[009-1a] 
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷四
線部二
按分遞折比例二八差分/遞折差分 三七差分差分四六差分/加倍減半
[009-2a]
按分遞折比例
差分之欵項雖多而按分遞折者皆為相連比例故
約之而歸一類如二八三七四六差分俱以十分為
總率而按各分以分之者也如遞折差分亦以十分
為率而按十分之幾以遞折之者也如加倍減半差
分則以倍半為率按一定之分而加減之者也今細
分其目如左
二八差分者以總物平分十分一得十分之二一得
[009-2b]
十分之八有三色者則以二與八與三十二為衰數
葢八與三十二之比即如二與八之比也有四色者
則以二與八與三十二與一百二十八為衰數葢三
十二與一百二十八之比亦如二與八之比也至於
五色以上者皆以相連比例求各衰數總不越乎二
八之比例故曰二八差分
三七差分者以總物平分十分一得十分之三一得
十分之七有三色者則以九與二十一及四十九為
衰數以九為第一衰數者因三與七非彼此度盡之/數七作三分必至竒零不盡故以三因三得九
[009-2b]
為三分則以三因七得二十一為七分如/二十一轉為三分則四十九又為七分矣葢九與二
[009-3a]
十一即如三與七之比而二十一與四十九亦如三
與七之比也有四色者則以二十七與六十三及一
百四十七與三百四十三為衰數以三因九得二十/七為三分故以七
因九得六十三為七分若六十三轉為三分則一百/四十七為七分一百四十七轉為三分則三百四十
三又為/七分矣葢二十七與六十三六十三與一百四十七
一百四十七與三百四十三皆如三與七之比也五
色以上者皆以相連比例求各衰數總不越乎三七
之比例故曰三七差分
[009-3b]
四六差分者以總物平分十分一得十分之四一得
十分之六有三色者則以四與六與九為衰數葢六
與九之比即如四與六之比也有四色者則以四與
六與九與一三五為衰數葢九與一三五之比亦如
四與六之比也五色以上者亦以相連比例求各衰
數總不越乎四六之比例故曰四六差分
遞折差分者十分之中得其幾分即為幾折如得其
六分即為六折得其四分即為四折若夫五折則為
十分之半故載於倍半法中而别為一類
[009-3b]
加倍差分其數自少而多皆以倍而加減半差分則
[009-4a]
數自多而少皆以半而減因加減有定分故立衰有
定例總以加倍減半之數為相連比例設為借數以
求正數也
二八差分
設如有銀三千兩令二等人户二八納之問各該若
干
法以二分八分相併得十分為一率銀
三千兩為二率二分為三率推得四率
[009-4b]
六百兩為下等人户所納之數仍以二
分八分相併之十分為一率銀三千兩
為二率以八分為三率推得四率二千
四百兩即為上等人户所納之數也此
法兩用四率者正為明比例之理葢二
分八分相併之十分與總銀三千之比
即如二分之與六百之比八分之與二
千四百之比也
又捷法以二八所併之十分歸除總銀
[009-4b]
三千兩得每分三百兩以二分乘之得
[009-5a]
六百以八分乘之得二千四百葢每一
分得三百而二分得六百八分得二千
四百也又或先得二分所納之數於總
銀内減之即八分所納之數此又正法
外之變法也
設如有人一千六百名二分賞銀八分賞米問賞銀
人若干賞米人若干
法以二分八分相併得十分為一率人
[009-5b]
一千六百名為二率二分為三率推得
四率三百二十名為應賞銀之人如以
八分為三率推得四率一千二百八十
名即應賞米之人也葢二分八分相併
之十分與總人一千六百之比即如二
分之與三百二十名之比八分之與一
千二百八十名之比也
又捷法以二八所併之十分歸除總人
數一千六百名得每分一百六十名以
[009-5b]
二分乘之得賞銀人三百二十名以八
[009-6a]
分乘之得賞米人一千二百八十名葢
每一分得一百六十名而二分得三百
二十名八分得一千二百八十名也
設如有米五百八十八石令甲乙丙三人二八分之
問每人應得幾何
法以二分為甲衰八分為乙衰三十二
分為丙衰相併得四十二分為一率總
米五百八十八石為二率以甲二分為
[009-6b]
三率推得四率二十八石即甲分米數
以乙八分為三率得四率一百一十二
石即乙分米數以丙三十二分為三率
得四率四百四十八石即丙分米數也
此法用二與八八與三十二者即二八
相連比例分葢總分數四十二分與總
米五百八十八石之比即二分與二十
八石之比八分與一百一十二石之比
即三十二分與四百四十八石之比也
[009-6b]
又捷法以總數四十二分歸除總米五
[009-7a]
百八十八石得每分一十四石以二分
乘之得甲米二十八石以八分乘之得
乙米一百一十二石以三十二分乘之
得丙米四百四十八石也
設如有銅五百二十斤錬成精銅每十分中去渣二
分餘精銅八分問精銅與渣各得若干
法以十分為一率銅五百二十斤為二
率八分為三率推得四率四百一十六
[009-7b]
斤為精銅之數如以二分為三率推得
四率一百零四斤即銅渣之數也葢十
分與五百二十斤之比即如八分之與
四百一十六斤之比二分之與一百零
四斤之比也
又捷法以十分歸除總銅五百二十斤
得每分五十二斤以八分乘之得四百
一十六斤以二分乘之得一百零四斤
葢每一分五十二斤而二分得一百零
[009-7b]
四斤八分得四百一十六斤也又或先
[009-8a]
得精銅八分數減總銅餘即銅渣二分
數也
設如有田二千六百三十五畝以麥穀豆麻四色遞
次二八分種問各田應得幾何
法以二分為麻衰八分為豆衰三十二
分為穀衰一百二十八分為麥衰併之
得一百七十分為一率總田二千六百
三十五畝為二率以麥一百二十八分
[009-8b]
為三率得四率一千九百八十四畝即
麥田數如以穀三十二分為三率得四
率四百九十六畝即穀田數如以豆八
分或麻二分為三率所得四率即豆一
百二十四畝與麻三十一畝之田數也
又捷法以總數一百七十分除總田數
二千六百三十五畝得每分一十五畝
五分乃以每色分數乘之即得每色應
種數也
[009-8b]
設如有銀三千四百一十兩令五商遞次二八分出
[009-9a]
問各出幾何
法以一商為二分一商為八分一商為
三十二分一商為一百二十八分一商
為五百一十二分併之得六百八十二
分為一率總銀三千四百一十兩為二
率以五百一十二分為三率得四率二
千五百六十兩即五百一十二分應出
之數如以一百二十八分為三率得四
[009-9b]
率六百四十兩即一百二十八分應出
之數如以三十二分為三率得四率一
百六十兩即三十二分應出之數如以
八分或二分為三率所得四率四十兩
即八分應出之數一十兩即二分應出
之數也
又捷法以總數六百八十二分除總銀
三千四百一十兩得每分五兩再以每
人分數乘之即得每人應出銀數也
[009-9b]
設如有糧二千六百五十五石九斗令甲乙丙丁戊
[009-10a]
五等人户照二八遞減納之甲三十户乙四十户
丙五十户丁六十户戊七十户問各户所納幾何
各等户共納幾何
法以五百一十二為甲一户分數再以
甲三十户乘之得一萬五千三百六十
為甲三十户共分數以一百二十八為
乙一户分數再以乙四十户乘之得五
千一百二十為乙四十户共分數又以
[009-10b]
三十二為丙一户分數再以丙五十户
乘之得一千六百為丙五十户共分數
又以八為丁一户分數再以丁六十户
乘之得四百八十為丁六十户共分數
又以二為戊一户分數再以戊七十户
乘之得一百四十為戊七十户共分數
以所得五等共分數併之得二萬二千
七百為總分數為一率總糧二千六百
五十五石九斗為二率以甲五百一十
[009-10b]
二分為三率得甲一户納五十九石九
[009-11a]
斗零四合又以甲三十户乘之得甲共
納一千七百九十七石一斗二升以乙
一百二十八分為三率得乙一户納十
四石九斗七升六合又以乙四十户乘
之得乙共納五百九十九石零四升以
丙三十二分為三率得丙一户納三石
七斗四升四合又以丙五十户乘之得
丙共納一百八十七石二斗以丁八分
[009-11b]
為三率得丁一户納九斗三升六合又
以丁六十户乘之得丁共納五十六石
一斗六升以戊二分為三率得戊一户
納二斗三升四合又以戊七十户乘之
得戊共納十六石三斗八升也
又捷法以總分數除總糧數得每一分
一斗一升七合以各等一户分數乘之
得各等一户納糧之數以各等共户分
數乘之得各等共户納糧之數葢前法
[009-11b]
有各等户而各等之中又有衆户故以
[009-12a]
定分數二八三十二一百二十/八五百一十二之數為各等
分數又以衆户乘之為各等共户之分
數此捷法以總分數除總糧是得各等
每一户中之一分故以每一户分數乘
之得每一户之數以每一等共分數乘
之得每一等之全數也
三七差分
設如有銀五千兩令東西二縣三七支銷問各該幾
[009-12b]
何
法以七分為東縣衰數三分為西縣衰
數併之得十分為一率總銀五千兩為
二率以七分為三率得四率三千五百
兩即東縣應支之數如以三分為三率
得四率一千五百兩即西縣應支之數
也葢三七比例亦以總衰數與總銀數
之比即若每縣衰數與每縣銀數之比
故十分與五千之比即若三分與一千
[009-12b]
五百之比七分與三千五百之比也
[009-13a]
又捷法先以總衰十分除總銀五千兩
得每分五百兩以七分乘之即東縣之
數以三分乘之即西縣之數或得東縣
數於總銀内減之餘即西縣數也此法
以總衰除總銀得每分五百兩以七乘
之即得七分以三乘之即得三分也前
法先乘而後除後法先除而後乘其理
一也
[009-13b]
設如有田二千五百畝令上等户七分種之下等户
三分種之問各該幾何
法以七分三分相併得十分為一率二
千五百畝為二率上户七分為三率得
四率一千七百五十畝即上户應種田
數如以三分為三率得四率七百五十
畝即下户應種田數葢十分與二千五
百畝之比即七分與一千七百五十畝
之比三分與七百五十畝之比也
[009-13b]
又捷法以三七相併之十分歸除總田
[009-14a]
二千五百畝得每分二百五十畝以三
分乘之得下户七百五十畝以七分乘
之得上户一千七百五十畝葢一分為
二百五十畝而三分得七百五十畝七
分得一千七百五十畝也
設如以車運物行十里二十刻到今已行七里問尚
得幾刻到
法以十里為一率二十刻為二率以七
[009-14b]
里與十里相減餘三里為三率推得四
率六刻即運到刻數也如以七里為三
率推得四率十四刻與總二十刻相減
餘六刻亦即運到刻數也葢十里與二
十刻之比即三里與六刻之比七里與
十四刻之比也
又捷法以十里歸除二十刻得每里二
刻以三里乘之得六刻以七里乘之得
十四刻葢每一里為二刻則三里得六
[009-14b]
刻七里得十四刻也
[009-15a]
設如種樹一千一百六十株按松柏桃栁四色遞次
三七分種問各該幾何
法以三百四十三分為松衰一百四十
七分為柏衰六十三分為桃衰二十七
分為栁衰併之得五百八十分為一率
一千一百六十株為二率以三百四十
三分為三率得四率六百八十六株即
種松之數以一百四十七分為三率得
[009-15b]
四率二百九十四株即種柏之數以六
十三分為三率得四率一百二十六株
即種桃之數以二十七分為三率得四
率五十四株即種栁之數也
又捷法以總衰數五百八十歸除總樹
一千一百六十得每分二株以三百四
十三分乘之得種松之數以一百四十
七分乘之得種柏之數以六十三分乘
之得種桃之數以二十七分乘之得種
[009-15b]
栁之數也此法有四位故以三因九得
[009-16a]
二十七為栁衰數又遞用七因三歸為
桃柏松之衰數也
設如有熟絲四百九十七兩七錢按絹綾緞遞次三
七分織問各該絲幾何
法以九分為絹衰二十一分為綾衰四
十九分為緞衰併之得七十九分為一
率絲四百九十七兩七錢為二率以緞
四十九分為三率得四率三百零八兩
[009-16b]
七錢即緞絲數如以綾二十一分為三
率得四率一百三十二兩三錢即綾絲
數如以絹九分為三率得四率五十六
兩七錢即絹絲數也
又捷法以總衰數七十九分除總絲四
百九十七兩七錢得每分六兩三錢以
緞四十九分乘之得緞絲之數以綾二
十一分乘之得綾絲之數以絹九分乘
之得絹絲之數也此法有三位故以三
[009-16b]
因三得九為絹之衰數又遞用七因三
[009-17a]
歸為綾與緞之衰數葢九與二十一二
十一與四十九為相連比例三率而九
與二十一之比即二十一與四十九之
比也
設如編銀八百二十八兩二錢令甲乙丙丁戊五等
户三七徴納問各户所納幾何
法以八十一分為甲衰一百八十九分
為乙衰四百四十一分為丙衰一千零
[009-17b]
二十九分為丁衰二千四百零一分為
戊衰併之得四千一百四十一分為一
率總銀八百二十八兩二錢為二率以
每人分數各為三率得四率之一十六
兩二錢即甲所納銀數得四率之三十
七兩八錢即乙所納銀數得四率之八
十八兩二錢即丙所納銀數得四率之
二百零五兩八錢即丁所納銀數得四
率之四百八十兩二錢即戊所納銀數
[009-17b]
也
[009-18a]
又捷法以總衰數四千一百四十一分
歸除總銀八百二十八兩二錢得每分
二錢以甲乙丙丁戊各人分數乘之即
得各人所納銀數也此法有五位故以
三因二十七得八十一分為甲之衰數
又遞用七因三歸即得乙丙丁戊各衰
數矣
設如有田一百三十八畝每畝徴米二斗今七分徴
[009-18b]
米三分折絲每米一石折絲一斤問各該幾何
法以七分為米衰三分為絲衰併之得
十分為一率又以徴米二斗乘田一百
三十八畝得總米二十七石六斗為二
率以米七分為三率得四率一十九石
三斗二升即徴米七分之數與總米相
減餘八石二斗八升為三分折絲之數
按米每石折絲一斤則以八石二斗八
升用十六兩乘之得一百三十二兩四
[009-18b]
錢八分為八斤四兩四錢八分即折絲
[009-19a]
三分之數也此法以徴米二斗乘總田
是得總徴米數而三七分之也總米分
去七分即本色米數餘者折為絲即三
分絲數也折絲之法每石既為一斤則
八石二斗四升自得八斤四兩四錢八
分也
又捷法以總衰十分歸除總米二十七
石六斗得每分二石七斗六升以米七
[009-19b]
分乘之得米數以絲三分乘之得折絲
之米數既得折絲之米數而絲之斤兩
亦得矣
四六差分
設如有金四千兩令上下二等金户六四傾銷問各
該幾何
法以六分為上等衰數四分為下等衰
數併之得十分為一率共金四千兩為
二率以六分為三率得四率二千四百
[009-19b]
兩即上等金户傾銷之數如以四分為
[009-20a]
三率得四率一千六百兩即下等金户
傾銷之數此法以四分六分相併之十
分與共金四千兩之比即如六分與二
千四百兩之比四分與一千六百兩之
比也
又捷法以總衰十分歸除共金四千兩
得每分四百兩以六分乘之得二千四
百兩為上等金户傾銷之數以四分乘
[009-20b]
之得一千六百兩為下等金户傾銷之
數如先得上等六分金數於共金數内
減之其餘即下等四分金數也
設如有水田三百畝令上下二户四六分灌問各灌
若干
法以四分六分相併得十分為一率三
百畝為二率六分為三率推得四率一
百八十畝即上户所灌之田以四分為
三率推得四率一百二十畝即下户所
[009-20b]
灌之田也葢四六相併之十分與三百
[009-21a]
畝之比即六分與一百八十畝之比四
分與一百二十畝之比也
又捷法以相併之十分歸除總田三百
畝得每分三十畝以六分乘之即上户
田數以四分乘之即下户田數葢每一
分得三十畝而六分得一百八十畝四
分得一百二十畝也如或先得六分田
數減總田餘即四分田數也
[009-21b]
設如有絲二百五十斤換米每絲一斤換米一石今
已換過六分尚餘絲四分問已換未換各若干
法以四分六分相併得十分為一率将
二百五十斤絲變作二百五十石米為
二率每絲一斤換/米一石故也以六分為三率推得
四率一百五十石為已換之米數以四
分為三率推得四率一百石為未換之
米數葢四六相併之十分與二百五十
石之比即六分與一百五十石之比四
[009-21b]
分與一百石之比也
[009-22a]
又捷法以相併之十分歸除總米二百
五十石得每分二十五石以六分乘之
得已換之一百五十石以四分乘之得
未換之一百石葢每一分得二十五石
而四分得一百石六分得一百五十石
也
設如有絲一千五百五十八斤令甲乙丙三家四六
分織問各該幾何
[009-22b]
法以四為甲衰數六為乙衰數九為丙
衰數併之得十九為一率總絲一千五
百五十八斤為二率以甲四分為三率
即得甲絲三百二十八斤以乙六分為
三率即得乙絲四百九十二斤以丙九
分為三率即得丙絲七百三十八斤此
法以總衰十九分與總絲一千五百五
十八斤之比即甲四分與三百二十八
斤之比乙六分與四百九十二斤之比
[009-22b]
丙九分與七百三十八斤之比也
[009-23a]
又捷法以總衰數十九分除總絲一千
五百五十八斤得每分八十二斤以甲
四分乘之得甲絲三百二十八斤以乙
六分乘之得乙絲四百九十二斤以丙
九分乘之得丙絲七百三十八斤也
設如有田九百七十五畝令甲乙丙丁四人四六分
種問每人各得幾何
法以四分為甲衰六分為乙衰九分為
[009-23b]
丙衰一十三分半為丁衰併之得三十
二分半為一率總田九百七十五畝為
二率以甲四分為三率即得甲田一百
二十畝以乙六分為三率即得乙田一
百八十畝以丙九分丁一十三分半各
為三率即得二百七十畝為丙田得四
百零五畝為丁田也葢三十二分半與
九百七十五畝之比即甲四分與一百
二十畝之比乙六分與一百八十畝之
[009-23b]
比亦即丙九分與二百七十畝之比丁
[009-24a]
十三分半與四百零五畝之比也
又捷法以總衰數三十二分半歸除總
田九百七十五畝得每分三十畝以甲
乙丙丁各衰數乘之即得每人田數也
設如有糧一千二百六十六石令甲乙丙丁戊五舟
按六分四分遞次運載問各該幾何
法以四分為戊衰六分為丁衰九分為
丙衰一十三分半為乙衰二十分二五
[009-24b]
為甲衰併之得五十二分七五為一率
總糧一千二百六十六石為二率以甲
二十分二五為三率得甲運四百八十
六石以乙一十三分半為三率得乙運
三百二十四石以丙九分為三率得丙
運二百一十六石以丁六分為三率得
丁運一百四十四石以戊四分為三率
得戊運九十六石此法總衰數與總糧
之比即各人分數與各人糧數之比也
[009-24b]
葢六與九九與一三五一三五與二○
[009-25a]
二五皆同為四六之比例也
又捷法以總衰五十二分七五歸除總
糧一千二百六十六石得每分二十四
石以甲乙丙丁戊各舟衰數乘之即得
各舟運糧之數也
設如有米三百八十五石五斗二升令上等人户六
分下等人户四分交納上等二十六户下等四十
户問各等每户各該幾何
[009-25b]
法以六為上等衰數以上户二十六户
乘之得一百五十六為上等二十六户
共衰數以四為下等衰數以下户四十
乘之得一百六十為下等四十户共衰
數併之得三百一十六為一率總米三
百八十五石五斗二升為二率以上等
六分為三率得四率七石三斗二升為
上等一户米數以上等共分數一百五
十六為三率得一百九十石三斗二升
[009-25b]
為上等二十六户共米數如以下等四
[009-26a]
分為三率得四率四石八斗八升為下
等一户米數以下等共分數一百六十
為三率得一百九十五石二斗即下等
四十户共米數也
又捷法以總衰三百一十六分歸除總
米三百八十五石五斗二升得每分一
石二斗二升以六分乘之得上等一户
米數以上等共分數乘之得上等共米
[009-26b]
數以四分乘之得下等一户米數以下
等共分數乘之得下等共米數也
遞折差分
設如有熟稻七百九十九畝六分八釐令三人以十
分之六收割問每人得幾何
法以一百為第一人分數六十為第二
人分數三十六為第三人分數三分數
相併得一百九十六分為一率總稻七
百九十九畝六分八釐為二率第一人
[009-26b]
分數一百為三率得四率四百零八畝
[009-27a]
即第一人收割田數如以第二人分數
六十為三率得四率二百四十四畝八
分即第二人收割田數如以第三人分
數三十六為三率得四率一百四十六
畝八分八釐即第三人收割田數葢十
分之六如彼得十分此得六分也第二
人得第一人十分之六第三人又得第
二人十分之六故一百與六十之比即
[009-27b]
六十與三十六之比遞次比例皆十分
之六也其得數四百零八畝與二百四
十四畝八分之比即二百四十四畝八
分與一百四十六畝八分八釐之比亦
皆為十分之六也
又捷法以總分一百九十六除總田七
百九十九畝六分八釐得每一分四畝
零八釐以一百分乘之得第一人四百
零八畝以六十分乘之得第二人二百
[009-27b]
四十四畝八分以三十六分乘之得第
[009-28a]
三人一百四十六畝八分八釐也
設如有銀一千二百六十六兩五錢令四商以十分
之七遞次販貨出賣問每人該銀幾何
法以一千為第一人分數七百為第二
人分數四百九十為第三人分數三百
四十三為第四人分數相併得二千五
百三十三分為一率總銀一千二百六
十六兩五錢為二率以一千分為三率
[009-28b]
得四率五百兩即第一人銀數以七百
分為三率得四率三百五十兩即第二
人銀數以四百九十分為三率得四率
二百四十五兩即第三人銀數以三百
四十三分為三率得四率一百七十一
兩五錢即第四人銀數葢十分之七遞
折而下第二人得第一人十分之七則
第三人亦得第二人十分之七而第四
人又得第三人之十分之七其先立衰
[009-28b]
數一千分七百分四百九十分三百四
[009-29a]
十三分皆十與七之比例也
又捷法以總分二千五百三十三除總
銀一千二百六十六兩五錢得每一分
五錢以一千分乘之得第一人五百兩
以七百分乘之得第二人三百五十兩
以四百九十分乘之得第三人二百四
十五兩以三百四十三分乘之得第四
人一百七十一兩五錢也
[009-29b]
設如生銅入爐鎔化三次每一次去渣十分之二淨
得上好熟銅二百四十八兩問原銅幾何
法即以十分之八為分數十分之中去/渣二分得淨
銅八分故以十/分之八為比例以八分為一率十分為
二率熟銅二百四十八兩為三率得四
率三百一十兩為第三次入爐銅數又
以八分為一率十分為二率三百一十
兩為三率得四率三百八十七兩五錢
為第二次入爐銅數再以八分為一率
[009-29b]
十分為二率三百八十七兩五錢為三
[009-30a]
率得四率四百八十四兩三錢七分五
釐即第一次入爐生銅數也此法因八
折三次而轉求原數故以八分為一率
十分為二率轉求三次而始得也
又法以八分自乘再乘得五百一十二
分為一率十分自乘再乘得一千分為
二率熟銅二百四十八兩為三率得四
率四百八十四兩三錢七分五釐即第
[009-30b]
一次入爐生銅數也前法以三次三率
各求四率故必乘除三次此法則以一
率二率俱各自乘再乘止以第三次熟
銅數為三率即得第一次生銅數是合
三次乘除而為一次乘除也
設如有絲三百六十九斤令甲乙丙丁四人照十分
之八折分問各得幾何
法以一千為甲分數八百為乙分數六
百四十為丙分數五百一十二為丁分
[009-30b]
數相併得二千九百五十二分為一率
[009-31a]
總絲三百六十九斤為二率以每人分
數各為三率所得各四率一百二十五
斤為甲數一百斤為乙數八十斤為丙
數六十四斤為丁數葢十分之八遞折
而下乙得甲十分之八丙得乙亦十分
之八而丁得丙亦十分之八其先立衰
數一千分八百分六百四十分五百一
十二分皆十與八之比例也如捷法先
[009-31b]
除後乘須用通分不然則斤數有竒零
矣
設如有絹四百七十丈一尺八寸四分令三等人户
照十分之六出之上等户二十五中等户三十下
等户四十八問每户該出幾何
法以一百為上等分數用二十五乘之
得二千五百為上等户共分數以六十
為中等分數用三十乘之得一千八百
為中等户共分數以三十六為下等分
[009-31b]
數用四十八乘之得一千七百二十八
[009-32a]
為下等户共分數併之共六千零二十
八分為一率絹四百七十丈一尺八寸
四分為二率以三等各分數各為三率
所得各四率上等每户出七丈八尺中
等每户出四丈六尺八寸下等每户出
二丈八尺零八分又以各等户數乘各
等每户絹數得上等二十五户共出絹
一百九十五丈中等三十户共出絹一
[009-32b]
百四十丈零四尺下等四十八户共出
絹一百三十四丈七尺八寸四分也
又捷法以總分數六千零二十八分除
總絹四百七十丈一尺八寸四分得每
一分為七寸八分以各等分數乘之得
各等每一户絹數再以各等户數乘之
即得各等衆户共出絹數也
設如有官糧一百六十八石四斗八升八合令四等
人户以十分之七依次遞折交納一等二十二户
[009-32b]
二等三十六户三等四十二户四等四十八户問
[009-33a]
每等每户各納幾何
法以一千為一等分數用二十二户乘
之得二萬二千即一等户共分數以七
百為二等分數用三十六户乘之得二
萬五千二百即二等户共分數以四百
九十為三等分數用四十二户乘之得
二萬零五百八十為三等户共分數以
三百四十三為四等分數用四十八户
[009-33b]
乘之得一萬六千四百六十四為四等
户共分數併之共八萬四千二百四十
四分為一率總糧一百六十八石四斗
八升八合為二率以一千分為三率得
四率一等每户二石以共户數乘之得
共納四十四石以七百分為三率得四
率二等每户一石四斗以共户數乘之
得共納五十石零四斗以四百九十分
為三率得四率三等每户九斗八升以
[009-33b]
共户數乘之得共納四十一石一斗六
[009-34a]
升以三百四十三分為三率得四率四
等每户六斗八升六合以共户數乘之
得共納三十二石九斗二升八合也
又捷法以總分數八萬四千二百四十
四除總糧一百六十八石四斗八升八
合得每一分為二合以各等分數乘之
得各等每一户糧數再以各等户數乘
之即得各等衆户共納糧數也
[009-34b]
加倍減半差分
設如一人讀書日加一倍三日共讀三千四百六十
五字問每日所讀幾何
法以一為第一日分數二為第二日分
數四為第三日分數併之得七分為一
率總字三千四百六十五為二率一分
為三率得四率四百九十五字即第一
日所讀之數倍之得九百九十字即第
二日所讀之數又倍之得一千九百八
[009-34b]
十字即第三日所讀之數也葢加倍者
[009-35a]
是第二日增於第一日一倍第三日又
增於第二日一倍倍數多者由此遞加
如二與四四與八八與十六之類皆為
加一倍之比例也
設如一人織絹日加一倍至第四日織成六丈七尺
五寸問每日織幾何
法以一為第一日分數二為第二日分
數四為第三日分數八為第四日分數
[009-35b]
併之得十五分為一率總絹六丈七尺
五寸為二率一分為三率得四率四尺
五寸即第一日之數倍之得九尺為第
二日之數又倍之得一丈八尺為第三
日之數又倍之得三丈六尺為第四日
之數四數相加共得六丈七尺五寸以
合原數也
設如一人借銀為商三次每次得利銀比本銀加一
倍每次還人二百兩三次之後本利還盡問原本
[009-35b]
銀若干
[009-36a]
法以一為本銀分數二為第一次本利
共分四為第二次本利共分八為第三
次本利共分即以八分為一率原本銀
一分為二率又以一為第三次還銀分
二為第二次還銀分四為第一次還銀
分併之得七分與每次還人二百兩相
乘得一千四百兩為三率得四率一百
七十五兩即原本銀數也葢每次得利
[009-36b]
銀比本銀加一倍則原本銀為一分第
一次必得二分第二次必得四分至第
三次必得八分此以未還人計也然每
次還人二百兩三次之後本利還盡若
第三次不還則得二百兩者一分第二
次不還則至第三次必得二百兩者二
分第一次不還則至第三次必得二百
兩者四分以第一次之一分第二次加/倍得二分第三次加倍得四
分/是第三次應得二百兩者七分而為
[009-36b]
一千四百兩矣故以八分與一分之比
[009-37a]
同於一千四百兩與一百七十五兩之
比也
又法以二百兩用三次還銀共分七乘
之得一千四百兩折半三次亦得本銀
之數葢折半三次即以八除也
設如一人賣酒每日比原數加一倍一日賣一斤六
日賣盡問原酒若干
法以一為原酒分數按六日加倍六次
[009-37b]
得六十四分為一率原酒一分為二率
又以一為第六次賣酒分二為第五次
賣酒分四為第四次賣酒分八為第三
次賣酒分十六為第二次賣酒分三十
二為第一次賣酒分併之得六十三分
與每斤十六兩相乘得一千零八兩為
三率得四率十五兩七錢五分即原酒
數也
又法以每斤十六兩用六次賣酒共分
[009-37b]
六十三乘之得一千零八兩折半六次
[009-38a]
亦得原酒之數葢折半六次即以六十
四除也
設如有田一千二百畝分與甲乙丙丁四人種之自
上以下遞減一半問各該若干
法以八為甲分四為乙分二為丙分一
為丁分併之得十五分為一率田一千
二百畝為二率以甲八分為三率得四
率六百四十畝即甲田數以乙四分為
[009-38b]
三率得四率三百二十畝即乙田數以
丙二分為三率得四率一百六十畝即
丙田數以丁一分為三率得四率八十
畝即丁田數如以甲田六百四十畝折
半即乙田數以乙田三百二十畝折半
即丙田數以丙田一百六十畝折半即
丁田數也
設如有銀一萬八千零八十八兩令甲乙丙三人減
半分之問各該幾何
[009-38b]
法以四為甲分數二為乙分數一為丙
[009-39a]
分數併之得七分為一率總銀一萬八
千零八十八兩為二率以甲四分為三
率得四率一萬零三百三十六兩即甲
所得銀數以乙二分為三率得四率五
千一百六十八兩即乙所得銀數以丙
一分為三率得四率二千五百八十四
兩即丙所得銀數也葢減半者即自上
而下折半減之也如四折半為二二折
[009-39b]
半為一是也今以甲銀一萬零三百三
十六兩折半即得乙銀五千一百六十
八兩将乙銀再折半即得丙銀二千五
百八十四兩也
設如有銀三千一百六十兩分與三等人第一等人
二十名第二等人二十四名第三等人三十名第
二等比一等之銀減一倍第三等比二等之銀減
一倍問各等每人分銀幾何
法以四為一等分數二為二等分數一
[009-39b]
為三等分數以一分乘三等三十名仍
[009-40a]
得三十分以二分乘二等二十四名得
四十八分以四分乘一等二十名得八
十分三數相併共得一百五十八分為
一率總銀三千一百六十兩為二率四
分為三率得四率八十兩為第一等每
人所得銀數減半得四十兩為二等每
人所得銀數又減半得二十兩為三等
每人所得銀數以各等人數乘各等每
[009-40b]
人所得銀數即各等共人所得共銀數
併之以合原銀數也
[009-40b]
御製數理精蘊下編卷四
