[025-1a] 
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷二十
面部十
曲線形
[025-2a]
曲線形
設如圜徑一尺二寸問周幾何
法用周徑定率比例以徑數一○○○
○○○○○為一率周數三一四一五
九二六五為二率今所設之圜徑一尺
二寸為三率求得四率三尺七寸六分
九釐九豪一絲一忽一微八纖卽所求
之圜之周數也葢圜之數竒零不盡立
[025-2b]
法必自方數始是故圜内容形屢求勾
股至億萬邊圜外切形屢求勾股至億
萬邊内外凑集使圜周變為直線精密
已極始為得之爰設圜徑為一而圜周
得三一四一五九二六五有餘是為定
率故以圜徑一與圜周三一四一五九
二六五之比卽同於今所設之圜徑一
尺二寸與今所得之圜周三尺七寸六
分九釐九豪一絲一忽一㣲八纖之比
[025-2b]
也
[025-3a]
又周徑定率比例以徑數一一三為一
率周數三五五為二率今所設之圜徑
一尺二寸為三率求得四率三尺七寸
六分九釐九豪一絲一忽五微有餘為
圜之周數也葢以徑一周三一四一五
九二六五之定率約之徑一一三周得
三五四九九九九六九有餘進而為三
五五則周數微大故今所得圜周亦微
[025-3b]
大然止在忽微之間耳
又周徑定率比例以徑數七為一率周
數二十二為二率今所設之圜徑一尺
二寸為三率求得四率三尺七寸七分
一釐四豪二絲八忽五㣲七纖有餘為
圜之周數也葢以徑一周三一四一五
九二六五之定率約之徑七周得二一
九九一一四八五有餘進而為二二則
周數大而所得周數亦大至於舊術徑
[025-3b]
一圍三乃圜内容六等邊形之共度實
[025-4a]
小於圜之周線故徑一則圍三有餘圍
三則徑一不足也
設如圜周一丈五尺問徑幾何
法用周徑定率比例以周數三一四一
五九二六五為一率徑數一○○○○
○○○○為二率今所設之圜周一丈
五尺為三率求得四率四尺七寸七分
四釐六豪四絲八忽二㣲有餘即所求
[025-4b]
之圜之徑數也葢前法有徑求周故以
定率之徑與定率之周為比卽如今所
設之徑與今所得之周為比此法有周
求徑故以定率之周與定率之徑為比
卽如今所設之周與今所得之徑為比
也
又周徑定率比例以周數一○○○○
○○○○為一率徑數三一八三○九
八八為二率今所設之圜周一丈五尺
[025-4b]
為三率求得四率四尺七寸七分四釐
[025-5a]
六豪四絲八忽二㣲為圜之徑數也葢
圜周為三一四一五九二六五則圜徑
為一○○○○○○○○若圜周為一
○○○○○○○○則圜徑為三一八
三○九八八其比例仍同也如以周數
三五五為一率徑數一一三為二率今
所設之圜周一丈五尺為三率亦得四
率四尺七寸七分四釐六豪四絲七忽
[025-5b]
八微有餘為圜之徑數又或以周數二
二為一率徑數七為二率今所設之圜
周一丈五尺為三率則得四率四尺七
寸七分二釐七豪二絲七忽二微有餘
較之前法所得徑數稍小葢徑為七而
周稍小於二二若周為二二徑必稍大
於七今截而為七則徑數稍小故所得
徑數亦稍小也
設如圜徑八寸問面積幾何
[025-5b]
法以圜徑八寸用徑求周法求得圜周
[025-6a]
二尺五寸一分三釐二豪七絲四忽一
微二纖折半得一尺二寸五分六釐六
豪二絲七忽零六纖與半徑四寸相乘
得五十寸二十六分五十四釐八十二
豪有餘卽圜之面積也葢圜之半徑線
若與直角三角形之小邊線度等而圜
之周界又與直角三角形之大邊線度
等則此直角三角形之面積與圜形之
[025-6b]
面積相等見幾何原本四/卷第二十一節如甲乙丙丁
圜形其戊丙半徑與己庚辛直角三角
形之己庚小邊線度等而甲乙丙丁圜
周界與己庚辛直角三角形之庚辛大
邊線度等則此己庚辛三角形之面積
即與甲乙丙丁圜形之面積相等是故
以戊丙半徑相等之己庚與乙丙丁半
周相等之庚壬相乗所得之癸壬庚己
長方形癸壬庚己長方形積即/與己庚辛三角形積等卽為圜
[025-6b]
之面積也如以全周與全徑相乗則以
[025-7a]
四歸之亦得圜面積葢全徑為半徑之
倍全周為半周之倍則全周全徑相乗
之積必大於半周半徑相乗之積四倍
為隔一位相加之比例故全周與全徑
相乗以四歸之而得圜面積也
又法用方邊圜徑相等方積圜積不同
之定率比例以方積一○○○○○○
○○為一率圜積七八五三九八一六
[025-7b]
為二率今所設之圜徑八寸自乗得六
十四寸為三率求得四率五十寸二十
六分五十四釐八十二豪有餘即圜之
面積也此法葢因圜徑方邊相等圜積
方積不同故以圜徑自乗作方積定為
面與面之比例如子寅圜徑為一○○
○○則其自乗之辰己午未正方積為
一○○○○○○○○而圜徑一○○
○○所得之子丑寅卯圜面積為七八
[025-7b]
五三九八一六故以子寅圜徑一○○
[025-8a]
○○自乗之辰己午未正方積一○○
○○○○○○與子寅圜徑所得之子
丑寅卯圜面積七八五三九八一六之
比即同於今所設之甲丙圜徑八寸自
乗之戊己庚辛正方積六十四寸與今
所得之甲乙丙丁圜面積五十寸二十
六分五十四釐八十二豪有餘之比也
又法用圜積方積相等圜徑方邊不同
[025-8b]
之定率比例以圜徑一○○○○○○
○○為一率方邊八八六二二六九二
為二率今所設之圜徑八寸為三率求
得四率七寸零八釐九豪八絲一忽五
微四纖有餘為與圜面積相等之正方
形每邊之數自乗得五十寸二十六分
五十四釐八十二豪有餘即圜之面積
也此法葢以圜積方積設為相等使圜
徑與方邊不同先定為線與線之比例
[025-8b]
既得線而後自乗之為面也如子寅圜
[025-9a]
徑一○○○○○○○○其所得之積
開方則得八八六二二六九二即為辰
己午未正方之每邊是以子丑寅卯圜
面積與辰己午未方面積為相等故子
寅圜徑一○○○○○○○○與辰己
方邊八八六二二六九二之比即同於
今所設之甲丙圜徑八寸與今所得之
戊己方邊七寸零八釐九豪八絲一忽
[025-9b]
五微四纖之比既得戊己方邊自乗得
戊己庚辛方面積即與甲乙丙丁圜面
積為相等也
又法用方周圜周定率比例以方周數
四五二為一率圜周數三五五為二率
圜徑八寸自乗得六十四寸為三率求
得四率五十寸二十六分五十四釐八
十六豪有餘即圜之面積也此法葢因
方周與圜周之比同於方積與圜積之
[025-9b]
比見算法原本二/卷第二十八節如子丑圜徑為一一
[025-10a]
三則子丑圜周為三五五寅卯辰己正
方邊與圜徑同亦為一一三則寅卯辰
己方周為四五二方邊一一三以四/因之則得四五二試
以正方面之午丑半徑為高寅卯辰己
方周為底作一午丑未申長方形則比
寅卯辰己正方形之面積大一倍又以
圜面之午丑半徑為高子丑圜周為底
作一午丑酉戌長方形則比子丑圜形
[025-10b]
之面積亦大一倍此兩長方形同以午
丑為高故此兩長方面積之比例必同
於兩底邊丑未與丑酉之比例且全與
全之比例又同於半與半之比例故方
積與圜積之比例亦必同於兩底邊丑
未與丑酉之比例矣夫丑未即寅卯辰
己方周丑酉即子丑圜周故以方周四
五二與圜周三五五之比即同於今所
設之甲丙圜徑自乗之戊己庚辛正方
[025-10b]
積與今所得之甲乙丙丁圜面積之比
[025-11a]
也
又法以十四分為一率十一分為二率
圜徑八寸自乗得六十四寸為三率求
得四率五十寸二十八分五十七釐一
十四豪有餘為圜之面積也此法亦係
方周與圜周之比同於方積與圜積之
比葢圜徑七則圜周為二二半之得一
一方邊七則方周為二八半之得一四
[025-11b]
故以十四分與十一分之比亦同於今
所設圜徑自乗之方積與今所得圜面
積之比也然所得之面積過大者因徑
七圍二十二之定率其周既大故所得
之圜積亦大也舊術圜積得方積四分
之三求積則以圜徑自乗四分損一得
圜積求徑則以圜積三分益一開方得
圜徑此仍以徑一圍三立法故徑求積
所得之數必小積求徑所得之數必大
[025-11b]
也
[025-12a]
設如圜周六尺六寸問面積幾何
法以圜周六尺六寸用圜周求徑法求
得圜徑二尺一寸零八豪四絲五忽二
微有餘折半得一尺零五分零四豪二
絲二忽六微有餘與半周三尺三寸相
乗得三尺四十六寸六十三分九十四
釐五十八豪有餘即圜之面積也
又法用圜周方積與圜積定率比例以
[025-12b]
圜周方積一○○○○○○○○為一
率圜積七九五七七四七為二率今所
設之圜周六尺六寸自乗得四十三尺
五十六寸為三率求得四率三尺四十
六寸六十三分九十四釐五十九豪有
餘即圜之面積也此法葢以圜周自乗
之正方積與圜積設為比例為面與面
之比例也圜周為一○○○○則其自
乗方積為一○○○○○○○○而圜
[025-12b]
周一○○○○所得之圜面積為七九
[025-13a]
五七七四七有餘故以圜周一○○○
○自乗之方積一○○○○○○○○
與圜積七九五七七四七之比即同於
今所設之圜周六尺六寸自乗之方積
四十三尺五十六寸與今所得之圜面
積三尺四十六寸六十三分九十四釐
五十九豪有餘之比也舊術圜積為周
自乗方積十二分之一有圜周求積則
[025-13b]
以圜周自乗以十二除之得圜積有圜
積求周則將圜積以十二因之開方得
圜周此仍以徑一圍三立法故周求積
所得之數必大積求周所得之數必小
也
設如圜面積六尺一十六寸問徑幾何
法用圜徑方邊相等圜積方積不同之
定率比例以圜積一○○○○○○○
○為一率方積一二七三二三九五四
[025-13b]
為二率今所設之圜面積六尺一十六
[025-14a]
寸為三率求得四率七尺八十四寸三
十一分五十五釐五十六豪六十四絲
為與圜徑相等之正方邊之正方面積
開方得二尺八寸零五豪六絲有餘即
圜之徑數也葢圜積為七八五三九八
一六則方積為一○○○○○○○○
若圜積為一○○○○○○○○則方
積為一二七三二三九五四其比例仍
[025-14b]
同故以圜積一○○○○○○○○為
一率者即如以圜積七八五三九八一
六為一率而以方積一二七三二三九
五四為二率者即如以方積一○○○
○○○○○為二率也
又法用圜積方積相等圜徑方邊不同
之定率比例以方邊一○○○○○○
○○為一率圜徑一一二八三七九一
六為二率今所設之圜面積六尺一十
[025-14b]
六寸開方得二尺四寸八分一釐九豪
[025-15a]
三絲四忽有餘為三率求得四率二尺
八寸零五豪六絲二忽有餘即圜之徑
數也此法亦以圜積方積設為相等使
圜徑與方邊不同故以圜面積開方得
方邊為線與線之比例葢方邊為八八
六二二六九二則圜徑為一○○○○
○○○○若方邊為一○○○○○○
○○則圜徑為一一二八三七九一六
[025-15b]
其比例仍同故以方邊一○○○○○
○○○為一率者即如以方邊八八六
二二六九二為一率而以圜徑一一二
八三七九一六為二率者即如以圜徑
一○○○○○○○○為二率也
又法用圜周方周定率比例以圜周三
五五為一率方周四五二為二率今所
設之圜面積六尺一十六寸為三率求
得四率七尺八十四寸三十一分五十
[025-15b]
四釐九十二豪九十五絲有餘開方亦
[025-16a]
得二尺八寸零五豪六絲有餘為圜之
徑數也
又法以十一分為一率十四分為二率
今所設之圜面積六尺一十六寸為三
率求得四率七尺八十四寸開方得二
尺八寸為圜之徑數也葢徑七圍二十
二之定率其徑既小則方周與方積亦
皆小故開方所得之圜徑亦小也
[025-16b]
設如圜面積六尺一十六寸問周幾何
法以圜面積六尺一十六寸用圜積求
徑法求得圜徑二尺八寸零五豪六絲
有餘又用圜徑求周法求得八尺七寸
九分八釐二豪二絲有餘即圜之周數
也
又法用圜積與圜周方積定率比例以
圜積一○○○○○○○○為一率圜
周方積一二五六六三七○六二為二
[025-16b]
率今所設之圜面積六尺一十六寸為
[025-17a]
三率求得四率七十七尺四十寸八十
八分四十三釐零一豪有餘開方得八
尺七寸九分八釐二豪有餘即圜之周
數也葢圜積為七九五七七四七則圜
周自乗方積為一○○○○○○○○
若圜積為一○○○○○○○○則圜
周自乗方積為一二五六六三七○六
二其比例仍同故以圜積一○○○○
[025-17b]
○○○○與圜周自乗方積一二五六
六三七○六二之比即同於今所設之
圜面積六尺一十六寸與今所得之圜
周自乗方積七十七尺四十寸八十八
分四十三釐零一豪之比既得圜周自
乗方積開方即得圜周也
設如撱圜形一音鴨/蛋形大徑九尺小徑六尺問面積幾
何
法以大徑九尺與小徑六尺相乗得五
[025-17b]
十四尺為長方積乃用方邊圜徑相等
[025-18a]
方積圜積不同之定率比例以方積一
○○○○○○○○為一率圜積七八
五三九八一六為二率今所得之大小
徑相乗之長方積五十四尺為三率求
得四率四十二尺四十一寸一十五分
零六十四豪即撱圜形之面積也葢圜
面積與撱圜面積之比同於圜外所切
之正方形積與撱圜形外所切之長方
[025-18b]
積之比見幾何原本八/卷第十二節則圜外所切之
正方形積與圜面積之比亦必同於撱
圜形外所切之長方形積與撱圜面積
之比也如甲乙丙丁撱圜形甲丙大徑
九尺乙丁小徑六尺以大徑與小徑相
乗遂成戊己庚辛長方形此長方形積
與撱圜形積之比即同於正方積與圜
積之比故以定率之方積數為一率圜
積數為二率今所得之大小徑相乗之
[025-18b]
長方積為三率求得四率為撱圜形之
[025-19a]
面積也
設如撱圜形面積四十二尺四十一寸一十五分零
六十四豪大徑九尺問小徑幾何
法用圜徑方邊相等圜積方積不同之
定率比例以圜積一○○○○○○○
○為一率方積一二七三二三九五四
為二率今所設之撱圜形面積四十二
尺四十一寸一十五分零六十四豪為
[025-19b]
三率求得四率五十四尺為長方積以
大徑九尺除之得六尺即撱圜形之小
徑也葢方面積與圜面積之比既同於
長方面積與撱圜形面積之比則圜面
積與方面積之比亦必同於撱圜形面
積與長方面積之比也如甲乙丙丁撱
圜形用定率比例而得戊己庚辛長方
形其戊己長與甲丙大徑等其己庚闊
與乙丁小徑等故以大徑除之得小徑
[025-19b]
也如有小徑求大徑則以所得長方積
[025-20a]
用小徑除之而得大徑也
設如圓環形外周二十一尺三寸内周七尺一寸闊
二尺二寸六分求面積幾何
法以外周二十一尺三寸與内周七尺
一寸相加得二十八尺四寸折半得一
十四尺二寸以闊二尺二寸六分乗之
得三十二尺零九寸二十分即圓環形
之面積也如圖甲乙丙丁圓環形甲乙
[025-20b]
外周二十一尺三寸丙丁内周七尺一
寸甲丙與丁乙皆二尺二寸六分試依
甲乙大圜之戊乙半徑度與甲乙圜周
度作一己庚辛直角三角形其己庚小
邊與甲乙大圜之戊乙半徑等庚辛大
邊與大圜之周界等則己庚辛直角三
角形之面積與甲乙大圜之面積等又
依丙丁小圜之戊丁半徑截己庚辛三
角形之己庚小邊於壬又依丙丁小圜
[025-20b]
周度作壬癸線與庚辛平行則成己壬
[025-21a]
癸一小直角三角形其面積與丙丁小
圜之面積等如於己庚辛大三角形内
減己壬癸小三角形所餘癸辛庚壬斜
尖方形之面積必與甲乙丙丁圓環形
之面積等矣故如斜尖方形求積法以
如丙丁内周之壬癸與如甲乙外周之
庚辛相加折半得丑庚而以如丁乙闊
之壬庚乗之得子丑庚壬一長方形與
[025-21b]
癸辛庚壬斜尖方形等即甲乙丙丁圓
環形之面積也
設如圓環形外徑二尺四寸内徑一尺二寸求面積
幾何
法以外徑二尺四寸求得周七尺五寸
三分九釐八豪二絲有餘又以内徑一
尺二寸求得周三尺七寸六分九釐九
豪一絲有餘乃以内徑一尺二寸與外
徑二尺四寸相減餘一尺二寸折半得
[025-21b]
六寸為圓環形之闊依前法算之得三
[025-22a]
尺三十九寸二十九分二十釐有餘為
圓環形之面積也
又法以外徑二尺四寸自乗得五尺七
十六寸又以内徑一尺二寸自乗得一
尺四十四寸兩數相減餘四尺三十二
寸為方環面積乃用方積圜積定率比
例以方積一○○○○○○○○為一
率圜積七八五三九八一六為二率今
[025-22b]
所得之方環面積四尺三十二寸為三
率求得四率三尺三十九寸二十九分
二十釐有餘即圓環形之面積也此法
葢以方環圓環為比例即如用方積圜
積定率為比例也分而言之則外徑自
乗與外大圜面積為比内徑自乗與内
小圜面積為比既得兩圜面積相減始
為圓環面積今以内外徑各自乗相減
即用方積圜積定率比例是合兩比例
[025-22b]
而為一比例也
[025-23a]
設如圓環形外周六尺六寸内周二尺二寸求面積
幾何
法以外周六尺六寸求得徑二尺一寸
零八豪四絲有餘又以内周二尺二寸
求得徑七寸零二豪八絲有餘兩徑相
減餘一尺四寸零五豪六絲有餘折半
得七寸零二豪八絲有餘為圓環形之
闊依前法算之得三尺零八寸一十二
[025-23b]
分三十二釐有餘即圓環形之面積也
又法以外周六尺六寸自乗得四十三
尺五十六寸内周二尺二寸自乗得四
尺八十四寸兩數相減餘三十八尺七
十二寸乃用圜周方積與圜積定率比
例以圜周方積一○○○○○○○○
為一率圜積七九五七七四七為二率
兩周自乗相減之餘三十八尺七十二
寸為三率求得四率三尺零八寸一十
[025-23b]
二分三十九釐有餘即圓環形之面積
[025-24a]
也此法葢以兩圜周自乗相減之餘積
與圓環積為比例卽如用圜周方積圜
積定率為比例也分而言之則外周自
乗與外大圜面積為比内周自乗與内
小圜面積為比既得兩圜面積相減始
為圓環面積今以内外周各自乗相減
即用圜周方積圜積定率比例是合兩
比例而為一比例也
[025-24b]
設如圓環形面積四百六十二尺闊七尺求内外徑
各幾何
法以闊七尺除圓環面積四百六十二
尺得六十六尺即内外周相併折半之
數為中周乃以周求徑法求得徑二十
一尺零八釐四豪五絲有餘為内外徑
相併折半之數為中徑加闊七尺得二
十八尺零八釐四豪五絲有餘卽外徑
中徑内減闊七尺餘一十四尺零八釐
[025-24b]
四豪五絲有餘即内徑也如圖甲乙丙
[025-25a]
丁圓環形其面積四百六十二尺甲丙
與丁乙皆七尺先所得之中周六十六
尺為戊己周次所得之中徑二十一尺
零八釐四豪五絲有餘為戊己徑其甲
戊與戊丙等丁己與己乙等故甲戊與
己乙兩段戊丙與丁己兩段皆與丁乙
及甲丙闊度等是以於中徑内加闊得
外徑減闊得内徑也
[025-25b]
又法先用圜積方積定率比例以圜積
一○○○○○○○○為一率方積一
二七三二三九五四為二率圓環積四
百六十二尺為三率求得四率五百八
十八尺二十三寸六十六分六十七釐
有餘為方環積乃以闊七尺自乗得四
十九尺以四因之得一百九十六尺與
所得之方環積相減餘三百九十二尺
二十三寸六十六分六十七釐有餘四
[025-25b]
歸之得九十八尺零五寸九十一分六
[025-26a]
十六釐有餘以闊七尺除之得一十四
尺零八釐四豪五絲有餘為内圜徑加
倍闊十四尺得二十八尺零八釐四豪
五絲有餘為外圜徑也此法葢以圓環
積變為方環積卽如前法方環積變為
圓環積也如甲乙丙丁圓環形變為戊
己庚辛壬癸子丑方環形内減戊寅壬
辰卯已巳癸子午庚酉未丑申辛闊自
[025-26b]
乗之四正方形餘寅卯癸壬癸巳午子
丑子酉申辰壬丑未四長方形四歸之
餘寅卯癸壬一長方形以寅壬闊除之
得壬癸長與丙丁内徑等加甲丙與丁
乙得甲乙即外徑也
設如圓環形面積三百零八尺闊七尺求内外周各
幾何
法以闊七尺除圓環面積三百零八尺
得四十四尺為内外周相併折半之數
[025-26b]
為中周又用徑求周法以徑數一○○
[025-27a]
○○○○○○為一率周數三一四一
五九二六五為二率闊七尺為三率求
得四率二十一尺九寸九分一釐一豪
四絲有餘為内外周相減折半之數為
半較乃以半較二十一尺九寸九分一
釐一豪四絲有餘與中周四十四尺相
加得六十五尺九寸九分一釐一豪四
絲有餘卽外周數以半較二十一尺九
[025-27b]
寸九分一釐一豪四絲有餘與中周四
十四尺相減餘二十二尺零八釐八豪
六絲有餘即内周數也如圖甲乙丙丁
圓環形其面積三百零八尺丁乙闊七
尺試依甲乙大圜之戊乙半徑度與甲
乙圜周度作一己庚辛直角三角形則
己庚辛三角形之面積與甲乙大圜之
面積等又依丙丁小圜之戊丁半徑截
己庚辛三角形之己庚小邊於壬又依
[025-27b]
丙丁小圜周度作壬癸線與庚辛平行
[025-28a]
則成己壬癸一小直角之三角形積乃
與丙丁小圜之面積等如於己庚辛大
三角形内減己壬癸小三角形所餘癸
辛庚壬斜尖方形之面積必與甲乙丙
丁圓環面積等矣而癸辛庚壬斜尖方
形積又與子丑庚壬長方形積等故以
如丁乙闊之壬庚除之得丑庚為内外
周相併折半之中周數又以寅庚全徑
[025-28b]
與庚辛全周之比同於丁乙圓環闊與/子
丑/等與辛丑半較之比葢丁乙為内外徑
相減折半之較辛丑即内外周相減折
半之較為相當比例四率也既得辛丑
與丑卯等即辛庚外周大於丑庚中周
之較亦即癸壬内周與卯/庚等小於丑庚中
周之較故於中周加半較得外周減半
較得内周也
設如圓環形面積三尺三十六寸内周一尺一寸求
[025-28b]
外周及闊各幾何
[025-29a]
法以内周一尺一寸用周求徑法求得
内徑三寸五分零一豪有餘又用周徑
求積法求得内周圜面積九寸六十二
分七十七釐五十豪有餘與圓環積三
尺三十六寸相加得三尺四十五寸六
十二分七十七釐五十豪有餘即外周
圓面積乃用圜積方積定率比例以圜
積一○○○○○○○○為一率方積
[025-29b]
一二七三二三九五四為二率今所得
之外周圜面積三尺四十五寸六十二
分七十七釐五十豪有餘為三率求得
四率四尺四十寸零六分六十九釐一
十七豪有餘為外徑自乗之方積開方
得二尺零九分七釐七豪有餘即外徑
減去内徑三寸五分零一豪餘一尺七
寸四分七釐六豪折半得八寸七分三
釐八豪即圓環形之闊又用徑求周法
[025-29b]
求得周六尺五寸九分零一豪有餘即
[025-30a]
外周數也
設如圓環形面積三百八十四尺外周八十八尺求
内周及闊各幾何
法以外周八十八尺用周求徑法求得
外徑二十八尺零一分一釐二豪有餘
又用周徑求積法求得外周圜面積六
百一十六尺二十四寸六十四分有餘
内減去圓環積三百八十四尺餘二百
[025-30b]
三十二尺二十四寸六十四分有餘為
内周圜面積乃用圜積方積定率比例
以圜積一○○○○○○○○為一率
方積一二七三二三九五四為二率今
所得之内周圜面積二百三十二尺二
十四寸六十四分為三率求得四率二
百九十五尺七十寸五十二分九十九
釐五十豪有餘即内徑自乗之方積開
方得一十七尺一寸九分六釐有餘即
[025-30b]
内徑與外徑二十八尺零一分一釐二
[025-31a]
豪相減餘一十尺八寸一分五釐二豪
有餘折半得五尺四寸零七釐六豪即
圓環形之闊又用徑求周法求得周五
十四尺零二分二釐八豪有餘即内周
數也
設如圜徑一尺二寸今截弧矢形一段矢闊二寸四
分求弦長幾何
法以矢闊二寸四分為首率圜徑一尺
[025-31b]
二寸内減矢闊二寸四分餘九寸六分
為末率首率末率相乗得二十三寸零
四分開方得四寸八分為中率倍之得
九寸六分即弧矢形之弦數也如圖甲
乙圜徑一尺二寸截甲丙丁弧矢形其
甲戊為矢闊二寸四分試自甲至丙作
甲丙線自丙至乙作丙乙線遂成甲丙
乙直角三角形而丙戊半弦即為其垂
線故所截甲戊為首率戊乙為末率求
[025-31b]
得丙戊為中率見幾何原本九卷第二/節並見勾股卷定勾股
[025-32a]
無零數/法中倍之得丙丁即弧矢形之弦也
又法以圜徑一尺二寸折半得半徑六
寸為弦矢闊二寸四分與半徑六寸相
減餘三寸六分為勾求得股四寸八分
倍之得九寸六分得弧矢形之弦數也
如圖甲乙圜徑一尺二寸折半得甲己
半徑六寸與丙己等為弦又於甲己半
徑六寸内減甲戊矢闊二寸四分餘戊
[025-32b]
己三寸六分為勾求得丙戊股倍之得
丙丁為弧矢形之弦也
設如圜徑一 尺七寸今截弧矢形一段弦長一尺五
寸求矢闊幾何
法以弦長一尺五寸折半得半弦七寸
五分自乗得五十六寸二十五分為長
方積以圜徑一尺七寸為長闊和用帶
縱和數開方法算之得闊四寸五分卽
矢之闊也如圖甲乙圜徑一尺七寸截
[025-32b]
甲丙丁弧矢形其丙丁為弦長一尺五
[025-33a]
寸自甲至丙自丙至乙作二線成甲丙
乙直角三角形而丙戊為垂線故甲戊
為首率戊乙為末率丙戊為中率中率
自乗之正方與首率末率相乗之長方
等今以丙丁弦折半得半弦丙戊自乗
即與甲戊矢為闊戊乙截徑為長相乗
之長方等故以甲乙為長闊和求得甲
戊闊即矢也
[025-33b]
又法以圜徑一尺七寸折半得八寸五
分為弦以弦長一尺五寸折半得七寸
五分為股求得勾四寸與半徑八寸五
分相減餘四寸五分卽矢之闊也如圖
甲乙圜徑一尺七寸折半得丙己半徑
八寸五分為弦丙丁弦一尺五寸折半
得丙戊七寸五分為股求得戊己勾與
甲己半徑相減餘甲戊卽矢之闊也
又法以圜徑一尺七寸為弦弧弦一尺
[025-33b]
五寸為股求得勾八寸與圜徑一尺七
[025-34a]
寸相減餘九寸折半得四寸五分卽矢
之闊也如圖甲乙圜徑一尺七寸與丁
庚等如自丙至庚作丙庚線則成丁丙
庚直角三角形故以丁庚為弦丙丁為
股求得丙庚勾與戊辛等以戊辛與甲
乙全徑相減餘甲戊與辛乙兩叚折半
卽得甲戊為矢之闊也
設如弧矢形弦長一尺二寸矢闊四寸求圜徑幾何
[025-34b]
法以矢闊四寸為首率弦長一尺二寸
折半得六寸為中率乃以中率六寸自
乗用首率四寸除之得九寸為圜之截
徑加矢闊四寸得一尺三寸卽圜之徑
數也如圖甲乙丙丁弧矢形甲丙弦長
一尺二寸丁乙矢闊四寸試繼甲丁丙
弧作一全圜法見幾何原本/十一卷十三節將丁乙矢
線引長作丁戊全徑線又自甲至丁作
甲丁線自甲至戊作甲戊線遂成丁甲
[025-34b]
戊直角三角形而甲乙半弦即為其中
[025-35a]
垂線故丁乙矢為首率乙戊截徑為末
率而甲乙半弦即為中率故丁乙與甲
乙之比同於甲乙與乙戊之比而得乙
戊截徑加丁乙矢卽得丁戊為圜之全
徑也
設如弧矢形弦長八尺矢闊二尺求面積幾何
法先用弧矢形有弦矢求圜徑法求得
圜之全徑十尺折半得半徑五尺為一
[025-35b]
率半弦四尺為二率以半徑十萬為三
率求得四率八萬為正弦數撿八線表
得五十三度零七分四十九秒為半弧
之度分倍之得一百零六度一十五分
三十八秒為全弧之度分乃以全圜三
百六十度化作一百二十九萬六千秒
為一率全弧一百零六度十五分三十
八秒化作三十八萬二千五百三十八
秒為二率全徑十尺求得全周三十一
[025-35b]
尺四寸一分五釐九豪二絲有餘為三
[025-36a]
率求得四率九尺二寸七分二釐九豪
八絲有餘為全弧之數與半徑五尺相
乗得四十六尺三十六寸四十九分折
半得二十三尺一十八寸二十四分五
十釐為自圜心所分弧背三角形積又
於半徑五尺内減矢二尺餘三尺與弦
八尺相乗得二十四尺折半得十二尺
為自圜心至弦所分直線三角形積與
[025-36b]
弧背三角形積二十三尺一十八寸二
十四分五十釐相減餘一十一尺一十
八寸二十四分五十釐即弧矢形之面
積也如圖甲乙丙丁弧矢形甲丙弦長
八尺丁乙矢闊二尺甲乙為半弦四尺
試繼此弧作一全圜求得丁戊全徑解/見
前/折半得己丁半徑既得半徑而甲乙
半弦又即為甲丁半弧之正弦故比例
得正弦數撿表而得甲丁半弧之度分
[025-36b]
倍之得甲丁丙全弧之度分又甲戊丙
[025-37a]
丁全圜之度分與甲丁丙全弧之度分
之比同於甲戊丙丁全周之尺寸與甲
丁丙全弧之尺寸之比而得甲丁丙全
弧之數與己丁半徑相乘折半即得甲
己丙丁弧背三角形之面積又於丁己
半徑内減丁乙矢餘乙己為截半徑與
甲丙弦相乘折半得甲己丙直線三角
形面積與甲己丙丁弧背三角形面積
[025-37b]
相減餘即甲乙丙丁弧矢形之面積也
設如圜形截弧矢一段所截弧度一百二十度弧界
長二尺二寸求圜徑及弦長矢闊各幾何
法以截弧一百二十度為一率全圜三
百六十度為二率截弧二尺二寸為三
率求得四率六尺六寸為圜之周數用
圜周求徑法求得圜徑二尺一寸零八
豪四絲有餘乃以半徑十萬為一率截
弧一百二十度折半得六十度查正弦
[025-37b]
得八萬六千六百零三倍之得一十七
[025-38a]
萬三千二百零六即一百二十度之通
弦為二率今所得之圜徑二尺一寸零
八豪四絲有餘折半得一尺零五分零
四豪二絲有餘為三率求得四率一尺
八寸一分九釐三豪九絲有餘卽弧矢
形之弦數又以半徑十萬為一率六十
度之餘弦五萬與半徑十萬相減餘五
萬卽六十度之正矢為二率今所得之
[025-38b]
半徑一尺零五分零四豪二絲有餘為
三率求得四率五寸二分五釐二豪一
絲有餘即弧矢形之矢數也如圖甲乙
丙丁圜形截甲乙戊丁弧矢形一段知
乙甲丁弧一百二十度又知乙甲丁弧
界為二尺二寸求甲丙全徑及乙丁弦
甲戊矢則以乙甲丁弧一百二十度與
甲乙丙丁全圜三百六十度之比卽同
於乙甲丁弧界二尺二寸與甲乙丙丁
[025-38b]
全圜界六尺六寸之比也旣得全周求
[025-39a]
得甲丙全徑折半於己心自己至乙作
己乙半徑線則乙戊卽如六十度之正
弦乙丁卽如一百二十度之通弦甲戊
即如六十度之正矢故以半徑十萬與
一百二十度之通弦一十七萬三千二
百零六之比卽同於己乙半徑一尺零
五分零四豪二絲有餘與乙丁全弦一
尺八寸一分九釐三豪九絲有餘之比
[025-39b]
又半徑十萬與六十度之正矢五萬之
比卽同於己乙半徑與甲戊矢五寸二
分五釐二豪一絲有餘之比也
設如圜形截弧矢一段任自弧界一處對圜心至弦
作一斜線長一尺二寸將全弦分為大小兩段大
段長一尺八寸小段長一尺六寸問圜徑幾何
法以所作之斜線一尺二寸為一率截
弦小段一尺六寸為二率大段一尺八
寸為三率求得四率二尺四寸為自截
[025-39b]
弦處過圜心至圜對界之線將此線與
[025-40a]
所作之斜線一尺二寸相加得三尺六
寸卽圜徑也如圖甲乙丙丁圜形截甲
乙丁弧矢形任自圜界甲對圜心戊至
乙丁弦上作甲己斜線將乙丁弦分為
乙己己丁兩段乙己小段一尺六寸己
丁大段一尺八寸試將甲己斜線引長
過圜心至圜對界丙作甲丙線又自甲
至乙作甲乙線復自丁至丙作丁丙線
[025-40b]
遂成甲己乙丁己丙兩同式三角形乙/角
對甲丁弧丙角亦對甲丁弧甲角對乙/丙弧丁角亦對乙丙弧兩己角為對角
故兩三角形/為同式形也故以甲己與乙己之比即
同於己丁與己丙之比既得己丙與甲
己相加卽得甲丙為圜徑也
設如圜形截弧矢一段任自弧界一處至弦作一垂
線長一尺二寸將全弦分為大小兩段其大段長
三尺小段長一尺問圜徑幾何
法以所作垂線一尺二寸為一率截弦
[025-40b]
小段一尺為二率大段三尺為三率求
[025-41a]
得四率二尺五寸為自截弦處至圜對
界之直線乃以此線與所作之垂線一
尺二寸相加得三尺七寸為股以截弦
小段一尺與大段三尺相減餘二尺為
勾求得弦四尺二寸卽圜徑也如圖甲
乙丙丁圜形截甲乙丁弧矢形任自弧
界甲至乙丁弦上作甲戊垂線長一尺
二寸將乙丁弦分為乙戊戊丁兩叚乙
[025-41b]
戊小段一尺戊丁大叚三尺試將甲戊
垂線引長至圜對界丙作甲丙線又自
甲至乙作甲乙線復自丁至丙作丁丙
線遂成甲戊乙丁戊丙兩同式三角形
乙角對甲丁弧丙角亦對甲丁弧甲角/對乙丙弧丁角亦對乙丙弧兩戊角俱
為直角故兩三角/形為同式形也故以甲戊與戊乙之
比同於丁戊與戊丙之比既得戊丙與
甲戊相加即得甲丙又以乙戊同己/丁與
戊丁相減餘戊己與甲庚等乃自甲至
[025-41b]
庚作甲庚線與乙丁平行則甲角為直
[025-42a]
角必立於圜界之一半又自庚至丙作
庚丙線則又成庚甲丙勾股形故以庚
甲為勾甲丙為股求得庚丙弦即圜徑
也
設如一大圜形内容四小圜形但知大圜形徑一尺
二寸求小圜形徑幾何
法以大圜形徑一尺二寸自乘倍之開
方得一尺六寸九分七釐零五絲有餘
[025-42b]
内減大圜形徑一尺二寸餘四寸九分
七釐零五絲有餘即小圜形徑也如圖
甲大圜形内容乙丙丁戊四小圜形試
切甲大圜形界作己庚辛壬正方形其
方邊即大圜形全徑用方邊求斜弦法
求得壬庚己辛兩斜弦即成己甲壬己
甲庚庚甲辛壬甲辛四勾股形内各容
一小圜形而四方邊遂為四勾股形之
各弦兩斜弦各折半遂各為四勾股形
[025-42b]
之各勾股任取一勾股和減弦即得容
[025-43a]
圜全徑也觧見勾股/容圜法中
設如一大圜形内容四小圜形但知小圜形徑五寸
求大圜形徑幾何
法以小圜形徑五寸自乘倍之開方得
七寸零七釐一豪有餘加小圜形徑五
寸得一尺二寸零七釐一豪有餘即大
圜形徑也如圖甲大圜形内容乙丙丁
戊四小圜形試連四小圜形中心作乙
[025-43b]
丙丙丁丁戊戊乙四線遂成乙丙丁戊
一正方形用方邊求斜弦法求得乙丁
斜弦加己乙與丁庚兩半徑即一小圜/形之全徑
即得己庚大圜形全徑也
設如一大圜形内容三小圜形但知大圜形徑一尺
二寸求内容小圜形徑幾何
法以大圜形徑一尺二寸求得外切三
角形之每邊為二尺零七分八釐四豪
六絲有餘乃以大圜形徑一尺二寸為
[025-43b]
三角形之兩腰半徑六寸為中埀線用
[025-44a]
三角形容圜法求得容圜半徑二寸七
分八釐四豪六絲有餘倍之得五寸五
分六釐九豪二絲有餘卽小圜形全徑
也如圖甲大圜形内容乙丙丁三小圜
形試求外切甲大圜界戊己庚三角形
自圜心甲至戊己庚三角各作一分角
線皆與圜之全徑等卽成戊甲己己甲
庚戊甲庚三三角形内各容一小圜形
[025-44b]
故任以兩全徑為兩腰一半徑為中垂
線用三角形容圜法算之卽得一小圜
徑也
設如一大圜形内容三小圜形但知小圜形徑五寸
求大圜形徑幾何
法以小圜形徑五寸為等邊三角形之
每一邊用等邊三角形求外切圜形全
徑法求得外切圜徑五寸七分七釐三
豪五絲有餘加小圜全徑五寸得一尺
[025-44b]
零七分七釐三豪五絲有餘卽大圜形
[025-45a]
全徑也如圖甲大圜形内容乙丙丁三
小圜形試連三小圜形中心作乙丙乙
丁丙丁三線遂成乙丙丁等邊三角形
其毎邊皆與小圜全徑等又切乙丙丁
三角作一圜形用等邊三角形求外切
圜形全徑法解見三/角形卷求得乙戊徑線加
己乙與戊庚兩半徑即一小圜/形之全徑卽得己
庚大圜形全徑也
[025-45b]
[025-45b]
御製數理精蘊下編卷二十
