[037-1a] 
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷三十二
末部二
借根方比例開諸乘方法/ 諸乘方表/
[037-2a]
開諸乘方法
借根方比例法中開各乘方爲最要其算線部借根
算面部借平方算體部借立方以及多乘方雖各按
其類然有法屬線類而仍須諸乘方算者故諸乘方
之法宜審也葢諸乘方之形體不同開法之難易迥
别總以廉法之多少而分平方之廉最少故最易立
方之廉較多故較難自三乘以至多乘其廉愈多則
其法愈難今自平方以至九乘方俱専立一法在平
[037-2b]
方立方所省不多而三乘方以後則甚爲簡捷至於
諸乘方中亦有可以用平方立方之法代開者如三
乘方與平方自乘之數等故可以平方兩次開之五
乘方與平方自乘再乘之數等亦與立方自乘之數
等故可以平方開之繼以立方開之七乘方與平方
兩次自乘之數等故可以平方三次開之八乘方與
立方自乘再乘之數等故可以立方兩次開之九乘
方與四乘方自乘之數等故可以平方開之繼以四
乘方開之惟四乘方及六乘方與平方立方之數皆
[037-2b]
不相合故不可以平方立方之法代開也又諸乘方
[037-3a]
次商之數最難定今自立方至九乘方俱爲立根數
兩位之表若根數兩位者以積數撿表即得更爲便
捷至於十乘方以後並可以此法御之但其數繁衍
而無所用兹故不載焉
平方
設如有平方積一萬五千一百二十九尺開平方問
每一根之數幾何
法列方積一萬五千一百二十九尺自
[037-3b]
末位起算每方積二位定方根一位故
隔一位作記乃於九尺上定單位一百
尺上定十位一萬尺上定百位其一萬
尺爲初商積與一百自乘之數相合即
定初商爲一百尺書於方積一萬尺之
上而以初商一百尺自乘之一萬尺書
於初商積之下相減恰盡爰以方根第
二位積五千一百尺續書於後爲次商
廉隅之共積而以初商之一百尺倍之
[037-3b]
得二百尺爲次商廉法以除次商積足
[037-4a]
二十倍即定次商爲二十尺書於方積
一百尺之上合初商共一百二十尺自
乘得一萬四千四百尺與原積相減餘
七百尺爰以方根第三位積二十九尺
續書於後共七百二十九尺爲三商廉
隅之共積而以初商次商之一百二十
尺倍之得二百四十尺爲三商廉法以
除三商積足三倍即定三商爲三尺書
[037-4b]
於方積九尺之上合初商次商共一百
二十三尺自乘得一萬五千一百二十
九尺與原積相減恰盡是開得一百二
十三尺爲平方每一根之數也此法止
用廉法除餘積得次商即併初商數自
乘得數復與原積相減與常法不同然
自三乘方以至多乘方則廉法條例甚
繁難於布算用此法甚爲省便在平方
立方不覺其省平方止省小隅一層立/方止省長廉小隅二層
[037-4b]
而在多乘方所省實多葢各設一例以
[037-5a]
備體也
立方
設如有立方積四千一百零六萬三千六百二十五
尺開立方問每一根之數幾何
法列方積四千一百零六萬三千六百
二十五尺自末位起算每方積三位定
方根一位故隔二位作記乃於五尺上
定單位三千尺上定十位一百萬尺上
[037-5b]
定百位其四千一百萬尺爲初商積與
三百自乘再乘之數相準即定初商爲
三百尺書於方積一百萬尺之上而以
三百尺自乘再乘之二千七百萬尺書
於初商積之下相減餘一千四百萬尺
爰以方根第二位餘積六萬三千尺續
書於後共一千四百零六萬三千尺爲
次商廉隅之共積而以初商之三百尺
自乘得九萬尺三因之得二十七萬尺
[037-5b]
爲次商廉法以除次商積足四十倍即
[037-6a]
定次商爲四十尺書於方積三千尺之
上合初商共三百四十尺自乘再乘得
三千九百三十萬四千尺與原積相減
餘一百七十五萬九千尺爰以方邊第
三位餘積六百二十五尺續書於後共
一百七十五萬九千六百二十五尺爲
三商廉隅之共積而以初商次商之三
百四十尺自乘得一十一萬五千六百
[037-6b]
尺三因之得三十四萬六千八百尺爲
三商廉法以除三商積足五倍即定三
商爲五尺書於方積五尺之上合初商
次商共三百四十五尺自乘再乘得四
千一百零六萬三千六百二十五尺與
原積相減恰盡是開得三百四十五尺
爲立方每一根之數也
又用表開法列積四千一百零六萬三
千六百二十五尺自末位起算隔二位
[037-6b]
作記定位同前乃截方根第二位以前
[037-7a]
積四一○六三爲初商次商之積於表
中取比此數相近略小之數爲三九三
○四即初商次商自/乘再乘之數其所對初商根爲
三次商根爲四即將三四書於初商次
商之位而以三九三○四書於初商次
商積之下相減餘一七五九乃以三九
三○四格内三商廉法三四六除餘積
一七五九足五倍即定三商爲五書於
[037-7b]
三商之位合初商次商共三百四十五
自乘再乘得四千一百零六萬三千六
百二十五尺與原積相減恰盡即定立
方根爲三百四十五尺也
三乘方
設如有三乘方積一千零三十三億五千五百一十
七萬七千一百二十一尺開三乘方問每一根之
數幾何
法列方積一千零三十三億五千五百
[037-7b]
一十七萬七千一百二十一尺自末位
[037-8a]
起算每方積四位定方根一位故隔三
位作記乃於一尺上定單位七萬尺上
定十位三億尺上定百位其一千零三
十三億尺爲初商積與五百乘三次之
數相準即定初商爲五百尺書於方積
三億尺之上而以五百尺乘三次之六
百二十五億尺書於初商積之下相減
餘四百零八億尺爰以方根第二位積
[037-8b]
五千五百一十七萬尺續書於後共四
百零八億五千五百一十七萬尺爲次
商廉隅之共積而以初商之五百尺乘
二次得一億二千五百萬尺四因之得
五億尺爲次商廉法以除次商積足八
十倍因定次商爲八十尺合初商共五
百八十尺乘三次得一千一百三十一
億六千四百九十六萬尺大於原積是
次商不可商八也乃改商七爲七十尺
[037-8b]
合初商共五百七十尺乘三次得一千
[037-9a]
零五十五億六千零一萬尺仍大於原
積是次商不可商七也又改商六爲六
十尺合初商共五百六十尺乘三次得
九百八十三億四千四百九十六萬尺
小於原積可減也乃定次商爲六十尺
書於方積七萬尺之上而以五百六十
尺乘三次之九百八十三億四千四百
九十六尺與原積相減餘五十億一千
[037-9b]
零二十一萬尺爰以方根第三位積七
千一百二十一尺續書於後共五十億
一千零二十一萬七千一百二十一尺
爲三商廉隅之共積而以初商次商之
五百六十尺乘二次得一億七千五百
六十一萬六千尺四因之得七億零二
百四十六萬四千尺爲三商亷法以除
三商積足七倍即定三商爲七尺書於
方積一尺之上合初商次商共五百六
[037-9b]
十七尺乘三次得一千零三十三億五
[037-10a]
千五百一十七萬七千一百二十一尺
與原積相減恰盡是開得五百六十七
尺爲三乘方每一根之數也葢三乘方
之本法有四自乘再乘廉六自乘廉四
長廉一小隅既得初商乃以初商自乘
再乘四因之得四自乘再乘廉爲法除
餘積得次商以初商自乘與次商相乘
六因之爲六自乘廉以次商自乘與初
[037-10b]
商相乘四因之爲四長廉以次商自乘
再乘爲一小隅合四自乘再乘廉六自
乘廉四長廉一小隅以次商乘之爲次
商廉隅之共積今此法得次商之後合
初商乘三次即得應減之積也
又法用開平方法兩次開之初以原積
一千零三十三億五千五百一十七萬
七千一百二十一尺開平方得三十二
萬一千四百八十九尺次以三十二萬
[037-10b]
一千四百八十九尺復開平方得五百
[037-11a]
六十七尺即三乘方每一根之數也
又用表開法列積一千零三十三億五
千五百一十七萬七千一百二十一尺
自末位起算隔三位作記定位同前乃
截方根第二位以前積一○三三五五
一七爲初商次商之積於表中取比此
數相近略小之數爲九八三四四九六
即初商次商/乘三次之數其所對初商根爲五次商
[037-11b]
根爲六即將五六書於初商次商之位
而以九八三四四九六書於初商次商
積之下相減餘五○一○二一乃以九
八三四四九六格内三商廉法七○二
四六除餘積五○一○二一足七倍即
定三商爲七書於三商之位合初商次
商共五百六十七乘三次得一千零三
十三億五千五百一十七萬七千一百
二十一尺與原積相減恰盡即定三乘
[037-11b]
方根爲五百六十七尺也
[037-12a]
四乘方
設如有四乘方積二百六十二兆零三十五億四千
九百九十七萬八千一百二十五尺開四乘方問
每一根之數幾何
法列方積二百六十二兆零三十五億
四千九百九十七萬八千一百二十五
尺自末位起算每方積五位定方根一
位故隔四位作記乃於五尺上定單位
[037-12b]
九十萬尺上定十位空百億尺上定百
位其二百六十二兆尺爲初商積與七
百乘四次之數相準即定初商爲七百
尺書於方積空百億尺之上而以七百
尺乘四次之一百六十八兆零七百億
尺書於初商積之下相減餘九十三兆
九千三百億尺爰以方根第二位餘積
三十五億四千九百九十萬尺續書於
後共九十三兆九千三百三十五億四
[037-12b]
千九百九十萬尺爲次商廉隅之共積
[037-13a]
而以初商之七百尺乘三次得二千四
百零一億尺五因之得一兆二千零五
億尺爲次商廉法以除次商積足七十
倍因定次商爲七十尺合初商共七百
七十尺乘四次得二百七十兆六千七
百八十四億一千五百七十萬尺大於
原積是次商不可商七也乃改商六爲
六十尺合初商共七百六十尺乘四次
[037-13b]
得二百五十三兆五千五百二十五億
三千七百六十萬尺小於原積可減也
乃定次商爲六十尺書於方積九十萬
尺之上而以七百六十尺乘四次之二
百五十三兆五千五百二十五億三千
七百六十萬尺與原積相減餘八兆四
千五百一十億一千二百三十萬尺爰
以方根第三位餘積七萬八千一百二
十五尺續書於後共八兆四千五百一
[037-13b]
十億一千二百三十七萬八千一百二
[037-14a]
十五尺爲三商廉隅之共積而以初商
次商之七百六十尺乘三次得三千三
百三十六億二千一百七十六萬尺五
因之得一兆六千六百八十一億零八
百八十萬尺爲三商廉法以除三商積
足五倍即定三商爲五尺書於方積五
尺之上合初商次商共七百六十五尺
乘四次得二百六十二兆零三十五億
[037-14b]
四千九百九十七萬八千一百二十五
尺與原積相減恰盡是開得七百六十
五尺爲四乘方每一根之數也葢四乘
方之本法有五三乘廉十自乘再乘廉
十自乘廉五長廉一小隅既得初商乃
以初商乘三次五因之得五三乘廉爲
法除餘積得次商以初商自乘再乘與
次商相乘十因之爲十自乘再乘廉以
初商自乘次商自乘兩數相乘十因之
[037-14b]
爲十自乘廉以次商自乘再乘與初商
[037-15a]
相乘五因之爲五長廉以次商數乘三
次爲一小隅合五三乘廉十自乘再乘
廉十自乘廉五長廉一小隅以次商乘
之爲次商廉隅之共積今此法得次商
之後合初商乘四次即得應減之積也
又用表開法列積二百六十二兆零三
十五億四千九百九十七萬八千一百
二十五尺自末位起算隔四位作記定
[037-15b]
位同前乃截方根第二位以前積二六
二○○三五四九九爲初商次商之積
於表中取比此數相近略小之數爲二
五三五五二五三七六即初商次商/乘四次之數其
所對初商根爲七次商根爲六即將七
六書於初商次商之位而以二五三五
五二五三七六書於初商次商積之下
相減餘八四五一○一二三乃以二五
三五五二五三七六格内三商廉法一
[037-15b]
六六八一○八八除餘積八四五一○
[037-16a]
一二三足五倍即定三商爲五書於三
商之位合初商次商共七百六十五乘
四次得二百六十二兆零三十五億四
千九百九十七萬八千一百二十五尺
與原積相減恰盡即定四乘方根爲七
百六十五尺也
五乘方
設如有五乘方積八十五京九千零六十八兆三千
[037-16b]
零一十億二千五百三十九萬零六百二十五尺
開五乘方問每一根之數幾何
法列方積八十五京九千零六十八兆
三千零一十億二千五百三十九萬零
六百二十五尺自末位起算每方積六
位定方根一位故隔五位作記乃於五
尺上定單位五百萬尺上定十位八兆
尺上定百位其八十五京九千零六十
八兆尺爲初商積與九百乘五次之數
[037-16b]
相準即定初商爲九百尺書於方積八
[037-17a]
兆尺之上而以九百尺乘五次之五十
三京一千四百四十一尺書於初商積
之下相減餘三十二京七千六百二十
七兆尺爰以方根第二位積三千零一
十億二千五百萬尺續書於後共三十
二京七千六百二十七兆三千零一十
億二千五百萬尺爲次商廉隅之共積
而以初商之九百尺乘四次得五百九
[037-17b]
十兆四千九百億尺六因之得三千五
百四十二兆九千四百億尺爲次商廉
法以除次商積足八十倍因定次商爲
八十尺按法相乘大於原積乃改商七
十尺書於方積五百萬尺之上合初商
共九百七十尺乘五次得八十三京二
千九百七十二兆零四十九億二千九
百萬尺與原積相減餘二京六千零九
十六兆二千九百六十億九千六百萬
[037-17b]
尺爰以方根第三位積三十九萬零六
[037-18a]
百二十五尺續書於後共二京六千零
九十六兆二千九百六十億九千六百
三十九萬零六百二十五尺爲三商廉
隅之共積而以初商次商之九百七十
尺乘四次得八百五十八兆七千三百
四十億二千五百七十萬尺六因之得
五千一百五十二兆四千零四十一億
五千四百二十萬尺爲三商廉法以除
[037-18b]
三商積足五倍即定三商爲五尺書於
方積五尺之上合初商次商共九百七
十五尺乘五次得八十五京九千零六
十八兆三千零一十億二千五百三十
九萬零六百二十五尺與原積相減恰
盡是開得九百七十五尺爲五乘方每
一根之數也葢五乘方之本法有六四
乘廉十五三乘廉二十自乘再乘廉十
五自乘廉六長廉一小隅既得初商乃
[037-18b]
以初商乘四次六因之得六四乘廉爲
[037-19a]
法除餘積得次商以初商乘三次與次
商相乘十五乘之爲十五三乘廉以初
商自乘再乘次商自乘兩數相乘二十
乘之爲二十自乘再乘廉以初商自乘
次商自乘再乘兩數相乘十五乘之爲
十五自乘廉以次商乘三次與初商相
乘六因之爲六長廉以次商乘四次爲
一小隅合六四乘廉十五三乘廉二十
[037-19b]
自乘再乘廉十五自乘廉六長廉一小
隅以次商乘之爲次商廉隅之共積今
此法得次商之後合初商乘五次即得
應減之積也
又法用開平方開立方法開之初以原
積八十五京九千零六十八兆三千零
一十億二千五百三十九萬零六百二
十五尺開平方得九億二千六百八十
五萬九千三百七十五尺又以九億二
[037-19b]
千六百八十五萬九千三百七十五尺
[037-20a]
開立方得九百七十五尺即五乘方每
一根之數也
又用表開法列積八十五京九千零六
十八兆三千零一十億二千五百三十
九萬零六百二十五尺自末位起算隔
五位作記定位同前乃截方根第二位
以前積八五九○六八三○一○二五
爲初商次商之積於表中取比此數相
[037-20b]
近略小之數爲八三二九七二○○四
九二九即初商次商/乘五次之數其所對初商根爲
九次商根爲七即將九七書於初商次
商之位而以八三二九七二○○四九
二九書於初商次商積之下相減餘二
六○九六二九六○九六乃以八三二
九七二○○四九二九格内三商廉法
五一五二四○四一五四除餘積二六
○九六二九六○九六足五倍即定三
[037-20b]
商爲五書於三商之位合初商次商共
[037-21a]
九百七十五乘五次得八十五京九千
零六十八兆三千零一十億二千五百
三十九萬零六百二十五尺與原積相
減恰盡即定五乘方根爲九百七十五
尺也
六乘方
設如有六乘方積三垓二千五百八十九京四千五
百九十九兆二千五百二十三億九千五百九十
[037-21b]
萬零九百二十八尺開六乘方問每一根之數幾
何
法列方積三垓二千五百八十九京四
千五百九十九兆二千五百二十三億
九千五百九十萬零九百二十八尺自
末位起算每方積七位定方根一位故
隔六位作記乃於八尺上定單位九千
萬尺上定十位五百兆尺上定百位其
三垓二千五百八十九京四千五百兆
[037-21b]
尺爲初商積與八百乘六次之數相準
[037-22a]
即定初商爲八百尺書於方積五百兆
尺之上而以八百尺乘六次之二垓零
九百七十一京五千二百兆尺書於初
商積之下相減餘一垓一千六百一十
七京九千三百兆尺爰以方根第二位
積九十九兆二千五百二十三億九千
萬尺續書於後共一垓一千六百一十
七京九千三百九十九兆二千五百二
[037-22b]
十三億九千萬尺爲次商廉隅之共積
而以初商之八百尺乘五次得二十六
京二千一百四十四兆尺七因之得一
百八十三京五千零八兆尺爲次商廉
法以除次商積足六十倍因定次商爲
六十尺按法相乘大於原積乃改商五
十尺書於方積九千萬尺之上合初商
共八百五十尺乘六次得三垓二千零
五十七京七千零八十八兆二千八百
[037-22b]
一十二億五千萬尺與原積相減餘五
[037-23a]
百三十一京七千五百一十兆九千七
百一十一億四千萬尺爰以方根第三
位積五百九十萬零九百二十八尺續
書於後共五百三十一京七千五百一
十兆九千七百一十一億四千五百九
十萬零九百二十八尺爲三商廉隅之
共積而以初商次商之八百五十尺乘
五次得三十七京七千一百四十九兆
[037-23b]
五千一百五十六億二千五百萬尺七
因之得二百六十四京零四十六兆六
千零九十三億七千五百萬尺爲三商
廉法以除三商積足二倍即定三商爲
二尺書於方積八尺之上合初商次商
共八百五十二尺乘六次得三垓二千
五百八十九京四千五百九十九兆二
千五百二十三億九千五百九十萬零
九百二十八尺與原積相減恰盡是開
[037-23b]
得八百五十二尺爲六乘方每一根之
[037-24a]
數也葢六乘方之本法有七五乘廉二
十一四乘廉三十五三乘廉三十五自
乘再乘廉二十一自乘廉七長廉一小
隅既得初商即以初商乘五次七因之
得七五乘廉爲法除餘積得次商以初
商乘四次與次商相乘二十一乘之爲
二十一四乘廉以初商乘三次次商自
乘兩數相乘三十五乘之爲三十五三
[037-24b]
乘廉以初商自乘再乘次商自乘再乘
兩數相乘三十五乘之爲三十五自乘
再乘廉以初商自乘次商乘三次兩數
相乘二十一乘之爲二十一自乘廉以
次商乘四次與初商相乘七因之爲七
長廉以次商乘五次爲一小隅合七五
乘廉二十一四乘廉三十五三乘廉三
十五自乘再乘廉二十一自乘廉七長
廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之
[037-24b]
共積今得次商之後合初商乘六次即
[037-25a]
得應減之積也
又用表開法列積三垓二千五百八十
九京四千五百九十九兆二千五百二
十三億九千五百九十萬零九百二十
八尺自末位起算隔六位作記定位同
前乃截方根第二位以前積三二五八
九四五九九二五二三九爲初商次商
之積於表中取比此數相近略小之數
[037-25b]
爲三二○五七七○八八二八一二五
即初商次商/乘六次之數其所對初商根爲八次商
根爲五即將八五書於初商次商之位
而以三二○五七七○八八二八一二
五書於初商次商積之下相減餘五三
一七五一○九七一一四乃以三二○
五七七○八八二八一二五格内三商
廉法二六四○○四六六○九三七除
餘積五三一七五一○九七一一四足
[037-25b]
二倍即定三商爲二書於三商之位合
[037-26a]
初商次商共八百五十二尺乘六次得
三垓二千五百八十九京四千五百九
十九兆二千五百二十三億九千五百
九十萬零九百二十八尺與原積相減
恰盡即定六乘方根爲八百五十二尺
也
七乘方
設如有七乘方積六百三十八垓五千一百三十二
[037-26b]
京零二百三十三兆九千三百八十三億九千零
一十九萬三千一百二十一尺開七乘方問每一
根之數幾何
法列方積六百三十八垓五千一百三
十二京零二百三十三兆九千三百八
十三億九千零一十九萬三千一百二
十一尺自末位起算每方積八位定方
根一位故隔七位作記乃於一尺上定
單位三億尺上定十位二京尺上定百
[037-26b]
位其六百三十八垓五千一百三十二
[037-27a]
京尺爲初商積與七百乘七次之數相
準即定初商爲七百尺書於方積二京
尺之上而以七百尺乘七次之五百七
十六垓四千八百零一京尺書於初商
積之下相減餘六十二垓零三百三十
一京尺爰以方根第二位積二百三十
三兆九千三百八十三億尺續書於後
共六十二垓零三百三十一京零二百
[037-27b]
三十三兆九千三百八十三億尺爲次
商廉隅之共積而以初商之七百尺乘
六次得八千二百三十五京四千三百
兆尺八因之得六垓五千八百八十三
京四千四百兆尺爲次商廉法以除次
商積足九倍止可商九尺是次商爲空
位也乃書一空於方積三億尺之上而
以九尺書於方積一尺之上合初商次
商共七百零九尺乘七次得六百三十
[037-27b]
八垓五千一百三十二京零二百三十
[037-28a]
三兆九千三百八十三億九千零一十
九萬三千一百二十一尺與原積相減
恰盡是開得七百零九尺爲七乘方每
一根之數也葢七乘方之本法有八六
乘廉二十八五乘廉五十六四乘廉七
十三乘廉五十六自乘再乘廉二十八
自乘廉八長廉一小隅既得初商乃以
初商乘六次八因之得八六乘廉爲法
[037-28b]
除餘積得次商以初商乘五次與次商
相乘二十八乘之爲二十八五乘廉以
初商乘四次次商自乘兩數相乘五十
六乘之爲五十六四乘廉以初商乘三
次次商自乘再乘兩數相乘七十乘之
爲七十三乘廉以初商自乘再乘次商
乘三次兩數相乘五十六乘之爲五十
六自乘再乘廉以初商自乘次商乘四
次兩數相乘二十八乘之爲二十八自
[037-28b]
乘廉以次商乘五次與初商相乘八因
[037-29a]
之爲八長廉以次商乘六次爲一小隅
合八六乘廉二十八五乘廉五十六四
乘廉七十三乘廉五十六自乘再乘廉
二十八自乘廉八長廉一小隅以次商
乘之爲次商廉隅之共積今此法得次
商之後合初商乘七次即得應減之積
也
又法用開平方法三次開之初以原積
[037-29b]
六百三十八垓五千一百三十二京零
二百三十三兆九千三百八十三億九
千零一十九萬三千一百二十一尺開
平方得二千五百二十六億八千八百
一十八萬七千七百六十一尺次以二
千五百二十六億八千八百一十八萬
七千七百六十一尺復開平方得五十
萬二千六百八十一尺又以五十萬二
千六百八十一尺復開平方得七百零
[037-29b]
九尺即七乘方每一根之數也
[037-30a]
又用表開法列積六百三十八垓五千
一百三十二京零二百三十三兆九千
三百八十三億九千零一十九萬三千
一百二十一尺自末位起算隔七位作
記定位同前乃截方根第二位以前積
六三八五一三二○二三三九三八三
爲初商次商之積於表中取比此數相
近略小之數爲五七六四八○一○○
[037-30b]
○○○○○○即初商次商/乘七次之數其所對初
商根爲七次商根爲○即將七○書於
初商次商之位而以五七六四八○一
○○○○○○○○書於初商次商積
之下相減餘六二○三三一○二三三
九三八三乃以五七六四八○一○○
○○○○○○格内三商廉法六五八
八三四四○○○○○○除餘積六二
○三三一○二三三九三八三足九倍
[037-30b]
即定三商爲九書於三商之位合初商
[037-31a]
次商共七百零九尺乘七次得六百三
十八垓五千一百三十二京零二百三
十三兆九千三百八十三億九千零一
十九萬三千一百二十一尺與原積相
減恰盡即定七乘方根爲七百零九尺
也
八乘方
設如有八乘方積四千二百四十四垓三千五百八
[037-31b]
十四京九千一百八十五兆四千四百四十九億
五千二百八十二萬七千三百九十二尺開八乘
方問每一根之數幾何
法列方積四千二百四十四垓三千五
百八十四京九千一百八十五兆四千
四百四十九億五千二百八十二萬七
千三百九十二尺自末位起算每方積
九位定方根一位故隔八位作記乃於
二尺上定單位四十億尺上定十位五
[037-31b]
百京尺上定百位其四千二百四十四
[037-32a]
垓三千五百京尺爲初商積與四百乘
八次之數相準即定初商爲四百尺書
於方積五百京尺之上而以四百尺乘
八次之二千六百二十一垓四千四百
京尺書於初商積之下相減餘一千六
百二十二垓九千一百京尺爰以方根
第二位積八十四京九千一百八十五
兆四千四百四十億尺續書於後共一
[037-32b]
千六百二十二垓九千一百八十四京
九千一百八十五兆四千四百四十億
尺爲次商廉隅之共積而以初商之四
百尺乘七次得六垓五千五百三十六
京尺九因之得五十八垓九千八百二
十四京尺爲次商廉法以除次商積足
二十倍即定次商爲二十尺書於方積
四十億尺之上合初商共四百二十尺
乘八次得四千零六十六垓七千一百
[037-32b]
三十八京三千八百四十九兆四千七
[037-33a]
百二十億尺與原積相減餘一百七十
七垓六千四百四十六京五千三百三
十五兆九千七百二十億尺爰以方根
第三位積九億五千二百八十二萬七
千二百九十二尺續書於後共一百七
十七垓六千四百四十六京五千三百
三十五兆九千七百二十九億五千二
百八十二萬七千三百九十二尺爲三
[037-33b]
商廉隅之共積而以初商次商之四百
二十尺乘七次得九垓六千八百二十
六京五千一百九十九兆六千四百一
十六億尺九因之得八十七垓一千四
百三十八京六千七百九十六兆七千
七百四十四億尺爲三商廉法以除三
商積足二倍即定三商爲二尺書於方
積二尺之上合初商次商共四百二十
二尺乘八次得四千二百四十四垓三
[037-33b]
千五百八十四京九千一百八十五兆
[037-34a]
四千四百四十九億五千二百八十二
萬七千三百九十二尺與原積相減恰
盡是開得四百二十二尺爲八乘方每
一根之數也葢八乘方之本法有九七
乘廉三十六六乘廉八十四五乘廉一
百二十六四乘廉一百二十六三乘廉
八十四自乘再乘廉三十六自乘廉九
長廉一小隅既得初商乃以初商乘七
[037-34b]
次九因之得九七乘廉爲法除餘積得
次商以初商乘六次與次商相乘三十
六乘之爲三十六六乘廉以初商乘五
次次商自乘兩數相乘八十四乘之爲
八十四五乘廉以初商乘四次次商自
乘再乘兩數相乘一百二十六乘之爲
一百二十六四乘廉以初商乘三次次
商乘三次兩數相乘一百二十六乘之
爲一百二十六三乘廉以初商自乘再
[037-34b]
乘次商乘四次兩數相乘八十四乘之
[037-35a]
爲八十四自乘再乘廉以初商自乘次
商乘五次兩數相乘三十六乘之爲三
十六自乘廉以次商乘六次與初商相
乘九因之爲九長廉以次商乘七次爲
一小隅合九七乘廉三十六六乘廉八
十四五乘廉一百二十六四乘廉一百
二十六三乘廉八十四自乘再乘廉三
十六自乘廉九長廉一小隅以次商乘
[037-35b]
之爲次商廉隅之共積今此法得次商
之後合初商乘八次即得應減之積也
又法用開立方法兩次開之初以原積
四千二百四十四垓三千五百八十四
京九千一百八十五兆四千四百四十
九億五千二百八十二萬七千三百九
十二尺開立方得七千五百一十五萬
一千四百四十八尺次以七千五百一
十五萬一千四百四十八尺復開立方
[037-35b]
得四百二十二尺即八乘方每一根之
[037-36a]
數也
又用表開法列積四千二百四十四垓
三千五百八十四京九千一百八十五
兆四千四百四十九億五千二百八十
二萬七千三百九十二尺自末位起算
隔八位作記定位同前乃截方根第二
位以前積四二四四三五八四九一八
五四四四爲初商次商之積於表中取
[037-36b]
比此數相近畧小之數爲四○六六七
一三八三八四九四七二即初商次商/乘八次之數
其所對初商根爲四次商根爲二即將
四二書於初商次商之位而以四○六
六七一三八三八四九四七二書於初
商次商積之下相減餘一七七六四四
六五三三五九七二乃以四○六六七
一三八三八四九四七二格内三商廉
法八七一四三八六七九六七七四除
[037-36b]
餘積一七七六四四六五三三五九七
[037-37a]
二足二倍即定三商爲二書於三商之
位合初商次商共四百二十二尺乘八
次得四千二百四十四垓三千五百八
十四京九千一百八十五兆四千四百
四十九億五千二百八十二萬七千三
百九十二尺與原積相減恰盡即定八
乘方根爲四百二十二尺也
九乘方
[037-37b]
設如有九乘方積八穰七千四百零六垓九千四百
四十七京八千零一十四兆三千二百九十億四
千七百二十二萬零二百二十四尺開九乘方問
每一根之數幾何
法列方積八穰七千四百零六垓九千
四百四十七京八千零一十四兆三千
二百九十億四千七百二十二萬零二
百二十四尺自末位起算每方積十位
定方根一位故隔九位作記乃於四尺
[037-37b]
上定單位二百億尺上定十位六垓尺
[037-38a]
上定百位其八穰七千四百零六垓尺
爲初商積與三百乘九次之數相準即
定初商爲三百尺書於方積六垓尺之
上而以三百尺乘九次之五穰九千零
四十九垓尺書於初商積之下相減餘
二穰八千三百五十七垓尺爰以方根
第二位積九千四百四十七京八千零
一十四兆三千二百億尺續書於後共
[037-38b]
二穰八千三百五十七垓九千四百四
十七京八千零一十四兆三千二百億
尺爲次商廉隅之共積而以初商之三
百尺乘八次得一百九十六垓八千三
百京尺又以十因之得一千九百六十
八垓三千京尺爲次商廉法以除次商
積足十倍即定次商爲一十尺書於方
積二百億尺之上合初商共三百一十
尺乘九次得八穰一千九百六十二垓
[037-38b]
八千二百八十六京九千八百零八兆
[037-39a]
零一百億尺與原積相減餘五千四百
四十四垓一千一百六十京八千二百
零六兆三千一百億尺爰以方根第三
位積九十億四千七百二十二萬零二
百二十四尺續書於後共五千四百四
十四垓一千一百六十京八千二百零
六兆三千一百九十億四千七百二十
二萬零二百二十四尺爲三商廉隅之
[037-39b]
共積而以初商次商之三百一十尺乘
八次得二百六十四垓三千九百六十
二京二千一百六十兆六千七百一十
億尺十因之得二千六百四十三垓九
千六百二十二京一千六百零六兆七
千一百億尺爲三商廉法以除三商積
足二倍即定三商爲二尺書於方積四
尺之上合初商次商共三百一十二尺
乘九次得八穰七千四百零六垓九千
[037-39b]
四百四十七京八千零一十四兆三千
[037-40a]
二百九十億四千七百二十二萬零二
百二十四尺與原積相減恰盡是開得
三百一十二尺爲九乘方每一根之數
也葢九乘方之本法有十八乘廉四十
五七乘廉一百二十六乘廉二百一十
五乘廉二百五十二四乘廉二百一十
三乘廉一百二十自乘再乘廉四十五
自乘廉十長廉一小隅既得初商乃以
[037-40b]
初商乘八次十因之得十八乘廉爲法
除餘積得次商以初商乘七次與次商
相乘四十五乘之爲四十五七乘廉以
初商乘六次次商自乘兩數相乘一百
二十乘之爲一百二十六乘廉以初商
乘五次次商自乘再乘兩數相乘二百
一十乘之爲二百一十五乘廉以初商
乘四次次商乘三次兩數相乘二百五
十二乘之爲二百五十二四乘廉以初
[037-40b]
商乘三次次商乘四次兩數相乘二百
[037-41a]
一十乘之爲二百一十三乘廉以初商
自乘再乘次商乗五次兩數相乘一百
二十乘之爲一百二十自乘再乘廉以
初商自乘次商乘六次兩數相乘四十
五乘之爲四十五自乘廉以次商乘七
次與初商相乘十因之爲十長廉以次
商乘八次爲一小隅合十八乘廉四十
五七乘廉一百二十六乘廉二百一十
[037-41b]
五乘廉二百五十二四乘廉二百一十
三乘廉一百二十自乘再乘廉四十五
自乘廉十長廉一小隅以次商乘之爲
次商廉隅之共積今此法得次商之後
合初商乘九次即得應減之積也
又法用開平方開四乘方法開之初以
原積八穰七千四百零六垓九千四百
四十七京八千零一十四兆三千二百
九十億四千七百二十二萬零二百二
[037-41b]
十四尺開平方得二兆九千五百六十
[037-42a]
四億六千六百五十五萬二千八百三
十二尺又以二兆九千五百六十四億
六千六百五十五萬二千八百三十二
尺開四乘方得三百一十二尺即九乘
方每一根之數也
又用表開法列積八穰七千四百零六
垓九千四百四十七京八千零一十四
兆三千二百九十億四千七百二十二
[037-42b]
萬零二百二十四尺自末位起算隔九
位作記定位同前乃截方根第二位以
前積八七四○六九四四七八○一四
三二爲初商次商之積於表中取比此
數相近畧小之數爲八一九六二八二
八六九八○八○一即初商次商/乘九次之數其所
對初商根爲三次商根爲一即將三一
書於初商次商之位而以八一九六二
八二八六九八○八○一書於初商次
[037-42b]
商積之下相減餘五四四四一一六○
[037-43a]
八二○六三一乃以八一九六二八二
八六九八○八○一格内三商廉法二
六四三九六二二一六○六七一除餘
積五四四四一一六○八二○六三一
足二倍即定三商爲二書於三商之位
合初商次商共三百一十二尺乘九次
得八穰七千四百零六垓九千四百四
十七京八千零一十四兆三千二百九
[037-43b]
十億四千七百二十二萬零二百二十
四尺與原積相減恰盡即定九乘方根
爲三百一十二尺也
[037-44a]
諸乘方表
凡表上横行所列自一至九之數為初商根右直行
所列自○至九之數為次商根其中每格所列細數
二層上層為初商次商積如立方表第一行第三格/上層一七二八即方根一
二自乘再乘/之數餘倣此下層為三商亷法如立方表第一行第/三格下層四三即三
商亷法乃以初商次商兩根一二自乘三因截去末/一位之數葢方根既有三位則初商為百次商為十
以一百二十自乘三因得四三二○○為亷法除實/至三商本位止今㨗法止用次商餘積求三商不加
三商本位之積其初商仍作十用以十二自乘三因/得四三二仍比次商餘積多一位故截去末一位止
[037-44b]
用四三為亷法除實則法實尾/位均齊定位始無誤餘倣此用表之法具見設如
立方表
[037-45a]
[037-57a]
[037-57b]
[037-57b]
御製數理精藴下編卷三十二
