KR3f0048 御製數理精薀-清-聖祖玄燁 (master)


[026-1a]
 欽定四庫全書
御製數理精蘊下編卷二十一
  面部十一
   圜内容各等邊形
   圜外切各等邊形
[026-2a]
   圜内容各等邊形
設如圜徑一尺二寸求内容三等邊形之每一邊及
 面積幾何
      法以圜徑一尺二寸為弦半徑六寸為
      勾求得股一尺零三分九釐二豪三絲
      有餘為圜内容三等邊形之每一邊爰
      以三等邊形之每一邊為弦每一邊折
      半為勾求得股九寸或以圜徑一尺二
[026-2b]
      寸取其四分之三亦得九寸為圜内容
      三等邊形之中垂線乃以每一邊之一
      尺零三分九釐二豪三絲有餘與中垂
      線九寸相乘得九十三寸五十三分零
      七釐有餘折半得四十六寸七十六分
      五十三釐有餘即圜内容三等邊形之
      面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容
      甲丙丁三等邊形試自丁至乙作丁乙
      線即圜内容六等邊形之每一邊與丁
[026-2b]
      戊半徑等甲乙全徑丁乙半徑與甲丁
[026-3a]
      邊遂成甲丁乙勾股形故以甲乙全徑
      為弦丁乙半徑為勾求得甲丁股即圜
      内容三等邊形之每一邊也其甲己中
      垂線即甲丁弦己丁勾所求之股又為
      圜徑四分之三既得一邊又得中垂線
      即如三角形求面積法算之而得圜内
      容三等邊形之面積也
      又法以全圜三百六十度三分之每分
[026-3b]
      得一百二十度折半得六十度乃以半
      徑十萬為一率六十度之正弦八萬六
      千六百零三為二率今所設之半徑六
      寸為三率求得四率五寸一分九釐六
      豪一絲八忽倍之得一尺零三分九釐
      二豪三絲六忽為圜内容三等邊形之
      每一邊既得每一邊之數乃取圜徑四
      分之三為中垂線與每一邊之數相乘
      折半得四十六寸七十六分五十六釐
[026-3b]
      有餘即圜内容三等邊形之面積也如
[026-4a]
      圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁三
      等邊形每一邊之弧皆一百二十度試
      將甲丙邊折半於戊自圜心己作己戊
      庚半徑線遂平分甲丙弧於庚則甲庚
      弧為六十度甲戊即六十度之正弦甲
      丙即一百二十度之通弦是故半徑十
      萬與六十度之正弦之比即如所設之
      半徑六寸與甲戊之半邊之比既得半
[026-4b]
      邊倍之即全邊也
      又用求圜内各形之一邊之定率比例
      以定率之圜徑一○○○○○○○○
      為一率圜内容三等邊形之毎一邊八
      六六○二五四○為二率今所設之圜
      徑一尺二寸為三率求得四率一尺零
      三分九釐二豪三絲有餘即圜内容三
      等邊形之每一邊也
      又用求圜内各形之面積之定率比例
[026-4b]
      以定率之圜徑自乘之正方面積一○
[026-5a]
      ○○○○○○○為一率圜内容三等
      邊形之面積三二四七五九五三為二
      率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一
      尺四十四寸為三率求得四率四十六
      寸七十六分五十三釐有餘即圜内容
      三等邊形之面積也
      又用圜面積之定率比例以定率之圜
      面積一○○○○○○○○為一率圜
[026-5b]
      内容三等邊形之面積四一三四九六
      六七為二率今所設之圜徑一尺二寸
      求得圜面積一尺一十三寸零九分七
      十三釐有餘為三率求得四率四十六
      寸七十六分五十三釐有餘即圜内容
      三等邊形之面積也
設如圜徑一尺二寸求内容四等邊形之每一邊及
 面積幾何
      法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸
[026-5b]
      自乘得三十六寸倍之得七十二寸開
[026-6a]
      方得八寸四分八釐五豪二絲八忽有
      餘為圜内容四等邊形之每一邊其半
      徑自乘倍之所得七十二寸即圜内容
      四等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一
      尺二寸内容甲丙乙丁四等邊形試自
      圜心戊至丁角作戊丁半徑線遂成甲
      戊丁勾股形因甲戊戊丁皆同為半徑
      一為勾一即為股故止以半徑自乘倍
[026-6b]
      之開方而得甲丁弦即圜内容四等邊
      形之每一邊也每一邊自乘是仍為半
      徑自乘倍之之數即圜内容四等邊形
      之面積也
      又法以全圜三百六十度四分之每分
      得九十度折半得四十五度乃以半徑
      十萬為一率四十五度之正弦七萬零
      七百一十一為二率今所設之半徑六
      寸為三率求得四率四寸二分四釐二
[026-6b]
      豪六絲六忽倍之得八寸四分八釐五
[026-7a]
      豪三絲二忽為圜内容四等邊形之毎
      一邊既得每一邊之數即以毎一邊自
      乘得七十二寸即圜内容四等邊形之
      面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容
      甲丙乙丁四等邊形每一邊之弧皆九
      十度試將甲丙邊折半於戊自圜心己
      作己戊庚半徑線遂平分甲丙弧於庚
      則甲庚弧為四十五度甲戊即四十五
[026-7b]
      度之正弦甲丙即九十度之通弦是故
      半徑十萬與四十五度之正弦之比即
      如所設之半徑六寸與甲戊之半邊之
      比既得半邊倍之即全邊也
      又用求圜内各形之一邊之定率比例
      以定率之圜徑一○○○○○○○○
      為一率圜内容四等邊形之毎一邊七
      ○七一○六七八為二率今所設之圜
      徑一尺二寸為三率求得四率八寸四
[026-7b]
      分八釐五豪二絲八忽有餘即圜内容
[026-8a]
      四等邊形之每一邊也
      又用求圜内各形之面積之定率比例
      以定率之圜徑自乘之正方面積一○
      ○○○○○○○為一率圜内容四等
      邊形之面積五○○○○○○○為二
      率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一
      尺四十四寸為三率求得四率七十二
      寸即圜内容四等邊形之面積也
[026-8b]
      又用圜面積之定率比例以定率之圜
      面積一○○○○○○○○為一率圜
      内容四等邊形之面積六三六六一九
      七七為二率今所設之圜徑一尺二寸
      求得圜面積一尺一十三寸零九分七
      十三釐有餘為三率求得四率七十二
      寸即圜内容四等邊形之面積也
設如圜徑一尺二寸求内容五等邊形之每一邊及
 面積幾何
[026-8b]
      法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸
[026-9a]
      為首率用連比例三率有首率求中率
      末率使中率末率相加與首率等之法
      求得中率三寸七分零八豪二絲有餘
      即圜内容十等邊形之每一邊詳見割/圜卷中
      乃以所得中率與半徑首率相減餘二
      寸二分九釐一豪八絲為末率折半得
      一寸一分四釐五豪九絲為半末率即
      以此半末率為勾中率為弦求得股三
[026-9b]
      寸五分二釐六豪七絲一忽有餘倍之
      得七寸零五釐三豪四絲二忽有餘為
      圜内容五等邊形之每一邊又以中率
      與半末率相加得四寸八分五釐四豪
      一絲有餘為自圜心至每一邊之中垂
      線乃以每一邊折半之數與中垂線相
      乘得一十七寸一十一分九十釐有餘
      五因之得八十五寸五十九分五十釐
      有餘即圜内容五等邊形之面積也如
[026-9b]
      圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊
[026-10a]
      己五等邊形試自圜心庚至每角各作
      一半徑線即分五等邊形為五三角形
      又自乙至戊作乙戊線即圜内容十等
      邊形之每一邊庚乙庚戊半徑與乙戊
      邊遂成庚乙戊三角形又依乙戊線度
      截庚乙半徑於辛作戊辛線則又成戊
      辛乙三角形與庚乙戊三角形為同式
      形故庚乙為首率乙戊戊辛俱為中率
[026-10b]
      辛乙為末率辛壬與壬乙俱為半末率
      是以壬乙半末率為勾乙戊中率為弦
      求得戊壬股倍之得戊丁即圜内容五
      等邊形之毎一邊又以庚辛中率與辛
      壬半末率相加得庚壬中垂線用三角
      形求面積法算之得庚丁戊一三角形
      面積五倍之而得圜内容五等邊形之
      總面積也
      又法以全圜三百六十度五分之每分
[026-10b]
      得七十二度折半得三十六度乃以半
[026-11a]
      徑十萬為一率三十六度之正弦五萬
      八千七百七十九為二率今所設之半
      徑六寸為三率求得四率三寸五分二
      釐六豪七絲四忽倍之得七寸零五釐
      三豪四絲八忽為圜内容五等邊形之
      每一邊次以半徑十萬為一率三十六
      度之餘弦八萬零九百零二為二率今
      所設之半徑六寸為三率求得四率四
[026-11b]
      寸八分五釐四豪一絲二忽為自圜心
      至每一邊之中垂線與毎一邊折半之
      數相乘五因之得八十五寸五十九分
      六十釐有餘為圜内容五等邊形之面
      積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲
      丙丁戊己五等邊形每一邊之弧皆七
      十二度試將甲丙邊折半於庚自圜心
      辛作辛庚壬半徑線遂平分甲丙弧於
      壬則甲壬弧為三十六度甲庚即三十
[026-11b]
      六度之正弦甲丙即七十二度之通弦
[026-12a]
      辛庚即三十六度之餘弦是故半徑十
      萬與三十六度之正弦之比即如所設
      之半徑六寸與甲庚之半邊之比既得
      半邊倍之即全邊又半徑十萬與三十
      六度之餘弦之比即如所設之半徑六
      寸與辛庚中垂線之比也
      又用求圜内各形之一邊之定率比例
      以定率之圜徑一○○○○○○○○
[026-12b]
      為一率圜内容五等邊形之每一邊五
      八七七八五二五為二率今所設之圜
      徑一尺二寸為三率求得四率七寸零
      五釐三豪四絲二忽有餘即圜内容五
      等邊形之每一邊也
      又用求圜内各形之面積之定率比例
      以定率之圜徑自乘之正方面積一○
      ○○○○○○○為一率圜内容五等
      邊形之面積五九四四一○三一為二
[026-12b]
      率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一
[026-13a]
      尺四十四寸為三率求得四率八十五
      寸五十九分五十釐有餘即圜内容五
      等邊形之面積也
      又用圜面積之定率比例以定率之圜
      面積一○○○○○○○○為一率圜
      内容五等邊形之面積七五六八二六
      七二為二率今所設之圜徑一尺二寸
      求得圜面積一尺一十三寸零九分七
[026-13b]
      十三釐有餘為三率求得四率八十五
      寸五十九分五十釐有餘即圜内容五
      等邊形之面積也
設如圜徑一尺二寸求内容六等邊形之每一邊及
  面積幾何
      法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸
      即圜内容六等邊形之每一邊爰以半
      徑六寸為弦毎一邊折半得三寸為勾
      求得股五寸一分九釐六豪一絲五忽
[026-13b]
      有餘為自圜心至每一邊之中垂線乃
[026-14a]
      以每一邊折半之數與中垂線相乘得
      一十五寸五十八分八十四釐有餘六
      因之得九十三寸五十三分零四釐有
      餘即圜内容六等邊形之面積也如圖
      甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁乙戊
      己六等邊形其每一邊皆六寸與半徑
      等試自圜心庚至每角各作一半徑線
      即分六等邊形為六三角形以甲庚半
[026-14b]
      徑為弦甲丙一邊折半得甲辛為勾求
      得股為庚辛中垂線用三角形求面積
      法算之得甲丙庚一三角形之面積六
      倍之而得圜内容六等邊形之總面積
      也
      又法以全圜三百六十度六分之每分
      得六十度折半得三十度乃以半徑十
      萬為一率三十度之正弦五萬為二率
      今所設之半徑六寸為三率求得四率
[026-14b]
      三寸倍之得六寸為圜内容六等邊形
[026-15a]
      之每一邊次以半徑十萬為一率三十
      度之餘弦八萬六千六百零三為二率
      今所設之半徑六寸為三率求得四率
      五寸一分九釐六豪一絲八忽為自圜
      心至每一邊之中垂線與每一邊折半
      之數相乘六因之得九十三寸五十三
      分一十二釐有餘為圜内容六等邊形
      之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内
[026-15b]
      容甲丙丁乙戊己六等邊形每一邊之
      弧皆六十度試將甲丙邊折半於庚自
      圜心辛作辛庚壬半徑線遂平分甲丙
      弧於壬則甲壬弧為三十度甲庚即三
      十度之正弦甲丙即六十度之通弦辛
      庚即三十度之餘弦是故半徑十萬與
      三十度之正弦之比即如所設之半徑
      六寸與甲庚之半邊之比既得半邊倍
      之即全邊又半徑十萬與三十度之餘
[026-15b]
      弦之比即如所設之半徑六寸與辛庚
[026-16a]
      中垂線之比也
      又用求圜内各形之一邊之定率比例
      以定率之圜徑一○○○○○○○○
      為一率圜内容六等邊形之每一邊五
      ○○○○○○○為二率今所設之圜
      徑一尺二寸為三率求得四率六寸即
      圜内容六等邊形之每一邊也
      又用求圜内各形之面積之定率比例
[026-16b]
      以定率之圜徑自乘之正方面積一○
      ○○○○○○○為一率圜内容六等
      邊形之面積六四九五一九○五為二
      率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一
      尺四十四寸為三率求得四率九十三
      寸五十三分零七釐有餘即圜内容六
      等邊形之面積也
      又用圜面積之定率比例以定率之圜
      面積一○○○○○○○○為一率圜
[026-16b]
      内容六等邊形之面積八二六九九三
[026-17a]
      三四為二率今所設之圜徑一尺二寸
      求得圜面積一尺一十三寸零九分七
      十三釐有餘為三率求得四率九十三
      寸五十三分零七釐有餘即圜内容六
      等邊形之面積也
設如圜徑一尺二寸求内容七等邊形之每一邊及
 面積幾何
      法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸
[026-17b]
      為一率用連比例四率有一率求二率
      三率四率使一率與四率相加與二率
      兩倍再加一三率等之法求得二率二
      寸六分七釐零二絲五忽有餘為圜内
      容十四等邊形之每一邊詳見割/圜卷中乃以
      半徑六寸為底仍以半徑六寸與十四
      等邊形之毎一邊二寸六分七釐零二
      絲五忽有餘為兩腰用三角形求中垂
      線法算之得二寸六分零三豪三絲有
[026-17b]
      餘倍之得五寸二分零六豪六絲有餘
[026-18a]
      為圜内容七等邊形之每一邊爰以半
      徑六寸為弦七等邊形之每一邊折半
      為勾求得股五寸四分零五豪八絲一
      忽有餘為自圜心至每一邊之中垂線
      乃以每一邊折半之數與中垂線相乘
      得一十四寸零七分二十九釐有餘七
      因之得九十八寸五十一分零三釐有
      餘即圜内容七等邊形之面積也如圖
[026-18b]
      甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊己
      庚辛七等邊形試自圜心壬至毎角各
      作一半徑線即分七等邊形為七三角
      形又自戊至乙作戊乙線即圜内容十
      四等邊形之毎一邊壬乙壬戊半徑與
      戊乙邊遂成壬戊乙三角形故以壬乙
      半徑為底壬戊半徑與戊乙十四等邊
      形之每一邊為兩腰求得戊癸垂線倍
      之得戊己即圜内容七等邊形之每一
[026-18b]
      邊也又壬戊為弦戊癸為勾求得股為
[026-19a]
      壬癸中垂線用三角形求面積法算之
      得壬戊己一三角形之面積七倍之而
      得圜内容七等邊形之總面積也
      又法以全圜三百六十度七分之每分
      得五十一度二十五分四十二秒有餘
      折半得二十五度四十二分五十一秒
      有餘乃以半徑十萬為一率二十五度
      四十二分五十一秒有餘之正弦四萬
[026-19b]
      三千三百八十八為二率今所設之半
      徑六寸為三率求得四率二寸六分零
      三豪二絲八忽倍之得五寸二分零六
      豪五絲六忽為圜内容七等邊形之每
      一邊次以半徑十萬為一率二十五度
      四十二分五十一秒有餘之餘弦九萬
      零九十七為二率今所設之半徑六寸
      為三率求得四率五寸四分零五豪八
      絲二忽為自圜心至每一邊之中垂線
[026-19b]
      與每一邊折半之數相乘七因之得九
[026-20a]
      十八寸五十分九十六釐有餘為圜内
      容七等邊形之面積也如圖甲乙圜徑
      一尺二寸内容甲丙丁戊己庚辛七等
      邊形每一邊之弧皆五十一度二十五
      分四十二秒有餘試將甲丙邊折半於
      壬自圜心癸作癸壬子半徑線遂平分
      甲丙弧於子則甲子弧為二十五度四
      十二分五十一秒有餘甲壬即二十五
[026-20b]
      度四十二分五十一秒有餘之正弦甲
      丙即五十一度二十五分四十二秒有
      餘之通弦癸壬即二十五度四十二分
      五十一秒有餘之餘弦是故半徑十萬
      與二十五度四十二分五十一秒有餘
      之正弦之比即如所設之半徑六寸與
      甲壬之半邊之比既得半邊倍之即全
      邊又半徑十萬與二十五度四十二分
      五十一秒有餘之餘弦之比即如所設
[026-20b]
      之半徑六寸與癸壬中垂線之比也
[026-21a]
      又用求圜内各形之一邊之定率比例
      以定率之圜徑一○○○○○○○○
      為一率圜内容七等邊形之每一邊四
      三三八八三七四為二率今所設之圜
      徑一尺二寸為三率求得四率五寸二
      分零六豪六絲有餘即圜内容七等邊
      形之每一邊也
      又用求圜内各形之面積之定率比例
[026-21b]
      以定率之圜徑自乘之正方面積一○
      ○○○○○○○為一率圜内容七等
      邊形之面積六八四一○二五四為二
      率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一
      尺四十四寸為三率求得四率九十八
      寸五十一分零七釐有餘即圜内容七
      等邊形之面積也
      又用圜面積之定率比例以定率之圜
      面積一○○○○○○○○為一率圜
[026-21b]
      内容七等邊形之面積八七一○二六
[026-22a]
      四一為二率今所設之圜徑一尺二寸
      求得圜面積一尺一十三寸零九分七
      十三釐有餘為三率求得四率九十八
      寸五十一分零七釐有餘即圜内容七
      等邊形之面積也
設如圜徑一尺二寸求内容八等邊形之每一邊及
 面積幾何
      法以圜徑一尺二寸求得圜内容四等
[026-22b]
      邊形之每一邊為八寸四分八釐五毫
      二絲八忽有餘折半得四寸二分四釐
      二毫六絲四忽有餘為股又以四邊之
      半四寸二分四釐二豪六絲四忽有餘
      與半徑六寸相減餘一寸七分五釐七
      毫三絲六忽有餘為勾求得弦四寸五
      分九釐二豪一絲九忽有餘為圜内容
      八等邊形之毎一邊爰以半徑六寸為
      弦八等邊形之毎一邊折半得二寸二
[026-22b]
      分九釐六豪零九忽有餘為勾求得股
[026-23a]
      五寸五分四釐三豪二絲八忽有餘為
      自圜心至每一邊之中垂線乃以每一
      邊折半之數與中垂線相乘得一十二
      寸七十二分七十八釐有餘八因之得
      一尺零一寸八十二分二十四釐有餘
      即圜内容八等邊形之面積也如圖甲
      乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊乙己
      庚辛八等邊形先求得圜内容四等邊
[026-23b]
      形之毎一邊為戊己折半得戊壬與癸
      壬等為股以癸壬與癸乙半徑相減餘
      壬乙為勾求得戊乙弦為圜内容八等
      邊形之每一邊試自圜心至每角各作
      一半徑線即分八等邊形為八三角形
      以癸乙半徑為弦戊乙折半得子乙為
      勾求得股為癸子中垂線用三角形求
      面積法算之得癸戊乙一三角形之面
      積八倍之而得圜内容八等邊形之總
[026-23b]
      面積也
[026-24a]
      又法以全圜三百六十度八分之每分
      得四十五度折半得二十二度三十分
      乃以半徑十萬為一率二十二度三十
      分之正弦三萬八千二百六十八為二
      率今所設之半徑六寸為三率求得四
      率二寸二分九釐六豪零八忽倍之得
      四寸五分九釐二豪一絲六忽為圜内
      容八等邊形之每一邊次以半徑十萬
[026-24b]
      為一率二十二度三十分之餘弦九萬
      二千三百八十八為二率今所設之半
      徑六寸為三率求得四率五寸五分四
      釐三豪二絲八忽為自圜心至毎一邊
      之中垂線與毎一邊折半之數相乘八
      因之得一尺零一寸八十二分二十四
      釐有餘為圜内容八等邊形之面積也
      如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁
      戊乙己庚辛八等邊形毎一邊之弧皆
[026-24b]
      四十五度試將甲丙邊折半於壬自圜
[026-25a]
      心癸作癸壬子半徑線遂平分甲丙弧
      於子則甲子弧為二十二度三十分甲
      壬即二十二度三十分之正弦甲丙即
      四十五度之通弦癸壬即二十二度三
      十分之餘弦是故半徑十萬與二十二
      度三十分之正弦之比即如所設之半
      徑六寸與甲壬之半邊之比既得半邊
      倍之即全邊又半徑十萬與二十二度
[026-25b]
      三十分之餘弦之比即如所設之半徑
      六寸與癸壬中垂線之比也
      乂用求圜内各形之一邊之定率比例
      以定率之圜徑一○○○○○○○○
      為一率圜内容八等邊形之毎一邊三
      八二六八三四三為二率今所設之圜
      徑一尺二寸為三率求得四率四寸五
      分九釐二豪二絲有餘即圜内容八等
      邊形之每一邊也
[026-25b]
      又用求圜内各形之面積之定率比例
[026-26a]
      以定率之圜徑自乘之正方面積一○
      ○○○○○○○為一率圜内容八等
      邊形之面積七○七一○六七八為二
      率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一
      尺四十四寸為三率求得四率一尺零
      一寸八十二分三十三釐有餘即圜内
      容八等邊形之面積也
      又用圜面積之定率比例以定率之圜
[026-26b]
      面積一○○○○○○○○為一率圜
      内容八等邊形之面積九○○三一六
      三一為二率今所設之圜徑一尺二寸
      求得圜面積一尺一十三寸零九分七
      十三釐有餘為三率求得四率一尺零
      一寸八十二分三十三釐有餘即圜内
      容八等邊形之面積也
設如圜徑一尺二寸求内容九等邊形之每一邊及
  面積幾何
[026-26b]
      法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸
[026-27a]
      為一率用連比例四率有一率求二率
      三率四率使一率與四率相加與二率
      三倍等之法求得二率二寸零八釐三
      豪七絲七忽有餘為圜内容十八等邊
      形之每一邊詳見割/圜卷中乃以半徑六寸為
      底仍以半徑六寸與圜内容十八等邊
      形之毎一邊二寸零八釐三豪七絲七
      忽有餘為兩腰用三角形求中垂線法
[026-27b]
      算之得二寸零五釐二豪一絲一忽有
      餘倍之得四寸一分零四豪二絲二忽
      有餘即圜内容九等邊形之毎一邊爰
      以半徑六寸為弦九等邊形之毎一邊
      折半為勾求得股五寸六分三釐八豪
      一絲五忽有餘為自圜心至毎一邊之
      中垂線乃以毎一邊折半之數與中垂
      線相乘得一十一寸五十七分零一釐
      有餘九因之得一尺零四寸一十三分
[026-27b]
      零九釐有餘即圜内容九等邊形之面
[026-28a]
      積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲
      丙丁戊己庚辛壬癸九等邊形試自圜
      心子至每角各作一半徑線即分九等
      邊形為九三角形又自己至乙作己乙
      線即圜内容十八等邊形之毎一邊子
      乙子己半徑與己乙邊遂成子己乙三
      角形故以子乙半徑為底子己半徑與
      己乙十八等邊形之毎一邊為兩腰求
[026-28b]
      得己丑垂線倍之得己庚為圜内容九
      等邊形之每一邊也又子己為弦己丑
      為勾求得股為子丑中垂線用三角形
      求面積法算之得子己庚一三角形之
      面積九倍之而得圜内容九等邊形之
      總面積也
      又法以全圜三百六十度九分之每分
      得四十度折半得二十度乃以半徑十
      萬為一率二十度之正弦三萬四千二
[026-28b]
      百零二為二率今所設之半徑六寸為
[026-29a]
      三率求得四率二寸零五釐二豪一絲
      二忽倍之得四寸一分零四豪二絲四
      忽為圜内容九等邊形之每一邊次以
      半徑十萬為一率二十度之餘弦九萬
      三千九百六十九為二率今所設之半
      徑六寸為三率求得四率五寸六分三
      釐八豪一絲四忽為自圜心至毎一邊
      之中垂線與毎一邊折半之數相乘九
[026-29b]
      因之得一尺零四寸一十三分零九釐
      有餘為圜内容九等邊形之面積也如
      圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊
      己庚辛壬癸九等邊形毎一邊之弧皆
      四十度試將甲丙邊折半於子自圜心
      丑作丑子寅半徑線遂平分甲丙弧於
      寅則甲寅弧為二十度甲子即二十度
      之正弦甲丙即四十度之通弦丑子即
      二十度之餘弦是故半徑十萬與二十
[026-29b]
      度之正弦之比即如所設之半徑六寸
[026-30a]
      與甲子之半邊之比既得半邊倍之即
      全邊又半徑十萬與二十度之餘弦之
      比即如所設之半徑六寸與丑子中垂
      線之比也
      又用求圜内各形之一邊之定率比例
      以定率之圜徑一○○○○○○○○
      為一率圜内容九等邊形之毎一邊三
      四二○二○一四為二率今所設之圜
[026-30b]
      徑一尺二寸為三率求得四率四寸一
      分零四豪二絲四忽有餘即圜内容九
      等邊形之每一邊也
      又用求圜内各形之面積之定率比例
      以定率之圜徑自乘之正方面積一○
      ○○○○○○○為一率圜内容九等
      邊形之面積七二三一三六○六為二
      率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一
      尺四十四寸為三率求得四率一尺零
[026-30b]
      四寸一十三分一十五釐有餘即圜内
[026-31a]
      容九等邊形之面積也
      又用圜面積之定率比例以定率之圜
      面積一○○○○○○○○為一率圜
      内容九等邊形之面積九二○七二五
      四二為二率今所設之圜徑一尺二寸
      求得圜面積一尺一十三寸零九分七
      十三釐有餘為三率求得四率一尺零
      四寸一十三分一十五釐有餘即圜内
[026-31b]
      容九等邊形之面積也
設如圜徑一尺二寸求内容十等邊形之每一邊及
 面積幾何
      法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸
      為首率用連比例三率有首率求中率
      末率使中率末率相加與首率等之法
      求得中率三寸七分零八豪二絲有餘
      即圜内容十等邊形之每一邊詳見割/圜卷中
      爰以半徑六寸為弦十等邊形之每一
[026-31b]
      邊折半得一寸八分五釐四豪一絲有
[026-32a]
      餘為勾求得股五寸七分零六豪三絲
      三忽有餘為自圜心至每一邊之中垂
      線乃以每一邊折半之數與中垂線相
      乘得一十寸五十八分零一釐有餘十
      因之得一尺零五寸八十分一十釐有
      餘即圜内容十等邊形之面積也如圖
      甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊己
      乙庚辛壬癸十等邊形其子乙半徑為
[026-32b]
      首率己乙每一邊為中率其毎一邊皆
      三寸七分零八豪二絲有餘試自圜心
      子至每角各作一半徑線即分十等邊
      形為十三角形以子乙半徑為弦己乙
      折半得丑乙為勾求得股為子丑中垂
      線用三角形求面積法算之得子己乙
      一三角形之面積十倍之而得圜内容
      十等邊形之總面積也
      又法以全圜三百六十度十分之毎分
[026-32b]
      得三十六度折半得十八度乃以半徑
[026-33a]
      十萬為一率十八度之正弦三萬零九
      百零二為二率今所設之半徑六寸為
      三率求得四率一寸八分五釐四豪一
      絲二忽倍之得三寸七分零八豪二絲
      四忽為圜内容十等邊形之毎一邊次
      以半徑十萬為一率十八度之餘弦九
      萬五千一百零六為二率今所設之半
      徑六寸為三率求得四率五寸七分零
[026-33b]
      六豪三絲六忽為自圜心至毎一邊之
      中垂線與每一邊折半之數相乘十因
      之得一尺零五寸八十分二十七釐有
      餘為圜内容十等邊形之面積也如圖
      甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊己
      乙庚辛壬癸十等邊形每一邊之弧皆
      三十六度試將甲丙邊折半於子自圜
      心丑作丑子寅半徑線遂平分甲丙弧
      於寅則甲寅弧為十八度甲子即十八
[026-33b]
      度之正弦甲丙即三十六度之通弦丑
[026-34a]
      子即十八度之餘弦是故半徑十萬與
      十八度之正弦之比即如所設之半徑
      六寸與甲子之半邊之比既得半邊倍
      之即全邊又半徑十萬與十八度之餘
      弦之比即如所設之半徑六寸與丑子
      中垂線之比也
      又用求圜内各形之一邊之定率比例
      以定率之圜徑一○○○○○○○○
[026-34b]
      為一率圜内容十等邊形之每一邊三
      ○九○一六九九為二率今所設之圜
      徑一尺二寸為三率求得四率三寸七
      分零八豪二絲有餘即圜内容十等邊
      形之每一邊也
      又用求圜内各形之面積之定率比例
      以定率之圜徑自乘之正方面積一○
      ○○○○○○○為一率圜内容十等
      邊形之面積七三四七三一五六為二
[026-34b]
      率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一
[026-35a]
      尺四十四寸為三率求得四率一尺零
      五寸八十分一十三釐有餘即圜内容
      十等邊形之面積也
      又用圜面積之定率比例以定率之圜
      面積一○○○○○○○○為一率圜
      内容十等邊形之面積九三五四八九
      二八為二率今所設之圜徑一尺二寸
      求得圜面積一尺一十三寸零九分七
[026-35b]
      十三釐有餘為三率求得四率一尺零
      五寸八十分一十三釐有餘即圜内容
      十等邊形之面積也
[026-36a]
   圜外切各等邊形
設如圜徑一尺二寸求外切三等邊形之每一邊及
  面積幾何
      法以圜徑一尺二寸為弦半徑六寸為
      勾求得股一尺零三分九釐二豪三絲
      有餘倍之得二尺零七分八釐四豪六
      絲有餘為圜外切三等邊形之毎一邊
      爰以三等邊形之每一邊為弦毎一邊
[026-36b]
      折半為勾求得股一尺八寸或以半徑
      六寸三倍之得一尺八寸為圜外切三
      等邊形之中垂線乃以每一邊之二尺
      零七分八釐四豪六絲有餘與中垂線
      一尺八寸相乘得三尺七十四寸一十
      二分二十八釐有餘折半得一尺八十
      七寸零六分一十四釐有餘即圜外切
      三等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一
      尺二寸外切丙丁戊三等邊形試將丙
[026-36b]
      丁邊折半於己自圜心庚作庚己半徑
[026-37a]
      線則成丙巳庚三角形其丙庚巳角為
      六十度丙巳庚角為九十度庚丙巳角
      為三十度又自甲至己作甲己線為圜
      内容六等邊形之每一邊則又成甲己
      庚甲己丙兩三角形其甲己庚三角形
      之甲己庚角為六十度故甲己丙三角
      形之甲己丙角為三十度而甲丙己角
      亦為三十度則丙甲與甲己皆與半徑
[026-37b]
      等矣故丙庚即全徑為弦庚己即半徑
      為勾求得丙己股倍之得丙丁為圜外
      切三等邊形之每一邊也又丙甲既與
      半徑等則丙乙中垂線為半徑之三倍
      用三角形求面積法算之而得圜外切
      三等邊形之面積也
      又法以全圜三百六十度三分之每分
      得一百二十度折半得六十度乃以半
      徑十萬為一率六十度之正切一十七
[026-37b]
      萬三千二百零五為二率今所設之半
[026-38a]
      徑六寸為三率求得四率一尺零三分
      九釐二豪三絲倍之得二尺零七分八
      釐四豪六絲為圜外切三等邊形之毎
      一邊也既得三等邊形之每一邊乃以
      半徑三因之與毎一邊之數相乘折半
      得一尺八十七寸零六分一十四釐為
      圜外切三等邊形之面積也如圖甲乙
      圜徑一尺二寸外切丙丁戊三等邊形
[026-38b]
      每一邊之弧皆一百二十度試將丙丁
      邊折半於己自圜心庚作庚己半徑線
      則甲己弧為六十度丙己即六十度之
      正切丙丁即六十度正切之倍是故半
      徑十萬與六十度之正切之比即如所
      設之半徑六寸與丙己之半邊之比既
      得半邊倍之即全邊也
      又用求圜外各形之一邊之定率比例
      以定率之圜徑一○○○○○○○○
[026-38b]
      為一率圜外切三等邊形之每一邊一
[026-39a]
      七三二○五○八○為二率今所設之
      圜徑一尺二寸為三率求得四率二尺
      零七分八釐四豪六絲即圜外切三等
      邊形之每一邊也
      又用求圜外各形之面積之定率比例
      以定率之圜徑自乘之正方面積一○
      ○○○○○○○為一率圜外切三等
      邊形之面積一二九九○三八一○為
[026-39b]
      二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得
      一尺四十四寸為三率求得四率一尺
      八十七寸零六分一十四釐有餘即圜
      外切三等邊形之面積也
      又用圜面積之定率比例以定率之圜
      面積一○○○○○○○○為一率圜
      外切三等邊形之面積一六五三九八
      六六九為二率今所設之圜徑一尺二
      寸求得圜面積一尺一十三寸零九分
[026-39b]
      七十三釐有餘為三率求得四率一尺
[026-40a]
      八十七寸零六分一十四釐有餘即圜
      外切三等邊形之面積也
設如圜徑一尺二寸求外切四等邊形之每一邊及
  面積幾何
      法因圜徑一尺二寸即外切四等邊形
      之毎一邊自乘得一尺四十四寸即圜
      外切四等邊形之面積故他法皆不設
      止存一題以備體焉
[026-40b]
設如圜徑一尺二寸求外切五等邊形之毎一邊及
  面積幾何
      法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸
      為首率用連比例三率有首率求中率
      之法求得中率三寸七分零八豪二絲
      有餘倍之得七寸四分一釐六豪四絲
      有餘為自圜心至外切五等邊形各角
      之分角線乃以分角線為弦圜之半徑
      為股求得勾四寸三分五釐九豪二絲
[026-40b]
      四忽有餘倍之得八寸七分一釐八豪
[026-41a]
      四絲八忽有餘為圜外切五等邊形之
      每一邊爰以每一邊之八寸七分一釐
      八豪四絲八忽有餘與半徑六寸相乘
      得五十二寸三十一分零八釐有餘折
      半得二十六寸一十五分五十四釐有
      餘五因之得一尺三十寸七十七分七
      十二釐有餘即圜外切五等邊形之面
      積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙
[026-41b]
      丁戊己庚五等邊形以辛乙半徑為首
      率即理分中末/線之全分則自圜心至角之辛己
      分角線為倍中率即倍理分中/末線之大分何以知
      之試自丙角至戊己二角作丙戊丙己
      兩角相對斜線成丙戊己三角形復自
      戊角至庚角作戊庚兩角相對斜線截
      丙己斜線於壬又成戊己壬三角形與
      丙戊己三角形為同式形戊己壬三角/形之戊角當
      巳庚邊與戊巳邊等故戊己壬三角形/之戊角與丙戊己三角形之丙角等又
[026-41b]
      同用一巳角則其餘一/角亦必等故為同式形而丙戊為首率
[026-42a]
      即理分中末/線之全分戊己為中率即理分中末/線之大分
      己壬為末率即理分中末/線之小分丙壬亦與戊
      己等為中率乃自壬至丙戊線作壬癸
      垂線平分丙戊邊於癸遂成丙癸壬勾
      股形與辛乙己勾股形為同式形辛乙/己勾
      股形之辛角當乙己邊為戊己邊之半/故辛乙巳勾股之辛角與丙癸壬勾股
      之丙角等癸角與乙角又同為直角/則其餘一角亦必等故為同式形
      丙戊既為首率丙壬既為中率若以丙
[026-42b]
      戊之半丙癸為首率則丙壬之半丙子
      亦為中率而丙壬即為倍中率丙癸壬
      勾股形與辛乙巳勾股形既為同式形
      則辛乙己勾股形之辛乙股與辛己弦
      之比必同於丙癸壬勾股形之丙癸股
      與丙壬弦之比是以辛乙半徑為首率
      則辛己分角線亦即為倍中率也既得
      辛己分角線乃以辛己分角線為弦辛
      乙半徑為股求得乙己勾倍之得戊己
[026-42b]
      即圜外切五等邊形之毎一邊也又自
[026-43a]
      圜心至各角作分角線即分五等邊形
      為五三角形其辛乙中垂線即圜之半
      徑故以所得圜外切五等邊形之每一
      邊與半徑相乘折半得辛戊巳一三角
      形之面積五倍之而得圜外切五等邊
      形之總面積也
      又法以全圜三百六十度五分之每分
      得七十二度折半得三十六度乃以半
[026-43b]
      徑十萬為一率三十六度之正切七萬
      二千六百五十四為二率今所設之半
      徑六寸為三率求得四率四寸三分五
      釐九豪二絲四忽倍之得八寸七分一
      釐八豪四絲八忽為圜外切五等邊形
      之毎一邊既得五等邊形之毎一邊乃
      以半徑與毎一邊之數相乘折半五因
      之得一尺三十寸七十七分七十二釐
      為圜外切五等邊形之面積也如圖甲
[026-43b]
      乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊巳庚五
[026-44a]
      等邊形每一邊之弧皆七十二度試將
      丙丁邊折半於辛自圜心壬作壬辛半
      徑線又作壬丙分角線割圜界於甲則
      甲辛弧為三十六度丙辛即三十六度
      之正切丙丁即三十六度正切之倍是
      故半徑十萬與三十六度之正切之比
      即如所設之半徑六寸與丙辛之半邊
      之比既得半邊倍之即全邊也
[026-44b]
      又用求圜外各形之一邊之定率比例
      以定率之圜徑一○○○○○○○○
      為一率圜外切五等邊形之每一邊七
      二六五四二五二為二率今所設之圜
      徑一尺二寸為三率求得四率八寸七
      分一釐八豪五絲一忽有餘即圜外切
      五等邊形之每一邊也
      又用求圜外各形之面積之定率比例
      以定率之圜徑自乘之正方面積一○
[026-44b]
      ○○○○○○○為一率圜外切五等
[026-45a]
      邊形之面積九○八一七八一六為二
      率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一
      尺四十四寸為三率求得四率一尺三
      十寸七十七分七十六釐有餘即圜外
      切五等邊形之面積也
      又用圜面積之定率比例以定率之圜
      面積一○○○○○○○○為一率圜
      外切五等邊形之面積一一五六三二
[026-45b]
      八三四為二率今所設之圜徑一尺二
      寸求得圜面積一尺一十三寸零九分
      七十三釐有餘為三率求得四率一尺
      三十寸七十七分七十六釐即圜外切
      五等邊形之面積也
設如圜徑一尺二寸求外切六等邊形之每一邊及
 面積幾何
      法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸
      自乘得三十六寸三歸四因得四十八
[026-45b]
      寸開方得六寸九分二釐八豪二絲有
[026-46a]
      餘即圜外切六等邊形之毎一邊乃以
      毎一邊之六寸九分二釐八豪二絲有
      餘與半徑六寸相乘得四十一寸五十
      六分九十二釐有餘折半得二十寸七
      十八分四十六釐有餘六因之得一尺
      二十四寸七十分七十六釐有餘即圜
      外切六等邊形之面積也如圖甲乙圜
      徑一尺二寸外切丙丁戊巳庚辛六等
[026-46b]
      邊形試自圜心至各角作分角線即分
      六等邊形為六三角形其壬乙半徑即
      每一三角形之中垂線而中垂線自乘
      之方為每邊自乘之方之四分之三故
      以半徑自乘三歸四因開方即得圜外
      切六等邊形之每一邊也既得毎一邊
      與半徑相乘折半得壬戊己一三角形
      之面積六倍之而得圜外切六等邊形
      之總面積也
[026-46b]
      又法以全圜三百六十度六分之毎分
[026-47a]
      得六十度折半得三十度乃以半徑十
      萬為一率三十度之正切五萬七千七
      百三十五為二率今所設之半徑六寸
      為三率求得四率三寸四分六釐四豪
      一絲倍之得六寸九分二釐八豪二絲
      為圜外切六等邊形之毎一邊既得六
      等邊形之毎一邊乃以半徑與毎一邊
      之數相乘折半六因之得一尺二十四
[026-47b]
      寸七十分七十六釐為圜外切六等邊
      形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸
      外切丙丁戊己庚辛六等邊形毎一邊
      之弧皆六十度試將丙丁邊折半於壬
      自圜心癸作癸壬半徑線又作癸丙分
      角線割圜界於子則子壬弧為三十度
      丙壬即三十度之正切丙丁即三十度
      正切之倍是故半徑十萬與三十度之
      正切之比即如所設之半徑六寸與丙
[026-47b]
      壬之半邊之比既得半邊倍之即全邊
[026-48a]
      也
      又用求圜外各形之一邊之定率比例
      以定率之圜徑一○○○○○○○○
      為一率圜外切六等邊形之每一邊五
      七七三五○二七為二率今所設之圜
      徑一尺二寸為三率求得四率六寸九
      分二釐八豪二絲有餘即圜外切六等
      邊形之毎一邊也
[026-48b]
      又用求圜外各形之面積之定率比例
      以定率之圜徑自乘之正方面積一○
      ○○○○○○○為一率圜外切六等
      邊形之面積八六六○二五四○為二
      率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一
      尺四十四寸為三率求得四率一尺二
      十四寸七十分七十六釐有餘即圜外
      切六等邊形之面積也
      又用圜面積之定率比例以定率之圜
[026-48b]
      面積一○○○○○○○○為一率圜
[026-49a]
      外切六等邊形之面積一一○二六五
      七八一為二率今所設之圜徑一尺二
      寸求得圜面積一尺一十三寸零九分
      七十三釐有餘為三率求得四率一尺
      二十四寸七十分七十六釐有餘即圜
      外切六等邊形之面積也
設如圜徑一尺二寸求外切七等邊形之每一邊及
 面積幾何
[026-49b]
      法以圜徑一尺二寸求得内容七等邊
      形之每一邊為五寸二分零六豪六絲
      有餘又求得自圜心至每一邊之中垂
      線為五寸四分零五豪八絲一忽有餘
      乃以中垂線之數為一率每一邊之數
      為二率今所設之半徑六寸為三率求
      得四率五寸七分七釐八豪八絲九忽
      有餘為圜外切七等邊形之每一邊爰
      以每一邊之五寸七分七釐八豪八絲
[026-49b]
      九忽有餘與半徑六寸相乘得三十四
[026-50a]
      寸六十七分三十三釐有餘折半得一
      十七寸三十三分六十六釐有餘七因
      之得一尺二十一寸三十五分六十二
      釐有餘即圜外切七等邊形之面積也
      如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊
      己庚辛壬七等邊形先求得圜内容七
      等邊形之毎一邊為癸子又求得圜心
      至每一邊之中垂線為丑寅以丑寅與
[026-50b]
      癸子之比即同於丑乙與巳庚之比為
      相當比例四率也又自圜心至各角作
      分角線即分七等邊形為七三角形其
      丑乙中垂線即圜之半徑故以所得圜
      外切七等邊形之每一邊與半徑相乘
      折半得丑己庚一三角形之面積七倍
      之而得圜外切七等邊形之總面積也
      又法以全圜三百六十度七分之每分
      得五十一度二十五分四十二秒有餘
[026-50b]
      折半得二十五度四十二分五十一秒
[026-51a]
      有餘乃以半徑十萬為一率二十五度
      四十二分五十一秒之正切四萬八千
      一百五十七為二率今所設之半徑六
      寸為三率求得四率二寸八分八釐九
      毫四絲二忽有餘倍之得五寸七分七
      釐八毫八絲四忽有餘為圜外切七等
      邊形之每一邊既得七等邊形之每一
      邊乃以半徑與每一邊之數相乘折半
[026-51b]
      七因之得一尺二十一寸三十五分五
      十六釐有餘為圜外切七等邊形之面
      積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙
      丁戊己庚辛壬七等邊形每一邊之弧
      皆五十一度二十五分四十二秒有餘
      試將丙丁邊折半於癸自圜心子作子
      癸半徑線又作子丙分角線割圜界於
      甲則甲癸弧為二十五度四十二分五
      十一秒有餘丙癸即二十五度四十二
[026-51b]
      分五十一秒有餘之正切丙丁即二十
[026-52a]
      五度四十二分五十一秒有餘之正切
      之倍是故半徑十萬與二十五度四十
      二分五十一秒有餘之正切之比即如
      所設之半徑六寸與丙癸之半邊之比
      既得半邊倍之即全邊也
      又用求圜外各形之一邊之定率比例
      以定率之圜徑一○○○○○○○○
      為一率圜外切七等邊形之毎一邊四
[026-52b]
      八一五七四六二為二率今所設之圜
      徑一尺二寸為三率求得四率五寸七
      分七釐八豪八絲九忽有餘即圜外切
      七等邊形之每一邊也
      又用求圜外各形之面積之定率比例
      以定率之圜徑自乘之正方面積一○
      ○○○○○○○為一率圜外切七等
      邊形之面積八四二七五五五八為二
      率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一
[026-52b]
      尺四十四寸為三率求得四率一尺二
[026-53a]
      十一寸三十五分六十八釐有餘即圜
      外切七等邊形之面積也
      又用圜面積之定率比例以定率之圜
      面積一○○○○○○○○為一率圜
      外切七等邊形之面積一○七三○二
      九七四為二率今所設之圜徑一尺二
      寸求得圜面積一尺一十三寸零九分
      七十三釐有餘為三率求得四率一尺
[026-53b]
      二十一寸三十五分六十八釐有餘即
      圜外切七等邊形之面積也
設如圜徑一尺二寸求外切八等邊形之毎一邊及
  面積幾何
      法以圜徑一尺二寸自乘得一尺四十
      四寸倍之得二尺八十八寸開方得一
      尺六寸九分七釐零五絲六忽有餘内
      減圜徑一尺二寸餘四寸九分七釐零
      五絲六忽有餘即圜外切八等邊形之
[026-53b]
      毎一邊乃以每一邊之四寸九分七釐
[026-54a]
      零五絲六忽有餘與半徑六寸相乘得
      二十九寸八十二分三十三釐有餘折
      半得一十四寸九十一分一十六釐有
      餘八因之得一尺一十九寸二十九分
      二十八釐有餘即圜外切八等邊形之
      面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切
      丙丁戊己庚辛壬癸八等邊形試依甲
      乙圜徑度作子丑寅夘正方形又作子
[026-54b]
      寅對角斜線於子寅對角斜線内減與
      甲乙圜徑相等之辰己餘子辰巳寅兩
      段即與圜外切八等邊形之丙丁一邊
      相等也何則丙子丁勾股形因子寅斜
      線平分為子辰丙子辰丁兩勾股形與
      原形為同式形子辰丙勾股形之辰角/與丙子丁勾股形之子
      角同為直角又同用一丙角/其餘一角必等故為同式形丙子既與
      子丁等子辰必與丙辰等而為丙丁之
      一半則子辰巳寅兩段亦必與丙丁一
[026-54b]
      邊等故以圜徑自乘倍之開方而得對
[026-55a]
      角斜線於斜線内減圜徑即圜外切八
      等邊形之毎一邊也又自圜心至各角
      作分角線即分八等邊形為八三角形
      其午乙中垂線即圜之半徑故以所得
      圜外切八等邊形之每一邊與半徑相
      乘折半得午己庚一三角形之面積八
      倍之而得圜外切八等邊形之總面積
      也
[026-55b]
      又法以全圜三百六十度八分之每分
      得四十五度折半得二十二度三十分
      乃以半徑十萬為一率二十二度三十
      分之正切四萬一千四百二十一為二
      率今所設之半徑六寸為三率求得四
      率二寸四分八釐五豪二絲六忽倍之
      得四寸九分七釐零五絲二忽為圜外
      切八等邊形之毎一邊既得八等邊形
      之每一邊乃以半徑與每一邊之數相
[026-55b]
      乘折半八因之得一尺一十九寸二十
[026-56a]
      九分二十四釐有餘為圜外切八等邊
      形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸
      外切丙丁戊己庚辛壬癸八等邊形每
      一邊之弧皆四十五度試將丙丁邊折
      半於子自圜心五作丑子半徑線又作
      丑丙分角線割圜界於寅則寅子弧為
      二十二度三十分丙子即二十二度三
      十分之正切丙丁即二十二度三十分
[026-56b]
      之正切之倍是故半徑十萬與二十二
      度三十分之正切之比即如所設之半
      徑六寸與丙子之半邊之比既得半邊
      倍之即全邊也
      又用求圜外各形之一邊之定率比例
      以定率之圜徑一○○○○○○○○
      為一率圜外切八等邊形之毎一邊四
      一四二一三五六為二率今所設之圜
      徑一尺二寸為三率求得四率四寸九
[026-56b]
      分七釐零五絲六忽有餘即圜外切八
[026-57a]
      等邊形之毎一邊也
      又用求圜外各形之面積之定率比例
      以定率之圜徑自乘之正方面積一○
      ○○○○○○○為一率圜外切八等
      邊形之面積八二八四二七一二為二
      率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一
      尺四十四寸為三率求得四率一尺一
      十九寸二十九分三十五釐有餘即圜
[026-57b]
      外切八等邊形之面積也
      又用圜面積之定率比例以定率之圜
      面積一○○○○○○○○為一率圜
      外切八等邊形之面積一○五四七八
      六一七為二率今所設之圜徑一尺二
      寸求得圜面積一尺一十三寸零九分
      七十三釐有餘為三率求得四率一尺
      一十九寸二十九分三十五釐有餘即
      圜外切八等邊形之面積也
[026-57b]
設如圜徑一尺二寸求外切九等邊形之毎一邊及
[026-58a]
 面積幾何
      法以圜徑一尺二寸求得内容九等邊
      形之毎一邊為四寸一分零四豪二絲
      二忽有餘又求得自圜心至毎一邊之
      中垂線為五寸六分三釐八豪一絲五
      忽有餘乃以中垂線之數為一率毎一
      邊之數為二率今所設之半徑六寸為
      三率求得四率四寸三分六釐七豪六
[026-58b]
      絲二忽有餘為圜外切九等邊形之毎
      一邊爰以毎一邊之四寸三分六釐七
      豪六絲二忽有餘與半徑六寸相乘得
      二十六寸二十分五十七釐有餘折半
      得一十三寸一十分二十八釐有餘九
      因之得一尺一十七寸九十二分五十
      七釐有餘即圜外切九等邊形之面積
      也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁
      戊己庚辛壬癸子九等邊形先求得圜
[026-58b]
      内容九等邊形之每一邊為丑寅又求
[026-59a]
      得圜心至每一邊之中垂線為夘辰以
      卯辰與丑寅之比即同於卯乙與庚辛
      之比為相當比例四率也又自圜心至
      各角作分角線即分九等邊形為九三
      角形其卯乙中垂線即圜之半徑故以
      所得圜外切九等邊形之毎一邊與半
      徑相乘折半得卯庚辛一三角形之面
      積九倍之而得圜外切九等邊形之總
[026-59b]
      面積也
      又法以全圜三百六十度九分之毎分
      得四十度折半得二十度乃以半徑十
      萬為一率二十度之正切三萬六千三
      百九十七為二率今所設之半徑六寸
      為三率求得四率二寸一分八釐三豪
      八絲二忽倍之得四寸三分六釐七豪
      六絲四忽為圜外切九等邊形之每一
      邊既得九等邊形之毎一邊乃以半徑
[026-59b]
      與毎一邊之數相乘折半九因之得一
[026-60a]
      尺一十七寸九十二分六十二釐有餘
      為圜外切九等邊形之面積也如圖甲
      乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊己庚辛
      壬癸子九等邊形每一邊之弧皆四十
      度試將丙丁邊折半於丑自圜心寅作
      寅丑半徑線又作寅丙分角線割圜界
      於甲則甲丑弧為二十度丙丑即二十
      度之正切丙丁即二十度之正切之倍
[026-60b]
      是故半徑十萬與二十度之正切之比
      即如所設之半徑六寸與丙丑之半邊
      之比既得半邊倍之即全邊也
      又用求圜外各形之一邊之定率比例
      以定率之圜徑一○○○○○○○○
      為一率圜外切九等邊形之每一邊三
      六三九七○二四為二率今所設之圜
      徑一尺二寸為三率求得四率四寸三
      分六釐七豪六絲四忽有餘即圜外切
[026-60b]
      九等邊形之每一邊也
[026-61a]
      又用求圜外各形之面積之定率比例
      以定率之圜徑自乘之正方面積一○
      ○○○○○○○為一率圜外切九等
      邊形之面積八一八九三三○三為二
      率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一
      尺四十四寸為三率求得四率一尺一
      十七寸九十二分六十三釐有餘即圜
      外切九等邊形之面積也
[026-61b]
      又用圜面積之定率比例以定率之圜
      面積一○○○○○○○○為一率圜
      外切九等邊形之面積一○四二六九
      七九一為二率今所設之圜徑一尺二
      寸求得圜面積一尺一十三寸零九分
      七十三釐有餘為三率求得四率一尺
      一十七寸九十二分六十五釐有餘即
      圜外切九等邊形之面積也
設如圜徑一尺二寸求外切十等邊形之每一邊及
[026-61b]
  面積幾何
[026-62a]
      法以圜徑一尺二寸求得内容十等邊
      形之毎一邊為三寸七分零八豪二絲
      有餘又求得自圜心至每一邊之中垂
      線為五寸七分零六豪三絲三忽有餘
      乃以中垂線之數為一率每一邊之數
      為二率今所設之半徑六寸為三率求
      得四率三寸八分九釐九豪零三忽有
      餘為圜外切十等邊形之毎一邊爰以
[026-62b]
      毎一邊之三寸八分九釐九豪零三忽
      有餘與半徑六寸相乘得二十三寸三
      十九分四十一釐有餘折半得一十一
      寸六十九分七十釐有餘十因之得一
      尺一十六寸九十七分一十二釐有餘
      即圜外切十等邊形之面積也如圖甲
      乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊己庚辛
      壬癸子丑十等邊形先求得圜内容十
      等邊形之毎一邊為寅卯又求得圜心
[026-62b]
      至每一邊之中垂線為辰巳以辰巳與
[026-63a]
      寅卯之比即同於辰乙與庚辛之比為
      相當比例四率也又自圜心至各角作
      分角線即分十等邊形為十三角形其
      辰乙中垂線即圜之半徑故以所得圜
      外切十等邊形之每一邊與半徑相乘
      折半得辰庚辛一三角形之面積十倍
      之而得圜外切十等邊形之總面積也
      又法以全圜三百六十度十分之每分
[026-63b]
      得三十六度折半得十八度乃以半徑
      十萬為一率十八度之正切三萬二千
      四百九十二為二率今所設之半徑六
      寸為三率求得四率一寸九分四釐九
      豪五絲二忽倍之得三寸八分九釐九
      豪零四忽為圜外切十等邊形之每一
      邊既得十等邊形之毎一邊乃以半徑
      與毎一邊之數相乘折半十因之得一
      尺一十六寸九十七分一十二釐為圜
[026-63b]
      外切十等邊形之面積也如圖甲乙圜
[026-64a]
      徑一尺二寸外切丙丁戊巳庚辛壬癸
      子丑十等邊形毎一邊之弧皆三十六
      度試將丙丁邊折半於寅自圜心卯作
      卯寅半徑線又作卯丙分角線割圜界
      於辰則辰寅弧為十八度丙寅即十八
      度之正切丙丁即十八度之正切之倍
      是故半徑十萬與十八度之正切之比
      即如所設之半徑六寸與丙寅之半邊
[026-64b]
      之比既得半邊倍之即全邊也
      又用求圜外各形之一邊之定率比例
      以定率之圜徑一○○○○○○○○
      為一率圜外切十等邊形之每一邊三
      二四九一九七○為二率今所設之圜
      徑一尺二寸為三率求得四率三寸八
      分九釐九豪零三忽有餘即圜外切十
      等邊形之每一邊也
      乂用求圜外各形之面積之定率比例
[026-64b]
      以定率之圜徑自乘之正方面積一○
[026-65a]
       ○○○○○○○為一率圜外切十等
       邊形之面積八一二二九九二四為二
       率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一
       尺四十四寸為三率求得四率一尺一
       十六寸九十七分一十釐有餘即圜外
       切十等邊形之面積也
       又用圜面積之定率比例以定率之圜
       面積一○○○○○○○○為一率圜
[026-65b]
       外切十等邊形之面積一○三四二五
       一五二為二率今所設之圜徑一尺二
       寸求得圜面積一尺一十三寸零九分
       七十三釐有餘為三率求得四率一尺
       一十六寸九十七分一十釐有餘即圜
       外切十等邊形之面積也
 
 
 
[026-65b]
御製數理精藴下編卷二十一