[013-1a] 
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷八
線部六
盈朒單法/ 雙套/
[013-2a]
盈朒
盈有餘也朒不足也設有餘不足以求適中亦為因
較而得正數之法此固比例法也但比例以實數求
實數而盈朒則以虚數求實數然虚數皆與實數相
較而生盈朒之差則虚數亦實數也比例以所有之
三率求所餘之一率而盈朒則所有為两數且两數
之中各藏一數其實亦三率也其間有一盈一朒者
則以两數相加為相較之率有两盈或两朒者則以
[013-2b]
兩數相減為相較之率有一盈一適足或一朒一適
足者則無可加減而或盈或朒之數即其較也法不
一致惟在相較以得其差理本一原惟在互比以得
其實錯綜變幻其用不窮所謂以實御虚和較互見
者庶㡬盡於此矣
一盈一朒
設如有人分銀不知人數亦不知銀數只云每人七
两分之則餘四两每人九两分之則少十二两問
人數及銀數各若干
[013-2b]
法以七两與九两相減餘二两為一率
[013-3a]
一人為二率盈四两與朒十二两相加
共十六两為三率推得四率八即為人
數以八人與每人七两相乗得五十六
两加盈四两得六十两即為銀數或以
八人與每人九两相乗得七十二两減
朒十二两餘六十两亦為銀數也此法
盖因前設分七两後設分九两是每一
人多分二两也然每人分七两則縂銀
[013-3b]
盈四两每人分九两則縂銀朒十二两
是盈朒相差共十六两矣夫一人多分
二两而縂銀差十六两則二两為一人
之所多而十六两為八人之所多可知
矣故二两與一人之比同於十六两與
八人之比而為比例四率也既得人數
以每人七两計之則八人應得五十六
两因銀尚餘四两故加四两得六十两
為銀數也若以每人九两計之則八人
[013-3b]
應得七十二两因銀少十二两故減十
[013-4a]
二两餘六十两為銀數也此先得人數
之法也
又先得銀數之法用互乗以齊其分以
九两乗盈四两為加九倍得盈三十六
两以七两乗朒十二两為加七倍得朒
八十四两相加得一百二十两為二率
七倍與九倍相減餘二倍為一率一倍
為三率推得四率六十两即為銀數既
[013-4b]
得銀數則於六十两内減盈四两餘五
十六两以每人七两除之得八為人數
或於六十两加朒十二两共七十二两
以每人九两除之亦得八為人數也此
法以九两互乗盈四两者将盈四两加
九倍也盈四两加九倍則為盈三十六
两既以盈數加九倍則縂銀數與所分
七两亦皆當加九倍七两加九倍則為
六十三两是則九倍之縂銀每人六十
[013-4b]
三两分之盈三十六两也以七两互乗
[013-5a]
朒十二两者将朒十二两加七倍也朒
十二两加七倍則為朒八十四两既以
朒數加七倍則縂銀數與所分九两亦
皆當加七倍九两加七倍則亦為六十
三两是則七倍之縂銀每人六十三两
分之朒八十四两也夫每人既皆分六
十三两則是所分之加倍共銀數亦必
相同然九倍銀數則盈七倍銀數則朒
[013-5b]
因九倍比七倍多二倍是盈朒相加之
一百二十两即此二倍之銀數也知二
倍為一百二十两即知一倍之為㡬何
矣故以二為一率一百二十两為二率
一為三率推得四率六十两為銀數也
既得銀數則於六十两内減盈四两餘
五十六两即為分七两者之共數而以
七两除之得八人或於六十两加朒十
二两得七十二两即為分九两者之共
[013-5b]
數而以九两除之亦得八人也此先得
[013-6a]
銀數之法也
又法将盈四两與朒十二两相加得十
六两為一率七两與九两相減餘二两
為二率盈四两為三率得四率五錢與
所分七两相加得七两五錢為每人應
得之數又以五錢除盈四两得八為人
數或仍以十六两為一率二两為二率
以朒十二两為三率得四率一两五錢
[013-6b]
與所分九两相減亦得七两五錢為每
人應得之數又以一两五錢除朒十二
两亦得八為人數以八人與每人七两
五錢相乗得六十两為銀數也此法盖
因九兩與七两相較差二两盈四两與
朒十二两相併為十六两是縂銀盈朒
共差十六两由於每人之多二两也今
銀尚盈四两則每人分七两者其每一
分應多五錢而為七两五錢矣故十六
[013-6b]
两與二两之比同於四两與五錢之比
[013-7a]
而為比例四率也且一人多五錢而共
多四兩則其為八人可知矣故五錢與
一人之比同於四两與八人之比亦為
比例四率也若以朒數論之則縂銀共
差十六两者由於每人少二两今銀朒
十二两則每人分九两者其每一分應
少一两五錢而為七两五錢矣且一人
少一两五錢而共少十二两則其為八
[013-7b]
人又可知矣既得人數則以八人與每
人七两五錢相乗得六十两而為縂銀
數也此先得每一人所得銀數之法也
要之第一法先求人數第二法先求物
價第三法先求適足之數立法雖各不
同而各先得其一一得而無不得者實
由於理之一貫者也
設如衆人共出銀買物不知人數亦不知物價只云
每人出銀四兩則不足四兩每人出銀六兩則多
[013-7b]
六兩問人數及物價各若干
[013-8a]
法以出四兩與出六兩相減餘二兩為
一率一人為二率朒四兩與盈六兩相
加共十兩為三率推得四率五即為人
數以五人與每人四兩相乗得二十两
加朒四兩共得二十四兩即為物價或
以五人與每人六兩相乗得三十兩減
盈六两亦得二十四兩為物價也此法
盖因前設出四兩後設出六兩是每一
[013-8b]
人多出二兩也然出四兩則朒四兩出
六兩則盈六兩是盈朒相差共多十兩
矣夫一人多出二兩而縂價即多十两
則二两為一人之所多而十兩為㡬人
之所多可知矣故以比例四率求之而
得五人也既得人數以每人出四兩計
之則五人應出二十两因於物價朒四
兩故加四兩得二十四兩為物價若以
每人出六兩計之則五人應出三十兩
[013-8b]
因於物價盈六兩故減六兩亦得二十
[013-9a]
四兩為物價也此法與首題第一法盈
朒之加減不同者首題以共人所分共
銀為問故分少則縂銀必盈分多則縂
銀必朒其所謂盈朒者乃銀數之盈朒
故得人數與分銀數相乗加盈減朒而
得銀數也此以共人所出共銀為問故
出少則比物價為朒出多則比物價為
盈其所謂盈朒者乃出數之盈朒故得
[013-9b]
人數與出銀數相乗減盈加朒而得物
價也法縂一理但加減盈朒之間少不
同耳
又先得銀數之法以六兩乗朒四兩為
加六倍得朒二十四兩以四兩乗盈六
兩為加四倍得盈二十四两相加得四
十八兩為二率四倍與六倍相減餘二
倍為一率一倍為三率推得四率二十
四兩即為物價既得物價則於二十四
[013-9b]
兩内減朒四兩餘二十兩以每人四兩
[013-10a]
除之得五即為人數或於二十四兩加
盈六兩共三十兩以每人六兩除之亦
得五為人數也此法盖将朒四兩加六
倍為二十四兩則物價亦當加六倍而
出四兩者亦必加六倍而為出二十四
兩矣将盈六兩加四倍為二十四兩則
物價亦當加四倍而出六兩者亦必加
四倍而為出二十四兩矣夫每人同出
[013-10b]
二十四兩則其加倍共出之數亦必相
同然比六倍物價則朒比四倍物價則
盈者因六倍比四倍多二倍是盈朒相
差之四十八兩即二倍物價也故以二
為一率四十八兩為二率一為三率推
得四率二十四兩為物價也既得物價
則於二十四兩減朒四兩餘二十兩即
為出四兩者所共出之數而以四兩除
之得五人或於二十四兩加盈六兩共
[013-10b]
三十兩即為出六兩者所共出之數而
[013-11a]
以六两除之亦得五人也
又法将朒四兩與盈六两相加共十两
為一率将出四兩與出六兩相減餘二
兩為二率朒四兩為三率得四率八錢
與出四兩相加得四兩八錢為每人應
出之數又以八錢除朒四兩得五為人
數或仍以十两為一率二兩為二率盈
六兩為三率得四率一兩二錢於出六
[013-11b]
兩内減之餘四兩八錢亦為每人應出
之數又以一两二錢除盈六兩亦得五
為人數以五人與四两八錢相乗得二
十四兩為物價也此法盖因盈朒之相
差十兩由於每人之多二兩今欲補足
所朒之四兩則每人應多八錢若欲損
所盈之六两則每人應少一兩二錢故
十兩與二兩之比同於四兩與八錢之
比亦同於六兩與一兩二錢之比也且
[013-11b]
一人多八錢即益所朒之四兩一人減
[013-12a]
一两二錢即損所盈之六兩則其為五
人也可知矣既得人數則以五人與每
人四兩八錢相乗得二十四兩而為物
價之縂銀也
設如衆人乗船渡河每一船載十三人則餘十二人
若每一船載十八人則餘一船問共人數及船數
各若干
法以餘十二人為盈十二人餘一船為
[013-12b]
朒十八人乃以每船所載十三人與每
船所載十八人相減餘五人為一率一
船為二率盈十二人與朒十八人相加
共三十人為三率推得四率六即為船
數以六船與每船載十三人相乗得七
十八人加盈十二人得九十為人數或
以六船與每船十八人相乗得一百零
八人減朒十八人亦餘九十為人數也
盖每一船多載五人而盈朒相差為三
[013-12b]
十人故五人與一船之比同於三十人
[013-13a]
與六船之比也以每船十三人計之六
船共載七十八人加無船之十二人共
九十人以每船十八人計之六船應載
一百零八人因一船無人則減去十八
人餘九十人或減一船餘五船與十八
人相乗亦得九十人也
又先得人數之法以每船載十八人乗
盈十二人為加十八倍得盈二百一十
[013-13b]
六人又以每船載十三人乗朒十八人
為加十三倍得朒二百三十四人二數
相加得四百五十人為二率以十三倍
與十八倍相減餘五倍為一率一倍為
三率推得四率九十即為人數減盈十
二人餘七十八人以每船十三人除之
得六為船數或於九十人加朒十八人
共一百零八人以每船十八人除之亦
得六為船數也盖十八人與十三人互
[013-13b]
乗皆得二百三十四人而十二人加十
[013-14a]
八倍則共人數之加十八倍者為每船
二百三十四人餘二百一十六人也若
以十八人加十三倍則共人數之加十
三倍者為每船二百三十四人又少二
百三十四人也二百三十四人為/一船所載之人分十八
倍比十三倍多五倍是盈朒相差之共
四百五十人即五倍人數故五倍與四
百五十人之比即如一倍與九十人之
[013-14b]
比也既得人數減去所餘之十二人以
每船十三人除之得船數或加一船之
十八人以每船十八人除之亦得船數
焉
又法将盈十二人與朒十八人相加得
三十人為一率十三人與十八人相減
餘五人為二率盈十二人為三率得四
率二人與每船十三人相加得十五人
為每船應載之數又以二人除盈十二
[013-14b]
人得六為船數或仍以三十人為一率
[013-15a]
五人為二率以朒十八人為三率得四
率三人與每船十八人相減餘十五人
為每船應載之數又以三人除十八人
亦得六為船數以六船與每船十五人
相乗得九十為人數也盖盈朒之相差
三十人由每船多五人今欲合載所盈
之十二人則每船十三人者應加二人
而為十五人欲分載所朒之十八人則
[013-15b]
每船十八人者應減三人而為十五人
也且一船加二人即合載十二人一船
減三人即分載十八人則其為六船也
可知矣
兩盈
設如有人分果不知人數亦不知果數只云每人十
二枚盈十二枚每人十三枚盈六枚問人數與果
數各若干
法以每人十二枚與十三枚相減餘一
[013-15b]
枚為一率一人為二率以盈六枚與盈
[013-16a]
十二枚相減餘六枚為三率推得四率
六為人數以六人與十二枚相乗得七
十二枚加盈十二枚得八十四枚為果
數若以六人與十三枚相乗得七十八
枚加盈六枚亦得八十四枚為果數也
盖一人多一枚而兩盈相差六枚其為
六人可知故凡所分之數相減餘一者
其盈朒之差即人數也
[013-16b]
又先得果數之法以十三枚乗盈十二
枚為加十三倍得盈一百五十六枚以
十二枚乗盈六枚為加十二倍得盈七
十二枚相減餘八十四枚為二率十二
倍與十三倍相減餘一倍為一率仍以
一倍為三率推得四率八十四枚為果
數内減盈十二枚餘七十二枚以每人
十二枚除之得六為人數若於八十四
枚減盈六枚餘七十八枚以每人十三
[013-16b]
枚除之亦得六為人數也盖十二倍比
[013-17a]
十三倍差一倍則盈朒相差八十四枚
即一倍之果數故凡互乗差一倍者則
互乗所得盈朒之差即為縂數既得人
數又得縂數則以人數除縂數即得每
人所分之數矣
又法以兩盈數相減為一率互乗所得
之兩盈數相減為二率一人為三率得
四率即為每人所應得之數也此題前
[013-17b]
二法固以兩盈相減即為人數互乗所
得兩盈相減即為縂數盖因十二與十
三相減餘一數故也其或餘㡬數者亦
即為㡬倍人數或為㡬倍縂數其以人
數除縂數即同於以㡬倍人數除㡬倍
縂數也
設如有緞一疋欲作新帳幔一架先摺作六幅每幅
比舊制長一尺二寸後摺作七幅每幅比舊制長
二寸問緞之長及舊帳之長各若干
[013-17b]
法以長一尺二寸用六幅因之得盈七
[013-18a]
尺二寸以長二寸用七幅因之得盈一
尺四寸乃以六幅與七幅相減餘一幅
為一率一尺四寸與七尺二寸相減餘
五尺八寸為二率一幅為三率推得四
率五尺八寸為舊帳之長加盈一尺二
寸共七尺以六幅乗之得四十二尺為
緞之長也若於五尺八寸加二寸得六/尺以七幅乗之亦得四十二
尺/盖摺作六幅每幅盈一尺二寸是六
[013-18b]
幅共盈七尺二寸也摺作七幅每幅盈
二寸是七幅共盈一尺四寸也七幅比
六幅多一幅而兩盈相差五尺八寸且
兩盈之數皆比舊帳為盈則五尺八寸
為舊帳之長可知矣既得舊帳之數則
加一尺二寸而以六幅乗之即得緞之
長數也或以六幅與五尺八寸相乗加
盈七尺二寸亦得緞之長數盖七尺二
寸者原係六因一尺二寸所得之數則
[013-18b]
加於舊帳而縂乗之與各乗其數而後
[013-19a]
加之一也若以七幅算之其理亦同
又先得緞之長法以七幅乗盈七尺二
寸為加七倍得盈五十尺零四寸以六
幅乗盈一尺四寸為加六倍得盈八尺
四寸相減餘四十二尺為二率六倍與
七倍相減餘一倍為一率仍以一倍為
三率推得四率四十二尺為緞之長減
盈七尺二寸以六幅除之得五尺八寸
[013-19b]
為舊帳之長也若減盈一尺四寸以七/幅除之亦得五尺八寸
盖将六幅加七倍七幅加六倍皆得四
十二幅是七倍緞之長比舊帳四十二
幅長五十尺零四寸六倍緞之長比舊
帳四十二幅長八尺四寸是兩盈相差
四十二尺即一倍緞之長也既得緞之
長則減其共盈數而以幅數除之即得
舊帳之長或先以幅數除之而減其每
幅之盈亦得舊帳之長也
[013-19b]
兩朒
[013-20a]
設如有銀買馬不知銀數亦不知馬數但云每一匹
十五兩不足八十兩每一匹十三兩仍不足十六
兩問馬數及銀數各若干
法以十三兩與十五兩相減餘二兩為
一率一馬為二率朒十六兩與朒八十
兩相減餘六十四兩為三率推得四率
三十二為馬數以三十二匹與每匹十
五兩相乗得四百八十兩減朒八十兩
[013-20b]
得四百两為銀數若以三十二匹與每
匹十三兩相乗得四百一十六兩減朒
十六兩亦得四百兩為銀數也盖一馬
差二兩則縂銀差六十四兩二兩與一
馬之比即同於六十四兩與三十二馬
之比也既得馬數則與每匹之價相乗
而減其所朒之數即得銀數矣
又先得銀數之法以十三兩乗朒八十
兩為加十三倍得朒一千零四十兩以
[013-20b]
十五兩乗朒十六兩為加十五倍得朒
[013-21a]
二百四十兩相減餘八百两為二率十
三倍與十五倍相減餘二倍為一率一
倍為三率推得四率四百兩為銀數加
朒八十兩共四百八十兩以每匹十五
兩除之得三十二為馬數或於四百兩
加朒十六兩共四百一十六兩以每匹
十三兩除之亦得三十二為馬數也盖
将十五兩加十三倍十三兩加十五倍
[013-21b]
皆得一百九十五兩馬價齊同祗十三
倍銀數則朒一千零四十兩十五倍銀
數則朒二百四十兩是兩朒相差八百
兩即二倍之銀數故以四率求之而得
銀數也既得銀數則加其所朒之數以
每匹之價除之即得馬數矣
設如有米易布不知米數亦不知布數但云易布二
十疋則米少一石易布十六疋則米仍少二斗問
米數及布數各若干
[013-21b]
法以十六疋與二十疋相減餘四疋為
[013-22a]
一率二斗與一石相減餘八斗為二率
一疋為三率推得四率二斗為布每疋
所值米數以二斗與二十疋相乗得四
石減朒一石餘三石為米數若以二斗
與十六疋相乗得三石二斗減朒二斗
亦餘三石為米數既得米數以每疋二
斗除之得十五疋為布數也
又先得米數之法以十六疋乗朒一石
[013-22b]
為加十六倍得朒十六石以二十疋乗
朒二斗為加二十倍得朒四石相減餘
十二石為二率十六倍與二十倍相減
餘四倍為一率一倍為三率推得四率
三石為米數加朒一石共四石為一率
二十疋為二率三石為三率得四率十
五疋為布數或於三石加朒二斗共三
石二斗為一率十六疋為二率三石為
三率亦得四率十五疋為布數也盖二
[013-22b]
十疋加十六倍十六疋加二十倍皆為
[013-23a]
易布三百二十疋而十六倍其米數則
朒十六石二十倍其米數則朒四石是
兩朒相差十二石即相差四倍之米數
故以比例求之得米數也既得米數則
加朒一石為四石即足易布二十疋故
四石與二十疋之比同於三石與十五
疋之比也或加朒二斗得三石二斗即
足易布十六疋故三石二斗與十六疋
[013-23b]
之比亦同於三石與十五疋之比也
又先得布數之法以朒二斗與朒一石
相減餘八斗為一率十六疋與十二疋
相減餘四疋為二率朒一石為三率得
四率五疋與二十疋相減餘十五疋為
布數又以五疋為一率朒一石為二率
十五疋為三率推得四率三石為米數
也若仍以八斗為一率四疋為二率朒
二斗為三率則得四率一疋與十六疋
[013-23b]
相減亦得十五疋為布數又以一疋為
[013-24a]
一率二斗為二率十五疋為三率亦得
四率三石為米數也此法即先求適足
之理盖十五疋即適足之數也
一盈一適足
設如按户納糧不知户數亦不知糧數只云每户三
升盈六石每户二升五合適足問人户及糧數各
若干
法以二升五合與三升相減餘五合為
[013-24b]
一率盈六石變為六千合為二率一户
為三率推得四率一千二百為户數與
每户二升五合相乗得三十石為糧數
也盖每户多五合而縂糧多六石其為
一千二百户可知故五合與六石之比
同於一與一千二百之比也此以一户/為三率者
二三率原可互易變/之以明比例之理也既得户數則與二
升五合相乗適足三十石之數矣若以
一千二百户與每户三升相乗得三十
[013-24b]
六石減盈六石亦得三十石為糧數也
[013-25a]
又先得糧數之法以二升五合乗盈六
石為加二十五倍以合為/單位得盈一百五
十石以三升乗適足為加三十倍仍得
適足盖全糧一分每户二升五合而適/足若将全糧加三十倍為三十分
則二升五合亦當加三十倍為七斗五/升是全糧三十分每户七斗五升仍適
足/也故即以一百五十石為二率将二十
五倍與三十倍相減餘五倍為一率一
倍為三率推得四率三十石為糧數以
[013-25b]
每户二升五合除之得一千二百為户
數或加盈六石為三十六石以每户三
升除之亦得一千二百為户數也
設如有井不知其深有繩不知其長只云将繩作三
摺入井長八尺将繩作五摺入井適足問井深繩
長各若干
法以三摺與五摺相減餘二摺為一率
長八尺用三摺因之得盈二丈四尺為
二率一摺為三率推得四率一丈二尺
[013-25b]
為井深以五摺乗之得六丈為繩長或
[013-26a]
以三摺乗之加盈二丈四尺亦得六丈
為繩長也盖摺作三摺每摺盈八尺是
三摺共盈二丈四尺也五摺比三摺多
二摺而盈與適足無可加減則盈二丈
四尺即為二摺之數其一摺為一丈二
尺矣井深既為五摺之一故一摺之數
即為井深之數也既得井深則以五摺
乗之得繩長之數或以三摺乗之加盈
[013-26b]
二丈四尺亦得繩長之數也
又先得繩長之法以五摺乗盈二丈四
尺為加五倍得盈一十二丈以三摺乗
適足為加三倍仍得適足故即以一十
二丈為二率三倍與五倍相減餘二倍
為一率一倍為三率推得四率六丈為
繩長以五摺除之得一丈二尺為井深
或減盈二丈四尺餘三丈六尺以三摺
除之亦得一丈二尺為井深也
[013-26b]
一朒一適足
[013-27a]
設如計日登程不知日數亦不知路程只云每日行
五十五里則離所欲至之地共差六十里每日行
六十里適足問日數及路程各若干
法以五十五里與六十里相減餘五里
為一率一日為二率朒六十里為三率
推得四率十二為日數與每日六十里
相乗得七百二十里為路數若以日數
十二與每日行五十五里相乗得六百
[013-27b]
六十里是不到六十里也加朒六十里
亦得七百二十里也
又先得路程之法以六十里乗朒六十
里為加六十倍得朒三千六百里以五
十五里乗適足為加五十五倍仍得適
足故即以三千六百里為二率五十五
倍與六十倍相減餘五倍為一率一倍
為三率推得四率七百二十里為路程
以每日六十里除之得十二為日數或
[013-27b]
於七百二十里内減朒六十里餘六百
[013-28a]
六十里以每日五十五里除之亦得十
二為日數也
設如有直田一段欲截一頭作園只云截長十步不
足三十二步截長十二步適足問截積及原濶各
若干
法以十步與十二步相減餘二步為一
率朒三十二步為二率一步為三率推
得四率十六步為原濶與十二步相乗
[013-28b]
得一百九十二步為截積或與十步相
乗加朒三十二步亦得一百九十二步
為截積也盖長十步則少三十二步長
十二步則適足是三十二步者即長二
步與原濶相乗之積故以二步除之得
原濶也既得原濶則與截長十二步相
乗得截積或與截長十步相乗加朒三
十二步亦得截積也
又先得截積之法以十二步乗朒三十
[013-28b]
二步為加十二倍得朒三百八十四步
[013-29a]
以十步乗適足為加十倍仍得適足故
即以三百八十四步為二率以十倍與
十二倍相減餘二倍為一率一倍為三
率推得四率一百九十二步為截積以
截長十二步除之得十六步為原濶或
於一百九十二步内減朒三十二步餘
一百六十步以截長十步除之亦得十
六步為原濶也
[013-30a]
䨇套盈朒
盈朒之法皆以每人㡬何而盈㡬何每人㡬何而朒
㡬何為問其首數皆為一故以一人之較與共較為
比例而得人數即欲先求共數不過用一互乗以齊
其分而已故為單法若䨇套則以㡬人㡬何而盈㡬
何㡬人㡬何而朒㡬何為問其首數已不同故必先
用一互乗以齊之而後可以為比若欲先求共數則
用两互乗是以謂之䨇套至於比例相求之理則仍
[013-30b]
與單法同也
一盈一朒
設如有人分銀不知人數亦不知銀數只云每四人
分銀三兩則盈六兩每六人分銀九兩則朒三兩
問人數與銀數各若干
法以四人互乗九兩得三十六兩以六
人互乗三兩得十八兩相減餘十八兩
為一率四人六人互乗得二十四人為
二率盈六兩與朒三兩相加得九兩為
[013-30b]
三率推得四率十二即為人數既得人
[013-31a]
數乃以四人為一率三兩為二率十二
人為三率推得四率九兩加盈六兩得
十五兩即為銀數或以六人為一率九
兩為二率十二人為三率推得四率十
八兩減朒三兩亦餘十五兩為銀數也
此法必用互乗以齊其數者盖單法以
所分數相減為一率一人為二率盈朒
相加為三率今三兩為四人之所分九
[013-31b]
兩為六人之所分不可以相減而為一
率也四人與六人人數不同不可以為
二率也所以必用互乗以齊之一則為
二十四人分十八兩雖為加六倍其比
例仍同於四人分三兩也一則為二十
四人分三十六兩雖為加四倍其比例
仍同於六人分九兩也是以十八兩與
三十六兩相減餘十八兩為二十四人
之所差而盈朒差九兩即知為㡬人之
[013-31b]
所差故十八兩與二十四人之比即同
[013-32a]
於九兩與十二人之比也既得人數之
後而仍用比例四率者何也盖單法所
分之銀數為一人之所分故以人數與
所分之銀數相乗加盈減朒而即得縂
銀今則所分之銀數為四人或六人之
所分故每㡬人與所分㡬何之比即如
縂人與縂銀之比而得四率加盈減朒
始得縂銀數也
[013-32b]
又㨗法以四人歸除三兩每一人應得
七錢五分以六人歸除九兩每一人應
得一兩五錢乃照盈朒單法列之為每
人七錢五分分之盈六兩每人一兩五
錢分之朒三兩是以七錢五分與一兩
五錢相減餘七錢五分為一率一人為
二率盈六兩與朒三兩相加得九兩為
三率推得四率十二為人數既得人數
則以一人為一率一兩五錢為二率十
[013-32b]
二人為三率推得四率十八兩減朒三
[013-33a]
兩餘十五兩為銀數也或以每人七錢
五分為二率推得四率九兩加盈六兩
亦得十五兩為銀數也此法以四人除
三兩以六人除九兩皆為度盡之數若
數有竒零度不盡者則必用互乗之法
而後可
又先得銀數之法以四人互乗九兩得
三十六兩又以三十六兩互乗盈六兩
[013-33b]
為加三十六倍得盈二百一十六兩以
六人互乗三兩得一十八兩又以一十
八兩互乗朒三兩為加十八倍得朒五
十四兩兩數相加得二百七十兩為二
率十八倍與三十六倍相減餘十八倍
為一率一倍為三率推得四率十五兩
為銀數既得銀數乃以三兩為一率四
人為二率十五兩減盈六兩餘九兩為
三率推得四率十二為人數或以九兩
[013-33b]
為一率六人為二率十五兩加朒三兩
[013-34a]
共十八兩為三率亦得四率十二為人
數也盖單法以所分之數相減為一率
以所分之數互乗盈朒之數相減為二
率一倍為三率得四率為銀數今則三
兩為四人之所分九兩為六人之所分
其數不同即三兩與九兩互乗亦皆得
二十七兩而一則為三十六人分二十
七兩加九/倍也一則為十八人分二十七兩
[013-34b]
加三/倍也其數亦仍不同不可相為比例故
必以四人六人互乗為二十四人以齊
其人數又必以十八與三十六互乗盈
朒之數以齊其所分銀數然後人數與
所分銀數俱同可以設為比例是以十
八兩加三十六倍三十六兩加十八倍
皆為六百四十八兩即如三十六倍其
銀數則每二十四人分六百四十八兩
盈二百一十六兩若十八倍其銀數則
[013-34b]
每二十四人分六百四十八兩朒五十
[013-35a]
四兩也然則盈朒相差二百七十兩即
十八倍銀數之所差矣故十八倍與二
百七十兩之比即同於一倍與十五兩
之比而為比例四率也既得銀數而減
盈加朒為比例四率者盖以所分之銀
數與㡬何人之比即如減盈加朒之縂
銀數與縂人數之比也
又先得銀數之法以四人互乗九兩得
[013-35b]
三十六兩以六人互乗三兩得十八兩
相減餘十八兩為一率以互乗所得之
十八兩為二率盈六兩與朒三兩相加
得九兩為三率推得四率九兩加盈六
兩得十五兩為銀數若以三十六兩為/二率則得四率十
八兩減朒三兩亦/得十五兩為銀數既得銀數則以三兩
為一率四人為二率十五兩内減盈六
兩餘九兩為三率推得四率十二為人
數也若以九兩為一率六人為二率十/五两内加朒三兩共十八兩為三
[013-35b]
率亦得四率/十二為人數此法盖合兩四率而為一
[013-36a]
四率原法以十八兩為一率二十四人
為二率九兩為三率得四率十二為人
數又如以二十四人為一率十八兩為
二率與四人為一率三兩為二率者/同因其俱為四與三之比例十
二人為三率則得四率九兩加盈六兩
得十五兩為銀數今将兩四率合為一
四率則前四率中省以二十四乗後四
率中省以二十四除故以十八兩為一
[013-36b]
率又為二率以九兩為三率而得四率
九兩加盈六兩為銀數也
設如衆人共出銀買物不知人數亦不知物價只云
每八人出銀七兩則盈四兩五錢每九人出銀六
兩則朒三兩問人數及物價各若干
法以八人互乗六兩得四十八兩以九
人互乗七兩得六十三兩相減餘十五
兩為一率八人九人互乗得七十二人
為二率盈四兩五錢與朒三兩相加得
[013-36b]
七兩五錢為三率推得四率三十六即
[013-37a]
為人數既得人數乃以八人為一率七
兩為二率三十六人為三率推得四率
三十一兩五錢減盈四兩五錢餘二十
七兩即為物價或以九人為一率六兩
為二率三十六人為三率推得四率二
十四兩加朒三兩亦得二十七兩為物
價也此法用互乗以齊其數一則變為
七十二人出六十三兩一則變為七十
[013-37b]
二人出四十八兩其相差十五兩是十
五兩為七十二人之所差則盈朒相加
之七兩五錢即知為三十六人之所差
故十五兩與七十二人之比即同於七
兩五錢與三十六人之比也既得人數
仍用比例四率以每㡬人與所出㡬何
之比即如縂人與縂銀之比而得數内
減盈加朒即為物價也
又先得銀數之法以八人互乗六兩得
[013-37b]
四十八兩又以四十八兩互乗盈四兩
[013-38a]
五錢為加四十八倍得盈二百一十六
兩以九人互乗七兩得六十三兩又以
六十三兩互乗朒三兩為加六十三倍
得朒一百八十九兩二數相加得四百
零五兩為二率四十八倍與六十三倍
相減餘十五倍為一率一倍為三率推
得四率二十七兩為銀數既得銀數乃
以七兩為一率八人為二率二十七兩
[013-38b]
内加盈四兩五錢共三十一兩五錢為
三率推得四率三十六為人數或以六
兩為一率九人為二率於二十七兩減
朒三兩餘二十四兩為三率亦得四率
三十六為人數也此法用互乗以齊人
數銀數而成比例故八人與九人互乗
皆為七十二人以六十三兩與四十八
兩互乗皆為出三千零二十四兩此數
比四十八倍之物價則盈二百一十六
[013-38b]
兩比六十三倍之物價則朒一百八十
[013-39a]
九兩其盈朒之相差為四百零五兩其
四十八倍與六十三倍相差為十五倍
以十五倍與四百零五兩之比即同於
一倍與二十七兩之比也既得銀數仍
用比例四率盖以所出之銀數與㡬何
人之比即如加盈減朒之縂銀數與縂
人數之比也
兩盈
[013-39b]
設如衆人輪班值日不知人數亦不知日數只云每
四人值五日則盈二十日每八人值九日仍盈八
日問人數及日數各若干
法以四人互乗九日得三十六日以八
人互乗五日得四十日相減餘四日為
一率四人八人互乗得三十二人為二
率盈八日與盈二十日相減餘十二日
為三率推得四率九十六為人數既得
人數乃以四人為一率五日為二率九
[013-39b]
十六人為三率推得四率一百二十日
[013-40a]
減盈二十日餘一百為日數或以八人
為一率九日為二率九十六人為三率
推得四率一百零八日減盈八日亦餘
一百為日數也此法用互乗以齊其分
一則變為三十二人值四十日一則變
為三十二人值三十六日其相差為四
日知四日為三十二人之所差則兩盈
相減之十二日即知為九十六人之所
[013-40b]
差矣既得人數則以每㡬人與值㡬日
之比即同於縂人與縂日之比而於得
數之内減其所盈即為日數也
又先得日數之法以四人互乗九日得
三十六日又以三十六日互乗盈二十
日為加三十六倍得盈七百二十日以
八人互乗五日得四十日又以四十日
互乗盈八日為加四十倍得盈三百二
十日相減餘四百日為二率三十六倍
[013-40b]
與四十倍相減餘四倍為一率一倍為
[013-41a]
三率推得四率一百為日數既得日數
乃以五日為一率四人為二率一百日
内加盈二十日共一百二十日為三率
推得四率九十六為人數或以九日為
一率八人為二率一百日内加盈八日
共一百零八日為三率亦得四率九十
六為人數也盖八人四人互乗皆為三
十二人三十六日四十日互乗皆為一
[013-41b]
千四百四十日然比三十六倍日數則
盈七百二十日比四十倍日數則盈三
百二十日二數相差為四百日三十六
倍與四十倍相差為四倍知四倍之為
四百日即知一倍之為一百日矣既得
日數則以所值之㡬日與㡬人之比即
同於加盈之縂日數與縂人數之比也
兩朒
設如有人分絹分之不盡只云每三人五疋少二十
[013-41b]
疋每六人九疋少十疋問人數及絹數各若干
[013-42a]
法以三人互乗九疋得二十七疋以六
人互乗五疋得三十疋相減餘三疋為
一率三人六人互乗得一十八人為二
率朒十疋與朒二十疋相減餘十疋為
三率推得四率六十為人數既得人數
則以三人為一率五疋為二率六十人
為三率推得四率一百疋減朒二十疋
餘八十疋為絹數若以六人為一率九
[013-42b]
疋為二率六十人為三率推得四率九
十疋減朒十疋亦得八十疋為絹數也
此法用互乗以齊其數一則變為十八
人分三十疋朒二十疋一則變為十八
人分二十七疋朒十疋三十疋比二十
七疋相差三疋朒二十疋比朒十疋相
差十疋知三疋為十八人之所差即知
十疋為六十人之所差故三疋與十八
人之比即同於十疋與六十人之比也
[013-42b]
又先得絹數之法以三人乗九疋得二
[013-43a]
十七疋六人乗五疋得三十疋相減餘
三疋為一率三十疋為二率朒十疋與
朒二十疋相減餘十疋為三率推得四
率一百疋減朒二十疋餘八十疋為絹
數也若以二十七疋為二率則求得四/率九十疋減
十疋亦得八十疋
為絹/數既得絹數則加朒二十疋共一百
疋為三率五疋為一率三人為二率推
得四率六十為人數也此法亦合兩四
[013-43b]
率而為一四率盖原法以三疋為一率
十八人為二率十疋為三率得四率六
十為人數又如以十八人為一率三十
疋為二率與三人為一率五疋為二率/者同因其俱為三與五之比
例/六十人為三率得四率一百疋減朒
二十疋餘八十疋為絹數今合兩四率
為一四率則前四率中省以一十八乗
後四率中省以一十八除也
一盈一適足
[013-43b]
設如衆人支糧每三人支九石盈五十四石每四人
[013-44a]
支十四石適足問人數與糧數各若干
法以三人互乗十四石得四十二石以
四人互乗九石得三十六石相減餘六
石為一率三人四人互乗得十二人為
二率盈與適足無可加減即以盈五十
四石為三率推得四率一百零八為人
數既得人數乃以四人為一率十四石
為二率一百零八人為三率推得四率
[013-44b]
三百七十八石為糧數或以三人為一
率九石為二率一百零八人為三率推
得四率三百二十四石加盈五十四石
亦得三百七十八石為糧數也此法用
互乗以齊其分一則變為十二人支三
十六石一則變為十二人支四十二石
其相差六石知六石為十二人之所差
即知五十四石為一百零八人之所差
矣既得人數則以每㡬人與支㡬石之
[013-44b]
比即同於縂人數與縂糧數之比也
[013-45a]
又先得糧數之法以三人互乗十四石
得四十二石又以四十二石互乗盈五
十四石為加四十二倍得盈二千二百
六十八石以四人互乗九石得三十六
石又以三十六石互乗適足為加三十
六倍仍得適足故即以盈二千二百六
十八石為二率三十六倍與四十二倍
相減餘六倍為一率一倍為三率推得
[013-45b]
四率三百七十八石為糧數既得糧數
乃以十四石為一率四人為二率三百
七十八石為三率推得四率一百零八
為人數或以九石為一率三人為二率
三百七十八石内減盈五十四石餘三
百二十四石為三率亦得四率一百零
八為人數也盖三十六石與四十二石
互乗皆為支一千五百一十二石然四
十二倍其糧數則盈二千二百六十八
[013-45b]
石三十六倍其糧數則適足三十六倍
[013-46a]
與四十二倍差六倍知六倍之為二千
二百六十八石即知一倍之為三百七
十八石矣既得糧數則以所支之㡬石
與㡬人之比即同於縂糧數與縂人數
之比也
一朒一適足
設如以車運米每四車載六十石則米少六十石每
三車載四十石則米適足問車數與米數各若干
[013-46b]
法以四車互乗四十石得一百六十石
以三車互乗六十石得一百八十石相
減餘二十石為一率三車四車互乗得
十二車為二率朒與適足無可加減即
以朒六十石為三率推得四率三十六
為車數既得車數則以十二車為一率
以互乗所得之一百六十石為二率與/三
車為一率四十石為二率同以/其俱為三與四十之比例也三十六
車為三率推得四率四百八十石為米
[013-46b]
數若将互乗所得之一百八十石為二
[013-47a]
率則得四率五百四十石減朒六十石
亦得四百八十石為米數也此法互乗
後一得十二車載一百八十石一得十
二車載一百六十石其相差為二十石
知二十石為十二車之所差即知六十
石為三十六車之所差故二十石與十
二車之比即同於六十石與三十六車
之比也
[013-47b]
又先得米數之法欲省互乗則将兩車
數變為同䓁以四車載六十石用四歸
三因為三車載四十五石則兩首數同
矣乃以四十石與四十五石相減餘五
石為一率四十石為二率朒六十石為
三率推得四率四百八十石為米數既
得米數即以四十石為一率三車為二
率四百八十石為三率推得四率三十
六即車數也此法不用互乗止将兩首
[013-47b]
數變為同䓁極為簡㨗然必其數可以
[013-48a]
度盡為同等者方可用之若其數不能
度盡則必仍用互乗之法焉
[013-48b]
御製數理精藴下編卷八
