[040-1a]
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷三十五
末部五
借根方比例面類/
[040-2a]
面類
設如大小兩正方面積共二百一十八尺其大方面
積比小方面積多一百二十尺問大小方面積各
幾何
法借一根為小方面毎邊之數自乘得
一平方為小方面積則大方面積為一
平方多一百二十尺兩數相加得二平
方多一百二十尺與共積二百一十八
[040-2b]
尺相等一百二十尺與二百一十八尺
各減去一百二十尺餘二平方與九十
八尺相等二平方旣與九十八尺相等
則一平方必與四十九尺相等卽小方
面積加一百二十尺得一百六十九尺
卽大方面積也此卽減法因面類之/首故設此最易者焉
設如甲乙二長方面積共三百尺甲長八尺乙長二
丈四尺其甲闊比乙闊為二倍問二長方闊數積
數各幾何
[040-2b]
法借一根為乙之闊數則甲之闊為二
[040-3a]
根以一根與一丈四尺相乘得十四根
為乙之面積以二根與八尺相乘得十
六根為甲之面積相加得三十根與三
百尺相等三十根旣與三百尺相等則
一根必與十尺相等卽乙之闊數與長
一丈四尺相乘得一百四十尺為乙之
面積於共積三百尺内減之餘一百六
十尺為甲之面積或倍乙之闊十尺得
[040-3b]
二十尺為甲之闊與長八尺相乘亦得
一百六十尺為甲之面積也此歸/除法
設如有甲乙丙三長方甲方闊十尺不知長乙方闊
十六尺長與甲等丙方闊四尺面積與甲之長相
等又甲乙二方之共面積與丙方之長數相併為
三千一百五十尺問三方各長若干
法借一根為甲方之長數以闊十尺乘
之得十根為甲方之面積乙方之長與
甲等亦為一根以闊十六尺乘之得十
[040-3b]
六根為乙方之面積丙方之面積與甲
[040-4a]
之長相等亦為一根以闊四尺除之得
四分根之一為丙方之長數以甲方之
面積十根乙方之面積十六根丙方之
長數四分根之一相併共得二十六根
又四分根之一與三千一百五十尺相
等二十六根又四分根之一旣與三千
一百五十尺相等則一根必與一百二
十尺相等卽甲方之長數亦卽乙方之
[040-4b]
長數亦卽丙方之面積以甲方闊十尺
與長一百二十尺相乘得一千二百尺
卽甲方之面積以乙方闊十六尺與長
一百二十尺相乘得一千九百二十尺
卽乙方之面積以丙方闊四尺除面積
一百二十尺得三十尺卽丙方之長數
也此歸/除法
設如有長方形其長闊和五百零四丈面積為闊自
乘之七倍問長闊各幾何
[040-4b]
法借一根為闊數則長數為五百零四
[040-5a]
丈少一根以一根與五百零四丈少一
根相乘得五百零四根少一平方為長
方面積又以一根自乘得一平方七因
之得七平方亦為長方面積而與五百
零四根少一平方相等兩邊各加一平
方得八平方與五百零四根相等八平
方與五百零四根各降一位則為八根
與五百零四丈相等八根旣與五百零
[040-5b]
四丈相等則一根必與六十三丈相等
卽長方之闊數與五百零四丈相減餘
四百四十一丈卽長數也以闊六十三
丈自乘得三千九百六十九丈以闊六
十三丈與長四百四十一丈相乘得二
萬七千七百八十三丈為闊自乘之七
倍也此比/例法
設如有樓一座不知髙數正方池一面不知邊數但
云以六丈與樓之髙數相乘與池之邊數等以一
[040-5b]
百零八丈與樓之髙數相乘與池之面積等問樓
[040-6a]
髙及池邊數各幾何
法借一根為樓之髙數以一根與六丈
相乘得六根為池之邊數自乘得三十
六平方為池之面積又以一根與一百
零八丈相乘得一百零八根亦為池之
面積是為三十六平方與一百零八根
相等三十六平方與一百零八根各降
一位則為三十六根與一百零八丈相
[040-6b]
等三十六根旣與一百零八丈相等則
一根必與三丈相等卽樓之髙數以六
丈乘之得一十八丈為池之邊數自乘
得三百二十四丈為池之面積又以一
百零八丈與樓髙三丈相乘亦得三百
二十四丈與池之面積相等也此面積/相除法
設如甲乙二人有銀不言兩數但知其銀之比例同
於八與五若以二人銀相併則與二人銀相乘之
數等問二人銀各若干
[040-6b]
法借八根為甲銀數五根為乙銀數相
[040-7a]
乘得四十平方又以八根與五根相加
得一十三根是為四十平方與十三根
相等四十平方與十三根各降一位則
為四十根與十三兩相等四十根旣與
十三兩相等則八根必與二兩六錢相
等卽甲銀數五根必與一兩六錢二分
五釐相等卽乙銀數兩數相加得四兩
二錢二分五釐若以兩數相乘亦得四
[040-7b]
兩二錢二分五釐也此比/例法
設如有大小二正方池小池毎邊為大池毎邊之三
分之一二池共邊數為二池共面積之五十分之
一問二池邊數面積各幾何
法借一根為小池毎邊之數則大池毎
池之數為三根兩邊數相加得四根又
以一根自乘得一平方為小池面積以
三根自乘得九平方為大池面積兩面
積相加得十平方為二池共邊之五十
[040-7b]
倍乃以共邊四根以五十乘之得二百
[040-8a]
根是為十平方與二百根相等十平方
與二百根各降一位則為十根與二百
丈相等十根旣與二百丈相等則一根
必與二十丈相等卽小池毎邊之數三
因之得六十丈卽大池毎邊之數也兩
邊數相加得八十丈又以小池毎邊二
十丈自乘得四百丈為小池面積以大
池毎邊六十丈自乘得三千六百丈為
[040-8b]
大池面積兩面積相加得四千丈為共
邊之五十倍也此二正方邊線/面積比例法
設如有甲乙丙三正方乙方毎邊為甲方毎邊之四
分之一丙方毎邊為甲方毎邊之八分之一而乙
丙兩方之共面積為甲方毎邊之十倍問三方邊
數面積各幾何
法借八根為甲方毎邊之數則乙方毎
邊之數為二根丙方毎邊之數為一根
以二根自乘得四平方為乙方面積以
[040-8b]
一根自乘得一平方為丙方面積兩面
[040-9a]
積相加得五平方為甲方毎邊之十倍
乃以甲方毎邊八根十因之得八十根
是為五平方與八十根相等五平方與
八十根各降一位則為五根與八十尺
相等五根旣與八十尺相等則一根必
與十六尺相等卽丙方毎邊之數倍之
得三十二尺卽乙方毎邊之數八因之
得一百二十八尺卽甲方毎邊之數也
[040-9b]
以乙方每邊三十二尺自乘得一千零
二十四尺為乙方面積以丙方毎邊十
六尺自乘得二百五十六尺為丙方面
積兩面積相加得一千二百八十尺為
甲方毎邊之十倍也此三正方邊線/面積比例法
設如有甲乙二正方甲方為乙方毎邊之三倍以甲
方邊四分之一與乙方面積相乘則與甲方面積
等問二方邊數面積各幾何
法借十二根為甲方毎邊之數則乙方
[040-9b]
毎邊之數為四根以十二根自乘得一
[040-10a]
百四十四平方為甲方面積以四根自
乘得一十六平方為乙方面積取甲方
邊四分之一三根與乙方面積一十六
平方相乘得四十八立方是為四十八
立方與一百四十四平方相等四十八
立方與一百四十四平方各降二位則
為四十八根與一百四十四尺相等四
十八根旣與一百四十四尺相等則十
[040-10b]
二根必與三十六尺相等卽甲方毎邊
之數三歸之得十二尺卽乙方毎邊之
數也以三十六尺自乘得一千二百九
十六尺卽甲方之面積以十二尺自乘
得一百四十四尺卽乙方之面積以甲
方毎邊四分之一九尺與乙方面積相
乘得一千二百九十六尺與甲方面積
相等也此二正方邊線/面積比例法
設如有大小二正方大方邊與小方邊之比例同於
[040-10b]
五與三大方面積比小方面積多二千三百零四
[040-11a]
丈問大小二方邊各幾何
法借三根為小方毎邊之數則大方毎
邊之數為五根以三根自乘得九平方
為小方之面積以五根自乘得二十五
平方為大方之面積二面積相減餘一
十六平方與二千三百零四丈相等一
十六平方旣與二千三百零四丈相等
則一平方必與一百四十四丈相等開
[040-11b]
平方得一十二丈為一根之數三因之
得三十六丈卽小方毎邊之數五因之
得六十丈卽大方毎邊之數以三十六
丈自乘得一千二百九十六丈為小方
面積以六十丈自乘得三千六百丈為
大方面積兩面積相減餘二千三百零
四丈以合原數也此二正方比/例開平方法
設如有甲乙二正方甲方毎邊為乙方毎邊之三倍
又有丙一長方其長與甲方之毎邊等其闊與乙
[040-11b]
方之毎邊等三方面積共二萬零八百丈問三方
[040-12a]
邊數面積各若干
法借一根為乙方毎邊之數則甲方毎
邊之數為三根以一根自乘得一平方
為乙方之面積以三根自乘得九平方
為甲方之面積以一根與三根相乘得
三平方為丙方之面積三面積相加得
一十三平方與二萬零八百丈相等十
三平方旣與二萬零八百丈相等則一
[040-12b]
平方必與一千六百丈相等卽乙方之
面積開平方得四十丈為一根之數卽
乙方毎邊之數三因之得一百二十丈
卽甲方毎邊之數以一百二十丈自乘
得一萬四千四百丈卽甲方之面積以
四十丈與一百二十丈相乘得四千八
百丈卽丙方之面積三面積相併共得
二萬零八百丈以合原數也此二正方/比例開平
方/法
[040-12b]
設如有兵二萬九千四百八十四名欲排作三軍俱
[040-13a]
為正方第二軍每邊比第一軍每邊為三倍第三
軍每邊比第二軍每邊亦為三倍問三軍兵數各
若干
法借一根為第一軍每邊之數則第二
軍每邊之數為三根第三軍毎邊之數
為九根以一根自乘得一平方為第一
軍之總數以三根自乘得九平方為第
二軍之總數以九根自乘得八十一平
[040-13b]
方為第三軍之總數三總數相加得九
十一平方與二萬九千四百八十四相
等九十一平方旣與二萬九千四百八
十四相等則一平方必與三百二十四
相等卽第一軍之總數開平方得十八
為一根之數卽第一軍每邊之數也以
第一軍毎邊之數用三乘之得五十四
卽第二軍毎邊之數以第一軍之總數
用九乘之得二千九百一十六卽第二
[040-13b]
軍之總數又以第一軍毎邊之數用九
[040-14a]
乘之得一百六十二卽第三軍每邊之
數以第一軍之總數用八十一乘之得
二萬六千二百四十四卽第三軍之總
數三總數相加共二萬九千四百八十
四以合原數也此三正方比/例開平方法
設如一正方一長方俱不知其邊數但知長方之面
積為八萬一千尺其長為正方邊之十五分之二
其闊為正方邊之二十五分之三問二方邊各若
[040-14b]
干
法借一根為正方每邊之數則長方之
長為十五分根之二長方之闊為二十
五分根之三以正方邊一根自乘得一
平方為正方之面積以長方之長闊相
乘得三百七十五分平方之六以兩分/母十五
與二十五相乘得三百七十五以兩分/子二與三相乘得六故為三百七十五
之/六為長方面積是為三百七十五分平
方之六與八萬一千尺相等乃以六分
[040-14b]
為一率八萬一千尺為二率三百七十
[040-15a]
五分為三率求得四率五百零六萬二
千五百尺與一平方相等葢三百七十/五分平方之
六者將一平方分為三百七十五分而/得其六分也六分旣為八萬一千尺則
三百七十五分必為五百/零六萬二千五百尺也開平方得二
千二百五十尺為一根之數卽正方每
邊之數其十五分之二為三百尺卽長
方之長其二十五分之三為二百七十
尺卽長方之闊相乘得八萬一千尺以
[040-15b]
合原數也此帶分比例/開平方法
設如有大小二正方大方比小方毎邊多六尺面積
多一千七百一十六尺問二方邊數面積各幾何
法借一根為小方每邊之數則大方每
邊之數為一根多六尺以一根自乘得
一平方為小方之面積以一根多六尺
自乘得一平方多十二根多三十六尺
為大方之面積大方旣比小方面積多
一千七百一十六尺則以小方之面積
[040-15b]
一平方加一千七百一十六尺與大方
[040-16a]
之面積一平方多十二根多三十六尺
相等兩邊各減去一平方又各減三十
六尺得十二根與一千六百八十尺相
等十二根旣與一千六百八十尺相等
則一根必與一百四十尺相等卽小方
毎邊之數加六尺得一百四十六尺卽
大方每邊之數以一百四十尺自乘得
一萬九千六百尺卽小方之面積以一
[040-16b]
百四十六尺自乘得二萬一千三百一
十六尺卽大方之面積兩面積相減餘
一千七百一十六尺以合原數也此二/正方
有邊較積/較求邊法
設如有大小二正方大方比小方每邊多二十四尺
面積共七千二百五十尺問二方邊數面積各幾
何
法借一根為小方毎邊之數則大方毎
邊之數為一根多二十四尺以一根自
[040-16b]
乘得一平方為小方之面積以一根多
[040-17a]
二十四尺自乘得一平方多四十八根
又多五百七十六尺為大方之面積兩
面積相加得二平方多四十八根又多
五百七十六尺與七千二百五十尺相
等兩邊各減五百七十六尺得二平方
多四十八根與六千六百七十四尺相
等二平方多四十八根旣與六千六百
七十四尺相等則一平方多二十四根
[040-17b]
必與三千三百三十七尺相等乃以三
千三百三十七尺為長方積以二十四
根作二十四尺為長闊較用帶縱較數
開平方法算之得闊四十七尺為一根
之數卽小方每邊之數加二十四尺得
七十一尺卽大方每邊之數以四十七
尺自乘得二千二百零九尺卽小方之
面積以七十一尺自乘得五千零四十
一尺卽大方之面積兩面積相加共七
[040-17b]
千二百五十尺以合原數也此二正方/有邊較積
[040-18a]
和求/邊法
設如有大小二正方邊數共三十六尺面積共六百
六十六尺問二方邊數面積各幾何
法借一根為小方毎邊之數則大方每
邊之數為三十六尺少一根以一根自
乘得一平方為小方之面積以三十六
尺少一根自乘得一千二百九十六尺
少七十二根多一平方為大方之面積
[040-18b]
兩面積相加得一千二百九十六尺少
七十二根多二平方與六百六十六尺
相等兩邊各加七十二根得一千二百
九十六尺多二平方與六百六十六尺
多七十二根相等兩邊各減六百六十
六尺得六百三十尺多二平方與七十
二根相等六百三十尺多二平方旣與
七十二根相等則三百一十五尺多一
平方必與三十六根相等乃以三百一
[040-18b]
十五尺為長方積以三十六根作三十
[040-19a]
六尺為長闊和用帶縱和數開平方法
算之得闊一十五尺為一根之數卽小
方每邊之數與共邊三十六尺相減餘
二十一尺卽大方毎邊之數以小方每
邊一十五尺自乘得二百二十五尺卽
小方之面積以大方每邊二十一尺自
乘得四百四十一尺卽大方之面積兩
面積相加共六百六十六尺以合原數
[040-19b]
也此二正方有邊/和積和求邊法
設如有大小二正方邊數共一百一十尺大方比小
方面積為五倍少四尺問二方邊數面積各幾何
法借一根為小方毎邊之數則大方毎
邊之數為一百一十尺少一根以一根
自乘得一平方為小方之面積以一百
一十尺少一根自乘得一萬二千一百
尺少二百二十根多一平方為大方之
面積大方旣比小方面積為五倍少四
[040-19b]
尺則將小方加五倍將大方加四尺是
[040-20a]
為五平方與一萬二千一百零四尺少
二百二十根多一平方相等兩邊各減
一平方得四平方與一萬二千一百零
四尺少二百二十根相等四平方旣與
一萬二千一百零四尺少二百二十根
相等則一平方必與三千零二十六尺
少五十五根相等乃以三千零二十六
尺為長方積以五十五根作五十五尺
[040-20b]
為長闊較用帶縱較數開平方法算之
得闊三十四尺為一根之數卽小方每
邊之數與共邊一百一十尺相減餘七
十六尺卽大方毎邊之數以三十四尺
自乘得一千一百五十六尺卽小方之
面積以七十六尺自乘得五千七百七
十六尺卽大方之面積再加四尺得五
千七百八十尺為小方面積一千一百
五十六尺之五倍也此亦二正方有邊/和積較法但積較
[040-20b]
有倍/分耳
[040-21a]
設如有一長方又有大小二正方三面積共四百四
十一丈大正方邊與長方之長等小正方邊與長
方之闊等但知小正方邊為九丈問大正方邊若
干
法借一根為大方毎邊之數自乘得一
平方為大方之面積以九丈自乘得八
十一丈為小方之面積以九丈與一根
相乘得九根為長方之面積三面積相
[040-21b]
加得一平方多九根又多八十一丈與
四百四十一丈相等兩邊各減八十一
丈得一平方多九根與三百六十丈相
等乃以三百六十丈為長方積以九根
作九丈為長闊較用帶縱較數開平方
法算之得闊十五丈為一根之數卽大
方毎邊之數以十五丈自乘得二百二
十五丈卽大方之面積以十五丈與九
丈相乘得一百三十五丈卽長方之面
[040-21b]
積三面積相併共得四百四十一丈以
[040-22a]
合原數也此帶縱較數/開平方法
設如有一長方又有大小二正方三面積共四百五
十七丈長方之長與大正方邊等長方之闊與小
正方邊等長闊共二十四丈問長闊各幾何
法借一根為長方之闊則長方之長為
二十四丈少一根以一根自乘得一平
方為小正方之面積以二十四丈少一
根自乘得五百七十六丈少四十八根
[040-22b]
多一平方為大正方之面積以一根與
二十四丈少一根相乘得二十四根少
一平方為長方之面積三面積相加得
一平方多五百七十六丈少二十四根
與四百五十七丈相等兩邊各加二十
四根得一平方多五百七十六丈與二
十四根多四百五十七丈相等兩邊各
減四百五十七丈得一平方多一百一
十九丈與二十四根相等乃以一百一
[040-22b]
十九丈為長方積以二十四根作二十
[040-23a]
四丈為長闊和用帶縱和數開平方法
算之得闊七丈為一根之數卽長方之
闊與二十四丈相減餘一十七丈卽長
方之長以七丈自乘得四十九丈卽小
正方之面積以一十七丈自乘得二百
八十九丈卽大正方之面積以七丈與
一十七丈相乘得一百一十九丈卽長
方之面積三面積相併共得四百五十
[040-23b]
七丈以合原數也此帶縱和數/開平方法
設如有一長方其面積八萬三千二百三十二丈又
有一正方其毎邊與長方之闊等若以正方面積
自乘則與兩方之共面積等問二方邊數各若干
法借一根為正方之面積自乘得一平
方為正方面積自乘之數又以一根與
八萬三千二百三十二丈相加得一根
多八萬三千二百三十二丈與一平方
相等乃以八萬三千二百三十二丈為
[040-23b]
長方積以一根作一丈為長闊較用帶
[040-24a]
縱較數開平方法算之得長二百八十
九丈為一根之數卽正方之面積亦卽
長方之長開平方得一十七丈卽正方
之邊亦卽長方之闊以正方面積二百
八十九丈與長方面積八萬三千二百
三十二丈相併共得八萬三千五百二
十一丈又以正方面積二百八十九丈
自乘亦得八萬三千五百二十一丈是
[040-24b]
與兩方之共面積相等也此帶縱較數/開平方法
設如有銀買駝馬共六十一匹駝毎匹之價與共駝
數等馬毎匹之價與共馬數等今賣馬一匹之價
與共駝數等賣駝一匹之價為共馬數之二倍共
得利銀七百一十九兩問駝數馬數及毎匹價各
若干
法借一根為共馬數則六十一匹少一
根為共駝數以共馬數一根自乘得一
平方為買馬之共價以共駝數六十一
[040-24b]
匹少一根自乘得三千七百二十一兩
[040-25a]
少一百二十二根多一平方為買駝之
共價兩共價相加得三千七百二十一
兩少一百二十二根多二平方為買駝
馬之總銀數又以共馬數一根與共駝
數六十一匹少一根相乘得六十一根
少一平方為賣馬之共銀數以共駝數
六十一匹少一根與二倍共馬數二根
相乘得一百二十二根少二平方為賣
[040-25b]
駝之共銀數兩共銀數相加得一百八
十三根少三平方為賣駝馬之總銀數
内減買駝馬總銀數三千七百二十一
兩少一百二十二根多一平方餘三百
零五根少五平方又少三千七百二十
一兩與利銀七百一十九兩相等兩邊
各加三千七百二十一兩得三百零五
根少五平方與四千四百四十兩相等
三百零五根少五平方旣與四千四百
[040-25b]
四十兩相等則六十一根少一平方必
[040-26a]
與八百八十八兩相等乃以八百八十
八兩為長方積以六十一根作六十一
為長闊和用帶縱和數開平方法算之
得闊二十四為一根之數卽共馬數亦
卽馬毎匹之價為二十四兩也以二十
四匹與六十一匹相減餘三十七匹卽
共駝數亦卽駝毎匹之價為三十七兩
也以二十四匹與二十四兩相乘得五
[040-26b]
百七十六兩為買馬之共銀數以三十
七匹與三十七兩相乘得一千三百六
十九兩為買駝之共銀數相加得一千
九百四十五兩卽買駝馬之總銀數以
二十四匹與三十七兩相乘得八百八
十八兩為賣馬之共銀數以三十七匹
與四十八兩相乘得一千七百七十六
兩為賣駝之共銀數相加得二千六百
六十四兩卽賣駝馬之總銀數比買駝
[040-26b]
馬之總銀數多七百一十九兩為利銀
[040-27a]
數也此帶縱和數/開平方法
設如有木匠瓦匠共三十名又有匠頭不知名數但
知毎匠頭一人得銀三十六兩其木匠一人之銀
數與瓦匠之人數等瓦匠一人之銀數與木匠之
人數等而匠頭之人數與木匠瓦匠相差之數等
匠頭之共銀數與木匠之共銀數等問匠頭與木
匠瓦匠之人數及毎人所得之銀數各幾何
法借一根為木匠之人數則瓦匠之人
[040-27b]
數為三十少一根以一根與三十少一
根相乘得三十根少一平方為木匠之
共銀數亦為瓦匠之共銀數又以木匠
之人數一根與瓦匠之人數三十少一
根相減得三十少二根為匠頭之人數
與毎人三十六兩相乘得一千零八十
兩少七十二根為匠頭之總銀數與木
匠之共銀數三十根少一平方相等兩
邊各加七十二根得一百零二根少一
[040-27b]
平方與一千零八十兩相等乃以一千
[040-28a]
零八十兩為長方積以一百零二根作
一百零二為長闊和用帶縱和數開平
方法算之得闊一十二為一根之數卽
木匠之人數以一十二人與三十人相
減餘一十八人卽瓦匠之人數以十二
與十八相乘得二百一十六兩卽木匠
之共銀數亦卽瓦匠之共銀數以十二
與十八相減餘六卽匠頭之人數與三
[040-28b]
十六兩相乘亦得二十一十六兩卽匠
頭之共銀數與木匠之共銀數等也此/帶
縱和數開/平方法
設如有馬騾䭾物不言馬騾共數亦不言馬騾各數
但知馬比騾多十匹馬共䭾一萬二千斤騾亦共
䭾一萬二千斤而騾一匹所䭾之數比馬一匹所
䭾之數多四十斤問馬騾數及所䭾數各若干
法借一根為騾數則馬數為一根多十
匹以一根除一萬二千斤得一根之一
[040-28b]
萬二千斤為騾一匹所䭾之數以一根
[040-29a]
多十匹除一萬二千斤得一根多十匹
之一萬二千斤為馬一匹所䭾之數因
兩分母不同乃用互乘法以齊其分將
馬分母一根多十匹與騾分子一萬二
千斤相乘得一萬二千根多一十二萬
斤以騾分母一根與馬分子一萬二千
斤相乘得一萬二千根以互乘所得兩
分子相減餘一十二萬斤為騾比馬多
[040-29b]
䭾之數又以馬分母一根多十匹與騾
分母一根相乘得一平方多十根又以
四十斤乘之得四十平方多四百根亦
為騾比馬多䭾之數是為四十平方多
四百根與一十二萬斤相等四十平方
多四百根旣與一十二萬斤相等則一
平方多十根必與三千斤相等乃以三
千為長方積以十根作一十為長闊較
用帶縱較數開平方法算之得闊五十
[040-29b]
為一根之數卽騾數加十匹得六十匹
[040-30a]
卽馬數以五十匹除一萬二千斤得二
百四十斤卽騾一匹所䭾之數以六十
匹除一萬二千斤得二百斤卽馬一匹
所䭾之數也此帶縱較數/開平方法
設如有數一十萬欲分為大小兩分與全分為相連
比例三率問大小兩分各幾何
法借一根為大分則小分為十萬少一
根是全分十萬為首率而一根為中率
[040-30b]
十萬少一根為末率矣乃以首率十萬
與末率十萬少一根相乘得一百億少
十萬根而與中率一根自乘之一平方
相等乃以一百億為長方積十萬根作
十萬為長闊數用帶縱較數開平方法
算之得闊六萬一千八百零三為一根
之數卽大分與全分十萬相減餘三萬
八千一百九十七卽小分也葢十萬與
六萬一千八百零三之比卽同於六萬
[040-30b]
一千八百零三與三萬八千一百九十
[040-31a]
七之比而為相連比例之三率也此即/求圜
内容十/邊法
設如有股二十尺勾弦較十尺問勾弦各幾何
法借一根為勾數則一根多一十尺為
弦數以一根自乘得一平方為勾自乘
之數以一根多一十尺自乘得一平方
多二十根又多一百尺為弦自乘之數
兩自乘之數相減得二十根多一百尺
[040-31b]
為股自乘之數而與股二十尺自乘之
四百尺為相等兩邊各減一百尺得二
十根與三百尺相等二十根旣與三百
尺相等則一根必與一十五尺相等卽
勾數加勾弦較十尺得二十五尺卽弦
數也如圗甲乙為弦甲丙為勾乙丁/同丙
乙為勾弦較甲丁為勾弦和甲己戊乙
為弦自乘方庚己壬辛為勾自乘方甲
乙戊壬辛庚磬折形為股自乘數與甲
[040-31b]
庚勾弦較甲庚與/丙乙等乘甲丁勾弦和之甲
[040-32a]
庚癸丁長方積等借一根為勾數者卽
庚己或庚辛也庚己庚辛皆/與甲丙等一根多十
尺為弦數者卽庚己加庚甲也一根自
乘得一平方為勾自乘方者卽庚己壬
辛之正方也一根多十尺自乘得一平
方多二十根多一百尺為弦自乘方者
卽庚己壬辛一平方多甲庚辛丙及辛
壬戊子之二十根甲庚較十尺乘甲丙/一根得十根為甲庚
[040-32b]
辛丙長方辛子較十尺乘子戊一根得/十根為辛壬戊子長方是共為二十根
又多丙辛子乙之一百尺共為甲己戊
乙之正方也於甲己戊乙弦自乘方内
減去庚己壬辛勾自乘之一平方餘二
十根多一百尺卽甲乙戊壬辛庚之磬
折形亦卽甲庚癸丁之長方形而與股
自乘之四百尺相等也又甲庚癸丁長
方内減去丙辛子乙一百尺餘甲庚辛
丙及乙子癸丁卽二十根之數為三百
[040-32b]
尺也二十根之數為三百尺則一根之
[040-33a]
數必為十五尺也此勾股弦和/較相求法
設如有股二十四尺勾弦和三十二尺問勾弦各幾
何
法借一根為勾數則三十二尺少一根
為弦數以一根自乘得一平方為勾自
乘之數以三十二尺少一根自乘得一
千零二十四尺少六十四根多一平方
為弦自乘之數兩自乘之數相減得一
[040-33b]
千零二十四尺少六十四根為股自乘
之數而與股二十四尺自乘之五百七
十六尺為相等兩邊各加六十四根得
一千零二十四尺與五百七十六尺多
六十四根相等兩邊各減五百七十六
尺得四百四十八尺與六十四根相等
四百四十八尺旣與六十四根相等則
七尺必與一根相等卽勾數以勾七尺
與勾弦和三十二尺相減餘二十五尺
[040-33b]
卽弦數也此勾股弦和/較相求法
[040-34a]
設如有弦五尺勾股和七尺問勾股各幾何
法借一根為股數則七尺少一根為勾
數以一根自乘得一平方為股自乘之
數以七尺少一根自乘得四十九尺少
一十四根多一平方為勾自乘之數兩
自乘數相加得四十九尺少一十四根
多二平方為弦自乘之數而與弦五尺
自乘之二十五尺為相等兩邊各加一
[040-34b]
十四根得四十九尺多二平方與二十
五尺多一十四根相等兩邊各減四十
九尺得二平方與一十四根少二十四
尺相等二平方旣與十四根少二十四
尺相等則一平方必與七根少十二尺
相等乃以十二尺為長方積七根作七
尺為長闊和用帶縱和數開平方法算
之得長四尺為一根之數卽股數以股
四尺與勾股和七尺相減餘三尺卽勾
[040-34b]
數也如圗甲乙丙勾股形甲乙股四尺
[040-35a]
乙丙勾三尺甲丙弦五尺甲丁勾股和
七尺甲丁戊己為勾股和自乘方辛丙
庚己為股自乘方乙丁壬丙為勾自乘
方借一根為股數者卽甲乙也壬戊己/庚皆與
甲乙等為/一根數一根自乘得一平方為股自
乘方者卽辛丙庚己也七尺少一根自
乘得四十九尺少十四根多一平方為
勾自乘方者卽甲丁戊己勾股和自乘
[040-35b]
方内減去甲乙庚己之七根及辛壬戊
己之七根共為十四根甲乙一根乘甲/己和七尺得七
根為甲乙庚己長方辛己一根乘己戊/和得七根為辛壬戊己長方共十四根
又加辛丙庚己一平方始得乙丁壬丙
勾自乘方也於甲丁戊己勾股和自乘/方内減去甲乙丙壬戊己
磬折形餘乙丁壬丙為勾自乘數今減/去十四根乃減去甲乙庚己一長方又
減去辛壬戊己一長方是比磬折形多/減去辛丙庚己一平方故必加一平方
以補多減之數始為乙/丁壬丙勾自乘方也辛丙庚己股自
乘數乙丁壬丙勾自乘數相加與弦自
[040-35b]
乘之數相等兩邊各加各減得一平方
[040-36a]
與七根少十二尺相等者卽辛丙庚己
一平方與甲乙庚己七根數相較而少
甲乙丙辛之長方十二尺也今不知七
根之數又不知一平方之數但知一平
方與七根相較之甲乙丙辛長方為十
二尺故卽以十二尺為長方積以甲己
為長闊和用帶縱和數開平方法算之
得甲乙長而為股數也此勾股弦和/較相求法
[040-36b]
設如有勾弦和五十尺股弦和八十一尺問勾股弦
各幾何
法借一根為勾數則五十尺少一根為
弦數一根多三十一尺為股數以五十/尺與八
十一尺相減餘三十一尺為勾股/較故一根多三十一尺為股數以一
根自乘得一平方為勾自乘之數以五
十尺少一根自乘得二千五百尺少一
百根多一平方為弦自乘之數以一根
多三十一尺自乘得一平方多六十二
[040-36b]
根又多九百六十一尺為股自乘之數
[040-37a]
以股自乘之數與弦自乘之數相減得
一千五百三十九尺少一百六十二根
亦為勾自乘之數而與勾數一根自乘
之一平方為相等乃以一千五百三十
九尺為長方積以一百六十二根作一
百六十二尺為長闊較用帶縱較數開
平方法算之得闊九尺為一根之數卽
勾數以勾九尺與勾弦和五十尺相減
[040-37b]
餘四十一尺卽弦數以勾九尺與勾股
較三十一尺相加得四十尺卽股數也
此勾股弦和/較相求法
設如有勾股和二十三尺勾弦和二十五尺問勾股
弦各幾何
法借一根為勾數則二十三尺少一根
為股數二十五尺少一根為弦數以一
根自乘得一平方為勾自乘之數以二
十三尺少一根自乘得五百二十九尺
[040-37b]
少四十六根多一平方為股自乘之數
[040-38a]
以二十五尺少一根自乘得六百二十
五尺少五十根多一平方為弦自乘之
數以股自乘之數與弦自乘之數相減
得九十六尺少四根亦為勾自乘之數
而與勾數一根自乘之一平方為相等
乃以九十六尺為長方積四根作四尺
為長闊較用帶縱較數開平方法算之
得闊八尺為一根之數卽勾數以勾八
[040-38b]
尺與勾股和二十三尺相減餘十五尺
卽股數以勾八尺與勾弦和二十五尺
相減餘十七尺卽弦數也此勾股弦和/較相求法
設如有股弦和二十五尺勾弦較八尺問勾股弦各
幾何
法借一根為股數則二十五尺少一根
為弦數十七尺少一根為勾數股弦和/二十五
尺内減勾弦較八尺得一十七尺/為勾股和故勾為十七尺少一根以一
根自乘得一平方為股自乘之數以一
[040-38b]
十七尺少一根自乘得二百八十九尺
[040-39a]
少三十四根多一平方為勾自乘之數
以二十五尺少一根自乘得六百二十
五尺少五十根多一平方為弦自乘之
數以勾自乘之數與弦自乘之數相減
得三百三十六尺少一十六根亦為股
自乘之數而與股數一根自乘之一平
方為相等乃以三百三十六尺為長方
積十六根作十六尺為長闊較用帶縱
[040-39b]
較數開平方法算之得闊十二尺為一
根之數卽股數以股十二尺與股弦和
二十五尺相減餘一十三尺卽弦數内
減勾弦較八尺餘五尺卽勾數也此勾/股弦
和較相/求法
設如有股弦較一尺勾弦較三十二尺問勾股弦各
幾何
法借一根為勾數則一根多三十二尺
為弦數一根多三十一尺為股數股弦/較與
[040-39b]
勾弦較相減餘三十一尺為勾股/較故股為一根多三十一尺也以一
[040-40a]
根自乘得一平方為勾自乘之數以一
根多三十二尺自乘得一平方多六十
四根又多一千零二十四尺為弦自乘
之數以一根多三十一尺自乘得一平
方多六十二根又多九百六十一尺為
股自乘之數以股自乘之數與弦自乘
之數相減得二根多六十三尺亦為勾
自乘之數而與勾數一根自乘之一平
[040-40b]
方為相等乃以六十三尺為長方積以
二根作二尺為長闊較用帶縱較數開
平方法算之得長九尺為一根之數卽
勾數以勾九尺與勾弦較三十二尺相
加得四十一尺卽弦數内減股弦較一
尺餘四十尺卽股數也此勾股弦和/較相求法
設如有勾股和七十三尺勾弦較與股弦較之和三
十三尺問勾股弦各幾何
法借一根為勾數則七十三尺少一根
[040-40b]
為股數五十三尺為弦數以勾股和七/十三尺加勾
[040-41a]
弦較與股弦較之和三十三尺得一百/零六尺卽二弦數故半之得五十三尺
為弦/數也以一根自乘得一平方為勾自乘
之數以七十三尺少一根自乘得五千
三百二十九尺少一百四十六根多一
平方為股自乘之數以五十三尺自乘
得二千八百零九尺為弦自乘之數以
股自乘之數與弦自乘之數相減得一
百四十六根少二千五百二十尺又少
[040-41b]
一平方亦為勾自乘之數而與勾數一
根自乘之一平方為相等兩邊各加一
平方得一百四十六根少二千五百二
十尺與二平方相等一百四十六根少
二千五百二十尺旣與二平方相等則
七十三根少一千二百六十尺必與一
平方相等乃以一千二百六十尺為長
方積七十三根作七十三尺為長闊和
用帶縱和數開平方法算之得闊二十
[040-41b]
八尺為一根之數卽勾數以勾二十八
[040-42a]
尺與勾股和七十三尺相減餘四十五
尺卽股數也此勾股弦和/較相求法
設如有勾股弦總和一百五十尺勾股較股弦較勾
弦較共八十尺問勾股弦各幾何
法借一根為勾數則一根多四十尺為
弦數將三較共八十尺折半/得四十尺卽勾弦較一百一十
尺少二根為股數總和一百五十尺内/減去勾數一根又減
去弦數一根多四十尺得一/百一十尺少二根為股數以一根自
[040-42b]
乘得一平方為勾自乘之數以一根多
四十尺自乘得一平方多八十根又多
一千六百尺為弦自乘之數以一百一
十尺少二根自乘得一萬二千一百尺
少四百四十根多四平方為股自乘之
數以股自乘之數與弦自乘之數相減
得五百二十根少三平方又少一萬零
五百尺亦為勾自乘之數而與勾數一
根自乘之一平方為相等兩邊各加三
[040-42b]
平方得五百二十根少一萬零五百尺
[040-43a]
與四平方相等五百二十根少一萬零
五百尺旣與四平方相等則一百三十
根少二千六百二十五尺必與一平方
相等乃以二千六百二十五尺為長方
積以一百三十根作一百三十尺為長
闊和用帶縱和數開平方法算之得闊
二十五尺為一根之數卽勾數以勾二
十五尺與勾弦較四十尺相加得六十
[040-43b]
五尺卽弦數以勾弦和九十尺與勾股
弦總和一百五十尺相減餘六十尺卽
股數也此勾股弦和/較相求法
設如有勾股和二十三尺弦與勾股較之較十尺問
勾股弦各幾何
法借一根為勾股較數則一根多十尺
為弦數以一根自乘得一平方為勾股
較自乘之數以一根多十尺自乘得一
平方多二十根又多一百尺為弦自乘
[040-43b]
之數倍之得二平方多四十根又多二
[040-44a]
百尺内減去勾股較自乘之一平方餘
一平方多四十根多二百尺為勾股和
自乘之數而與勾股和二十三尺自乘
之五百二十九尺為相等兩邊各減去
二百尺得一平方多四十根與三百二
十九尺相等乃以三百二十九尺為長
方積以多四十根作四十尺為長闊較
用帶縱較數開平方法算之得闊七尺
[040-44b]
為一根之數卽勾股較與勾股和二十
三尺相加得三十尺折半得十五尺為
股内減較七尺餘八尺為勾又以勾股
較七尺與弦與勾股較之較十尺相加
得十七尺為弦也此勾股弦和/較相求法
設如有勾股積一千零八十尺勾股弦總和一百八
十尺問勾股弦各幾何
法借一根為弦數則一百八十尺少一
根為勾股和數以一根自乘得一平方
[040-44b]
為弦自乘之數以一百八十尺少一根
[040-45a]
自乘得三萬二千四百尺少三百六十
根多一平方為勾股和自乘之數又以
勾股積一千零八十尺四因之得四千
三百二十尺與弦自乘之一平方相加
得一平方多四千三百二十尺亦為勾
股和自乘之數而與勾股和自乘之三
萬二千四百尺少三百六十根多一平
方為相等勾股和自乘數内有一弦自/乘方有四勾股積故四因勾
[040-45b]
股積與弦自乘之數相加卽/與勾股和自乘之數相等也兩邊各減
四千三百二十尺得二萬八千零八十
尺少三百六十根多一平方與一平方
相等兩邊各加三百六十根得二萬八
千零八十尺多一平方與一平方多三
百六十根相等兩邊再各減一平方得
三百六十根與二萬八千零八十尺相
等三百六十根旣與二萬八千零八十
尺相等則一根必與七十八尺相等卽
[040-45b]
弦數以弦七十八尺與一百八十尺相
[040-46a]
減餘一百零二尺卽勾股和又以弦自
乘得六千零八十四尺與四勾股積四
千三百二十尺相減餘一千七百六十
四尺平方開之得四十二尺卽勾股較
與勾股和一百零二尺相減餘六十尺
折半得三十尺卽勾數加勾股較四十
二尺得七十二尺卽股數也此勾股積/與勾股弦
和較相/求法
[040-46b]
設如有勾股積六十尺弦與勾股和之較六尺問勾
股弦各幾何
法借一根為弦數則一根多六尺為勾
股和數以一根自乘得一平方為弦自
乘之數以一根多六尺自乘得一平方
多十二根多三十六尺為勾股和自乘
之數又以勾股積六十尺四因之得二
百四十尺與弦自乘之一平方相加得
一平方多二百四十尺亦為勾股和自
[040-46b]
乘之數而與勾股和自乘之一平方多
[040-47a]
十二根多三十六尺為相等兩邊各減
去一平方得十二根多三十六尺與二
百四十尺相等兩邊又各減去三十六
尺得十二根與二百零四尺相等十二
根旣與二百零四尺相等則一根必與
十七尺相等卽弦數加弦與勾股和之
較六尺得二十三尺為勾股和用有弦
有勾股和求勾股法算之得股十五尺
[040-47b]
勾八尺也此勾股積與勾股/弦和較相求法
設如有三角形大腰十七尺小腰十尺底二十一尺
求中垂線幾何
法借一根為中垂線之面積以小腰十
尺自乘得一百尺内減去一根得一百
尺少一根為小分底之面積中垂線為/股小腰為
弦小分底為勾於弦積内/減去股積餘為勾積也又以大腰十
七尺自乘得二百八十九尺内減去一
根餘二百八十九尺少一根為大分底
[040-47b]
之面積中垂線為股大腰為弦大分底/為勾於弦積内減去股積餘為
[040-48a]
勾積/也又以底二十一尺自乘得四百四
十一尺内減大小兩分底之共面積三
百八十九尺少二根餘五十二尺多二
根折半得二十六尺多一根為小分底
乘大分底之面積底邊自乘内有大分/底自乘之一正方小
分底自乘之一正方小分底乘大分底/之二長方故減去二正方餘數折半卽
為小分底乘大分/底之一長方也此數與小分底之面
積及大分底之面積為相連比例三率
[040-48b]
葢大分底之面積為首率而小分底乘
大分底之面積為中率小分底之面積
為末率也乃以首率大分底之面積二
百八十九尺少一根與末率小分底之
面積一百尺少一根相乘得二萬八千
九百尺少三百八十九根多一平方又
以中率小分底乘大分底之面積二十
六尺多一根自乘得六百七十六尺多
五十二根多一平方此二數為相等兩
[040-48b]
邊各加三百八十九根得二萬八千九
[040-49a]
百尺多一平方與六百七十六尺多四
百四十一根多一平方相等兩邊各減
一平方得二萬八千九百尺與六百七
十六尺多四百四十一根相等兩邊再
各減去六百七十六尺得二萬八千二
百二十四尺與四百四十一根相等二
萬八千二百二十四尺旣與四百四十
一根相等則六十四尺必與一根相等
[040-49b]
卽中垂線之面積開平方得八尺卽中
垂線也此三角形求/中垂線法
設如有三角形底十四尺大腰與中垂線之較三尺
小腰與中垂線之較一尺求中垂線及兩腰各幾
何
法借一根為中垂線則大腰為一根多
三尺小腰為一根多一尺以一根自乘
得一平方為中垂線之面積以一根多
三尺自乘得一平方多六根多九尺為
[040-49b]
大腰之面積内減去中垂線之面積一
[040-50a]
平方餘六根多九尺為大分底之面積
以一根多一尺自乘得一平方多二根
多一尺為小腰之面積内減去中垂線
之面積一平方餘二根多一尺為小分
底之面積又以底十四尺自乘得一百
九十六尺内減去大小兩分底之共面
積八根多十尺餘一百八十六尺少八
根折半得九十三尺少四根為小分底
[040-50b]
乘大分底之面積此數與大分底之面
積及小分底之面積為相連比例三率
葢大分底之面積為首率而小分底乘
大分底之面積為中率小分底之面積
為末率也乃以首率大分底之面積六
根多九尺與末率小分底之面積二根
多一尺相乘得十二平方多二十四根
多九尺又以中率之小分底乘大分底
之面積九十三尺少四根自乘得八千
[040-50b]
六百四十九尺少七百四十四根多十
[040-51a]
六平方此二數為相等兩邊各加七百
四十四根得十二平方多七百六十八
根多九尺與八千六百四十九尺多十
六平方相等兩邊各減十二平方得七
百六十八根多九尺與八千六百四十
九尺多四平方相等兩邊再各減八千
六百四十九尺得七百六十八根少八
千六百四十尺與四平方相等七百六
[040-51b]
十八根少八千六百四十尺旣與四平
方相等則一百九十二根少二千一百
六十尺必與一平方相等乃以二千一
百六十尺為長方積以一百九十二根
作一百九十二尺為長闊和用帶縱和
數開平方法算之得闊十二尺為一根
之數卽中垂線加三尺得十五尺卽大
腰加一尺得十三尺卽小腰也此三角/形和較
相求/法
[040-51b]
御製數理精藴下編卷三十五