[023-1a] 
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷十八
面部八
測量勾股測量/三角測量
[023-2a]
測量
周髀曰偃矩以窺髙覆矩以測深卧矩以知逺蓋以矩
度或表杆相度窺測立者則取其直平者則取其方必
使成直角以大小勾股為比例以在器之勾股比所測
之勾股彼此相形而得之者也然勾股必為直角而三
角形則惟變所適而無定形要以角度為準而用割圜
八線以為比例凡求角求邊皆以三角形之法為本總
以對所知為一率對所求為二率所知為三率得四率
[023-2b]
即所求也或一測或屢測惟在隨時而致用或用正或
用餘惟在比例之相當不特凡物之髙深廣逺可得而
推即七政之躔度天地之形體俱可得而測也
[023-3a]
勾股測量凡用矩度或立表杆必用垂線取其/與地平成直角以為準則若地不平
須記取某處與人/目所看相平為記
設如有一旗杆欲測其髙但知距旗杆之逺為三丈
問得髙幾何
法用矩度矩度之制必用正方每邊定/一百分或二百分横𥪡俱界
線畫成小方分自中心所出線俱平分/每邊一半對中心所出線兩邉安定表
取中心安遊表看分數必以其自中/心所出線為準見幾何原本十二卷定
準墜線以定表看地平遊表看旗杆頂
[023-3b]
得距地平分四十分此矩度前邊為百/分自中心平分半
邊為五/十分乃以中心平分距分五十分為
一率所得距分四十分為二率距旗杆
之逺三丈為三率求得四率二丈四尺
即矩度中心定表所對地平至旗杆頂
之髙加矩度中心距地之髙四尺共得
二丈八尺即所求旗杆之髙也如圖甲
乙為旗杆之髙丙乙為距旗杆之逺丁
為矩度中心丁丙為矩度中心距地之
[023-3b]
高己庚為定表所對地平為戊辛壬為
[023-4a]
遊表看旗杆頂甲其丁庚為矩度中心
平分距分五十分壬庚為遊表距地平
分四十分其丁庚與壬庚之比同於丁
戊與甲戊之比故丁庚五十分為一率
壬庚四十分為二率丁戊距旗杆之逺
三丈為三率得四率甲戊二丈四尺加
同丁丙高之戊乙四尺即得甲乙二丈
八尺為旗杆之高也
[023-4b]
又用表杆測法於距旗杆三丈處立一
表高四尺向前又立一表高八尺看二
表端與旗杆頂齊量二表間相距得五
尺乃以五尺為一率前表八尺内減後
表四尺餘四尺為二率距旗杆之逺三
丈為三率求得四率二丈四尺加入後
表高四尺得二丈八尺即旗杆之高也
如圖甲乙為旗杆之高乙丙為距旗杆
之逺三丈丁丙為後表之髙四尺戊己
[023-4b]
為前表之高八尺丙己為二表之距五
[023-5a]
尺戊庚為二表之較四尺丁戊甲為人
目視線試與乙丙平行作辛丁線遂成
甲辛丁戊庚丁兩勾股形為同式形故
丁庚與戊庚之比同於丁辛與甲辛之
比既得甲辛加與丁丙相等之辛乙即
得甲乙為旗杆之高也
設如一樹欲測其逺爰取一直角横量十五丈問得
逺幾何
[023-5b]
法以矩度定表與遊表定準直角以定
表對樹遊表隨直角立表杆二三處横
量十五丈於此處復安矩度以定表對
所立表杆取直看原處以遊表看樹得
距矩度中心平分線距分三十分乃以
所得距分三十分為一率矩度中心平
分距分五十分為二率横量十五丈為
三率求得四率二十五丈即離樹之逺
也如圖甲為樹甲乙為離樹之逺乙為
[023-5b]
直角乙丙為横量十五丈丁戊為所立
[023-6a]
二表杆丙為矩度中心丙己為矩度中
心平分距分五十分己庚為所得距分
三十分丙己庚勾股形與甲乙丙勾股
形為同式形故己庚與己丙之比即同
於丙乙與甲乙之比也
又用表杆測法先立一表於乙取直角
横量十五丈至丙次立一表於丙自丙
對甲相直復立一表於丁次依丁丙度
[023-6b]
引至乙丙線上截乙丙於戊乃以丙戊
折半於己遂得丁己丙勾股形與甲乙
丙勾股形為同式形因量丙己得三丈
為一率丁己得五丈為二率丙乙十五
丈為三率求得四率二十五丈即甲乙
之逺也
設如有山一座欲知其高用重矩之法測之問山之
高得幾何
法用矩度定準墜線以定表看地平遊
[023-6b]
表看山頂得距地平分四十分又向後
[023-7a]
量九丈復安矩度定準墜線以定表仍
看前矩度定表所看地平原處遊表看
山頂得距地平分三十二分乃以前矩
度距地平分四十分為一率中心平分
距分五十分為二率後矩度距地平分
三十二分為三率求得四率四十分為
前矩度遊表與後矩度遊表同距地平
分所得之中心距分乃以所得四十分
[023-7b]
與後矩度中心平分距分五十分相減
餘十分為一率後矩度距地平分三十
二分為二率向後量九丈為三率求得
四率二十八丈八尺即矩度中心定表
所對地平至山頂之高加矩度中心距
地之高四尺共得二十九丈二尺即所
求之山之髙也如圖甲乙為山之高丙
為前矩度中心丙庚為定表所對地平
為戊丙己為遊表看山頂甲其己庚為
[023-7b]
遊表距地平分四十分丙庚為中心平
[023-8a]
分距分五十分丙丁為向後量九丈丁
為後矩度中心丁壬為定表所對地平
亦為戊丁辛為遊表看山頂甲其辛壬
為遊表距地平分三十二分丁壬為中
心平分距分五十分試依後矩度遊表
距地平分辛壬度於前矩度作癸子線
則丙子中心距分必小於丙庚故己庚
與丙庚之比同於癸子與丙子之比而
[023-8b]
得丙子之分既得丙子則以丙子與丁
壬相減餘丁丑與前矩度/子庚等即前後兩矩
度遊表同距地平分所得中心距分之
較乃自辛至丑作辛丑線遂成辛壬丑
勾股形與癸子丙同度俱與甲戊丙勾
股形為同式形而辛壬丁勾股形又與
甲戊丁勾股形為同式形且丁丙與丁
丑皆為兩勾股形之各股之較故辛丑
丁三角形與甲丙丁三角形亦為同式
[023-8b]
形是以丁丑與辛壬之比同於丁丙與
[023-9a]
甲戊之比而為相當比例四率也
又法用矩度定準墜線以定表看地平
遊表看山頂向後量九丈復安矩度定
準墜線以定表仍看前矩度定表所看
地平原處遊表看山頂得距地平分三
十二分其中心平分距分為五十分爰
察前矩度距地平分三十二分處得距
中心距分為四十分乃以所得四十分
[023-9b]
與後矩度中心平分距分五十分相減
餘十分為一率距地平分三十二分為
二率向後量九丈為三率求得四率二
十八丈八尺即矩度中心定表所對地
平至山頂之高加矩度中心距地之高
四尺共得二十九丈二尺即所求之山
之高也如圖甲乙為山之高丙為前矩
度中心定表所對地平為戊遊表看山
頂甲丙丁為向後量九丈丁為後矩度
[023-9b]
中心其辛壬為遊表距地平分三十二
[023-10a]
分丁壬為中心平分距分五十分試依
後矩度距地平分三十二分辛壬度於
前矩度三十二分處作己庚線其丙庚
距中心距分得四十分乃以丙庚四十
分截後矩度丁壬中心平分距分於癸
則丁癸為減餘十分其丁癸與辛壬之
比即同於丁丙與甲戊之比也前法兩
矩度遊表距地平分不同故用比例四
[023-10b]
率而得其距地平相等之中心距分以
取其兩中心距分之較此法因取其距
地平相等之分故其兩中心距分不同
相減即得其兩中心距分之較也
設如一牆欲知其逺用重矩之法測之問牆之逺得
幾何
法用矩度定凖墜線以定表看地平遊
表看牆頂得距地平分四十分又向後
量一丈復安矩度定凖墜線以定表仍
[023-10b]
看前矩度定表所看地平原處遊表看
[023-11a]
牆頂得距地平分二十四分乃以前矩
度距地平分四十分為一率中心平分
距分五十分為二率後矩度距地平分
二十四分為三率求得四率三十分為
前矩度遊表與後矩度遊表同距地平
分所得之中心距分乃以所得三十分
與後矩度中心平分距分五十分相減
餘二十分為一率前矩度所得中心距
[023-11b]
分三十分為二率向後量一丈為三率
求得四率一丈五尺即前矩度距牆之
逺若求後矩度距牆之逺則以後矩度
中心平分距分五十分為二率所得四
率二丈五尺即後矩度距牆之逺也如
圖甲乙為牆之高丙為前矩度中心丙
庚為定表所對地平為戊丙己為遊表
看牆頂甲其己庚為遊表距地平分四
十分丙庚為中心平分距分五十分丙
[023-11b]
丁為向後量一丈丁為後矩度中心丁
[023-12a]
壬為定表所對地平亦為戊丁辛為遊
表看牆頂甲其辛壬為遊表距地平分
二十四分丁壬為中心平分距分五十
分試依後矩度遊表距地平分辛壬度
於前矩度作癸子線則丙子中心距分
必小於丙庚故己庚與丙庚之比同於
癸子與丙子之比而得丙子之分既得
丙子則以丙子與丁壬相減餘丁丑與/前
[023-12b]
矩度子/庚等即前後兩矩度遊表同距地平
分所得中心距分之較乃自辛至丑作
辛丑線遂成辛壬丑勾股形與癸子丙
同度俱與甲戊丙勾股形為同式形而
辛壬丁勾股形又與甲戊丁勾股形為
同式形且丁丙與丁丑皆為兩勾股形
之各股之較故辛丑丁三角形與甲丙
丁三角形亦為同式形是以丁丑與丑
壬之比同於丁丙與丙戊之比又丁丑
[023-12b]
與丁壬之比亦同於丁丙與丁戊之比
[023-13a]
也
又法用矩度定凖墜線以定表看地平
遊表看牆頂向後量一丈復安矩度定
凖墜線以定表對前矩度中心遊表看
牆頂得距地平分二十四分其中心平
分距分為五十分爰察前矩度距地平
分二十四分處得距中心距分為三十
分乃以所得三十分與後矩度中心平
[023-13b]
分距分五十分相減餘二十分為一率
前矩度中心距分三十分為二率向後
量一丈為三率求得四率一丈五尺即
前矩度距牆之逺若求後矩度距牆之
逺則以後矩度中心平分距分五十分
為二率所得四率二丈五尺即後矩度
距牆之逺也如圖甲乙為牆之高丙為
前矩度中心定表所對地平為戊遊表
看牆頂甲丙丁為向後量一丈丁為後
[023-13b]
矩度中心其辛壬為遊表距地平分二
[023-14a]
十四分丁壬為中心平分距分五十分
試依後矩度距地平分二十四分辛壬
度於前矩度二十四分處作己庚線其
丙庚距中心距分得三十分乃以丙庚
三十分截後矩度丁壬中心平分距分
於癸則丁癸為減餘二十分其丁癸與
癸壬之比同於丁丙與丙戊之比又丁
癸與丁壬之比亦同於丁丙與丁戊之
[023-14b]
比也
設如一石欲知其逺不取直角於左右兩處横量三
十九丈測之問兩處各距石幾何
法先平安矩度於右以定表看左矩度
之中心遊表看石得距矩度中心距分
三十七分五釐其遊表之斜距分為六
十二分五釐次平安矩度於左以定表
看右矩度之中心遊表看石得距矩度
中心距分十一分二釐五豪其遊表之
[023-14b]
斜距分為五十一分二釐五豪乃以所
[023-15a]
得兩距分相併得四十八分七釐五豪
為一率右矩度所得之遊表斜距分六
十二分五釐為二率横量三十九丈為
三率求得四率五十丈為右矩度距石
之逺若求左矩度距石之逺則仍以兩
距分相併為一率左矩度所得之遊表
斜距分五十一分二釐五豪為二率橫
量三十九丈為三率求得四率四十一
[023-15b]
丈為左矩度距石之逺也如圖甲為石
乙為右矩度中心其丁戊為距分三十
七分五釐戊乙為遊表斜距分六十二
分五釐乙丙為横量三十九丈丙為左
矩度中心其己庚為距分十一分二釐
五豪己丙為遊表斜距分五十一分二
釐五豪試自甲角至乙丙線作甲辛垂
線分為兩勾股形則丁戊乙勾股形與
甲辛乙勾股形為同式形已庚丙勾股
[023-15b]
形與甲辛丙勾股形為同式形而乙丙
[023-16a]
即為兩勾之和故以丁戊與己庚兩勾
相併與戊乙之比同於乙丙與甲乙之
比又丁戊與己庚兩勾相併與己丙之
比同於乙丙與甲丙之比俱為相當比
例四率也
設如隔河一樹欲測其逺不能定直角爰取兩處俱
斜對樹横量十七丈測之問離樹之逺得幾何
法先平安矩度於一處隨定表横量十
[023-16b]
七丈復安一矩度若止用一矩度則/記凖一處亦可以
先安矩度定表看後安矩度中心遊表
看樹得距矩度中心距分四十九分其
遊表之斜距分為七十分次以後安矩
度定表看先安矩度中心遊表看樹得
距矩度中心距分十五分其遊表之斜
距分為五十二分二釐乃以先安矩度
之中心距分四十九分與後安矩度之
中心距分十五分相減餘三十四分為
[023-16b]
一率先安矩度遊表斜距分七十分為
[023-17a]
二率横量十七丈為三率求得四率三
十五丈為先安矩度距樹之逺若以後
安矩度遊表斜距分五十二分二釐為
二率則得四率二十六丈一尺為後安
矩度距樹之逺也如圖甲為樹乙為先
安矩度中心其丁戊為距矩度中心距
分四十九分戊乙為遊表斜距分七十
分乙丙為横量十七丈丙為後安矩度
[023-17b]
中心其己庚為距矩度中心距分十五
分庚丙為遊表斜距分五十二分二釐
按己庚十五分截丁戊四十九分於辛
則辛戊為減餘三十四分乃自辛至乙
作辛乙線與庚丙等又將乙丙線引長
於壬自甲作甲壬垂線遂成甲壬丙甲
壬乙兩勾股形其乙丁辛勾股形與丙
己庚勾股形同度俱與甲壬丙勾股形
為同式形而乙丁戊勾股形又與甲壬
[023-17b]
乙勾股形為同式形故乙戊辛三角形
[023-18a]
與甲乙丙三角形亦為同式形是以辛
戊與乙戊之比同於乙丙與甲乙之比
而辛戊與乙辛乙辛即與/丙庚度等之比又同於
乙丙與甲丙之比也此法蓋因遊表視
線俱在對角以外故甲壬垂線所成甲
壬乙甲壬丙兩勾股形同以甲壬為股
而矩度上所得之乙丁戊乙丁辛兩勾
股形乙丁辛即/丙己庚亦同以乙丁為股故即
[023-18b]
成兩兩同式形若遊表視線在對角以
内或一在對角之内一在對角之外所
得距矩度中心距分不同者則須取其
同距矩度中心距分之度以為比例如
後法
設如隔河一亭欲測其逺不能定直角爰取兩處俱
斜對亭横量三十丈測之問距亭之逺得幾何
法先平安矩度於一處隨定表横量三
十丈復安一矩度以先安矩度定表看
[023-18b]
後安矩度中心遊表看亭得距矩度中
[023-19a]
心距分二十七分其遊表之斜距分為
五十六分八釐有餘次以後安矩度看
先安矩度中心遊表看亭亦察距矩度
中心距分二十七分處得距中心距分
三十分其遊表之斜距分為四十分三
釐有餘乃以所得距中心距分三十分
與先安矩度中心平分距分五十分相
減餘二十分為一率先安矩度遊表斜
[023-19b]
距分五十六分八釐有餘為二率横量
三十丈為三率求得四率八十五丈二
尺有餘為先安矩度距亭之逺若以後
安矩度遊表斜距分四十分三釐有餘
為二率則得四率六十丈四尺五寸有
餘為後安矩度距亭之逺也如圖甲為
亭乙為先安矩度中心其丁戊為距矩
度中心距分二十七分乙戊為中心平
分距分五十分丁乙為遊表斜距分五
[023-19b]
十六分八釐有餘乙丙為横量三十丈
[023-20a]
丙為後安矩度中心其己庚亦為距矩
度中心距分二十七分丙庚為距中心
平分距分三十分己丙為遊表斜距分
四十分三釐有餘按丙庚三十分截乙
戊中心平分距分五十分於辛則乙辛
為減餘二十分又自丁至辛作丁辛線
與己丙等又將乙丙線引長於壬自甲
作甲壬垂線遂成甲壬丙甲壬乙兩勾
[023-20b]
股形其丁戊辛勾股形與己庚丙勾股
形同度俱與甲壬丙勾股形為同式形
而丁戊乙勾股形又與甲壬乙勾股形
為同式形故丁乙辛三角形與甲乙丙
三角形亦為同式形是以乙辛與丁乙
之比同於乙丙與甲乙之比又乙辛與
丁辛即己/丙之比同於乙丙與甲丙之比
也此法蓋因遊表視線俱在對角以内
故甲壬垂線所成甲壬乙甲壬丙兩勾
[023-20b]
股形同以甲壬為勾而兩矩度上亦取
[023-21a]
與丁戊相等之己庚為勾使成兩兩同
式形然後可以為比例也
設如有塔一座欲知其高用相等兩表測之問得高
幾何
法先立一表比人目高四尺看塔頂得
距分六尺又自前表向後量六丈復立
一表亦比人目高四尺看塔頂得距分
八尺乃以前距分六尺與後距分八尺
[023-21b]
相減餘二尺為一率表比人目高四尺
為二率向後量六丈為三率求得四率
十二丈加表比人目之高四尺共得十
二丈四尺即人目以上之高也若求前
表距塔頂下地平之逺則以兩距分相
減之較為一率前表距分六尺為二率
向後量之數為三率得四率十八丈為
前表距塔頂下地平之逺若求後表距
塔頂下地平之逺則以後表距分八尺
[023-21b]
為二率得四率二十四丈即後表距塔
[023-22a]
頂下地平之逺也如圖甲乙為塔之高
丙丁與戊己為兩表比人目之高四尺
丁目為前表距分六尺丁己為向後量
六丈己目為後表距分八尺試依前距
分丁目六尺度截後距分己目於庚則
庚目為減餘二尺乃自戊過丙至辛作
戊丙辛線又自戊至庚作戊庚線遂成
戊己庚勾股形與丙丁目勾股形同度
[023-22b]
俱與甲辛丙勾股形為同式形而戊己
目勾股形又與甲辛戊勾股形為同式
形且丙戊與庚目皆為兩勾股形之各
股之較故戊庚目三角形與甲丙戊三
角形又為同式形是以庚目與戊己之
比同於戊丙與甲辛之比又庚目與己
庚之比同於丙戊與辛丙之比庚目與
己目之比並同於丙戊與辛戊之比也
設如有樓一座欲知其高用不等兩表測之問得高
[023-22b]
幾何
[023-23a]
法先立長表比人目高六尺看樓脊得
距分五尺四寸又自先立長表向後量
二丈立短表比人目高四尺看樓脊得
距分六尺四寸乃以前表比人目之高
六尺為一率前表距分五尺四寸為二
率後表比人目之高四尺為三率求得
四率三尺六寸為前表與後表同高所
得之距分爰以所得之三尺六寸與後
[023-23b]
表距分六尺四寸相減餘二尺八寸為
一率後表比人目之高四尺為二率以
前表距分五尺四寸内減所得之三尺
六寸餘一尺八寸與兩表相距二丈相
減餘一丈八尺二寸為三率求得四率
二丈六尺加後表比人目之高四尺得
三丈即人目以上之高也如圖甲乙為
樓之高丙丁為前表比人目之高六尺
丁目為前表距分五尺四寸丁己為向
[023-23b]
後量二丈戊己為後表比人目之高四
[023-24a]
尺己目為後表距分六尺四寸試依後
表戊己度作庚辛垂線截丁目於辛則
辛目距分必小於丁目故丙丁與丁目
之比同於庚辛與辛目之比而得辛目
之分既得辛目則以辛目與己目相減
餘壬目即前後兩表同高所得距分之
較又於兩表相距丁己内減丁辛餘辛
己即同高兩表相距之分故壬目與戊
[023-24b]
己即庚/辛之比即同於戊庚即辛/己與甲癸
之比也
[023-25a]
三角度數測量度數測量必取資於儀器全圜/儀半圜儀象限儀雖為體不同
其為用則一以九十度為準以定表遊表/為二視線其相距之度即為所測之角
設如一塔不知其髙但知距塔之逺為三十丈欲測
其高幾何
法以儀器定凖墜線以定表看地平遊
表看塔尖得兩表相距二十四度乃以
二十四度與九十度相減餘六十六度
為對所知之角其正弦九萬一千三百
[023-25b]
五十五為一率儀器上二十四度為對
所求之角其正弦四萬零六百七十四
為二率距塔之逺三十丈為所知之邊
為三率求得四率十三丈三尺五寸七
分加儀器之高即所求之塔之高也如
圖甲乙為塔之高丙乙為距塔之逺儀
器中心為丁丁丙為儀器中心距地之
高丁戊為定表所對地平為庚丁己為
遊表看塔尖甲得兩表距弧二十四度
[023-25b]
為己戊其正弦為己辛其餘弦為壬己
[023-26a]
與丁辛等象限九十度内減二十四度
餘六十六度為癸己即甲角之正弧其
正弦即壬己是以與壬己相等之丁辛
與己辛之比同於丁庚與甲庚之比為
相當比例四率既得甲庚加同丁丙高
之庚乙得甲乙即塔之高也
又法以半徑十萬為一率二十四度之
切線四萬四千五百二十三為二率距
[023-26b]
塔之逺三十丈為三率求得四率十三
丈三尺五寸七分加儀器之高即塔之
高也如圖己戊弧為二十四度丁戊為
半徑壬戊為二十四度之正切故丁戊
與壬戊之比同於丁庚與甲庚之比為
相當比例四率也
設如一樹欲知其逺取一直角横量十五丈測之問
得幾何
法以儀器定遊表於九十度定表看樹
[023-26b]
對遊表立兩表竿取直橫量十五丈復
[023-27a]
安儀器於此以定表看原處遊表看樹
得兩表相距六十度乃以六十度與九
十度相減餘三十度為對所知之角其
正弦五萬為一率儀器上六十度為對
所求之角其正弦八萬六千六百零三
為二率横量十五丈為所知之邊為三
率求得四率二十五丈九尺八寸即所
測之樹之逺也如圖甲為樹甲乙為距
[023-27b]
樹之逺乙為所定直角丙乙為横量十
五丈丙為儀器中心丙丁為定表看原
處乙丙戊為遊表看甲得兩表距弧六
十度為戊丁其正弦為戊己餘弦為庚
戊與丙己等象限九十度内減六十度
餘三十度為辛戊即甲角之正弧其正
弦即庚戊是以與庚戊相等之丙己與
戊己之比同於丙乙與甲乙之比為相
當比例四率也
[023-27b]
又法以半徑十萬為一率丙角六十度
[023-28a]
之正切十七萬三千二百零五為二率
横量十五丈為三率求得四率二十五
丈九尺八寸即所測之樹之逺也若求
甲丙斜距則以半徑十萬為一率丙角
六十度之正割二十萬為二率横量十
五丈為三率求得四率三十丈即甲丙
斜距之逺也如圖戊丁弧為六十度丙
丁為半徑己丁為六十度之正切己丙
[023-28b]
為六十度之正割故丙丁與己丁之比
同於丙乙與甲乙之比又丙丁與己丙
之比同於丙乙與甲丙之比俱各為相
當比例四率也
設如一山欲知其高用重測之法測之退步十丈問
山之高得幾何
法先安儀器定準墜線以定表看地平
遊表看山頂得兩表相距五十度又退
行十丈復安儀器定準墜線以定表仍
[023-28b]
看前儀器定表所看地平原處仍以遊
[023-29a]
表看山頂得兩表相距四十度乃以前
儀器所得五十度内減後儀器所得四
十度餘十度為對所知之角其正弦一
萬七千三百六十五為一率後儀器所
得四十度為對所求之角其正弦六萬
四千二百七十九為二率退行十丈為
所知之邊為三率求得四率三十七丈
零一寸為前儀器中心至山頂之斜距
[023-29b]
次以山頂垂線與地平所成直角為對
所知之角其正弦即半徑十萬為一率
前儀器所得五十度為對所求之角其
正弦七萬六千六百零四為二率前儀
器中心至山頂之斜距三十七丈零一
寸為所知之邊為三率求得四率二十
八丈三尺五寸即所測之山之高也如
圖甲乙為山之高丙丁為退行十丈前
測得丙角五十度後測得丁角四十度
[023-29b]
而丙角為甲丙丁三角形之外角與丁
[023-30a]
甲二内角相併之度等解見三角形邊/線角度相求巻
中/故丙角五十度内減丁角四十度餘
十度即甲丙丁三角形之甲角故先用
甲丙丁鈍角三角形求甲丙邊既得甲
丙邊然後用甲乙丙直角三角形求甲
乙邊為山之高也
又法以前測所得五十度之餘切八萬
三千九百一十與後測所得四十度之
[023-30b]
餘切十一萬九千一百七十五相減餘
三萬五千二百六十五為一率半徑十
萬為二率退行十丈為三率求得四率
二十八丈三尺五寸即所求之山之高
也如圖戊己為丙角之餘切即丙甲乙
角之正切與壬癸等庚辛為丁角之餘
切即丁甲乙角之正切與子癸等子壬
即兩餘切之較甲癸與戊丙及庚丁俱
同為半徑甲癸壬三角形與甲乙丙三
[023-30b]
角形為同式形而甲癸子三角形與甲
[023-31a]
乙丁三角形為同式形故甲壬子三角
形與甲丙丁三角形亦為同式形是以
子壬與甲癸之比同於丁丙與甲乙之
比而為相當比例四率也
設如人在山上欲測山之高但知山前有二樹與山
參直二樹相距十八丈問山之高得幾何
法於山頂安儀器定準墜線以定表向
空中取一平線先以遊表看逺樹得遊
[023-31b]
表距垂線四十九度次以遊表看近樹
得遊表距垂線三十八度乃以所得兩
數相減餘十一度為對所知之角其正
弦一萬九千零八十一為一率以看逺
樹所得之四十九度與九十度相減餘
四十一度為對所求之角其正弦六萬
五千六百零六為二率二樹相距十八
丈為三率求得四率六十一丈八尺九
寸為近樹距山頂之斜距次以山頂垂
[023-31b]
線與地平所成直角為對所知之角其
[023-32a]
正弦即半徑十萬為一率以看近樹所
得之三十八度與九十度相減餘五十
二度為對所求之角其正弦七萬八千
八百零一為二率近樹距山頂之斜距
六十一丈八尺九寸為所知之邊為三
率求得四率四十八丈七尺七寸即所
測之山之高也如圖甲乙為兩樹相距
十八丈丙丁為山之高甲丙丁角為看
[023-32b]
逺樹所得之四十九度乙丙丁角為看
近樹所得之三十八度兩數相減餘十
一度為甲丙乙角甲丙丁角四十九度
與九十度相減所餘之四十一度為甲
角乙丙丁角三十八度與九十度相減
所餘之五十二度為乙角先用甲乙丙
鈍角三角形求丙乙邊既得丙乙邊然
後用乙丙丁直角三角形求丙丁邊為
山之高也
[023-32b]
又法以先看逺樹所得四十九度之正
[023-33a]
切十一萬五千零三十七與後看近樹
所得三十八度之正切七萬八千一百
二十九相減餘三萬六千九百零八為
一率半徑十萬為二率二樹相距之十
八丈為三率求得四率四十八丈七尺
七寸即山之高也如圖戊己為甲丙丁
角之正切庚己為乙丙丁角之正切戊
庚即兩正切之較丙己為半徑故戊庚
[023-33b]
與丙己之比同於甲乙與丙丁之比而
為相當比例四率也
設如一石欲知其逺不取直角於左右兩處横量五
十丈測之問兩處各距石幾何
法先平安儀器於左以定表看右儀器
之中心遊表看石得兩表相距七十度
次平安儀器於右以定表看左儀器之
中心遊表看石得兩表相距六十度乃
以兩角度相併得一百三十度與一百
[023-33b]
八十度相減餘五十度為對所知之角
[023-34a]
其正弦七萬六千六百零四為一率求
右邊則以左邊儀器所得七十度為對
所求之角其正弦九萬三千九百六十
九為二率左右相距五十丈為所知之
邊為三率求得四率六十一丈三尺三
寸為右邊距石之逺若求左邊距石之
逺則以右邊儀器所得六十度為對所
求之角其正弦八萬六千六百零三為
[023-34b]
二率左右相距五十丈為所知之邊為
三率求得四率五十六丈五尺三寸為
左邊距石之逺也如圖甲為石乙丙為
左右相距五十丈乙角為左邊所測七
十度丙角為右邊所測六十度兩角相
併與一百八十度相減得甲角五十度
共為甲乙丙銳角三角形蓋知乙丙二
角及乙丙邊而求甲乙邊及甲丙邊也
又法以左邊儀器所得七十度之餘切
[023-34b]
三萬六千三百九十七與右邊儀器所
[023-35a]
得六十度之餘切五萬七千七百三十
五相併得九萬四千一百三十二為一
率右邊儀器所得六十度之餘割十一
萬五千四百三十為二率左右相距五
十丈為三率求得四率六十一丈三尺
三寸為右邊距石之逺若求左邉距石
之逺則以左邊儀器所得七十度之餘
割十萬六千四百一十八為二率左右
[023-35b]
相距五十丈為三率求得四率五十六
丈五尺三寸為左邊距石之逺也如圖
甲為石乙丙為左右相距五十丈乙角
為左邊所測七十度丙角為右邊所測
六十度試自甲至乙丙線上作甲丁垂
線分為甲丁乙甲丁丙兩直角形戊己
為丙角之餘切即丁甲丙角之正切與
壬癸等己丙為丙角之餘割即丁甲丙
角之正割與甲癸等庚辛為乙角之餘
[023-35b]
切即丁甲乙角之正切與壬子等庚乙
[023-36a]
為乙角之餘割即丁甲乙角之正割與
甲子等而癸子即兩餘切之和甲壬癸
與甲丁丙為同式形甲壬子與甲丁乙
為同式形故甲子癸與甲乙丙亦為同
式形是以癸子與甲癸之比同於丙乙
與甲丙之比又癸子與甲子之比同於
丙乙與甲乙之比皆為相當比例四率
也
[023-36b]
設如隔河一樹欲知其逺不能定直角爰取兩處俱
斜對樹横量十二丈測之問離樹之逺得幾何
法平安儀器於一處隨定表横量十二
丈復安一儀器若止用一儀器則/記凖一處亦可以先
安儀器定表看後安儀器中心遊表看
樹得兩表相距一百一十度次以後安
儀器定表看先安儀器中心遊表看樹
得兩表相距四十度乃以兩角度相併
得一百五十度與一百八十度相減餘
[023-36b]
三十度為對所知之角其正弦五萬為
[023-37a]
一率後安儀器所得四十度為對所求
之角其正弦六萬四千二百七十九為
二率横量十二丈為所知之邊為三率
求得四率十五丈四尺二寸七分即所
測之樹之逺也如圖甲為樹甲乙為離
樹之逺乙丙為横量十二丈乙角為一
百一十度丙角為四十度兩角相併與
一百八十度相減得甲角三十度共為
[023-37b]
甲乙丙鈍角三角形蓋知乙丙二角及
乙丙邊而求甲乙邊也
又法以先安儀器所得之外角七十度
之餘切三萬六千三百九十七與後安
儀器所得四十度之餘切十一萬九千
一百七十五相減餘八萬二千七百七
十八為一率先安儀器所得之外角七
十度之餘割十萬六千四百一十八為
二率横量十二丈為三率求得四率十
[023-37b]
五丈四尺二寸七分即所測之樹之逺
[023-38a]
也如圖甲為樹甲乙為離樹之逺乙丙
為横量十二丈乙角為先安儀器所得
一百一十度丙角為後安儀器所得四
十度試將乙丙線引長自甲角作甲丁
垂線遂成甲丁乙直角三角形而甲乙
丁角即乙角之外角戊己為乙外角之
餘切即乙甲丁角之正切與壬癸等己
乙為乙外角之餘割即乙甲丁角之正
[023-38b]
割與甲壬等庚辛為丙角之餘切即丙
甲丁角之正切與子癸等子壬即兩餘
切之較甲癸壬三角形與甲丁乙三角
形為同式形甲癸子三角形與甲丁丙
三角形為同式形故甲壬子三角形與
甲乙丙三角形亦為同式形是以子壬
與甲壬之比同於丙乙與甲乙之比而
為相當比例四率也
設如逺望一山欲知其高不得退步爰取左右兩處
[023-38b]
横量一百丈先求斜距測之問山之高得幾何
[023-39a]
法以儀器斜對山頂隨定表横量一百
丈任記一處遊表看山頂得兩表相距
八十六度五十三分又隨定表横量一
百丈所記之處復安儀器斜對山頂以
定表看原處遊表看山頂得兩表相距
七十八度零七分乃以兩角度相併得
一百六十五度與一百八十度相減餘
一十五度為對所知之角其正弦二萬
[023-39b]
五千八百八十二為一率後測所得七
十八度零七分為對所求之角其正弦
九萬七千八百五十七為二率横量一
百丈為所知之邊為三率求得四率三
百七十八丈零九寸為先安儀器至山
頂之斜距次以儀器安於原處定凖墜
線定表看地平遊表看山頂得兩表相
距五十一度乃以山頂垂線與地平所
成直角為對所知之角其正弦即半徑
[023-39b]
十萬為一率儀器所得五十一度為對
[023-40a]
所求之角其正弦七萬七千七百一十
五為二率儀器至山頂之斜距三百七
十八丈零九寸為所知之邊為三率求
得四率二百九十三丈八尺三寸即所
測之山之高也如圖甲為山頂甲乙為
先安儀器至山頂之斜距乙丙為横量
一百丈甲丙為後安儀器至山頂之斜
距乙角為八十六度五十三分丙角為
[023-40b]
七十八度零七分兩角相併與一百八
十度相減得甲角一十五度遂成甲乙
丙鋭角三角形今有乙丙二角與乙丙
邊求甲乙邊即先安儀器至山頂之斜
距又甲丁為山之高甲乙為儀器至山
頂之斜距丁角即山頂垂線與地平所
成直角乙角為五十一度復成甲丁乙
直角三角形今有乙丁二角與甲乙邊
求甲丁邊即山之高也
[023-40b]
設如人在山坡測山之高前後不得地平爰取斜坡
[023-41a]
前後兩處相距一百丈測之問山之高得幾何
法於山坡先安儀器定準墜線以定表
空取一地平以遊表看山頂得兩表相
距四十度於是向後就斜坡直量一百
丈復安儀器定準墜線以定表空取一
地平以遊表看山頂得兩表相距三十
五度又以遊表看前儀器中心得兩表
相距十三度乃以前儀器所得四十度
[023-41b]
内減後儀器所得三十五度餘五度為
對所知之角其正弦八千七百一十六
為一率以前儀器所得四十度内減後
儀器看前儀器中心所得十三度餘二
十七度為對所求之外角其正弦四萬
五千三百九十九為二率退量一百丈
為所知之邊為三率求得四率五百二
十丈八尺七寸為山頂至後儀器之斜
距次以山頂垂線與地平所成直角為
[023-41b]
對所知之角其正弦即半徑十萬為一
[023-42a]
率後儀器所得三十五度為對所求之
角其正弦五萬七千三百五十八為二
率山頂至後儀器之斜距五百二十丈
八尺七寸為所知之邊為三率求得四
率二百九十八丈七尺六寸即所測之
山之高也如圖甲乙為山之高丙丁為
山坡斜距一百丈甲丙戊角為前儀器
所得四十度甲丁乙角為後儀器所得
[023-42b]
三十五度丙丁乙角為後儀器看前儀
器中心所得十三度若將戊丙線引長
至己則甲己戊角與甲丁乙角為二平
行線之内外角其度必等故於甲丙戊
角四十度内減甲丁乙角三十五度餘
五度為丁甲丙角此即前題退/步兩測之理又試將
丁丙線引長至庚則庚丙戊角與丙丁
乙角亦為二平行線之内外角其度亦
等故於甲丙戊角四十度内減與庚丙
[023-42b]
戊角相等之丙丁乙角十三度餘甲丙
[023-43a]
庚角二十七度為甲丙丁鈍角之外角
故先用甲丙丁鈍角三角形求甲丁邊
為後儀器至山頂之斜距次用甲乙丁
直角三角形求甲乙邊為山之高也
設如東西二樹欲知其相距之逺測處距西樹五十
丈距東樹七十丈問二樹相距幾何
法以儀器定表看東樹遊表看西樹得
兩表相距五十度乃以距西樹五十丈
[023-43b]
與距東樹七十丈相加得一百二十丈
為一率又以五十丈與七十丈相減餘
二十丈為二率兩表相距五十度與一
百八十度相減餘一百三十度為外角
折半得六十五度為半外角其正切二
十一萬四千四百五十一為三率求得
四率三萬五千七百四十二為半較角
之正切檢表得十九度四十分與半外
角六十五度相減餘四十五度二十分
[023-43b]
為小角與半外角六十五度相加得八
[023-44a]
十四度四十分為大角既得二角則以
小角四十五度二十分為對所知之角
其正弦七萬一千一百二十一為一率
兩表相距五十度為對所求之角其正
弦七萬六千六百零四為二率距西樹
之逺為所知之邊其數五十丈為三率
求得四率五十三丈八尺五寸即東西
二樹相距之逺也如圖甲為西樹乙為
[023-44b]
東樹丙為儀器中心甲丙為距西樹五
十丈乙丙為距東樹七十丈丙角為兩
表視線相距五十度今以丙角為心甲
丙小邊為半徑作一甲丁戊圜截乙丙
大邊於戊將乙丙引長至圜界丁則丙
戊丙丁俱為半徑與甲丙等自丁至乙
即兩邊之和自戊至乙即兩邊之較試
自甲至戊作甲戊線則成丙甲戊三角
形其丙甲戊與丙戊甲二角併之與甲
[023-44b]
丙丁外角度等今折半用其正切即如
[023-45a]
用丁戊甲角之正切故自甲至丁作甲
丁線即丁戊甲角之正切又戊甲乙角
即甲角大於丙甲戊角之較亦即乙角
小於丙戊甲角之較故自圜界戊至甲
乙邊作己戊線與甲丁平行即戊甲乙
角之正切且乙甲丁與乙己戊為同式
形故兩邊之和乙丁與丁戊甲半外角
切線甲丁之比即同於兩邊之較乙戊
[023-45b]
與半較角切線己戊之比為相當比例
四率也
又法以半徑十萬為一率兩表相距五
十度之正弦七萬六千六百零四為二
率距西樹之逺五十丈為三率求得四
率三十八丈三尺為西樹至看東樹視
線上之垂線又以半徑十萬為一率兩
表相距五十度之餘弦六萬四千二百
七十九為二率距西樹之逺五十丈為
[023-45b]
三率求得四率三十二丈一尺四寸為
[023-46a]
西樹至看東樹視線上垂線所分之小
段分邊線將此數與距東樹之逺七十
丈相減餘三十七丈八尺六寸亦為西
樹至看東樹視線上垂線所分之大段
分邊線爰以此線為勾所得垂線為股
求得弦五十三丈八尺五寸即東西二
樹相距之逺也如圖甲乙丙三角形甲
為西樹乙為東樹丙為儀器中心甲丙
[023-46b]
為距西樹五十丈乙丙為距東樹七十
丈試自甲角至乙丙視線上作甲丁垂
線遂分甲乙丙三角形為甲丁乙甲丁
丙兩直角三角形先求得甲丁垂線為
股次求得丁丙小段分邊線與乙丙相
減餘乙丁大段分邊線為勾求得甲乙
弦即二樹相距之逺也
又法以距西樹之逺五十丈為一率距
東樹之逺七十丈為二率兩表相距五
[023-46b]
十度之餘割一十三萬零五百四十一
[023-47a]
為三率求得四率一十八萬二千七百
五十七為西樹至看東樹視線上垂線
所分兩分角之兩正切之和内減兩表
相距五十度之餘切八萬三千九百一
十餘九萬八千八百四十七為對西樹
視線之對邊角之餘切檢表得四十五
度二十分即對西樹視線之對邊角乃
以此角度為對所知之角其正弦七萬
[023-47b]
一千一百二十一為一率兩表相距五
十度為對所求之角其正弦七萬六千
六百零四為二率距西樹之逺為所知
之邊其數五十丈為三率求得四率五
十三丈八尺五寸即東西二樹相距之
逺也如圖甲乙丙三角形甲為西樹乙
為東樹丙為儀器中心甲丙為距西樹
五十丈乙丙為距東樹七十丈丙角為
兩表視線相距五十度試自甲角至乙
[023-47b]
丙視線上作甲丁垂線遂分甲乙丙三
[023-48a]
角形為甲丁乙甲丁丙兩直角三角形
以甲角為心作一戊己庚半圜則甲丁
垂線平分於己兩邊各成一象限又與
乙丙平行作一辛壬線則辛己一段為
乙甲丁分角之正切即乙角之餘切己
壬一段為丙甲丁分角之正切即丙角
之餘切而甲壬為丙甲丁分角之正割
亦即丙角之餘割甲辛壬與甲乙丙兩
[023-48b]
三角形為同式形故甲丙邊與乙丙邊
之比同於丙角餘割甲壬即丙甲丁分/角之正割
與丙甲丁乙甲丁兩分角之正切相合
之辛壬之比為相當比例四率既得辛
壬兩分角之共切内減去丙甲丁分角
之正切己壬即丙角/之餘切所餘辛己為乙甲
丁分角之正切即為乙角之餘切檢表
即得乙角既得乙角則用兩角一邊比
例求之而得甲乙邊矣
[023-48b]
設如南北二橋欲知其相距之逺測處距南橋九十
[023-49a]
丈距北橋一百二十丈問二橋相距幾何
法以儀器定表看北橋遊表看南橋得
兩表相距一百二十度乃以距南橋九
十丈與距北橋一百二十丈相加得二
百一十丈為一率又以九十丈與一百
二十丈相減餘三十丈為二率兩表相
距一百二十度與一百八十度相減餘
六十度為外角折半得三十度為半外
[023-49b]
角其正切五萬七千七百三十五為三
率求得四率八千二百四十八為半較
角之正切檢表得四度四十三分與半
外角三十度相減餘二十五度一十七
分為小角與半外角三十度相加得三
十四度四十三分為大角既得二角則
以小角二十五度十七分為對所知之
角其正弦四萬二千七百零九為一率
兩表相距一百二十度為對所求之角
[023-49b]
其外角六十度之正弦八萬六千六百
[023-50a]
零三為二率距南橋之逺為所知之邊
其數九十丈為三率求得四率一百八
十二丈四尺九寸為南北二橋相距之
逺也如圖甲為南橋乙為北橋丙為儀
器中心甲丙為距南橋九十丈乙丙為
距北橋一百二十丈丙角為兩表視線
相距一百二十度今以丙角為心甲丙
小邊為半徑作一甲丁戊圜截乙丙大
[023-50b]
邊於戊將乙丙引長至圜界丁則乙丁
為兩邊之和乙戊為兩邊之較試自甲
至戊作甲戊線成甲丙戊三角形其丙
甲戊與丙戊甲二角併之與甲丙丁外
角度等今折半用其正切即如用丁戊
甲角之正切故自甲至丁作甲丁線即
丁戊甲角之正切又戊甲乙角即甲角
大於丙甲戊角之較亦即乙角小於丙
戊甲角之較故自圜界戊至甲乙邊作
[023-50b]
己戊線與甲丁平行即戊甲乙角之正
[023-51a]
切且乙甲丁與乙己戊為同式形故兩
邊之和乙丁與丁戊甲半外角切線甲
丁之比即同於兩邊之較乙戊與半較
角切線己戊之比為相當比例四率也
又法以半徑十萬為一率兩表相距一
百二十度之外角六十度之正弦八萬
六千六百零三為二率距南橋之逺九
十丈為三率求得四率七十七丈九尺
[023-51b]
四寸為南橋至看北橋視線引長虚邊
線上之垂線又以半徑十萬為一率兩
表相距一百二十度之外角六十度之
餘弦五萬為二率距南橋之逺五十丈
為三率求得四率四十五丈為南橋至
看北橋視線引長所成直角之虚邊線
與距北橋一百二十丈相加得一百六
十五丈為南橋至看北橋視線引長之
總邊線爰以此線為股所得南橋至虚
[023-51b]
邊之垂線為勾求得弦一百八十二丈
[023-52a]
四尺八寸即南北二橋相距之逺也如
圖甲乙丙三角形甲為南橋乙為北橋
丙為儀器中心甲丙為距南橋九十丈
乙丙為距北橋一百二十丈試將乙丙
線引長自甲角作甲丁垂線遂成甲丁
丙甲丁乙兩直角三角形先求得甲丁
垂線為勾次求得丙丁虚邊線與乙丙
相加得乙丁總邊線為股求得甲乙弦
[023-52b]
即二橋相距之逺也
又法以距南橋之逺九十丈為一率距
北橋之逺一百二十丈為二率兩表相
距一百二十度之外角六十度之餘割
一十一萬五千四百七十為三率求得
四率一十五萬三千九百六十為南橋
至看北橋視線引長虚邊線上之垂線
所成兩分角之正切之較與兩表相距
一百二十度之外角六十度之餘切五
[023-52b]
萬七十七百三十五相加得二十一萬
[023-53a]
一千六百九十五為對南橋視線之對
邊角之餘切檢表得二十五度十七分
即對南橋視線之對邊角乃以此角度
為對所知之角其正弦四萬二千七百
零九為一率兩表相距一百二十度為
對所求之角其外角六十度之正弦八
萬六千六百零三為二率距南橋之逺
為所知之邊其數九十丈為三率求得
[023-53b]
四率一百八十二丈四尺九寸即南北
二橋相距之逺也如圖甲乙丙三角形
甲為南橋乙為北橋丙為儀器中心甲
丙為距南橋九十丈乙丙為距北橋一
百二十丈丙角為兩表視線相距一百
二十度試將乙丙邊引長自甲角作甲
丁垂線遂成甲丁丙甲丁乙兩直角三
角形甲丁丙三角形之丙角即甲乙丙
三角形之丙角之外角其餘切戊己即
[023-53b]
甲丁丙三角/形之甲角之正切如度辛
[023-54a]
丙外角之餘割己丙即甲丁丙三角形
之甲角之正割如甲庚而甲乙丙三角
形之乙角之餘切壬癸即甲丁乙三角
形之甲角之正切如子辛若甲丁乙三
角形之乙角餘切與甲丁丙三角形之
丙角餘切相減即兩甲角相差之較如
子庚甲辛庚三角形與甲丁丙三角形
為同式形甲辛子三角形與甲丁乙三
[023-54b]
角形為同式形故甲子庚三角形與甲
乙丙三角形亦為同式形是以甲丙邊
與乙丙邊之比同於丙外角餘割甲庚
即己/丙與兩餘切之較子庚之比為相當
比例四率既得子庚兩餘切之較與丙
外角之餘切庚辛即戊/己相加得子辛即
乙角之餘切撿表得乙角既得乙角則
用兩角一邊比例求之而得甲乙邊矣
設如隔河東西二樹欲知其相距之逺爰對一樹取
[023-54b]
一直角左右横量十三丈測之問二樹相距幾何
[023-55a]
法先對西樹安儀器於右定遊表於九
十度以定表看西樹隨遊表横量十三
丈乃以遊表看東樹得西樹視線距横
量邊線九十度東樹視線距横量邊線
三十八度西樹東樹兩視線相距為五
十二度次於直角横量十三丈處安儀
器於左以定表看右儀器中心遊表看
東樹得東樹視線距横量邊線一百一
[023-55b]
十度復以遊表看西樹得西樹視線距
横量邊線四十五度乃先求右儀器距
西樹之逺以左儀器看西樹距横量邊
線之四十五度與九十度相減餘四十
五度為對所知之角其正弦七萬零七
百一十一為一率以左儀器看西樹距
横量邊線之四十五度為對所求之角
其正弦七萬零七百一十一為二率左
右横量十三丈為所知之邊為三率求
[023-55b]
得四率十三丈為右儀器距西樹之逺
[023-56a]
次求右儀器距東樹之逺以右儀器看
東樹距横量邊線三十八度與左儀器
看東樹距横量邊線一百一十度相併
得一百四十八度與一百八十度相減
餘三十二度為對所知之角其正弦五
萬二千九百九十二為一率以左儀器
看東樹距横量邊線一百一十度為對
所求之角其外角七十度之正弦九萬
[023-56b]
三千九百六十九為二率左右横量十
三丈為所知之邊為三率求得四率二
十三丈零五寸為右儀器距東樹之逺
末求東西二樹相距之逺以右儀器距
西樹十三丈與右儀器距東樹二十三
丈零五寸相加得三十六丈零五寸為
一率又以十三丈與二十三丈零五寸
相減餘十丈零五寸為二率以右儀器
看西樹東樹兩表相距五十二度與一
[023-56b]
百八十度相減餘一百二十八度為外
[023-57a]
角折半得六十四度為半外角其正切
二十萬零五千零三十為三率求得四
率五萬七千一百五十八為半較角之
正切撿表得二十九度四十五分與半
外角六十四度相減餘三十四度十五
分為小角以半較角二十九度四十五
分與半外角六十四度相加得九十三
度四十五分為大角乃以小角三十四
[023-57b]
度十五分為對所知之角其正弦五萬
六千二百八十為一率看西樹東樹兩
表相距之五十二度為對所求之角其
正弦七萬八千八百零一為二率右儀
器距西樹之逺十三丈為所知之邊為
三率求得四率十八丈二尺為東西二
樹相距之逺也如圖甲為西樹乙為東
樹丙為右儀器中心丁為左儀器中心
丙丁為兩測之距十三丈甲丙丁角為
[023-57b]
直角九十度甲丙乙角為右儀器看東
[023-58a]
樹西樹兩表相距之五十二度乙丙丁
角為右儀器看東樹視線距横量邊線
三十八度乙丁丙角為左儀器看東樹
視線距横量邊線一百一十度甲丁丙
角為左儀器看西樹距横量邊線四十
五度先以甲丁丙角四十五度與九十
度相減餘四十五度為丁甲丙角遂成
甲丙丁三角形求甲丙邊為右儀器距
[023-58b]
西樹之逺次以乙丙丁角三十八度與
乙丁丙角一百一十度併之與一百八
十度相減餘三十二度為丙乙丁角遂
成乙丙丁三角形求乙丙邊為右儀器
距東樹之逺末以甲乙丙三角形之甲
丙乙丙二邊甲丙乙一角求乙甲丙大
角九十三度四十五分甲乙丙小角三
十四度十五分而得甲乙邊為東西二
樹相距之逺也
[023-58b]
設如南北二峯欲知其相距之逺不取直角於左右
[023-59a]
兩處横量一百丈測之問二峯相距幾何
法安儀器於右隨定表向左横量一百
丈乃以遊表看南峯得南峯視線距横
量邊線一百零七度復以遊表看北峯
得北峯視線距横量邊線四十六度南
峯北峯兩視線相距為六十一度次於
横量一百丈處安儀器於左以定表看
右儀器中心遊表看北峯得北峯視線
[023-59b]
距横量邊線九十九度復以遊表看南
峯得南峯視線距横量邊線五十度北
峯南峯兩視線相距為四十九度乃先
求左儀器距北峯之逺以右儀器看北
峯距横量邊線之四十六度與左儀器
看北峯距横量邊線之九十九度相倂
得一百四十五度與一百八十度相減
餘三十五度為對所知之角其正弦五
萬七千三百五十八為一率以右儀器
[023-59b]
看北峯距横量邊線之四十六度為對
[023-60a]
所求之角其正弦七萬一千九百三十
四為二率横量一百丈為所知之邊為
三率求得四率一百二十五丈四尺一
寸為左儀器距北峯之逺次求左儀器
距南峯之逺以左儀器看南峯距横量
邊線之五十度與右儀器看南峯距横
量邊線之一百零七度相併得一百五
十七度與一百八十度相減餘二十三
[023-60b]
度為對所知之角其正弦三萬九千零
七十三為一率右儀器看南峯距横量
邊線一百零七度為對所求之角其外
角七十三度之正弦九萬五千六百三
十為二率横量一百丈為所知之邊為
三率求得四率二百四十四丈七尺四
寸為左儀器距南峯之逺末求南北二
峯相距之逺以左儀器距北峯一百二
十五丈四尺一寸與左儀器距南峯二
[023-60b]
百四十四丈七尺四寸相加得三百七
[023-61a]
十丈一尺五寸為一率又以一百二十
五丈四尺一寸與二百四十四丈七尺
四寸相減餘一百一十九丈三尺三寸
為二率以左儀器看南峯北峯兩視線
相距四十九度與一百八十度相減餘
一百三十一度為外角折半得六十五
度三十分為半外角其正切二十一萬
九千四百三十為三率求得四率七萬
[023-61b]
零七百四十為半較角之正切查表得
三十五度十六分與半外角六十五度
三十分相減餘三十度十四分為小角
與半外角六十五度三十分相加得一
百度四十六分為大角乃以小角三十
度十四分為對所知之角其正弦五萬
零三百五十二為一率左儀器看南峯
北峯兩視線相距之四十九度為對所
求之角其正弦七萬五千四百七十一
[023-61b]
為二率左儀器距北峯之逺一百二十
[023-62a]
五丈四尺一寸為所知之邊為三率求
得四率一百八十七丈九尺七寸為南
北二峯相距之逺也又法求自北峯至
左儀器距南峯視線上之垂線作勾股
法算之則以垂線所分直角為對所知
之角其正弦即半徑十萬為一率左儀
器看南峯北峯兩視線相距之四十九
度為對所求之角其正弦七萬五千四
[023-62b]
百七十一為二率左儀器距北峯之逺
為所知之邊其數一百二十五丈四尺
一寸為三率求得四率九十四丈六尺
四寸為自北峯至左儀器距南峯視線
上之垂線次求左儀器至垂線末之分
邊線仍以垂線所分直角為對所知之
角其正弦即半徑十萬為一率以左儀
器看南峯北峯兩視線相距之四十九
度與九十度相減餘四十一度為對所
[023-62b]
求之角其正弦六萬五千六百零六為
[023-63a]
二率即四十九/度之餘弦左儀器距北峯之逺為
所知之邊其數一百二十五丈四尺一
寸為三率求得四率八十二丈二尺七
寸為自左儀器至垂線末之分邊線與
左儀器距南峯之二百四十四丈七尺
四寸相減餘一百六十二丈四尺七寸
為南峯距垂線末之分邊線乃以此數
為股所得垂線九十四丈六尺四寸為
[023-63b]
勾求得弦一百八十八丈零二寸即南
北二峯相距之逺也如圖甲為南峯乙
為北峯丙為右儀器中心丁為左儀器
中心丙丁為兩測之距一百丈甲丙丁
角為右儀器看南峯視線距横量邊線
一百零七度乙丙丁角為右儀器看北
峯視線距横量邊線四十六度乙丁丙
角為左儀器看北峯視線距横量邊線
九十九度甲丁丙角為左儀器看南峯
[023-63b]
視線距横量邊線五十度甲丁乙角為
[023-64a]
左儀器看南峯北峯兩表相距之四十
九度先以乙丙丁角四十六度與乙丁
丙角九十九度併之與一百八十度相
減餘三十五度為丁乙丙角遂成乙丁
丙三角形而求乙丁邊為左儀器距北
峯之逺次以甲丁丙角五十度與甲丙
丁角一百零七度併之與一百八十度
相減餘二十三度為丁甲丙角遂成甲
[023-64b]
丙丁三角形而求甲丁邊為左儀器距
南峯之逺末以甲乙丁三角形之甲丁
乙丁二邊甲丁乙一角求甲乙丁大角
一百度四十六分乙甲丁小角三十度
十四分而得甲乙邊為南北二峯相距
之逺也又或求得乙戊垂線又求得丁
戊為左儀器至垂線末之分邊線則以
丁戊與甲丁相減餘甲戊為股乙戊垂
線為勾而得甲乙弦為南北二峯相距
[023-64b]
之逺也
[023-65a]
[023-65b]
御製數理精藴下編卷十八
