較數開方法算之
得十七尺為弦於弦與勾股較之和二
十四尺内減弦十七尺餘七尺為勾股
較於勾股和二十三尺内減勾股較七
尺餘十六尺折半得八尺為勾加勾股
[018-13b]
較七尺得十五尺為股也如圖甲乙丙
丁為勾股和自乗之一大正方内戊己
庚丁為股自乗之一正方辛乙壬己為
勾自乗之一正方甲辛己戊與己壬丙
庚為勾股相乗之二長方又癸子丑寅
為弦與勾股較之和自乗之一大正方
内卯辰巳寅為弦自乗之一正方午子
未辰為勾股較自乗之一正方癸午辰
卯與辰未丑巳為勾股較與弦相乗之
[018-13b]
二長方兩大正方相併則得弦自乗三
[018-14a]
正方勾股較與弦相乗二長方共為申
酉戌亥一長方形何也卯辰巳寅為一
弦方戊己庚丁一股方與辛乙壬己一
勾方相併為一弦方甲辛己戊己壬丙
庚勾股相乗之二長方即四勾股積與
午子未辰勾股較自乗之一正方相併
又為一弦方癸午辰卯辰未丑巳即勾
股較與弦相乗之二長方今二自乗方
[018-14b]
相加則成申酉戌亥之一大長方其闊
即弦其長為三弦二勾股較其長濶較
為二弦二勾股較故将弦與勾股較之
和倍之為二弦二勾股較之共數用𢃄
縱較數開方法算之得闊為弦也
設如有勾弦和二十五尺弦與勾股和之較六尺求
勾股弦各幾何第三/十九
法以勾弦和二十五尺自乗得六百二
十五尺又以勾弦和二十五尺與弦與
[018-14b]
勾股和之較六尺相加得三十一尺為
[018-15a]
兩勾一股之共數葢勾弦和為一勾一/弦之共數今於弦數
内加弦與勾股和之較即為勾/股和是為兩勾一股之共數矣與勾弦
和二十五尺相乗得七百七十五尺兩
數相減餘一百五十尺為長方積乃以
勾弦和二十五尺為長濶和用𢃄縱和
數開方法算之得長十五尺為股於股
十五尺内減弦與勾股和之較六尺餘
九尺為勾弦較與勾弦和二十五尺相
[018-15b]
加得三十四尺折半得十七尺為弦内
減勾弦較九尺餘八尺為勾也如圖甲
乙丙丁為勾弦和自乗之一大正方内
戊巳庚丁為弦自乗之一正方辛乙壬
己為勾自乗之一正方甲辛己戊與己
壬丙庚為勾弦相乗之二長方又癸子
丑寅為兩勾一股與勾弦和相乗之一
大長方内卯辰己寅為股自乗之一正
方午未申卯與癸酉未午為勾與弦相
[018-15b]
乗之二長方與甲乙丙丁大正方内之
[018-16a]
甲辛巳戊己壬丙庚二長方等未戌亥
申為勾自乗之一正方與甲乙丙丁大
正方内之辛乙壬己一正方等而酉子
戌未亦為勾自乗之一正方與卯辰巳
寅股自乗之一正方相併乃與甲乙丙
丁大正方内之戊己庚丁弦自乗之一
正方等兩數相減所餘為辰亥丑巳一
長方其辰巳長即股其辰巳巳丑長闊
[018-16b]
和即勾弦和故以𢃄縱和數開方法算
之得長為股也
設如有勾弦和二十五尺弦與勾股較之和二十四
尺求勾股弦各幾何第四/十
法以勾弦和二十五尺自乗得六百二
十五尺又以勾弦和二十五尺與弦與
勾股較之和二十四尺相加得四十九
尺為兩弦一股之共數葢勾弦和加弦/與勾股較之和
則得兩弦一勾一勾股較而勾加/勾股較即股故為兩弦一股也自乗
[018-16b]
得二千四百零一尺兩自乗數相加得
[018-17a]
三千零二十六尺為長方積乃以兩弦
一股之共數倍之得九十八尺為四弦
二股之共數與勾弦和相加得一百二
十三尺為長濶和用𢃄縱和數開方法
算之得濶三十四尺折半得十七尺為
弦於勾弦和二十五尺内減弦十七尺
餘八尺為勾又於弦與勾股較之和二
十四尺内減弦十七尺餘七尺為勾股
[018-17b]
較與勾八尺相加得十五尺為股也如
圖甲乙丙丁為勾弦和自乗之一大正
方内戊己庚丁為弦自乗之一正方辛
乙壬己為勾自乗之一正方甲辛己戊
與巳壬丙庚為勾弦相乗之二長方又
癸子丑寅為兩弦一股自乗之一大正
方内卯辰己寅為弦自乗之四正方午
未子辰為股自乗之一正方癸申酉卯
申午辰酉辰未亥戌戌亥丑己為股弦
[018-17b]
相乗之四長方今以兩自乗之方相併
[018-18a]
則得弦自乗五正方又勾自乗之一正
方與股自乗之一正方相併為弦自乗
之一正方共為弦自乗六正方勾弦相
乗二長方股弦相乗四長方相合共成
乾坎艮震一大長方其濶即二弦數其
長為三弦一勾二股數其長濶和為五
弦一勾二股數故将兩弦一股之共數
倍之與勾弦和相加為長闊和用𢃄縱
[018-18b]
和數開方法算之得濶為二弦而折半
為弦也
設如有股弦和三十二尺弦與勾股和之較六尺求
勾股弦各幾何第四/十一
法以股弦和三十二尺自乗得一千零
二十四尺又以股弦和三十二尺與弦
與勾股和之較六尺相加得三十八尺
為兩股一勾之共數葢股弦和為一股/一弦之共數今於
弦數内加弦與勾股和之較即為/勾股和是為兩股一勾之共數矣與股
[018-18b]
弦和三十二尺相乗得一千二百一十
[018-19a]
六尺兩數相減餘一百九十二尺為長
方積乃以股弦和三十二尺為長闊和
用𢃄縱和數開方法算之得闊八尺為
勾於勾八尺内減弦與勾股和之較六
尺餘二尺為股弦較與股弦和三十二
尺相加得三十四尺折半得十七尺為
弦内減股弦較二尺餘十五尺為股也
如圖甲乙丙丁為股弦和自乗之一大
[018-19b]
正方内戊己庚丁為弦自乗之一正方
辛乙壬己為股自乗之一正方甲辛己
戊與己壬丙庚為股弦相乗之二長方
又癸子丑寅為兩股一勾與股弦和相
乗之一大長方内卯辰巳寅為勾自乗
之一正方午未申卯與癸酉未午為股
弦相乗之二長方與甲乙丙丁大正方
内之甲辛己戊己壬丙庚二長方等未
戌亥申為股自乗之一正方與甲乙丙
[018-19b]
丁大正方内之辛乙壬己一正方等而
[018-20a]
酉子戌未亦為股自乗之一正方與卯
辰己寅勾自乗之一正方相併乃與甲
乙丙丁大正方内之戊己庚丁弦自乗
之一正方等兩數相減所餘為辰亥丑
己一長方其辰己濶即勾其辰己巳丑
長濶和即股弦和故以𢃄縱和數開方
法算之得闊為勾也
設如有股弦和三十二尺弦與勾股較之較十尺求
[018-20b]
勾股弦各幾何第四/十二
法以股弦和三十二尺自乗得一千零
二十四尺又以股弦和三十二尺與弦
與勾股較之較十尺相加得四十二尺
為兩弦一勾之共數葢弦與勾股較之/較為一勾一股弦
較之共數與股弦和相加則得一勾一/股一弦一股弦較而股加股弦較即又
得一弦故為/兩弦一勾也自乗得一千七百六十四
尺兩自乗數相加得二千七百八十八
尺為長方積乃以兩弦一勾之共數倍
[018-20b]
之得八十四尺為四弦二勾之共數與
[018-21a]
股弦和三十二尺相加得一百一十六
尺為長濶和用𢃄縱和數開方法算之
得闊三十四尺折半得十七尺為弦於
股弦和三十二尺内減弦十七尺餘十
五尺為股又於弦十七尺内減弦與勾
股較之較十尺餘七尺為勾股較於股
十五尺内減勾股較七尺餘八尺為勾
也如圖甲乙丙丁為股弦和自乗之一
[018-21b]
大正方内戊己庚丁為弦自乗之一正
方辛乙壬巳為股自乗之一正方甲辛
己戊與巳壬丙庚為股弦相乗之二長
方又癸子丑寅為兩弦一勾自乗之一
大正方内卯辰巳寅為弦自乗之四正
方午子未辰為勾自乗之一正方癸申
酉卯申午辰酉辰未亥戌戌亥丑巳為
勾弦相乗之四長方今以兩自乗之方
相併則得弦自乗五正方又勾自乗之
[018-21b]
一正方與股自乗之一正方相併為弦
[018-22a]
自乗之一正方共為弦自乗六正方股
弦相乗二長方勾弦相乗四長方相合
共成乾坎艮震一大長方其闊即二弦
數其長為三弦一股二勾數其長濶和
為五弦一股二勾數故将兩弦一勾之
共數倍之與股弦和相加為長闊和用
𢃄縱和數開方法算之得濶為二弦而
折半為弦也
[018-22b]
設如有勾股較七尺弦與勾股和之較六尺求勾股
弦各幾何第四/十三
法以弦與勾股和之較六尺自乗得三
十六尺折半得十八尺為長方積以勾
股較七尺為長闊較用𢃄縱較數開方
法算之得二尺為股弦較與弦與勾股
和之較六尺相加得八尺為勾加勾股
較七尺得十五尺為股再加股弦較二
尺得十七尺為弦也如圖甲乙丙丁為
[018-22b]
弦自乗之一正方戊己丙庚為股自乗
[018-23a]
之一正方甲壬癸辛為勾自乗之一正
方戊丑癸子為弦與勾股和之較自乗
之一正方其積與壬乙己丑辛子庚丁
之勾弦較與股弦較相乗之二長方等
見前有勾弦較股/弦較求勾股弦法今以弦與勾股和之
較自乗折半必與壬乙己丑一長方積
相等其乙己闊即股弦較其壬乙長即
勾弦較而勾弦較之中有一股弦較一
[018-23b]
勾股較故以勾股較為長闊較用帯縱
較數開方法算之得濶為股弦較也
設如有勾弦較九尺弦與勾股較之較十尺求勾股
弦各幾何第四/十四
法以弦與勾股較之較十尺為勾與股
弦較之共數葢弦與勾股較之較乃弦/内減去勾股較之餘然弦
内有一勾一勾股較一股弦較今减去/勾股較故餘為勾與股弦較之共數也
自乗得一百尺又以勾弦較九尺與弦
與勾股較之較十尺相加得十九尺為
[018-23b]
弦與股弦較之共數葢勾加勾弦較即/弦今弦與勾股較
[018-24a]
之較既為勾與股弦較之共數若加/勾弦較則為弦與股弦較之共數矣自
乗得三百六十一尺兩自乗數相减餘
二百六十一尺又以勾弦較九尺自乗
得八十一尺於兩自乗數相減之餘二
百六十一尺内減之餘一百八十尺折
半得九十尺為長方積以勾弦較九尺
為長濶較用𢃄縱較數開方法算之得
長十五尺為股以股十五尺與弦與股
[018-24b]
弦較之共數十九尺相加得三十四尺
折半得十七尺為弦内減勾弦較九尺
餘八尺為勾也如圖甲乙丙丁為勾與
股弦較相和自乗之一大正方内戊己
庚丁為勾自乗之一正方辛乙壬己為
股弦較自乗之一正方甲辛己戊與己
壬丙庚為股弦較與勾相乗之二長方
又癸子丑寅為弦與股弦較相和自乗
之一大正方内卯辰巳寅為弦自乗之
[018-24b]
一正方午未子辰為股弦較自乗之一
[018-25a]
正方即如前圖之辛乙壬巳然癸午辰
卯與辰未丑巳為股弦較與弦相乗之
二長方兩自乗方相減則於癸子丑寅
正方形内減去與甲乙丙丁正方形相
等之申子乾戌正方形餘卯酉戌亥巳
寅磬折形為弦自乗方内減去勾自乗
方所餘之股自乗之方積其癸申酉卯
與亥乾丑巳為勾弦較與股弦較相乗
[018-25b]
之二長方共積與弦與勾股和之較自
乗之正方等今以卯酉戌亥巳寅磬折
形變為股自乗之方作一坎艮震巽正
方形又以癸申酉卯亥乾丑己二長方
共積變為弦與勾股和之較自乗之方
作一巽離坤兌正方形則此二正方邉
之較即勾弦較並見勾弦較股弦/較求勾股弦法中是以
坎艮震巽股自乗之正方形内減去水
艮金木勾弦較自乗之正方則餘坎水
[018-25b]
木金震巽一磬折形而此磬折形内火
[018-26a]
木離巽之一正方形與巽離坤兌之正
方形等是則坎水木金震巽磬折形與
巽離坤兌正方形相合共為坎水離巽
類之二長方矣折半則為一長方其闊
即弦與勾股和之較其長即股其長闊
較即勾弦較故以勾弦較為長濶較用
𢃄縱較數開方法算之得長為股也
又法以弦與勾股較之較十尺為勾與
[018-26b]
股弦較之共數與勾弦較九尺相加得
十九尺為弦與股弦較之共數兩數相
併得二十九尺為一勾一弦二股弦較
之共數與勾弦較九尺相乗得二百六
十一尺又以勾弦較九尺自乗得八十
一尺兩積相減餘一百八十尺折半得
九十尺為長方積以勾弦較九尺為長
闊較用帯縱較數開方法算之得長十
五尺為股與弦與股弦較之共數十九
[018-26b]
尺相加得三十四尺折半得十七尺為
[018-27a]
弦内減勾弦較九尺餘八尺為勾也如
圖甲乙丙丁為勾弦較與一勾一弦二
股弦較相乗之長方内甲乙己戊為勾
弦較與勾弦和相乗之一長方與庚辛
壬癸股自乗之一正方積等見股與勾/弦較求勾
弦法/中戊己丙丁為勾弦較與股弦較相
乗之二長方與癸子丑寅弦與勾股和
之較自乗之一正方積等此二正方邉
[018-27b]
之較即勾弦較並見勾弦較股弦/較求勾股弦法中是以
庚辛壬癸股自乗之正方形内減去卯
辛巳辰勾弦較自乗之正方則餘庚卯
辰己壬癸一磬折形而此磬折形内午
辰子癸之一正方與癸子丑寅之正方
形等庚卯辰午之一長方與辰己壬子
之長方形等折半即餘庚卯子癸一長
方形其闊即弦與勾股和之較其長即
股其長闊較即勾弦較故以勾弦較為
[018-27b]
長闊較用𢃄縱較數開方法算之得長
[018-28a]
為股也
設如有股弦較二尺弦與勾股較之和二十四尺求
勾股弦各幾何第四/十五
法以弦與勾股較之和二十四尺減股
弦較二尺餘二十二尺為股與勾股較
之共數葢弦内減股弦較餘即股故於/弦與勾股較之和内減股弦較
餘即為股與勾/股較之共數也自乗得四百八十四尺
又以弦與勾股較之和二十四尺自乗
[018-28b]
得五百七十六尺兩自乗數相減餘九
十二尺又於股與勾股較之共數自乗
之四百八十四尺内減兩自乗數相減
所餘之九十二尺餘三百九十二尺為
長方積乃以股與勾股較之共數二十
二尺倍之得四十四尺内減股弦較二
尺餘四十二尺為長闊和用𢃄縱和數
開方法算之得濶十四尺折半得七尺
為勾股較於弦與勾股較之和二十四
[018-28b]
尺内減勾股較七尺餘十七尺為弦於
[018-29a]
弦内減股弦較二尺餘十五尺為股於
股内減勾股較七尺餘八尺為勾也如
圖甲乙丙丁為股與勾股較相和自乗
之一大正方内戊己庚丁為股自乗之
一正方辛乙壬己為勾股較自乗之一
正方甲辛己戊與己壬丙庚為勾股較
與股相乗之二長方又癸子丑寅為弦
與勾股較相和自乗之一大正方内卯
[018-29b]
辰巳寅為弦自乗之一正方午子未辰
為勾股較自乗之一正方即如前圖之
辛乙壬己然癸午辰卯與辰未丑己為
勾股較與弦相乗之二長方兩自乗方
相減則於癸子丑寅正方形内減去與
甲乙丙丁正方形相等之申子乾戌正
方形所餘卯酉戌亥巳寅磬折形為弦
自乗方内減去股自乗方所餘之勾自
乗之方積其癸申酉卯與亥乾丑巳為
[018-29b]
勾股較與股弦較相乗之二長方今以
[018-30a]
此餘積再於甲乙丙丁正方形内減之
則減去坎艮震丁勾自乗之一正方其
積與卯酉戌亥巳寅磬折形等又甲巽
離戊與戊離坤坎二長方即如癸申酉
卯亥乾丑巳二長方然所餘兌巳庚震
與己壬丙庚為股與勾股較相乗之二
長方火辛己兌與辛乙壬己為勾股較
自乗之二正方巽火兌離與離兌艮坤
[018-30b]
為勾與股弦較之較與勾股較相乗之
二長方試将巽火兌離離兌艮坤二長
方移為水木辛火木金乙辛則成水金
丙震一大長方形其闊即二勾股較其
長即二股内少一股弦較其長濶和為
二勾股較二股少一股弦較故以股與
勾股較之共數倍之得二股二勾股較
内減去一股弦較為長濶和用帯縱和
數開方法算之得濶為二勾股較折半
[018-30b]
得勾股較也
[018-31a]
又法以弦與勾股較之和二十四尺減
股弦較二尺餘二十二尺為股與勾股
較之共數自乗得四百八十四尺又以
弦與勾股較之和二十四尺與股與勾
股較之共數二十二尺相加得四十六
尺為一股一弦二勾股較之共數以股
弦較二尺乗之得九十二尺兩數相減
餘三百九十二尺為長方積乃以股與
[018-31b]
勾股較之共數二十二尺倍之得四十
四尺内減股弦較二尺餘四十二尺為
長闊和用𢃄縱和數開方法算之得闊
十四尺折半得七尺為勾股較於弦與
勾股較之和二十四尺内減勾股較七
尺餘十七尺為弦於弦内減股弦較二
尺餘十五尺為股於股内減勾股較七
尺餘八尺為勾也如圖甲乙丙丁為股
與勾股較相和自乗之一大正方亦即
[018-31b]
一勾二勾股較之共數自乗之正方也
[018-32a]
盖圖以甲辛為股辛乙為勾股較若以/甲申為勾則申辛亦勾股較故為一勾
兩勾股/較也内巳午未丁為勾自乗之一正
方申辛己酉酉巳戌午辛乙壬己巳壬
亥戌為勾股較自乗之四正方甲申酉
戊戊酉午巳午戌庚未戊亥丙庚為勾
股較與勾相乗之四長方又癸子丑寅
為股弦較與一股一弦二勾股較相乗
之一長方内癸子辰夘為股弦較與股
[018-32b]
弦和相乗之一長方與勾自乗之一正
方等見勾與股弦較/求股弦法中卯辰丑寅為股弦
較與二勾股較相乗之二長方今以兩
積相減則於甲乙丙丁正方形内減去
與癸子辰卯相等之巳午未丁之勾自
乗之一正方又減去與卯辰丑寅相等
之甲乾坎戊戊坎艮巳之股弦較與二
勾股較相乗之二長方所餘酉巳庚未
與己壬丙庚為股與勾股較相乗之二
[018-32b]
長方申辛己酉與辛乙壬己為勾股較
[018-33a]
自乗之二正方乾申酉坎坎酉午艮為
勾與股弦較之較與勾股較相乗之二
長方試将乾申酉坎坎酉午艮二長方
移為震巽辛申巽離乙辛則成震離丙
未一大長方形其濶即二勾股較其長
即二股内少一股弦較其長濶和為二
勾股較二股内少一股弦較故以股與
勾股較之共數倍之得二股二勾股較
[018-33b]
内減去一股弦較為長闊和用𢃄縱和
數開方法算之得闊為二勾股較折半
得勾股較也
[018-34a]
勾股積與勾股弦和較相求法
設如有勾股積一百二十尺勾十尺求股弦各幾何
法以勾股積一百二十尺倍之得二百
四十尺以勾十尺除之得二十四尺為
股勾股求弦得弦二十六尺如圖甲乙
丙勾股形積倍之成甲乙丙丁長方形
積其闊即勾其長即股故以勾除倍積
而得股也
[018-34b]
設如有勾股積六十尺股十五尺求勾弦各幾何
法以勾股積六十尺倍之得一百二十
尺以股十五尺除之得八尺為勾勾股
求弦得弦十七尺如圖甲乙丙勾股形
積倍之成甲乙丙丁長方形積其長即
股其濶即勾故以股除倍積而得勾也
設如有勾股積三十尺弦十三尺求勾股各幾何
法以勾股積三十尺四因之得一百二
十尺又以弦十三尺自乗得一百六十
[018-34b]
九尺相減餘四十九尺開方得七尺為
[018-35a]
勾股較乃以勾股積倍之為長方積以
勾股較為長濶較用帯縱較數開方法
算之得濶五尺為勾得長十二尺為股
如圖甲乙丙丁為弦自乗之方内容甲
戊乙乙己丙丙庚丁丁辛甲四勾股積
戊己庚辛一勾股較自乗方積故於弦
自乗方内減四勾股積即餘勾股較自
乗之方而開方得勾股較也
[018-35b]
設如有勾股積六十尺勾股較七尺求勾股弦各幾
何
法以勾股積六十尺倍之得一百二十
尺以勾股較七尺為長濶較用𢃄縱較
數開方法算之得濶八尺為勾加勾股
較七尺得十五尺為股勾股求弦得弦
十七尺如圖甲乙丙勾股形積倍之成
甲乙丙丁長方形積其濶即勾其長即
股其長濶較即勾股較故用𢃄縱較數
[018-35b]
開方法算之得闊為勾也又如有勾股
[018-36a]
積幾何知勾弦較或股弦較求勾股弦
法中用帯縱立方算之始得茲故不設
設在𢃄縱立方之後
設如有勾股積六十尺勾股和二十三尺求勾股弦
各幾何
法以勾股積六十尺八因之得四百八
十尺又以勾股和二十三尺自乗得五
百二十九尺兩數相減餘四十九尺開
[018-36b]
方得七尺為勾股較於勾股和二十三
尺内減勾股較七尺餘十六尺折半得
八尺為勾加勾股較七尺得十五尺為
股勾股求弦得弦十七尺如圖甲乙丙
丁為勾股和自乗之方内容八勾股積
一勾股較自乗方積今於勾股和自乗
之方内減八勾股積所餘戊己庚辛正
方即勾股較自乗之方故開方而得勾
股較也又如有勾股積幾何知勾弦和
[018-36b]
或股弦和求勾股弦法中用帯縱立方
[018-37a]
算之始得茲故不設設在𢃄縱立方之
後
設如有勾股積六十尺勾股弦總和四十尺求勾股
弦各幾何
法以勾股積六十尺四因之得二百四
十尺又以勾股弦總和四十尺自乗得
一千六百尺兩數相減餘一千三百六
十尺折半得六百八十尺以勾股弦總
[018-37b]
和四十尺除之得十七尺為弦於勾股
弦總和四十尺内減弦十七尺餘二十
三尺為勾股和用有弦有勾股和求勾
股法算之得勾八尺股十五尺如圖甲
乙丙丁為勾股弦總和自乗之一大正
方内戊己庚丁為勾自乗之一正方辛
壬癸己為股自乗之一正方子乙丑壬
為弦自乗之一正方寅子壬辛與壬丑
卯癸為股弦相乗之二長方甲寅辛辰
[018-37b]
與癸卯丙己為勾弦相乗之二長方辰
[018-38a]
辛己戊與己癸己庚為勾股相乗之二
長方夫勾股相乗之二長方與四勾股
積等今於勾股弦總和自乗之一大正
方内減去四勾股積即減去勾股相乗
之二長方而勾自乗之一正方與股自
乗之一正方相併又與弦自乗之一正
方等故所餘者為弦自乗之二正方股
弦相乗之二長方勾弦相乗之二長方
[018-38b]
折半即得弦自乗之一正方股弦相乗
之一長方勾弦相乗之一長方與甲乙
丑辰長方形等其濶即弦其長即勾股
弦總和故以勾股弦總和除之而得弦
也
設如有勾股積六十尺弦與勾股和之較六尺求勾
股弦各幾何
法以勾股積六十尺四因之得二百四
十尺以弦與勾股和之較六尺除之得
[018-38b]
四十尺為勾股弦總數内減弦與勾股
[018-39a]
和之較六尺餘三十四尺折半得十七
尺為弦加弦與勾股和之較六尺得二
十三尺為勾股和用有弦有勾股和求
勾股法算之得股十五尺勾八尺如圖
甲乙為勾股和丙乙為弦甲丙為弦與
勾股和之較試依甲乙線作甲丁戊乙
勾股和自乗之一正方又以丙乙線作
丙己庚乙弦自乗之一正方二方相較
[018-39b]
其甲丁戊庚己丙磬折形乃與四勾股
積相等葢勾股和自乗方内容八勾股/積一勾股較自乗方積弦自乗
方内容四勾股積一勾股較自乗方積/二方相減所餘磬折形積與四勾股積
相/等引而長之即如丙甲戊庚一長方形
其濶即弦與勾股和之較其長即弦與
勾股和之和故以弦與勾股和之較除
之得勾股弦總數也
設如有勾股積六十尺弦與勾股較之和二十四尺
求勾股弦各幾何
[018-39b]
法以勾股積六十尺四因之得二百四
[018-40a]
十尺又以弦與勾股較之和二十四尺
自乗得五百七十六尺兩數相減餘三
百三十六尺折半得一百六十八尺用
弦與勾股較之和二十四尺除之得七
尺為勾股較於弦與勾股較之和二十
四尺内減勾股較七尺餘十七尺為弦
用有弦有勾股較求勾股法算之得勾
八尺股十五尺如圖甲乙丙丁為弦與
[018-40b]
勾股較之和自乗之一正方甲戊己庚
為弦自乗之一正方而弦自乗之方内
容四勾股積一勾股較自乗方積今減
去四勾股積餘辛壬癸子為勾股較自
乗之一正方而巳丑丙寅亦為勾股較
自乗之一正方再戊乙丑巳與庚己寅
丁又為勾股較與弦相乗之二長方折
半則餘戊乙丑己一長方己丑丙寅一
正方其戊寅長即弦與勾股較之和其
[018-40b]
戊乙闊即勾股較故以弦與勾股較之
[018-41a]
和除之而得勾股較也
設如有勾股積六十尺弦與勾股較之較十尺求勾
股弦各幾何
法以勾股積六十尺四因之得二百四
十尺又以弦與勾股較之較十尺自乗
得一百尺兩數相減餘一百四十尺折
半得七十尺以弦與勾股較之較十尺
除之得七尺為勾股較與弦與勾股較
[018-41b]
之較十尺相加得十七尺為弦用有弦
有勾股較求勾股法算之得勾八尺股
十五尺如圖甲乙丙丁為弦自乗之一
大正方内丁戊己庚為勾股較自乗之
一正方辛乙壬己為弦與勾股較之較
自乗之一正方甲辛己戊與己壬丙庚
為勾股較與弦與勾股較之較相乗之
二長方葢弦自乗方内容四勾股積一
勾股較自乗方積今丁戊己庚既為勾
[018-41b]
股較自乗之方若於甲乙丙丁弦自乗
[018-42a]
方内減之則所餘甲乙丙庚巳戊磬折
形即與四勾股積相等又於四勾股積
相等之甲乙丙庚己戊磬折形内減辛
乙壬己弦與勾股較之較自乗之方則
尚餘甲辛己戊己壬丙庚二長方折半
則得巳壬丙庚一長方其己壬長即弦
與勾股較之較其己庚闊即勾股較故
以弦與勾股較之較除之而得勾股較
[018-42b]
也
[018-43a]
正勾股比例
設如有正勾股知勾十二尺求股與弦各幾何
法以正勾股定分之勾三分為一率股
四分為二率今所設之勾一十二尺為
三率推得四率十六尺為股仍以勾三
分為一率弦五分為二率今所設之勾
十二尺為三率推得四率二十尺為弦
也葢大小兩同式形其相當各界互相
[018-43b]
比之比例俱為相當比例四率見幾何/原夲八
卷第/三節故正勾股定分之勾三與股四之
比即同於今所設之勾十二與股十六
之比又正勾股定分之勾三與弦五之
比亦同於今所設之勾十二與弦二十
之比也
又㨗法以勾十二尺用正勾股定分之
勾三分除之得四尺即知今所設之勾
股形為加四倍之比例乃以正勾股定
[018-43b]
分之股四分弦五分各加四倍即得所
[018-44a]
求之股弦之各數矣
設如有正勾股知勾股和六十三尺求勾股弦各幾
何
法以正勾股定分之勾三分股四分相
併得七分為一率勾三分為二率今所
設之勾股和六十三尺為三率推得四
率二十七尺為勾若以股四分為二率
即得四率三十六尺為股若以弦五分
[018-44b]
為二率即得四率四十五尺為弦也葢
正勾股定分之勾股和七尺與勾三股
四弦五各相為比即同於今所設之勾
股和六十三尺與勾二十七尺股三十
六尺弦四十五尺各相比之比例也
又㨗法以勾股和六十三尺用正勾股
定分之勾三股四相和之七分除之得
九尺即知今所設之勾股形為加九倍
之比例乃以正勾股定分之勾三股四
[018-44b]
弦五各加九倍即得所求之各數也
[018-45a]
設如有正勾股知勾股弦總和六十尺求勾股弦各
幾何
法以正勾股定分之勾三分股四分弦
五分相併共得十二分為一率勾三分
為二率今所設之勾股弦總和六十尺
為三率推得四率十五尺為勾若以股
四分為二率即得四率二十尺為股若
以弦五分為二率即得四率二十五尺
[018-45b]
為弦也
又㨗法以勾股弦總和六十尺用正勾
股定分之勾三股四弦五相併之十二
分除之得五尺即知今所設之勾股形
為加五倍之比例乃以正勾股定分之
勾三股四弦五各加五倍即得所求之
各數也
設如有正勾股勾九尺股十二尺求内容方邉幾何
法以股十二尺七歸三因得五尺一寸
[018-45b]
四分二釐八毫有餘或以勾九尺七歸
[018-46a]
四因亦得五尺一寸四分二釐八毫有
餘為内容方邉也葢勾三分股四分者
則以勾股和七分為一率勾三分為二
率股四分為三率推得四率為内容方
邉是内容方邉得股七分之三得勾七
分之四也今九尺與十二尺之比仍同
於三分與四分之比故以其分數相求
得内容方邊仍為比例四率也
[018-46b]
設如有正勾股勾九尺股十二尺求内容圜徑幾何
法以股十二尺折半得六尺或以勾九
尺取其三分之二亦得六尺即為内容
圜徑也葢勾三分股四分弦五分者則
於勾股和七分内減弦五分餘二分為
内容圜徑見勾股容/圜第二法是内容圜徑得股
四分之二得勾三分之二也今九尺與
十二尺之比同於三分與四分之比故
十二尺與六尺之比仍同於四與二之
[018-46b]
比而九尺與六尺之比亦仍同於三與
[018-47a]
二之比也
設如有正勾股知勾股和二十一尺求内容方邊幾
何
法以正勾股定分比例得勾九尺股十
二尺以勾九尺七歸四因或以股十二
尺七歸三因得五尺一寸四分二釐八
毫有餘即内容方邊也葢内容方邊得
勾七分之四得股七分之三見前/法故必
[018-47b]
先比例得勾數或股數復比例得内容
方邊也
設如有正勾股知勾股和二十一尺求内容圜徑幾
何
法以正勾股定分之勾三分股四分相
加之七分為一率内容圜徑二分為二
率今所設之勾股和二十一尺為三率
推得四率六尺即内容圜徑也葢勾三
分股四分弦五分者其内容圜徑為二
[018-47b]
分見前/法故勾股和之七分與内容圜徑
[018-48a]
二分之比即同於今所設之勾股和之
二十一尺與内容圜徑六尺之比也總
之正勾股形知一數即得所求之各數
要先以勾三股四弦五求得所知之定
分及所求之定分如勾股較則以勾三/分與股四分相減餘
一分又如弦與勾股較之和則以勾股/較一分與弦五分相加得六分之類
乃以所知之定分與所求之定分之比
即同於今所知之數與今所求之數之
[018-48b]
比也
設如有正勾股面積九十六尺求勾股弦各幾何
法以正勾股定分之面積六分為一率
勾三分自乗得九分為二率今所設之
勾股積九十六尺為三率推得四率一
百四十四尺為勾自乗之方開方得十
二尺為勾如以正勾股定分之股四分
自乗為二率則得今所設之股自乗之
方如以正勾股定分之弦五分自乗為
[018-48b]
二率則得今所設之弦自乗之方各開
[018-49a]
方而即得各數矣或得勾而以正勾股
定分之勾股弦各比例之亦可葢同式
兩勾股形其面積互相為比即同於勾
股形各相當界所作正方形互相為比
見幾何原夲/八卷第四節故以正勾股定分之面積
六尺與勾股弦各方之比即同於今所
設之面積九十六尺與勾股弦各方之
比也
[018-49b]
又㨗法以面積九十六尺用正勾股定
分之面積六尺除之得十六尺開方得
四尺即知今所設之勾股弦為各加四
倍之比例乃以正勾股定分之各數各
加四倍即得各數葢兩直角方面形其
兩方面之比例比之兩界之比例為連
比例隔一位相加之比例見幾何原夲/七卷第五節
今勾股為長方之半正方與正方為比/長方與長方為比其比例相同並見第
六/節故積大十六倍者界必大四倍既知
[018-49b]
其大四倍則以正勾股之定分各加四
[018-50a]
倍即得矣
設如有正勾股知勾自乗股自乗弦自乗共積四百
五十尺求勾股弦各幾何
法以共積四百五十尺折半得二百二
十五尺為弦自乗方積開方得一十五
尺為弦既得弦則以勾股弦之定分比
例之得九尺為勾得十二尺為股也如
用面積為比例則以弦五分自乗之二
[018-50b]
十五分為一率勾三分自乗之九分為
二率今所得之弦自乗方二百二十五
尺為三率求得四率八十一尺為勾自
乗方積開方得九尺為勾若以股四分
自乗之十六分為二率則得四率一百
四十四尺為股自乗方積開方得十二
尺為股也葢弦自乗之一方既與勾自
乗股自乗之二方等則勾自乗股自乗
弦自乗之三方必與弦自乗之二方等
[018-50b]
故折半即得弦自乗之一方而開方得
[018-51a]
弦也
[018-51b]
御製數理精蘊下編卷十三
