[005-1a] 
欽定四庫全書
御製數理精藴上編卷五
算法原本一
算法原本二
[005-2a]
算法原本一
第一
一者數之原也衆一相合而數繁焉不
能無大小多寡之不齊而欲知其所以
分合之故必有一定之法始可以得其
準若夫累積小數與大數等者此小數
即度盡大數之準也如大數有八小數/有二四倍其二與
八必等則二即/為度盡八之準苟累積小數不能與大
[005-2b]
數等者此小數即非度盡大數之準也
如大數有八小數有三二倍其三為六/小於八矣二倍其三為九又大於八矣
若此者即為非/度盡大數之準要之小數為大數之平
分者即能度盡大數而小數非大數之
平分者即不能度盡大數是故以小度
大以寡御多求其恰符而毫無舛者惟
在得其平分之法而已
第二
數之目雖廣總不出奇偶二端何謂偶
[005-2b]
兩整平分數是也何謂奇不能兩整平
[005-3a]
分數是也如二四六八十之類平分之
俱為整數斯謂之偶數矣若三五七九
十一之類平分之俱不能為整數斯謂
之奇數矣又如小偶數分大偶數得偶
分則謂之偶分之偶數如小偶數四分/大偶數三十二
得八平分是為偶分其三/十二即為偶分之偶數小偶數分大
偶數得奇分則謂之奇分之偶數如小/偶數
六分大偶數三十得五平分是為/奇分其三十即為奇分之偶數又如
[005-3b]
小奇數分大奇數得奇分則謂之奇分
之奇數矣如小奇數五分大奇數十五/得三平分是為奇分其十五
即為奇分/之奇數
第三
乘者兩數相因而成也葢有兩數視此
一數有幾何彼一數有幾何將此一數
照彼一數加幾倍則兩數積而復成一
數故謂之相因而成然不用加而用乘
者何也葢加湏層累而得乘則一因即
[005-3b]
得此立法之精而理則實相通也如有
[005-4a]
六與十兩數以十為主而加六次得六
十以六為主而加十次亦得六十今以
十為主而以六乘之或以六為主而以
十乘之皆得六十其數無異而比加捷
矣
第四
凡兩數相乘為平方數如四與六相乘
得二十四是也試將四六兩數作㸃排
[005-4b]
之縱立四㸃為甲乙橫列六㸃為甲丁
將此六㸃累四次即成甲乙丙丁平方
數矣又若相等兩數相乘得數則為正
方數如五與五乘得二十五是也苟將
五數縱橫各列五㸃或依縱數或依横
數累五次即成戊已庚辛正方數矣
第五
凡數之相乘可用線以表之然線雖無
廣分如依一線之長分廣為小方面看
[005-4b]
此線所有方面若干將彼線所有方面
[005-5a]
加作幾倍或看彼線所有方面若干將
此線所有方面加作幾倍則二線相積
而成面矣設如有甲乙二線甲線之分
為三乙線之分為四將此二線相乘則
依甲線三分之一分作廣分為甲丙依
乙線四分之一分作廣分為乙丁其甲
丙有三小方形乙丁有四小方形若依
甲丙所有之數將乙丁加為三倍或依
[005-5b]
乙丁所有之數將甲丙加為四倍俱成
函十二小方形之乙丙甲丁之二直角
形矣葢面為線之積以一線為横一線
為縱縱横相因而成故測面者必於線
知線即可以知面也
第六
凡二線彼此各分不均而有零分者其
相乘所成方面亦有零分也設有甲乙
二線甲線為三分今將甲線依三分之
[005-5b]
一分作廣分為三小方形並無餘積而
[005-6a]
乙線照甲線分則為四分有零亦將乙
線依甲線一分作廣分則為四小方形
而餘戊一小形以所作甲丙為横乙丁
為縱則成一丁甲四方形而此形之内
必有十二小方形仍有三小戊形附於
十二方形乃為二線相乘之總積也又
如此類一線有零分者其餘分在一邊
若二線俱有零分者則其餘分亦在二
[005-6b]
邊矣
第七
凡三數遞乘為立方數如二與三相乘
得六又以四乘之得二十四是也試將
二三四之三數作㸃排之縱列二㸃為
甲丁横列三㸃為甲乙將此三㸃累二
次成丁乙平方數又直立四㸃為丙丁
依丙丁數將丁乙平方數累四次即成
丙乙立方數矣又若相等三數遞乘得
[005-6b]
數則為正立方數如三與三乘得九再
[005-7a]
以三乘得二十七是也試將三數縱橫
各排三㸃平列三次成庚已平方數又
直立三㸃將庚己平方數累三次即成
戊已正立方數矣
第八
凡數之遞乘為體可用面以表之葢面
雖無厚分如依一面之積分廣爲小方
體看面所有積分得線之長分若干將
[005-7b]
面所有小方體加作幾倍則線面因之
而成體矣設如有甲乙面之分為四丙
丁線之分為三將此面線相乘則依甲
乙面四分之一作厚分為四小方體乃
依丙丁線分數將甲乙加為三倍即成
函十二小方體之丙乙直角立方體矣
葢體為面之積而面為線之積故線可
以測面并可以測體也
第九
[005-7b]
除者兩數相較而分也葢視大數内有
[005-8a]
小數之幾倍將大數照小數減幾次則
大數分而復為一小數故謂之相較而
分然不用減而用除者何也葢減必遞
消其分除則一歸而即得除之與減即
猶乘之與加正相對待者也如有大數
十二小數四若用十二以四減之三次
而盡即知十二為四之三倍若用除法
則三倍其四與十二較其數適等即知
[005-8b]
十二為四之三倍矣此除之與減理相
通而用較捷也
第十
凡兩數相乗之平方數以一數除之必
得其又一數也設如甲乙五乙丙六兩
數相乘之甲乙丙丁平方數三十若以
甲乙五除之即得乙丙六或以乙丙六
除之即得甲乙五葢此三十中有五之
六倍六之五倍如作㸃排之五㸃為横
[005-8b]
則縱排六次六㸃為橫則縱排五次皆
[005-9a]
成方數故兩數不等平方面知其一數
或知兩數相差之較始能得其兩邊線
也又若正方數則其縱横皆同如戊己
庚辛之正方數二十五其縱橫皆五是
巳故凡正方面有積數即可得其每邊
者葢因其縱橫兩邊皆等故也
第十一
凡以線乘線即成面而以線除面亦復
[005-9b]
得線故數之乘者可用線以表之而除
者亦可用線以表之也設如有甲乙丙
丁一方面積一十二以甲乙線四分除
之得乙丙線之三分或以乙丙線三分
除之亦得甲乙線之四分試將甲乙乙
丙二線作廣分則甲乙線成四小方形
乙丙線成三小方形若依甲乙線所有
數以分甲乙丙丁面即每分得三小方
形如乙丙線依乙丙線所有數以分甲
[005-9b]
乙丙丁面即每分得四小方形如甲乙
[005-10a]
線葢除之與乘猶分合之相對以線合
者仍以線而分返本還原之義有不爽
矣
第十二
凡有零分不均二線相乘之方面以整
分線除之必得零分線以零分線除之
必得整分線也設如甲線三分乙線四
分有零相乘成丁甲面若以甲線三分
[005-10b]
除之即得乙線四分有零或以乙線四
分有零除之亦得甲線三分試將甲線
作廣分成三小方形為甲丙乙線作廣
分則成四小方形為乙丁餘戊一小形
若依甲丙線所有數以分丁甲面即每
分得四小方形一戊小形如乙丁線或
依乙丁線所有數以分丁甲面即每分
得三小方形如甲丙線矣此為二線一
整一零相乘之總積故以整線除之得
[005-10b]
零以零線除之得整若二線俱有零分
[005-11a]
者彼此除之必俱得零分也
第十三
凡三數遞乘之立方數以兩數遞除之
始得其又一數也設如甲乙四乙丙二
丙丁三遞乘得甲丁立方數二十四若
以甲乙四除之得乙丁平方數六再以
乙丙二除之始得丙丁三葢乙丁平方
中有三之二倍而甲丁立方中有六之
[005-11b]
四倍如作㸃排之二㸃為縱橫排三次
直累四次即成方體故三數不等立方
體知其兩數或知其三數相差之較始
能得各邊也又若正立方體其縱橫厚
度皆為一數即以一數遞除二次則其
原數自得如戊己正立方數二十七其
縱横厚皆三是巳故凡正立方體有積
數即可得其每邊者正為其縱横厚度
皆等故也
[005-11b]
第十四
[005-12a]
凡以線除體即得面而以面除體亦復
得線故線可以除面而面亦可以除體
也設如有丙乙體積一十二以丙丁線
三分除之得甲乙面之四分或以甲乙
面四分除之亦得丙丁線之三分試將
甲乙面作厚分則成四小方體若依丙
丁線所有數以分丙乙體即每分得四
小方體如甲乙面依甲乙面所有數以
[005-12b]
分丙乙體即每分得三分如丙丁線葢
體本以線面相乗而得故可以線面相
除也
第十五
凡大數用小數可以度盡者此大數必
為此小數之所積也然所謂小數可以
度盡大數者復有幾種有大數惟一數
可以度盡者如四九二十五四十九之
類惟用二可以度四三可以度九五可
[005-12b]
以度二十五七可以度四十九是也有
[005-13a]
大數用兩數三數俱可以度盡者如八
與十二之兩數用二用四俱可以度盡
八用二用三用四俱可以度盡十二是
也有兩大數或三大數用一小數俱可
以度盡者如十二十六之兩數或一十
十五二十之三數用四可以度盡十二
十六之兩數用五可以度盡一十十五
二十之三數是也又有一小數可以度
[005-13b]
盡幾大數將此幾大數相加為一總數
此小數亦可以度盡此總數如四可以
度盡十二十六兩數若將十二十六相
加為二十八則此四亦可以度盡此二
十八也又或一小數可以度盡幾大數
將此大數不拘幾分分之此小數可以
度盡一分亦必可以度盡其餘幾分也
如三可以度盡十五將十五分為六九
兩數此三可以度盡六亦必可以度盡
[005-13b]
九也又如六與九兩數用三俱可以度
[005-14a]
盡若將六與九相乘得五十四此小數
三仍可以度盡此五十四也凡此類者
皆為彼此有度盡之數也
第十六
凡大數用小數不可以度盡者此大數
必非此小數之所積也然用一以度之
無不可以度盡者葢一為數之根諸數
皆自一而積之故也所謂度不盡者亦
[005-14b]
復有幾種有大數無小數可以度盡者
如五七十一十三之類任用二用三用
四俱不能度盡也有兩大數或三大數
用小數彼此不可以度盡者如十五與
八之兩數用二用四可以度盡八而不
能度盡十五用三用五可以度盡十五
而不能度盡八又如四六九之三數用
二可以度盡四六而不能度盡九用三
可以度盡六九而不能度盡四也又有
[005-14b]
彼此不能度盡之數或將一數自乘或
[005-15a]
將兩數俱自乘彼此仍俱不可以度盡
也如五與六之兩數彼此不能度盡亦
無一小數可以度盡此兩數即將五自
乘為二十五或將六自乘為三十六則
六仍不能度盡二十五而五仍不能度
盡三十六即二十五亦不能度盡三十
六也又如三七兩數與二五兩數俱為
彼此不能度盡之數或將三與七相乘
[005-15b]
得二十一將二與五相乘得一十此一
十與二十一之兩數仍為彼此不能度
盡之數也凡此類者皆為彼此無度盡
之數也
第十七
凡兩數互轉相減未至於一而即可以
減盡者此減盡之最小數即可以度盡
此兩數也設如有甲乙十六丙丁六之
兩數將丙丁六與甲乙十六減二次餘
[005-15b]
戊乙四將此戊乙四轉與丙丁六相減
[005-16a]
餘己丁二又將此已丁二轉與戊乙四
相減二次即無餘則此已丁二即可以
度盡甲乙十六及丙丁六矣葢八倍其
二與十六等三倍其二與六等也又如
十六與十二與八此三數亦為彼此有
度盡之數何也葢十六與十二相減餘
四以四轉與十二相減三次而盡則四
可以度盡十六與十二矣又二倍其四
[005-16b]
即與八等則四又可以度盡八然則十
六十二與八之三數為彼此有度盡之
數可知矣
第十八
凡兩數互轉相減至於一始可以減盡
者一之外别無他小數可以度盡此兩
數也設如有甲乙十二丙丁七之兩數
將丙丁七與甲乙十二相減餘戊乙五
將此戊乙五轉與丙丁七相減餘已丁
[005-16b]
二將此已丁二又轉與戊乙五相減餘
[005-17a]
庚乙三又將庚乙三轉與己丁二相減
餘辛乙一既至於一始可以度盡甲乙
丙丁兩數而一之外如二三四雖可以
度盡十二而不能度盡七也又如九與
十三及二十之三數亦為彼此無度盡
之數何也葢將九與十三互轉相減必
至於一即用十三與二十轉減或用九
與二十轉減亦皆至於一則除此一之
[005-17b]
外皆無可以彼此度盡此三數之小數
矣
第十九
凡有大數約為相當比例之最小數以
從簡易則為約分法也然數有可約不
可約之分可約者度盡之數不可約者
度不盡之數也設如有九與十二之兩
數欲約為相當比例之最小數乃用求
小數度盡大數法以九與十二互轉相
[005-17b]
減得減盡之數為三則三為度盡九與
[005-18a]
十二之數矣以三除九得三以三除十
二得四此三四兩數即為九與十二相
當比例之最小數也又如有六四八之
三數欲約為相當比例之最小數乃以
六與四互轉相減得減盡之數為二又
以二與八相減四次而盡則二為度盡
六四八之小數矣以二除六得三以二
除四得二以二除八得四此三二四三
[005-18b]
數即六四八相當比例之最小數也此
皆數之可約者也若夫數之不可約者
互轉相減必至於一而不可以度盡也
如有五七兩數以五減七餘二復以二
減五二次餘一既餘一則自一之外必
無可以度盡之數而不可約矣
第二十
凡有大分以分母乘之通為小分則為
通分法也然不曰乘而曰通者何也葢
[005-18b]
乘則積少成多其得數溢於原數之外
[005-19a]
通則變大為小其得數仍函於原數之
中也如有大分十二其分母為四欲得
其小分則以分母四乘大分十二得小
分四十八是已試作甲乙方形以明之
其中所函方形十二即大分也若將中
函之方形每分俱分為四小方則十二
方形共分為四十八小方形矣其數雖
比原大數加四倍然其每分之分只得
[005-19b]
原數之四分之一故仍函於甲乙方形
之内而未嘗溢出原數之外也又如有
大分九其分母為九欲得其小分則以
分母九乘大分九得小分八十一是已
試作丙丁方形以明之其中所函方形
九即大分也若將其中函之方形每分
俱分為九小方則九方形共分為八十
一小方形矣其數雖比原大數加九倍
而仍函於丙丁方形之内者以其每分
[005-19b]
之分只得原數之九分之一也由此推
[005-20a]
之其每分之母或為八或為十二或為
數十亦皆倣此通之其所通之數雖至
千萬而要皆未有溢於所通原分之外
者矣
第二十一
凡有幾小數欲求俱可以度盡之大數
則以此幾小數連乘之得數始為此幾
小數度盡之一大數也設如有四五兩
[005-20b]
小數欲求用四用五俱可以度盡之一
數則以四與五相乘得二十即為四五
兩數俱可度盡之一大數矣又如有三
四五之三小數欲求用三用四用五俱
可以度盡之一數則以三與四相乘得
十二又以五乘十二得六十即為三四
五俱可度盡之一大數矣葢小數為大
數之根始能度盡大數如四五可以度
盡二十者二十乃四之五倍亦即五之
[005-20b]
四倍也三四五可以度盡六十者六十
[005-21a]
乃十二之五倍而十二乃三之四倍也
第二十二
凡有兩數彼此互乘所得之數與原數
比例必同也葢數有多寡而分又有大
小則紛紜難御故必依此數之分將彼
數加為幾倍又依彼數之分將此數加
為幾倍則兩分數既同而比例亦同矣
如甲乙二數甲為三分之二乙為四分
[005-21b]
之三欲辨其孰大則依甲數將乙數加
三倍為十二分之九依乙數將甲數加
四倍為十二分之八如是則所加之兩
大分同為十二而所生之兩小分相比
即同於原甲數與乙數之相比矣何也
甲數本三分之二而為十二分之八者
乃加四倍之比例十二為三之四倍/八為二之四倍而
十二分之八之比例仍同於三分之二
之比例也乙數本四分之三而為十二
[005-21b]
分之九者乃加三倍之比例十二為四/之三倍九
[005-22a]
為三之/三倍而十二分之九之比例仍同於
四分之三之比例也此即互乘同母之/法如甲為三分之
二者三即母數二即子數也乙為四分/之三者四即母數三即子數也因兩母
數不同故用/互乘以同之
第二十三
凡子母分有幾數而子數同為一者先
以各母求俱能度盡之一數次以各母
除之則爲各子數也如甲乙丙三數甲
[005-22b]
為二分之一乙為三分之一丙為四分
之一則先以三母數連乘得二十四為
甲乙丙之共母數又以二除共母數得
十二為甲之子數以三除共母數得八
為乙之子數以四除共母數得六為丙
之子數葢甲本二分之一子母各加十
二倍即為二十四分之十二而二十四
與十二之比例仍同於二與一之比例
也乙本三分之一子母各加八倍即為
[005-22b]
二十四分之八而二十四與八之比例
[005-23a]
仍同於三與一之比例也丙本四分之
一子母各加六倍即為二十四分之六
而二十四與六之比例仍同於四與一
之比例也
第二十四
凡子母分有幾數而子母數俱不等者
亦先以各母求俱能度盡之一數次以
各母除之得數復以各子數乘之即為
[005-23b]
各子數也如有甲乙丙三數甲為三分
之二乙為四分之三丙為五分之四則
先以三母數連乘得六十為甲乙丙之
共母數次以三除共母數得二十以乘
子數二得四十為甲之子數又以四除
共母數得十五以乘子數三得四十五
為乙之子數又以五除共母數得十二
以乘子數四得四十八為丙之子數葢
甲本三分之二子母各加二十倍即為
[005-23b]
六十分之四十而六十與四十之比例
[005-24a]
仍同於三與二之比例也乙本四分之
三子母各加十五倍即為六十分之四
十五而六十與四十五之比例仍同於
四與三之比例也丙本五分之四子母
各加十二倍即為六十分之四十八而
六十與四十八之比例仍同於五與四
之比例也
[005-25a]
算法原本二
第一
凡有幾小數與幾大數相比其比例若
同則小數相加所得之總數與大數相
加所得之總數相比仍同於原數之比
例也設如有一小數六一小數四一大
數十八一大數十二其小數六為大數
十八之三分之一而小數四亦為大數
[005-25b]
十二之三分之一將兩小數六四相加
得一十將兩大數十八十二相加得三
十此一十與三十之比即如六與十八
四與十二之比皆為三分之一之比例
也又如三小數二三四與三大數六九
十二相比皆為三分之一將二三四相
加得九將六九十二相加得二十七其
比例亦為三分之一也又或四小數四
大數相加其總數之比例亦皆同如三
[005-25b]
與十二四與十六五與二十六與二十
[005-26a]
四俱為四分之一將三四五六四小數
相加得十八將十二十六二十二十四
四大數相加得七十二其比例仍為四
分之一矣
第二
凡有幾小數與幾大數之比例若同則
小數相減所得之餘數與大數相減所
得之餘數相比仍同於原數之比例也
[005-26b]
設如有一小數十一小數六一大數三
十一大數十八其小數十為大數三十
之三分之一而小數六亦為大數十八
之三分之一將兩小數十與六相減餘
四將兩大數三十與十八相減餘十二
此四與十二之比即如十與三十六與
十八之比皆為三分之一之比例也又
如三小數八四三與三大數二十四十
二九相比皆為三分之一將四三與八
[005-26b]
遞相減餘一將十二九與二十四遞相
[005-27a]
減餘三其比例亦為三分之一也又或
四小數四大數相減其餘數之比例亦
皆同如十八與七十二為四分之一而
三與十二四與十六五與二十俱為四
分之一將小數三四五與十八遞相減
餘六將大數十二十六二十與七十二
遞相減餘二十四其比例仍為四分之
一矣
[005-27b]
第三
凡有一數乘兩數其所得兩數相比仍
同於原兩數之相比也設如一數六與
八與一十兩數相乘以六乘八得四十
八以六乘一十得六十此四十八與六
十相比即同於原數八與一十之相比
矣夫八與四十八一十與六十皆為六
分之一故一與六之比同於八與四十
八之比而一與六之比亦同於十與六
[005-27b]
十之比也然則八與四十八之比例必
[005-28a]
同於十與六十之比例而四十八與六
十之比例亦必同於八與一十之比例
可知矣
第四
凡有一數除兩數其所得兩數相比仍
同於原兩數之相比也設如一數三除
十二與十五之兩數以三除十二得四
以三除十五得五則此四與五相比即
[005-28b]
同於原數十二與十五之相比矣夫十
二與四十五與五皆為三分之一故一
與三之比同於四與十二之比而一與
三之比亦同於五與十五之比也然則
四與十二之比例必同於五與十五之
比例而四與五之比例亦必同於十二
與十五之比例可知矣
第五
凡相當比例四數其第一數與第四數
[005-28b]
相乘第二數與第三數相乘所得之數
[005-29a]
等者何也葢兩方面以其縱横界互相
為比之比例若等則兩方積必等見幾/何原
本七卷/第三節今以第一數與第四數相乘即
如以第一數為縱第四數為横成一方
數而第二數與第二數相乘即如以第
二數為縱第三數為横成一方數其積
必相等也設如有二與六三與九相當
比例四數將第一數二為縱第四數九
[005-29b]
為横相乘得十八為甲丙一方數將第
二數六為縱第三數三為横相乘亦得
十八為戊庚一方數夫甲丙方之甲丁
横界比戊庚方之戊辛横界大三分之
二而戊庚方之戊己縱界比甲丙方之
甲乙縱界亦大三分之二其比例相等
故兩方數亦等此兩方數既等則相當
比例四數其第一數與第四數相乘第
二數與第三數相乘所得之數相等無
[005-29b]
疑矣
[005-30a]
第六
凡相連比例三數其首數與末數相乘
與中一數自乘所得之數等者何也葢
兩方面相等者其縱横界之互相比例
必等見幾何原本/七卷第三節今將首數與末數相
乘即如以首數為縱末數為横成一方
數而中數自乘即是以中數為縱復以
中數為横成一方數其積必相等也設
[005-30b]
如有四六九相連比例三數將首數四
為縱末數九為横相乘得三十六為甲
丙一方數將中數六為縱仍復為横相
乘即是自乘亦得三十六為戊庚一方
數夫甲丙方之甲丁横界比戊庚方之
戊辛横界大三分之一而戊庚方之戊
己縱界比甲丙方之甲乙縱界亦大三
分之一其比例相等故兩方數亦等此
兩方數既等則相連比例三數其首末
[005-30b]
兩數相乘與中數自乘所得之數相等
[005-31a]
無疑矣
第七
凡有兩數除一數其所得兩數之比例
即同於原兩數之轉相比例也設如有
一數十八以二三兩數除之二除十八
得九三除十八得六以此九與六兩數
相比即同於原兩數三與二之相比也
葢二與三六與九為相當比例之四數
[005-31b]
以第一數二與第四數九相乘第二數
三與第三數六相乘皆得十八故二除
十八得九即如以第一數除第二數與
第三數相乘之數而得第四數也以三
除十八得六即如以第二數除第一數
與第四數相乘之數而得第三數也夫
相當比例數其第二數與第四數之比
原同於第一數與第三數之比故第一
數二除十八所得之九與第二數三除
[005-31b]
十八所得之六相比即同於第二數三
[005-32a]
與第一數二之相比也
第八
凡有兩數除一數其所得之兩數内有
一數與原兩數内一數相等者則所得
之兩數與原兩數互轉相比即成相連
比例之數也設如有一數三十六以四
六兩數除之四除三十六得九六除三
十六仍得六與原數六相等則此九與
[005-32b]
六兩數之比即同於原數六與四之比
也葢四與六六與九為相連比例之四
數以四為首數九為末數相乗以六為
中數自乘皆得三十六今以四除三十
六得九即如以首數除中數自乘之數
而得末數也以六除三十六復得六即
如以中數除首末兩數相乘之數而仍
得中數也夫相連比例數其末數與中
數之比原同於中數與首數之比則首
[005-32b]
數四除三十六所得九與中數六除三
[005-33a]
十六所得六相比即同於中數六與首
數四之相比也
第九
凡相當比例四數其第一數度盡第二
數則第三數亦必度盡第四數也如有
二六三九相當比例四數其第一數二
可以度盡第二數六則第三數三亦可
以度盡第四數九矣夫相當比例四數
[005-33b]
第一與第二之比必同於第三與第四
之比今第一為二第二為六乃加三倍
之比例則第四與第三亦必為加三倍
之比例故三倍其二可以度盡六者三
倍其三即可以度盡九也
第十
凡相連比例三數其第一數度盡第二
數亦必度盡第三數也如有二四八相
連比例三數其第一數二可以度盡第
[005-33b]
二數四亦必可以度盡第三數八矣夫
[005-34a]
相連比例三數第一與第二之比同於
第二與第三之比今第一數為二第二
數為四乃加倍之比例則第二與第三
亦必為加倍之比例而第一與第三則
為再加一倍之比例故一倍其二可以
度盡四者再倍其二即可以度盡八也
第十一
凡依次遞加取四數其第一第四兩數
[005-34b]
相加與第二第三兩數相加之數等也
如一二三四遞加之四數將第一數一
與第四數四相加得五以第二數二與
第三數三相加亦得五又如一三五七
遞加之四數一三五七為隔一/數以遞加者也將第一
數一與第四數七相加得八以第二數
三與第三數五相加亦得八也又如二
五八十一遞加之四數二五八十一為/隔二數以遞加
者/也將第一數一與第四數十一相加得
[005-34b]
十三以第二數五與第三數八相加亦
[005-35a]
得十三由此推之或隔三數或隔四數
或隔五六數以至極多數但依次遞加
取四數無有不如此也
第十二
凡依次遞加取三數其首末兩數相加
與中數加倍之數等也如二三四遞加
之三數將首末二四相加得六以中數
三倍之亦得六又如二四六遞加之三
[005-35b]
數二四六隔一數/以遞加者也將首末二六相加得
八以中數四倍之亦得八也又如三六
九遞加之三數三六九隔二數/以遞加者也將首末
三九相加得十二以中數六倍之亦得
十二由此推之或隔三數或隔四數或
隔五六數以至極多數但依次遞加取
三數無有不合者也
第十三
凡依次遞加三數以第二第三兩數相
[005-35b]
加減去第一數即得挨次之第四數也
[005-36a]
如二三四之三數以第二數三第三數
四相加得七内減去第一數二得五即
是第四數又如二四六隔一數遞加之
三數以第二數四第三數六相加得一
十内減去第一數二得八即是第四數
亦為隔一數又如三六九隔二數遞加
之三數以第二數六第三數九相加得
十五内減去第一數三得十二即是第
[005-36b]
四數亦為隔二數矣葢此即四率相當
比例之理四率中兩率相乘與首末兩
率相乘之數等故中兩率相乘以首率
除之即得末率而此則中兩數相加與
首末兩數相加之數等故以首一數減
之即得末一數其義一也
第十四
凡依次遞加兩數以第二數倍之減去
第一數即得挨次之第三數也如二三
[005-36b]
兩數將第二數三倍之得六内減去第
[005-37a]
一數二餘四即是第三數又如二四隔
一數之兩數將第二數四倍之得八内
減去第一數二餘六即是第三數四與
六亦為隔一數也又如三六隔二數之
兩數將第二數六倍之得十二内減去
第一數三餘九即是第三數九與六亦
為隔二數也葢此即三率相連比例之
理三率以中率自乘與首末兩率相乘
[005-37b]
之數等故中率自乘以首率除之即得
末率而此則中數倍之與首末兩數相
加之數等故以首數減之即得末數於
此見加減乘除之相對待而加減可以
代乘除之理亦可從此推矣
第十五
凡有彼此可以度盡兩數欲求相連比
例之數則以一數自乘以一數除之即
得相連比例之第三數也如有四八兩
[005-37b]
數欲求第三數如四與八之相連比例
[005-38a]
乃以八自乘得六十四以四除之得十
六此十六即為四與八相連比例之第
三數葢八者四之二倍而十六又為八
之二倍則八與十六之比例必同於四
與八之比例矣如有三數求第四數仍
如四與八之比例則以第三數十六自
乗得二百五十六以第二數八除之得
三十二即為四八十六相連比例之第
[005-38b]
四數葢十六者四之四倍而三十二者
八之四倍則十六與三十二之比例必
同於四與八八與十六之比例矣如欲
求連比例之第五數或第六數即以相
近兩數依前法算之由此遞生可至於
無窮焉然此皆四與八之比例或四與
十六或三與六五與十之類凡有彼此
度盡之數欲求相連比例幾數者亦皆
如此求之無不可得矣
[005-38b]
第十六
[005-39a]
凡有彼此不可以度盡之兩數欲依此
兩數比例求相連比例之數則以一數
自乘為第一率而以又一數自乘為第
三率以兩數互乘為第二率即為相連
比例之三數也如有三五兩數欲求相
連比例三數皆如三與五之比例乃以
三自乘得九以五自乘得二十五以三
與五相乘得十五此九與十五十五與
[005-39b]
二十五之三數即如三與五之相連比
例三數葢九為三之三倍而十五為五
之三倍則九與十五為三與五之比例
矣而十五為三之五倍二十五為五之
五倍則十五與二十五亦為三與五之
比例矣又或已有三數欲求第四數皆
如三與五之連比例則以三乘九得二
十七以三乘十五得四十五以三乘二
十五得七十五復以五乘九得四十五
[005-39b]
五乘十五得七十五五乘二十五得一
[005-40a]
百二十五此所得六數内四十五七十
五各得二今止用其一故二十七四十
五七十五一百二十五之四數即如三
與五之相連比例數也葢二十七者三
之九倍而四十五者五之九倍則二十
七與四十五之比例同於三與五之比
例矣又四十五者三之十五倍而七十
五者五之十五倍則四十五與七十五
[005-40b]
之比例同於三與五之比例矣又七十
五者三之二十五倍而一百二十五者
五之二十五倍則七十五與一百二十
五之比例亦同於三與五之比例矣如
欲求連比例之第五數或第六數以原
一數遞乘先得之幾數復以又一數遞
乘先得之幾數去其相同者所餘即成
相連比例之數由此求之亦可至於無
窮也然此皆三與五之比例或三與七
[005-40b]
四與九五與八之類凡彼此不可以度
[005-41a]
盡之數欲求相連比例幾數者亦皆倣
此求之而即得矣
第十七
凡相當比例四數其前兩數之間有相
連比例二數其後兩數之間亦必有相
連比例二數也設如有甲二十四乙八
十一丙三十二丁一百零八相當比例
之四數甲數二十四與乙數八十一之
[005-41b]
間有戊三十六己五十四之相連比例
兩數則丙數三十二與丁數一百零八
之間亦必有庚四十八辛七十二之相
連比例兩數也試將甲戊己乙四數求
其相當比例之至小數則得壬八癸十
二子十八丑二十七之四數其甲與乙
之比即同於壬與丑之比而丙與丁之
比原同於甲與乙之比則丙與丁之比
亦必同於壬與丑之比矣其比例既同
[005-41b]
則壬可以度盡丙丑亦可以度盡丁而
[005-42a]
癸與子亦必可以度盡庚與辛壬癸子/丑各四
倍之即與丙庚辛丁等/是四次可以度盡也是丙庚辛丁四
數之比皆與壬癸子丑四數之比相同
也夫壬癸子丑原為甲戊己乙連比例
相當之小數今丙庚辛丁之比既與之
相同則丙庚辛丁亦為相連比例之四
數矣既俱為相連比例數則戊己為甲
乙兩數間之連比例數庚辛為丙丁兩
[005-42b]
數間之連比例數無疑矣
第十八
凡相連比例三數其第一數與第二數
之間有相連比例一數則第二數與第
三數之間亦必有相連比例一數也設
如有甲二乙十八丙一百六十二相連
比例之三數其甲數二與乙數十八之
間有相連比例之丁數六則乙數十八
與丙數一百六十二之間亦必有相連
[005-42b]
比例之戊數五十四也葢甲與乙之比
[005-43a]
同於乙與丙之比今丁六為甲二之三
倍戊五十四亦為乙十八之三倍則甲
與丁之比同於乙與戊之比而丁六為
乙十八之三分之一戊五十四亦為丙
一百六十二之三分之一則丁與乙之
比亦同於戊與丙之比因其比例皆同
故甲丁乙戊丙為相連比例之五數而
丁戊兩數為甲與乙乙與丙三數間之
[005-43b]
相連比例數可知矣
第十九
凡相連比例三數其首數與末數有用
一數可以度盡者有用一數不可以度
盡者如四八十六相連比例之三數其
首數四與末數十六為彼此有一數可
以度盡之數也如四六九相連比例之
三數其首數四與末數九為彼此無一
數可以度盡之數也然此兩種相連比
[005-43b]
例雖有度盡度不盡之分因其首數與
[005-44a]
中數之比同於中數與末數之比故總
謂之相連比例之數焉葢末數可用首
數平分即為有度盡之連比例數末數
不可用首數平分即為無度盡之連比
例數也且首末兩數彼此有一數可以
度盡者此三數非相當比例之至小數
若首末兩數彼此無一數可以度盡者
此三數即為相當比例之至小數也如
[005-44b]
四八十六之三數其首末兩數為彼此
有一數可以度盡之數而中數亦必為
此一數可以度盡之數試用二以度之
則得二四八之連比例三數或用四以
度之則得一二四之連比例三數皆與
四八十六之比例相同而比四八十六
之數為小故四八十六非相當比例之
至小數也如四六九之三數其首末兩
數為彼此無一數可以度盡之數故中
[005-44b]
數亦為無一數可以度盡之數既無一
[005-45a]
數可以彼此度盡則為相當比例數内
之至小數也明矣
第二十
凡同式兩平方數其間必有相連比例
一數也如有甲乙丙丁六戊己庚辛二
十四同式兩平方數此兩數之間必有
壬十二為相連比例之一數焉葢甲乙
丙丁戊己庚辛既為同式平方數則其
[005-45b]
每邊皆可為比例如甲乙二與甲丁三
之比同於戊己四與戊辛六之比而甲
乙二與戊己四之比亦同於甲丁三與
戊辛六之比也今以甲丁三與甲乙二
相因得六甲丁三與戊己四相因得十
二則六與十二之比同於甲乙二與戊
己四之比矣又戊己四與甲丁三相因
得十二戊辛六與戊己四相因得二十
四則十二與二十四之比同於甲丁三
[005-45b]
與戊辛六之比矣夫甲丁三與戊辛六
[005-46a]
之比原同於甲乙二與戊己四之比則
六與十二之比亦必同於十二與二十
四之比矣又若兩正方數之間亦必有
相連比例之一數也如有甲四丙九兩
正方數此四與九兩數之間必有乙六
為相連比例之一數焉葢兩正方數其
式既同故必有相連比例一數且兩正
方數之比例同於其兩邊所作連比例
[005-46b]
隔一位之比例見幾何原本/七卷第五節今甲方邊
為二丙方邊為三求其與二三相當連
比例之第三數則以二自乘得四以三
自乘得九以二乘三得六此四與六六
與九之三數即為與二三相當之連比
例數而其首數四與末數九既與甲丙
兩方數等則中數六亦必為甲丙兩方
數間之連比例數矣
第二十一
[005-46b]
凡同式兩平方數相乘得數為正方數
[005-47a]
也如有甲乙丙丁六戊己庚辛二十四
為同式兩平方數相乘得一百四十四
即為正方數矣葢同式兩平方數之間
原有相連比例一數今此六與二十四
之間必有十二之一數且連比例三率
以首末兩率相乘與中率自乘之數等
則此六與二十四兩平方數相乘所得
之一百四十四即為中率十二自乘之
[005-47b]
數矣又若兩正方數相乘得數亦仍為
正方數其方根即原兩方根相乘之數
也如有甲四丙九兩正方數此兩數相
乘得三十六仍為正方數其方根為六
亦即甲方根二與丙方根三相乘之數
也葢此兩方數俱為正方即為同式兩
平方數矣因其式同故相乘亦仍得正
方數也凡數有先各自乘而後相乘者
有先相乘而後自乘者其理無異故其
[005-47b]
得數皆等今以二自乘得四以三自乘
[005-48a]
得九復以四九相乘得三十六此先各
自乘而後相乘也以二與三相乘得六
復以六自乘得三十六此先相乘而後
自乘也且四與九積也積與積乘仍得
積二與三根也根與根乘仍得根此亦
理之必然者也
第二十二
凡兩正立方數之間必有相連比例之
[005-48b]
兩數也如有甲八丁二十七兩正立方
數此八與二十七之間必有乙十二丙
十八為相連比例之兩數焉葢兩正立
方之比例同於其兩邊所作連比例隔
二位之比例見幾何原本/十卷第四節今甲方邊為
二丁方邊為三求其與二三相當連比
例之第三第四數則以二自乘得四以
三自乘得九以二與三相乘得六此四
六九為連比例三數又以二遞乘此四
[005-48b]
六九三數得八十二十八之三連比例
[005-49a]
數復以三遞乘四六九三數得十二十
八二十七之三連比例數除相同者不
計其二十七即連比例之第四數則八
與十二十二與十八十八與二十七皆
為與二三相當之連比例數而其首數
八與末數二十七既與甲丁兩立方數
等則其中數之十二十八為甲丁兩立
方數間連比例之兩數可知矣
[005-49b]
第二十三
凡兩正立方數相乘得數仍為正方數
而其方根即原兩立方根相乘之數也
如有甲八丁二十七兩正立方數此兩
數相乘得二百一十六仍為正立方數
而其方根為六亦即甲立方根二與丁
立方根三相乘之數也葢此兩立方數
俱為正方即為同式兩立方數矣因其
式同故相乘亦仍得正立方也凡數有
[005-49b]
先自乘再乘而後以所得之數相乘者
[005-50a]
有先以兩數相乘而後以所得之數自
乘再乘者其得數皆等故二自乘再乘
得八三自乘再乘得二十七復以八與
二十七相乘得二百一十六此先各自
乘再乘而後以所得之數相乘也以二
與三相乘得六復以六自乘再乘亦得
二百一十六此先以兩數相乘而後以
所得之數自乘再乘也且八與二十七
[005-50b]
積也以積乘積仍得積二與三根也以
根乘根仍得根此又理之自然者也
第二十四
凡兩平方數若一邊相等則此兩平方
之比例同於其不等邊之比例也如有
甲丙戊庚兩平方數其甲丙平方之甲
乙邊為四而戊庚平方之戊已邊亦為
四甲丙平方之乙丙邊為六而戊庚平
方之己庚邊為八則此兩平方數二十
[005-50b]
四與三十二之比即同於其不等邊六
[005-51a]
與八之比也葢甲乙平方數二十四者
四之六倍而戊庚平方數三十二者四
之八倍也然則二十四與三十二之比
即同於六與八之比矣二十四與三十
二之比既同於六與八之比則兩平方
數之比例同於其不等邊之比例可知
矣
第二十五
[005-51b]
凡兩立方數其底積相等則此兩立方
之比例同於其髙之比例也如有甲乙
丙丁兩立方數其甲乙立方之戊乙底
為六而丙丁立方之己丁底亦為六甲
乙立方之甲戊髙為四而丙丁立方之
丙己髙為五則此兩立方數二十四與
三十之比即同於其兩立方之高四與
五之比也葢甲乙立方數二十四者六
之四倍而丙丁立方數三十者六之五
[005-51b]
倍也然則二十四與三十之比即同於
[005-52a]
四與五之比矣二十四與三十之比既
同於四與五之比則兩立方數之比例
同於其髙之比例可知矣
第二十六
凡兩線兩面兩體用一度如尺寸/之屬可以
度盡者此類之線面體皆為有整分可
以度盡者也設如有甲乙兩線甲線分
為五分乙線如甲線度分之得七分無
[005-52b]
餘則此二線即為一度彼此可以度盡
者矣若將此二線各為正方面各為正
方體則其兩面兩體亦皆為整分彼此
可以度盡者也至如兩線兩面兩體不
可以一度度盡者此類之線面體皆為
無整分可以度盡者也如丙丁戊己方
面其丙丁邊線為五分而丙戊對角線
則為七分有餘乃為彼此無度盡之數
矣葢以丙丁邊之五分為度則丙戊線
[005-52b]
得七分有餘或將丙戊線為七分整而
[005-53a]
以其分為度則丙丁線得五分不足凡
此類之線面體皆為無整分彼此可以
度盡之數也
第二十七
凡正方一邊線與對角線無一度可以
彼此度盡者葢以本方積與對角線所
成方積比之必有一數非正方數也夫
對角線自乘所作之方數為本方積之
[005-53b]
二倍如本方積一則對角線所作之方
為二本方積四則對角線所作之方為
八此一與二四與八之間無相連比例
之整數故一為正方數則二非正方數
四為正方數而八亦非正方數二與八
既非正方數則邊必有零餘而不能盡
矣或對角線所作方積為四則本方積
為二對角線所作方積為十六則本方
積為八此四與二十六與八之間亦無
[005-53b]
相連比例之整數故四為正方數而二
[005-54a]
非正方數十六為正方數而八又非正
方數然則對角線所作方積固為正方
數而本方積復不能成正方數其邊必
有零餘而不能盡矣故凡正方邊線與
對角線斷無一度可以彼此度盡之理
也
第二十八
凡正方面與平圓面同徑者其積之比
[005-54b]
例同於其周圍邊線之比例也如甲乙
丙丁正方面戊己庚辛平圓面其戊壬
庚之徑相等則此方積與圓積之比例
同於方周於圓周之比例也何以見之
以正方面之壬庚半徑為髙甲乙乙丙
丙丁丁甲之全周為底作一子甲直角
長形方則此長方形之積比正方形之
積必大一倍又以壬庚半徑為髙庚己
己戊戊辛辛庚全周為底作一壬庚直
[005-54b]
角長方形則此長方形之積比平圓形
[005-55a]
之積亦必大一倍凡直角三角形之小
邊與圓形之半徑等而三角形之大邊
與圓形之全周等者三角形之積與圓
形之積等也今此長方形與三角形同
底同髙其積比三角形必大一倍然則
壬庚長方形比圓形大一倍可知也夫
壬庚子甲兩長方形既同以壬庚為髙
則一邊數等一邊相等則其積之比例
[005-55b]
必同於其不等邊之比例而全與全之
比例原同於半與半之比例故兩長方
形之比例必同於庚庚與甲甲之比例
而方與圓之比例亦必同於庚庚與甲
甲之比例矣甲甲即方周而庚庚即圓
周然則方周與圓周之比例豈非方積
與圓積之比例乎
第二十九
凡有不知之一大數用兩小數度之不
[005-55b]
盡而一有餘一不足者其一多一少之
[005-56a]
數相併以兩小數之較度之即得其度
幾次之分與大數之幾何也如有一大
數用小數五度之多一數用小數六度
之又少四數則以多一與少四相加得
五以六與五兩小數相減餘一為較數
除之仍得五即知兩小數各度五次也
試排㸃以明之其甲乙五即小數五丙
丁六即小數六以甲乙五累五次則為
[005-56b]
甲乙己丙正方二十五多一為丁以丙
丁六累五次則為甲戊丁丙長方三十
少四為戊庚於甲戊丁丙長方三十内
減去少數戊庚四為二十六於甲乙己
丙正方二十五加入多數丁一亦為二
十六是知大數有二十六用此五六兩
小數各度五次之分也以丁一與戊庚
四相加為丁戊五以小數甲乙五與丙
丁六相減餘一以一除丁戊五仍得五
[005-56b]
與甲丙相等故甲丙為庚大數二十六
[005-57a]
之五次數也若以比例言之其小數五
與六相減所餘一者乃度一次之較而
一多一少相併之戊丁五者又為度五
次之較故以所餘一與度一次之比即
同於戊丁五與度五次之比其比例既
同故其數亦相等也
第三十
凡有不知之一大數用兩小數度之不
[005-57b]
盡而俱有餘或俱不足者其兩有餘或
兩不足之數俱相減以兩小數之較度
之即得其度幾次之分與大數之幾何
也如有一大數用小數六度之多五數
用小數七度之仍多一數則以兩多數
相減餘四以六與七兩小數相減餘一
為較數除之仍得四即知兩小數各度
四次也試排㸃以明之其甲乙六即小
數六丙丁七即小數七以甲乙六累四
[005-57b]
次則為甲乙庚丙方二十四多五為戊
[005-58a]
丁己以丙丁七累四次則為甲戊丁丙
方二十八多一為己於甲乙庚丙方二
十四加入多數戊丁己五得二十九於
甲戊丁丙方二十八加入多數己一亦
得二十九是知大數有二十九用此六
七兩小數各度四次之分也以己一與
戊丁己五相減餘戊丁四以小數甲乙
六與丙丁七相減餘一以一除戊丁四
[005-58b]
仍得四與甲丙相等故甲丙為度大數
二十九之四次數也若以比例言之其
兩小數相減所餘之一乃度一次之較
兩多數相減所餘之戊丁四乃度四次
之較故以一與度一次之比即同於戊
丁四與度四次之比也又如有不知之
一大數用小數八度之少二數用小數
九度之少六數則以兩少數相減餘四
以八與九兩小數相減餘一為較數除
[005-58b]
之仍得四即知兩小數各度四次也今
[005-59a]
作㸃排之其甲乙八即小數八丙丁九
即小數九以甲乙八累四次則為甲乙
己丙方三十二内少二數為乙庚以丙
丁九累四次為甲戊丁丙方三十六丙
少六數為乙庚丁戊於甲乙己丙方三
十二内減去少數乙庚二為三十於甲
戊丁丙方三十六内減去少數乙庚丁
戊六亦為三十是知大數有三十用此
[005-59b]
八九兩小數各度四次之分也以乙庚
二與乙庚丁戊六相減餘戊丁四以小
數甲乙八與丙丁九相減餘一以一除
戊丁四仍得四與甲丙為相等故甲丙
為度大數三十之四次數也其比例亦
以兩小數相減所餘之較比度一次之
分即同於兩少數相減所餘之較比度
幾次之分也復有不知之一大數用兩
小數度之一小數度之而盡一小數度
[005-59b]
之而不盡或有餘/或不足即以不盡之數或有/餘之
[005-60a]
數或不/足之數用兩小數之較度之即得其度
幾次之分與大數之幾何其理皆相同
也
第三十一
凡數自少至多遞加之而各有定率者
謂之平加比例數也夫平加之數有毎
次遞加一者為挨次遞加之數如一二
三四之類是也有每次遞加二者為超
[005-60b]
位平加之數如一三五七之類是也或/遞
加三或遞加四或遞/加五六皆是一理有每次増一加者
為按位相加之數如一三六十之類其
第二次加二第三次加三第四次加四
是也有每次増二加者為按位自乘之
數如一四九十六之類其第二次加三
第三次加五第四次加七是也復有一
種倍加者為挨次倍加之數如一二四
八之類每次皆加二倍又如一三九二
[005-60b]
十七之類每次皆加三倍是也遞加之
[005-61a]
數雖多按其條理求之大抵不出此數
端今各列數分析於後
第三十二
凡挨次遞加之數將首數與末數相加
以位數乘之所得之數折半即為總數
也如一二三四五六七八九之九數其
毎次所加之數為一將首數一與末數
九相加得十以位數九乘之得九十折
[005-61b]
半得四十五即是此九數之總數也何
也夫挨次遞加之數為等邊三角平面
形而兩數相乘即成四方形今以位數
九為髙末數九為底相乘所得之正方
形其數八十一較之總數則多較之總
數加倍之數又少此所少即一行之數
爰知位數與底數相乘所得之數比總
數加倍之數少一行之數矣既知挨次
遞加之數為三角形而位數與底數相
[005-61b]
乘之數為正方形又知位數與底數相
[005-62a]
乘之數幾等於總積加一倍之數則合
兩三角形之數適當總積加一倍之方
數矣兩三角形所合其底數必比高數
大一數故末數九為底數者加首數一
與髙相乘始成兩三角形所合之一方
形焉試將此九數作㸃排之自上而下
上一下九作為直角三角形復將此九
數另作一直角三角形合於原三角形
[005-62b]
之側則成一長方形其高即位數其底
即末數與首數相加之數其積即為總
數加一倍之數也然則首數末數相加
與位數相乘為總數之倍數可知矣又
如四五六七八九之六數欲知其總數
亦以首數四與末數九相加得十三為
底以位數六乘之得七十八為長方形
折半得三十九為總數其理與前同若
但知首數為四末數為九不知位數則
[005-62b]
視首數四以上至一虛幾位今虚三位
[005-63a]
故以三與末數九相減餘六即位數也
何也凡自一遞加之數其末數即位數
今首數為四計自一是少三位矣故用
三即為所少之位數於末數内減去所
少之位即為今之所有之位數也
第三十三
凡超位平加之數亦將首數與末數相
加以位數乘之得數折半為總數也如
[005-63b]
一三五七九十一之六數每次皆/加二數將首
數一與末數十一相加得十二以位數
六乘之得七十二折半得三十六為此
六位之總數也葢此超位平加之數與
挨次平加之理無異其以首末兩數相
加與位數相乘者總欲得此總數之倍
數以便折半取之也試將此六位之數
作六層排之上一下十一以首末數相
加得十二而以位數乘之則六層皆為
[005-63b]
十二矣上層本首數一加末數十一而
[005-64a]
成十二下層本末數十一加首數一而
成十二是首數末數俱加倍矣二層本
第二數三加第五數九而成十二五層
本第五數九加第二數三而成十二是
第二數第五數俱加倍矣三層本第三
數五加第四數七而成十二四層本第
四數七加第三數五而成十二是第三
數第四數亦俱加倍矣其每位之數皆
[005-64b]
倍則相乘所得之數豈非此總數之倍
數乎由此推之毎次加三加四或加五
加六以至加七加八加九之類凡係超
位平加之數其理無不相同也
第三十四
凡毎次按位相加之數將位數加二與
末數相乘取其三分之一即為總數也
如一三六一十十五之五數其每次皆
按位加之如第二位於第一位一上加/二為三第三位於第二位三
[005-64b]
上加三為/六是也將位數五加二與末數十五
[005-65a]
相乘得一百零五以三除之得三十五
即是此五數之總數也如或止有位數
或止有每一邊數求總數則以位數加
一與位數相乘得數復以位數加二乘
之取其六分之一即得總數也若止有/每一邊
數即以每一邊數加一與每邊數相乘/得數復以邊數加二乘之取其六分之
一得數/亦同葢毎次按位相加之數層疊排
之其式成等邊三角體其末一數即三
[005-65b]
角體底面數而位數即毎一邊之數今
以位數加二為髙末數為底相乘即成
平行面之三稜體凡同底同髙之平行
面體為尖體之三倍則此平行面三稜
體内必有等邊三角體之三倍故以三
除之即得也然必以位數加二為髙者
何也以三三角體相湊乃成上下相等
之平行面體其髙必比原有之位數多
二層兩三角面相合比原位數多一層/今三三角體相合故必比原位數
[005-65b]
多二/層也如止以位數為高即少二層之數
[005-66a]
而不足三三角體之分故必以位數加
二乘之也其止有位數或每一邊數求
總數以位數加一與位數相乘復以位
數加二乘之而用六除者何也葢位數
即底面之每邊數而底面又為等邊之
三角面今以邊數加一與邊數相乘成
長方面為三角體底面之倍數即如前
挨次遞加數之兩三角面相合所成之
[005-66b]
長方形也凡等髙之體底數倍者積數
亦倍彼以位數加二乘三角體之底所
成之平行面三稜體既為等邊三角體
之三倍矣今以位數加二乘三角體之
倍底所成之平行面長方體又必為等
邊三角體之六倍矣以兩三稜體相合/即成長方體一三
稜體為三角體之三倍則兩三/稜體必為三角體之六倍矣故以六
除平行面長方體之數而得等邊三角
體之數也又或但知首數末數而不知
[005-66b]
位數則以末數倍之用一為較數開𢃄
[005-67a]
縱平方即得位數焉葢末數倍之者即
兩三角面所合之長方也其闊即三角
每邊數其長比闊多一數故用一為較
開帶縱平方則得三角毎邊之數既得
每邊數即得位數矣
第三十五
凡每次按位自乘相加之數將位數折
半與末數相加復以位數加一乘之取
[005-67b]
其三分之一即為總數也如一四九十
六二十五之五數其每位之數皆按位
自乘之數如第二位之四即二自乘數/第三位之九即三自乘數也
將位數五折半為兩個半與末數二十
五相加得二十七個半復以位數五加
一為六乘之得一百六十五以三除之
得五十五即為此五數之總數也如止
有位數或止有每一邊數求總數則以
位數加半個與位數相乘得數復以位
[005-67b]
數加一乘之取其三分之一即得總數
[005-68a]
也若只有每一邊數即以每一邊數加/半個與每一邊數相乘得數復以每
邊數加一乘之取其/三分之一得數亦同葢按位自乘相加
之數層疊排之其式成方底四角尖體
其末一數即四角尖體底面數而位數
即毎一邊之數今以位數折半與末數
相加則成長方面為底再以位數加一
為髙乘之即成平行面之長方體凡同
底同髙之平行靣體為尖體之三倍則
[005-68b]
此平行面長方體内必有四角尖體之
三倍故以三除之即得也然必以位數
折半與末數相加為底復以位數加一
為髙者何也葢三四角尖體相湊乃成
上下相等之長方體其底比正方面必
多半行其髙必比原有之位數多一層
三等邊三角體相合比三角體原位數/多二層今三方底四角尖體相合比原
位數止多一層葢因方底比三角底式/大一倍故四角體髙比三角體髙所加
之數减/一半也如止以末數為底則底必少半
[005-68b]
行之數止以位數為髙則髙復少一層
[005-69a]
之數必不足三四角尖體之分故以末
數加位數之半而以位數加一乘之適
足三四角尖體之分也其止有位數或
每一邊求總數以位數加半個與位數
相乘復以位數加一乘之而用三除之
者何也葢位數即底靣之毎邊數而底
面又為正方面今以邊數加半個與邊
數相乘成長方面比正方止多半行之
[005-69b]
分其理即如求三角體總數以邊數加
一與邊數相乘為三角體底之倍數也
以位數加一與底面相乘成長方體比
方底四角尖體大三倍即如求三角體
總數以位數加二與倍底相乘為三角
體之六倍也彼三角體底倍之為長方
此四角體底數加半行即為長方彼三
角體總數六倍爲同邊長方體此四角
體總數三倍為同邊長方體故三角體
[005-69b]
以邊數加一與邊數相乘者今四角體
[005-70a]
以邊數加半與邊數相乘而三角體以
位數加二為髙與倍底相乘者今四角
體以位數加一與本底加半行相乘總
之四角體底式比三角體底式大一倍
故立法時三角體加數幾何而此四角
體皆用其半也又或但知首數末數而
不知位數則以末數開平方即得位數
焉葢末數本為正方數故開方即得毎
[005-70b]
邊數既得毎邊數則得位數矣
第三十六
凡每次倍加之數將末數與加倍之數
相乘減去首數復以所加之分數除之
即得總數也如二四八十六四數為毎
次以二倍之之數欲求其總數則以末
數十六用二乘之因以二倍之/故用二乘得三十
二減去首數二為三十復以其所加分
數一除之仍得三十即此四數之總數
[005-70b]
也葢以二加倍之數其末一數比前幾
[005-71a]
位之總數止多一首數故二乘末數則
比末數多一分仍多一首數故減去首
數二而以一除之即得總數也又如三
九二十七八十一四數為毎次以三倍
之之數欲求其總數則以末數八十一
用三乘之以三倍之/故用三得二百四十二減
去首數三為二百四十復以其所加分
數二除之得一百二十即為此四數之
[005-71b]
總數也葢以三加倍之數其末一數為
前幾數之倍數而仍多一首數今三乘
末數則比末數多二分仍多一首數三/乘
末數八十一則為八十一者有三/除本數八十一仍為多二分也故必
減去首數三而以二除之即得總數也
又如四十六六十四二百五十六四數
為毎次以四倍之之數欲求總數則以
末數二百五十六用四乘之以四倍之/故用四
得一千零二十四減去首數四為一千
[005-71b]
零二十復以其所加分數三除之得三
[005-72a]
百四十為此四數之總數也葢以四加
倍之數其末一數為前幾數之三倍而
仍多一首數今四乘末數則比末數多
三分仍多一首數四乘末數二百五十/六則為二百五十六
者有四除本數二百五/十六仍為多三分也故必減去首數
四而以三除之即得總數也凡此倍加
之數不論加倍幾何皆為相連比例之
數故其比例皆同如遞加二倍之數其
[005-72b]
四與八之比同於二與四之比即八與
十六之比亦皆同於二與四之比也又
如遞加三倍之數其九與二十七之比
同於三與九之比即二十七與八十一
之比亦皆同於三與九之比也即遞加
四倍之數其十六與六十四之比同於
四與十六之比即六十四與二百五十
六之比亦皆同於一與四之比也總之
以二倍加者皆一與二之連比例以三
[005-72b]
倍加者皆一與三之連比例以四倍加
[005-73a]
者皆一與四之連比例即推之以五倍
加六倍加者其理亦無不相同也
[005-73b]
御製數理精藴上編卷五
