KR3f0048 御製數理精薀-清-聖祖玄燁 (master)


[006-1a]
 欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷一
  首部一
   度量權衡
   命位
   加法
   減法
   因乘
[006-1b]
   歸除
[006-2a]
  度量權衡
虞書同律度量衡葢度量衡皆本於律而律為萬事
之本也漢志曰度者分寸尺丈引所以度長短也本
起於黄鐘之長以子榖秬黍中者一黍之廣度之九
十分黄鐘之長一為一分十分為寸十寸為尺十尺
為丈十丈為引而五度審矣量者龠合升斗斛所以
量多少也本起於黄鐘之龠以子榖秬黍中者千二
百實其龠合龠為合十合為升十升為斗十斗為斛
[006-2b]
而五量嘉矣權者銖兩斤鈞石所以權輕重也本起
於黄鐘之重一龠容千二百黍重十二銖兩之為兩
十六兩為斤三十斤為鈞四鈞為石而五權謹矣通
考曰律度量衡並因秬黍散為諸法其率可通外此
則代不一名度之異名者如左傳注方丈曰堵三堵
曰雉長三丈/高一丈易緯通卦驗十馬尾為一分孫子算術
曰蠶所吐絲為忽十忽為絲十絲為豪十豪為釐十
釐為分十分為寸十寸為尺十尺為丈小爾雅曰跬
一舉足也倍跬謂之步四尺謂之仞倍仞謂之㝷倍
[006-2b]
㝷謂之常五尺謂之墨倍墨謂之丈倍丈謂之端倍
[006-3a]
端謂之兩倍兩謂之疋疋百謂之束孔安國又以八
尺為仞説文曰人手却十分動脉為寸口十寸為尺
周制寸咫尺㝷常仞皆以人體為法又曰婦人手八
寸謂之咫周尺也又曰丈丈夫也周制以八寸為尺
十尺為丈人長八尺故曰丈夫量之異名者如左傳
齊舊四量豆區鬴鍾四升曰豆各自其四以登於鬴
六斗/四升鬴十則鍾六十/四斗論語注十六斗曰庾十六斛曰
秉孫子算術曰六粟為圭十圭為抄十抄為撮十撮
[006-3b]
為勺十勺為合漢應劭又以四圭為撮孟康以六十
四黍為圭小爾雅一手之盛謂之溢兩手謂之掬掬
四謂之豆豆四謂之區區四謂之釡釜二有半謂之
藪藪二有半謂之缶缶二謂之鍾鍾二謂之秉秉十
六斛衡之異名者如漢志注應劭曰十黍為纍十纍
為銖小爾雅二十四銖曰兩兩有半曰㨗倍㨗曰舉
倍舉曰鋝鋝謂之鍰二鍰四兩謂之斤斤十謂之衡
衡有半謂之秤秤二謂之鈞鈞四謂之石石四謂之
鼔通考唐劉承珪以忽萬為分絲則千豪則百釐則
[006-3b]
十轉以十倍倍之則為一錢黍以二千四百枚為一
[006-4a]
兩纍以二百四十銖以二十四是則度量衡之名不
一故其為制不同而紛雜難用然時易世殊古今沿
革有必不可比而同者故入算之際不過取其大同
者以審不齊之物耳要之度定扵丈量定扵石衡定
於兩大之而遞進扵無窮小之而遞析於不可測爰
悉其名目扵左以為數學之所資焉
度法丈以下曰尺十/寸十/分十/釐十/豪十/絲十/忽十/微
十/纖十/沙十/塵十/埃十/渺𣺌十/漠以下皆/以十析糢糊逡巡
[006-4b]
須臾瞬息彈指刹那六徳虚空清浄
量法石以下曰斗十/升十/合十/勺十/撮十/抄十/圭六/粟

衡法兩以下曰錢十/分十/釐十/豪十/絲十/忽忽以下並
與度法同
凡度量衡自單位以上則曰十百千萬億兆京垓秭
穰溝澗正載極恒河沙阿僧秪那由他不可思議無
量數
 自億以上有以十進者如十萬曰億十億曰兆之
[006-4b]
 類有以萬進者如萬萬曰億萬億曰兆之類有以
[006-5a]
 自乘之數進者如萬萬曰億億億曰兆之類今立
 法從中數
厯法則曰宮三十/度六十/分六十/秒六十/微六十/纖
六十/忽六十/芒六十/塵
又有日十二時又為/二十四小時八刻又以小/時為四刻十五/分分以下
與前同
田法則曰頃百/畝積二百/四十步積二十/四步
里法則三百六十步計一百八十丈為一里古稱在
[006-5b]
天一度在地二百五十里今尺驗之在天一度在地
二百里葢古尺得今尺之十分之八實縁縱黍横黍
之分也
石法二千五百寸按漢志曰斛重二鈞又曰四鈞為/石是二斛為一石也古尺斛積一
 千六百二十寸為今尺之八百六十寸有竒倍之/得古尺石積三千二百四十寸為今尺之一千七
 百二十寸有竒以權法凖之石重一百二十斤求/其積古尺應得三千一百一十寸為今尺之一千
 六百五十寸有竒今之權法又加古一倍則今尺/石積應得三千三百寸有竒今現行斛積為一千
 五百八十寸石積為三千一百六十寸舊算書所/載數各不同而多以二千五百寸為率摠之古今
 尺度不同古今量法亦不一須先求其斗斛之積/數然後用其積數以比例之方得密合今設例從
[006-5b]
 舊/數
[006-6a]
  命位
凡數視所命單位為本如度法命丈為單位則尺寸
分釐皆為竒零命尺為單位則寸以下為竒零而丈
則進而為十若命寸為單位則分以下為竒零而尺
則進而為十丈則進而為百量法命石為單位則斗
升合勺皆為竒零命斗為單位則升以下為竒零而
石則進而為十若命升為單位則合以下為竒零而
斗則進而為十石則進而為百衡法命兩為單位則
[006-6b]
錢分釐豪皆為竒零命錢為單位則分以下為竒零
而兩則進而為十若命分為單位則釐以下為竒零
而錢則進而為十兩則進而為百故凡列數單為一
位十為二位百為三位千為四位萬為五位如有數
一萬二千三百四十五則以單位為末向前列之共
有五位即知此數首位是萬矣至扵厯法宮度分秒
日時刻分之定位則每項命兩位如宮曰幾十幾宮
度曰幾十幾度分曰幾十幾分之類葢因秒以六十
而進分分以六十而進度度以三十而進宮故常例
[006-6b]
一位即命一等者宮度時刻則兩位命為一等而每
[006-7a]
一等有十單之别焉此又命位之最要者也
     凡數未至單位者必須作○以存其位
     如有數一萬二千三百四十丈則補作
     ○以存單位如上式 又如有數一萬
     二千丈則補作○○○以存百十單之
     位如下式
     凡數單位後有竒零者必作㸃於單位
     上以誌之如有金三百四十五兩六錢
[006-7b]
     七分命兩為單位則於五上作㸃誌之
     如上式 又如有米六石五斗四升三
     合命石為單位則於六上作㸃誌之如
     下式
     凡列衆數幾多位中有空者必作○以
     存其位如有數二萬零四百五十六此
     中千位無數故必作○於萬後百前以
     存其位如上式 又如有數一萬零三
     十四此中千位百位俱無數故補作兩
[006-7b]
     ○於萬後十前以存其位如下式
[006-8a]
     凡宮度分秒皆兩位列之如有一十一
     宮二十度三十二分四十五秒列位如
     上式 又如日時刻分列位日時分則
     兩位刻止一位列之如二十一日一十
     八時三刻零二分列位如下式
[006-9a]
  加減乘除
算法以加減乘除為入門然究其終雖至扵千變萬
化總不出乎此但用法不同耳或應取其相和之數
則用加或應取其相較之數則用減或應聚而總其
積則用乘或應散而取其分則用除又有先加而後
減者或先減而後加者有先乘而後除者或先除而
後乘者又有加減與乘除先後互用者古稱九章命
算自方田以至勾股數有繁簡理有顯晦法有淺深
[006-9b]
算有難易然何一不從加減乘除而得故淺言之則
算法之入門究言之實算法之全體也
[006-10a]
  加法
加者合衆數而成總也葢數始扵一終於九至十又
復為一等而上之十百千萬以至億兆京垓皆得名
之為一即皆自一而加者也今自一位言之有自一
至九之數合前後之位言之有單十百千萬之等先
自單數加起成十則進前一位仍為一以單數紀本
位下挨次併之即得總數若夫宮度時刻斤兩之類
則不以十進必足其所命之分始進一位如宮度足/六十分進
[006-10b]
一度足三十度進一宫如時刻足十五分進一刻足/四刻進一時足二十四時進一日如斤兩足十六兩
進一斤/之類至於定位則以原數列扵上加數列扵下或
大數列於上小數列於下按法依次對位列之加畢
所得之數依原列之位定之
設如有數一萬二千三百四十五與六千七百八十
 九相加
     法以原數横列於上加數横列於下按
     位相對加之如九與五相對單從單八/與四相對十從十百千萬
     數俱各/從其類單位之五九相加得十四進十
[006-10b]
     於前位為一誌之作一㸃於前位為誌/如進二十則作二㸃
[006-11a]
     如進三十/則作三㸃本位紀四書於横/格下次十位之
     四八相加得十二併所進之一為十三
     復進十於前位為一誌之本位紀三次
     百位之三七相加得十併所進之一為
     十一復進十於前位為一誌之本位紀
     一次千位之二六相加得八併所進之
     一為九於是本位紀九至於萬位獨有
     原數無可加則仍紀一所加之數共得
[006-11b]
     一萬九千一百三十四即總數也
設如有數一萬四千五百四十五與一萬七千三百
 五十相加
     法以原數横列於上加數横列於下加
     數内單位無數故作○以存其位仍按
     位相對加之單位之五對○無可加仍
     紀五次十位之四五相加得九本位紀
     九次百位之五三相加得八本位紀八
     次千位之四七相加得十一進十於前
[006-11b]
     位為一誌之本位紀一次萬位之一與
[006-12a]
     一相加得二併所進之一為三於是本
     位紀三所加之數共得三萬一千八百
     九十五即總數也
設如有二十三丈零五寸六分與二丈八尺六寸二
 分相加
     法以原數横列於上加數横列於下原
     數内尺位無數故作○以存其位仍按
     位相對加之分位之六二相加得八本
[006-12b]
     位紀八次寸位之五六相加得十一進
     十於前位為一誌之本位紀一次尺位
     之八對○無可加乃併所進之一為九
     本位紀九次丈位之三二相加得五本
     位紀五至扵十位獨有原數無可加則
     仍紀二所加之數共得二十五丈九尺
     一寸八分即總數也
設如有糧四萬五千零三十一石與三千零九十石
 相加
[006-12b]
     法以原數横列於上加數横列於下原
[006-13a]
     數内百位無數加數内百位單位俱無
     數故各作○以存其位仍按位相對加
     之石位之一對○無可加仍紀一次十
     位之三九相加得十二進十於前位為
     一誌之本位紀二次百位○與○無可
     加則以所進之一為本位數故下紀一
     次千位之五三相加得八本位紀八至
     於萬位獨有原數無可加則仍紀四所
[006-13b]
     加之數共得四萬八千一百二十一石
     即總數也
設如有銀八兩六錢五分四釐與四兩零六分二釐
 相加
     法以原數横列扵上加數横列扵下加
     數内錢位無數故作○以存其位仍按
     位相對加之釐位之四二相加得六本
     位紀六次分位之五六相加得十一進
     十於前位為一誌之本位紀一次錢位
[006-13b]
     之六對○無可加乃併所進之一為七
[006-14a]
     本位紀七次兩位之八四相加得十二
     進十於前位為一誌之本位紀二至扵
     十位無數則紀所進之一為一所加之
     數共得十二兩七錢一分六釐即總數
     也
設如有田三區一區五百九十二畝三分一區八百
 五十五畝九分一區七百八十二畝五分相加
     法以田三區按位横列相對加之分位
[006-14b]
     之三九五相加得十七進十於前位為
     一誌之本位紀七次畝位之二五二相
     加得九併所進之一為十進十於前位
     為一誌之本位紀○次十位之九五八
     相加得二十二併所進之一為二十三
     進二十於前位為二誌之本位紀三次
     百位之五八七相加得二十併所進之
     二為二十二進二十於前位為二誌之
     本位紀二至扵千位無數則紀所進之
[006-14b]
     二為二所加之數共得二千二百三十
[006-15a]
     畝零七分即總數也
設如有銀九宗一宗八千八百五十二兩一宗三千
 二百一十一兩一宗五百二十兩一宗九百三十
 八兩一宗二千五百九十兩一宗一千二百一十
 五兩一宗二千五百一十八兩一宗五千三百六
 十六兩一宗四千三百七十二兩相加
     法因九宗數繁難加故分為三次三次
     復併為一次則得共數其八千八百五
[006-15b]
     十二兩三千二百一十一兩五百二十
     兩相併則得一萬二千五百八十三兩
     其九百三十八兩二千五百九十兩一
     千二百一十五兩相併則得四千七百
     四十三兩其二千五百一十八兩五千
     三百六十六兩四千三百七十二兩相
     併則得一萬二千二百五十六兩既得
     三總數又將三數併之得二萬九千五
     百八十二兩即九宗共數也
[006-15b]
設如九宮二十度三十分二十六秒與六宫一十八
[006-16a]
 度二十分五十秒相加
     法以原數横列於上加數横列於下其
     每項各命兩位仍按各位相對加之秒
     之單位六對○無可加仍紀六秒之十
     位二五相加得七十乃以六十秒進一
     分誌於分之本位秒之十位紀一次分
     之單位○與○無可加則以所進之一
     為本位數故下紀一次分之十位三二
[006-16b]
     相加得五故下紀五次度之單位八對
     ○無可加仍紀八次度之十位二一相
     加得三十乃以三十度進一宮誌於宮
     之本位度之十位紀○次宮之本位九
     六相加得十五併所進之一為十六因
     十二宮滿一周天故逢十二去之餘四
     故下紀四所加之數共得四宫八度五
     十一分一十六秒即總數也
設如一日一十五時二刻八分與一日一十二時三
[006-16b]
 刻九分相加
[006-17a]
     法以原數横列於上加數横列於下日
     時分則合兩位共加刻則仍命以單位
     葢以四刻進一小時故也分位之八與
     九相加得十七十五分進一刻故於刻
     之本位下誌一餘二故單位下紀二十
     位下紀○次刻位之二與三相加得五
     併所進之一為六四刻進一時故於時
     之本位下誌一餘二故本位紀二次時
[006-17b]
     之單位五二相加得七併所進之一得
     八時之十位一與一相加得二共為二
     十八二十四時進一日故於日之本位
     下誌一餘四故時之單位下紀四十位
     下紀○次日之單位一與一相加得二
     併所進之一為三故下紀三所加之數
     共得三日四時二刻二分即總數也
設如有物重三十四斤十五兩五錢與二十一斤十
 四兩三錢相加
[006-17b]
     法以原數横列於上加數横列於下其
[006-18a]
     錢位斤位與斤之十位仍皆按位相對
     加之兩位與兩之十位則合其數共加
     之兩以十六方進一斤故合而加之如/列數有兩數無十數者仍作○以存
     十兩/之位錢位之五三相加得八本位紀八
     兩位之原數十五加數十四相加共得
     二十九則進十六兩於前斤位為一誌
     之其所餘十三兩則於兩位紀三十位
     紀一次斤位之四一相加得五併所進
[006-18b]
     之一為六本位紀六次十位之三二相
     加得五本位紀五所加之數共得五十
     六斤十三兩八錢即總數也
[006-19a]
  減法
減者較衆數而得餘也凡以少減多以小減大原有
之數書於上應減之數書於下横列必對其位相減
必從其類如千減千百/減百之類如或下數大於上數不足減
則借前位之一以減本位加法由後而進前減法則/借前而退後其理一也詳
見設/如中前位作一㸃以誌之既得本位則前位所借之
一併於前數而為減數然兩數相減必先辨其多寡
首位必大於減數始可其定位亦照原列之次為減
[006-19b]
餘位
設如有數五萬六千七百八十九内減四萬三千六
 百四十二
     法自單位減起單位之九減二餘七故
     下紀七十位之八減四餘四故下紀四
     百位之七減六餘一故下紀一千位之
     六減三餘三故下紀三萬位之五減四
     餘一故下紀一所減之數得一萬三千
     一百四十七即餘數也
[006-19b]
設如有數二萬三千六百七十二内減一萬六千四
[006-20a]
 百八十一
     法自單位減起單位之二減一餘一故
     下紀一十位之七減八為下大於上則
     借前位之一前位下作/一㸃為誌作本位之十共
     十七減八餘九故下紀九百位之六減
     四併十位所借之一則為六減五餘一
     故下紀一千位之三減六為下大於上
     則借前位之一前位亦作/一㸃為誌作本位之十
[006-20b]
     共十三減六餘七故下紀七萬位之二
     減一併千位所借之一則為二減二恰
     盡故下紀○所減之數得七千一百九
     十一即餘數也
設如有六丈七尺八寸九分一釐内減三丈四尺五
 寸九分九釐
     法自釐位減起釐位之一減九為下大
     於上則借前位之一前位下作/一㸃為誌作本位
     之十共十一減九餘二故下紀二分位
[006-20b]
     之九減九併釐位所借之一則為九減
[006-21a]
     十亦為下大於上故復借前位之一前/位
     下作一/㸃為誌作本位之十共十九減十餘九
     故下紀九寸位之八減五併所借之一
     則為八減六餘二故下紀二尺位之七
     減四餘三故下紀三丈位之六減三餘
     三故下紀三所減之數得三丈三尺二
     寸九分二釐即餘數也
設如有米六十五石四斗三升二合内減四十六石
[006-21b]
 二斗七升三合
     法自合位減起合位之二減三為下大
     於上則借前位之一前位下作/一㸃為誌作本位
     之十共十二減三餘九故下紀九升位
     之三減七併合位所借之一則為三減
     八為下大於上則借前位之一前位下/作一㸃
     為/誌作本位之十共十三減八餘五故下
     紀五斗位之四減二併升位所借之一
     則為四減三餘一故下紀一石位之五
[006-21b]
     減六為下大於上則借前位之一前位/下作
[006-22a]
     一㸃/為誌作本位之十共十五減六餘九故
     下紀九十位之六減四併所借之一則
     為六減五餘一故下紀一所減之數得
     十九石一斗五升九合即餘數也
設如有銀十五兩三錢六分七釐内減九兩二錢三
 分四釐
     法自釐位減起釐位之七減四餘三故
     下紀三分位之六減三餘三故下紀三
[006-22b]
     錢位之三減二餘一故下紀一兩位之
     五減九為下大於上則借前位之一前/位
     下作一/㸃為誌作本位之十共十五減九餘六
     故下紀六十位之一減兩位所借之一
     恰盡故下紀○所減之數得六兩一錢
     三分三釐即餘數也
設如七宮一十八度二十七分五十二秒内減九宮
 二十一度三十五分四十三秒
     法自秒位減起秒之單位二減三為下
[006-22b]
     大於上則借前位之一前位下作/一㸃為誌作本
[006-23a]
     位之十共十二減三餘九故下紀九秒
     之十位五減四併所借之一則為五減
     五恰盡故下紀○分之單位七減五餘
     二故下紀二分之十位二減三為下大
     於上則借度位之一為六十分度位下/作一㸃
     為/誌六十分與原二十分共為八十分内
     減三十分餘五十分故下紀五度之單
     位八減一併所借之一則為八減二餘
[006-23b]
     六故下紀六度之十位一減二為下大
     於上則借宮位之一為三十度宮位下/作一㸃
     為/誌三十度與原十度共為四十度内減
     二十度餘二十度故下紀二宮之單位
     七減九併所借之一則為七減十為下
     大於上則外借一周天為十二宮十二
     宮與原七宮共為十九宮内減十宮餘
     九宮故下紀九所減之數得九宮二十
     六度五十二分九秒即餘數也
[006-23b]
設如一十二日二十二時三刻零九分内減一十一
[006-24a]
 日二十三時三刻十分
     法自分位減起日位刻位俱各按單位
     相減其分位時位則合兩位減之分位
     之九減十為下大扵上則借刻位之一
     為十五分刻之本位下/作一㸃為誌十五分與原九
     分共為二十四分内減十分餘十四分
     故分之單位紀四分之十位紀一刻之
     本位三減三併所借之一則為三減四
[006-24b]
     為下大扵上則借時位之一為四刻時/之
     單位下作/一㸃為誌四刻與原三刻共為七刻内
     減四刻餘三刻故本位下紀三時位之
     二十二減二十三併所借之一則為二
     十二減二十四為下大扵上則借日位
     之一為二十四時日之本位下/作一㸃為誌二十四
     時與原二十二時共為四十六時内減
     二十四時餘二十二時故時之單位下
     紀二時之十位下亦紀二日位之二減
[006-24b]
     一併所借之一則為二減二恰盡故下
[006-25a]
     紀○日之十位之一減一恰盡故亦紀
     ○所減之數得二十二時三刻一十四
     分即餘數也
設如有物十五斤零四兩八錢内減十二斤十二兩
 三錢
     法自錢位減起錢位之八減三餘五故
     下紀五兩位之四減二似非下大扵上
     然原數兩之十位為○十六兩為一斤/故作○於斤後
[006-25b]
     兩前以存/十兩之位而減數兩之十位為一則為
     四兩減十二兩亦為下大扵上故借斤
     位之一為十六兩斤位下作/一㸃為誌十六兩與
     原四兩共為二十兩内減十二兩餘八
     兩故兩之單位紀八十位紀○斤位之
     五減二併所借之一則為五減三餘二
     故下紀二十位之一減一恰盡故下紀
     ○所減之數得二斤零八兩五錢即餘
     數也
[006-26a]
  因乘
因乘者生數也以數生數有生生不已之義焉凡有
幾數彼此按次加之為得總數然所加之次數多則
必至於煩而無統此因乘之所以立也因者一位相
因而得如二因三而成六四因二而成八也乘者多
位相乘而得如兩位以上則各以每位所因之數而
又層累以積之也其法以原數為實乘數為法實列
於上法列扵下必使法實相當如千對千百對百十/對十單對單之類
[006-26b]
按法乘實合而加之為所得數定位之法視其法實
所命之單位後有竒零與否如無竒零則實中所命
之單位相對即法尾之數若有竒零則法實相乘者
法實之一位統得數之二位如單位後竒零有一位/則截得數之二位竒零
有二位則截得數之四/位向前為單位計之法實相乘再以法乘者即自/乘再
乘/也法實之一位統得數之三位如單位後竒零有一/位則截得數之三位
竒零有二位則截得數之/六位向前為單位計之是故得數以一位論者則
為單十百千之類以兩位論者則為自乘之類以三
位論者則為自乘再乘之類錯綜交互用法不一必
[006-26b]
須臨題詳審求其無誤始為得之具見設如於左
[006-27a]
設如有三人每人賞縀二疋問共得幾疋
     法以三人為實列於上二疋為法列扵
     下以二因三得六即書於本位下定位
     以實之三人即是單位而法又止一位
     為疋今得數之六與實之單位相對故
     知六是疋位得共數為六疋也
設如有八人每人賞米六石問共得幾石
     法以八人為實列扵上六石為法列扵
[006-27b]
     下以六因八得四十八將四書於前位
     下前位為十位故/十數紀前位下八書於本位下本位/為單
     位故單數/紀本位下定位以實之八人即是單位
     而法亦止一位為石今得數之八與實
     之單位相對即知八是石位而四在石
     之前一位故知四是十位得共數為四
     十八石也
設如有一十二人每人賞銀五兩問共得幾兩
     法以一十二人為實列於上五兩為法
[006-27b]
     列扵下命兩位與人之單位相齊先以
[006-28a]
     五乘二得一十將十進前一位作一㸃
     誌之紀○於本位下此數無單/故下紀○次以五
     乘一仍得五併所進之一為六故書六
     於本位下一雖為十位而以五乘/一則一下為本位矣共得
     六○定位因實之單位對法之兩位而
     得數之○與實之單位相對故知○為
     兩位而六為十位得共數為六十兩也
設如有二十四人每人賞銀三兩六錢問共得幾兩
[006-28b]
     法以二十四人為實列於上三兩六錢
     為法列於下命錢位與人之單位相齊
     乃以法之六遍乘實之二四其所得之
     單位數即對本法位下書之六乘四得
     二十四將二十進前一位作二㸃誌之
     四書於本位下次以六乘二得一十二
     将十進前一位為一書之二併所進之
     二為四故書四於本位下二雖為十位/而以六乘二
     則二下即/為本位矣法之六既與實乘畢次以法
[006-28b]
     之三遍乘實之二四其所得之單位數
[006-29a]
     即對本法位下書之三乘四得一十二
     將十進前一位作一㸃誌之二書於本
     位下次以三乘二得六併所進之一為
     七故書七於本位下法之三又與實乘
     畢乃用加法併之共得八六四總書扵
     下定位以實尾之四係四人為單位而
     法尾為錢今得數末位之四與實之單
     位相對即知四是錢位二位為兩三位
[006-29b]
     為十兩得共數為八十六兩四錢也
設如有田三百六十畝每畝納糧三升五合問共得
 若干
     法以三百六十畝為實列扵上三升五
     合為法列於下實之單位無數則補○
     以存其位命合位與畝之單位相齊乃
     以法之五遍乘實之三六○其所得之
     單位數即對本法位下書之五乘○仍
     為○故下紀○五乘六得三十將三十
[006-29b]
     進前一位作三㸃誌之本位紀○五乘
[006-30a]
     三得一十五將十進前一位為一書之
     五併所進之三為八故書八於本位下
     又以法之三遍乘實之三六○其所得
     之單位數即對本法位下書之三乘○
     仍為○故下紀○三乘六得一十八將
     十進前一位作一㸃誌之八書於本位
     下三乘三得九併所進之一為十故進
     前一位為一書之本位紀○乘畢用加
[006-30b]
     法併之共得一二六○○總書於下定
     位以實尾之○係單位法尾是合今得
     數末位之○與實之單位相對即知末
     位之○是合前一位是升向前數至首
     位得十石因知共數為一十二石六斗
     也
設如有田三頃五十畝每頃納糧一石二斗三升問
 共得若干
     法以三頃五十畝為實列於上因畝位/無數故
[006-30b]
     作○以/存其位一石二斗三升為法列於下命
[006-31a]
     石位與頃之單位相齊題中言每頃納/一石故石與頃
     對為/單位乃以法之三遍乘實之三五○其
     所得之單位數即對本法位下書之三
     乘○仍得○故下紀○次以三乘五得
     一十五將十進前一位作一㸃誌之五
     書於本位下次以三乘三得九併所進
     之一為十故進前一位為一書之本位
     紀○又以法之二遍乘實之三五○其
[006-31b]
     所得之單位數即對本法位下書之二
     乘○仍得○故下紀○二乘五得一十
     將十進前一位作一㸃誌之本位紀○
     二乘三得六併所進之一為七故書七
     於本位下又以法之一遍乘實之三五
     ○其所得之單位數即對本法位下書
     之一乘○仍得○一乘五仍得五一乘
     三仍得三俱各書於本位下乘畢用加
     法併之共得四三○五○總書於下定
[006-31b]
     位因每頃納糧一石二斗三升即命頃
[006-32a]
     為單位而石亦為單位其後二位則為
     竒零凡法實之竒零有一位則統得數
     之兩位今竒零既有二位則統得數之
     四位故從後截去四位而第五位定為
     石因知共數為四石三斗零五合也
設如有金三十六兩每兩價銀九兩九錢八分問共
 價幾何
     法以三十六兩為實列於上九兩九錢
[006-32b]
     八分為法列於下實中錢位分位俱無
     數則補作○○以存其位命分位與分
     位相齊乃以法之八遍乘實之三六○
     ○先以八乘○○仍得○○故下紀○
     ○次以八乘六得四十八將四十進前
     一位作四㸃誌之八書於本位下次以
     八乘三得二十四將二十進前一位為
     二書之四併所進之四為八故書八於
     本位下又以法之九遍乘實之三六○
[006-32b]
     ○先以九乘○○仍得○○故下紀○
[006-33a]
     ○次以九乘六得五十四將五十進前
     一位作五㸃誌之四書於本位下次以
     九乘三得二十七將二十進前一位作
     二㸃誌之七併所進之五為十二十又
     進前一位為一併所誌之二為三故前
     位書三本位書二又以法之九遍乘實
     之三六○○先以九乘○○仍得○○
     故下紀○○次以九乘六得五十四將
[006-33b]
     五十進前一位作五㸃誌之四書於本
     位下次以九乘三得二十七將二十進
     前一位作二㸃誌之七併所進之五為
     十二十又進前一位為一併所誌之二
     為三故前位書三本位書二乘畢用加
     法併之共得三五九二八○○定位因
     題言每兩價銀九兩九錢八分爰以兩
     為單位其後二位則為竒零竒零既有
     二位則統得數之四位故從後截去四
[006-33b]
     位而第五位定為兩第六位為十第七
[006-34a]
     位為百因知共數為三百五十九兩二
     錢八分也
設如有物二十六斤求兩數
     法以二十六斤為實列於上以每斤十
     六兩為法列於下乃以法之六遍乘實
     之二六其所得之單位數即對本法位
     下書之六乘六得三十六將三十進前
     一位作三㸃誌之六書扵本位下次以
[006-34b]
     六乘二得一十二將十進前一位為一
     書之二併所進之三為五故書五於本
     位下又以法之一遍乘實之二六其所
     得之單位數即對本法位下書之一乘
     六仍得六故下書六次以一乘二仍得
     二故下書二乘畢用加法併之得四一
     六定位因實尾是單位而法尾又是兩
     位故得數末位之六即為單位為兩而
     前一位為十又前一位為百因知得數
[006-34b]
     為四百一十六兩也
[006-35a]
     又法斤求兩身加六名為定身加法葢
     以十六兩之十為一乘之仍得原數故
     以本身加六即得如二十六斤則從首
     位加起二六加一十二將一對實之十
     位二對實之單位下書之又六六加三
     十六則三對實之單位而六對實之單
     位後一位書之用加法相併得四一六
     定位以原斤數之後一位為兩今得數
[006-35b]
     末位之六在原斤數之後一位即知是
     兩因知得數為四百一十六兩也
設如周天三百六十度每度六十分問共得若干分
     法以三百六十度為實列扵上以六十
     分為法列扵下因單位俱無數故/各作○以存其位乃以
     法之○遍乘實之三六○仍皆得○故
     各紀○於各位下又以法之六遍乘實
     之三六○其所得之單位數即對本法
     位下書之六乘○仍得○故本位下紀
[006-35b]
     ○次以六乘六得三十六將三十進前
[006-36a]
     一位作三㸃誌之六書於本位下次以
     六乘三得一十八將十進前一位作一
     㸃誌之八併所進之三為十一十又進
     前一位為一併所誌之一為二故前位
     書二本位書一乘畢用加法併之共得
     二一六○○定位以實之末位是單位
     法之末位是分今求分數故得數末位
     之○即是分之單位向前數至首位得
[006-36b]
     萬因知共數為二萬一千六百分也
設如有驗時儀墜子來一秒往一秒今十五分問共
 得來往幾秒
     法以十五分為實列於上以每分六十
     秒為法列於下乃以法之○遍乘實之
     一五仍皆得○故各紀○於本位下又
     以法之六遍乘實之一五其所得之單
     位數即對本法位下書之六乘五得三
     十將三十進前一位作三㸃誌之本位
[006-36b]
     紀○次以六乘一仍得六併所進之三
[006-37a]
     為九故書九於本位下定位以實之末
     位是單位法之末位是秒今求秒數故
     得數末位之○即是秒之單位其前一
     位為十又前一位為百因知共數為九
     百秒也
設如一尺二寸自乘求積以本數乘本/數故為自乘
     法以一尺二寸互為法實列扵上下乃
     以法之二遍乘實之一二其所得之單
[006-37b]
     位數即對本法位下書之二乘二得四
     故下書四次以二乘一仍得二故下書
     二又以法之一遍乘實之一二其所得
     之單位數即對本法位下書之一乘二
     仍得二故下書二次以一乘一仍得一
     故下書一乘畢用加法併之共得一四
     四定位因自乘數成平方面其每一尺
     正方面容積一百寸故百寸為尺百尺
     為丈俱以兩位命之今實之末位為寸
[006-37b]
     即命為單位法之末位是寸得數末位
[006-38a]
     之四與實之單位相對即知為寸位向
     前第二位為十寸第三位為百寸既以
     百寸為尺即知得數為一尺四十四寸
     也若命尺為單位則扵尺上命位其後
     一位為竒零故扵得數内從末截去二
     位以第三位為尺葢自乘乃兩數相乘/兩數既各有一位零
     數故截去/兩位算也今得數有三位即知首位為
     一尺首位既為尺末位又既為寸則中
[006-38b]
     一位為十寸可知矣
設如一尺二寸自乘再乘求積以本數乘本數所得/之數又以本數乘之
 故謂之自/乘再乘
     法先以一尺二寸互為法實按法自乘
     得一尺四十四寸又以一尺四十四寸
     為實復以一尺二寸為法按法乘之共
     得一七二八定位因自乘再乘數成立
     方體其每一尺正方體容積一千寸故
     以千寸為尺千尺為丈俱以三位命之
[006-38b]
     今實之末位為寸即命為單位法之末
[006-39a]
     位是寸得數末位之八與實之單位相
     對即知為寸位向前第二位為十寸第
     三位為百寸第四位為千寸既以千寸
     為一尺即知得數為一尺七百二十八
     寸也若命尺為單位則於尺上命位其
     後一位為竒零故扵得數内從末截去
     三位以第四位為尺葢自乘再乘乃以/三數相乘三數既
     各有一位零數故/截去三位算也今得數有四位即知
[006-39b]
     首位為一尺首位既為尺末位又既為
     寸則中二位為十寸百寸可知矣
[006-40a]
  歸除
歸除者分數也以數分數有各得均齊之義焉凡有
兩數以此數減彼數減得幾次即為所得然所減之
次數多則益至於紛而難紀此歸除之所以立也歸
者一位歸之而得如歸作幾分而均分之也除者多
位除之而得葢以所得之數與法相因而於實内除
去也其法以原數為實横列於下除數為法横列於
上法之小於實者法之首位與實之首位列齊法之
[006-40b]
大於實者則法比實退一位看實足法幾倍即為得
數自法之末位上紀所得之數既得數乃以所得與
法相因書於實下與實相減餘者即為次商實依次
按法歸除以恰盡為度減餘者乃所得與法相因之/數在實中所減者其數每與
法位相對即初商之餘實也至於實位所餘之數則/每次取下一位續於減餘之末以為每商之實若實
無餘位而歸除仍未盡/者則按位添○以紀之如實不足法之一倍者則得
數為○定位之法以法中所命單位與原實相對之
數為所得之首位數若實之位數少於法者則作幾
○位以補足法然後位數一覽即明至於一位歸除
[006-40b]
㨗法則竟以原數書於上就身用幾分分之得數書
[006-41a]
於下其定位仍照原列之位定之具見設如於左
設如有緞六疋令三人分之問每人得幾疋
     法以六疋為實列於下三人為法列於
     上今法與實俱為單位而法比實小故
     列法與實相齊爰看實足法幾倍今足
     二倍故書二於法上乃以得數之二與
     法之三相因得六書於實下與實相減
     恰盡即得數為二疋也定位因法之三
[006-41b]
     人即為單位而實亦止一位為疋是法
     之單位與實之疋位相對故得數為二
     疋也
設如有米六十四石令八人分之問每人得幾石
     法以六十四石為實列於下八人為法
     列扵上因法之八大於實之首位之六
     故將法退一位書之爰看實足法幾倍
     今足八倍故書八於法上乃以得數之
     八與法之八相因得六十四書於實下
[006-41b]
     其所得單位數即對/得數之本位下書之與實相減恰盡即
[006-42a]
     得數為八石也定位因法之八人即為
     單位而與實之石位相對故得數為八
     石也
設如有銀三百四十三兩令七人分之問每人得幾
 兩
     法以三百四十三兩為實列於下七人
     為法列於上因法之七大於實之首位
     之三故將法退一位書之爰看實足法
[006-42b]
     幾倍今實前兩位為三四足法之四倍
     何以知其足法之四倍葢實之三十四/内足法之七之四倍為二十八如法之
     七之五倍則為三/十五比實則大矣故書四於法上乃以
     得數之四與法之七相因得二十八書
     於實下其所得單位數即對得數/之本位下書之後倣此與實
     相減餘六次取實數所餘之三書於減
     餘之後共六三為次商實爰看實之六
     三足法幾倍今足九倍故書九於得數
     之次乃以得數之九與法之七相因得
[006-42b]
     六十三書於次商實之下與實相減恰
[006-43a]
     盡即得數為四十九兩也定位因法之
     七人即為單位而與實中之兩之十位
     相對故得數首位即為十而次位為兩
     是知每人得四十九兩也
設如有絲四十五斤共織得緞九十二丈二尺五寸
 問每斤織得若干
     法以九十二丈二尺五寸為實列於下
     四十五斤為法列於上因法之首位四
[006-43b]
     小於實之首位九故列法與實相齊爰
     看實之九二足法之二倍故書二於法
     上乃以得數之二與法之四五相因得
     九○書於實下與實相減餘二次取實
     數所餘之二書於減餘之後共二二為
     次商實今實之二二不足法之四五之
     一分故得數為○乃紀○於上復取實
     數所餘之五書於二二之後共二二五
     為三商實次商實之二二不足法之四/五故再取實之一位續書於
[006-43b]
     下謂之三商實者/○位為次商故也爰看實之二二五足
[006-44a]
     法之五倍故書五於上乃以得數之五
     與法之四五相因得二二五書於實下
     與實相減恰盡即得數為二丈零五寸
     也定位因法之五斤為單位而與實之
     丈位相對故得數首位即為丈等而下
     之為尺為寸是知每斤織得二丈零五
     寸也
設如有田四十五畝六分共納榖五十七石問每畝
[006-44b]
 納榖若干
     法以五十七石為實列於下四十五畝
     六分為法列於上因法之首位四小於
     實之首位五故列法與實相齊又因實
     之位數少於法故補作○以足其位爰
     看實之五七○足法之一倍故書一於
     法上乃以得數之一與法之四五六相
     因仍得四五六書於實下與實相減餘
     一一四此後實無餘位故添書一○於
[006-44b]
     減餘之末為次商實爰看一一四○足
[006-45a]
     法之二倍故書二於上乃以得數之二
     與法之四五六相因得九一二書於實
     下與實相減餘二二八又添書一○於
     減餘之末為三商實爰看二二八○足
     法之五倍故書五於上乃以得數之五
     與法之四五六相因得二二八○書於
     實下與實相減恰盡即得數為一石二
     斗五升也定位因法之五畝為單位而
[006-45b]
     與實之石位相對故得數首位為石是
     知每畝納榖一石二斗五升也
設如有丹砂一兩價值錢二萬五千文問每錢一文
 該得丹砂幾何
     法以丹砂一兩為實列於下錢二萬五
     千為法列於上因法之首位二大於實
     之首位一故將法退一位列之又因法
     之百位十位單位俱無數故各作○以
     存其位而實亦作五○位以補足法爰
[006-45b]
     看實足法之四倍故書四於法上乃以
[006-46a]
     得數之四與法之二五○○○相因得
     一○○○○○書於實下與實相減恰
     盡即得數為四絲也定位因法之末位
     ○係單位故從實之首位一兩數至法
     之單位相對之位為絲是知每錢一文
     得丹砂四絲也
設如有銀一千二百五十兩買果賞人每果一枚價
 二釐五豪問買果若干
[006-46b]
     法以一千二百五十兩補五○位為實
     列於下因法之末位是豪故補五○位/與法相對葢命實為一千二百
     五十萬/豪也二釐五豪為法列於上爰看實
     之一二五足法之五倍故書五於法上
     乃以得數之五與法之二五相因得一
     二五書於實下與實相減恰盡然實後
     尚有五○位故得數後亦添五○位為
     五十萬也定位因法實俱至豪位止即
     命豪為單位爰從實之末位數至法之
[006-46b]
     單位相對之位為十萬是知得果為五
[006-47a]
     十萬枚也
設如有物重三百八十四兩問得斤數若干
     法以三百八十四兩為實列於下每斤
     一十六兩為法列於上爰看實之三八
     足法之二倍故書二於法上乃以得數
     之二與法之一六相因得三十二書於
     實下與實相減餘六次取實數之四書
     於減餘之後共為六四因足法之四倍
[006-47b]
     故書四於上乃以得數之四與法之一
     六相因得六十四書於實下與實相減
     恰盡即得數為二十四斤也定位因法
     之兩數為單位而與實之十位相對故
     知得數為二十四斤也
     又法名為斤稱流法其法曰一退六二
     五如一萬兩則為六百二十五斤一千/兩則為六十二斤半一百兩則為六
     斤二分半皆以十遞析/退者退一位命之也二一二五如二/萬兩
     則為一千二百五十斤二千兩則為一/百二十五斤二百兩則為十二斤半不
[006-47b]
     言退者對位命/之也餘倣此三一八七五四二五五
[006-48a]
     三一二五六三七五七四三七五八五
     九五六二五如三百八十四兩則列於
     上先以三之一八七五通之爰將一對
     三之本位以下依次向後書之次以八
     之五通之將五對八之本位書之次以
     四之二五通之將二對四之本位書之
     五則列於次位三數書畢乃以加法併
     之得數為二十四斤定位因兩之前一
[006-48b]
     位為斤今得數之四在兩之前一位故
     四即為斤位而又前一位則為十位是
     知得數為二十四斤也
設如周天三百六十度分十二宮問每宮得若干度
     法以三百六十度為實列於下一十二
     宮為法列於上爰看實之三六足法之
     三倍故書三於法上乃以得數之三與
     法之一二相因得三六書於實下與實
     相減恰盡然實後尚有○位故得數後
[006-48b]
     亦添一○位即得數為三十度也定位
[006-49a]
     因法之二為單位而與實之十位相對
     故得數首位為十而每宮為三十度也
設如一日之中得一千四百四十分以九十六刻分
 之問每刻得若干分
     法以一千四百四十分為實列於下以
     九十六刻為法列於上爰看實之一四
     四僅足法之一倍故書一於法上乃以
     得數之一與法之九六相因仍得九六
[006-49b]
     書於實下與實相減餘四八次取實之
     ○位書於減餘之後共為四八○因足
     法之五倍故書五於上乃以得數之五
     與法之九六相因得四八○書於實下
     與實相減恰盡即得數為一十五分也
     定位因法之六為單位而與實之十位
     相對故得數首位為十而每刻為一十
     五分也
  一位歸除㨗法
[006-49b]
設如有銀三十四萬五千六百七十八兩作二分分
[006-50a]
 之問每分若干
     法以三十四萬五千六百七十八兩為
     實列於上視首位之三足二分之幾何
     今足一倍故下書一一二除二餘一乃
     移於下位為十下位作/㸃為誌併下位之四共
     為十四足二分之七倍故下書七二七
     除一十四恰盡次五足二分之二倍故
     下書二二二除四餘一移於下位為十
[006-50b]
     併下位之六共為十六足二分之八倍
     故下書八二八除一十六恰盡次七足
     二分之三倍故下書三二三除六餘一
     移於下位為十併下位之八共為十八
     足二分之九倍故下書九二九除一十
     八恰盡定位因得數仍原數之位故知
     每分得一十七萬二千八百三十九兩
     也
設如有銀一十二萬三千四百五十三兩作九分分
[006-50b]
 之問每分若干
[006-51a]
      法以一十二萬三千四百五十三兩為
      實列於上因首位之一小於九分故移
      於下位為十併下位之二共為十二足
      九分之一倍故下書一一九除九餘三
      移於下位為三十併下位之三共為三
      十三足九分之三倍故下書三三九除
      二十七餘六移於下位為六十併下位
      之四共為六十四足九分之七倍故下
[006-51b]
      書七七九除六十三餘一移於下位為
      十併下位之五共為十五足九分之一
      倍故下書一一九除九餘六移於下位
      為六十併下位之三共為六十三足九
      分之七倍故下書七七九除六十三恰
      盡定位因得數比原數退一位故知每
      分得一萬三千七百一十七兩也
 
 
[006-51b]
御製數理精藴下編卷一