[038-1a] 
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷三十三
末部三
借根方比例帶縱平方乘方帶縱立方/三乘方四 五乘方附
[038-2a]
帶縱平方
借根方比例開帶縱平方其以長方之積用長闊之
較或和而求長闊之數皆與常法同但不立和縱較
縱之名惟有多根少根之號而毎根之數或爲長方
之闊或爲長方之長錯綜其名有十二種推究其實
總不出和較之兩端如云一平方多㡬根與幾真數
等或幾根多一平方與幾真數等或一平方與幾真
數少幾根等或幾根與幾真數少一平方等此四者
[038-2b]
根皆較縱而其毎根之數皆長方之闊也如云一平
方少幾根與幾真數等或一平方少幾眞數與幾根
等或一平方與幾真數多幾根等或一平方與幾根
多幾眞數等此四者根亦皆較縱而其每根之數則
皆長方之長也如云一平方多幾真數與幾根等或
幾眞數多一平方與幾根等或幾真數與幾根少一
平方等或一平方與幾根少幾眞數等此四者根皆
和縱而其毎根之數或爲長方之長或爲長方之闊
也要之所謂一平方者即一正方而多幾根少幾根
[038-2b]
即變正方而爲長方其眞數比平方多根者其毎根
[038-3a]
爲闊眞數比平方少根者其每根爲長二者皆較縱
惟眞數比根少平方者則爲和縱也至於開之之法
皆以眞數爲長方積以根數爲縱即以根數作眞數/用如三根即作三
眞數五根即作五真/數之類解見設如依面部帶縱平方法開之有較
縱者先求和有和縱者先求較其根爲長方之闊者
以和較相減折半而得每根之數用半和半較立法/者則相減即得根
數不用/折半其根爲長方之長者以和較相加折半而得
每根之數也用半和半較立法者則相/加即得根數不用折半俱詳設如
[038-3b]
設如有一平方多二根與二十四尺相等問每一根
之數幾何
法以二十四尺爲長方積二根爲縱多
二尺用帶縱較數開平方法算之將積
數四因加縱多自乘之數得一百尺開
平方得十尺爲和減較二尺餘八尺折
半得四尺爲一根之數即長方之闊加
較二尺得六尺即長方之長也如圖甲
乙丙丁長方形共積二十四尺甲乙四
[038-3b]
尺爲一根爲闊甲丁六尺爲長戊丁二
[038-4a]
尺爲縱多甲乙己戊爲一平方戊己丙
丁爲二根是甲乙丙丁二十四尺内有
甲乙己戊之一平方又有戊己丙丁之
二根故云一平方多二根與二十四尺
相等也若以積計之則積之多於平方
者爲戊己丙丁之二根若以邊計之則
長多於闊者爲戊丁之二尺故以二根
即作二尺爲縱多也此法錯綜其名則
[038-4b]
爲四種一平方多二根與二十四尺相
等一也如二根多一平方亦必與二十
四尺相等又一也若於一平方多二根
與二十四尺各减去二根則爲一平方
與二十四尺少二根相等此又其一也
甲乙丙丁二十四尺内减去戊己丙丁/二根餘甲乙己戊一平方故爲一平方
與二十四尺少/二根相等也又如一平方多二根與
二十四尺各减去一平方則爲二根與
二十四尺少一平方相等此又其一也
[038-4b]
甲乙丙丁二十四尺内減去甲乙己戊/一平方餘戊己丙丁二根故爲二根與
[038-5a]
二十四尺少一/平方相等也此四者名雖不同合而
觀之總爲眞數比一正方多根數故知
其爲較縱而每根之數爲闊也
設如有一平方少四根與四十五尺相等問每一根
之數幾何
法以四十五尺爲長方積四根爲縱多
四尺用帶縱較數開平方法算之將積
數四因加縱多自乘之數得一百九十
[038-5b]
六尺開平方得十四尺爲和加較四尺
得十八尺折半得九尺爲一根之數即
長方之長減較四尺得五尺即長方之
闊也如圖甲乙丙丁長方形共積四十
五尺甲乙九尺爲一根爲長甲丁五尺
爲闊甲戊與甲乙等丁戊四尺爲縱甲
乙己戊爲一平方丁丙己戊爲四根於
甲乙己戊平方内減去丁丙己戊之四
根則餘甲乙丙丁四十五尺故云一平
[038-5b]
方少四根與四十五尺相等也若以積
[038-6a]
計之則積之少於平方者爲丁丙己戊
之四根若以邊計之則闊少於長者爲
丁戊之四尺故以四根作四尺爲縱多
也此法錯綜其名亦爲四種一平方少
四根與四十五尺相等一也如一平方
少四十五尺亦必與四根相等又一也
若於一平方少四根與四十五尺各加
四根則爲一平方與四十五尺多四根
[038-6b]
相等此又其一也甲乙丙丁四十五尺/加丁丙己戊四根成
甲乙己戊一平方故爲一平方/與四十五尺多四根相等也如一平
方亦必與四根多四十五尺相等此又
其一也此四者名雖不同合而觀之總
爲真數比一正方少根數故知其爲較
縱而其每根之數爲長也
設如有一平方多三十六尺與十三根相等問每一
根之數幾何
法以三十六尺爲長方積十三根爲和
[038-6b]
十三尺用帶縱和數開平方法算之將
[038-7a]
積數四因與和自乘數相減餘二十五
尺開平方得五尺爲較與和十三尺相
减餘八尺折半得四尺爲一根之數即
長方之闊加較五尺得九尺即長方之
長也如圖甲乙丙丁長方形共積三十
六尺甲乙四尺爲一根爲闊甲丁九尺
爲長甲戊十三尺爲和甲乙己戊爲十
三根丁丙己戊爲一平方是甲乙己戊
[038-7b]
十三根内有甲乙丙丁三十六尺又有
丁丙己戊一平方故云一平方多三十
六尺與十三根相等也若以積計之則
積三十六尺與一平方相加共得甲乙
己戊之十三根若以邊計之則長九尺
與闊四尺相加得甲戊之十三尺故將
十三根作十三尺爲和也此法錯綜其
名亦爲四種一平方多三十六尺與十
三根相等一也如三十六尺多一平方
[038-7b]
亦必與十三根相等又一也若於一平
[038-8a]
方多三十六尺與十三根各减去三十
六尺則爲一平方與十三根少三十六
尺相等此又其一也甲乙己戊十三根/内减去甲乙丙丁
三十六尺餘丁丙己戊一平方故云一/平方與十三根少三十六尺相等也
又如一平方多三十六尺與十三根各
减去一平方則爲三十六尺與十三根
少一平方相等此又其一也甲乙己戊/十三根内
減去丁丙己戊一平方餘甲乙丙丁三/十六尺故爲三十六尺與十三根少一
[038-8b]
平方相/等也此四者名雖不同合而觀之總
爲眞數比根數少一正方故知其爲和
而其毎根之數爲闊也
設如有一平方多三十二尺與十二根相等問每一
根之數幾何
法以三十二尺爲長方積十二根爲和
十二尺用帶縱和數開平方法算之將
積數四因與和自乘數相減餘十六尺
開平方得四尺爲較加和十二尺得十
[038-8b]
六尺折半得八尺爲一根之數即長方
[038-9a]
之長減較四尺餘四尺即長方之闊也
如圖甲乙丙丁長方形共積三十二尺
甲乙八尺爲一根爲長甲丁四尺爲闊
甲戊十二尺爲和甲乙己戊爲十二根
丁丙己戊爲一平方是甲乙己戊十二
根内有甲乙丙丁三十二尺又有丁丙
己戊一平方故云一平方多三十二尺
與十二根相等也若以積計之則積三
[038-9b]
十二尺與一平方相加共得甲乙己戊
十二根若以邊計之則長八尺與闊四
尺相加得甲戊之十二尺故以十二根
作十二尺爲和也此法亦眞數比根數
少一正方故知其爲和而其每根之數
爲長也
[038-10a]
帶縱立方 三乘方/ 四乘方/ 五乘方附/
借根方比例開帶縱立方與常法不同常法先知各
邊之和或較既開得一邊之數以和較加減之即得
各邊之數此法止有根方多少之號而無和縱較縱
之名惟求每根之數而不問餘邊其立法之本意葢
欲借根方以求他數既得一根之數則所求之數已
得而方之形體有所不計且其與根方相等之積數
或爲長方體扁方體形或非長方體扁方體形或於/長方
[038-10b]
扁方之内少幾數或於長方扁方之外/多幾數則不能成長方扁方體形也皆不可知故
不可以帶縱之常法求也其積數或原爲幾根幾方/之總數而非一長方或一
扁方之全數則止可以逐方逐根計之若作一長方/或一扁方算則其各邊必有奇零不盡而轉與所設
之根數/不合矣今類其法分爲九種如一立方多幾根與幾
真數等一也一立方少幾根與幾眞數等二也一立
方多幾平方與幾真數等三也一立方少幾平方與
幾眞數等四也一立方多幾平方多幾根與幾眞數
等五也一立方少幾平方少幾根與幾真數等六也
一立方多幾平方少幾根與幾眞數等七也一立方
[038-10b]
少幾平方多幾根與幾真數等八也又幾平方少一
[038-11a]
立方與幾眞數等九也其開之之法除第九種外餘
俱依立方法定初商復視所帶根方爲多號者其商
數須取略小於應得之數所帶根方數爲少號者其
商數須取略大於應得之數俱以初商數自乘再乘
爲立方積以初商自乘數與幾平方相乘爲所帶平
方之共積以初商數與幾根相乘爲所帶根數之共
積多號者與立方積相加少號者與立方積相減然
後與原積相減不盡者爲次商積次商之法以初商
[038-11b]
自乘數三因之爲立方廉以初商數倍之與幾平方
相乘爲所帶平方之共廉多號者與立方廉相加少
號者與立方廉相減又加減所帶之根數多根者加/少根者減
爲次商廉法以廉法除次商積得次商即合初商自
乘再乘爲立方積仍如所帶幾根幾平方加減之而
後減原積並與初商同至於第九種之法則將立方
與真數俱用平方數除之得一平方少幾分立方之
一與幾眞數等依平方法定初商其商數須取略大
於應得之數乃以初商數自乘爲平方積又以初商
[038-11b]
數再乘爲立方積以平方數除之得數爲少幾分立
[038-12a]
方之一以減平方積而後與原積相減不盡者爲次
商積次商之法以初商數倍之爲平方廉又以初商
自乘數三因之爲立方廉以平方數除之得數以減
平方廉餘爲次商廉法以廉法除次商積得次商其
減積之法與初商同以上九種如法開之即得每根
之數也要之所謂一立方者即一正方體而多平方
多根少平方少根即變正方體而爲長方體扁方體
或爲磬折長方體扁方體其積數中有立方則用再
[038-12b]
乘有平方則用自乘有根則用商數多則相加少則
相減九種之中無異術也即推之多乘方莫不皆然
總以其累乘之數爲主而以所帶根方之積數加減
之與立方無二理也爰將立方九種之法各設一例
以明其理而三乘四乘五乘之法亦各設二例以附
其後焉
設如有一立方多八根與一千八百二十四尺相等
問毎一根之數幾何
法列原積一千八百二十四尺按立方
[038-12b]
法作記於四尺上定單位一千尺上定
[038-13a]
十位其一千尺爲初商積與十尺自乘
再乘之數相合即定初商爲十尺書於
原積一千尺之上而以初商十尺自乘
再乘之一千尺爲一立方積又以初商
十尺八因之得八十尺爲多八根之共
積與一立方積相加得一千零八十尺
書於原積之下相減餘七百四十四尺
爲次商積而以初商之十尺自乘之一
[038-13b]
百尺三因之得三百尺爲一立方廉加
根數八共三百零八尺爲次商廉法以
除次商積足二倍即定次商爲二尺書
於原積四尺之上合初商共一十二尺
自乘再乘得一千七百二十八尺爲一
立方積又以十二尺八因之得九十六
尺爲八根之共積與立方積相加共得
一千八百二十四尺書於原積之下相
減恰盡是開得一十二尺爲每一根之
[038-13b]
數也此法以積計之爲一正方體及八
[038-14a]
根之共數以邊計之則所得毎根之數
即正方體之毎一邊因正方體之外多
八根故成一磬折體而非正方體亦非
長方體也
設如有一立方少九根與一千六百二十尺相等問
毎一根之數幾何
法列原積一千六百二十尺按立方法
作記於空尺上定單位一千尺上定十
[038-14b]
位其一千尺爲初商積與十尺自乘再
乘之數相合即定初商爲十尺書於原
積一千尺之上而以初商十尺自乘再
乘之一千尺爲一立方積又以初商十
尺九因之得九十尺爲少九根之共積
與立方積相減餘九百一十尺書於原
積之下相減餘七百一十尺爲次商積
而以初商之十尺自乘之一百尺三因
之得三百尺爲一立方廉内減去根數
[038-14b]
九餘二百九十一尺爲次商廉法以除
[038-15a]
次商積足二倍即定次商爲二尺書於
原積空尺之上合初商共十二尺自乘
再乘得一千七百二十八尺爲一立方
積又以十二尺九因之得一百零八尺
爲少九根之共積與立方積相減餘一
千六百二十尺書於原積之下相減恰
盡是開得一十二尺爲毎一根之數也
此法以積計之爲一正方體少九根之
[038-15b]
數以邊計之則所得每根之數即正方
體之每一邊因正方體内少九根之數
故成磬折體而非正方體亦非扁方體
也
設如有一立方多四平方與二千三百零四尺相等
問每一根之數幾何
法列原積二千三百零四尺按立方法
作記於四尺上定單位二千尺上定十
位其二千尺爲初商積與十尺自乘再
[038-15b]
乘之數相準即定初商爲十尺書於原
[038-16a]
積二千尺之上而以初商十尺自乘再
乘之一千尺爲一立方積又以初商十
尺自乘之一百尺四因之得四百尺爲
多四平方之共積與立方積相加得一
千四百尺書於原積之下相減餘九百
零四尺爲次商積而以初商之十尺自
乘三因之得三百尺爲一立方廉又以
初商之十尺倍之得二十尺四因之得
[038-16b]
八十尺爲四平方廉與一立方廉相加
得三百八十尺爲次商廉法以除次商
積足二倍即定次商爲二尺書於原積
四尺之上合初商共十二尺自乘再乘
得一千七百二十八尺爲一立方積又
以十二尺自乘之一百四十四尺四因
之得五百七十六尺爲多四平方之共
積與立方積相加共得二千三百零四
尺書於原積之下相減恰盡是開得一
[038-16b]
十二尺爲每一根之數也此法以積計
[038-17a]
之爲一正方體及四平方之共數以邊
計之則所得每根之數即正方體之每
一邊亦即平方之每一邊因正方體之
外多四平方故成長方體而非正方體
也
設如有一立方少八平方與七千九百三十五尺相
等問每一根之數幾何
法列原積七千九百三十五尺按立方
[038-17b]
法作記於五尺上定單位七千尺上定
十位其七千尺爲初商積與十尺自乘
再乘之數相凖應商十尺而所帶平方
爲少號故取略大之數爲二十尺書於
原積七千尺之上而以初商二十尺自
乘再乘之八千尺爲一立方積又以初
商二十尺自乘之四百尺八因之得三
千二百尺爲少八平方之共積與立方
積相減餘四千八百尺書於原積之下
[038-17b]
相減餘三千一百三十五尺爲次商積
[038-18a]
而以初商之二十尺自乘三因之得一
千二百尺爲一立方廉又以初商之二
十尺倍之得四十尺八因之得三百二
十尺爲八平方廉與一立方廉相減餘
八百八十尺爲次商廉法以除次商積
足三倍即定次商爲三尺書於原積五
尺之上合初商共二十三尺自乘再乘
得一萬二千一百六十七尺爲一立方
[038-18b]
積又以二十三尺自乘之五百二十九
尺八因之得四千二百三十二尺爲少
八平方之共積與一立方積相減餘七
千九百三十五尺書於原積之下相減
恰盡是開得二十三尺爲每一根之數
也此法以積計之爲一正方體少八平
方之數以邊計之則所得每根之數即
正方體之每一邊亦即平方之每一邊
因正方體之内少八平方故成扁方體
[038-18b]
而非正方體也
[038-19a]
設如有一立方多十三平方多三十根與二萬七千
一百四十四尺相等問毎一根之數幾何
法列原積二萬七千一百四十四尺按
立方法作記於四尺上定單位七千尺
上定十位其二萬七千尺爲初商積與
三十自乘再乘之數相合應商三十尺
而所帶平方與根皆爲多號故取略小
之數爲二十尺書於原積七千尺之上
[038-19b]
而以初商二十尺自乘再乘之八千尺
爲一立方積又以初商二十尺自乘之
四百尺十三乘之得五千二百尺爲多
十三平方之共積又以初商之二十尺
三十乘之得六百尺爲多三十根之共
積三積立方平方與/根之三數相加得一萬三千
八百尺書於原積之下相減餘一萬三
千三百四十四尺爲次商積而以初商
之二十尺自乘三因之得一千二百尺
[038-19b]
爲一立方廉又以初商之二十尺倍之
[038-20a]
得四十尺以十三乘之得五百二十尺
爲十三平方廉與立方廉相加得一千
七百二十尺又加根數三十共一千七
百五十尺爲次商廉法以除次商積足
七倍因取略小之數爲六尺書於原積
四尺之上合初商共二十六尺自乘再
乘得一萬七千五百七十六尺爲一立
方積又以二十六尺自乘之六百七十
[038-20b]
六尺十三乘之得八千七百八十八尺
爲多十三平方之共積又以二十六尺
三十乘之得七百八十尺爲多三十根
之共積三積相加共二萬七千一百四
十四尺書於原積之下相減恰盡是開
得二十六尺爲毎一根之數也此法以
積計之爲一正方體及十三平方與三
十根之共數以邊計之則所得每根之
數即正方體之每一邊亦即平方之每
[038-20b]
一邊因正方體之外多十三平方又多
[038-21a]
三十根恰成長方體而非正方體亦非
磬折體也將所多之十三平方内十平/方附於正方體之一面又以
三平方加於正方體之又一面即成磬/折體而缺三十根之數如以三十根補
其缺即成長方體其寛即一根爲二十/六尺其長即一根多十尺爲三十六尺
其高即一根多三尺爲二十九尺也此/因所多之平方及根數適足長方體形
故爲長方體若平方與根數/不能補足者仍爲磬折體也
設如有一立方少七平方少八根與七千零八十四
尺相等問每一根之數幾何
[038-21b]
法列原積七千零八十四尺按立方法
作記於四尺上定單位七千尺上定十
位其七千尺爲初商積與十尺自乘再
乘之數相凖而所帶平方與根皆爲少
號故取略大之數爲二十尺書於原積
七千尺之上而以初商二十尺自乘再
乘之八千尺爲一立方積又以初商二
十尺自乘之四百尺七因之得二千八
百尺爲少七平方之共積又以初商之
[038-21b]
二十尺八因之得一百六十尺爲少八
[038-22a]
根之共積與少七平方共積相加得二
千九百六十尺以減立方積餘五千零
四十尺書於原積之下相減餘二千零
四十四尺爲次商積而以初商之二十
尺自乘三因之得一千二百尺爲一立
方廉又以初商之二十尺倍之得四十
尺七因之得二百八十尺爲七平方廉
與立方廉相減餘九百二十尺又減去
[038-22b]
根數八餘九百一十二尺爲次商廉法
以除次商積足二倍即定次商爲二尺
書於原積四尺之上合初商共二十二
尺自乘再乘得一萬零六百四十八尺
爲一立方積又以二十二尺自乘之四
百八十四尺七因之得三千三百八十
八尺爲少七平方之共積又以二十二
尺八因之得一百七十六尺爲少八根
之共積與少七平方共積相加得三千
[038-22b]
五百六十四尺以減立方積餘七千零
[038-23a]
八十四尺書於原積之下相減恰盡是
開得二十二尺爲每一根之數也此法
以積計之爲一正方體少七平方又少
八根之數以邊計之則所得每根之數
即正方體之毎一邊亦即平方之每一
邊因正方體之内少七平方又少八根
故成磬折體而非正方體也
設如有一立方多一平方少二十根與三萬三千一
[038-23b]
百五十二尺相等問每一根之數幾何
法列原積三萬三千一百五十二尺按
立方法作記於二尺上定單位三千尺
上定十位其三萬三千尺爲初商積與
三十自乘再乘之數相準即定初商爲
三十尺書於原積三千尺之上而以初
商三十尺自乘再乘之二萬七千尺爲
一立方積又以初商三十尺自乘之九
百尺爲多一平方積又以初商之三十
[038-23b]
尺二十乘之得六百尺爲少二十根之
[038-24a]
共積於立方積内加多一平方積得二
萬七千九百尺又減去少二十根之共
積餘二萬七千三百尺書於原積之下
相減餘五千八百五十二尺爲次商積
而以初商之三十尺自乘三因之得二
千七百尺爲一立方廉又以初商之三
十尺倍之得六十尺爲一平方廉與立
方廉相加得二千七百六十尺又減去
[038-24b]
根數二十餘二千七百四十尺爲次商
廉法以除次商積足二倍即定次商爲
二尺書於原積二尺之上合初商共三
十二尺自乘再乘得三萬二千七百六
十八尺爲一立方積又以三十二尺自
乘之一千零二十四尺爲多一平方積
又以三十二尺二十乘之得六百四十
尺爲少二十根之共積於一立方積内
加多一平方積得三萬三千七百九十
[038-24b]
二尺又減去少二十根之共積得三萬
[038-25a]
三千一百五十二尺書於原積之下相
減恰盡是開得三十二尺爲每一根之
數也此法以積計之爲一正方體多一
平方復少二十根之數以邊計之則所
得每根之數即正方體之每一邊亦即
平方之每一邊因正方體之外多一平
方又少二十根故成磬折體而非正方
體也
[038-25b]
設如有一立方少三平方多二根與一萬二千一百
四十四尺相等問每一根之數幾何
法列原積一萬二千一百四十四尺按
立方法作記於四尺上定單位二千尺
上定十位其一萬二千尺爲初商積與
二十自乘再乘之數相凖即定初商爲
二十尺書於原積二千尺之上而以初
商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立
方積又以初商二十尺自乘之四百尺
[038-25b]
三因之得一千二百尺爲少三平方之
[038-26a]
共積又以初商之二十尺二因之得四
十尺爲多二根之共積於立方積内減
去少三平方之共積餘六千八百尺又
加入多二根之共積得六千八百四十
尺書於原積之下相減餘五千三百零
四尺爲次商積而以初商之二十尺自
乘三因之得一千二百尺爲一立方廉
又以初商之二十尺倍之得四十尺三
[038-26b]
因之得一百二十尺爲三平方廉與立
方廉相減餘一千零八十尺又加入根
數二得一千零八十二尺爲次商廉法
以除次商積足四倍即定次商爲四尺
書於原積四尺之上合初商共二十四
尺自乘再乘得一萬三千八百二十四
尺爲一立方積又以二十四尺自乘之
五百七十六尺三因之得一千七百二
十八尺爲少三平方之共積又以二十
[038-26b]
四尺二因之得四十八尺爲多二根之
[038-27a]
共積於立方積内減去三平方之共積
餘一萬二千零九十六尺又加入多二
根之共積得一萬二千一百四十四尺
書於原積之下相減恰盡是開得二十
四尺爲毎一根之數也此法以積計之
爲一正方體少三平方復多二根之數
以邊計之則所得每根之數即正方體
之每一邊亦即平方之每一邊因正方
[038-27b]
體之内少三平方又多二根故成磬折
體而非正方體也
設如有四十平方少一立方與五千六百二十五尺
相等問每一根之數幾何
法以四十平方少一立方與五千六百
二十五尺俱以四十除之得一平方少
四十分立方之一與一百四十尺六十
二寸五十分相等乃列一百四十尺六
十二寸五十分爲歸除所得之積按平
[038-27b]
方法作記於空尺上定單位一百尺上
[038-28a]
定十位其一百尺爲初商積與十尺自
乘之數相合即定初商爲十尺書於所
得積一百尺之上而以初商十尺自乘
之一百尺爲一平方積再乘得一千尺
爲一立方積以四十除之得二十五尺
爲少四十分立方之一之積與一平方
積相減餘七十五尺書於所得積之下
相減餘六十五尺六十二寸五十分爲
[038-28b]
次商積而以初商之一十尺倍之得二
十尺爲一平方廉又以初商之十尺自
乘三因之得三百尺爲一立方廉以四
十除之得七尺五寸爲四十分立方之
一之廉與平方廉相減餘十二尺五寸
爲次商廉法以除次商積足五倍即定
次商爲五尺書於所得積空尺之上合
初商共十五尺自乘得二百二十五尺
爲一平方積再乘得三千三百七十五
[038-28b]
尺爲一立方積以四十除之得八十四
[038-29a]
尺三十七寸五十分爲四十分立方之
一之積與一平方積相減餘一百四十
尺六十二寸五十分書於所得積之下
相減恰盡乃以一平方積與四十相乘
得九千尺爲四十平方積内減去一立
方積餘五千六百二十五尺與原積相
合是開得一十五尺爲每一根之數也
此法以積計之爲四十平方少一正方
[038-29b]
體之數以邊計之則所得每根之數即
平方之每一邊亦即正方體之每一邊
因四十平方内少十五平方之一正方
體每邊爲十五尺故十五/平方爲一正方體也餘二十五平
方爲長方體其寛即一根爲十五尺其/高亦十五尺其長爲二十
五尺/也而非正方體也
設如有五百平方少一立方與二十七萬四千一百
七十六尺相等問每一根之數幾何
法以五百平方少一立方與二十七萬
[038-29b]
四千一百七十六尺俱以五百除之得
[038-30a]
一平方少五百分立方之一與五百四
十八尺三十五寸二十分相等乃列五
百四十八尺三十五寸二十分爲歸除
所得之積按平方法作記於八尺上定
單位五百尺上定十位其五百尺爲初
商積與二十自乘之數相準即定初商
爲二十尺書於所得積五百尺之上而
以初商二十尺自乘之四百尺爲一平
[038-30b]
方積再乘得八千尺爲一立方積以五
百除之得十六尺爲少五百分立方之
一之積與平方積相減餘三百八十四
尺書於所得積之下相減餘一百六十
四尺三十五寸二十分爲次商積而以
初商之二十尺倍之得四十尺爲一平
方廉又以初商之二十尺自乘三因之
得一千二百尺爲一立方廉以五百除
之得二尺四寸爲五百分立方之一之
[038-30b]
廉與平方廉相減得三十七尺六寸爲
[038-31a]
次商廉法以除次商積足四倍即定次
商爲四尺書於所得積八尺之上合初
商共二十四尺自乘得五百七十六尺
爲一平方積再乘得一萬三千八百二
十四尺爲一立方積以五百除之得二
十七尺六十四寸八十分爲少五百分
立方之一之積與平方積相減餘五百
四十八尺三十五寸二十分書於所得
[038-31b]
積之下相減恰盡乃以一平方積與五
百相乘得二十八萬八千尺爲五百平
方積内減去一立方積餘二十七萬四
千一百七十六尺與原積相合是開得
二十四尺爲每一根之數也此法以積
計之爲五百平方少一正方體以邊計
之則所得每根之數即平方之每一邊
亦即正方體之每一邊因五百平方内
少二十四平方之一正方體每邊爲二/十四尺故
[038-31b]
二十四平方即/一正方體也餘四百七十六平方爲
[038-32a]
長方體其寛即一根爲二十四尺其高/亦爲二十四尺其長爲四百七
十六/尺也而非正方體也
設如有一三乘方多二平方與二萬一千零二十四
尺相等問每一根之數幾何
法列原積二萬一千零二十四尺按三
乘方法作記於四尺上定單位二萬尺
上定十位其二萬尺爲初商積與十尺
乘三次之數相準即定初商爲十尺書
[038-32b]
於原積二萬尺之上而以初商十尺乘
三次之一萬尺爲一三乘方積又以初
商十尺自乘之一百尺二因之得二百
尺爲多二平方之共積與三乘方積相
加得一萬零二百尺書於原積之下相
減餘一萬零八百二十四尺爲次商積
而以初商之十尺再乘四因之得四千
尺爲三乘方廉又以初商之十尺倍之
得二十尺二因之得四十尺爲多二平
[038-32b]
方之廉與三乘方廉相加得四千零四
[038-33a]
十尺爲次商廉法以除次商積足二倍
即定次商爲二尺書於原積四尺之上
合初商共十二尺乘三次得二萬零七
百三十六尺爲一三乘方積又以十二
尺自乘之一百四十四尺二因之得二
百八十八尺爲多二平方之共積與三
乘方積相加得二萬一千零二十四尺
書於原積之下相減恰盡是開得一十
[038-33b]
二尺爲每一根之數也
又法用帶縱平方及平方兩次開之將
原積二萬一千零二十四尺爲長方積
以多二平方作二尺爲縱多折半得一
尺爲半較自乘仍得一尺與積相加得
二萬一千零二十五尺開平方得一百
四十五尺爲半和内減半較一尺凡多/平方
者即減半較如少/平方者則加半較餘一百四十四尺爲
正方積復開平方得十二尺即每一根
[038-33b]
之數也葢三乘方多平方與方根自乘
[038-34a]
爲闊加多平方數爲長所作之長方積
等故用帶縱較數開平方法開之得數
復開平方即得每一根之數也
設如有一千平方少一三乘方與一十二萬三千二
百六十四尺相等問每一根之數幾何
法以一千平方少一三乘方與一十二
萬三千二百六十四尺俱以一千除之
得一平方少一千分三乘方之一與一
[038-34b]
百二十三尺二十六寸四十分相等乃
列一百二十三尺二十六寸四十分爲
歸除所得之積按平方法作記於三尺
上定單位一百尺上定十位其一百尺
爲初商積與十尺自乘之數相合即定
初商爲十尺書於所得積一百尺之上
而以初商十尺自乘之一百尺爲一平
方積又以初商之十尺乘三次得一萬
尺爲一三乘方積以一千除之得一十
[038-34b]
尺爲千分三乘方之一之積與一平方
[038-35a]
積相減餘九十尺書於所得積之下相
減餘三十三尺二十六寸四十分爲次
商積而以初商之十尺倍之得二十尺
爲一平方廉又以初商之十尺自乘再
乘四因之得四千尺爲一三乘方廉以
一千除之得四尺爲千分三乘方之一
之廉與平方廉相減餘一十六尺爲次
商廉法以除次商積足二倍即定次商
[038-35b]
爲二尺書於所得積三尺之上合初商
共十二尺自乘得一百四十四尺爲一
平方積又以十二尺乘三次得二萬零
七百三十六尺爲一三乘方積以一千
除之得二十尺零七十三寸六十分與
一平方積相減餘一百二十三尺二十
六寸四十分書於所得積之下相減恰
盡乃以一平方積與一千相乘得一十
四萬四千尺爲一千平方積内減去一
[038-35b]
三乘方積餘一十二萬三千二百六十
[038-36a]
四尺與原積相合是開得一十二尺爲
每一根之數也
又法用帶縱平方及平方兩次開之將
原積一十二萬三千二百六十四尺爲
長方積以一千平方作一千尺爲和折
半得五百尺爲半和自乘得二十五萬
尺與積相減餘十二萬六千七百三十
六尺開平方得三百五十六尺爲半較
[038-36b]
與半和相減餘一百四十四尺爲正方
積復開平方得一十二尺即每一根之
數也葢平方少三乘方與方根自乘爲
闊與平方數相減爲長所作之長方積
等故用帶縱和數開平方法開之得數
復開平方即得每一根之數也
設如有一四乘方多二立方與七百九十九萬零二
百七十二尺相等問每一根之數幾何
法列原積七百九十九萬零二百七十
[038-36b]
二尺按四乘方法作記於二尺上定單
[038-37a]
位九十萬尺上定十位其七百九十萬
尺爲初商積與二十乘四次之數相準
即定初商爲二十尺書於原積九十萬
尺之上而以初商二十尺乘四次之三
百二十萬尺爲一四乘方積又以初商
二十尺自乘再乘之八千尺二因之得
一萬六千尺爲多二立方之共積與四
乘方積相加得三百二十一萬六千尺
[038-37b]
書於原積之下相減餘四百七十七萬
四千二百七十二尺爲次商積而以初
商之二十尺乘三次五因之得八十萬
尺爲一四乘方廉又以初商之二十尺
自乘三因之得一千二百尺又二因之
得二千四百尺爲多二立方之廉與四
乘方廉相加得八十萬零二千四百尺
爲次商廉法以除次商積足五倍因取
略小之數爲四尺書於原積二尺之上
[038-37b]
合初商共二十四尺乘四次得七百九
[038-38a]
十六萬二千六百二十四尺爲一四乘
方積又以二十四尺自乘再乘之一萬
三千八百二十四尺二因之得二萬七
千六百四十八尺爲多二立方之共積
與四乘方積相加得七百九十九萬零
二百七十二尺書於原積之下相減恰
盡是開得二十四尺爲每一根之數也
葢四乘方多立方之數不與平方立方
[038-38b]
之數相合故不能以平方立方之法開
也
設如有二千立方少一四乘方與一千九百六十八
萬五千三百七十六尺相等問每一根之數幾何
法以二千立方少一四乘方與一千九
百六十八萬五千三百七十六尺俱以
二千除之得一立方少二千分四乘方
之一與九千八百四十二尺六百八十
八寸相等乃列九千八百四十二尺六
[038-38b]
百八十八寸爲歸除所得之積按立方
[038-39a]
法作記於二尺上定單位九千尺上定
十位其九千尺爲初商積與二十自乘
再乘之數相準即定初商爲二十尺書
於所得積九千尺之上而以初商二十
尺自乘再乘之八千尺爲一立方積又
以初商之二十尺乘四次得三百二十
萬尺爲一四乘方積以二千除之得一
千六百尺爲二千分四乘方之一之積
[038-39b]
與一立方積相減餘六千四百尺書於
所得積之下相減餘三千四百四十二
尺六百八十八寸爲次商積而以初商
之二十尺自乘三因之得一千二百尺
爲一立方廉又以初商之二十尺乘三
次五因之得八十萬尺爲一四乘方廉
以二千除之得四百尺爲二千分四乘
方之一之廉與立方廉相減餘八百尺
爲次商廉法以除次商積足四倍即定
[038-39b]
次商爲四尺書於所得積二尺之上合
[038-40a]
初商共二十四尺自乘再乘得一萬三
千八百二十四尺爲一立方積又以二
十四尺乘四次得七百九十六萬二千
六百二十四尺爲一四乘方積以二千
除之得三千九百八十一尺三百一十
二寸與一立方積相減餘九千八百四
十二尺六百八十八寸書於所得積之
下相減恰盡乃以一立方積與二千相
[038-40b]
乘得二千七百六十四萬八千尺爲二
千立方積内減去一四乘方積餘一千
九百六十八萬五千三百七十六尺與
原積相合是開得二十四尺爲每一根
之數也葢立方少四乘方之數亦不與
平方立方之數相合故不能以平方立
方之法開也
設如有一五乘方多四立方與一億一千三百四十
二萬二千四百九十六尺相等問每一根之數幾
[038-40b]
何
[038-41a]
法列原積一億一千三百四十二萬二
千四百九十六尺按五乘方法作記於
六尺上定單位三百萬尺上定十位其
一億一千三百萬尺爲初商積與二十
乘五次之數相準即定初商爲二十尺
書於原積三百萬尺之上而以初商二
十尺乘五次之六千四百萬尺爲一五
乘方積又以初商二十尺自乘再乘之
[038-41b]
八千尺四因之得三萬二千尺爲多四
立方之共積與五乘方積相加得六千
四百零三萬二千尺書於原積之下相
減餘四千九百三十九萬零四百九十
六尺爲次商積而以初商之二十尺乘
四次六因之得一千九百二十萬尺爲
一五乘方廉又以初商之二十尺自乘
二因之得一千二百尺又四因之得四
千八百尺爲四立方之廉與五乘方廉
[038-41b]
相加得一千九百二十萬零四千八百
[038-42a]
尺爲次商廉法以除次商積足二倍即
定次商爲二尺書於原積六尺之上合
初商共二十二尺乘五次得一億一千
三百三十七萬九千九百零四尺爲一
五乘方積又以二十二尺自乘再乘之
一萬零六百四十八尺四因之得四萬
二千五百九十二尺爲多四立方之共
積與五乘方積相加得一億一千三百
[038-42b]
四十二萬二千四百九十六尺書於原
積之下相減恰盡是開得二十二尺爲
每一根之數也
又法用帶縱平方及立方開之將原積
一億一千三百四十二萬二千四百九
十六尺爲長方積以多四立方作四尺
爲縱多折半得二尺自乘得四尺與積
相加得一億一千三百四十二萬二千
五百尺開平方得一萬零六百五十尺
[038-42b]
爲半和内減半較二尺因立方爲多號/故減半較若立
[038-43a]
方爲少號/即加半較得一萬零六百四十八尺爲
立方積開立方得二十二尺即每一根
之數也葢五乘方多立方與方根自乘
再乘爲闊加多立方數爲長所作之長
方積等故用帶縱較數開平方法開之
得數復開立方即得每一根之數也
設如有一萬立方少一五乘方與一千一百五十三
萬八千四百三十九尺相等問每一根之數幾何
[038-43b]
法以一萬立方少一五乘方與一千一
百五十三萬八千四百三十九尺俱以
一萬除之得一立方少一萬分五乘方
之一與一千一百五十三尺八百四十
三寸九百分相等乃列一千一百五十
三尺八百四十三寸九百分爲歸除所
得之積按立方法作記於三尺上定單
位一千尺上定十位其一千尺爲初商
積與十尺自乘再乘之數相合即定初
[038-43b]
商爲十尺書於所得積一千尺之上而
[038-44a]
以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一
立方積又以初商十尺乘五次得一百
萬尺爲一五乘方積以一萬除之得一
百尺爲一萬分五乘方之一之積與立
方積相減餘九百尺書於所得積之下
相減餘二百五十三尺八百四十三寸
九百分爲次商積而以初商之十尺自
乘三因之得三百尺爲一立方廉又以
[038-44b]
初商之十尺乘四次六因之得六十萬
尺爲一五乘方廉以一萬除之得六十
尺爲一萬分五乘方之一之廉與立方
廉相減餘二百四十尺爲次商廉法以
除次商積足一倍即定次商爲一尺書
於所得積三尺之上合初商共十一尺
自乘再乘得一千三百三十一尺爲一
立方積又以十一尺乘五次得一百七
十七萬一千五百六十一尺爲一五乘
[038-44b]
方積以一萬除之得一百七十七尺一
[038-45a]
百五十六寸一百分爲一萬分五乘方
之一之積與立方積相減餘一千一百
五十三尺八百四十三寸九百分書於
所得積之下相減恰盡乃以一立方積
與一萬相乘得一千三百三十一萬尺
爲一萬立方積内減去一五乘方積餘
一千一百五十三萬八千四百三十九
尺與原積相合是開得一十一尺爲每
[038-45b]
一根之數也
又法用帶縱平方及立方開之將原積
一千一百五十三萬八千四百三十九
尺爲長方積以一萬立方作一萬尺爲
和折半得五千尺爲半和自乘得二千
五百萬尺與積相減餘一千三百四十
六萬一千五百六十一尺開平方得三
千六百六十九尺爲半較與半和相減
餘一千三百三十一尺爲立方積開立
[038-45b]
方得一十一尺即每一根之數也葢立
[038-46a]
方少五乘方與方根自乘再乘爲闊與
立方數相減爲長所作之長方積等故
用帶縱和數開平方法開之得數復開
立方即得每一根之數也
[038-46b]
[038-46b]
御製數理精藴下編卷三十三
