KR3f0048 御製數理精薀-清-聖祖玄燁 (master)


[031-1a]
 欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷二十六
  體部四
   曲線體
[031-2a]
  曲線體
設如長圎體徑與髙皆七尺問積㡬何
     法以長圎體徑七尺用求圎面積法求
     得圎面積三十八尺四十八寸四十五
     分零九釐九十六豪二十五絲有餘以
     髙七尺乗之得二百六十九尺三百九
     十一寸五百六十九分七百三十七釐
     有餘即長圎體之積也如圗甲乙丙丁
[031-2b]
     長圎體先以乙丙底徑求得乙己丙戊
     圎面積而以庚辛髙乗之即得甲乙丙
     丁長圎體之積也
     又法以長圎體徑七尺用徑求周法求
     得圎周二十一尺九寸九分一釐一豪
     四絲八忽五微五纖有餘與髙七尺相
     乗得一百五十三尺九十三寸八十分
     三十九釐八十五豪有餘為長圎體之
     外面積以半徑三尺五寸乗之得五百
[031-2b]
     三十八尺七百八十三寸一百三十九
[031-3a]
     分四百七十五釐有餘折半得二百六
     十九尺三百九十一寸五百六十九分
     七百三十七釐有餘即長圎體之積也
     如圗甲乙丙丁長圎體先求得乙己丙
     戊圎周與甲乙髙相乗得甲乙丙丁外
     面積為底以庚甲半徑乗之得庚甲丙
     辛長方體為甲乙丙丁長圎體積之二
     倍葢因長圎體之外面積與長方體之
[031-3b]
     底面積等而長圎體之半徑又與長方
     體之髙度等則長圎體為長方體之一
     半見㡬何原本五/卷第二十四節故折半即得甲乙丙
     丁長圎體之積也
     又法用長方體長圎體之定率比例以
     長方體積一○○○○○○○○○為
     一率長圎體積七八五三九八一六三
     為二率今所設之長圎體徑七尺自乗
     以髙七尺再乗得三百四十三尺為三
[031-3b]
     率求得四率二百六十九尺三百九十
[031-4a]
     一寸五百六十九分九百零九釐有餘
     即長圎體之積也此法葢以長方體與
     長圎體為比例定率之一○○○○○
     ○○○○為長方體積而七八五三九
     八一六三為長方體同髙同徑之長圎
     體積故以徑自乗髙再乗得長方體積
     彼定率之長方體與長圎體之比即同
     於今所得之長方體積與所求之長圎
[031-4b]
     體積之比也
設如尖圎體底徑六尺中髙六尺問積㡬何
     法以底徑六尺用求圎面積法求得底
     面積二十八尺二十七寸四十三分三
     十三釐八十五豪有餘以髙六尺乗之
     得一百六十九尺六百四十六寸三分
     一百釐有餘三歸之得五十六尺五百
     四十八寸六百六十七分七百釐有餘
     即尖圎體之積也如圗甲乙丙丁戊尖
[031-4b]
     圎體先以乙丁底徑求得乙丙丁戊底
[031-5a]
     面積以甲己髙乗之得庚乙丁辛長圎
     體為甲乙丙丁戊尖圎體之三倍葢因
     上下面平行各體與平底尖體同底同
     髙者其平底尖體皆得上下面平行體
     之三分之一見㡬何原本五/卷第二十三節故以所得
     庚乙丁辛長圎體積三歸之即得甲乙
     丙丁戊尖圎體積也
     又法用尖方體尖圎體之定率比例以
[031-5b]
     尖方體積一○○○○○○○○○為
     一率尖圎體積七八五三九八一六三
     為二率今所設之尖圎體底徑六尺自
     乗以髙六尺再乗得二百一十六尺三
     歸之得七十二尺成尖方體積為三率
     求得四率五十六尺五百四十八寸六
     百六十七分七百三十六釐有餘即尖
     圎體之積也蓋尖方體為長方體之三
     分之一而尖圎體為長圎體之三分之
[031-5b]
     一故尖方體與尖圎體之比即同於長
[031-6a]
     方體與長圎體之比也
     又捷法定率比例以長方體積一○○
     ○○○○○○○為一率尖圎體積二
     六一七九九三八八為二率今所設之
     尖圎體底徑六尺自乗以髙六尺再乗
     得二百一十六尺為三率求得四率五
     十六尺五百四十八寸六百六十七分
     八百零八釐有餘即尖圎體之積也此
[031-6b]
     法葢以長方體與尖圎體為比例長方
     體積為一○○○○○○○○○則長
     圎體積為七八五三九八一六三將此
     長圎體積三歸之則得尖圎體積為二
     六一七九九三八八故定率之長方體
     與尖圎體之比即同於今底徑自乗髙
     再乗所得之長方體積與所求之尖圎
     體積之比也
設如尖圎體底周二十二尺自尖至底周之斜線五
[031-6b]
 尺求中垂線之髙幾何
[031-7a]
     法以底周二十二尺用周求徑法求得
     底徑七尺零二釐八豪一絲七忽有餘
     折半得半徑三尺五寸零一釐四豪零
     八忽有餘為勾以自尖至底周之斜線
     五尺為弦求得股三尺五寸六分九釐
     三豪三絲三忽有餘即中垂線之髙也
     如圗甲乙丙丁戊尖圎體以乙丙丁戊
     底周求得乙丁底徑折半得乙巳半徑
[031-7b]
     為勾以自尖至底周之甲乙斜線為弦
     求得甲巳股即中垂線之髙也
設如圎球徑二尺問外面積幾何
     法以圎球徑二尺用徑求周法求得周
     六尺二寸八分三釐一豪八絲五忽有
     餘與徑二尺相乗得一十二尺五十六
     寸六十三分七十釐有餘即圎球之外
     面積也如圗甲乙丙丁圎球體以甲丙
     全徑與甲乙丙丁全周相乗即得圎球
[031-7b]
     體之外面積葢因圎面半徑與球體半
[031-8a]
     徑等者其圎面積為球體外面積之四
     分之一而圎面半徑與球體全徑等者
     其圎面積與球體外面積等見幾何原/本十巻第
     八/節故圎球全徑與全周相乗而得圎球
     之外面積也
設如圎球徑一尺二寸問積幾何
     法以圎球徑一尺二寸用徑求圎面積
     法求得圎面積一尺一十三寸零九分
[031-8b]
     七十三釐三十五豪四十絲有餘以圎
     球徑一尺二寸乗之得一尺三百五十
     七寸一百六十八分零二十四釐有餘
     為長圎體積三歸之得四百五十二寸
     三百八十九分三百四十一釐有餘倍
     之得九百零四寸七百七十八分六百
     八十二釐有餘即圎球之體積也如圗
     甲乙丙丁圎球體求得戊己庚辛平圎
     面積以甲丙全徑乗之得與圎球同徑
[031-8b]
     同髙之壬戊庚癸長圎體此球體之乙
[031-9a]
     丁全徑與長圎體之戊庚底徑度等而
     球體之甲丙全徑又與長圎體之壬戊
     髙度等則球體積為長圎體積之三分
     之二見㡬何原本/十卷第九節試以圎球同徑之平
     圎面積為底圎球之半徑為髙作一甲
     乙丁尖圎體則其積為甲乙丁半球體
     積之半夫尖圎體與長圎體同底同髙
     其比例為三分之一而尖圎體又為半
[031-9b]
     球體之二分之一則半球體必為半長
     圎體之三分之二半球體既為半長圎
     體之三分之二則全球體必為全長圎
     體之三分之二可知故以所得壬戊庚
     癸長圎體積三歸倍之即得甲乙丙丁
     圎球體積也
     又法以圎球徑一尺二寸用求圎球之
     外面積法求得圎球之外面積四尺五
     十二寸三十八分九十三釐四十一豪
[031-9b]
     六十絲有餘以半徑六寸乗之得二尺
[031-10a]
     七百一十四寸三百三十六分四十九
     釐有餘三歸之得九百零四寸七百七
     十八分六百八十三釐有餘即圎球之
     體積也如圗甲乙丙丁圎球體先求得
     外面積乃以此外面積為底戊丙半徑
     為髙作一戊己庚尖圎體其體積必與
     圎球體積等葢尖圎體之底面積與球
     體之外面積等尖圎體之髙度與球體
[031-10b]
     之半徑等則其體積亦必等見㡬何原/本五卷第
     二十/五節故以戊丙半徑與外面積相乗三
     歸之即如得戊己庚尖圗體積而為甲
     乙丙丁圎球體積也
     又法以方邉球徑相等方積球積不同
     之定率比例以方積一○○○○○○
     ○○○為一率球積五二三五九八七
     七五為二率今所設之圎球徑一尺二
     寸自乗再乗得一尺七百二十八寸為
[031-10b]
     三率求得四率九百零四寸七百七十
[031-11a]
     八分六百八十三釐有餘即圎球之體
     積也此法葢因圎球徑與正方邉相等
     而圎球積與正方積不同故以圎球徑
     自乗再乗作正方積為體與體之比例
     如子丑圎球徑為一○○○則其自乗
     再乗之寅邜辰巳正方體積為一○○
     ○○○○○○○而圎球徑一○○○
     所得之子午丑未圎球體積為五二三
[031-11b]
     五九八七七五故以子丑圎球徑一○
     ○○自乗再乗之寅夘辰巳正方體積
     一○○○○○○○○○與子丑圎球
     徑所得之子午丑未圎球體積五二三
     五九八七七五之比即同於今所設之
     甲丙圎球徑一尺二寸自乗再乗之戊
     己庚辛正方體積一尺七百二十八寸
     與今所得之甲乙丙丁圎球體積九百
     零四寸七百七十八分六百八十三釐
[031-11b]
     有餘之比也
[031-12a]
     又法用球積方積相等球徑方邉不同
     之定率比例以圎球徑一○○○○○
     ○○○為一率正方邉八○五九九五
     九七為二率今所設之圎球徑一尺二
     寸為三率求得四率九寸六分七釐一
     豪九絲五忽一微六纖有餘為與圎球
     積相等之正方體每邉之數自乗再乗
     得九百零四寸七百七十八分六百四
[031-12b]
     十九釐有餘即圎球之體積也此法葢
     以圎球積與正方積設為相等使圎球
     徑與正方邉不同先定為線與線之比
     例既得線而後自乗再乗之為體也如
     子丑圎球徑一○○○○○○○○其
     所得之體積開立方則得八○五九九
     五九七即為寅邜辰巳正方體之每一
     邉是子午丑未圎球積與寅邜辰巳正
     方積相等故子丑圎球徑一○○○○
[031-12b]
     ○○○○與寅邜正方邉八○五九九
[031-13a]
     五九七之比即同於今所設之甲丙圎
     球徑一尺二寸與今所得之戊巳正方
     邉九寸六分七釐一豪九絲五忽一微
     六纖有餘之比既得戊己正方邉自乗
     再乗得戊己庚辛正方體積即與甲乙
     丙丁圎球體積為相等也
     又法以二十一分為一率十一分為二
     率今所設之圎球徑一尺二寸自乗再
[031-13b]
     乗得一尺七百二十八寸為三率求得
     四率九百零五寸一百四十二分八百
     五十七釐有餘為圎球之體積也葢以
     正方體積一○○○○○○○○○圎
     球體積五二三五九八七七五之定率
     約之則正方體積二十一而圎球體積
     得一○九九有餘進而為十一則圎球
     體積稍大故今所得之圎球體積亦稍
     大也
[031-13b]
設如圎球積六尺問徑㡬何
[031-14a]
     法用球徑方邉相等球積方積不同之
     定率比例以球積一○○○○○○○
     ○○為一率方積一九○九八五九三
     一七為二率今所設之圎球積六尺為
     三率求得四率十一尺四百五十九寸
     一百五十五分九百零二釐有餘為與
     圎球徑相等之正方邉之正方體積開
     立方得二尺二寸五分四釐五豪零二
[031-14b]
     忽有餘即圎球之徑也葢圎球積為五
     二三五九八七七五則正方積為一○
     ○○○○○○○○若圎球積為一○
     ○○○○○○○○則正方積為一九
     ○九八五九三一七其比例仍同故以
     圎球積一○○○○○○○○○為一
     率者即如以圎球積五二三五九八七
     七五為一率而以正方積一九○九八
     五九三一七為二率者即如以正方積
[031-14b]
     一○○○○○○○○○為二率也
[031-15a]
     又法用球積方積相等球徑方邉不同
     之定率比例以方邉一○○○○○○
     ○○為一率球徑一二四○七○○九
     八為二率今所設之圎球積六尺開立
     方得一尺八寸一分七釐一豪二絲有
     餘為三率求得四率二尺二寸五分四
     釐五豪零二忽有餘即圎球之徑也此
     法亦以圎球積與正方積設為相等使
[031-15b]
     圎球徑與正方邉不同故以圎球積開
     立方得立方邉為線與線之比例葢方
     邉為八○五九九五九七則球徑為一
     ○○○○○○○○若方邉為一○○
     ○○○○○○則球徑為一二四○七
     ○○九八其比例仍同故以方邉一○
     ○○○○○○○為一率者即如以方
     邉八○五九九五九七為一率而以球
     徑一二四○七○○九八為二率者即
[031-15b]
     如以球徑一○○○○○○○○為二
[031-16a]
     率也
設如撱圎體大徑六寸小徑四寸問積幾何
     法以小徑四寸用徑求圎面積法求得
     圎面積一十二寸五十六分六十三釐
     七十豪六十絲有餘以大徑六寸乗之
     得七十五寸三百九十八分二百二十
     三釐有餘為長圎體積三歸之得二十
     五寸一百三十二分七百四十一釐有
[031-16b]
     餘倍之得五十寸二百六十五分四百
     八十二釐有餘即撱圎體之積也如圗
     甲乙丙丁撱圎體以乙丁小徑求得戊
     己庚辛平圎面積再以甲丙大徑乗之
     得壬戊庚癸長圎體此撱圎體積即為
     長圎體積之三分之二亦如圎球體積
     為同徑同髙之長圎體積之三分之二
     故以所得壬戊庚癸長圎體積三歸倍
     之即得甲乙丙丁撱圎體積也
[031-16b]
     又法以小徑四寸自乗得十六寸以大
[031-17a]
     徑六寸再乗得九十六寸為長方體積
     乃用方積球積不同方邉球徑相等之
     定率比例以方積一○○○○○○○
     ○○為一率球積五二三五九八七七
     五為二率今所得之長方體積九十六
     寸為三率求得四率五十寸二百六十
     五分四百八十二釐有餘即撱圎體之
     積也葢函撱圎之長方體與所函撱圎
[031-17b]
     體之比同於函球之正方體與所函球
     體之比見幾何原本十/卷第十四節如甲乙丙丁撱
     圎體甲丙大徑六寸乙丁小徑四寸以
     乙丁小徑自乗又以甲丙大徑再乗遂
     成戊己庚辛長方體形此長方體積與
     撱圎體積之比即同於正方體積與圎
     球體積之比故以定率之正方體積為
     一率圎球體積為二率今所得之長方
     體積為三率求得四率為撱圎體之積
[031-17b]
     也
[031-18a]
設如撱圎體積五十寸大徑比小徑多二寸問大小
 徑各㡬何
     法用方積球積不同方邉球徑相等之
     定率比例以球積一○○○○○○○
     ○○為一率方積一九○九八五九三
     一七為二率今所設之撱圎體積五十
     寸為三率求得四率九十五寸四百九
     十二分九百六十五釐八百五十豪有
[031-18b]
     餘為長方體積乃以大徑比小徑多二
     寸為長與濶之較用帶一縦開立方法
     算之得濶三寸九分九釐二豪有餘即
     撱圎體之小徑加大徑比小徑多二寸
     得五寸九分九釐二豪有餘即撱圎體
     之大徑也如圗甲乙丙丁撱圎體用球
     積與方積之定率比例即成戊己庚辛
     長方體形其戊己長即甲丙大徑壬庚
     濶即乙丁小徑甲丙大徑比乙丁小徑
[031-18b]
     多二寸即長濶之較故用帶一縦開立
[031-19a]
     方法算之得濶為撱圎體之小徑得長
     為撱圎體之大徑也
設如上下不等圎面體上徑四尺下徑六尺髙八尺
 問積㡬何
     法以上徑四尺用徑求圎面積法求得
     上圎面積一十二尺五十六寸六十三
     分七十釐六十豪有餘又以下徑六尺
     用徑求圎面積法求得下圎面積二十
[031-19b]
     八尺二十七寸四十三分三十三釐八
     十五豪有餘又以上徑四尺與下徑六
     尺相乗得二十四尺開方得中徑四尺
     八寸九分八釐九豪七絲九忽四微八
     纖有餘用徑求圎面積法求得中圎面
     積一十八尺八十四寸九十五分五十
     五釐八十五豪有餘三數相併得五十
     九尺六十九寸二分六十釐三十豪有
     餘與髙八尺相乗得四百七十七尺五
[031-19b]
     百二十二寸八十二分四百釐有餘三
[031-20a]
     歸之得一百五十九尺一百七十四寸
     二十七分四百六十六釐有餘即上下
     不等圎面體之積也葢上下不等圎面
     體立法與上下不等正方體同理但上
     下不等正方體上下俱係方面故求得
     上中下三方面積相併與髙相乗三歸
     之而得體積此上下俱係圎面故求得
     上中下三圎面積相併與髙相乗三歸
[031-20b]
     之而得體積也
     又法以上徑四尺與下徑六尺相減餘
     二尺折半得一尺為一率髙八尺為二
     率下徑六尺折半得三尺為三率求得
     四率二十四尺為上下不等圎面體上
     補成一尖圎體之共髙乃以下徑六尺
     用徑求圎面積法求得圎面積二十八
     尺二十七寸四十三分三十三釐八十
     五豪有餘與所得共髙二十四尺相乗
[031-20b]
     得六百七十八尺五百八十四寸一十
[031-21a]
     二分四百釐有餘三歸之得二百二十
     六尺一百九十四寸六百七十分八百
     釐有餘為大尖圎體之積又以髙八尺
     與共髙二十四尺相減餘十六尺為上
     尖圎體之髙以上徑四尺用徑求圎面
     積法求得圎面積一十二尺五十六寸
     六十三分七十釐六十豪有餘與上髙
     十六尺相乗得二百零一尺六十一寸
[031-21b]
     九百二十九分六百釐有餘三歸之得
     六十七尺二十寸六百四十三分二百
     釐有餘為上小尖圎體之積與大尖圎
     體積二百二十六尺一百九十四寸六
     百七十分八百釐有餘相減餘一百五
     十九尺一百七十四寸二十七分六百
     釐有餘即上下不等圎面體之積也如
     圗甲乙丙丁上下不等圎面體如戊甲
     丁小尖圎體遂成戊乙丙大尖圎體故
[031-21b]
     於戊乙丙大尖圎體積内減去戊甲丁
[031-22a]
     小尖圎體積而得甲乙丙丁上下不等
     圎面體之積也
     又法用上下不等正方體與上下不等
     圎面體之定率比例以正方體積一○
     ○○○○○○○○為一率圎面體積
     七八五三九八一六三為二率上徑四
     尺自乗下徑六尺自乗上徑四尺與下
     徑六尺相乗三數相併以髙八尺乗之
[031-22b]
     得六百零八尺三歸之得二百零二尺
     六百六十六寸六百六十六分六百六
     十六釐有餘成上下不等正方體積為
     三率求得四率一百五十九尺一百七
     十四寸二十七分七百零一釐有餘即
     上下不等圎面體之積也
     又捷法定率比例以一○○○○○○
     ○○○為一率二六一七九九三八八
     為二率上徑四尺相乗下徑六尺自乗
[031-22b]
     上徑四尺與下徑六尺相乗三數相併
[031-23a]
     以髙八尺乗之得六百零八尺為三率
     求得四率一百五十九尺一百七十四
     寸二十七分九百釐有餘即上下不等
     圎面體之積也此法葢以三上下不等
     正方體與一上下不等圎面體為比例
     夫一上下不等正方體積為一○○○
     ○○○○○○則一上下不等圎面體
     積為七八五三九八一六三若三上下
[031-23b]
     不等正方體積為一○○○○○○○
     ○○則一上下不等圎面體積為二六
     一七九九三八八故以上徑自乗下徑
     自乗上下徑相乗三數相併以髙乗之
     所得為三上下不等正方體積彼定率
     之三上下不等正方體與一上下不等
     圎面體之比即同於今所得之三上下
     不等正方體積與所求之一上下不等
     圎面體積之比也
[031-23b]
設如上下不等撱圎面體上大徑四尺小徑三尺下
[031-24a]
 大徑八尺小徑六尺髙十尺問積幾何
     法以上大徑四尺與上小徑三尺相乗
     得一十二尺以下大徑八尺與下小徑
     六尺相乗得四十八尺又以上大徑四
     尺與下小徑六尺相乗下大徑八尺與
     上小徑三尺相乗共得四十八尺折半
     得二十四尺三數相併得八十四尺乃
     用方積圎積之定率比例以方積一○
[031-24b]
     ○○○○○○○○為一率圎積七八
     五三九八一六三為二率三數相併之
     八十四尺為三率求得四率六十五尺
     九十七寸三十四分四十五釐六十九
     豪有餘與髙十尺相乗得六百五十九
     尺七百三十四寸四百五十六分九百
     釐有餘三歸之得二百一十九尺九百
     一十一寸四百八十五分六百三十三
     釐有餘即上下不等撱圎面體之積也
[031-24b]
     葢上下不等撱圎面體立法與上下不
[031-25a]
     等圎面體同但上下不等圎面體上下
     俱係圎面故求得上中下三圎面積相
     併與髙相乗三歸之而得體積此上下
     俱係撱圎面故必求得上中下三長方
     面積相併用定率比例得三撱圎面積
     乃與髙相乗三歸之而得體積也
     又法以上大徑四尺與下大徑八尺相
     減餘四尺折半得二尺為一率髙十尺
[031-25b]
     為二率下大徑八尺折半得四尺為三
     率求得四率二十尺為上下不等撱圎
     面體上補成一尖撱圎體之共髙乃以
     下大徑八尺小徑六尺用求撱圎面積
     法求得下撱圎面積三十七尺六十九
     寸九十一分一十一釐六十八豪有餘
     與所得共髙二十尺相乗得七百五十
     三尺九百八十二寸二百三十三分六
     百釐有餘三歸之得二百五十一尺三
[031-25b]
     百二十七寸四百一十一分三百釐有
[031-26a]
     餘為大尖撱圎面體之積又以髙十尺
     與共髙二十尺相減餘十尺為上小尖
     撱圎面體之髙以上大徑四尺小徑三
     尺用求撱圎面積法求得上撱圎面積
     九尺四十二寸四十七分七十七釐九
     十二豪有餘與上髙十尺相乗得九十
     四尺二百四十七寸七百七十九分二
     百釐有餘三歸之得三十一尺四百一
[031-26b]
     十五寸九百二十六分四百釐有餘為
     上小尖撱圎面體積與大尖撱圎面體
     積二百五十一尺三百二十七寸四百
     一十一分三百釐有餘相減餘二百一
     十九尺九百一十一寸四百八十四分
     八百釐有餘即上下不等撱圎面體積
     也如圗甲乙丙丁上下不等撱圎面體
     如戊甲丁小尖撱圎面積遂成戊乙丙
     大尖撱圎面體故於戊乙丙大尖撱圎
[031-26b]
     面體内減戊甲丁小尖撱圎面體而得
[031-27a]
     甲乙丙丁上下不等撱圎面體之積也
     又法用上下不等長方體與上下不等
     撱圎面體之定率比例以長方體積一
     ○○○○○○○○○為一率長圎體
     積七八五三九八一六三為二率以上
     大徑四尺倍之加下大徑八尺共一十
     六尺與上小徑三尺相乗得四十八尺
     以下大徑八尺倍之加上大徑四尺共
[031-27b]
     二十尺與下小徑六尺相乗得一百二
     十尺兩數相併得一百六十八尺以髙
     十尺乗之得一千六百八十尺六歸之
     得二百八十尺成上下不等長方體積
     為三率求得四率二百一十九尺九百
     一十一寸四百八十五分六百四十釐
     有餘即上下不等撱圎面體之積也葢
     長方面積與撱圎面積之比同於方面
     積與圎面積之比故上下不等長方體
[031-27b]
     與上下不等撱圎面體之比即同於長
[031-28a]
     方體與長圎體之比也
     又捷法定率比例以一○○○○○○
     ○○○為一率一三○八九九六九四
     為二率以上大徑四尺倍之加下大徑
     八尺共一十六尺與上小徑三尺相乗
     得四十八尺以下大徑八尺倍之加上
     大徑四尺共二十尺與下小徑六尺相
     乗得一百二十尺兩數相併得一百六
[031-28b]
     十八尺以髙十尺乗之得一千六百八
     十尺為三率求得四率二百一十九尺
     九百一十一寸四百八十五分九百二
     十釐有餘即上下不等撱圎面體之積
     也此法葢以六上下不等長方體與一
     上下不等撱圎面體為比例夫一上下
     不等長方體積為一○○○○○○○
     ○○則一上下不等撱圎面體積為七
     八五三九八一六三若六上下不等長
[031-28b]
     方體積為一○○○○○○○○○則
[031-29a]
     一上下不等撱圎面體積為一三○八
     九九六九四故以上大徑倍之加下大
     徑與上小徑相乗以下大徑倍之加上
     大徑與下小徑相乗兩數相併以髙乗
     之所得為六上下不等長方體積彼定
     率之六上下不等長方體積與一上下
     不等撱圎面體積之比即同於今所得
     之六上下不等長方體積與所求之一
[031-29b]
     上下不等撱圎面體積之比也
設如截球體一段髙二寸底徑九寸六分問積㡬何
     法以髙二寸為首率底徑九寸六分折
     半得四寸八分為中率求得末率一尺
     一寸五分二釐為圎球之截徑加髙二
     寸得一尺三寸五分二釐為圎球之全
     徑折半得六寸七分六釐為圎球之半
     徑又以髙二寸為勾底徑九寸六分折
     半得四寸八分為股求得弦五寸二分
[031-29b]
     作平圎半徑用求圓面積法求得平圎
[031-30a]
     面積八十四寸九十四分八十六釐有
     餘即為截球體一段之外面積與圎球
     半徑六寸七分六釐相乗得五百七十
     四寸二百五十二分五百三十六釐有
     餘三歸之得一百九十一寸四百一十
     七分五百一十二釐有餘為自圎球中
     心所分球面尖圎體積又以截球體底
     徑九寸六分用求平圎面積法求得截
[031-30b]
     球體之底面積七十二寸三十八分二
     十二釐有餘於圎球半徑六寸七分六
     釐内減去截球體之髙二寸餘四寸七
     分六釐與截球體之底面積七十二寸
     三十八分二十二釐有餘相乘得三百
     四十四寸五百三十九分二百七十二
     釐有餘三歸之得一百一十四寸八百
     四十六分四百二十四釐有餘為自圎
     球中心至截球體底徑所分平面尖圎
[031-30b]
     體積與球面尖圎體積一百九十一寸
[031-31a]
     四百一十七分五百一十二釐有餘相
     減餘七十六寸五百七十一分八十八
     釐有餘即截球體一段之積也如圗甲
     乙丙截球體一段其乙丙底徑即如弧
     矢形之弦長其甲丁髙即如弧矢形之
     矢濶故甲丁為首率乙丙底徑折半得
     乙丁為中率求得丁戊末率為截球徑
     見各面形弦/矢求圎徑法與甲丁髙相加得甲戊為
[031-31b]
     圎球全徑折半得甲巳為圎球半徑又
     以甲丁為勾乙丁為股求得甲乙弦乃
     以甲乙弦為半徑求得庚乙丙平圎面
     積即與甲乙丙截球體一段之外面積
     等葢圎面半徑與球體半徑等者其圎
     面積為球體外面積之四分之一而圎
     面半徑與球體全徑等者其圎面積與
     球體外面積等見㡬何原本/十卷第八節故甲辛戊
     壬圎球體其外面積為同徑子丑寅邜
[031-31b]
     平圎面積之四倍若甲辛壬半球體其
[031-32a]
     外面積必為子丑寅邜平圎面積之二
     倍然則甲己半徑求得平圎面積又辛
     己半徑亦求得平圎面積兩面積相併
     必與甲辛壬半球體之外面積等矣今
     甲乙丙截球體一段若以甲丁為半徑
     求得平圎面積又以乙丁為半徑求得
     平圎面積兩面積相併亦必與甲乙丙
     截球體一段之外面積等而甲乙弦自
[031-32b]
     乗之正方與甲丁勾自乗之正方乙丁
     股自乗之正方相併之積等則甲乙弦
     為半徑所得之圎面積亦必與甲丁勾
     為半徑所得之圎面積乙丁股為半徑
     所得之圎面積相併之積等故以甲乙
     弦為半徑所得之庚乙丙平圎面積即
     與甲乙丙截球體一段之外面積相等
     也既得截球體一段之外面積與甲巳
     圎球半徑相乗三歸之得己丙甲乙球
[031-32b]
     面尖圎體積又以乙丙截球體底徑求
[031-33a]
     得乙丙底面積與丁巳截半徑相乗三
     歸之得己丙丁乙平面尖圎體積與己
     丙甲乙球面尖圎體積相減所餘即甲
     乙丙截球體一段之積也
     又法先求得圎球徑一尺三寸五分二
     釐用徑求周法求得圎周四尺二寸四
     分七釐四豪三絲三忽有餘與截球體
     一段之髙二寸相乗得八十四寸九十
[031-33b]
     四分八十六釐有餘即為截球一段之
     外面積與圎球半徑六寸七分六釐相
     乗得五百七十四寸二百五十二分五
     百三十六釐三歸之得一百九十一寸
     四百一十七分五百一十二釐有餘為
     自圎球中心所分球面尖圎體積又以
     截球體底徑九寸六分用求平圎面積
     法求得截球體之底面積七十二寸三
     十八分二十二釐有餘於圎球半徑六
[031-33b]
     寸七分六釐内減去截球體之髙二寸
[031-34a]
     餘四寸七分六釐與截球體之底面積
     七十二寸三十八分二十二釐有餘相
     乗得三百四十四寸五百三十九分二
     百七十二釐有餘三歸之得一百一十
     四寸八百四十六分四百二十四釐有
     餘為自圎球中心至截球徑所分平面
     尖圎體積與球面尖圎體積一百九十
     一寸四百一十七分五百一十二釐有
[031-34b]
     餘相減餘七十六寸五百七十一分八
     十八釐有餘即截球體一段之積也如
     圗甲乙丙截球體一段先求得甲戊全
     徑與庚辛等又求得壬庚癸辛全周與
     甲丁髙相乗得庚子丑辛截長圎體一
     段之外面積與甲乙丙截球體一段之
     外面積等葢球體全徑與長圎體底徑
     髙度相等者其相當每段之外面積皆
     相等見㡬何原本十/卷第十一節既得甲乙丙截球
[031-34b]
     體一段之外面積則與甲巳半徑相乗
[031-35a]
     三歸之而得己丙甲乙球面尖圎體積
     又以乙丙截球體底面積與丁己截半
     徑相乗三歸之而得己丙丁乙平面尖
     圎體積與己丙甲乙球面尖圎體積相
     減餘即得甲乙丙截球體一段之積也
設如空心圎球積二千寸厚三寸問内外徑數各㡬
 何
     法用球徑方邉相等球積方積不同之
[031-35b]
     定率比例以球積一○○○○○○○
     ○○為一率方積一九○九八五九三
     一七為二率今所設之空心圎球積二
     千寸為三率求得四率三尺八百一十
     九寸七百一十八分六百三十四釐有
     餘為空心正方體積乃用算空心正方
     體法以厚三寸自乗再乗得二十七寸
     八因之得二百一十六寸與所得空心
     正方體積三尺八百一十九寸七百一
[031-35b]
     十八分六百三十四釐相減餘三尺六
[031-36a]
     百零三寸七百一十八分六百三十四
     釐有餘六歸之得六百寸六百一十九
     分七百七十二釐有餘用厚三寸除之
     得三尺零二十分六十五釐九十豪為
     内徑與外徑相乗長方面積乃以厚三
     寸倍之得六寸為長濶之較用帶縦較
     數開平方法算之得濶一尺一寸四分
     六釐三豪九絲七忽有餘即空心圎球
[031-36b]
     内徑得長一尺七寸四分六釐三豪九
     絲七忽有餘即空心圎球外徑也此法
     蓋以空心圎球體與空心正方體為比
     例即如用球積與方積定率為比例也
     如圗甲乙丙丁戊己庚辛空心圎球體
     其甲丙外徑與壬癸外方邉等其戊庚
     内徑與寅邜内方邉等是以甲乙丙丁
     大球體與壬癸子丑大正方體為比戊
     己庚辛小球體與寅邜辰已小正方體
[031-36b]
     為比而空心圎球體與空心正方體之
[031-37a]
     比即如球體積與方體積之比也既得
     空心正方體積則用算空心正方體法
     以壬酉厚自乗再乗八因之得午巳未
     申類八小隅體與空心正方體相減則
     餘空心正方體之六面酉戌坎未類六
     長方扁體六歸之得酉戌坎未一長方
     扁體用厚三寸除之得酉戌亥乾一長
     方面積其酉戌濶與戊庚等即内徑其
[031-37b]
     酉乾長與壬丑等即外徑其酉寅巳乾
     皆與壬酉厚度等酉寅巳乾併之即長
     濶之較故以厚三寸倍之為帶縦求得
     濶為内徑長為外徑也
     又法用定率比例求得空心正方體積
     以厚三寸倍之得六寸為内方邉與外
     方邉之較自乗再乗得二百一十六寸
     與所得空心正方體積三尺八百一十
     九寸七百一十八分六百三十四釐有
[031-37b]
     餘相減餘三尺六百零三寸七百一十
[031-38a]
     八分六百三十四釐有餘三歸之得一
     尺二百零一寸二百三十九分五百四
     十四釐有餘以内外方邉之較六寸除
     之得二尺零二十分六十五釐九十豪
     有餘為長方面積以内外方邉之較六
     寸為長濶之較用帶縦較數開平方法
     算之得闊一尺一寸四分六釐三豪九
     絲七忽有餘即空心圎球内徑得長一
[031-38b]
     尺七寸四分六釐三豪九絲七忽有餘
     即空心圎球外徑也如圗甲乙丙丁戊
     己庚辛空心圎球體用定率比例而得
     壬癸子丑寅邜辰巳空心正方體将寅
     邜辰巳空心小正方形移置癸角之一
     隅則空心正方體變為壬寅己辰子申
     未午罄折體形其壬寅即罄折體之厚
     為甲丙外徑與戊庚内徑之較依開立
     方法分之得酉戌亥三方亷體乾坎艮
[031-38b]
     三長亷體震一小隅體以壬寅厚度自
[031-39a]
     乗再乗得震一小隅體與空心正方體
     積相減餘三方亷體三長亷體三歸之
     則餘酉一方亷體乾一長亷體共成巽
     壬癸辰坤離一扁方體其巽壬厚與壬
     寅等以巽壬厚除巽壬癸辰坤離扁方
     體則得壬癸辰坤長方面壬寅即長濶
     之較故用帶縦較數開平方法算之得
     邜辰濶與寅癸等即空心圎球之内徑
[031-39b]
     以壬寅與寅癸相加得壬癸與甲丙等
     即空心圎球之外徑也
設如圎窖一座周二十四尺髙十尺問盛米㡬何
     法以周二十四尺用圎周求面積法求
     得圎面積四十五尺八十三寸六十六
     分二十二釐有餘與髙一丈相乗得四
     百五十八尺三百六十六寸二百二十
     分有餘為圎窖之積數乃以米一石積
     數定率二千五百寸為一率一石為二
[031-39b]
     率圎窖體積四百五十八尺三百六十
[031-40a]
     六寸二百二十分有餘為三率求得四
     率一百八十三石三斗四升六合四勺
     有餘即所盛之米數也此法與求長圎
     體積之法同如甲乙丙丁長圎窖以甲
     戊丁巳圎周求得平圎面積用甲乙髙
     乗之即得甲乙丙丁長圎體積既得體
     積則以一石積數二千五百寸與一石
     之比同於今所得之體積與今所求之
[031-40b]
     米數之比也
設如圎窖一座盛米一百六十石髙十尺問周徑各
 㡬何
     法以米一石為一率一石積數定率二
     千五百寸為二率盛米一百六十石為
     三率求得四率四百尺為圎窖之積數
     以髙十尺除之得四十尺為圎窖之面
     積乃用圎積方積之定率比例以圎積
     一○○○○○○○○為一率方積一
[031-40b]
     二七三二三九五四為二率今所得之
[031-41a]
     圎窖面積四十尺為三率求得四率五
     十尺九十二寸九十五分八十一釐六
     十豪有餘開平方得七尺一寸三分六
     釐四豪九絲有餘即圎窖之徑數再用
     徑求周法求得周二十二尺四寸一分
     九釐九豪四絲有餘即圎窖之周數也
設如積米一堆髙五尺底周十四尺問米數幾何
     法以底周十四尺用圎周求面積法求
[031-41b]
     得圎面積一十五尺五十九寸七十一
     分八十四釐一十二豪有餘為尖圎堆
     之底面積與髙五尺相乗得七十七尺
     九百八十五寸九百二十分六百釐有
     餘三歸之得二十五尺九百九十五寸
     三百零六分八百二十釐有餘為尖圎
     堆之積數乃以米一石積數定率二千
     五百寸為一率一石為二率今所得之
     尖圎堆之積數二十五尺九百九十五
[031-41b]
     寸三百零六分八百二十釐有餘為三
[031-42a]
     率求得四率一十石零三升九合八勺
     一抄有餘即所堆之米數也此法與尖
     圎體求積之法同既得尖圎堆之積而
     以一石之積數定率為比例即得米數
     也
設如倚壁積米一堆髙四尺底周六尺問米數㡬何
     法以底周六尺為半周倍之得一十二
     尺為全周用圎周求面積法求得圎面
[031-42b]
     積一十一尺四十五寸九十一分五十
     五釐有餘折半得五尺七十二寸九十
     五分七十七釐有餘為倚壁尖圎堆之
     底面積以髙四尺乗之得二十二尺九
     百一十八寸三百零八分有餘三歸之
     得七尺六百三十九寸四百三十六分
     有餘為倚壁尖圎堆之積數乃以米一
     石積數定率二千五百寸為一率一石
     為二率今所得之倚壁尖圎堆之積數
[031-42b]
     七尺六百三十九寸四百三十六分有
[031-43a]
     餘為三率求得四率三石零五升五合
     七勺七抄有餘即倚壁所堆之米數也
     葢倚壁尖圎堆即尖圎體之一半故求
     得平圎面積折半與髙數相乗又以三
     歸之得倚壁尖圎堆之積數而以一石
     積數為比例即得米數也
設如倚壁内角積米一堆髙五尺周一十二尺問米
 數㡬何
[031-43b]
     法以周一十二尺四因之得四十八尺
     為全周用圎周求面積法求得圎面積
     一百八十三尺三十四寸六十四分九
     十釐有餘四歸之得四十五尺八十三
     寸六十六分二十二釐有餘為倚壁内
     角尖圎堆之底面積與髙五尺相乗得
     二百二十九尺一百八十三寸一百一
     十分三歸之得七十六尺三百九十四
     寸三百七十分為倚壁内角尖圎堆之
[031-43b]
     積數乃以米一石積數定率二千五百
[031-44a]
     寸為一率一石為二率今所得之倚壁
     内角尖圎堆之積數七十六尺三百九
     十四寸三百七十分為三率求得四率
     三十石零五斗五升七合七勺有餘即
     倚壁内角所堆之米數也蓋倚壁内角
     尖圎堆即尖圎體之四分之一故求得
     平圎面積四歸之與髙數相乗又以三
     歸之得倚壁内角尖圎堆之積數而以
[031-44b]
     一石積數為比例即得米數也
設如倚壁外角積米一堆髙六尺底周三十三尺問
 米數㡬何
     法以周三十三尺三歸四因得四十四
     尺為全周用圎周求面積法求得圎面
     積一百五十四尺六寸一十九分八十
     一釐九十二豪有餘四歸三因得一百
     一十五尺五十四寸六十四分八十八
     釐四十四豪有餘為倚壁外角尖圎堆
[031-44b]
     之底面積以髙六尺乗之得六百九十
[031-45a]
      三尺二百七十八寸九百一十八分六
      百四十釐有餘三歸之得二百三十一
      尺九十二寸九百七十二分八百八十
      釐有餘即倚壁外角尖圎堆之積數乃
      以米一石積數定率二千五百寸為一
      率一石為二率今所得之倚壁外角尖
      圎堆之積數二百三十一尺九十二寸
      九百七十二分八百八十釐有餘為三
[031-45b]
      率求得四率九十二石四斗三升七合
      一勺八抄有餘即倚壁外角所堆之米
      數也蓋倚壁外角尖圎堆即尖圎體四
      分之三故求得平圎面積四歸三因與
      髙數相乗又以三歸之得倚壁外角尖
      圎堆之積數而以一石積數為比例即
      得米數也
 
 
[031-45b]
御製數理精蘊下編卷二十六