KR3f0048 御製數理精薀-清-聖祖玄燁 (master)


[003-1a]
 欽定四庫全書
御製數理精藴上編卷三
  幾何原本六
  幾何原本七
  幾何原本八
  幾何原本九
  幾何原本十
[003-2a]
      幾何原本六
      第一
      大凡欲論諸物之不齊必借同類之
      物以比之始可以得其不齊之度數
      如一線與他線相比其度之或長或
      短其數之或多或少自能見之如一
      面與他面相比其面度之或大或小
      其積數之或多或少自能見之又如
[003-2b]
      一體與他體相比其體度之或厚或
      薄其積數之或多或少亦自能見之
      若將一線與一面相比或一面與一
      體相比既不同類又不同形則線之
      長短面之大小體之厚薄俱不可辯
      矣故曰欲論諸物之不齊必借同類
      之物以比之也
      第二
      將兩數相比其度互為大小則謂之
[003-2b]
      比例其比者與所比者俱謂之率率/者
[003-3a]
      法也矩也以數互/相準之之謂也其比之數為前率
      其所比之數為後率如甲乙二數互
      相為比其相較之分甲數之度為長
      其分為多乙數之度為短其分為少
      如是以比之故謂之二率甲為比之
      之數故謂之前率乙為所比之數故
      謂之後率焉
      第三
[003-3b]
      有四率兩兩相比其一率與二率之比
      同於三率與四率之比則謂之同理比
      例也如甲乙丙丁四數甲與乙比丙與
      丁比苟乙為甲六分之五丁為丙六分
      之五則甲與乙之比例丙與丁之比例
      此兩比例相同而乙有甲㡬分之數即
      可知丁有丙㡬分之數矣故凡四率内
      將一率與三率分數定為相等二率與
      四率分數亦定為相等其度之長短雖
[003-3b]
      有不同苟分數定準則一率與二率之
[003-4a]
      比即如三率與四率之比也夫甲乙丙
      丁四線内甲第一線與丙第三線俱各
      定為六分乙第二線與丁第四線俱各
      定為五分則甲度之長雖大於丙度之
      長其分數則俱為六而乙度之長雖大
      於丁度之長其分數亦俱為五故知乙
      第二線度與甲第一線度之六分之五
      分相等丁第四線度亦與丙第三線度
[003-4b]
      之六分之五分相等所以甲線之比乙
      線即如丙線之比丁線而謂之同理比
      例也
      第四
      凡四率兩兩相比其一率與二率相比
      之分若大於三率與四率相比之分則
      為不同理之比例而比例不得行也如
      有甲乙丙丁四數甲與乙丙與丁各互
      相為比苟甲第一數與乙第二數相比
[003-4b]
      之分為六與四其丙第三數與丁第四
[003-5a]
      數相比之分為五與四則此甲與乙之
      比大於彼丙與丁之比矣故凡如此例
      者以一率二率相比之分為凖則三率
      四率相比之分為小若依三率四率相
      比之分為準則一率二率相比之分又
      大故謂之不同理之比例而比例四率
      不能行也
      第五
[003-5b]
      凡有四率一率之度與二率之度相比
      分數若同於三率之度與四率之度相
      比分數則此四率又謂之相當比例四
      率焉如甲乙丙丁四線苟甲線與乙線
      相比之度與丙線與丁線相比之度其
      分數同則此四線謂之各相當線而毎
      兩率相比其毎度之分數同故又謂之
      相當比例四率也
      第六
[003-5b]
      凡三率互相為比其一率與二率之比
[003-6a]
      同於二率與三率之比則謂之相連比
      例率也如甲乙丙三數互相為比苟甲
      數與乙數之比同扵乙數與丙數之比
      則此甲乙丙三數謂之相連比例率矣
      若相連比例率内將一率與三率比之
      則為隔一位加一倍之比例或有相連
      比例四率將一率與四率比之則為隔
      二位加二倍之比例大凡有幾率隔幾
[003-6b]
      位以比者皆以隔幾位而為加幾倍之
      比例也如甲乙丙相連比例率内其甲
      與丙之比為隔一位加一倍之比例又
      或甲乙丙丁戊五數俱為相連比例率
      其甲與丁之比即為隔二位加二倍之
      比例而甲與戊之比則又為隔三位加
      三倍之比例矣
      第七
      相當比例四率為數學之要因其理之
[003-6b]
      所該最廣故設為雙圜圖以申明之立
[003-7a]
      甲㸃為心作乙丙一大圜丁戊一小圜
      此二圜界各具三百六十度故皆可以
      為三百六十分首卷第十七節云凡圜/無論大小俱定為三百
      六十/度於是自圜之甲心過小圜界之辛
      壬二處至大圜己庚二處作二線則大
      圜之己甲庚小圜之辛甲壬俱同一甲
      角此甲角相對之己庚弧界設為六十
      度則為乙丙大圜三百六十分中之六
[003-7b]
      十分矣乙丙大圜之己庚弧界度既為
      六十分則丁戊小圜之辛壬弧界度亦
      為六十分矣大凡角度俱定於相對之
      圜界見首卷/第九節今此大圜之己庚弧界小
      圜之辛壬弧界俱與一甲角相對其度
      雖依圜之大小不同而分數則等分數
      既等則大圜小圜大弧小弧兩兩互相
      為比即如四率之兩兩相比為同理比
      例矣是以大圜之三百六十分為一率
[003-7b]
      自大圜所分之己庚弧之六十分為二
[003-8a]
      率小圜之三百六十分為三率自小圜
      所分之辛壬弧之六十分為四率其乙
      丙大全圜與本圜己庚分之比即同於
      丁戊小全圜與本圜辛壬分之比也故
      凡各率各度雖異相當之分數若同則
      一率與二率之比必同於三率與四率
      之比而俱謂之順推比例矣要之分合
      加減各率之法總不越此圖之互轉相
[003-8b]
      較之理也
      第八
      一種反推比例將一率與二率之比同
      於三率與四率之比者反推之以二率
      與一率為比四率與三率為比其所比
      之例仍同故亦謂之相當比例率也如
      甲乙丙丁四數將甲與乙之比同於丙
      與丁之比反推之以乙與甲為比丁與
      丙為比則所比之例仍同於相當比例
[003-8b]
      率焉以前雙圜圖解之葢甲數與乙數
[003-9a]
      之比例即乙丙大圜全界與所分己庚
      弧界之比例丙數與丁數之比例即丁
      戊小圜全界與所分辛壬弧界之比例
      也今反以乙與甲為比丁與丙為比即
      如以乙丙大圜所分之己庚弧界與乙
      丙大圜全界為比丁戊小圜所分之辛
      壬弧界與丁戊小圜全界為比也因其
      以二率為一率以三率為四率前後互
[003-9b]
      移故謂之反推比例然名雖為反推比
      例而相當比例之率仍與順推比例相
      同也
      第九
      一種遞轉比例將一率與二率之比同
      於三率與四率之比者轉較之以一率
      與三率為比二率與四率為比其所比
      之例仍為相當比例率也如甲乙丙丁
      四數將甲與乙之比同於丙與丁之比
[003-9b]
      轉較之以甲與丙為比乙與丁為比則
[003-10a]
      所比之例仍同於相當比例率也如前
      雙圜圖  乙丙大圜全界一率與所
      分巳庚弧界二率之比同於丁戊小圜
      全界三率與所分辛壬弧界四率之比
      若轉較之以乙丙大圜之一率與丁戊
      小圜之三率為比大圜所分之巳庚弧
      界二率與小圜所分之辛壬弧界四率
      為比其度雖依圜之大小有異而分數
[003-10b]
      則同其比例仍同於原比例故甲乙丙
      丁之四數亦如大小二圜為互相比例
      之率而甲一率與丙三率之比即大圜
      與小圜之比乙二率與丁四率之比即
      大圜所分弧界與小圜所分弧界之比
      也葢以三率為二率以二率為三率遞
      轉相較故謂之遞轉比例其相當比例
      之四率雖遞轉以較之亦仍為相當比
      例之四率也
[003-10b]
      第十
[003-11a]
      一種分數比例彼四率之中以一率與
      二率之比同於三率與四率之比矣若
      將此相比之率所較之分截開以一率
      與二率之較為一率與二率為比以三
      率與四率之較為三率與四率為比則
      其所比之例仍為相當比例率也如甲
      乙丙丁四數於甲數内減去乙數之分
      為戊巳丙數内減去丁數之分為庚辛
[003-11b]
      乃以戊己易甲與乙線為比以庚辛易
      丙與丁線為比則所比之例仍同於相
      當比例率也如前雙圜圖  於乙丙
      大圜全界内減去所分己庚弧界一段
      仍與己庚弧界為比丁戊小圜全界内
      減去所分辛壬弧界一段仍與辛壬弧
      界為比亦與大圜全界與大圜所分弧
      界小圜全界與小圜所分弧界相比之
      理同故此甲線内截去乙所成戊己仍
[003-11b]
      與乙相比即如乙丙大圜全分截去己
[003-12a]
      庚弧界一段仍與己庚弧界相比而丙
      線内截去丁所成庚辛仍與丁相比即
      如丁戊小圜全分截去辛壬弧界一段
      仍與辛壬弧界相比也其比例仍同於
      相當比例四率但因其各分内有分開
      相減之故所以謂之分數比例也
      第十一
      一種合數比例有四率以一率與二率
[003-12b]
      之比同於三率與四率之比矣若將此
      相比之率併之以一率與二率相加為
      一率仍與二率為比以三率與四率相
      加為三率仍與四率為比其所比之例
      亦仍同於相當比例之四率也如甲乙
      丙丁四數以甲數與乙數相加共為一
      率與乙數為比丙數與丁數相加共為
      三率與丁數為比則所比之例仍同於
      相當比例四率也此合數比例與分數
[003-12b]
      比例之理互相對待彼分數比例以雙
[003-13a]
      圜圖  二圜全界内減去所分弧界
      一段仍與所分弧界一段為比今此合
      數比例即如二圜全界内所分大段加
      入所分弧界一小段即是全界而與所
      分弧界一段為比也其所比之理仍同
      於相當比例四率但因有相加之加故
      謂之合數比例焉
      第十二
[003-13b]
      一種更數比例以一率與二率之比同
      於三率與四率之比者更之將一率與
      二率相減用其餘分為二率仍與一率
      為比又將三率與四率相減用其餘分
      為四率仍與三率為比則其比例之理
      仍同於相當比例四率也如甲乙丙丁
      四數於甲第一率内減去乙第二率所
      餘為戊己乃以戊己立乙第二率之位
      而以甲與戊己為比復於丙第三率内
[003-13b]
      減去丁第四率所餘為庚辛乃以庚辛
[003-14a]
      立丁第四率之位而以丙與庚辛為比
      其所比之理仍同於四率之比例故亦
      為相當比例之四率也今以雙圜圖解
      之  乙丙大圜三百六十度之全界
       仍為一率全界内減去所所分之巳
      庚弧界六十度一段餘己丙庚三百度
      一大段  為二率丁戊小圜三百六
      十度之全界  仍為三率全界内減
[003-14b]
      去所分之辛壬弧界六十度一段餘辛
      戊壬三百度一大段  為四率則乙
      丙大圜三百六十度之全界如甲所更
      之巳丙庚三百度如戊巳而丁戊小圜
      三百六十度之全界如丙所更之辛戊
      壬三百度如庚辛故其四率之兩相比
      例亦同為相當比例率也凡四率之内
      前後之相差雖更入比之仍與相當比
      例之理同但以其數有更入之故所以
[003-14b]
      謂之更數比例也
[003-15a]
      第十三
      一種隔位比例有兩相比例四率将此
      一邉四率内一率與末率為比彼一邊
      四率内一率與末率為比則其所比之
      例仍同於相當比例四率也如此一邊
      有甲乙丙丁四數彼一邊有戊己庚辛
      四數此甲與乙之比同於彼戊與己之
      比此乙與丙之比同於彼已與庚之比
[003-15b]
      此丙與丁之比同於彼庚與辛之比若
      将此四率隔位比之使此一邊之甲與
      丁為比以彼一邊之戊與辛為比則其
      比例仍同於相當比例四率也試以雙
      圜圖之大小圜所分各弧界之兩線引
      長  自庚壬過甲至癸丑作一全徑
      線復自己辛過甲至子寅作一全徑線
      則分大圜為庚巳己丑丑寅寅庚四段
      分小圜為壬辛辛癸癸子子壬四段其
[003-15b]
      大圜之庚己己丑丑寅寅庚四段為相
[003-16a]
      當四率而小圜之壬辛辛癸癸子子壬
      四段亦為相當四率此二圜之所分四
      段既俱為相當四率則其各相比例度
      之大小雖異而分數相同故大圜之庚
      己一段與已丑一段之比同於小圜之
      壬辛一段與辛癸一段之比大圜之已
      丑一段與丑寅一段之比同於小圜之
      辛癸一段與癸子一段之比大圜之丑
[003-16b]
      寅一段與寅庚一段之比同於小圜之
      癸子一段與子壬一段之比也若以此
      各相當四率隔位以比之其大圜之庚
      已一段與寅庚一段為比而小圜之壬
      辛一段與子壬一段為比其比例仍同
      於相當比例四率但以其兩邊各相比
      例四率内各取兩率隔位以比之故謂
      之隔位比例耳
      第十四
[003-16b]
      一種錯綜比例有兩連比例三率此一
[003-17a]
      邊三率内中率與末率之比同於彼一
      邊三率内中率與末率之比則為相當
      比例之四率苟錯綜其位分以此一邊
      首率與末率隔位為比復取另一數與
      彼一邊中率為比而成同理之四率則
      此另一數必與彼邊三率為連比例四
      率矣如此一邊有甲乙丙連比例三數
      彼一邊有丁戊已連比例三數将此一
[003-17b]
      邉中率乙數與末率丙數之比同於彼
      一邊中率戊數與彼一邉末率己數之
      比則其比例為同理比例矣今錯綜其
      位分使此一邊所有之首率甲數與所
      有之末率丙數隔位為比復另取一庚
      數與彼一邊所有之中率戊數為比則
      其比例亦同於相當比例四率而此庚
      數與彼邊丁戊己三率為連比例之數
      矣何也試以庚數置於彼一邊丁首率
[003-17b]
      之上則庚為首率而丁移而為中率戊
[003-18a]
      又易而為末率是故此一邊甲首率與
      丙末率之比同於彼一邊所取庚首率
      與所易戊末率之比但以兩連比例率
      互相易位増入比之之不同故名之為
      錯綜比例耳
      第十五
      一種加分比例凡有二率依本度各加
      幾倍所加之分數若等則所成之二率
[003-18b]
      互相為比仍同於原二率之互相為比
      謂之等倍相加之比例也如甲乙二數
      於甲數依本度加三倍為丙於乙數依
      本度加三倍為丁則此丙丁二數互相
      為比仍同於甲乙二數之互相為比也
      假若甲度為一大分乙度為一小分則
      甲加三倍成四大分之丙乙加三倍成
      四小分之丁以四大分之丙比四小分
      之丁以一大分之甲比一小分之乙其
[003-18b]
      相當之分數既等固為同理比例可知
[003-19a]
      矣見本卷/第三節故凡二率依本度各加幾倍
      其所加之分數若等其加分之率互相
      為比必同於原率之互相為比因於原
      數有相加之分故謂之加分比例也
      第十六
      一種減分比例凡有二率依度度各減
      幾倍所減之分數若俱等則所成之二
      率互相為比仍同於原二率之互相為
[003-19b]
      比謂之等分相減之比例也如有甲乙
      丙丁二數其甲乙之三分内減去甲戊
      一分丙丁之三分内減去丙己一分則
      戊乙己丁互相為比仍同於原甲乙丙
      丁全數之互相為比也何也夫甲乙度
      為三尺丙丁度為三寸自甲乙度内減
      去一尺則為戊乙自丙丁度内減去一
      寸則為己丁以所餘之戊乙二尺與所
      餘之已丁二寸為比以甲乙之全三尺
[003-19b]
      與丙丁之全三寸為比其相當之分數
[003-20a]
      必等故亦為同理比例矣凡二率之内
      無論減幾分其所減之分數若等則相
      比之理必同於原數之比例因於原數
      内減之故又謂之減分比例也
[003-21a]
      幾何原本七
      第一
      前卷所論比例之法凡一十有二相當/比例
      一種相連比例一種正比例一種反比/例一種遞轉比例一種分數比例一種
      合數比例一種更數比例一種隔位比/例一種錯綜比例一種加分比例一種
      減分比/例一種雖種種變化不窮其每相當分
      數所成之率依然一理故其相比之例
      俱同而皆為相當比例四率也是故線
[003-21b]
      與線為比面與面為比體與體為比依
      前各種比例之法線之比例若同則為
      相當比例線面之比例若同則為相當
      比例面體之比例若同則為相當比例
      體矣夫線面體為類不同雖不能互相
      為比假使線面體之每相當分數若等
      則按其各類相當分數比之亦為同理
      比例率也如甲之六分線與乙之三分
      線相比丙之六分面與丁之三分面相
[003-21b]
      比戌之六分體與已之三分體相比此
[003-22a]
      三種每相當分數既俱相等故其比例
      亦俱相等而六率互為同理比例可知
      矣
      第二
      大凡直角平方面積皆生於二線之度
      故欲知方面所生比例之分將其二形
      之縱横線分考之即可得而知矣如甲
      乙丙丁直角平方之二面欲知其所生
[003-22b]
      比例之分則視甲乙大形之甲戊横線
      長度得彼丙丁小形之丙己横線長度
      為三倍而甲乙大形之甲庚縱線寛度
      得彼丙丁小形之丙辛縱線寛度為二
      倍假若將甲乙大形自中線平分為甲
      癸壬乙二形其甲癸形之甲壬寛度丙
      丁形之丙辛寛度必俱相等其甲戊横
      線長度既仍與丙己横線長度為三倍
      其所分之甲癸形必與丙丁三形相等
[003-22b]
      再彼壬乙形亦與丙丁三形相等則此
[003-23a]
      二形相合之甲乙一全形比之丙丁小
      形為六分可知矣又或甲乙大形之甲
      戊横線長度得丙丁小形之丙己横線
      長度為四倍甲乙大形之甲庚縱線寛
      度得丙丁小形之丙辛縱線寛度為三
      倍則大形與小形四倍者有三而大形
      比小形為十二分可知矣再或甲乙大
      形之甲戊横線比丙丁小形之丙己横
[003-23b]
      線為十二倍丙丁小形之丙辛縱線反
      比甲乙大形之甲庚縱線為三倍則甲
      乙大形之甲戊横線之長雖比丙丁小
      形之丙己横線之長多十一倍而甲乙
      大形之甲庚縱線之寛又比丙丁小形
      之丙辛縱線之寛少二倍矣將此縱横
      二線之多少較之甲乙大形比丙丁小
      形為四倍而丙丁小形為甲乙大形之
      四分之一於是以二形之縱横多少互
[003-23b]
      相較對以比例之始得知此形與彼形
[003-24a]
      之比例焉故凡直角平方面形與他一
      形相比其比例有二以此形之長與他
      形之長比之為一比例以此形之寛與
      他形之寛比之為一比例兩形相比之
      間而兼兩比例者正以平面之積自二
      線之度生之之故也
      第三
      有兩直角方面形若將此方面横界與
[003-24b]
      他方面横界為比又將他方面縱界與
      此方面縱界為比其比例若同則此兩
      方面必相等也如甲乙丙丁兩方面形
      甲乙形之甲戊横界比丙丁形之丙己
      横界大一倍而丙丁形之丙庚縱界比
      甲乙形之甲辛縱界亦大一倍則甲乙
      丙丁兩形之分必相等是知兩方面形
      縱横之分互相較對則兩方面之積可
      知矣
[003-24b]
      第四
[003-25a]
      凡有相比例四率其二率與三率相乘
      一率與四率相乘則所得之分數俱相
      等也如甲乙丁戊戊己乙丙相比例四
      率甲乙一率為二分丁戊二率為四分
      戊己三率為三分乙丙四率為六分將
      丁戊二率為縱線戊已三率為横線以
      之相乗又將甲乙一率為縱線乙丙四
      率為横線以之相乗其所得之丁己一
[003-25b]
      方面形甲丙一方面形其分數俱是十
      二互相等矣然則丁已形之丁戊縱度
      雖比甲丙形之甲乙縱度大一半而丁
      已形之戊己横度復比甲丙形之乙丙
      横度少一半故其縱横互較之分相等
      而其積亦等也是故四率中凡有三率
      欲求其不知之一率將兩率之分相乘
      所得之數以一率之分除之即得其一
      率矣設如甲乙三分為一率丁戊六分
[003-25b]
      為二率戊己五分為三率乙丙十分為
[003-26a]
      四率今只知一率二率三率之分欲推
      四率則以丁戊六分二率與戊巳五分
      三率相乘為丁己三十分乃以甲乙三
      分一率除之即得乙丙十分四率矣此
      以小分為首率者也或知乙丙戊己丁
      戊之三率而推甲乙之一率則以乙丙
      十分為一率戊巳五分為二率丁戊六
      分為三率二率與三率相乘一率除之
[003-26b]
      即得甲乙之四率矣此以大分為首率
      者也又或知甲乙丁戊乙丙之三率而
      推戊己之一率則以丁戊為一率甲乙
      為二率乙丙為三率二率與三率相乘
      一率除之即得戊己之四率矣此即反
      推比例之理也又或知戊己乙丙甲乙
      之三率而推丁戊之一率則以戊己為
      一率甲乙為二率乙丙為三率二率與
      三率相乘一率除之即得丁戊之四率
[003-26b]
      矣此即遞轉比例之理也
[003-27a]
      第五
      凡有兩直角方面形此一方面之横界
      與他一方面横界為比此一方面之縱
      界與他一方面縱界為比其比例若等
      則此兩方面之比例比之兩界之比例
      為連比例隔一位相加之比例也如甲
      乙丙丁同式二方面形其甲乙形之甲
      戊横界為丙丁形丙己横界之二倍而
[003-27b]
      甲乙形之甲庚縱界亦為丙丁形丙辛
      縱界之二倍則甲乙形面積與丙丁形
      面積之比比之甲乙形之一界與丙丁
      形之一界之比者即如連比例三率隔
      一位相加之比例矣葢甲乙方面之縱
      横界既為丙丁方面縱横界之二倍則
      甲乙方面内如丙丁方面之二倍者有
      二二其二為四故甲乙方面積比丙丁
      方面積為四倍今甲乙方面積為一十
[003-27b]
      六分與丙丁方面積之四分相比較之
[003-28a]
      甲乙方界之四分與丙丁方界之二分
      相比者不同葢丙丁四得甲乙十六之
      四分之一而辛丁二得庚乙四之二分
      之一以四分比一分較之二分比一分
      不為二倍乎故欲求其比例相連之率
      則於甲乙形之界二倍之得八分與丙
      丁方界二分為比即如甲乙方面積十
      六與丙丁方面積四分之比矣夫八與
[003-28b]
      十六四與八二與四皆二分之一之比
      例而十六隔八與四比八隔四與二比
      則皆成四分之一之比例故十六與四
      較之四與二為兩界上連比例隔一位
      相加之比例也又如甲乙方面之縱横
      界為丙丁方面縱横界之三倍則甲乙
      方面内如丙丁方面之三倍者有三三
      其三為九故甲乙之面積比丙丁面積
      為九倍今甲乙之積為三十六分與丙
[003-28b]
      丁方面積四分相比較之甲乙方界之
[003-29a]
      六分與丙丁方界之二分相比者不同
      葢丙丁四得甲乙三十六之九分之一
      而辛丁二得庚乙六之三分之一以九
      分比一分較之三分比一分不為三倍
      乎故欲求其比例相連之率則於甲乙
      形之界三倍之得十八與丙丁方界二
      分為比即如甲乙方面積三十六與丙
      丁方面積四之比例矣葢十八與六六
[003-29b]
      與二皆三分之一之比例而三十六隔
      十二與四比十八隔六與二比則皆為
      九分之一之比例故三十六與四較之
      六與二亦為兩界上連比例隔一位相
      加之比例也
      第六
      凡直角方面形有二種一為長方一為
      正方因其縱横界之比例各異故其所
      生之形不同而積不得互相為比也如
[003-29b]
      欲比之必以長方與長方為比正方與
[003-30a]
      正方為比其比例始行如甲乙丙丁兩
      長方面形其甲乙形之甲戊横界與丙
      丁形之丙己横界為大一倍甲乙形之
      甲庚縱界與丙丁形之丙辛縱界亦為
      大一倍其比例相同若以甲乙形之甲
      戊横界與丙丁形之丙辛縱界為比則
      大三倍而甲乙形之甲庚縱界與丙丁
      形之丙己横界為比止大一分猶不得
[003-30b]
      大一倍其比例則異故甲乙形所生之
      積為二十四而丙丁形所生之積為六
      俱為長方形焉又如子丑寅夘兩正方
      形其子丑形之子辰横界與寅卯形之
      寅已横界之比子丑形之子午縱界與
      寅卯形之寅未縱界之比俱為大三倍
      而比例相同復以子丑形之子辰横界
      與寅卯形之寅未縱界為比子丑形之
      子午縱界與寅卯形之寅已横界為比
[003-30b]
      亦各大三倍而比例相同故子丑形所
[003-31a]
      生之積為三十六而寅夘形所生之積
      為四俱為正方形焉以此四形兩兩相
      比則甲乙長方形與丙丁長方形為比
      而子丑正方形與寅卯正方形為比各
      為相當比例之四方面也
      第七
      有兩同式長方面於兩形相當之二界
      各作兩正方面互相為比即同原兩長
[003-31b]
      方面之互相為比也如甲乙丙丁兩直
      角長方面在甲戊丙己相當二横界各
      作甲庚丙辛兩正方面則所作甲庚丙
      辛兩正方面互相為比即同於原有之
      甲乙丙丁相同之兩長方面之互相為
      比也夫甲乙丙丁同式之兩長方面積
      既為隔一位相加之比例則所作甲庚
      丙辛同式之正方面積亦必為隔一位
      相加之比例然則甲乙丙丁原有之兩
[003-31b]
      面互相為比與所作甲庚丙辛之正方
[003-32a]
      面之互相為比其為同理之比例無疑
      矣
      第八
      大凡二平行線内所有直角方面互相
      為比同於其底之互相為比也如甲乙
      丙丁二平行線内有甲已庚丁兩直角
      方面其甲已面與庚丁面之比即同於
      甲已面之丙己底線與庚丁面之辛丁
[003-32b]
      底線之比也葢甲巳面之丙巳底線與
      庚丁面之辛丁底線為三倍而甲巳面
      之甲丙縱線與庚丁面之庚辛縱線因
      同在二平行線内其度固同今以二面
      縱線俱依庚丁面之庚辛分數分之皆
      為四倍則甲巳面為一十二分而庚丁
      面為四分矣以甲己面之十二分與庚
      丁面之四分為比即如甲己面之丙己
      底三分與庚丁面之辛丁底一分之比
[003-32b]
      故其比例相同也
[003-33a]
      第九
      凡二平行線内所有二界平行斜方面
      互相為比同於其底界度之互相為比
      也如甲乙丙丁二平行線内有甲戊乙
      丁兩斜方面積互相為比即同於丙戊
      巳丁兩底界之互相為比也試將甲戊
      乙丁兩斜方面之丙戊己丁兩底界上
      立庚戊辛丁兩直角面則此兩直角面
[003-33b]
      因與兩斜方面同底同髙其積必等見/三
      卷第/八節前節言凡二平行線内所有直角
      方面互相為比同於其底之互相為比
      此甲戊乙丁兩斜方面既與同底所立
      庚戊辛丁兩直角面相等則甲戊乙丁
      兩斜方面互相為比必同於丙戊己丁
      兩底界之互相為比可知矣故凡二平
      行線内所有面積相比之分數必與底
      界相比之分數同也
[003-33b]
      第十
[003-34a]
      凡二平行線内所有三角形面積互相
      為比亦同於其底界度之互相為比也
      如甲乙丙丁二平行線内有戊己庚辛
      壬癸兩三角形其内所函面積互相為
      比即同於巳庚壬癸兩底界之互相為
      比也何也凡二平行線内所有三角形
      得其同底所立四邊形之一半今以甲
      乙丙丁二平行線内之戊己庚三角形
[003-34b]
      同底立一戊巳庚子四邊形辛壬癸三
      角形同底立一辛壬癸丑四邊形則戊
      巳庚三角形為戊巳庚子四邊形之一
      半而辛壬癸三角形為辛壬癸丑四邊
      形之一半如以兩三角形面積互相為
      比即同於兩四邊形面積之互相為比
      而為相當比例四率矣其面積既互相
      為比則其兩三角形面積相比同於兩
      三角形底之相比者亦如兩四邊形相
[003-34b]
      比同於兩四邊形底之相比矣然則戊
[003-35a]
      巳庚辛壬癸兩三角形面積互相為比
      必同於巳庚壬癸兩底界互相為比者
      可知也今壬癸底界既比己庚底界大
      一倍故辛壬癸三角形面積必比戊巳
      庚三角形面積亦大一倍也
[003-36a]
      㡬何原本八
      第一
      凡三角形内與其底線平行作一直線
      則所截三角形之兩邊線互相為比例
      線其兩邊線所分各二叚互相為比為
      相當比例四率而每邊所截之一叚與
      本全線比之亦為相當比例四率也如
      甲乙丙三角形内與乙丙底線平行作
[003-36b]
      一丁戊線則分甲乙一邊為甲丁丁乙
      二叚分甲丙一邊為甲戊戊丙二叚其
      甲乙一邊之甲丁丁乙二叚互相為比
      甲丙一邊之甲戊戊丙二叚互相為比
      其比例俱同為相當比例四率矣又如
      甲乙一邊之甲丁一叚與本邊甲乙全
      線為比甲丙一邊之甲戊一叚與本邊
      甲丙全線為比其比例亦俱同為相當
      比例四率矣今以三角形按所截分分
[003-36b]
      為各式以各式面積互相比者考之自
[003-37a]
      丁戊線之丁戊二端作丁丙戊乙二線
      則甲乙丙一三角形分為四三角形此
      四三角形内所有之乙戊丁丙丁戊兩
      三角形既在乙丙丁戊二平行線之間
      又共立於一丁戊之底其二形之積必
      等見三卷/第十節於此二形各加一所截甲丁
      戊小三角形即成甲戊乙甲丁丙兩三
      角形其積亦必相等又如甲丁戊乙丁
[003-37b]
      戊兩三角形之底俱在甲乙一直線上
      而兩三角形之戊角又共在一戊處其
      兩形必在二平行線之間而甲丁戊丙
      丁戊兩三角形之底俱在甲丙一直線
      上而兩三角形之丁角又共在一丁處
      其兩形亦在二平行線之間見三卷第/十二節
      因各三角形兩兩俱為二平行線所限
      故其面積互相為比必同於其底界之
      互相為比也見七卷/第十節此所以甲丁戊丙
[003-37b]
      丁戊兩三角形積互相為比與其甲戊
[003-38a]
      戊丙兩底線之互相為比同其甲丁戊
      乙丁戊兩三角形積互相為比與其甲
      丁丁乙兩底線之互相為比亦同也冄
      甲乙戊三角形之積既與甲丙丁三角
      形之積相等則以甲乙丙之全形與所
      分之甲乙戊三角形或與所分之甲丙
      丁三角形相比其比例必俱相同而甲
      丙丁三角形之甲丁底與甲丙乙全形
[003-38b]
      之甲乙底互相為比甲乙戊三角形之
      甲戊底與甲乙丙全形之甲丙底互相
      為比亦必俱相同矣因其各三角形得
      互相為比例故其所截兩邊線兩兩為
      相當比例率也
      第二
      凡三角形内與底平行作一直線其所
      截兩邊線之每一叚與各邊全線之比
      即同於所作線與底線之比也如甲乙
[003-38b]
      丙三角形内與乙丙底平行作一丁戊
[003-39a]
      線此丁戊線所截甲丁一叚與甲乙全
      線之比甲戊一叚與甲丙全線之比皆
      如丁戊線與乙丙底線之相比也假若
      將甲乙丙三角形之甲乙邊線為底而
      與甲乙底線平行作一戊己線即成戊
      巳乙丁四邊長方形其兩兩平行線之
      度俱各相等然三角形之兩邊與所截
      之每叚既互相為比如前節/所云則此乙丙
[003-39b]
      邊之乙己一叚與乙丙邊全線之比即
      同於彼甲丙邊之甲戊一叚與甲丙邊
      全線之比而丁戊之平行線既與乙已
      平行線度相等則此丁戊平行線與原
      底乙丙線之比亦必同於彼甲丙邊之
      甲戊一叚與甲丙邊全線之比矣故甲
      戊叚為一率甲丙邊全線為二率丁戊
      平行線為三率乙丙底線為四率為相
      當比例四率也又如甲乙邊之甲丁一
[003-39b]
      叚與甲乙邊全線之比既同於丁戊平
[003-40a]
      行線與乙丙底線之比則甲丁叚為一
      率甲乙邊全線為二率丁戊平行線為
      三率乙丙底線為四率亦為相當比例
      四率也苟甲乙邊全線為六分則甲丁
      叚得其六分之二分乙丙邊全線為六
      分則丁戊叚亦得其六分之二分所以
      成兩兩相當比例之率也
      第三
[003-40b]
      凡大小兩三角形其相當之二角度若
      兩兩相等則其餘一角亦必相等如此
      類兩三角形謂之同式三角形也雖其
      内容積分不同而其相當各界互相為
      比俱為相當比例之率焉如甲乙丙丁
      戊己大小兩三角形其甲角與丁角等
      乙角與戊角等則所餘丙角必與己角
      等而為同式三角形也二卷第三節言/凡三角形之三
      角相併與二直角等則此大小兩三角/形之各三角相併亦俱為二直角於二
[003-40b]
      直角中减去大形之甲角乙角餘為丙/角減去小形之丁角戊角餘為己角其
[003-41a]
      所減之數既等則所/餘之數亦必等矣若於大形内與乙
      丙平行作庚辛線與甲乙平行作辛壬
      線則成甲庚辛辛壬丙兩小三角形此
      兩小形之相當角度與大形之相當角
      度亦必俱等故皆謂之同式形也凡同
      式之形其容積雖不一而其各界互相
      為比皆為相當比例之四率是故以大
      三角形之甲乙全線與所截甲庚一叚
[003-41b]
      之比即如大三角形之甲乙一邊與小
      三角形之相當丁戊一邊之比也大三
      角形之甲丙全線與所截甲辛一叚之
      比即如大三角形之甲丙一邊與小三
      角形之相當丁巳一邊之比也大三角
      形之乙丙底線與所截庚辛底線之比
      即如大三角形之乙丙底線與小三角
      形之戊已底線之比也至於甲乙丙大
      三角形與所截辛壬丙小三角形相當
[003-41b]
      各界之比亦如甲乙丙大三角形與丁
[003-42a]
      戊已小三角形相當各界之比也由此
      推之凡同式之形其相當各界互相為
      比皆為相當比例之率可知矣
      第四
      同式直角三角形面積互相為比同於
      三角形各相當界所作方形之互相為
      比而同式三角形面積互相為比者比
      之各相當界互相為比則為連比例内
[003-42b]
      隔一位相加之比例也如甲乙丙丁戊
      巳兩同式直角三角形其面積互相為
      比即同於此兩三角形之乙丙戊巳相
      當二界所作庚乙辛戊兩方形互相為
      比之比例而此兩三角形之面積互相
      為比比之乙丙戊已相當二界互相為
      比之比例則為連比例内隔一位相加
      之比例矣葢兩三角形之乙戊二角俱
      為直角若與乙丙戊巳二線平行作甲
[003-42b]
      壬丁癸二線又與甲乙丁戊二線平行
[003-43a]
      作壬丙癸己二線即成壬乙癸戊兩直
      角長方形此甲乙丙丁戊己兩三角形
      因與所作壬乙癸戊兩直角長方形在
      二平行線内同為一底其積為一半將
      半與半相比者即同於全與全之相比
      故甲乙丙丁戊己兩三角形互相為比
      必同於壬乙癸戊兩直角長方形互相
      為比之比例矣夫依乙丙戊己甲乙丁
[003-43b]
      戊各相當二界所作壬乙癸戊兩長方
      形互相為比之比例既與甲乙丙丁戊
      己兩三角形互相為比之比例同則依
      乙丙戊己相當二界所作庚乙辛戊兩
      正方形互相為比之比例亦與壬乙癸
      戊兩長方形與甲乙丙丁戊己兩三角
      形互相為比之比例同矣又凡直角兩
      方形其兩界互相為比之比例若俱同
      則兩形面積互相為比之比例較之兩
[003-43b]
      界互相為比之比例為隔一位相加之
[003-44a]
      比例見七卷/第五節今甲乙丙丁戊己兩三角
      形之各依底線所作正方形互相為比
      較之二底線互相為比之比例即為隔
      一位相加之比例夫甲乙丙丁戊己兩
      三角形之面積互相為比者既與所作
      庚乙辛戊兩正方形面積互相為比之
      比例同則此所作兩正方形面積相比
      較之兩底相比為隔一位相加之比例
[003-44b]
      而甲乙丙丁戊己兩三角形面積互相
      為比較之乙丙戊己相當二界互相為
      比之比例亦為隔一位相加之比例可
      知矣
      第五
      同式無直角三角形面積互相為比同
      於三角形各相當界所作方形之互相
      為比而三角形面積互相為比者比之
      各相當界互相為比則為連比例内隔
[003-44b]
      一位相加之比例也如甲乙丙丁戊己
[003-45a]
      兩同式三角形雖無直角然其相當各
      角俱等則此兩形面積互相為比同於
      在此兩形之甲乙丁戊相當二界所作
      方形互相為比之比例而兩形之面積
      互相為比者比之甲乙丁戊相當二界
      互相為比之比例則為連比例内隔一
      位相加之比例矣試自兩形之丙己二
      角與甲乙丁戊二界平行作丙庚己辛
[003-45b]
      各一線又自甲丁二角至庚辛二線之
      末作甲庚丁辛二線又與此二線平行
      自乙戊二角至壬癸二處作乙壬戊癸
      二線成庚乙辛戊兩直角長方形此兩
      長方形與甲乙丙丁戊己兩三角形俱
      在兩平行線内又同為一底則此兩三
      角形面積為彼庚乙辛戊兩長方形之
      一半將半與半相比者同於全與全之
      相比故甲乙丙丁戊己兩三角形面積
[003-45b]
      之比例必同於庚乙辛戊兩長方形之
[003-46a]
      比例矣夫同式兩長方形之比例同於
      相當界所立正方形之比例而同式正
      方形之比例比之各相當界之比例為
      連比例隔一位相加之比例今此兩三
      角形面積之比例既同於庚乙辛戊兩
      長方之比例亦必同於兩正方之比例
      則兩三角形面積之比例比之兩界之
      比例為連比例隔一位相加之比例可
[003-46b]
      知矣
      第六
      有衆多邊形其邊數同相當各角俱等
      而相當界之比例又同則謂之同式形
      也如有甲乙丙丁戊己庚辛壬癸大小
      兩多邊形其邊數俱為五其相當甲己
      二角乙庚二角丙辛二角丁壬二角戊
      癸二角各度俱等而甲乙邊與己庚邊
      之比即同於乙丙邊與庚辛邊之比其
[003-46b]
      相當邊互相比之俱同者即謂之同式
[003-47a]
      多邊形也又如衆曲線形於其内外作
      各種直界形其式若同則謂之同式曲
      線形也假如有甲乙大小兩曲線形在
      甲大形内作一丙丁戊己庚五邊形在
      乙小形内作一辛壬癸子丑五邊形此
      所作兩五邊形之式若同則曲線形之
      式必同又如甲乙大小兩曲線形在甲
      大形外作一丙丁戊己四邊形在乙小
[003-47b]
      形外作一庚辛壬癸四邊形此所作兩
      四邊形之式若同其曲線形之式亦必
      同故皆謂之同式曲線形也或如甲乙
      丙丁大小兩圜分於大圜分内作一戊
      甲乙三角形於小圜分内作一己丙丁
      三角形此所作兩三角形之式若同則
      圜分之式亦必同故謂之同式圜分也
      第七
      大小各圜分之式若同則其相對之圜
[003-47b]
      心角度必俱等也如甲乙丙丁大小兩
[003-48a]
      圜之戊甲己庚丙辛兩分之式相同其
      弧雖隨圜之大小各殊而自圜所分之
      度必同其各叚所對二圜之壬癸心角
      度亦等矣夫戊甲己與庚丙辛兩叚式
      既同則此内所函甲戊己丙庚辛兩三
      角形之甲丙相當兩界角之度必等若
      自甲丙二角過二圜心壬癸至對界乙
      丁作甲壬乙丙癸丁二線則成兩界角
[003-48b]
      與兩心角葢心角大於界角一倍故甲
      乙大圜之戊壬乙心角比戊甲乙界角
      大一倍乙壬己心角比乙甲己界角大
      一倍今將戊壬乙乙壬己兩心角併之
      戊甲乙乙甲己兩界角併之則所併之
      心角亦必比所併之界角大一倍矣而
      丙丁小圜之庚癸丁丁癸辛兩心角併
      之亦必比庚丙丁丁丙辛所併之兩界
      角大一倍夫兩圜之兩界角度既等而
[003-48b]
      兩圜之所併之心角度又等則兩界角
[003-49a]
      相對之戊乙己庚丁辛兩弧叚之分數
      亦必相等界角所對之弧分既等則心
      角所對之弧分亦必相等心角所對之
      弧分即為甲丙二界角相對之壬癸二
      心角之度也
      第八
      凡大小同式多邊形分為衆三角形其
      相當三角形之式俱相同也如甲乙丙
[003-49b]
      丁戊己庚辛壬癸兩同式五邊形自大
      形甲角至丙丁二角自小形己角至辛
      壬二角各作二線則大形分為甲乙丙
      甲丙丁甲丁戊三三角形小形分為己
      庚辛己辛壬己壬癸三三角形而甲乙
      丙之形與相當己庚辛之形同式甲丙
      丁之形與相當己辛壬之形同式甲丁
      戊之形與相當己壬癸之形同式因其
      所分各三角形俱為同式故相當各角
[003-49b]
      度必等相當各角度既等則其相當各
[003-50a]
      界之比例亦必俱同自五邊形所分之
      各三角形之相當界互相為比之比例
      既同則五邊形之相當各界互相為比
      之比例亦必同相當各界之比例相同
      則兩形之式相同可知矣
      第九
      凡大小同式多邊形互相為比同於各
      形相當界所作方形之互相為比而比
[003-50b]
      之各面相當界互相為比之比例為連
      比例隔一位相加之比例也如甲乙丙
      丁戊己庚辛壬癸兩同式五邊形於大
      形之丙丁界小形之辛壬界各作子丙
      丑辛大小兩方形其大小五邊形互相
      為比必同於所作子丙丑辛大小二方
      形之互相為比大小五邊形既同於大
      小兩方形之互相為比則比之丙丁辛
      壬相當二界互相為比之比例為連比
[003-50b]
      例隔一位相加之比例矣若將甲乙丙
[003-51a]
      丁戊己庚辛壬癸兩形分為衆三角形
      則相當各三角形之式必同相當各三
      角形之式既同則相當各三角形互相
      為比即同於在三角形各相當界所作
      方形之互相為比而各三角形面積之
      互相為比較之各相當界互相為比之
      比例亦為連比例隔一位相加之比例
      夫所分衆三角形互相為比既同於所
[003-51b]
      作方形之互相為比則衆三角形所合
      甲乙丙丁戊己庚辛壬癸之大小五邊
      形互相為比亦必同於丙丁辛壬相當
      界所作子丙丑辛大小兩方形之互相
      為比而比之丙丁辛壬相當界互相為
      比之比例為連比例隔一位相加之比
      例可知矣
      第十
      凡大小同式直界形互相為比同於在
[003-51b]
      所比各形内外所有同式形之各相當
[003-52a]
      界所作正方形之互相為比也如甲乙
      丙丁戊己庚辛壬癸子丑大小兩直界
      形於此二形内所函之甲丙丁己庚壬
      癸丑二同式四邊形之甲丙庚壬相當
      二界作寅丙卯壬正方形則兩直界形
      互相為比即同於兩正方形之互相為
      比也若將甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子
      丑兩六邊形俱分為三角形則其相當
[003-52b]
      各三角形之式俱相同而相當各三角
      形互相為比必同於甲丙庚壬相當二
      界所作寅丙卯壬正方形之互相為比
      矣此所分三角形之比例既同於所作
      正方形之比例則大小兩形内各三角
      形之甲丙庚壬界又為兩四邊形之共
      界而甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑兩
      同式形互相為比亦必同於其所函之
      甲丙丁己庚壬癸丑兩四邊形之甲丙
[003-52b]
      庚壬兩相當界所作寅丙卯壬兩正方
[003-53a]
      形之互相為比可知矣
      第十一
      凡大小同式曲界形互相為比同於在
      所比各形内外所有同式形之各相當
      界所作正方形之互相為比也如甲乙
      丙丁戊己庚辛壬癸子丑大小二圜此
      二圜之中雖各函一同式六邊形各函
      一同式四邊形又各函衆同式三角形
[003-53b]
      此大小二圜之積互相為比必同於在
      圜内所函同式形之甲丙庚壬相當二
      界所作寅丙卯壬正方形之互相為比
      也大凡衆界形或函圜或函於圜其界
      數愈多愈與圜界相近而圜界分為千
      萬叚即成千萬直界形見四卷第十/九二十等節
      大小兩圜之比例固與内函相當直界
      形之比例等矣夫相當直界形之比例
      原同於兩形之相當界所作方形之比
[003-53b]
      例而圜界形之比例又同於相當直界
[003-54a]
      形之比例則此大小二圜互相為比之
      比例同於此二圜之輻線或徑線所作
      正方形互相為比之比例可知矣
      第十二
      凡圓面徑與撱圓面一名鴨/蛋形髙度等者
      其面積互相為比之比例即同於函兩
      形各作切方形互相為比之比例而圓
      形面積與撱圓形面積互相為比之比
[003-54b]
      例又同於圓形徑與撱圓形小徑互相
      為比之比例也如子壬寅癸之圓面子
      丑寅卯之撱圓面其子寅髙度俱同圓/徑
      即撱圓/大徑其面積互相為比之比例必同
      於圓面外所作切圓戊己庚辛正方形
      與撱圓面外所作切圓甲乙丙丁長方
      形互相為比之比例而子壬寅癸圓面
      與子丑寅卯撱圓面互相為比之比例
      又同於圓面之壬癸徑與撱圓面之丑
[003-54b]
      卯小徑互相為比之比例也葢平行線
[003-55a]
      内兩面形互相為比之比例同於其底
      界互相為比之比例見七卷/第八節今戊己庚
      辛正方形與甲乙丙丁長方形皆在戊
      辛己庚平行線内故戊己庚辛正方形
      與甲乙丙丁長方形互相為比之比例
      同於己庚底與乙丙底互相為比之比
      例而子壬寅癸圓面與子丑寅卯撱圓
      面亦在戊辛己庚平行線内則子壬寅
[003-55b]
      癸圓面與子丑寅卯撱圓面互相為比
      之比例必同於戊己庚辛正方形與甲
      乙丙丁長方形互相為比之比例矣然
      戊己庚辛正方形之己庚底即圓面壬
      癸徑度而甲乙丙丁長方形之乙丙底
      又即撱圓面之丑卯徑度也夫平圓與
      撱圓之比例既同於正方形與長方形
      之比例而正方形與長方形之比例又
      同於己庚底與乙丙底之比例則圓面
[003-55b]
      與撱圓面之比例同於圓面之壬癸徑
[003-56a]
     與撱圓面之丑卯徑之比例可知矣
[003-57a]
      㡬何原本九
      第一
      凡直角三角形自直角至相對界作一
      垂線則一形分為兩形與原形共為三
      同式直角三角形而其比例俱相同也
      如甲乙丙直角三角形自甲直角至相
      對乙丙界作一甲丁垂線則甲乙丙一
      形分為甲丁乙甲丁丙兩形此所分兩
[003-57b]
      形與原有甲乙丙形之式俱相同而皆
      為直角三角形其三形毎相當各界之
      比例亦俱相同也葢甲丁線既為垂線
      則兩傍所分甲丁乙甲丁丙二角必俱
      為直角見首卷/第十節是故甲乙丙三角形之
      甲角甲丁乙三角形之丁角其度相等
      而兩三角形又共一乙角其相當二角
      度既等則所餘各一角度自等見八卷/第三節
      故甲乙丙之丙角與甲丁乙之甲角其
[003-57b]
      度相等也而甲乙丙之甲角亦與甲丁
[003-58a]
      丙之丁角相等此兩三角形又共一丙
      角故所餘之甲乙丙之乙角與甲丁丙
      之甲角其度亦等三三角形之毎相當
      各角之度既等則三三角形之式必同
      三三角形之式既同則其毎相當各界
      之比例亦俱相同可知矣
      第八
      凡直角三角形自直角至相對界作一
[003-58b]
      垂線則所截之兩叚一為一率一為三
      率而所作之垂線為中率此三率即為
      相連比例率也如甲乙丙直角三角形
      自甲直角至相對乙丙界作一甲丁垂
      線則截乙丙界為兩叚其所截之乙丁
      叚為一率則丁丙叚為三率若丁丙叚
      為一率則乙丁叚為三率而所作甲丁
      垂線總為中率故此乙丁甲丁丁丙三
      線互為相連比例三率也葢甲乙丁甲
[003-58b]
      丁丙兩三角形為同式故其相當之乙
[003-59a]
      丁甲丁二界互相為比即同於甲丁丁
      丙二界之互相為比也今以乙丁線為
      四分丁丙線為一分則甲丁線必得二
      分因四分與二分之比必同於二分與
      一分之比故為相連比例三率也
      第三
      直角三角形自直角至相對界所作垂
      線與所分二叚固為相連比例三率如
[003-59b]
      依垂線度作一方形則與所分二叚一
      為寛度一為長度所作長方形之積相
      等也如甲乙丙直角三角形自甲直角
      至相對乙丙界作一甲丁垂線截乙丙
      界為兩叚遂成乙丁甲丁丁丙之連比
      例三率今依甲丁垂線度作一戊丁正
      方形即為中率/自乗之數以甲丁垂線所截丁丙
      一叚為寛度乙丁一叚為長度作一己
      丁長方形即為首率末/率相乗之數其戊丁正方形
[003-59b]
      之積必與己丁長方形之積相等也何
[003-60a]
      也葢同式兩三角之相當界互相為比
      之比例同故此乙丁界與甲丁界之比
      即同於甲丁界與丙丁界之比乙丁線
      既為一率則甲丁線為二率甲丁線復
      為三率則丙丁線為四率然則此相連
      比例三率又為相當比例四率矣因其
      可為相當比例四率故二率與三率相
      乗一率與四率相乗所得之分數相同
[003-60b]
      見七卷/第四節今既以甲丁為二率又為三率
      則甲丁自乗之數即是二率三率相乗
      之數而乙丁一率與丙丁三率相乗所
      得己丁長方形即與甲丁二率三率自
      乗之正方相等可知矣此乃首率末率
      求中率之法也要之首率末率相乗中
      率相乗中率相乗者中率自乗或二率/三率相乗俱在首率末率之中
      故/云其所乗之二式雖異因俱自相連比
      例四率而生故其積相等而得以為準
[003-60b]
      也
[003-61a]
      第四
      凡有直角三角形其直角相對界所作
      方形之積必與兩傍界所作兩方形之
      積相等也如甲乙丙直角三角形其甲
      直角相對乙丙界作一乙丁方形其積
      必與甲乙甲丙之兩傍線所作戊乙己
      丙兩方形之積相等也試自甲直角過
      相對乙丙界至方形辛丁界作一甲庚
[003-61b]
      壬垂線則甲乙丙三角形分為甲乙庚
      甲庚丙兩三角形而乙丁正方形分為
      乙壬庚丁兩長方形此所分甲乙庚甲
      庚丙兩三角形與甲乙丙原三角形為
      同式則其毎相當界之互相比例必同
      矣是以甲庚丙小三角形之庚丙小界
      與丙甲大界之比即同於甲乙丙大三
      角形之甲丙小界與乙丙大界之比而
      為相當比例四率也然丙甲甲丙之二
[003-61b]
      率三率原為一線則庚丙丙甲乙丙又
[003-62a]
      為相連比例三率矣故丙甲中率所作
      己丙方形之積與庚丙一率為寛乙丙
      三率為長所作庚丁長方形之積相等
      也乙丁既為正方形則庚壬度必與方
      界乙丙各度等故庚丁長方即同庚丙
      為寛乙丙為長所作之長方也又如甲
      乙庚甲乙丙兩三角之乙庚甲乙乙甲
      乙丙四界為相當比例四率又為相連
[003-62b]
      比例三率故甲乙中率所作戊乙方形
      之積亦與乙庚一率為寛乙丙三率為
      長所作乙壬長方形之積相等也今庚
      丁乙壬之兩長方形既與己丙戊乙兩
      正方形等則兩形相合之乙丁正方形
      亦必與己丙戊乙兩正方形相等可知
      矣
      第五
      凡直角三角形之三界所作同式三形
[003-62b]
      其一大界所作一形之積必與二小界
[003-63a]
      所作二形之積等也如在甲乙丙直角
      三角形之乙丙甲乙甲丙三界作乙丁
      戊乙己丙三同式長方形則乙丙大界
      所作乙丁一形之積必與甲乙甲丙二
      小界所作戊乙己丙二形之積等也又
      或如甲乙丙直角三角形於乙丙大界
      作乙戊丁丙一半圜於甲乙甲丙二小
      界作甲庚乙甲已丙二半圜則乙丙大
[003-63b]
      界所作乙戊丁丙一半圜之積必與甲
      乙甲丙二小界所作甲庚乙甲已丙二
      半圜之積等也葢依三界所作三形之
      式既同故同式衆形互相為比即同於
      相當界所作正方形之互相為比也要
      之一大界所作一大形内減一小界所
      作一小形即餘一小界所作一小形而
      一小界所作一小形内再加入一小界
      所作一小形則為一大界所作一大形
[003-63b]
      矣
[003-64a]
      第六
      一圜之内二絃線相交所截之叚遞轉
      比之其比例俱同而為相當比例四率
      也如甲圜内乙丙丁戊二絃線相交於
      已其所截之戊已一叚與已丙一叚之
      比例即同於乙己一叚與己丁一叚之
      比例故戊己己丙乙己己丁四叚為相
      當比例之四率也何以見之若自乙至
[003-64b]
      戊自丁至丙復作二絃線即成乙己戊
      丁己丙兩三角形此兩三角形之乙角
      丁角俱切於甲圜之戊丙弧叚其度相
      等見四卷第/十二節再乙己戊之己角丁己丙
      之己角又為兩尖相對之角其度亦相
      等今乙丁二角之度既等而兩己角之
      度又等則所餘戊丙二角亦自等兩三
      角形之相當各角既等則其式必同其
      式既同則毎相當各二線互相為比之
[003-64b]
      比例俱同而戊己己丙乙己己丁四叚
[003-65a]
      互相為比例四率可知矣
      第七
      圜之徑線不拘何處作一垂線則所截
      之兩叚一為一率一為三率而垂線為
      中率即為相連比例三率也如甲圜自
      丁界至乙丙徑線戊處作一丁戊垂線
      將乙丙徑線截為兩叚其所截乙戊一
      叚為一率戊丙一叚為三率而丁戊垂
[003-65b]
      線為中率此乙戊丁戊戊丙三線為相
      連比例三率也試自圜界丁至乙丙二
      處作丁乙丁丙二線則成一乙丙丁三
      角形其丁角既立於圜之乙己丙半界
      故為直角見四卷第/十四節而丁戊垂線乃自
      直角至相對乙丙底界所作之垂線故
      所截乙戊一叚為一率戊丙一叚為三
      率而丁戊垂線為中率為相連比例三
      率也
[003-65b]
      第八
[003-66a]
      自圜外一㸃過圜界二處至相對界作
      二線以此兩全線互相為比即同於圜
      界外所截之二叚遞轉為比之比例而
      為相當比例四率也如己圜自圜外甲
      㸃過圜界乙丁二處至相對界丙戊二
      處作二線則甲丙甲戊兩全線互相為
      比必同於圜界外所截甲乙甲丁二叚
      之遞轉相比而為相當比例四率也試
[003-66b]
      自圜界乙丁二處至相對界丙戊二處
      作乙戊丁丙二線則成甲丙丁甲戊乙
      兩三角形此兩三角形之丙戊二角既
      切於一圜之乙丁弧界其二角之度必
      等見四卷第/十二節再甲丙丁之甲角甲戊乙
      之甲角既共為一角其度自等兩三角
      形各二角度俱等則兩三角形必為同
      式矣故甲丙甲戊相當二界互相為比
      之比例即同於甲丁甲乙相當二界互
[003-66b]
      相為比之比例是以甲丙與甲戊之比
[003-67a]
      同於甲丁與甲乙之比將甲丙全線為
      一率甲戊全線為二率甲乙甲丁遞轉
      移之而以甲丁一叚為三率甲乙一叚
      為四率為相當比例之四率也
      第九
      凡函於圜内之三角形以其一角平分
      為二過相對底界至相對界作一直線
      則所分角之小邊線與所作線之在三
[003-67b]
      角形内一叚之比即同於所作線之全
      分與所分角之大邊線之比也如函於
      圜内有甲乙丙三角形以甲角平分為
      二分過所對乙丙底界至相對界作一
      直線即成甲丁戊一全線以三角形之
      甲乙小邊與所作甲丁戊線之甲丁一
      叚之比即同於所作甲丁戊全線與三
      角形之甲丙大邊之比也何以言之若
      自圜界乙至戊作乙戊弦線即成甲乙
[003-67b]
      戊甲丁丙兩三角形此兩三角形之戊
[003-68a]
      丙二角俱切於圜界甲乙弧之一叚其
      度必等而甲乙戊三角形之甲角甲丁
      丙三角形之甲角又為一角所平分之
      兩角其度亦必等因此兩三角形各二
      角之度等故兩形為同式兩三角形之
      式既同則兩形之相當二界互相為比
      之比例俱同是以甲乙小分與甲丁小
      分之比即同於甲戊大分與甲丙大分
[003-68b]
      之比也
      第十
      凡函於圜内之三角形以其一角為兩
      平分自角至底作一線則所分底線兩
      叚互相為比即同於所分角之兩傍兩
      邊線之互相為比也如函於圜内有甲
      乙丙三角形以甲角平分為二分至乙
      丙底作甲丁一線則分一丙底線為乙
      丁丁丙兩叚以乙丁與丁丙之比即同
[003-68b]
      於以甲乙小邊線與甲丙大邊線之比
[003-69a]
      也試自所分底線之丁至甲丙線與甲
      乙平行作丁戊一線即成戊丁丙一小
      三角形葢甲乙丙大三角形之乙角戊
      丁丙小三角形之丁角既為乙甲丁戊
      平行線一邊之内外角其度必等見首/卷第
      二十/三節而甲乙丙戊丁丙兩三角形又共
      一丙角故此兩三角形之各二角度等
      為同式兩三角形也再甲丁戊之丁角
[003-69b]
      乙甲丁之甲角因為平行線内二尖交
      錯之角其度亦等然則乙甲丁之甲角
      既為甲乙丙之甲角之兩平分則甲丁
      戊之丁角亦與甲丁戊之甲角度等矣
      甲丁戊三角形之丁角甲角既等則二
      角所對之丁戊甲戊二線亦必等矣甲
      乙丙戊丁丙兩三角形既為同式而三
      角之度又俱等則其甲乙丙大三角形
      之甲乙甲丙二線互相為比即同於戊
[003-69b]
      丁丙小三角形之戊丁戊丙二線互相
[003-70a]
      為比之比例也今戊丁甲戊二線其度
      既等則甲乙線與甲丙線之比又同於
      以甲戊線與戊丙線之比至於丁戊平
      行線所截乙丁一叚與丁丙一叚之比
      則又同於甲戊一叚與戊丙一叚之比
      矣是故甲乙線與甲丙線之比為同於
      乙丁線與丁丙線之比也
[003-71a]
      㡬何原本十
      第一
      大凡直角立方體積皆生於面線互乗
      之度故欲知方體所生比例之分將所
      比形之長寛與厚詳較之即可得而知
      矣如甲乙丙丁直角立方二體其甲乙
      大形之戊己長比丙丁小形之庚辛長
      甲乙大形之戊壬寛比丙丁小形之庚
[003-71b]
      癸寛甲乙大形之甲戊厚比丙丁小形
      之丙庚厚俱為大一倍其甲乙大形之
      戊乙底平面積與丙丁 形之庚丁底
      平面積之比例將縱横二線之長寛度
      分考之即得見七卷/第二節既得二體底積之
      比例乃以二形之厚度復與底積比之
      即可知甲乙丙丁二體之比例矣葢甲
      乙大體之戊己戊壬長寛之度既比丙
      丁小體之庚辛庚癸長寛之度大一倍
[003-71b]
      則戊乙平面底形之内如庚丁平面底
[003-72a]
      形二倍者有二矣然則甲乙大形甲戊
      之厚度既比丙丁小形丙庚之厚度大
      一倍則甲乙體形之内如丙丁體形四
      倍者有二可知矣是故欲知直角方體
      之比例以本體之長寛與厚互相比例
      以較之即得直角方體互相為比之比
      例也
      第二
[003-72b]
      有兩直角長方體若將此一體之底度
      與他一體之底度又將他一體之厚度
      與此一體之厚度為比其比例若同則
      此二體之積必等也如甲乙丙丁兩直
      角長方體甲乙體之戊乙底度比丙丁
      體之庚丁底度大一倍而丙丁體之丙
      庚厚度比甲乙體之甲戊厚度亦大一
      倍則甲乙丙丁二體之積必相等是故
      兩體之底積與厚度相較則兩體之積
[003-72b]
      可知矣葢體積之比例視其面線今兩
[003-73a]
      體之底面厚度交互相等如此其體積
      不得不等也
      第三
      有兩直角方體其底面積之縱横二界
      相比之比例與厚度面積之縱横二界
      相比之比例若俱同則此兩體為直角
      正方同式體也如甲乙丙丁兩直角方
      體其甲乙體之戊乙底面之戊己横界
[003-73b]
      比丙丁體之庚丁底面之庚辛横界大
      一倍甲乙體之戊乙底面之戊壬縱界
      比丙丁體之庚丁底面之庚癸縱界大
      一倍甲乙體之甲己厚面之甲戊直界
      比丙丁體之丙辛厚面之丙庚直界亦
      大一倍則甲乙丙丁之兩體俱為直角
      正方同式體也至於兩體所有之戊己
      庚辛二界戊壬庚癸二界甲戊丙庚二
      界俱為相當之界而可互相為比例矣
[003-73b]
      第四
[003-74a]
      凡同式直角正方體其體積之比例比
      之兩界線之比例為連比例隔二位相
      加之比例也如甲乙丙丁兩同式直角
      正方體其相當之戊己庚辛二界戊壬
      庚癸二界甲戊丙庚二界互相為比之
      比例俱各大一倍則此甲乙體積與丙
      丁體積之比比之甲乙體之界線與丙
      丁體之界線之比者即如連比例四率
[003-74b]
      内隔二位相加之比例矣蓋甲乙體之
      各界既為丙丁體之各界之二倍則甲
      乙體内如丙丁體之二倍者有四二其
      四為八故甲乙體積比丙丁體積大八
      倍夫以甲乙體積八與丙丁體積一相
      比為八分之一甲乙體界二與丙丁體
      界一相比為二分之一其比例不同蓋
      以八分比一分較之二分比一分為四
      倍也如欲求其相連比例之率則於甲
[003-74b]
      乙體之界四倍之得八分與丙丁體界
[003-75a]
      一分為比即如甲乙體積與丙丁體積
      之比例矣夫八與四四與二二與一皆
      為連比例二分之一之比例今以八與
      一為比其間隔四與二之兩位故曰同
      式兩體積之比例為兩界上連比例隔
      二位相加之比例也若邊為三倍則面/為九倍體為二十
      七倍亦為隔二位/相加之比例也
      第五
[003-75b]
      有兩同式直角長方體於兩體相當之
      二界各作兩正方體互相為比即同於
      原兩長方體之互相為比也如甲乙丙
      丁兩直角長方體在戊乙己丁相當二
      横界各作甲庚丙辛二正方體則所作
      之甲庚丙辛兩正方體互相為比之比
      例仍同於原有之甲乙丙丁兩長方體
      互相為比之比例也夫甲乙丙丁同式
      之兩長方體既為隔二位相加之比例
[003-75b]
      則所作甲庚丙辛同式之兩正方體亦
[003-76a]
      必為隔二位相加之比例矣然則原有
      之甲乙長方體為原有之丙丁長方體
      之八分之一其所作甲庚正方體亦為
      所作丙辛正方體之八分之一可知矣
      第六
      凡有大小平面體其相當角度俱等而
      相當界之比例又同則謂之同式體也
      如甲乙大小兩平面體其相當各界之
[003-76b]
      度俱等而相當各界之比例又同則甲
      乙二體謂之同式平面正方體也如丙
      丁大小兩四瓣體其相當各角之度俱
      等而相當各界之比例又同則丙丁二
      體謂之同式四瓣體也又如大小圓面
      體於其内外作各種平面體其平面體
      之式若同則圓面體亦謂之同式體如
      戊己大小兩圓體所函之庚辛尖瓣等
      體是也
[003-76b]
      第七
[003-77a]
      同式各種體之比例同於在各體相當
      界所作正方體之比例也如甲乙丙丁
      戊己大小兩三角尖瓣體互相為比即
      同於乙丙戊己相當二界所作庚乙辛
      戊兩正方體之互相為比又如壬癸兩
      圓球體其互相為比之比例亦同於圓
      球徑相當之乙丙戊己二界所作庚乙
      辛戊兩正方體互相為比之比例也蓋
[003-77b]
      同式平面形互相為比之比例同於各
      相當二界所作正方面形互相為比之
      比例矣今各種體之式既同故其相當
      面互相為比之比例必同相當面互相
      為比之比例同者縁相當面之各相當
      界互相為比之比例同也故凡同類兩
      體知此一體之度而不知彼一體之度
      欲求知之則在同式兩體相當二界各
      作一正方體此所作之二體一為一率
[003-77b]
      一為二率所知之體為三率推得四率
[003-78a]
      即其未知之體矣或有同類兩體知此
      一體之界而不知彼一體之界則依所
      知一體之界作一正方體其兩體一為
      一率一為二率所作正方體為三率推
      得四率即是彼一體界數所作之正方
      體矣故曰同式兩體之比例與相當界
      所作正方體之比例相同也
      第八
[003-78b]
      凡圓面半徑與球體半徑等者其圓面
      積為球體外面積之四分之一而圓面
      半徑與球體全徑等者其圓面積與球
      體外面積等也如丁己圓面之丁戊半
      徑與甲丙球體之甲乙半徑等則丁己
      圓面積為甲丙球體外面積之四分之
      一又如庚壬圓面之庚辛半徑與甲丙
      球體之甲丙全徑等則庚壬圓面積與
      甲丙球體外面積等也試作子寅卯一
[003-78b]
      尖圓體使其寅辰卯之底面積與甲丙
[003-79a]
      球體外面積等其子丑髙度與甲丙球
      體之甲乙半徑等則此尖圓體積與球
      體積相等見五卷第/二十五節又作午未申一小
      尖圓體使其未申底徑與甲丙球體之
      全徑等亦與大尖圓體之寅丑半徑等
      其午酉髙度與甲丙球體之甲乙半徑
      等亦與大尖圓體之子丑髙度等則此
      小尖圓體積為球體積之四分之一亦
[003-79b]
      即為大尖圓體積之四分之一何以見
      之蓋大小兩面之比例同於相當界所
      生連比例隔一位加一倍之比例今大
      尖圓體之寅夘底徑比小尖圓體之未
      申底徑大一倍則大尖圓體底積比小
      尖圓體底積必又大一倍則小尖圓體
      底積為大尖圓體底積之四分之一矣
      又兩體同髙者其體積之比例同於其
      底面之比例今小尖圓體底積既為大
[003-79b]
      尖圓體底積之四分之一則其體積必
[003-80a]
      為大尖圓體積之四分之一而亦為球
      體之四分之一矣球體原與大/尖圓相等夫大尖
      圓體之底積原與球體之外面積等小
      尖圓體底積既為大尖圓體底積之四
      分之一亦必為球體外面積之四分之
      一而丁己圓面固與小尖圓之底積等
      則為球體外面積之四分之一無疑矣
      至於庚壬圓面之徑原比丁己圓面之
[003-80b]
      徑大一倍則其面積必大四倍今丁己
      圓面既為甲丙球體外面積之四分之
      一則庚壬圓面積比丁己圓面積大四
      倍者安得不與球體外面積相等乎
      第九
      凡球體全徑與上下面平行長圓體底
      徑髙度相等則球體為長圓體之三分
      之二也如甲乙丙丁一球體戊己庚辛
      一長圓體此球體之乙丁全徑與長圓
[003-80b]
      體之己庚底徑度等而球體之甲丙全
[003-81a]
      徑與長圓體之戊己髙度等則球體積
      為長圓體積之三分之二也蓋長圓體
      與尖圓體同底同髙則其比例為三分
      之一五卷第二十三節言平底尖體與/上下面平行體同底同髙則尖體
      為平行體/三分之一尖圓體之底徑與球之全徑
      等髙與球之半徑等者尖圓體積為球
      體積之四分之一而尖圓體又為半球
      體之二分之一矣説見/前節今於乙己庚丁
[003-81b]
      半長圓體内作己壬庚半球體又作一
      壬己庚尖圓體則此尖圓體為半球體
      之二分之一尖圓體既為半球體之二
      分之一又為半長圓體之三分之一則
      半球體豈非長圓體之三分之二乎夫
      全與全之比例即若半與半之比例今
      半長圓與半球之比例為三分之二則
      全長圓體與全球體之比例亦為三分
      之二可知矣
[003-81b]
      第十
[003-82a]
      凡球體全徑與長圓體底徑髙度相等
      者其球體外面積與長圓體周圍面積
      等也如甲乙丙丁一球體戊己庚辛一
      長圓體其球體之乙丁全徑與長圓體
      之己庚底徑等而球體之甲丙全徑與
      長圓體之戊己髙度等則此球體外面
      積必與長圓體之周圍面積等也大凡
      體之面積相等者其體積之比例同於
[003-82b]
      其髙之比例而體積之比例與髙之比
      例同者其面積必相等試將球體乙壬
      半徑分為六分取其三分為髙以長圓
      周圍面積為底所成之體積必與長圓
      體積等取半徑之二分為髙以球體外
      面積為底所成之體積必與球體之積
      等蓋長圓體與球體之比例原為三與
      二之比例此所成之二體亦必為三與
      二之比例一體之髙為三分一體之髙
[003-82b]
      為二分是積之比例與髙之比例同矣
[003-83a]
      非因其面積相等之故乎由是觀之球
      體外面積與長圓體周圍面積相等也
      明矣
      第十一
      凡球體全徑與上下面平行長圓體底
      徑髙度相等者其相當毎段之外面積
      皆相等也如甲乙丙丁一球體戊己庚
      辛一長圓體此球體之乙丁全徑與長
[003-83b]
      圓體之己庚底徑等球體之甲丙全徑
      與長圓體之戊己髙度等則球體之癸
      丙寅一段凸面積必與相當長圓積之
      辰己庚己一段周圍外面積等也夫乙
      辰巳丁一段長圓體内分出子癸寅丑
      一小長圓體餘癸子乙辰巳丁丑寅空
      心體此空心體與子癸寅丑長圓體之
      積必等何以知之蓋壬癸為大圓面之
      半徑而所截卯癸又為小圓面之半徑
[003-83b]
      其壬卯與卯癸之度又等故壬癸壬卯
[003-84a]
      卯癸三線成一壬癸卯直角三角形而
      壬癸半徑所作圓面必與壬卯卯癸兩
      線為半徑所作兩圓面等見九卷/第六節又壬
      癸與壬乙皆一圜之輻線其度必等而
      卯辰原與壬乙相等故卯辰為半徑所
      作之圓面即壬癸為半徑所作之圓面
      於卯辰為半徑所作圓面内減去夘癸
      為半徑所作圓面即餘壬癸環面與壬
[003-84b]
      卯為半徑所作之圓面等而壬卯與卯
      癸原相等然則辰癸環面既與壬卯半
      徑所作之圓面等亦必與卯癸為半徑
      所作之圓面等矣夫卯癸即小長圓底
      之半徑而辰癸又為空心體底之環徑
      其兩面積既等則其兩體積必等無疑
      矣又壬癸寅小尖圓體原與癸乙辰巳
      丁寅曲凹體等乙丙丁半球體為半長/圓體三分之二則癸乙
      己丙庚丁寅曲凹體為長圓體三分之/一與壬己庚尖圓體相等故壬癸寅一
[003-84b]
      段尖圓體與相當癸乙辰巳丁/寅一段曲凹體亦必相等也而壬癸
[003-85a]
      寅小尖圓體為子癸寅丑小長圓體三
      分之一則癸乙辰巳丁寅曲凹體亦為
      辰癸空心體之三分之一矣於乙辰巳
      丁長圓體内減去壬癸寅小尖圓體又
      減去癸乙辰巳丁寅曲凹體則餘乙癸
      壬寅丁一段空心球體必與乙辰壬巳
      丁一段空心長圓體等如以乙辰巳丁/一段長圓體作
      六分則子癸寅丑小長圓為三分壬癸/寅小尖圓體為一分與小尖圓體相等
[003-85b]
      之癸乙辰巳丁寅曲凹體亦為一分今/既減去小尖圓體及曲凹體是於六分
      内減去二分而存一段空心球體為四/分也而壬辰巳大尖圓體亦為乙辰巳
      丁辰圓體三分之一於長圓體内减去/大尖圓體則餘乙辰壬巳丁空心長圓
      體為三分之二也三分之二之比例同/同於六分之四之比例則此一段空心
      長圓體與一段空/心球體相等無疑若將此兩空心體從
      壬心至外面剖為千萬尖體俱以乙壬/半徑為髙
      以兩空心體/外面為底則空心球體所分之各尖
      體與空心長圓體所分之各尖體其積
      既等其髙又等則其底不得不等同底/同髙
[003-85b]
      者其積既等則同髙/同積者其底必等此各尖體之底既
[003-86a]
      等則兩空心體之外面積相等可知矣
      千萬尖體之底即/兩空心體之面也夫乙丙丁半球體外
      面積原與乙己庚丁半長圓體周圍外
      面積等於半球體内減去乙癸寅丁一
      段餘癸丙寅一段球體於半長圓體内
      減去乙辰巳丁一段餘辰己庚已一段
      長圓體其減去之各段外面積既相等
      則所餘之球體癸丙寅一段凸面與長
[003-86b]
      圓體辰己庚已一段周圍外面積相等
      也明矣
      第十二
      凡撱圓體大徑與圓球體徑相等者其
      二體積之比例即同於撱圓體小徑所
      作方面與圓球體徑所作方面之比例
      也如甲乙丙丁撱圓體之甲丙大徑與
      甲戊丙己圓球徑等則撱圓體積與球
      體積之比例即同於撱圓乙丁小徑所
[003-86b]
      作方面與球體戊己徑所作方面之比
[003-87a]
      例也試將撱圓體與球體任意依徑線
      平行分之其所分之大小平圓面如子
      丑乃球體大圓面之徑寅卯乃撱圓體
      小圓面之徑此大小兩平圓面之比例
      同於其相當子丑寅卯二徑所作二方
      面之比例見八卷第/十一節而子丑徑與寅卯
      徑之比例又同於戊己徑與乙丁徑之
      比例故此所分之大小圓面之比例亦
[003-87b]
      必同於戊己方面與乙丁方面之比例
      矣若將此兩體與戊己徑平行任意分
      為㡬何面其相當大小兩面之比例皆
      如戊己方面與乙丁方面之比例此所
      分各面之比例既皆同於乙丁與戊己
      所作方面之比例則撱圓體與圓球體
      之比例必同於乙丁所作方面與戊己
      所作方面之比例可知矣即所分之寅
      丙卯撱圓體之一段與子丙丑圓球體
[003-87b]
      之一段其比例亦必同於乙丁所作方
[003-88a]
      面與戊己所作方面之比例矣
      第十三
      凡撱圓體大徑與長圓體髙度等而撱
      圓體小徑與長圓體底徑等則撱圓體
      為長圓體之三分之二亦如圓球體與
      同徑同髙長圓體之比例也如甲乙丙
      丁一撱圓體戊己庚辛一長圓體其撱
      圓體之甲丙大徑與長圓體之戊己髙
[003-88b]
      度等而撱圓體之乙丁小徑亦與長圓
      體之己庚底徑等則撱圓體為長圓體
      之三分之二其比例即如子丑寅卯球
      體與辰巳午未長圓體之比例也蓋戊
      己庚辛長圓體之戊己髙度與辰巳午
      未長圓體之辰巳髙度等故兩長圓體
      之比例即同於己庚底積與巳午底積
      之比例至於戊己庚辛長圓體之己庚
      底積與撱圓體之乙丁小徑所作圓面
[003-88b]
      積等而辰巳午未長圓體之巳午底積
[003-89a]
      又與球體丑卯全徑所作圓面積等則
      戊己庚辛長圓體積與辰巳午未長圓
      體積之比例即同與撱圓體之乙丁小
      徑所作圓面與球體丑卯全徑所作圓
      面之比例矣夫撱圓體與球體之比例
      原同於撱圓體小徑所作圓面與球體
      全徑所作圓面之比例故撱圓體與球
      體之比例亦同於撱圓體同徑同髙之
[003-89b]
      長圓體與球體同徑同髙之長圓體之
      比例也若轉比之即戊己庚辛長圓體
      與甲乙丙丁撱圓體之比例亦同與辰
      巳午未長圓體與子丑寅卯球體之比
      例矣夫球體既為同徑同髙長圓體之
      三分之二則撱圓體亦必為同徑同髙
      長圓體之三分之二可知矣
      第十四
      凡函撱圓之長方體與所函撱圓體之
[003-89b]
      比例同於函球之正方體與所函球體
[003-90a]
      之比例也如甲乙丙丁長方體函一戊
      己庚辛撱圓體其長方體之甲乙髙度
      與撱圓體之戊庚大徑等長方體之乙
      丙底度與撱圓體之己辛小徑等則此
      甲乙丙丁長方體與所函戊己庚辛撱
      圓體之比例同於壬癸子丑正方體與
      所函寅卯辰午球體之比例也蓋甲乙
      丙丁長方體之甲乙髙度與壬癸子丑
[003-90b]
      正方體之壬癸髙度等故長方體與正
      方體之比例同於兩體底積之比例今
      此長方體之底積與所函撱圓體之己
      辛小徑所作方面等而正方體之底積
      與所函球體之卯午全徑所作方面等
      矣然則此長方體與正方體之比例不
      同於撱圓體小徑所作方面與球體全
      徑所作方面之比例乎夫撱圓體與球
      體之比例原同與撱圓體小徑所作方
[003-90b]
      面與球體全徑所作方面之比例則撱
[003-91a]
      圓體與球體之比例同於函撱圓體之
      長方體與函球體之正方體之比例可
      知矣若轉比之則長方體與所函撱圓
      體之比例亦必同於正方體與所函球
      體之比例矣
      第十五
      凡撱圓體大徑與圓球體之徑等者其
      撱圓體外面積與球體外面積之比例
[003-91b]
      即同於撱圓體小徑與球體全徑之比
      例即任分一段其相當一段外面積之
      比例亦無不同也如甲乙丙丁撱圓體
      之甲丙大徑與甲戊丙己球體全徑等
      則此撱圓體外面積與球體外面積之
      比例必同與撱圓體之乙丁小徑與球
      體之戊己全徑之比例也即任分寅内
      卯一段撱圓體外面積與子丙丑一段
      球體外面積之比例亦仍同於乙丁小
[003-91b]
      徑與戊己全徑之比例也蓋兩體所分
[003-92a]
      寅卯子丑平圓面皆與乙丁戊己徑線
      平行故寅卯圓界與子丑圓界之比同
      於寅卯圓徑與子丑圓徑之比而寅卯
      徑與子丑徑之比又同於乙丁徑與戊
      己徑之比也然此兩體依徑平分可為
      無數平圓界其相當各圓界之比例既
      皆同於乙丁徑於戊己徑之比例則全
      體外面積之比例豈不同於乙丁徑與
[003-92b]
      戊己徑之比例乎至於所分之寅丙卯
      一段撱圓體與子丙丑一段球體俱可
      分為平圓以比之則一段與一段之比
      例無異於全體與全體之比例也明矣
      第十六
      凡撱圓體大徑與長圓體髙度等而撱
      圓體小徑與長圓體底徑等則撱圓體
      外面積與長圓體周圍外面積等即任
      分一段其相當一段之外面積亦無不
[003-92b]
      等也如甲乙丙丁一撱圓體戊己庚辛
[003-93a]
      一長圓體其撱圓體之甲丙大徑與長
      圓體之戊己髙度等而撱圓體之乙丁
      小徑與長圓體之己庚底徑等則撱圓
      體之外面積與長圓體周圍之面積等
      即任分壬丙癸一段撱圓體外面積亦
      與相當壬己庚癸一段長圓體之外面
      積等也試依撱圓體甲丙大徑度作子
      丑寅卯一球體并作與球體同髙同徑
[003-93b]
      辰巳午未一長圓體則此兩長圓體之
      髙度等其二體周圍面積之比例必同
      於二體底徑之比例二長圓體底徑之
      比例即是撱圓體之乙丁小徑與球體
      之丑卯全徑之比例也撱圓體外面積
      與球體外面積之比例原同於撱圓體
      乙丁徑與球體丑卯徑之比例則戊己
      庚辛長圓體外面積與撱圓體外面積
      之比例亦同於辰巳午未長圓體外面
[003-93b]
      積與球體外面積之比例也夫球體外
[003-94a]
      面積原與辰巳午未長圓體外面積等
      而撱圓體外面積與戊己庚辛長圓體
      外面積之比例既與球體外面積與辰
      巳午未長圓體外面積之比例相同則
      此撱圓體外面積與戊己庚辛長圓體
      外面積相等無疑矣至於撱圓體所分
      一段與球體所分一段之比例與其全
      體之比例亦相同今撱圓體外面全積
[003-94b]
      與戊己庚辛長圓體周圍外面全積之
      比例既同於球體外面全積與辰巳午
      未長圓體周圍外面全積之比例則所
      分撱圓體之壬丙癸一段外面積與長
      圓體之壬己庚癸一段外面積之比例
      亦必同於所分球體之申寅酉一段外
      面積與長圓體之戌巳午亥一段外面
      積之比例矣彼球體之申寅酉一段外
      面積既與長圓體之戌巳午亥一段外
[003-94b]
      面積相等則此撱圓體之壬丙癸一段
[003-95a]
      外面積與長圓體之壬己庚癸一段外
      面積相等也明矣
 
 
 
 
 
 
[003-95b]
 
 
 
 
 
 
 
御製數理精藴上編卷三