[045-1a] 
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷四十
末部十
比例規解分圓線/假數尺 正弦線數尺正切線線假正割線割盡日晷法/正弦假 切 數尺 線假數尺
[045-2a]
分圓線即圓内之/通弦線
自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲
丙二線依幾何原本十二卷二十節之
法分之即為分圓線也或用八線表三
十分之正弦倍之即一度之通弦一度
之正弦倍之即二度之通弦一度三十
分之正弦倍之即三度之通弦至於九
十度之正弦倍之即一百八十度之通
[045-2b]
弦以所得通弦之數於分釐尺上取其
度按度截比例尺之甲乙甲丙二線即
成分圓線也
設如甲乙半徑六寸丙乙弧二十九度問丙乙通弦
幾何
法以比例尺分圓線六十度之兩㸃依
半徑六寸之度展開勿令移動次取分
圓線二十九度兩㸃相距之度於分釐
尺上量之得三寸即丙乙通弦之數也
[045-2b]
葢圓之半徑與六十度之通弦等六十
[045-3a]
度之通弦既為六寸則二十九度相距
之三寸即為二十九度之通弦可知矣
設如甲乙半徑六寸丙乙通弦三寸問丙乙弧度幾
何
法以比例尺分圓線六十度之兩㸃依
半徑六寸之度展開勿令移動次取通
弦三寸之度於分圓線上尋至二十九
度之兩㸃其相距之度恰合即丙乙弧
[045-3b]
為二十九度也葢圓之半徑與六十度
之通弦等通弦六寸相當之度為六十
度則丙乙通弦三寸相當之二十九度
即為丙乙弧之度可知矣
設如丙乙弧三十一度丙乙通弦一寸零三釐問甲
乙半徑幾何
法以比例尺分圓線三十一度之兩㸃
依通弦一寸零三釐之度展開勿令移
動次取六十度兩㸃相距之度於分釐
[045-3b]
尺上量之得二寸即甲乙半徑也葢六
[045-4a]
十度之通弦與圓之半徑等三十一度
之通弦為一寸零三釐則六十度之通
弦二寸即為圓之半徑可知矣
設如圓徑六寸内容五等邊形問每一邊幾何
法以比例尺分圓線六十度之兩㸃依
半徑三寸之度展開勿令移動次以圓
周三百六十度用五歸之得七十二度
即五等邊形每邊相當之弧乃取分圓
[045-4b]
線七十二度兩㸃相距之度於分釐尺
上量之得三寸五分有餘即圓内五等
邊形之一邊也葢圓内容五邊形之每
一邊即七十二度之通弦而半徑又即
六十度之通弦六十度之通弦為三寸
則七十二度之通弦三寸五分有餘即
為圓内容五等邊形之一邊可知矣
設如有甲乙丙三角形問乙角之度幾何
法以乙角為心任以一處為界作丁戊
[045-4b]
弧則乙丁乙戊皆為圓之半徑丁己戊
[045-5a]
爲乙角之通弦乃以比例尺分圓線六
十度之兩㸃依乙丁半徑之度展開勿
令移動次取丁己戊通弦之度於分圓
線上尋至三十度之兩㸃其相距之度
恰合即乙角為三十度也
[045-6a]
正弦線
自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲
丙二線用八線表正弦線自一度至九
十度之數自八十度至九十度正弦每/度之較甚㣲若尺小不能分
或隔一度而作一㸃/或隔五度而作一㸃於分釐尺上取其
度按度截比例尺之甲乙甲丙二線即
成正弦線也
設如甲乙半徑六寸丙乙弧二十一度問丙丁正弦
[045-6b]
幾何
法以比例尺正弦線九十度之兩㸃依
半徑六寸之度展開勿令移動次取正
弦線二十一度兩㸃相距之度於分釐
尺上量之得二寸一分五釐即丙丁正
弦之數也葢圓之半徑與九十度之正
弦等九十度之正弦既為六寸則二十
一度相距之二寸一分五釐即為二十
一度之正弦可知矣若用分圓線則以
[045-6b]
分圓線六十度之兩㸃依半徑六寸之
[045-7a]
度展開勿令移動次以丙乙弧二十一
度倍之得四十二度即取分圓線四十
二度兩㸃相距之度於分釐尺上量之
得四寸三分為四十二度之通弦折半
得二寸一分五釐即丙丁正弦之數也
葢正弦之弧為弧背之一半正弦為通
弦之一半故求得倍弧之通弦折半即
半弧之正弦此分圓線與正弦線可以
[045-7b]
互相為用也
設如甲乙半徑六寸乙丁正弦三寸問乙丙弧之度
幾何
法以比例尺正弦線九十度之兩㸃依
半徑六寸之度展開勿令移動次取正
弦三寸之度於正弦線上尋至三十度
之兩㸃其相距之度恰合即乙丙弧為
三十度也葢圓之半徑與九十度之正
弦等正弦六寸相當之度為九十度則
[045-7b]
正弦三寸相當之三十度為丙乙弧之
[045-8a]
度可知矣若用分圓線則以分圓線六
十度之兩㸃依半徑六寸之度展開勿
令移動次以正弦三寸倍之得六寸於
分圓線上尋之得六十度折半得三十
度亦即乙丙弧之度也
設如甲乙弧三十二度甲丙正弦一寸零六釐問乙
丁半徑幾何
法以比例尺正弦線三十二度之兩㸃
[045-8b]
依正弦一寸零六釐之度展開勿令移
動次取九十度兩㸃相距之度於分釐
尺上量之得二寸即乙丁半徑也盖九
十度之正弦與圓之半徑等三十二度
之正弦為一寸零六釐則九十度之正
弦二寸即為圓之半徑可知矣若用分
圓線則以三十二度倍之得六十四度
以正弦一寸零六釐倍之得通弦二寸
一分二釐乃以分圓線六十四度之兩
[045-8b]
㸃依通弦二寸一分二釐之度展開勿
[045-9a]
令移動次取分圓線六十度兩㸃相距
之度於分釐尺上量之得二寸即乙丁
半徑也
設如簡平儀下盤作節氣線問其法若何
法自甲圓心作乙丙徑線
又自甲平分作赤道線即
為春分秋分線乃以比例
尺正弦線九十度之兩㸃
[045-9b]
依甲乙半徑之度展開勿
令移動次取二十三度半
兩㸃相距之度二至黄赤/道大距度
於赤道線左右丙乙徑上
作識如丁戊依識與赤道
平行作線即為夏至冬至
線丁為夏至/戊為冬至復以正弦線
九十度之兩㸃依甲戊二
十三度半之正弦線度展
[045-9b]
開勿令移動而取十五度
[045-10a]
三十度四十五度六十度
七十五度之各兩㸃相距
之度於赤道左右作識悉
與赤道平行作線即成二
十四節氣線也葢赤道即
春分秋分距二分十五度
之線左為驚蟄寒露右為
清明白露距二分三十度
[045-10b]
之線左為雨水霜降右為
穀雨處暑距二分四十五
度之線左為立春立冬右
為立夏立秋距二分六十
度之線左為大寒小雪右
為小滿大暑距二分七十
五度之線左為小寒大雪
右為芒種小暑距二分九
十度之線左即冬至右即
[045-10b]
夏至也
[045-11a]
設如簡平儀下盤欲作時刻線問其法若何
法如前作徑線及赤道二
至線乃以比例尺正弦線
九十度之兩㸃依半徑即/春
秋分線/之半之度展開勿令移
動次取十五度三十度及
四十五度六十度七十五
度之各兩㸃相距之度自
[045-11b]
圓心於赤道線上下作識
即春秋分時之二十四時
刻也又以比例尺正弦線
九十度之兩㸃依冬夏至
線之半展開勿令移動取
十五度三十度四十五度
六十度七十五度之各兩
㸃相距之度自圓徑與二
至線相交之處於二至線
[045-11b]
上下作識即二至時之二
[045-12a]
十四時刻也乃用三㸃串
圓之法將二至及二分之
㸃連為一線即成時刻線
矣葢中心横線為卯正酉
正距中心十五度之線上
為辰初酉初下為卯初戌
初距中心三十度之線上
為辰正申正下為寅正戌
[045-12b]
正距中心四十五度之線
上為巳初申初下為寅初
亥初距中心六十度之線
上為巳正未正下為丑正
亥正距中心七十五度之
線上為午初未初下為丑
初子初距中心九十度之
線即圓周上為午正下為
子正也
[045-13a]
正切線
自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲
丙二線用八線表正切線自一度至四
十五度之數於分釐尺上取其度按度
截比例尺之甲乙甲丙二線即成正切
線也至於四十五度以後則與四十五
度以前相為正餘葢四十五度之正切
線與半徑等四十五度以前之正切線
[045-13b]
即四十五度以後之餘切線而半徑與
正切之比同於餘切與半徑之比故切
線止用四十五度即足九十度之用也
設如甲乙半徑六寸乙丙弧三十五度問丁乙切線
幾何
法以比例尺正切線四十五度之兩㸃
依半徑六寸之度展開勿令移動次取
正切線三十五度兩㸃相距之度於分
釐尺上量之得四寸二分即丁乙切線
[045-13b]
之數也葢圓之半徑與四十五度之切
[045-14a]
線等四十五度之切線既為六寸則三
十五度相距之四寸二分即為三十五
度之切線可知矣
設如甲乙半徑六寸乙丙弧五十八度問丁乙切線
幾何
法以五十八度與九十度相減餘三十
二度為餘弧乃以比例尺正切線三十
二度之兩㸃依半徑六寸之度展開勿
[045-14b]
令移動次取四十五度兩㸃相距之度
於分釐尺上量之得九寸六分即丁乙
切線之數也葢圓之半徑與四十五度
之切線等而三十二度之正切即為五
十八度之餘切夫半徑與正切之比既
同於餘切與半徑之比故以三十二度
相距之六寸當半徑而四十五度相距
之九寸六分即為五十八度之切線也
凡過四十五度者皆倣此
[045-14b]
設如甲乙半徑六寸丙乙切線四寸二分問丁乙弧
[045-15a]
之度幾何
法以比例尺正切線四十五度之兩㸃
依半徑六寸之度展開勿令移動次取
切線四寸二分之度於正切線上尋至
三十五度之兩㸃其相距之度恰合即
丁乙弧為三十五度也葢圓之半徑與
四十五度之切線等切線六寸相當之
度為四十五度則切線四寸二分相當
[045-15b]
之三十五度即為乙丁弧之度可知矣
設如甲乙弧三十五度丙乙切線一寸零五釐問丁
乙半徑幾何
法以比例尺正切線三十五度之兩㸃
依切線一寸零五釐之度展開勿令移
動次取正切線四十五度兩㸃相距之
度於分釐尺上量之得一寸五分即丁
乙半徑也葢四十五度之切線與圓之
半徑等三十五度之切線為一寸零五
[045-15b]
釐則四十五度之切線一寸五分即為
[045-16a]
丁乙半徑可知矣
設如地平上立表髙四尺日中影長三尺六寸零二
釐問日髙度幾何
法以比例尺正切線四十五度之兩㸃
依分釐尺四寸之度展開勿令移動次
取分釐尺三寸六分零二豪之度於正
切線上尋至四十二度之兩㸃其相距
之度恰合乃以四十二度與九十度相
[045-16b]
減得四十八度為日距地平之髙度也
蓋地平上立表取影以表為半徑則影
為日距地平之餘切線如甲乙表髙為
半徑乙丙影長為切線求得乙丁弧為
甲角之度故與九十度相減得丙角始
為日距地平之度也
設如壁上立横表四尺日中影長二尺四寸零三釐
問日髙度幾何
法以比例尺正切線四十五度之兩㸃
[045-16b]
依分釐尺四寸之度展開勿令移動次
[045-17a]
取分釐尺二寸四分零三豪之度於正
切線上尋至三十一度之兩㸃其相距
之度恰合即日距地平之髙為三十一
度也葢壁上立横表取影以表為半徑
則影即日距地平之正切線如甲乙横
表為半徑甲丙影長為切線求得甲丁
弧為乙角之度與乙丙戊角之度等故
即為日距地平之髙度也
[045-18a]
正割線
自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲
丙二線用八線表正割線自初度至七
十度之數初度割線即圓之半徑自一/度至十度其每度之較甚㣲
若尺小不能分或隔五度作一㸃自七/十度以上漸與切線平行其數甚大尺
上不能容故止/取七十度也於分釐尺上取其度按
度截比例尺之甲乙甲丙二線即成正
割線也
[045-18b]
設如甲乙半徑六寸乙丙弧四十一度問甲丁割線
幾何
法以比例尺正割線初度之兩㸃依半
徑六寸之度展開勿令移動次取正割
線四十一度兩㸃相距之度於分釐尺
上量之得七寸九分五釐即甲丁割線
之數也葢初度尚無切線故其割線即
圓之半徑初度之割線既為六寸則四
十一度相距之七寸九分五釐即為四
[045-18b]
十一度之割線可知矣
[045-19a]
設如甲乙半徑六寸甲丙割線一尺二寸問丁乙弧
之度幾何
法以比例尺正割線初度之兩㸃依半
徑六寸之度展開勿令移動次取割線
一尺二寸之度於正割線上尋至六十
度之兩㸃其相距之度恰合即丁乙弧
為六十度也葢初度之割線即圓之半
徑割線六寸相當之度為初度則割線
[045-19b]
一尺二寸相當之六十度即為丁乙弧
之度可知矣
設如甲乙弧四十四度半丙丁割線二寸一分零三
豪問丁乙半徑幾何
法以比例尺正割線四十四度半之兩
㸃依割線二寸一分零三豪之度展開
勿令移動次取初度兩㸃相距之度於
分釐尺上量之得一寸五分即丁乙半
徑之數也葢初度之割線即圓之半徑
[045-19b]
四十四度半之割線為二寸一分零三
[045-20a]
豪則初度之割線一寸五分即為丁乙
半徑可知矣
[045-21a]
作地平日晷法以北極出地/四十度為準
法先作南北東西線相交
於甲各成直角次作甲乙
丙晷表取甲角五十度為
赤道髙丙角四十度為北
極高而乙角為直角次取
晷表之甲乙度截南北線
於丁為半徑作圜用比例
[045-21b]
尺分圓線比得十五度三
十度四十五度六十度七
十五度之各分分圜界作
識乃自丁圜心引出各界
作線至東西線上即得午
正前後各初正時刻或以
甲乙為半徑用比例尺正
切線比得十五度三十度
四十五度六十度七十五
[045-21b]
度之各切線自甲左右作
[045-22a]
識於東西線上亦即午正
前後各初正時刻甲為午/正距甲
十五度前為午初後為未/初距甲三十度前為巳正
後為未正距甲四十五度/前為巳初後為申初距甲
六十度前為辰正後為申/正距甲七十五度前為辰
初後為/酉初也乃以晷表之丙為
晷心至各㸃作線即時刻
線也卯正酉正各距午正
[045-22b]
前後九十度故自丙晷心
與東西線平行作線即卯
正酉正線卯正以前酉正
以後則日轉在北影轉在
南故與辰初酉初反對作
線即卯初戌初線也次按
刻細分則自午正甲㸃每
加三度四十五分而得一
刻葢十五度當四刻而三
[045-22b]
度四十五分則當一刻也
[045-23a]
此法葢因北極為天之樞
赤道為天之帶太陽雖由
黄道而行時刻皆以赤道
而定故以晷表之甲乙指
赤道丙乙指北極而東西
線即為赤道線丙乙即為
過極經圈甲乙即為半徑
午正太陽在正南則影在
[045-23b]
正北若偏東偏西若干度
則其切線即其影之長故
以甲乙為半徑作圜而分
圜界者即所以求切線至
於用比例尺正切線者正
以切線分時刻也
地平日晷作節氣線法
法以甲乙丙晷表之甲角
與丙乙平行作戊己線而
[045-23b]
以甲乙為半徑用比例尺
[045-24a]
正切線比得二十三度三
十分二十二度四十分二
十度十二分十六度二十
三分十一度三十分五度
五十五分之各切線自甲
左右作識於戊己線上即
得各節氣日影界春秋分/為赤道
冬至距赤道南夏至距赤/道北各二十三度三十分
[045-24b]
小寒大雪距赤道南芒種/小暑距赤道北各二十二
度四十分大寒小雪距赤/道南小滿大暑距赤道北
各二十度十二分立春立/冬距赤道南立夏立秋距
赤道北各十六度二十三/分雨水霜降距赤道南穀
雨處暑距赤道北各十一/度三十分驚蟄寒露距赤
道南清明白露距赤道/北各五度五十五度或
以二十三度三十分之正
切線甲戊為半徑作圜將
甲乙線引長平分為四象
[045-24b]
限用比例尺分圓線比得
[045-25a]
十五度三十度四十五度
六十度七十五度之各圜
界又以乙戊為半徑作戊
己弧而依所分甲戊小圜
界各與甲乙平行作線截
戊己弧界又自乙至戊己
各弧界作線截戊甲己線
亦即得各節氣日影界甲/為
[045-25b]
春秋分距甲十五度左為/驚蟄寒露右為清明白露
距甲三十度左為雨水霜/降右為穀雨處暑距甲四
十五度左為立春立冬右/為立夏立秋距甲六十度
左為大寒小雪右為小滿/大暑距甲七十五度左為
小寒大雪右/為芒種小暑乃自乙至各
㸃作線與午正時刻線相
交其相交之㸃即午正各
節氣日影界也若求未初
節氣線則先以丙乙為半
[045-25b]
徑作圜又依甲乙度截午
[045-26a]
正線於庚而以未初線與
赤道相交之辛㸃至庚相
距之度截圜界於壬作壬
辛線乃與壬辛取直角作
癸子十字線以壬辛為半
徑如前法比得二十三度
三十分等距緯之各切線
於辛左右作識於癸子線
[045-26b]
乃自壬至各㸃作線與未
初時刻線相交其相交之
㸃即未初各節氣日影界
也倣此類推則得各時刻
之各節氣日影界或用捷
法另取一紙畫甲乙丙表
式將乙甲乙戊乙己類各
節氣線俱畫長些如求未
初節氣線則以丙合於晷
[045-26b]
心丙而以甲乙春秋分線
[045-27a]
合於未初時刻線與赤道
相交之辛㸃乃於各節氣
線與未初時刻線相交之
處俱作㸃識之即得未初
各節氣之日影界餘倣此
乃將各時刻線與莭氣線
相交之㸃作線聫之即成
節氣線也葢春秋分日行
[045-27b]
赤道而晷表之甲乙指赤
道故赤道線即為春秋分
線春秋分時日在赤道則
午正日影在甲春分以後
秋分以前日在赤道北夏
至而極北則影在南春分
以前秋分以後日在赤道
南冬至而極南則影在北
故以甲乙為半徑而取各
[045-27b]
距度之切線為各節氣之
[045-28a]
影界且切線與半徑成直
角故先與甲乙取直角作
十字線而後得其切線也
甲乙本直立之線與之取/直角則戊端應在晷面下
己端應在空中出晷面上/而其距午正線之逺近與
平面斜線之度同葢/平與立之理一也其以
冬夏至之影界為半徑作
圜用分圓線求之者葢半
[045-28b]
徑與冬夏至距緯正弦之
比同於各節氣距二分度
之正弦與各節氣距緯正
弦之比故以甲戊為半徑
作圜為一率又以乙戊為
半徑作戊己弧則甲戊切
線即變為冬夏至距緯之
正弦為二率而用分圓線
所分各圜界即得各節氣
[045-28b]
距二分度之正弦為三率
[045-29a]
其自圜界作線截戊己弧
即得各節氣距緯之正弦
為四率既得各節氣之距
緯度又自乙至各弧界作
線截戊甲己線則戊甲己
線仍為各節氣距緯之切
線故用正弦即如用切線
也然雖得各節氣之影界
[045-29b]
而猶不在午正線之上故
自乙至各節氣㸃作線交
於午正線乃自乙表端照
至各節氣㸃所必經之處
故為午正節氣日影界也
至於未初春秋分時則日
影至辛乙辛為影線成乙
甲辛勾股形甲乙為股甲/乙
表直立/故為股甲辛為勾乙辛為
[045-29b]
弦故以甲乙度截午正線
[045-30a]
於庚而取庚辛之度即與
乙辛影線之度等又乙辛
線與丙乙為直角成丙乙
辛立勾股形丙乙為勾乙
辛影線為股丙辛時刻線
為弦葢丙乙為過極經圈/乙辛為赤道影線經
圈與赤道無在而非直角/故乙辛與影線亦無在而
非直/角也故以丙乙為半徑作
[045-30b]
圜而取庚辛度截圜界於
壬成丙壬辛平勾股形即
與丙乙辛立勾股形相等
丙壬與丙乙等壬辛與乙/辛等丙辛仍為弦線故成
相等勾/股形爰以壬辛影線為
半徑與壬辛作直角取各
節氣之切線為各節氣日
影界皆與午正取節氣線
之法同至其捷法乃以已
[045-30b]
成之勾股已分之切線轉
[045-31a]
移用之尤為便捷也
向南壁上畫立面日晷法以北極出地/四十度為準
法先作直線及東西横線
相交於甲各成直角次作
甲乙丙晷表取甲角四十
度丙角五十度而乙為直
角乃依地平日晷作時刻
線法求之即得各時刻線
[045-31b]
葢晷表之甲丙指天頂甲
乙指赤道故丙甲乙角定
為四十度則乙甲丁外角
為五十度即赤道之髙度
也丙乙指南極丙戊指地
平故甲丙乙角定為五十
度則乙丙戊外角為四十
度乃南極入地之度即北
極出地之度也甲乙既指
[045-31b]
赤道丙乙既指南極則丙
[045-32a]
乙即為過極經圈甲乙即
為半徑午正太陽在正南
則影在正北若偏東偏西
若干度則其切線即其影
之長皆與地平日晷之法
同至於作節氣線之法亦
與地平日晷同但赤道線
以上為春分前秋分後至
[045-32b]
冬至之節氣線赤道線以
下為春分後秋分前至夏
至之節氣線葢春分以後
秋分以前日行赤道北夏
至而極北其度髙故其影
在下也秋分以後春分以
前日行赤道南冬至而極
南其度卑故其影在上也
向東壁上畫立面日晷法以北極出地/四十度為準
[045-32b]
法先安甲乙直表與壁面
[045-33a]
成直角甲乙表不/拘尺寸次作甲
丙垂線及甲丁横線各成
直角次以甲為心作甲丙
丁象限弧用比例尺分圓
線比得赤道髙五十度之
弧為丁戊自甲至戊作甲
戊赤道線乃以甲乙表長
為半徑用比例尺正切線
[045-33b]
比得十五度三十度四十
五度六十度七十五度之
各切線於赤道線上作識
按識作十字線即成時刻
線也甲㸃為卯正距甲十/五度前為卯初後為
辰初距甲三十度為辰正/距甲四十五度為巳初距
甲六十度為巳正距/甲七十五度為午初葢時
刻生於赤道春秋分時卯
正日出正東與表對射故
[045-33b]
無影若向南若干度則其
[045-34a]
切線即其影之長至於午
正則距卯正九十度切線
與割線平行故無切線而
日影即與壁面平行故亦
無影也若於向西壁上畫
晷則以午初為未初巳正
為未正巳初為申初辰正
為申正辰初為酉初卯正
[045-34b]
為酉正卯初為戌初餘俱
與向東壁上畫晷法同
向東壁上立面日晷畫節氣線法
法以乙表端至卯初㸃相
距之度為半徑用比例尺
正切線比得二十三度三
十分二十二度四十分二
十度十二分十六度二十
三分十一度三十分五度
[045-34b]
五十五分之各切線於卯
[045-35a]
初線左右作識即得各節
氣日影界春秋分為赤道/冬至距赤道南
夏至距赤道北各二十三/度三十分小寒大雪距赤
道南芒種小暑距赤道北/各二十二度四十分大寒
小雪距赤道南小滿大暑/距赤道北各二十度十二
分立春立冬距赤道南立/夏立秋距赤道北各十六
度二十三分雨水霜降距/赤道南穀雨處暑距赤道
北各十一度三十分驚蟄/寒露距赤道南清明白露
[045-35b]
距赤道北各五/度五十五分又以乙表
端至卯正㸃相距之度即/甲
乙表/長為半徑比得各節氣
距緯度之切線於卯正線
左右作識即為卯正各節
氣日影界凡各時刻節氣
俱以乙表端至各時刻㸃
相距之度為半徑比得各
節氣距緯度之切線於各
[045-35b]
時刻線左右作識即得各
[045-36a]
時刻各節氣之日影界將
各㸃作線聨之即成節氣
線也葢春秋分時日在赤
道故其影界即在赤道線
之上其自表端至各時刻
㸃相距之度即春秋分各
時刻之影線也若春分以
後秋分以前日在赤道北
[045-36b]
夏至而極北則影在南春
分以前秋分以後日在赤
道南冬至而極南則影在
北故以表端至各時刻㸃
相距之度為半徑而取各
節氣距緯度之切線即為
各時刻各節氣之日影界
聨之即成節氣線也向西
壁法同
[045-37a]
假數尺
法按分釐尺二百分之度作甲丁乙丙
二平行線又作甲乙丁丙二線令成直
角乃取假數表内自一至一百所對之
假數於分釐尺上取其度如二之假數/為○三○一
則為三寸/零一釐截甲丁乙丙二邊依所截㸃
作線與甲乙邊平行又將甲乙丁丙二
邊各平分為十分作線與甲丁平行自
[045-37b]
一十以上又依分釐尺法於各平行線
之間悉作斜線則斜線與直線相交之
處即其間零數之度如一○至一一之
斜線其與第一直線相交之處即一○
一也故假數雖止於一百而可以當一
千之用若尺止長一尺則如上圖截去
自一至九之數從一十起至一百止葢
十之假數為一而百之假數為二今既
截去一尺則假數即減去首位之一取
[045-37b]
其零數作寸分釐豪用時則以十為單
[045-38a]
總之假數尺雖始於一十終於一百小
之則可以為單為零大之則可以為千
為萬皆因假數之首位雖遞加一數而
其後之零數皆同故可以進退為用惟
在比例分明加減詳審則其用自無窮
也
設如有十二人每人給銀四兩五錢問共銀幾何
法以假數尺之四分五釐即從一十至/四十五之度
[045-38b]
與一十二分相加得五十四分即五十
四兩為共銀數也葢一人與四兩五錢
之比同於一十二人與五十四兩之比
而真數以乘得者假數以加得之故以
四分五釐當四兩五錢以十二分當十
二人兩線相加即得五十四兩為共銀
數也
設如有米四百八十石每石價銀七錢五分問共價
銀幾何
[045-38b]
法以假數尺之七分五釐即自一十至/七十五之度
[045-39a]
與四十八分相加過於一百分之度乃
以其過於一百分之餘度自假數尺十
分以上量之得三十六分即三百六十
兩為共價銀數也葢以四十八分當四
百八十石是以單當十則相加過於一
百分即為過於一千分矣而以其過於
一千分之餘度自十分以上量之是以
十分當千分則三十六分即為三千六
[045-39b]
百分既以七分五釐當七錢五分故三
千六百分即為三百六十兩也
設如有銀五百一十二兩令三十二人分之問每人
幾何
法以假數尺之五十一分二釐内減去
三十二分以其餘度自假數尺十分以
上量之得十六分即十六兩為每人之
銀數也葢三十二人與五百一十二兩
之比同於一人與十六兩之比而真數
[045-39b]
以除得者假數以減得之故以五十一
[045-40a]
分二釐當五百一十二兩以三十二分
當三十二人相減用其餘度自十分以
上量之是以十分當一分故十六分即
為一分六釐既以五十一分二釐當五
百一十二兩則一分六釐即為十六兩
也
設如有米四十二石令六十人分之問每人幾何
法以假數尺之四十二分内減去六分
[045-40b]
即自一十至/六十之度不足於一十之分乃以其
不足於一十之度自假數尺一百以下
減之餘七十分即七斗為每人之米數
也葢以四十二分當四十二石以六分
當六十人而以相減不足於一十之分
自一百以下減之是以百分當十分則
所餘之七十分即為七分矣且以六分
當六十人是所減之數以單當十則減
餘之數即以十為單而單即為零故所
[045-40b]
餘之七分即為七釐既以四十二分當
[045-41a]
四十二石故七釐即為七斗也
設如每銀二兩五錢兑錢四千七百五十文今有銀
八兩問兑錢幾何
法以假數尺之二十五分與四十七分
五釐相減餘度與八十分相加過於一
百分乃以其過於一百分之餘度自假
數尺十分以上量之得十五分二釐即
一萬五千二百為共錢數也葢二兩五
[045-41b]
錢與四千七百五十文之比同於八兩
與一萬五千二百文之比故以二兩五
錢為一率四千七百五十為二率八兩
為三率得一萬五千二百為四率本宜
以二率與三率相加内減去一率而得
四率今先於二率内減去一率以其餘
度與三率相加而得四率其理同也又
四率既過於一百分而以其過於一百
分之餘度自十分上量之是以十分當
[045-41b]
百分故十五分二釐即為一百五十二
[045-42a]
分既以四十七分半當四千七百五十
則一百五十二分即為一萬五千二百
也
設如有銀六兩買米五石今有銀四兩八錢問買米
幾何
法以假數尺之六十分内減去五十分
餘度與四十八分相減得四十分即四
石為米數也葢六兩與五石之比同於
[045-42b]
四兩八錢與四石之比故以六兩為一
率五石為二率四兩八錢為三率得四
石為四率本宜以二率與三率相加内
減去一率而得四率今先於一率内減
去二率以其餘度與三率相減而得四
率其理同也總之二率大於一率者則
四率亦大於三率故以二率多於一率
之分與三率相加而得四率若二率小
於一率者則四率亦小於三率故以二
[045-42b]
率小於一率之分與三率相減而得四
[045-43a]
率用雖不同而理實一也
[045-44a]
正弦假數尺
法按分釐尺二百分之度作甲丁乙丙
二平行線又作甲乙丁丙二線令成直
角乃取八線對數表内自一度至九十
度之正弦假數減去首位之八於分釐
尺上取其度如一度之正弦假數為八/二四一八減去首位之八
餘二四一八即為二/寸四分一釐八豪截甲丁乙丙二邊
依所截㸃作線與甲乙邊平行又將甲
[045-44b]
乙丁丙二邊各平分為十二分作線與
甲丁平行又依分釐尺法於各平行線
之間悉作斜線則斜線與直線相交之
處即其間之分數如自一度至二度之
斜線其與第一直線相交之處即一度
五分其與第二直線相交之處即一度
十分葢一度有六十分故直線分為十
二每一直線當五分若於直線之間酌
量取之則五分中之零分亦可得其大
[045-44b]
槩矣若尺小止用一百分則截去自一
[045-45a]
度至五度之數從六度起至九十度止
葢九十度之正弦假數首位為一○一
度之正弦假數首位為八相減餘二故
二尺之内始可容自一度至九十度之
分今既截去一尺則假數首位須再減
去一數故從六度起六度之正弦假數
首位為九減去首位之九取其零數作
寸分釐豪至九十度則恰得一尺之分
[045-45b]
也
設如甲乙丙三角形甲角四十四度三十分丙角五
十三度乙丙邊五尺三寸七分問甲乙邊幾何
法以正弦假數尺之四十四度三十分
與五十三度相減用其餘度與假數尺
之五十三分七釐相加得六丁一分一
釐即六尺一寸一分為甲乙邊也葢甲
角正弦與丙角正弦之比同於乙丙邊
與甲乙邊之比故以四十四度三十分
[045-45b]
之正弦為一率五十三度之正弦為二
[045-46a]
率假數尺之五十三分七釐當乙丙邊
為三率得六十一分一釐當甲乙邊為
四率本宜以二率與三率相加内減去
一率而得四率今先於二率内減去一
率以其餘度與三率相加而得四率其
理同也
設如甲乙丙三角形甲乙邊六尺一寸一分甲丙邊
七尺五寸九分乙角八十二度三十分問丙角幾
[045-46b]
何
法以假數尺之六十一分一釐與七十
五分九釐相減用其餘度與正弦假數
尺之八十二度三十分相減得五十三
度為丙角度也葢甲丙邊與甲乙邊之
比同於乙角正弦與丙角正弦之比故
以七十五分九釐當甲丙邊為一率六
十一分一釐當甲乙邊為二率八十二
度三十分之正弦為三率得乙角五十
[045-46b]
三度為四率本宜以二率與三率相加
[045-47a]
内減去一率而得四率今先於一率内
減去二率餘度與三率相減而得四率
其理同也
[045-48a]
切線假數尺
法按分釐尺二百分之度作甲丁乙丙
二平行線又作甲乙丁丙二線令成直
角乃取八線對數表内自一度至四十
五度之切線假數減去首位之八於分
釐尺上取其度截甲丁乙丙二邊依所
截㸃作線與甲乙邊平行又將甲乙丁
丙二邊各平分為十二分作線與甲丁
[045-48b]
平行又依分釐尺法於各平行線之間
悉作斜線則斜線與直線相交之處即
其間之分數皆與正弦假數尺同至於
四十五度以後則與四十五度以前相
為正餘葢四十五度之正切線與半徑
等四十五度以前之正切線即四十五
度以後之餘切線而半徑與正切之比
同於餘切與半徑之比故切線尺止用
四十五度正餘相對即足八十九度之
[045-48b]
用若尺小止用一百分則截去自一度
[045-49a]
至五度之數從六度起至四十五度止
其餘度則至八十四度止亦與正弦假
數尺同也
設如甲乙丙直角三角形甲丙邊四尺三寸六分乙
丙邊四尺二寸九分問甲角幾何
法以假數尺之四十三分六釐與四十
二分九釐相減用其餘度與切線假數
尺之四十五度相減得四十四度三十
[045-49b]
分為甲角度也葢甲丙邊與乙丙邊之
比同於半徑與甲角切線之比故以四
十三分六釐當甲丙邊為一率四十二
分九釐當乙丙邊為二率四十五度之
切線當半徑為三率得甲角四十四度
三十分為四率也因二率小於一率故
於一率内減去二率餘數於三率内減
之即得四率也
設如甲乙丙直角三角形甲角五十三度甲丙邊三
[045-49b]
十二尺三寸問乙丙邊幾何
[045-50a]
法以切線假數尺之五十三度與半徑
相減用其餘度與假數尺之三十二分
三釐相加得四十二分九釐即四十二
尺九寸為乙丙邊也蓋半徑與甲角正
切線之比同於甲丙邊與乙丙邊之比
而甲角餘切線與半徑之比亦同於甲
丙邊與乙丙邊之比故以五十三度之
餘切線為一率四十五度之切線當半
[045-50b]
徑為二率三十二分三釐當甲丙邊為
三率得四十二分九釐當乙丙邊為四
率因五十三度切線自四十五度起是
已減去半徑矣故以二率與三率相加
即得四率不必更減一率也
[045-51a]
割線假數尺
法按分釐尺二百分之度作甲丁乙丙
二平行線又作甲乙丁丙二線令成直
角乃取八線對數表内自一度至八十
九度之割線假數減去首位之一於分
釐尺上取其度截甲丁乙丙二邊依所
截㸃作線與甲乙邊平行又將甲乙丁
丙二邊各平分為十二分作線與甲丁
[045-51b]
平行又依分釐尺法於各平行線之間
悉作斜線則斜線與直線相交之處即
其間之分數皆與正弦假數尺同若尺
小止用一百分則截去自八十五度至
八十九度之數從○度起至八十四度
止葢○度之割線即半徑其假數為一
○今從○度起即減去半徑之數至八
十四度以後則假數甚大一尺之内不
能容故止八十四度止也
[045-51b]
設如甲乙丙直角三角形甲角四十五度三十分甲
[045-52a]
丙邊四十二尺九寸問甲乙邊幾何
法以割線假數尺之四十五度三十分
與假數尺之四十二分九釐相加得六
十一分一釐即六十一尺一寸為甲乙
邊也葢半徑與甲角割線之比同於甲
丙邊與甲乙邊之比故以半徑為一率
四十五度三十分之割線為二率四十
二分九釐當甲丙邊為三率得六十一
[045-52b]
分一釐當甲乙邊為四率因割線先巳
減去半徑之數故二率與三率相加即
得四率不必更減半徑也
設如甲乙丙直角三角形甲丙邊四十二尺九寸甲
乙邊五十三尺七寸問甲角幾何
法以假數尺之四十二分九釐與五十
三分七釐相減用其餘度自割線假數
尺○度以上量之得三十七度為甲角
度也葢甲丙邊與甲乙邊之比同於半
[045-52b]
徑與甲角割線之比故以四十二分九
[045-53a]
釐當甲丙邊為一率五十三分七釐當
甲乙邊為二率半徑為三率得三十七
度當甲角為四率因○度之割線即半
徑故以一率二率相減之餘度自○度
以上量之即如與半徑相加也
[045-53b]
[045-53b]
御製數理精藴下編卷四十
