[010-1a] 
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷五
線部三
按數加减比例遞加遞减差分/互□□平差分 超位加减差分/首尾互凖差分
[010-2a]
按數加減比例
差分之内又有按數遞加遞減或互和折半者皆為
相當比例其法有四一曰遞加遞減差分蓋所加所
減之中遞次數目皆同者也一曰超位加減差分乃
加減之中彼此分數不同者也一曰互和折半差分
蓋立法以首尾二數之較互和折半以求中數而遞
加遞減者也一曰首尾互準差分乃以前幾分之數
與後幾分之數互相比較或以前幾分與後幾分定
[010-2b]
為同數以立準則然後立衰數以求之者也然超位
加減即遞加遞减之一類也首尾互凖又為互和折
半之變體也
遞加者其數自少而多以漸而加也遞減者其數自
多而少以漸而減也加減之數遞次皆同故以遞次
名之法中有三色者以總法比總實即得中一數凡
單位者俱按此例如五色七色九色之類是也有四
色者以總法比總實得中二數相和折半之數凡雙
位者皆按此例如六色八色十色之類是也既得中
[010-2b]
數按定數加減則各色之數可得矣
[010-3a]
超位加減者加減之中遞次分數不同即如三人分
銀若干一得三分一得五分一得八分而彼此分數
之比例不同又如三人買物第一人比第二人多出
二倍第二人比第三人又多出一倍而加倍之比例
不同故謂之超位加減然立衰分求之與遞次加減
無異故次於遞次加減之後
互和折半者亦如遞次加減之理但用法㣲異遞次
加減知總物數知總人數併知遞加遞減之數以求
[010-3b]
各數互和折半則亦知總物數總人數但知首一人
比末一人之較數而求遞加遞減之數以得各數是
以三色者第一數第三數相和折半即第二數四色
者第一數第四數相和折半即第二數第三數之中
數既得中數按較數之分加減之即得遞加之數五
色六色以至多位者止分竒偶立法總以三四為例
俱可以相和折半而得故名之曰互和折半也
首尾互準者即互和折半之變體蓋互和折半知總
物數知總人數又知首一人比末一人之較數因此
[010-3b]
較數而得各人分數首尾互準則不知總物數但知
[010-4a]
總人數與首尾二人各分數或但知首尾幾位共分
數由此互相準折而得各項分數與總數要之但以
互和折半之法逆推之而即得故次於互和折半之
後焉
遞加遞減差分
設如有金六十兩令甲乙丙三人依次遞加五兩分
之問各得幾何
法以三人為一率金六十兩為二率一
[010-4b]
人為三率推得四率二十兩即乙應得
之數自乙數加五兩得二十五兩即丙
應得之數自乙數減五兩得十五兩即
甲應得之數也此法因甲丙二人所得
較之乙所得加減之數皆同故以總三
人與總六十兩之比即若中一人與中
一分二十兩之比也
設如有鉛三百五十斤欲作四球依次遞加二十五
斤問每球重數若干
[010-4b]
法以四球為一率鉛三百五十斤為二
[010-5a]
率一球為三率推得四率八十七斤半
即第二球第三球相和折半之數乃以
遞加二十五斤折半得十二斤半與八
十七斤半相加得一百斤即第三球之
重與八十七斤半相減餘七十五斤即
第二球之重於第三球重數内再加二
十五斤得一百二十五斤即第四球之
重於第二球重數内再減二十五斤餘
[010-5b]
五十斤即第一球之重也此法比例所
得八十七斤半較之第二球多十二斤
半較之第三球則少十二斤半故為二
球相和折半之數以遞加二十五斤之
數折半加減之即得中二球之重再以
二十五斤加減之即得第一與第四球
之重也
設如有金七十五斤分與公侯伯子男五等自男以
上遞加五斤問各該幾何
[010-5b]
法以五人為一率金七十五斤為二率
[010-6a]
一人爲三率推得四率十五斤即伯所
得之數自伯十五斤而上加五斤得二
十斤即侯所得之數再加五斤得二十
五斤即公所得之數自伯十五斤而下
減五斤餘十斤即子所得之數再減五
斤餘五斤即男所得之數也
設如有俸糧三百零五石令五等官依品級遞減十
三石給之問各得若干
[010-6b]
法以五分為一率即五等官/五分也糧三百零
五石為二率一分為三率推得四率六
十一石即三等官俸自六十一石遞加
十三石得二等七十四石一等八十七
石自六十一石遞減十三石得四等四
十八石五等三十五石也
設如有銀九百九十六錠分給八人自末名以上依
次遞加十七錠問首末兩人各該幾何
法以八人為一率銀九百九十六錠為
[010-6b]
二率一人為三率推得四率一百二十
[010-7a]
四錠半為第四人第五人相和折半之
數乃以遞加十七錠折半得八錠半與
一百二十四錠半相加得一百三十三
錠即第四人應得之數再以十七錠遞
加三次得一百八十四錠即第一人應
得之數以八錠半與一百二十四錠半
相減餘一百一十六錠即第五人應得
之數再以十七錠遞減三次餘六十五
[010-7b]
錠即第八人應得之數也
設如一人有九子不明説出各人歲數但云共有二
百零七歲自長至少皆遞差三嵗問各歲幾何
法以九分為一率即以九子/為九分也二百零七
歲為二率一分為三率推得四率二十
三歲即第五子之年自二十三嵗遞加
三歲得四子二十六嵗三子二十九歳
二子三十二歲長子三十五歲自二十
三歲遞減三嵗得六子二十歲七子十
[010-7b]
七嵗八子十四歲九子十一歲也
[010-8a]
設如有敘功之二十人其末一人賞銀一百兩以上
遞加三十兩問第一人賞銀幾何共賞銀幾何
法以一分為一率遞加三十兩為二率
十九分為三率推得四率五百七十兩
即第一人比末一人共多之數於此數
内加入末名之一百兩共六百七十兩
即第一人應得之數以第一人所得之
數與末一人所得之數併之共七百七
[010-8b]
十兩復以二十人乘之得一萬五千四
百兩折半得七千七百兩即二十人共
得之銀數也此法蓋以第一人比第二
十人共多十九個三十兩故以一分與
遞加之三十兩相比即如十九分與第
一人共多於第二十人之五百七十兩
相比也既得十九分共多之數再加入
末一人之一百兩即得第一人應得之
數矣又首末二數相併以人數二十乘
[010-8b]
之折半得其銀數者蓋以遞加之數彼
[010-9a]
此均同首一人得數至多末一人得數
至少首末二人之數相併折半即為中
數以中數乘人數而得共數今首末二
人之數相併而末折半即用人數乗之
故所得之數為應得共數之加倍數是
以半之而始得共銀數也
設如有牛四十區但云第一區是三十頭餘遞加二
十頭問第四十區該幾何總數幾何
[010-9b]
法以一分為一率遞加二十頭為二率
三十九分為三率推得四率七百八十
加入第一區之三十共八百一十頭即
第四十區之數以首末二區數相併共
八百四十頭用四十區乗之得三萬三
千六百頭折半得一萬六千八百頭即
四十區之總數也此法第二區比第一
區加二十由此遞加則第四十區比第
一區共多三十九個二十故以一分與
[010-9b]
二十頭相比即如三十九分與第四十
[010-10a]
區共多於第一區之七百八十頭相比
也再加入第一區之三十頭即第四十
區之數繼而併首末兩數以總區數四
十乗之折半即得共數也
設如有人一百名第一人賞銀一百兩以下遞減五
錢問共該銀幾何
法以一分為一率遞減五錢為二率九
十九分為三率推得四率四十九兩五
[010-10b]
錢即第一名多於第一百名之數於一
百兩内減之餘五十兩零五錢即第一
百名應賞之數又與第一名賞銀相併
得一百五十兩零五錢以一百名乗之
得一萬五千零五十兩折半得七千五
百二十五兩即共賞銀數也蓋賞銀遞
減五錢則第一名比第一百名多九十
九個五錢故以一分與五錢相比即如
九十九分與第一名總多於第一百名
[010-10b]
之數相比也爰以首尾兩數相併以名
[010-11a]
數一百乗之折半而得總銀數也
設如一人染絹初日染八尺日加一尺加至六十尺
止問日與絹各幾何
法以初日之八尺與末日之六十尺相
加得六十八尺為首尾兩日共染之絹
數又看八尺以前遞減至一尺有幾分
今有七分即為七尺乃於末日之六十
尺減去七尺餘五十三尺即為共日五
[010-11b]
十三日乃以二日為一率六十八尺為
二率五十三日為三率推得四率一千
八百零二尺即五十三日共染之絹數
也此法以二日為一率者取其首末相
合之共日為準也以初日末日之尺數
相併為二率者取其首末尺數相合與
首末兩日為比也以八尺遞減至一尺
而得日數為三率者蓋以初日之八尺
上數至一尺得數必為七分即爲七尺
[010-11b]
理與一面/尖堆法同而今有之末日六十尺内減
[010-12a]
去七尺餘五十三尺即為五十三日故
二日與首末相合之尺數相比即如共
日五十三日與共絹之尺數相比也
設如一人行路日増六里共行三百二十里但知初
末兩日所行共一百六十里問共行幾日及初日
末日各行幾里
法以初末兩日行數一百六十里折半
得八十里乃共日之中數為一率一日
[010-12b]
為二率共行三百二十里為三率推得
四率四日即共行日數也又以日増六
里折半得三里與六里相併得九里加
於中數八十里得八十九里即第四日
所行之數減於中數八十里餘七十一
里即第一日所行之數也此法以第四
日第一日行數相併折半者為得四日
之中數既得四日之中數與一日之比
即如共數與四日之比也又以日増之
[010-12b]
數折半而與日増之數相併加於中數
[010-13a]
而得末日所行之數減於中數而得初
日所行之數者其所得之中數在第二
日第三日之間故此中數内加日増數
之半即得第三日所行之數減日増數
之半即得第二日所行之數故再加日
増數之全而得末日所行之數再減日
増數之全而得初日所行之數也
設如一人織布厯十三日共織一千三百五十二寸
[010-13b]
因日漸長每日加功六寸至末日比初日多織七
十二寸問初末二日各織幾何
法以十三日為一率共織數一千三百
五十二寸為二率一日為三率推得四
率一百零四寸乃初末二日之中數為
第七日所織之數以第七日上計初日
下計末日俱得六分於是以六分與日
加六寸相乗得三十六寸乃以三十六
寸於第七日之一百零四寸内減之得
[010-13b]
六十八寸即初日所織之數於第七日
[010-14a]
之一百零四寸上加之得一百四十寸
即末日所織之數也此法雖求初末兩
日之數然以十三日與總織數之比即
一日與初末兩日中數之比既得中數
按分加之何所不得此又遞次加減法
中之又一例也
設如有田七百二十畝令甲乙丙三戸依次遞減分
耕問各該幾何
[010-14b]
法以三分為甲衰數二分為乙衰數一
分為丙衰數相併得六分為一率總田
七百二十畝為二率一分為三率推得
四率一百二十畝為一分即丙所耕之
數以二分因之得二百四十畝即乙所
耕之數以三分因之得三百六十畝即
甲所耕之數也此法併總衰分為一率
總田數為二率者是將總衰分比總田
數故六分得七百二十畝而一分得一
[010-14b]
百二十畝也六分中甲得三分乙得二
[010-15a]
分丙得一分自甲遞次至乙至丙皆減
一百二十畝故為遞減也凡命法中不
定所減分數者即以此法為例
設如有銀九十二兩令伯仲叔季四人遞減分之問
各得幾何
法以四分為伯衰數三分為仲衰數二
分為叔衰數一分為季衰數相併得十
分為一率總銀九十二兩為二率一分
[010-15b]
為三率推得四率九兩二錢即季所得
之數以二分因之得一十八兩四錢即
叔所得之數以三分因之得二十七兩
六錢即仲所得之數以四分因之得三
十六兩八錢即伯所得之數也此法以
十分比總銀即如總銀分為十分也是
以十分中伯得四分仲得三分叔得二
分季得一分自伯遞次至季皆減一分
故謂之遞減差分也
[010-15b]
設如有金一十二兩六錢欲挨次遞減造套杯六個
[010-16a]
問各重若干
法以六五四三二一為六杯衰分併之
得二十一分為一率共金數一十二兩
六錢為二率一分為三率推得四率六
錢即第六杯之重以二分因之得一兩
二錢即第五杯之重以三分因之得一
兩八錢即第四杯之重以四分因之得
二兩四錢即第三杯之重以五分因之
[010-16b]
得三兩即第二杯之重以六分因之得
三兩六錢即第一杯之重也此法以總
分比總銀即如以一分比末一杯之重
也以上遞加一分即各杯之重矣
設如有糧一千一百三十四石令五等戸遞減納之
一等二十四戸二等三十三户三等四十二戸四
等五十一户五等六十户問各等每戸應納若干
法以五四三二一為五等衰分以五分
因一等户二十四得一百二十分以四
[010-16b]
分因二等戸三十三得一百三十二分
[010-17a]
以三分因三等户四十二得一百二十
六分以二分因四等戸五十一得一百
零二分以一分因五等户六十仍得六
十分總併之得五百四十分為一率總
糧一千一百三十四石為二率一分為
三率推得四率二石一斗即五等每户
所納之數以二分因之得四石二斗即
四等每户所納之數以三分因之得六
[010-17b]
石三斗即三等每户所納之數以四因
之得八石四斗即二等每戸所納之數
以五因之得十石五斗即一等每戸所
納之數也
超位加減差分
設如甲丙丁三人買房一所共價八百一十兩丙比
甲出銀加一倍丁比甲丙共出銀又加一倍問每
人各出幾何
法以一分為甲衰數加一倍得二分為
[010-17b]
丙衰數又以甲一分丙二分相併為三
[010-18a]
分復加一倍得六分為丁衰數相併得
九分為一率總銀八百一十兩為二率
以甲一分為三率得四率九十兩即甲
所出銀數加一倍得一百八十兩即丙
所出銀數將甲丙共銀復加一倍得五
百四十兩即丁所出銀數也此法以一
分為甲數加一倍為丙數者因丙比甲
銀多一倍也又共甲丙兩數加一倍為
[010-18b]
丁數者因丁比甲丙共銀又多一倍也
故以所命各人分數相併得共分數以
此共分數比共銀數即如各人分數比
各人所出銀數也
設如有銀五千兩買馬四匹園一區宅一所其園價
比馬價多三倍而宅價比園價又多四倍問各價
幾何
法以一分為馬衰數加三倍為三/分得四
分為園衰數又將園四分加四倍為十/六分
[010-18b]
得二十分為宅衰數相併得二十五分
[010-19a]
為一率總價五千兩為二率馬一分為
三率推得四率二百兩即馬四匹之價
馬每匹價/五十兩加三分六百兩得八百兩即
園一區之價再將園價加四分三千二
百兩得四千兩即宅一所之價也此法
將馬為一分而加三分為園價者因園
價比馬價多三倍也又將園價為一分
而加四分為宅價者因宅價比園價又
[010-19b]
多四倍也是以共分之比共價即如馬
四匹之一分比各色每一分之價也
設如有糧七百六十石以船三次運之第一次運十
分二次運七分三次運二分問每次運糧幾何
法以十分七分二分相併得十九分為
一率共糧七百六十石為二率十分為
三率得四率四百石即第一次所運之
數如以七分為三率得四率二百八十
石即第二次所運之數如以二分為三
[010-19b]
率得四率八十石即第三次所運之數
[010-20a]
也此法第一次之十分二次之七分三
次之二分即三次之衰數分數已明故
即以運分作衰分也
設如有銅一百八十兩依次遞減造三等儀器上等
比中等加二倍中等比下等加一倍問三等儀器
各得銅幾何
法以一分為下等衰數二分為中等衰
數二分加二倍得六分為上等衰數併
[010-20b]
之得九分為一率共銅一百八十兩為
二率下等之一分為三率推得四率二
十兩即下等儀器之重加一倍得四十
兩即中等儀器之重又加二倍得一百
二十兩即上等儀器之重也此法命一
分為下等數故加倍為中等數而得二
分復以二分加二倍為上等數故上等
數又為六分也
設如有銀七十兩買駱駝馬驢各一匹而價之多少
[010-20b]
不等但知馬比駝價為九分之四驢比駝價為九
[010-21a]
分之一問各價幾何
法以一分為驢衰數四分為馬衰數九
分為駝衰數併之得十四分為一率銀
七十兩為二率驢一分為三率推得四
率五兩即驢一匹之價以四分因之得
二十兩即馬一匹之價以九分因之得
四十五兩即駝一匹之價此法因駝價
為九分故即以九為衰數且兩分母俱
[010-21b]
同為九分而馬居九分之四故即以四
為馬分驢居九分之一故即以一為驢
分也既得驢價取其四分即馬價取其
九分即駝價也
設如一人為商三次初次獲利比原銀多二倍二次
獲利比初次本利共銀多四倍三次獲利比二次
本利共銀又多三倍共計獲利併原銀得九百兩
問原銀幾何
法以一分為初商原銀衰數加二倍得
[010-21b]
三分為初次本利共分又比三分加四
[010-22a]
倍得十五分為二次本利共分又比十
五分加三倍得六十分為三次本利共
分即以此六十分為一率三次本利共
銀九百兩為二率一分為三率推得四
率一十五兩即原銀數也此法初次加
二倍是原銀之外加二倍也又加四倍
是比初次本利共銀之外又加四倍也
又加三倍是比二次本利共銀之外又
[010-22b]
加三倍也故以總分比總銀即如一分
之比原銀也
設如有米二十四石分與四人甲四分乙五分丙七
分丁九分問各該幾何
法以甲之四分乙之五分丙之七分丁
之九分相併得二十五分為一率共米
二十四石為二率一分為三率推得四
率九斗六升乃每一分之數以甲四分
因之即得甲之三石八斗四升以乙五
[010-22b]
分因之即得乙之四石八斗以丙七分
[010-23a]
因之即得丙之六石七斗二升以丁九
分因之即得丁之八石六斗四升也此
法以一分為三率故得每人一分之數
如以各人分數各為三率即得各人之
全分矣
設如有銀九十二兩賞二十人分上中下三等上等
四人中等六人下等十人其中等比下等賞加一
倍上等比中等賞加二倍問各等每人得賞幾何
[010-23b]
法以一分為下等衰數乗下等十人得
十分又將一分加一倍得二分為中等
衰數乗中等六人得十二分又將二分
加二倍得六分為上等衰數乗上等四
人得二十四分乃以十分十二分二十
四分相併得四十六分為一率總銀九
十二兩為二率下等一分為三率推得
四率二兩即下等每人應得之數將二
兩加一倍得四兩即中等每人應得之
[010-23b]
數將四兩再加二倍得十二兩即上等
[010-24a]
每人應得之數復以各等人數乗各等
每人應得之數即得上等四人共得四
十八兩中等六人共得二十四兩下等
十人共得二十兩也此法以下等一分
為三率故得下等每人一分之數按分
倍加而得中等上等如以各等衆人分
數各為三率即得各等之共數矣
設如有米五百三十五石賞與三等人第一等二十
[010-24b]
名第二等五十名第三等一百一十名一等比二
等每名加七斗二等比三等每名加五斗問三等
每名各得幾何
法以二等比三等每名多五斗與二等
五十名相乗得二百五十斗又以一等
比二等每名多七斗與二等比三等每
名多五斗相加得十二斗與一等二十
名相乗得二百四十斗兩數相併得四
百九十斗乃於總米五百三十五石内
[010-24b]
減之餘四百八十六石乃以一等二十
[010-25a]
人二等五十人三等一百一十人相併
得一百八十人為一率四百八十六石
為二率一人為三率推得四率二石七
斗即三等毎一人應得之數加五斗得
三石二斗即二等毎一人應得之數再
加七斗得三石九斗即一等每一人應
得之數也此法以二等比三等毎名多
五斗與二等五十人相乗者是求二等
[010-25b]
比三等共多之數又以一等比二等毎
名多七斗併二等比三等毎名多五斗
與一等二十人相乗者是求一等比三
等共多之數也既得一等二等共多於
三等之數於總數内減之所餘即三等
相併共一百八十人均分之數故以一
百八十人比總米四百八十六石即第
三等每一人之比二石七斗也由此加
五斗即得第二等每一人所得之數於
[010-25b]
第二等每一人數内再加七斗即得第
[010-26a]
一等每一人所得之數矣
互和折半差分
設如有米一百八十石令甲乙丙三人互和折半分
之但知甲多丙三十六石問各該若干
法以三人為一率總米一百八十石為
二率一人為三率推得四率六十石即
乙應得之數次以甲多丙三十六石二
分之毎分得一十八石於乙數内加之
[010-26b]
得七十八石即甲應得之數於乙數内
減之得四十二石即丙應得之數也此
法蓋以三人共得之數比一人所得之
數其一人所得之數即中一人應得之
數甲多乙幾何即乙多丙幾何而甲多
丙之數又為甲多乙之倍數故以甲多
丙之數分為二分於中數内一加一減
則彼此相較之數自得均平故謂之互
和折半也
[010-26b]
設如有銀二百四十兩令趙錢孫李四人互和折半
[010-27a]
分之但知趙多李一十八兩問各該若干
法以四人為一率總銀二百四十兩為
二率一人為三率推得四率六十兩即
錢孫中二人相和折半之數次取趙多
李十八兩之數以三歸之以三立法者/用二歸以四
立法者用三歸蓋以/之相比而得較也得六兩即四人遞
加之數折半得三兩乃中二人相和折
半數與中二人應得數之較以此三兩
[010-27b]
加於六十兩得六十三兩即錢銀數減
於六十兩餘五十七兩即孫銀數錢銀
數内再加六兩得六十九兩即趙銀數
孫銀數内再減六兩餘五十一兩即李
銀數也此法蓋以四人共得之數比一
人應得之數其一人應得之數固非四
人平分之數故比例所得六十兩為錢
孫二人之中數較之錢數少三兩較之
孫數多三兩故於六十兩中加三兩即
[010-27b]
錢數減三兩即孫數既得錢孫中二人
[010-28a]
數則首末二人祇按分數加之而已
設如有兵二萬三千八百令甲乙丙丁戊五將互和
折半領之只云戊少甲三千三百六十問各將所
領若干
法以五分為一率兵數二萬三千八百
為二率一分為三率推得四率四千七
百六十即丙所領之數又取戊少甲之
三千三千六十以四歸之此有五人而/較為四故用
[010-28b]
四歸/也得八百四十為平分加減之數自
丙數而上遞加之得五千六百即乙所
領之數得六千四百四十即甲所領之
數由丙數而下遞減之得三千九百二
十即丁所領之數得三千零八十即戊
所領之數也
設如有稻一百九十八畝令甲乙丙丁戊己六人收
割但知甲比己多收三十畝問各該收稻幾何
法以六人為一率總田一百九十八畝
[010-28b]
為二率一人為三率推得四率三十三
[010-29a]
畝即丙丁中二人相和折半之數次取
甲多己三十畝以五歸之得六畝折半
得三畝加於三十三畝得三十六畝即
丙收數再加六畝得四十二畝即乙收
數再加六畝得四十八畝即甲收數又
以折半三畝減於三十三畝餘三十畝
即丁收數再減六畝餘二十四畝即戊
收數再減六畝餘十八畝即己收數此
[010-29b]
法因三十三畝為丙丁二人之中數較
之丙少三畝較之丁多三畝故以丙與
丁總差六畝折半加減之即得也
首尾互準差分
設如甲乙丙丁四人遞次分銀但知甲得六十九兩
丁得五十一兩問乙丙各得銀幾何
法以三分為甲多於丁之衰數有四人/故用三
分如或五人則用四/分六人則用五分為一率甲六十九
兩與丁五十一兩相減餘一十八兩為
[010-29b]
二率一分為三率推得四率六兩即四
[010-30a]
人所得遞加之數將丁銀五十一兩加
六兩得五十七兩即丙應得之數再加
六兩得六十三兩即乙應得之數也蓋
甲數最多丁數最少相差一十八兩由
丁至丙至乙至甲相隔三位則知有三
差故用三分比一十八兩即如一分比
六兩而為遞加數也若三色者以首尾
兩數相加折半即中數其法易求故不
[010-30b]
設例
設如五人遞次絡絲第一人絡絲四十兩第五人絡
絲二十四兩問中三人各絡絲幾何
法以四分為第一人多於第五人之衰
數為一率第一第五兩數相減餘一十
六兩為二率一分為三率推得四率四
兩即五人絡絲遞加之數將第五人絡
絲二十四兩加四兩得二十八兩即第
四人所絡之數再加四兩得三十二兩
[010-30b]
即第三人所絡之數再加四兩得三十
[010-31a]
六兩即第二人所絡之數也此法用四
為除法葢第五與第一相隔四位則知
有四差故用四為比例也
又捷法以第一第五兩數相加折半得
三十二兩即第三人所絡之數又以第
一第三兩數相加折半得三十六兩即
第二人所絡之數復以第三第五兩數
相加折半得二十八兩即第四人所絡
[010-31b]
之數此法即前互和折半之法凡位數
竒者俱可用如三五七九是也
設如七人運糧不言總數但知第一人第二人共運
二十三石七斗第五人第六人第七人共運二十
六石一斗其遞加之數俱相等問第三人第四人
與前後五人各運幾何
法以第一第二兩人共運二十三石七
斗折半得十一石八斗五升為第一第
二兩人相和折半之數第五第六第七
[010-31b]
三人共運二十六石一斗三歸之得八
[010-32a]
石七斗即第六人應運之數乃以第一
分第二分之中數一分半與第六分相
減餘四分半為一率第一第二兩人相
和折半之十一石八斗五升内減第六
人之八石七斗餘三石一斗五升為二
率一分為三率推得四率七斗即每人
遞加之數由第六人八石七斗而下減
七斗得八石即第七人應運之數由第
[010-32b]
六人八石七斗而上遞加七斗得九石
四斗即第五人應運之數得十石一斗
即第四人應運之數得十石八斗即第
三人應運之數得十一石五斗即第二
人應運之數得十二石二斗即第一人
應運之數也此法蓋因第一人第二人
相和折半之數至第二人差半分至第
三人差一分半至第四人差二分半至
第五人差三分半至第六人則差四分
[010-32b]
半故先以第一第二之中數與第六相
[010-33a]
減得其四分半之差數而以四分半比
前二人相和折半多於第六人之六石
三斗即如一分比每人遞加之七斗也
設如八人分銀不言總數但知第一第二第三三人
共得四十五兩第七第八二人共得八十五兩其
遞加之數俱相等問各人應得若干
法以前三人共得銀數四十五兩用三
歸之得十五兩即第二人應得之數後
[010-33b]
二人共得八十五兩折半得四十二兩
五錢即第七第八兩人相和折半之數
乃以第二分與第七分第八分之中數
七分半相減餘五分半為一率第二人
應得之十五兩與後二人相和折半之
四十二兩五錢相減餘二十七兩五錢
為二率一分為三率推得四率五兩即
每人遞加之數於第二人十五兩内減
五兩即得第一人十兩於第二人十五
[010-33b]
兩外遞加五兩即得第三人二十兩第
[010-34a]
四人二十五兩第五人三十兩第六人
三十五兩第七人四十兩第八人四十
五兩之數也此法葢因第二人至第三
人差一分至第四人差二分至第五人
差三分至第六人差四分至第七人差
五分至第七第八兩人相和折半之數
則差五分半故先以第二與第七第八
之中數相減得其五分半之差數而以
[010-34b]
五分半比後二人相和折半多於第二
人之數即如每一分比每人遞加之數
也
設如八人分米不言總數但知第一第二兩人共得
一十一石九斗第七第八兩人共得八石三斗其
遞加之數俱相等問每人應得若干
法以第一第二兩人共數一十一石九
斗折半得五石九斗五升即第一第二
兩人相和折半之數再以第七第八兩
[010-34b]
人共數八石三斗折半得四石一斗五
[010-35a]
升即第七第八兩人相和折半之數乃
以第一分第二分之中數一分半與第
七分第八分之中數七分半相減餘六
分為一率第一第二兩人相和折半之
五石九斗五升内減第七第八兩人相
和折半之四石一斗五升餘一石八斗
為二率一分為三率推得四率三斗即
每人遞加之數折半得一斗五升加於
[010-35b]
第一第二兩人相和折半之五石九斗
五升得六石一斗即第一人之數以次
遞減三斗即得第二人五石八斗第三
人五石五斗第四人五石二斗第五人
四石九斗第六人四石六斗第七人四
石三斗第八人四石之數也此法蓋因
第一第二兩人相和折半之數至第二
人差半分至第三人差一分半至第四
人差二分半至第五人差三分半至第
[010-35b]
六人差四分半至第七人差五分半至
[010-36a]
第七第八兩人相和折半之數則差六
分故先以第一第二之中數與第七第
八之中數相減得其六分之差數而以
六分比第一第二相和折半多於第七
第八相和折半之數即如每一分比每
人遞加之數也又以第一第二之中數
比第一人差半分故以一分之三斗折
半得一斗五升加於第一第二兩人相
[010-36b]
和折半之數即得第一人之數也
設如有竹九節截為九筩盛米遞次長短不均但知
根底三節共盛米三升九合梢上四節共盛米三
升問九節各盛米數幾何
法以根底第一第二第三三節共盛米
三升九合用三歸之得一升三合即第
二節盛米之數梢上第六第七第八第
九四節共盛米三升用四歸之得七合
五勺即第七第八兩節相和折半之數
[010-36b]
乃以第二分與第七分第八分之中數
[010-37a]
七分半相減餘五分半為一率第二節
盛米一升三合内減第七第八兩節相
和折半之七合五勺餘五合五勺為二
率一分為三率推得四率一合即每節
遞加之數自第二節盛米一升三合而
上加一合即得第一節盛米一升四合
自第二節盛米一升三合而下遞減一
合即得第三節盛一升二合第四節盛
[010-37b]
一升一合第五節盛一升第六節盛九
合第七節盛八合第八節盛七合第九
節盛六合也
設如有竹九節截為九筩盛米但知根底二節盛米
六升三合梢上二節盛米二升一合問各節所盛
米數若干
法以根底二節共盛米六升三合折半
得三升一合五勺為第一第二兩節相
和折半之數梢上二節共盛米二升一
[010-37b]
合折半得一升零五勺為第八第九兩
[010-38a]
節相和折半之數乃以第一分第二分
之中數一分半與第八分第九分之中
數八分半相減餘七分為一率第一第
二兩節相和折半之三升一合五勺内
減第八第九兩節相和折半之一升零
五勺餘二升一合為二率一分為三率
推得四率三合即毎節遞加之數折半
得一合五勺加於第一第二兩節相和
[010-38b]
折半之三升一合五勺得三升三合即
第一節盛米之數以次遞減三合即得
第二節盛三升第三節盛二升七合第
四節盛二升四合第五節盛二升一合
第六節盛一升八合第七節盛一升五
合第八節盛一升二合第九節盛九合
也
設如十人按數挨次納糧前三人共納一十三石八
斗後四人共納一十三石二斗問十人各納糧數
[010-38b]
若干
[010-39a]
法以前三人共納一十三石八斗用三
歸之得四石六斗為第二人所納之數
後四人共納一十三石二斗用四歸之
得三石三斗為第八第九兩人相和折
半之數乃以第二分與第八分第九分
之中數八分半相減餘六分半為一率
第二人之四石六斗内減第八第九兩
人相和折半之三石三斗餘一石三斗
[010-39b]
為二率一分為三率推得四率二斗即
每人遞加之數自第二人四石六斗以
上加二斗得四石八斗即第一人所納
之數自第二人四石六斗以下遞減二
斗得四石四斗即第三人所納之數得
四石二斗即第四人所納之數得四石
即第五人所納之數得三石八斗即第
六人所納之數得三石六斗即第七人
所納之數得三石四斗即第八人所納
[010-39b]
之數得三石二斗即第九人所納之數
[010-40a]
得三石即第十人所納之數也
設如有米二百四十石令甲乙丙丁戊五人遞減納
之定甲乙二人納數與丙丁戊三人納數相等問
五人各納幾何
法以四分為甲多於戊之衰數自甲至/乙至丙
至丁至戊隔四位/故以四分為衰數三分為乙多於戊之
衰數併之為七分以二分為丙多於戊
之衰數一分為丁多於戊之衰數併之
[010-40b]
為三分乃以三分與七分相減餘四分
為前二人多於後三人之較又以前二
人與後三人相減餘一人為後三人多
於前二人之較夫前多四分後多一人
而其數相等則四分即為一人之數乃
以一人為一率四分為二率戊一人為
三率推得四率仍得四分即定為戊一
人之分數各加毎人所多衰數則甲得
八分乙得七分併之得十五分丙得六
[010-40b]
分丁得五分併戊之四分亦得十五分
[010-41a]
是前後分數已同矣乃以兩總分相併
得三十分為一率總米二百四十石為
二率一分為三率推得四率八石即每
一分之數用甲之八分乗之得甲之六
十四石用乙之七分乘之得乙之五十
六石併之共得一百二十石用丙之六
分乗之得丙之四十八石用丁之五分
乗之得丁之四十石用戊之四分乗之
[010-41b]
得戊之三十二石併之亦共得一百二
十石是甲乙二人納數與丙丁戊三人
納數等也
設如有銀六百兩令甲乙丙丁戊己六人遞加分之
定甲乙丙丁四人與戊己二人分數相等問六人
各分幾何
法以一分為乙多於甲之衰數二分為
丙多於甲之衰數三分為丁多於甲之
衰數併之為六分四分為戊多於甲之
[010-41b]
衰數五分為己多於甲之衰數併之為
[010-42a]
九分乃以六分與九分相減餘三分為
後二人多於前四人之較又以前四人
與後二人相減餘二人為前四人多於
後二人之較夫前多二人後多三分而
其數相等則三分即為二人之數乃以
二人為一率三分為二率甲一人為三
率推得四率一分五即一分/半也即定為甲
一人之分數各加每人所多衰數則乙
[010-42b]
得二分半丙得三分半丁得四分半併
甲乙丙丁四人數得十二分戊得五分
半己得六分半併戊己二人數亦得十
二分是前後分數已同矣乃以兩總分
相併得二十四分為一率總銀六百兩
為二率一分為三率推得四率二十五
兩即每一分之數用甲一分半乗之得
甲三十七兩五錢用乙二分半乗之得
乙六十二兩五錢用丙三分半乗之得
[010-42b]
丙八十七兩五錢用丁四分半乗之得
[010-43a]
丁一百一十二兩五錢併四人數共得
三百兩用戊五分半乗之得戊一百三
十七兩五錢用己六分半乗之得己一
百六十二兩五錢併二人數亦共得三
百兩是甲乙丙丁四人銀數與戊己二
人銀數等也
設如有麥一千零八畝令七人遞減分收定前三人
與後四人所得共數相同問七人各收麥幾何
[010-43b]
法以六分為第一人比第七人所多衰
數自第一至第七隔六/位故以六為衰數五分為第二人
比第七人所多衰數四分為第三人比
第七人所多衰數併之為十五分三分
為第四人比第七人所多衰數二分為
第五人比第七人所多衰數一分為第
六人比第七人所多衰數併之為六分
乃以六分與十五分相減餘九分為前
三人多於後四人之較又以前三人與
[010-43b]
後四人相減餘一人為後四人多於前
[010-44a]
三人之較夫前多九分後多一人而其
數相等則九分即為一人之數乃以一
人為一率九分為二率末一人為三率
推得四率仍為九分即定為第七人之
分數各加每人所多分數則第一人得
十五分第二人得十四分第三人得十
三分併之為四十二分第四人得十二
分第五人得十一分第六人得十分第
[010-44b]
七人得九分併之亦為四十二分是前
後分數已同矣乃以兩總分相併得八
十四分為一率麥一千零八畝為二率
一分為三率推得四率十二畝即毎一
分之數用十五分乗之即得第一人一
百八十畝用十四分乗之即得第二人
一百六十八畝用十三分乗之即得第
三人一百五十六畝併三人數共得五
百零四畝用十二分乗之即得第四人
[010-44b]
一百四十四畝用十一分乗之即得第
[010-45a]
五人一百三十二畝用十分乗之即得
第六人一百二十畝用九分乗之即得
第七人一百零八畝併四人數亦共得
五百零四畝是前三人畝數與後四人
畝數等也
設如有糧一千零九十二石令七次遞減運送定前
二次與後五次運送之數相等問每次運送幾何
法以十八分為第一次比第七次所多
[010-45b]
之衰數自第一次至第七次相隔六位/應以六分為衰數是為每次遞
加一分今將六分用三因之為十八分/是為每一次遞加三分故各衰五四三
二一俱用三因/其比例仍同也十五分為第二次比第
七次所多之衰數併之為三十三分十
二分為第三次比第七次所多之衰數
九分為第四次比第七次所多之衰數
六分為第五次比第七次所多之衰數
三分為第六次比第七次所多之衰數
併之爲三十分乃以三十分與三十三
[010-45b]
分相減餘三分為前兩次多於後五次
[010-46a]
之較又以後五次與前兩次相減餘三
次為後五次多於前兩次之較夫前多
三分後多三次而其數相等則三分即
為三次之數乃以三次為一率三分為
二率一次為三率推得四率一分即為
第七次之分數各加每次所多衰數第
一次得十九分第二次得十六分併之
得三十五分第三次得十三分第四次
[010-46b]
得一十分第五次得七分第六次得四
分併第七次之一分亦得三十五分是
前後分數已同矣乃以兩總分相併得
七十分為一率總糧一千零九十二石
為二率一分為三率推得四率一十五
石六斗即第七次一分所運之數用十
九分乗之得二百九十六石四斗即第
一次所運之數用十六分乗之得二百
四十九石六斗即第二次所運之數併
[010-46b]
兩次共得五百四十六石用十三分乗
[010-47a]
之得二百零二石八斗即第三次所運
之數用一十分乗之得一百五十六石
即第四次所運之數用七分乗之得一
百零九石二斗即第五次所運之數用
四分乘之得六十二石四斗即第六次
所運之數併第七次所運之一十五石
六斗亦共得五百四十六石是前二次
運送糧數與後五次運送糧數等也
[010-47b]
[010-47b]
御製數理精藴下編卷五
