[015-1a] 
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷十
線部八
方程和數類變較數類法和較兼用類/和較交 類 附
[015-2a]
方程
方者比也程者式也因設數齊其分以比方之定為
已成之式凡法皆如之故曰方程葢用互乗者所以
齊其分使其首數皆同減盡而餘一法一實以得一
數也法雖有三色四色以至多色不過累乗累減亦
歸於一法一實而已其二色者設二行三色者設三
行有幾色者必設幾行若三色設二行四色設三行
即不可算若二色設三行三色設四行則其一行又
[015-2b]
可以不用是故解方程者又謂凡設數必成方而後
可算也然其要總在於分和較和數相比者則互乗
而相減較數相比者古人定為正負之名以辨加減
異同之號正負異號則相加正負同號則相減其理
與盈朒同葢正者為主之數負者虚比之數其始也
任以首色為正互乗衆色與首色同類者皆正也與
首色異類者皆負也其繼也以互乗所得之數視正
負之同異而加減之然加減之餘又有正變為負負
變為正者總之因彼此而分正負由多少而成虚實
[015-2b]
互乗之後任以一層為主凡異號相加者悉依本層
[015-3a]
其號皆不變也若同號相減者本層多其號亦不變
本層少反減者則正變為負負變為正葢此多則彼
少彼少則此多也至於首色減盡則第二色即為首
色故加減之後首色為負者悉變之以便互乗加減
始不淆也今定為例和數者不用正負之號較數者
則用正負之號和較兼用者和仍不用正負之號而
較則用之和較交變者則隨其法而辨别之以定其
號焉或有非方程之本法而可以方程算者則又别
[015-3b]
為設問以附其後古人所謂以御錯糅正負者庶乎
盡於此矣
和數類
設如馬四匹牛六頭共價四十八兩馬三匹牛五頭
共價三十八兩問馬牛各價幾何
法以馬四匹牛六頭共價四十八兩列
於上馬三匹牛五頭共價三十八兩列
於下乃以上馬四匹遍乗下馬三匹牛
五頭價銀三十八兩得馬十二匹牛二
[015-3b]
十頭價銀一百五十二兩又以下馬三
[015-4a]
匹遍乘上馬四匹牛六頭價銀四十八
兩得馬十二匹牛十八頭價銀一百四
十四兩兩下相較則馬各十二匹彼此
減盡牛二十頭内減十八頭餘二頭價
銀一百五十二兩内減一百四十四兩
餘八兩爰以餘牛二頭除餘銀八兩得
四兩卽牛每頭之價以牛五頭乘之得
二十兩為牛五頭之共價於馬牛共價
[015-4b]
三十八兩内減去二十兩餘十八兩為
馬三匹之共價以馬三匹除之得六兩
卽馬每匹之價也此法葢以首色二數
遍乘各數使其分數齊等卽互乘齊分
之理故馬四匹遍乘馬三匹牛五頭價
銀三十八兩則為各増四倍馬三匹遍
乘馬四匹牛六頭價銀四十八兩則為
各増三倍兩下各色既俱各増倍分則
其比例皆同是故馬兩下相平而減盡
[015-4b]
無餘牛兩下相減餘二頭價銀兩下相
[015-5a]
減餘八兩是為相當之數葢一百五十
二兩内減去一百四十四兩卽減去馬
十二匹牛十八頭之共價而所餘之八
兩為牛二頭之價也
又如以牛數列於前馬數列於後則先
得馬價法以牛六頭馬四匹共價四十
八兩列於上牛五頭馬三匹共價三十
八兩列於下乃以下牛五頭遍乘上牛
[015-5b]
六頭馬四匹價銀四十八兩得牛三十
頭馬二十匹價銀二百四十兩又以上
牛六頭遍乘下牛五頭馬三匹價銀三
十八兩得牛三十頭馬十八匹價銀二
百二十八兩兩下相較則牛各三十頭
彼此減盡馬二十匹内減十八匹餘二
匹價銀二百四十兩内減二百二十八
兩餘十二兩爰以餘馬二匹除餘銀十
二兩得六兩卽馬每匹之價以馬三匹
[015-5b]
乘之得十八兩為馬三匹之共價於牛
[015-6a]
馬共價三十八兩内減去十八兩餘二
十兩為牛五頭之共價以牛五頭除之
得四兩卽牛每頭之價也此法用互乘
後則牛兩下相平而減盡無餘馬兩下
相減餘二匹價銀兩下相減餘十二兩
卽為相當之數葢二百四十兩内減去
二百二十八兩卽減去牛三十頭馬十
八匹之共價而所餘之十二兩為馬二
[015-6b]
匹之價也大凡方程之法各色俱可以
更互相求者皆如此類也
設如緞二疋紗六疋紬八疋共價八十四兩緞一疋
紗四疋紬七疋共價六十兩緞三疋紗五疋紬九
疋共價九十兩問緞紗紬各價幾何
法先以緞二疋紗六疋紬八疋共價八
十四兩列於上緞一疋紗四疋紬七疋
共價六十兩列於下乃以上緞二疋遍
乘下緞一疋紗四疋紬七疋價銀六十
[015-6b]
兩得緞二疋紗八疋紬十四疋價銀一
[015-7a]
百二十兩又以下緞一疋遍乘上緞二
疋紗六疋紬八疋價銀八十四兩仍得
原數兩下相較則緞各二疋彼此減盡
紗八疋内減六疋餘二疋紬十四疋内
減八疋餘六疋價銀一百二十兩内減
八十四兩餘三十六兩卽為紗二疋紬
六疋價銀三十六兩也緞既兩下相平/而減盡無餘則
所餘紗二疋紬六疋價銀三十六兩即/為相當之數葢一百二十兩内減去八
[015-7b]
十四兩即減去緞二疋紗六疋紬八疋/之共價而所餘三十六兩為紗二疋紬
六疋之/共價也次以緞一疋紗四疋紬七疋價
銀六十兩列於上緞三疋紗五疋紬九
疋價銀九十兩列於下乃以下緞三疋
遍乘上緞一疋紗四疋紬七疋價銀六
十兩得緞三疋紗十二疋紬二十一疋
價銀一百八十兩又以上緞一疋遍乘
下緞三疋紗五疋紬九疋價銀九十兩
仍得原數兩下相較則緞各三疋彼此
[015-7b]
減盡紗十二疋内減五疋餘七疋紬二
[015-8a]
十一疋内減九疋餘十二疋價銀一百
八十兩内減九十兩餘九十兩即為紗
七疋紬十二疋價銀九十兩也緞既兩/下相平
而減盡無餘則所餘紗七疋紬十二疋/價銀九十兩即為相當之數葢一百八
十兩内減九十兩即減緞三疋紗五疋/紬九疋之共價而所餘九十兩為紗七
疋紬十二疋/之共價也於是將兩次所得之餘作
二色方程算之其紗二疋紬六疋價銀
三十六兩列於上紗七疋紬十二疋價
[015-8b]
銀九十兩列於下以下紗七疋遍乗上
紗二疋紬六疋價銀三十六兩得紗十
四疋紬四十二疋價銀二百五十二兩
以上紗二疋遍乗下紗七疋紬十二疋
價銀九十兩得紗十四疋紬二十四疋
價銀一百八十兩兩下相較則紗各十
四疋彼此減盡紬四十二疋内減二十
四疋餘十八疋價銀二百五十二兩内
減一百八十兩餘七十二兩爰以餘紬
[015-8b]
十八疋除餘銀七十二兩得四兩即紬
[015-9a]
每疋之價以紬六疋乗之得二十四兩
為紬六疋之共價於紗紬共價三十六
兩内減二十四兩餘十二兩為紗二疋
之共價以紗二疋除之得六兩即紗每
疋之價也以緞二疋紗六疋紬八疋共
價八十四兩計之則紗六疋共價三十
六兩紬八疋共價三十二兩紗紬共價
為六十八兩於共價八十四兩内減六
[015-9b]
十八兩餘十六兩為緞二疋之共價以
緞二疋除之得八兩即緞每疋之價也
設如有上中下三等人户納糧上等五户中等十二
户下等三户共納糧一石二斗六升又上等四户
二等二户共納糧五斗二升又中等二十户下等
二十五户共納糧一石五斗問上中下三等每户
各納糧幾何
法先以上等五户中等十二户下等三
户納糧一石二斗六升列於上上等四
[015-9b]
户因無中等故作空位以/存其分餘仍對位列之下等二户納
[015-10a]
糧五斗二升列於下乃以下層上等四
户遍乗上層上等五户中等十二户下
等三户納糧一石二斗六升得上等二
十户中等四十八户下等十二户納糧
五石零四升又以上層上等五户遍乗
下層上等四户下等二户納糧五斗二
升得上等二十户下等十户納糧二石
六斗兩下相較則上等各二十户彼此
[015-10b]
減盡中等四十八户無可減仍得四十
八户下等十二户内減十户餘二户納
糧五石零四升内減二石六斗餘二石
四斗四升即為中等四十八户下等二
户共納糧二石四斗四升也上等既兩/下相平而
減盡無餘則所餘中等四十八户下等/二户納糧二石四斗四升即為相當之
數葢五石零四升内減二石六斗即減/去上等二十户下等十户之共糧數而
所餘二石四斗四升為中等四/十八户下等二户之共糧數也既得中
等四十八户下等二户之二色則中等
[015-10b]
二十户下等二十五户亦即為二色故
[015-11a]
即作二色方程算之其中等四十八户
下等二户納糧二石四斗四升列於上
中等二十户下等二十五户納糧一石
五斗列於下乃以上層中等四十八户
遍乗下層中等二十户下等二十五户
納糧一石五斗得中等九百六十户下
等一千二百户納糧七十二石又以下
層中等二十户遍乘上層中等四十八
[015-11b]
户下等二户納糧二石四斗四升得中
等九百六十户下等四十户納糧四十
八石八斗兩下相較則中等各九百六
十户彼此減盡下等一千二百户内減
四十户餘一千一百六十户納糧七十
二石内減四十八石八斗餘二十三石
二斗爰以所餘下等一千一百六十户
除餘糧二十三石二斗得二升即下等
每户納糧之數以下等二户乘之得四
[015-11b]
升為下等二户納糧之共數於中等下
[015-12a]
等共納糧二石四斗四升内減四升餘
二石四斗為中等四十八户納糧之共
數以中等四十八户除之得五升即中
等每户納糧之數以上等四户下等二
户共納糧五斗二升計之因無中户/故省一次則
下等二户共納糧四升於五斗二升内
減四升餘四斗八升為上等四户納糧
之共數以上等四户除之得一斗二升
[015-12b]
即上等每户納糧之數也
設如有銀賞四等人各不知數只云一等一人二等
二人三等三人四等四人共賞銀三十兩又一等
二人二等三人三等四人四等五人共賞銀四十
四兩又一等四人二等五人三等七人四等八人
共賞銀七十七兩又一等六人二等五人三等四
人四等二人共賞銀六十六兩問每等人各賞銀
幾何
法先以一等一人二等二人三等三人
[015-12b]
四等四人共銀三十兩列於上一等二
[015-13a]
人二等三人三等四人四等五人共銀
四十四兩列於下乃以下一等二人遍
乗上一等一人二等二人三等三人四
等四人共銀三十兩得一等二人二等
四人三等六人四等八人共銀六十兩
又以上一等一人遍乗下一等二人二
等三人三等四人四等五人共銀四十
四兩仍得原數兩下相較則一等各二
[015-13b]
人彼此減盡二等兩下相減餘一人三
等兩下相減餘二人四等兩下相減餘
三人共銀兩下相減餘一十六兩即二
等一人三等二人四等三人共銀十六
兩也葢六十兩内減四十四兩即減去/一等二人二等三人三等四人四
等五人之共銀數故所餘之十六兩為/二等一人三等二人四等三人之共銀
數/也次以一等二人二等三人三等四人
四等五人共銀四十四兩列於上一等
四人二等五人三等七人四等八人共
[015-13b]
銀七十七兩列於下乃以下一等四人
[015-14a]
遍乗上一等二人二等三人三等四人
四等五人共銀四十四兩得一等八人
二等十二人三等十六人四等二十人
共銀一百七十六兩又以上一等二人
遍乗下一等四人二等五人三等七人
四等八人共銀七十七兩得一等八人
二等十人三等十四人四等十六人共
銀一百五十四兩兩下相較則一等各
[015-14b]
八人彼此減盡二等兩下相減餘二人
三等兩下相減餘二人四等兩下相減
餘四人共銀兩下相減餘二十二兩即
二等二人三等二人四等四人共銀二
十二兩也葢一百七十六兩内減一百/五十四兩即減去一等八人
二等十人三等十四人四等十六人之/共銀數故所餘之二十二兩為二等二
人三等二人四等/四人之共銀數也次以一等四人二等
五人三等七人四等八人共銀七十七
兩列於上一等六人二等五人三等四
[015-14b]
人四等二人共銀六十六兩列於下乃
[015-15a]
以下一等六人遍乘上一等四人二等
五人三等七人四等八人共銀七十七
兩得一等二十四人二等三十人三等
四十二人四等四十八人共銀四百六
十二兩又以上一等四人遍乘下一等
六人二等五人三等四人四等二人共
銀六十六兩得一等二十四人二等二
十人三等十六人四等八人共銀二百
[015-15b]
六十四兩兩下相較則一等各二十四
人彼此減盡二等兩下相減餘十人三
等兩下相減餘二十六人四等兩下相
減餘四十人共銀兩下相減餘一百九
十八兩即二等十人三等二十六人四
等四十人共銀一百九十八兩也葢四/百六
十二兩内減二百六十四兩即減去一/等二十四人二等二十人三等十六人
四等八人之共銀數故所餘之一百九/十八兩為二等十人三等二十六人四
等四十人之/共銀數也於是將三次所得之餘作
[015-15b]
三色方程算之先以二等一人三等二
[015-16a]
人四等三人共銀十六兩列於上二等
二人三等二人四等四人共銀二十二
兩列於下乃以下二等二人遍乗上二
等一人三等二人四等三人共銀十六
兩得二等二人三等四人四等六人共
銀三十二兩又以上二等一人遍乗下
二等二人三等二人四等四人共銀二
十二兩仍得原數兩下相較則二等各
[015-16b]
二人彼此減盡三等兩下相減餘二人
四等兩下相減餘二人共銀兩下相減
餘十兩即三等二人四等二人共銀十
兩也葢三十二兩内減二十二兩即減/去二等二人三等二人四等四人
之共銀數故所餘之十兩為三/等二人四等二人之共銀數也次以二
等二人三等二人四等四人共銀二十
二兩列於上二等十人三等二十六人
四等四十人共銀一百九十八兩列於
下乃以下二等十人遍乗上二等二人
[015-16b]
三等二人四等四人共銀二十二兩得
[015-17a]
二等二十人三等二十人四等四十人
共銀二百二十兩又以上二等二人遍
乗下二等十人三等二十六人四等四
十人共銀一百九十八兩得二等二十
人三等五十二人四等八十人共銀三
百九十六兩兩下相較則二等各二十
人彼此減盡三等兩下相減餘三十二
人四等兩下相減餘四十人共銀兩下
[015-17b]
相減餘一百七十六兩即三等三十二
人四等四十人共銀一百七十六兩也
葢三百九十六兩内減二百二十兩即/減去二等二十人三等二十人四等四
十人之共銀數故所餘之一百七十六/兩為三等三十二人四等四十人之共
銀數也此間兩層相減雖下層數多/於上層然俱係反減故不用變號於
是又將兩次所得之餘作二色方程算
之其三等二人四等二人共銀十兩列
於上三等三十二人四等四十人共銀
一百七十六兩列於下乃以下三等三
[015-17b]
十二人遍乗上三等二人四等二人共
[015-18a]
銀十兩得三等六十四人四等六十四
人共銀三百二十兩又以上三等二人
遍乗下三等三十二人四等四十人共
銀一百七十六兩得三等六十四人四
等八十人共銀三百五十二兩兩下相
較則三等各六十四人彼此減盡四等
兩下相減餘十六人共銀兩下相減餘
三十二兩即四等十六人之共銀數以
[015-18b]
四等十六人除之得二兩即四等每一
人所應得之數也以四等二人因之得
四兩為四等二人之共銀數於三等二
人四等二人共銀十兩内減之餘六兩
為三等二人之共銀數以三等二人除
之得三兩即三等每一人所應得之數
也以二等一人三等二人四等三人共
銀十六兩計之則三等二人應得六兩
四等三人應得六兩共十二兩於共銀
[015-18b]
十六兩内減之餘四兩即二等每一人
[015-19a]
所應得之數也再以一等一人二等二
人三等三人四等四人共銀三十兩計
之則二等二人應得八兩三等三人應
得九兩四等四人應得八兩共二十五
兩於共銀三十兩内減之餘五兩即一
等每一人所應得之數也
較數類
設如硯七方比筆三枝價多四百八十文又硯三方
[015-19b]
比筆九枝價少一百八十文問硯筆價各若干
法以硯七為正筆三為負價多四百八
十文為正多為硯比筆之所多/與硯同類故亦為正列於上
又以硯三為正筆九為負價少一百八
十文為負少為硯比筆之所少即為筆/比硯之所多與筆同類故亦
為/負列於下乃以下硯三遍乘上硯七筆
三價多四百八十文得硯二十一為正
筆九為負價多一千四百四十文為正
又以上硯七遍乗下硯三筆九價少一
[015-19b]
百八十文得硯二十一為正筆六十三
[015-20a]
為負價少一千二百六十文為負兩下
相較則硯各二十一彼此減盡筆九枝
與六十三枝兩層皆負故相減餘五十
四枝價多一千四百四十文與少一千
二百六十文一正一負故相加得二千
七百文乃筆五十四枝之共價以減餘
筆五十四除之得五十文即筆每一枝
之價以三因之得一百五十文為筆三
[015-20b]
枝之共價與硯多四百八十文相加得
六百三十文為硯七方之共價以硯七
除之得九十文即硯每一方之價也此
法用互乗則上層為硯二十一方比筆
九枝價多一千四百四十文下層為硯
二十一方比筆六十三枝價少一千二
百六十文夫硯既皆二十一方則其共
價必相等然比筆九枝之價則多比筆
六十三枝之價則少是多與少相加之
[015-20b]
二千七百文即筆九枝與筆六十三枝
[015-21a]
相差之五十四枝之價也筆五十四枝
共價為二千七百文則筆一枝價五十
文而筆三枝價為一百五十文矣硯七
方比筆三枝價既多四百八十文則於
一百五十文加四百八十文共六百三
十文即硯七方之共價故以硯七除之
得九十文為硯每一方之價也
設如有甲丙二馬羣各不知數只云甲三羣比丙二
[015-21b]
羣多一千五百三十匹甲二羣與丙七羣相等問
甲丙每羣馬數各幾何
法以甲三羣為正丙二羣為負多一千
五百三十匹為正列於上又以甲二羣
為正丙七羣為負相等作一空位相等/無數
可列故作一/○以存其位列於下乃以下甲二羣遍
乗上甲三羣丙二羣多一千五百三十
匹得甲六羣仍為正丙四羣仍為負多
三千零六十匹亦仍為正又以上甲三
[015-21b]
羣遍乗下甲二羣丙七羣得甲六羣仍
[015-22a]
為正丙二十一羣為負相等無可乘亦
仍為空位兩下相較則甲各六羣彼此
減盡丙四羣與丙二十一羣兩層皆負
故相減餘十七羣多三千零六十匹與
相等無可加減仍得三千零六十匹乃
丙十七羣之共數以減餘丙十七羣除
之得一百八十匹為丙每羣之數七因
之得一千二百六十匹為丙七羣之共
[015-22b]
數甲二羣既與丙七羣相等則一千二
百六十匹亦即為甲二羣之共數以甲
二羣除之得六百三十匹即甲每羣之
數也此法用互乗則上層為甲六羣比
丙四羣多三千零六十匹下層為甲六
羣與丙二十一羣相等甲六羣既與丙
二十一羣相等則丙二十一羣比丙四
羣多三千零六十匹兩下各減丙四羣
則為丙十七羣共馬三千零六十匹矣
[015-22b]
丙十七羣既為共馬三千零六十匹則
[015-23a]
丙一羣得馬一百八十匹而丙七羣為
馬一千二百六十匹甲二羣既與丙七
羣相等則一千二百六十匹用甲二羣
除之得六百三十匹即甲每羣之數也
設如有錢買桃蘋果梨三色各不知價只云桃三箇
比蘋果二箇梨二箇價多二十四文桃二箇梨三
箇比蘋果五箇價少十二文桃四箇蘋果三箇比
梨八箇價多一百零八文問桃蘋果梨各價幾何
[015-23b]
法先以桃三為正蘋果二梨二為負價
多二十四文為正列於上又以桃二為
正蘋果五為負梨三為正價少十二文
為負列於下乃以下桃二遍乗上桃三
蘋果二梨二價多工十四文得桃六仍
為正蘋果四為負梨四為負價多四十
八文為正即桃六比蘋果四梨四價多/四十八文比原數加二倍
又以上桃三遍乗下桃二蘋果五梨三
價少十二文得桃六仍為正蘋果十五
[015-23b]
為負梨九為正價少三十六文為負即/桃
[015-24a]
六梨九比蘋果十五價少/三十六文比原數加三倍於是任以上
層為主兩下相較則桃各六彼此減盡
蘋果兩層皆負故相減餘十一本層少
反減故變負為正且為首一色減盡其
次一色即轉而為首故亦變負為正梨
一正一負故相加得十三仍依本層為
負多四十八文與少三十六文相加得
八十四文仍依本層為正即為蘋果十
[015-24b]
一比梨十三價多三十四文也葢桃彼/此減盡
蘋果上層少四下層少十五是下層比/上層所少為十一即上層比下層多十
一也梨上層少四下層多九下之所多/即上之所少是上層比下層少十三也
錢上層多四十八文下層少三十六文/下之所少即上之所多是上層比下層
多八十四文也蘋果多十一梨少十三/錢即多八十四文故為蘋果十一比梨
十三價多八/十四文也復以桃二為正蘋果五為
負梨三為正價少十二文為負列於上
又以桃四蘋果三為正梨八為負價多
一百零八文為正列於下乃以上桃二
[015-24b]
遍乗下桃四蘋果三梨八價多一百零
[015-25a]
八文得桃八仍為正蘋果六亦仍為正
梨十六為負價多二百一十六文為正
即桃八蘋果六比梨十六價多/二百一十六文比原數加二倍又以下
桃四遍乗上桃二蘋果五梨三價少十
二文得桃八仍為正蘋果二十為負梨
十二為正價少四十八文為負即桃八/梨十二
比蘋果二十價少四十/八文比原數加四倍於是仍以上層
為主兩下相較則桃各八彼此減盡蘋
[015-25b]
果一正一負故相加得二十六仍依本
層為正梨一正一負故相加得二十八
仍依本層為負多二百一十六文與少
四十八文相加得二百六十四文亦仍
依本層為正即為蘋果二十六比梨二
十八價多二百六十四文也葢桃彼此/減盡蘋果
上層多六下層少二十下之所少即上/之所多是上層比下層多二十六也梨
上層少十六下層多十二下之所多即/上之所少是上層比下層少二十八也
錢上層多二百一十六文下層少四十/八文下之所少即上之所多是上層比
[015-25b]
下層多二百六十四文也蘋果多二十/六梨少二十八錢即多二百六十四文
[015-26a]
故為蘋果二十六比梨二十/八價多二百六十四文也爰將兩次
所得之餘作二色方程算之其蘋果十
一為正梨十三為負價多八十四文為
正列於上蘋果二十六為正梨二十八
為負價多二百六十四文為正列於下
乃以上蘋果十一遍乘下蘋果二十六
梨二十八價多二百六十四文得蘋果
二百八十六為正梨三百零八為負價
[015-26b]
多二千九百零四文為正即蘋果二百/八十六比梨
三百零八價多二千九百/零四文比原數加十一倍又以下蘋果
二十六遍乗上蘋果十一梨十三價多
八十四文得蘋果二百八十六為正梨
三百三十八為負價多二千一百八十
四文為正即蘋果二百八十六比梨三/百三十八價多二千一百八
十四文比原數/加二十六倍兩下相較則蘋果各二
百八十六彼此減盡梨兩層皆負故相
減餘三十兩多數相同故亦相減餘七
[015-26b]
百二十文乃梨三十之共價葢蘋果皆/二百八十
[015-27a]
六則其共價必相等然比梨三百三十/八之價則多二千一百八十四文比梨
三百零八之價則多二千九百零四文/是兩多相差之七百二十文即梨相差
三十之/共價也以梨三十除之得二十四文即
梨每箇之價以梨十三乗之得三百一
十二文為梨十三之共價蘋果十一既
比梨十三價多八十四文則於三百一
十二文加八十四文得三百九十六文
為蘋果十一之共價以十一除之得三
[015-27b]
十六文即蘋果每箇之價以桃三比蘋
果二梨二價多二十四文計之則梨二
價四十八文蘋果二價七十二文共價
一百二十文加桃三多二十四文共一
百四十四文即為桃三之共價以三除
之得四十八文即桃每箇之價也
設如有銀買銅錫鉛鐵各不知價只云銅三斤比錫
二斤鉛二斤鐵四斤價多一錢又銅二斤鉛一斤
比錫二斤鐵二斤價多二錢又銅一斤錫二斤與
[015-27b]
鉛三斤鐵八斤價相等又銅五斤鐵三十斤比錫
[015-28a]
四斤鉛二十四斤價少二錢問銅錫鉛鐵各價幾
何
法先以銅三斤為正錫二斤鉛二斤鐵
四斤俱為負價多一錢為正列於上又
銅二斤為正錫二斤為負鉛一斤為正
鐵二斤為負價多二錢為正列於下乃
以下銅二斤遍乗上銅三斤錫二斤鉛
二斤鐵四斤價多一錢得銅六斤為正
[015-28b]
錫四斤鉛四斤鐵八斤俱為負價多二
錢為正又以上銅三斤遍乗下銅二斤
錫二斤鉛一斤鐵二斤價多二錢得銅
六斤為正錫六斤為負鉛三斤為正鐵
六斤為負價多六錢為正於是以上層
為主兩下相較則銅各六斤彼此減盡
錫兩層皆負故相減餘二斤本層少乃
變負為正鉛一正一負故相加得七斤
仍依本層為負鐵兩層皆負故亦相減
[015-28b]
餘二斤仍依本層為負價兩層皆正故
[015-29a]
亦相減餘四錢本層少乃變正為負即
錫二斤比鉛七斤鐵二斤價少四錢也
葢銅彼此減盡錫上層少四斤下層少/六斤是下層比上層所少為二斤即上
層比下層多二斤也鉛上層少四斤下/層多三斤下之所多即上之所少是上
層比下層少七斤也鐵上層少八斤下/層少六斤是上層比下層所少為二斤
也價上層多二錢下層多六錢是下層/比上層所多為四錢即上層比下層少
四錢也錫多二斤鉛少七斤鐵少二斤/價即少四錢故為錫二斤比鉛七斤鐵
二斤價少/四錢也次以銅二斤為正錫二斤為
[015-29b]
負鉛一斤為正鐵二斤為負價多二錢
為正列於上又銅一斤錫二斤為正鉛
三斤鐵八斤為負相等作一空位列於
下乃以下銅一斤遍乗上銅二斤錫二
斤鉛一斤鐵二斤價多二錢仍得原數
又以上銅二斤遍乗下銅一斤錫二斤
鉛三斤鐵八斤得銅二斤錫四斤仍為
正鉛六斤鐵十六斤仍為負相等無可
乗仍為空位於是以上層為主兩下相
[015-29b]
較則銅各二斤彼此減盡錫一正一負
[015-30a]
故相加得六斤仍依本層為負鉛一正
一負故亦相加得七斤仍依本層為正
鐵兩層皆負故相減餘十四斤本層少
乃變負為正價多二錢與相等無可加
減仍得二錢為正即鉛七斤鐵十四斤
比錫六斤價多二錢也葢銅彼此減盡/錫上層少二斤
下層多四斤下之所多即上之所少是/上層比下層少六斤也鉛上層多一斤
下層少六斤下之所少即上之所多是/上層比下層多七斤也鐵上層少二斤
[015-30b]
下層少十六斤是下層比上層所少為/十四斤即上層比下層多十四斤也鉛
多七斤鐵多十四斤錫少六斤而價即/多二錢故為鉛七斤鐵十四斤比錫六
斤價多/二錢也因首色銅數減盡則錫即轉而
為首應為正今錫六斤為負則重列三
色之際不能一體須俱變其號然後為
順故將錫六斤變負為正而以鉛七斤
鐵十四斤價多二錢俱變正為負葢原
鉛七斤鐵十四斤比錫六斤價多二錢
今變為錫六斤比鉛七斤鐵十四斤價
[015-30b]
少二錢也若以下層為主則相加應/依下層為正即不用變次
[015-31a]
以銅一斤錫二斤為正鉛三斤鐵八斤
為負相等作一空位列於上又銅五斤
為正錫四斤鉛二十四斤為負鐵三十
斤為正價少二錢為負列於下乃以下
銅五斤遍乗上銅一斤錫二斤鉛三斤
鐵八斤得銅五斤錫十斤為正鉛十五
斤鐵四十斤為負相等無可乗仍為空
位又以上銅一斤遍乗下銅五斤錫四
[015-31b]
斤鉛二十四斤鐵三十斤價少二錢仍
得原數於是以上層為主兩下相較則
銅各五斤彼此減盡錫一正一負故相
加得十四斤仍依本層為正鉛兩層皆
負故相減餘九斤本層少乃變負為正
鐵一正一負故相加得七十斤仍依本
層為負價少二錢與相等無可加減仍
得二錢本層無數乃變負為正即錫十
四斤鉛九斤比鐵七十斤價多二錢也
[015-31b]
葢銅彼此減盡錫上層多十斤下層少/四斤下之所少即上之所多是上層比
[015-32a]
下層多十四斤也鉛上層少十五斤下/層少二十四斤是下層比上層所少為
九斤即上層比下層多九斤也鐵上層/少四十斤下層多三十斤下之所多即
上之所少是上層比下層少七十斤也/價下層少二錢即上層多二錢也錫多
十四斤鉛多九斤鐵少七十斤價即多/二錢故為錫十四斤鉛九斤比鐵七十
斤價多/二錢也爰將三次所得之餘作三色方
程算之先以錫二斤為正鉛七斤鐵二
斤價少四錢俱為負列於上又錫六斤
為正鉛七斤鐵十四斤價少二錢俱為
[015-32b]
負列於下乃以下錫六斤遍乗上錫二
斤鉛七斤鐵二斤價少四錢得錫十二
斤為正鉛四十二斤鐵十二斤價少二
兩四錢俱為負又以上錫二斤遍乗下
錫六斤鉛七斤鐵十四斤價少二錢得
錫十二斤為正鉛十四斤鐵二十八斤
價少四錢俱為負於是以上層為主兩
下相較則錫各十二斤彼此減盡鉛兩
層皆負故相減餘二十八斤仍依本層
[015-32b]
為負鐵兩層皆負故亦相減餘十六斤
[015-33a]
本層少乃變負為正價兩層皆負故亦
相減餘二兩仍依本層為負即鐵十六
斤比鉛二十八斤價少二兩也葢錫彼/此減盡
鉛上層少四十二斤下層少十四斤是/上層比下層所少為二十八斤也鐵上
層少十二斤下層少二十八斤是下層/比上層所少為十六斤即上層比下層
多十六斤也價上層少二兩四錢下層/少四錢是上層比下層所少為二兩也
鐵多十六斤鉛少二十八斤價即少二/兩故為鐵十六斤比鉛二十八斤價少
二兩/也次以錫六斤為正鉛七斤鐵十四
[015-33b]
斤價少二錢俱為負列於上又錫十四
斤鉛九斤為正鐵七十斤為負價多二
錢為正列於下乃以下錫十四斤遍乗
上錫六斤鉛七斤鐵十四斤價少二錢
得錫八十四斤為正鉛九十八斤鐵一
百九十六斤價少二兩八錢俱為負又
以上錫六斤遍乗下錫十四斤鉛九斤
鐵七十斤價多二錢得錫八十四斤鉛
五十四斤為正鐵四百二十斤為負價
[015-33b]
多一兩二錢為正於是以上層為主兩
[015-34a]
下相較則錫各八十四斤彼此減盡鉛
一正一負故相加得一百五十二斤仍
依本層為負鐵兩層皆負故相減餘二
百二十四斤本層少乃變負為正價一
正一負故相加得四兩仍依本層為負
即鐵二百二十四斤比鉛一百五十二
斤價少四兩也葢錫彼此減盡鉛上層/少九十八斤下層多五
十四斤下之所多即上之所少是上層/比下層少一百五十二斤也鐵上層少
[015-34b]
一百九十六斤下層少四百二十斤是/下層比上層所少為二百二十四斤即
上層比下層多二百二十四斤也價上/層少二兩八錢下層多一兩二錢下之
所多即上之所少是上層比下層少四/兩也鐵多二百二十四斤鉛少一百五
十二斤價即少四兩故為鐵二百二十/四斤比鉛一百五十二斤價少四兩也
爰將兩次所得之餘作二色方程算之
其所餘鉛兩首色俱為負是為同號可
以互乗減盡故不變其號即將鉛二十
八斤為負鐵十六斤為正價少二兩為
負列於上又鉛一百五十二斤為負鐵
[015-34b]
二百二十四斤為正價少四兩為負列
[015-35a]
於下乃以下鉛一百五十二斤遍乗上
鉛二十八斤鐵十六斤價少二兩得鉛
四千二百五十六斤為負鐵二千四百
三十二斤為正價少三百零四兩為負
又以上鉛二十八斤遍乗下鉛一百五
十二斤鐵二百二十四斤價少四兩得
鉛四千二百五十六斤為負鐵六千二
百七十二斤為正價少一百一十二兩
[015-35b]
為負兩下相較則鉛各四千二百五十
六斤彼此減盡鐵兩層皆正故亦相減
餘三千八百四十斤價兩層皆負故亦
相減餘一百九十二兩即鐵三千八百
四十斤之共價以鐵三千八百四十斤
除之得五分即鐵每一斤之價也以鐵
十六斤乗之得八錢為鐵十六斤之共
價鐵十六斤既比鉛二十八斤價少二
兩則加二兩得二兩八錢為鉛二十八
[015-35b]
斤之共價以鉛二十八斤除之得一錢
[015-36a]
即鉛每一斤之價也以錫六斤比鉛七
斤鐵十四斤價少二錢計之則鉛七斤
價七錢鐵十四斤價亦七錢共一兩四
錢錫六斤既比鉛七斤鐵十四斤價少
二錢則減二錢餘一兩二錢為錫六斤
之共價以錫六斤除之得二錢即錫每
一斤之價也再以銅三斤比錫二斤鉛
二斤鐵四斤價多一錢計之則錫二斤
[015-36b]
價四錢鉛二斤價二錢鐵四斤價二錢
共八錢銅三斤既比錫二斤鉛二斤鐵
四斤價多一錢則加一錢共九錢為銅
三斤之共價以銅三斤除之得三錢即
銅每一斤之價也
和較兼用類
設如有大小二石不知其重只云二大石比七小石
少三十斤三大石二小石共三百三十斤問大小
石各重幾何
[015-36b]
法以大石二為正小石七為負少三十
[015-37a]
斤為負列於上大石三小石二共重三
百三十斤列於下乃以上大石二遍乗
下大石三小石二重三百三十斤得大
石六小石四共重六百六十斤又以下
大石三遍乗上大石二小石七少三十
斤得大石六仍為正小石二十一仍為
負少九十斤亦仍為負兩下相較則大
石各六彼此減盡小石四加小石二十
[015-37b]
一得小石二十五六百六十斤加九十
斤得七百五十斤乃小石二十五之共
數以小石二十五除之得三十斤即一
小石之重數以二因之得六十斤為二
小石之共數於大小石共重三百三十
斤内減之餘二百七十斤為三大石之
共數以三除之得九十斤即一大石之
重數也此法葢因三大石二小石共重
三百三十斤為和數皆一類為正故不
[015-37b]
用正負之號遇正則為同類相減遇負
[015-38a]
則為異類相加相加之後仍為和數者
以其依本層之號故亦不用正號葢六
大石四小石共重六百六十斤而六大
石比二十一小石少九十斤則加九十
斤即六大石與二十一小石等矣故小
石二十五共重七百五十斤以二十五
除之而得一小石之重數也既得小石
之重數則於和數共重三百三十斤内
[015-38b]
減二小石重六十斤餘為三大石之共
數若於較數七小石之共重二百一十
斤内減少三十斤所餘即為二大石之
共數既得三大石或二大石之共數乃
以大石數除之即得一大石之重數矣
設如有米用牛馬騾三色載之各不知數只云牛二
馬三騾四共載八石馬三騾三與牛三所載相等
牛四馬一比騾八所載多三石問各載幾何
法先以牛二馬三騾四共米八石列於
[015-38b]
上次以牛三為正馬三騾三為負相等
[015-39a]
作一空位列於下題言馬三騾三比牛/三則馬騾應為正牛
應為負因列法以牛為首故以牛為正/馬騾為負即牛三比馬三騾三相等其
理一/也乃以上牛二遍乘下牛三馬三騾
三得牛六仍為正馬六騾六仍為負又
以下牛三遍乗上牛二馬三騾四共載
八石得牛六馬九騾十二共載二十四
石於是以下層為主兩下相較若以上/層為主
則相加數皆為負况首色減盡二色即/轉而為首即變負為正故不若以下層
[015-39b]
為主而皆/為正也則牛各六彼此減盡馬九加
馬六得馬十五因依本層為和/數故不用號騾十二
加騾六得騾十八二十四石無可加減
仍為二十四石即馬十五騾十八共載
二十四石也葢牛六馬九騾十二共載/二十四石而牛六與馬六
騾六相等則將本層牛六變為馬六騾/六矣故為馬十五騾十八共載二十四
石/也次以牛三為正馬三騾三為負相等
作一空位列於上牛四馬一為正騾八
為負多三石為正列於下乃以上牛三
[015-39b]
遍乗下牛四馬一騾八多三石得牛十
[015-40a]
二為正馬三亦為正騾二十四為負多
九石為正又以下牛四遍乗上牛三馬
三騾三得牛十二為正馬十二為負騾
十二為負於是以上層為主兩下相較
則牛各十二彼此減盡馬一正一負故
相加得十五仍依本層為正騾兩層皆
負故相減餘十二仍依本層為負九石
無可加減仍為九石依本層為正即馬
[015-40b]
十五比騾十二所載多九石也葢牛彼/此減盡
馬上層多三下層少十二是上層比下/層多十五也騾上層少二十四下層少
十二是上層比下層所少為十二也馬/多十五騾少十二而米即多九石故為
馬十五比騾十二/所載多九石也爰將兩次所得之餘
如和較兼用二色方程法算之其馬十
五騾十八共米二十四石列於上又馬
十五為正騾十二為負多米九石為正
列於下因首色皆為十五兩數齊同即
不用互乘兩下相較則馬各十五彼此
[015-40b]
減盡騾十八加騾十二得三十米二十
[015-41a]
四石減九石餘十五石乃騾三十共載
之數以三十除之得五斗即為每一騾
所載之數以騾十二乗之得六石為騾
十二共載之數加馬十五之多九石得
十五石即為馬十五共載之數以馬十
五除之得一石為每一馬所載之數以
牛三與馬三騾三相等計之則馬三應
載三石騾三應載一石五斗共四石五
[015-41b]
斗以牛三除之得一石五斗即為每一
牛所載之數也
設如有銀買綾羅絹三色各不知價只云綾一疋羅
二疋絹四疋共價七兩四錢又綾二疋絹八疋比
羅四疋多六兩八錢又綾三疋比羅六疋絹七疋
少一兩二錢問各價幾何
法先以綾一羅二絹四共銀七兩四錢
列於上和數皆為/正不用號又綾二為正羅四為
負絹八為正多六兩八錢為正列於下
[015-41b]
乃以下綾二遍乗上綾一羅二絹四共
[015-42a]
銀七兩四錢得綾二羅四絹八共銀十
四兩八錢又以上綾一遍乗下綾二羅
四絹八多六兩八錢仍得原數於是以
上層為主兩下相較則綾各二彼此減
盡羅一正一負故相加得羅八依本層
為正絹兩層皆正故相減恰盡價兩層
皆正亦相減餘八兩乃羅八疋之共價
葢綾彼此減盡絹亦減盡惟羅上層多/四疋下層少四疋是上層比下層多八
[015-42b]
疋而價即多八兩故/為羅八疋之共價也以羅八除之得一
兩即為羅每一疋之價也次以綾二為
正羅四為負絹八為正多六兩八錢為
正列於上又綾三為正羅六為負絹七
為負少一兩二錢為負列於下乃以下
綾三遍乗上綾二羅四絹八多六兩八
錢得綾六為正羅十二為負絹二十四
為正多二十兩四錢為正又以上綾二
遍乗下綾三羅六絹七少一兩二錢得
[015-42b]
綾六為正羅十二為負絹十四為負少
[015-43a]
二兩四錢為負於是以上層為主兩下
相較則綾各六彼此減盡羅兩層皆負
亦減盡絹一正一負故相加得三十八
銀一正一負故相加得二十二兩八錢
乃絹三十八疋之共價葢綾彼此減盡/羅亦減盡絹上
層多二十四疋下層少十四疋是上層/比下層多三十八疋也銀上層多二十
兩四錢下層少二兩四錢是上層比下/層多二十二兩八錢也絹多而銀亦多
故為絹之/共價也以絹三十八除之得六錢即
[015-43b]
絹每一疋之價也以綾一羅二絹四共
價七兩四錢計之則羅二疋應價二兩
絹四疋應價二兩四錢共四兩四錢於
共價七兩四錢内減之餘三兩即綾每
一疋之價也此法互乗相減之後即得
一法一實故省重列二色若物與價俱
各減盡者則此層必為彼層之幾倍與
少一層者同是為少一行不可算也
和較交變類
[015-43b]
設如有琴瑟箏三種樂器各不知價但知琴一張瑟
[015-44a]
三張箏三張共價九十兩又琴一張瑟二張箏五
張共價八十八兩又琴三張瑟八張箏五張共價
二百二十兩問琴瑟箏每張各價幾何
法先以琴一瑟三箏三共銀九十兩列
於上又琴一瑟二箏五共銀八十八兩
列於下因和數皆為/正故不用號因首色皆為一故
省互乗即以上層為主兩下相較則琴
各一彼此減盡瑟兩下相減餘一本層
[015-44b]
多仍為正箏兩下相減餘二本層少變
正為負銀九十兩減八十八兩餘二兩
本層多亦仍為正即瑟一比箏二價多
二兩也葢兩層琴各一張其價必相等/但上層多瑟一張下層多箏二
張則上層多銀二兩即瑟/一比箏二所多之價也次以琴一瑟
二箏五共銀八十八兩列於上又琴三
瑟八箏五共銀二百二十兩列於下乃
以下琴三遍乗上琴一瑟二箏五共銀
八十八兩得琴三瑟六箏十五共銀二
[015-44b]
百六十四兩又以上琴一遍乗下琴三
[015-45a]
瑟八箏五共銀二百二十兩仍得原數
於是以上層為主兩下相較則琴各三
彼此減盡瑟兩下相減餘二本層少變
正為負箏兩下相減餘十本層多仍為
正銀二百六十四兩減二百二十兩餘
四十四兩本層多亦仍為正即箏十比
瑟二價多四十四兩也葢兩層琴各三/張其價必相等
但上層多箏十張下層多瑟二張則丄/層多銀四十四兩即箏十張比瑟二張
[015-45b]
所多之/價也因首色減盡則瑟轉而為首應
為正今瑟為負重列二色之際不能一
體須俱變其號然後為順故將瑟二變
負為正而以箏十與價多四十四兩俱
變正為負葢原箏十比瑟二多四十四
兩今變為瑟二比箏十少四十四兩也
若以下層為主則本層多/即得瑟二為正不用變號爰將兩次所
得之餘如較數二色方程算之其瑟一
為正箏二為負多二兩為正列於上瑟
[015-45b]
二為正箏十為負少四十四兩為負列
[015-46a]
於下乃以下瑟二遍乗上瑟一箏二多
二兩得瑟二仍為正箏四為負多四兩
為正又以上瑟一遍乘下瑟二箏十少
四十四兩仍得原數兩下相較則瑟各
二彼此減盡箏兩層皆負故相減餘六
多四兩與少四十四兩相加得四十八
兩即箏六張之共價也葢瑟皆為二張/則其共價必相
等然比箏四張之價則多比箏十張之/價則少是多少相加之四十八兩即箏
[015-46b]
十與箏四相差/六張之價也乃以箏六除銀四十八
兩得八兩為箏毎張之價以箏十因之
得八十兩為箏十張之共價瑟二張既
比箏十張少四十四兩則於八十兩内
減四十四兩餘三十六兩即為瑟二張
之共價以瑟二除之得十八兩為瑟毎
張之價以琴一瑟三箏三共銀九十兩
計之則瑟三價五十四兩箏三價二十
四兩共七十八兩於共銀九十兩内減
[015-46b]
之餘十二兩即琴毎一張之價也
[015-47a]
設如有古量斛庾釜三種盛米各數不同只云三斛
二釜比二庾多一石零八升又二斛比三庾五釜
少六石又一斛一庾比二釜多一石三斗二升問
斛庾釡各盛米若干
法先以斛三為正庾二為負釜二為正
多一石零八升為正列於上又斛二為
正庾三釜五為負少六石亦為負列於
下乃以下斛二遍乗上斛三庾二釜二
[015-47b]
多一石零八升得斛六仍為正庾四為
負釜四為正多二石一斗六升亦為正
又以上斛三遍乗下斛二庾三釜五少
六石得斛六仍為正庾九釜十五俱為
負少十八石亦為負於是以上層為主
兩下相較則斛各六彼此減盡庾兩層
皆負故相減餘五本層少乃變負為正
釡一正一負故相加得十九仍依本層
為正多二石一斗六升與少十八石相
[015-47b]
加得二十石一斗六升仍依本層為正
[015-48a]
即五庾十九釡共二十石一斗六升也
葢斛彼此減盡庾上層少四下層少九/是下層比上層所少為五即上層比下
層多五也釜上層多四下層少十五是/上層比下層多十九也米上層多二石
一斗六升下層少十八石是上層比下/層多二十石一斗六升也庾釜多則米
亦多故為五庾十九釜/共二十石一斗六升也次以斛二為正
庾三釡五與少六石俱為負列於上又
斛一庾一為正釜二為負多一石三斗
二升為正列於下乃以上斛二遍乗下
[015-48b]
斛一庾一釡二多一石三斗二升得斛
二庾二為正釡四為負多二石六斗四
升為正又以下斛一遍乗上斛二庾三
釜五少六石仍得原數於是以上層為
主兩下相較則斛各二彼此減盡庾一
正一負故相加得五仍依本層為正釜
兩層皆負故相減餘一本層少乃變負
為正多二石六斗四升與少六石相加
得八石六斗四升仍依本層為正即五
[015-48b]
庾一釜共八石六斗四升也葢斛彼此/減盡庾上
[015-49a]
層多二下層少三是上層比下層多五/也釜上層少四下層少五是下層比上
層所少為一即上層比下層多一也米/上層多二石六斗四升下層少六石是
上層比下層多八石六斗四升也庾釜/多而米亦多故為五庾一釡共八石六
斗四/升也爰以兩次所得之餘如和數二色
方程算之其庾五釜十九共二十石一
斗六升列於上庾五釡一共八石六斗
四升列於下變為和數/故不用號夫首數皆為五
則省互乗兩下相較庾各五彼此減盡
[015-49b]
釡十九減一餘十八米二十石一斗六
升減八石六斗四升餘十一石五斗二
升即為釜十八所盛之共數以十八除
之得六斗四升為毎一釜所盛之數於
八石六斗四升内減之餘八石為庾五
所盛之共數以五除之得一石六斗為
毎一庾所盛之數以斛三釡二比庾二
多一石零八升計之則庾二應三石二
斗加多一石零八升得四石二斗八升
[015-49b]
即為斛三釜二之共數減釡二之一石
[015-50a]
二斗八升餘三石為斛三所盛之共數
以三除之得一石為每一斛所盛之數
也
設如用船車駝運糧各不知數只云三船比七車一
駝少三十三石六斗二車比一船十二駝少二十
一石六斗八駝比一船三車少二十一石六斗問
船車駝各載幾何
法先以船三為正車七駝一與少三十
[015-50b]
三石六斗俱為負列於上又船一改為
正車二改為負駝十二亦改為正少二
十一石六斗改為多二十一石六斗亦
為正列於下葢二車比一船十二駝少/二十一石六斗即一船十
二駝比二車多二/十一石六斗也乃以上船三遍乗下
船一車二駝十二多二十一石六斗得
船三為正車六為負駝三十六為正多
六十四石八斗為正又以下船一遍乗
上船三車七駝一少三十三石六斗仍
[015-50b]
得原數於是以上層為主兩下相較則
[015-51a]
船各三彼此減盡車兩層皆負故相減
餘一本層少乃變負為正駝一正一負
故相加得三十七仍依本層為正多六
十四石八斗與少三十三石六斗相加
得九十八石四斗亦依本層為正即車
一駝三十七共載九十八石四斗也葢/船
彼此減盡車上層少六下層少七是下/層比上層所少為一即上層比下層多
一也駝上層多三十六下層少一是上/層比下層多三十七也糧上層多六十
[015-51b]
四石八斗下層少三十三石六斗是上/層比下層多九十八石四斗也車多駝
多則糧亦多故九十八石四斗/為車一駝三十七之共數也次以船
一為正車二為負駝十二為正多二十
一石六斗為正列於上又船一車三俱
改為正駝八改為負少二十一石六斗
改為多二十一石六斗為正列於下葢/八
駝比一船三車少二十一石六斗即一/船三車比八駝多二十一石六斗也
首數皆一故省互乘即以上層為主兩
下相較則船各一彼此減盡車一正一
[015-51b]
負故相加得五仍依本層為負駝一正
[015-52a]
一負故亦相加得二十仍依本層為正
糧兩層皆正相減恰盡即為駝二十與
車五相等今車應轉為首色為正故重
列之際須俱變其號以車變負為正駝
變正為負即為車五與駝二十相等也
葢兩下相較船數相等上層少車二下/層多車三上之所少即下之所多是下
層多車五上層多駝十二下層少駝八/下之所少即上之所多是上層多駝二
十今既兩下糧數相等則/為車五與駝二十相等矣爰以兩次所
[015-52b]
得之餘如和較兼用二色方程算之其
車一駝三十七共糧九十八石四斗列
於上因為和數/故不用號又車五為正駝二十為
負列於下糧兩下相等故無數可/列仍作空以存其位乃以
下車五遍乗上車一駝三十七共糧九
十八石四斗得車五駝一百八十五共
糧四百九十二石又以上車一遍乗下
車五駝二十仍得原數兩下相較則車
各五彼此減盡駝一百八十五加駝二
[015-52b]
十得二百零五糧止一層無數可加減
[015-53a]
仍得四百九十二石即駝二百零五所
載之共數也以駝二百零五除之得二
石四斗為每一駝所載之數以二十乗
之得四十八石為駝二十所載之共數
車五既與之相等即以車五除之得九
石六斗即為每一車所載之數以三船
比七車一駝少三十三石六斗計之則
一駝應二石四斗七車應六十七石二
[015-53b]
斗共六十九石六斗減三船少三十三
石六斗餘三十六石為三船所載之共
數以三除之得十二石為毎一船所載
之數也
設如有錢買瓜桃榴梨四色只云瓜二桃四共價一
百五十六文瓜一梨八共價一百二十六文桃二
榴七共價一百六十文榴四梨七共價一百四十
八文問瓜桃榴梨各價幾何
法先以瓜二桃四共價一百五十六文
[015-53b]
列於上因題有四色而此行無榴梨乃/各作空位以存其分餘俱照式
[015-54a]
對位/列之又以瓜一梨八共價一百二十六
文列於下因為和數/故不用號乃以上瓜二遍乗
下瓜一梨八共價一百二十六文得瓜
二梨十六共價二百五十二文又以下
瓜一遍乘上瓜二桃四共價一百五十
六文仍得原數於是以下層為主兩下
相較則瓜各二彼此減盡桃四無可減
仍為四依本層為正榴仍為空位梨十
[015-54b]
六無可減仍為十六本層無數乃變正
為負價二百五十二文内減一百五十
六文餘九十六文本層少乃變正為負
即為桃四比梨十六價少九十六文也
葢瓜皆為二則其共價必相等然上層/有梨十六則共價二百五十二文下層
有桃四則共價一百五十六文其相差/之九十六文即桃四比梨十六所少之
價/也至是瓜既已減盡但餘三色即變四
色為三色而以桃為首對位列之是以
桃四為正此行無榴數故仍作空位/以存其分餘俱對位列之梨
[015-54b]
十六為負少九十六文為負列於上桃
[015-55a]
二榴七共價一百六十文列於下因為/和數
故不/用號乃以上桃四遍乗下桃二榴七共
價一百六十文得桃八榴二十八共價
六百四十文又以下桃二遍乗上桃四
梨十六少九十六文得桃八仍為正梨
三十二仍為負少一百九十二文為負
於是以上層為主兩下相較則桃各八
彼此減盡榴二十八無可減仍為二十
[015-55b]
八依本層為正梨三十二無可加仍為
三十二本層無數乃變負為正六百四
十文與少一百九十二文相加得八百
三十二文仍依本層為正即榴二十八
梨三十二共價八百三十二文也葢桃/彼此
減盡上層多榴二十八下層少梨三十/二即上層多梨三十二故多與少相差
之八百三十二文即榴二/十八梨三十二之共價也至是桃又減
盡但餘二色即變三色為二色而以榴
為首對位列之是以榴二十八梨三十
[015-55b]
二共價八百三十二文列於上榴四梨
[015-56a]
七共價一百四十八文列於下乃以上
榴二十八遍乗下榴四梨七共價一百
四十八文得榴一百一十二梨一百九
十六共價四千一百四十四文又以下
榴四遍乗上榴二十八梨三十二共價
八百三十二文得榴一百一十二梨一
百二十八共價三千三百二十八文兩
下相較則榴各一百一十二彼此減盡
[015-56b]
梨兩下相減餘六十八價兩下相減餘
八百一十六文即梨六十八之共價也
以梨六十八除之得十二文為梨每個
之價以七因之得八十四文為梨七之
共價於榴梨共價一百四十八文内減
之餘六十四文為榴四之共價以四除
之得十六文即榴毎個之價以桃二榴
七共價一百六十文計之則榴七應價
一百一十二文於桃榴共價一百六十
[015-56b]
文内減之餘四十八文為桃二之共價
[015-57a]
以二除之得二十四文為桃每個之價
再以瓜二桃四共價一百五十六文計
之則桃四應價九十六文於桃瓜共價
一百五十六文内減之餘六十文為瓜
二之共價以二除之得三十文即瓜毎
個之價也
附法
設如有石二塊大小不等不知重數只有銅條一根
[015-57b]
重十二兩均分十二分以繩繫於第五分之上一
頭五分一頭七分將大石掛於銅條一頭離提繫
五分而以小石作砣稱之離提繫得六分始平又
將小石掛在銅條一頭離提繫五分而以大石作
砣稱之離提繫得四分始平問大小二石各重幾
何
法先以五分加一倍與十二分相較餘
二分折半得一分與五分相加為六分
乃以五分為一率六分為二率餘二分
[015-57b]
作二兩為三率得四率二兩四錢即五
[015-58a]
分之端加二兩四錢始與七分相平也
爰將二兩四錢以大石離提繫五分因
之得十二兩為五大石比六小石所多
之數大石離提繫五分小石離提繫六/分而平是大石重六分小石重五
分也若五大石六小石則各得三十分/其重始等然五分之一端應加二兩四
錢是大石重六分尚多二兩四錢也若/五大石則多十二兩矣故為五大石比
六小石多/十二兩也又將二兩四錢以小石離提
繫五分因之亦得十二兩為四大石比
[015-58b]
五小石所少之數小石離提繫五分大/石離提繫四分而平
是小石重四分大石重五分也若五小/石四大石則各得二十分其重始等然
五分之一端應加二兩四錢是小石重/四分尚多二兩四錢也若五小石則多
十二兩矣故為五小石比四大石多十/二兩因以大石為首故變為四大石比
五小石少/十二兩也因作較數方程法算之以大
石五為正小石六為負重多十二兩為
正列於上又大石四為正小石五為負
重少十二兩為負列於下乃以上大石
五遍乗下大石四小石五少十二兩得
[015-58b]
大石二十小石二十五少六十兩又以
[015-59a]
下大石四遍乗上大石五小石六多十
二兩得大石二十小石二十四多四十
八兩兩下相較則大石各二十彼此減
盡小石兩層皆負故相減餘一重少六
十兩與多四十八兩相加得一百零八
兩即為一小石之重數以小石六因之
得六百四十八兩為六小石之共重數
加五大石所多十二兩得六百六十兩
[015-59b]
為五大石之共重數以五歸之得一百
三十二兩即為一大石之重數也此本
疊借互徵之法而以方程算之稍為簡
易焉
設如有銀一千六百四十兩兄弟二人分之各不知
數只云兄之四分之一弟之六分之一共三百五
十兩問兄弟各分銀幾何
法以一千六百四十兩為兄四分弟六
分之共銀數以三百五十兩為兄一分
[015-59b]
弟一分之共銀數如和數方程法算之
[015-60a]
以兄四分弟六分共銀一千六百四十
兩列於上兄一分弟一分共銀三百五
十兩列於下乃以下兄一分遍乗上兄
四分弟六分共銀一千六百四十兩仍
得原數又以上兄四分遍乗下兄一分
弟一分共銀三百五十兩得兄四分弟
四分共銀一千四百兩兩下相較則兄
各四分彼此減盡弟兩下相減餘二分
[015-60b]
銀兩下相減餘二百四十兩即弟二分
之共銀數以弟二分除之得一百二十
兩為弟一分之銀數以弟六分乗之得
七百二十兩即弟所分之共銀數於共
銀一千六百四十兩内減之餘九百二
十兩即兄所分之共銀數也此法用疊/借互徵算
之亦/可
設如甲乙二人分果不知其數只云甲予乙九枚則
乙與甲等乙予甲九枚則一甲與二乙等問甲乙
[015-60b]
分果各幾何
[015-61a]
法將甲予乙九枚以二因之得一十八
枚為一甲比一乙所多之數葢甲予乙/九枚則甲
與乙等若甲不予乙則甲多九枚/乙少九枚是甲比乙多十八枚也又將
乙予甲九枚以三因之得二十七枚為
一甲比二乙所少之數葢乙予甲九枚/則一甲與二乙
等若乙不予甲則乙多九枚二乙必多/十八枚甲少九枚是一甲比二乙少二
十七/枚也因作較數方程法算之以甲一為
正乙一為負多十八枚為正列於上又
[015-61b]
甲一為正乙二為負少二十七枚為負
列於下因甲首色皆為一故不用互乗
兩下相較則甲各一彼此減盡乙兩層
皆負故相減餘一果一正一負故相加
得四十五枚即為乙之果數如甲多十
八枚得六十三枚即為甲之果數也若
甲與乙九枚則甲餘五十四乙亦得五
十四是甲與乙相等若乙與甲九枚則
乙餘三十六甲得七十二是一甲與二
[015-61b]
乙相等也此法用疊借互/徵算之亦可
[015-62a]
設如有田二千六百五十畝令上中下三等農夫分
耕上等四十人中等五十人下等七十人上等比
中等毎人多七畝中等比下等毎人多五畝問上
中下三等毎人各耕幾何
法以二千六百五十畝為和以多七畝
多五畝為較如和較兼用三色方程法
算之先以上等四十人中等五十人下
等七十人共田二千六百五十畝列於
[015-62b]
上因為和數/故不用號又上等一人為正中等一
人為負多七畝為正列於下無下等則/作空以存
其/位乃以下上等一人遍乗上上等四十
人中等五十人下等七十人共田二千
六百五十畝仍得原數又以上上等四
十人遍乗下上等一人中等一人多七
畝得上等四十人為正中等四十人為
負多二百八十畝為正於是以上層為
主兩下相較則上等各四十人彼此減
[015-62b]
盡中等五十人加四十人得九十人下
[015-63a]
等無可加減仍得七十人田二千六百
五十畝減二百八十畝餘二千三百七
十畝即中等九十人下等七十人共田
二千三百七十畝也因依本層故/仍為和數次以
中等九十人下等七十人共田二千三
百七十畝列於上因為和數/故不用號又中等一
人為正下等一人為負多五畝為正列
於下乃以下中等一人遍乗上中等九
[015-63b]
十人下等七十人共田二千三百七十
畝仍得原數又以上中等九十人遍乗
下中等一人下等一人多五畝得中等
九十人為正下等九十人為負多四百
五十畝為正兩下相較則中等各九十
人彼此減盡下等七十人加九十人得
一百六十人田二千三百七十畝減四
百五十畝餘一千九百二十畝即下等
一百六十人之共數也以下等一百六
[015-63b]
十人除之得十二畝為下等每人所耕
[015-64a]
之數加五畝得十七畝為中等毎人所
耕之數又加七畝得二十四畝為上等
每人所耕之數也此法本和數比例/以方程算之亦可
[015-64b]
御製數理精藴下編卷十
