KR3f0048 御製數理精薀-清-聖祖玄燁 (master)


[024-1a]
 欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷十九
  面部九
   各面形縂論
   直線形
[024-2a]
  各面形總論
面之爲形成於方圜直線所成皆方之類曲線所成
皆圜之類立法則方爲圜之本度圜者必以方而度
方者必以矩所謂方有盡而圜無盡是也論理則圜
又爲衆界形之本葢衆界形或函圜或函於圜其邊
皆當弧線之度故求衆界形者必以圜界爲宗也因
有方圜衆界之各異是以邊線等者面積不等如衆
界形之毎一邊與圜徑俱設爲一○○○○則方面
[024-2b]
積爲一○○○○○○○○而圜面積爲七八五三
九八一六三等邊形之面積爲四三三○一二七○
五等邊形之面積爲一七二○四七七四一六等邊
形之面積爲二五九八○七六二○七等邊形之面
積爲三六三三九一二四○八等邊形之面積爲四
八二八四二七一二九等邊形之面積爲六一八一
八二四二○十等邊形之面積爲七六九四二○八
八三此各形之面積皆以方積比例者也或以圜面
積設爲一○○○○○○○○則圜徑得一一二八
[024-2b]
三小餘七九一六如圜徑與衆界形之毎一邊俱設
[024-3a]
爲一一二八三小餘七九一六則圜面積爲一○○
○○○○○○而三等邊形之面積爲五五一三二
八八九方面積爲一二七三二三九五四五等邊形
之面積爲二一九○五七九八六六等邊形之面積
爲三三○七九七三三四七等邊形之面積爲四六
二六八四○九八八等邊形之面積爲六一四七七
四四三五九等邊形之面積爲七八七○九四三○
二十等邊形之面積爲九七九六五七○九九此各
[024-3b]
形之面積皆以圜積比例者也葢因各形之邊線相
等面積不同故皆定爲面與面之比例也面積等者
邊線不等如衆界形之面積與圜面積俱設爲一○
○○○○○○○○○○○○○○○則方邊爲一
○○○○○○○○而圜徑爲一一二八三七九一
六三等邊形之毎邊爲一五一九六七一三七五等
邊形之毎邊爲七六二三八七○五六等邊形之毎
邊爲六二○四○三二四七等邊形之毎邊爲五二
四五八一二六八等邊形之毎邊爲四五五○八九
[024-3b]
八五九等邊形之毎邊爲四○二一九九六三十等
[024-4a]
邊形之毎邊爲三六○五一○五八此各形之邊線
皆以方邊比例者也或以圜徑設爲一○○○○○
○○○則圜面積爲七八五三九八一六三三九七
四四八三如圜面積與衆界形之面積俱設爲七八
五三九八一六三三九七四四八三則圜徑爲一○
○○○○○○○而二等邊形之毎邊爲一三四六
七七三六九四等邊形卽正/方之毎邊爲八八六二二
六九二五等邊形之毎邊爲六七五六四七九三六
[024-4b]
等邊形之毎邊爲五四九八一八○五七等邊形之
毎邊爲四六四八九八○三八等邊形之毎邊爲四
○三三一二八八九等邊形之毎邊爲三五六四四
○一四十等邊形之毎邊爲三一九四九四一八此
各形之邊線皆以圜徑比例者也葢因各形之面積
相等邊線不同故皆定爲線與線之比例也然自衆
界形之中心分之則又各成三角形皆以勾股爲準
則故勾股三角形雖爲面而不囿於面之中却别立
一章焉要之衆界形邊求積者歸之勾股積求邊者
[024-4b]
歸之正方引而伸之觸類而長之凡爲面形者不能
[024-5a]
違是也
[024-6a]
  直線形
設如正方形每邊五十尺問對角斜線幾何
      法以方邊五十尺自乗得二千五百尺
      倍之得五千尺開方得七十尺七寸一
      分零六豪有餘即所求之對角斜線也
      如圖甲乙丙丁正方形其甲乙乙丙丙
      丁丁甲每邊皆五十尺甲丙為所求對
      角斜線甲乙為股則乙丙為勾乙丙為
[024-6b]
      股則甲乙為勾因甲乙與乙丙相等皆
      可互為勾股故以一邊自乗倍之開方
      得弦卽如各自乗相併開方而得弦也
      又用定率比例法以定率之方邊一○
      ○○○○○○爲一率對角斜線一四
      一四二一三五為二率今所設之方邊
      五十尺為三率求得四率七十尺七寸
      一分零六豪有餘卽所求之對角斜線
      也葢定率設方邊為一千萬其對角斜
[024-6b]
      線為一千四百一十四萬二千一百三
[024-7a]
      十五故定率之方邊一千萬與定率之
      對角斜線一千四百一十四萬二千一
      百三十五之比卽如今所設之方邊五
      十尺與所求之對角斜線七十尺七寸
      一分零六豪有餘之比也
      若有對角斜線求方邊則以對角斜線
      自乗折半開方所得為正方形之每一
      邊也葢甲丙弦自乗之方與甲乙股乙
[024-7b]
      丙勾兩正方相併之積等今以甲丙弦
      自乗折半則必與甲乙或乙丙自乗之
      一正方相等故開方而得每一邊也或
      用定率比例法以定率之對角斜線一
      四一四二一三五為一率方邊一○○
      ○○○○○為二率今所設之對角斜
      線為三率求得四率卽方邊也
設如正方形每邊二尺今將其積倍之問得方邊幾
 何
[024-7b]
      法以每邊二尺自乗得四尺倍之得八
[024-8a]
      尺開方得二尺八寸二分八釐四豪有
      餘卽所求之方邊數也如圖甲乙丙丁
      正方形每邊二尺其面積四尺倍之得
      八尺卽如戊乙己庚正方形其每邊即
      甲乙丙丁方形之對角斜線試於戊乙
      己庚正方形内作甲乙丙丁正方形以
      乙為心戊為界作戊己弧與丁角相切
      則丁乙與己乙皆為半徑其度相等葢
[024-8b]
      丁乙對角斜線自乗之方為甲乙邊自
      乗之方之二倍故戊乙己庚正方形卽
      為甲乙丙丁正方形之二倍而戊甲丁
      丙己庚磬折形積即與甲乙丙丁正方
      形積相等也
設如正方形每邊二尺今將其積四倍之問得方邊
 幾何
      法以每邊二尺倍之得四尺卽所求之
      方邊數也如圖甲乙丙丁正方形每邊
[024-8b]
      二尺其面積四尺四倍之得一十六尺
[024-9a]
      卽如戊乙己庚正方形之面積其每邊
      得甲乙丙丁正方形每邊之二倍是故
      不用四倍其積開方止以每邊二尺倍
      之而卽得也此法葢因兩方面之比例
      比之兩界之比例為連比例隔一位相
      加之比例見幾何原本/七卷第五節故戊乙己庚正
      方面積一十六尺與甲乙丙丁正方面
      積之四尺相比為四分之一而戊乙己
[024-9b]
      庚正方邊之四尺與甲乙丙丁正方邊
      之二尺之比為二分之一夫十六與八
      八與四四與二皆為二分之一之連比
      例而十六與四之比其間隔八之一位
      故為連比例隔一位相加之比例也
設如長方形長十二尺闊八尺今將其積倍之仍與
 原形為同式形問得長闊各幾何
      法以闊八尺自乗得六十四尺倍之得
      一百二十八尺開方得一十一尺三寸
[024-9b]
      一分三釐七豪有餘即所求之闊旣得
[024-10a]
      闊乃以原闊八尺為一率原長十二尺
      為二率今所得闊一十一尺三寸一分
      三釐七豪有餘為三率求得四率一十
      六尺九寸七分零五豪有餘卽所求之
      長也或以長十二尺自乗倍之開方亦
      得一十六尺九寸七分零五豪有餘為
      所求之長也如圖甲乙丙丁長方形甲
      乙闊八尺甲丁長十二尺將其積倍之
[024-10b]
      即如戊己庚辛長方形此兩長方面積
      之比例卽同於其相當二界各作一正
      方面積之比例見幾何原本/七卷第七節故依甲乙
      丙丁長方形之丁丙闊界作丁丙壬癸
      正方形將其積倍之卽如戊己庚辛長
      方形之辛庚闊界所作之辛庚子丑正
      方形故開方得辛庚為所求之闊也既
      得辛庚之闊則以甲乙與甲丁之比卽
      同於戊己與戊辛之比得戊辛為所求
[024-10b]
      之長也若以原長自乗倍之開方卽如
[024-11a]
      以二長界各作一正方形互相為比例
      也
設如長方形長十二尺闊八尺今將其積四倍之仍
 與原形為同式形問得長闊各幾何
      法以闊八尺倍之得十六尺卽所求之
      闊又以原長十二尺倍之得二十四尺
      即所求之長也如圖甲乙丙丁長方形
      甲乙闊八尺甲丁長十二尺將其積四
[024-11b]
      倍之卽如戊己庚辛長方形其每邊得
      甲乙丙丁長方形每邊之二倍是故不
      用四倍其積開方止以各邊之數倍之
      而即得也此法葢因兩長方面之比例
      既同於其相當二界各作一正方面之
      比例而兩正方面之比例比之二界之
      比例為連比例隔一位相加之比例故
      兩長方面之比例較之兩界之比例亦
      為連比例隔一位相加之比例也
[024-11b]
設如三角形面積三千尺底闊八十尺問中長幾何
[024-12a]
      法以積三千尺倍之得六千尺用底闊
      八十尺除之得七十五尺卽所求之長
      也如圖甲乙丙三角形其積倍之成丁
      乙丙戊長方形乙丙為底闊故以底闊
      除長方積得甲己為中長也
設如兩兩等邊無直角斜方形一日象/目形小邊皆二十
 五丈大邊皆三十九丈對兩小角斜線五十六丈
 問面積㡬何
[024-12b]
      法以對角斜線分斜方形為兩三角形
      算之以對角斜線五十六丈為底大邊
      三十九丈小邊二十五丈為兩腰用三
      角形求中垂線法求得中垂線十五丈
      乃以對角斜線五十六丈與中垂線十
      五丈相乗得八百四十丈即斜方形之
      面積也如圖甲乙丙丁斜方形甲丁乙
      丙二小邊皆二十五丈甲乙丁丙二大
      邊皆三十九丈甲丙對兩小角斜線五
[024-12b]
      十六丈今以甲丙斜線分甲乙丙丁斜
[024-13a]
      方形為甲乙丙甲丁丙兩三角形俱以
      甲丙為底甲丁與丁丙為兩腰求得丁
      戊或乙己皆為中垂線故以甲丙斜線
      與丁戊垂線相乗所得甲丙庚辛長方
      形比甲丁丙三角形積大一倍而甲乙
      丙丁斜方形亦函兩三角形積故所得
      之甲丙庚辛長方形與甲乙丙丁斜方
      形之面積相等也
[024-13b]
設如不等邊兩直角斜方形直角之邊長五十丈上
 闊二十丈下闊二十八丈問面積幾何
      法以上闊二十丈與下闊二十八丈相
      加得四十八丈折半得二十四丈與長
      五十丈相乗得一千二百丈即斜方形
      之積面也如圖甲乙丙丁斜方形以上
      闊甲丁與下闊乙丙相加得乙戊折半
      為乙己與甲乙長相乗遂成甲乙己庚
      長方形其斜方外所多之丁庚辛勾股
[024-13b]
      形與斜方内所少之辛己丙勾股形之
[024-14a]
     積等故所得之甲乙己庚長方形即甲
     乙丙丁斜方形之面積也
     又法上闊下闊相併與長相乗得數折
     半即斜方形之面積也葢前法上闊下
     闊相加折半而後與長相乗此法則上
     闊下闊相加卽與長相乗而後折半其
     理一也
設如梯形長三十丈上闊十二丈下闊二十丈問面
[024-14b]
 積㡬何
     法以上闊十二丈與下闊二十丈相加
     得三十二丈折半得十六丈與長三十
     丈相乗得四百八十丈即梯形之面積
     也如圖甲乙丙丁梯形以上闊甲丁與
     下闊乙丙相加得乙戊折半為乙己與
     丁己長相乗遂成庚乙己丁長方形其
     梯形外所多之甲庚乙勾股形與梯形
     内所少之丁己丙勾股形之面積等故
[024-14b]
     所得之庚乙己丁長方形卽甲乙丙丁
[024-15a]
     梯形之面積也
     又法以上闊下闊相併與長相乗得數
     折半即梯形之面積也
設如三角形自尖至底中長二百尺底闊一百五十
 尺今欲自尖截長一百二十尺問截闊㡬何
     法以中長二百尺為一率底闊一百五
     十尺為二率截長一百二十尺為三率
     求得四率九十尺即所截之闊也如圖
[024-15b]
     甲乙丙三角形甲丁中長二百尺乙丙
     底闊一百五十尺甲戊為所截長一百
     二十尺而甲丁與乙丙之比即同於甲
     戊與己庚之比也如以截闊求截長則
     以底闊為一率中長為二率截闊為三
     率所得四率即所截之長也
設如不等邊兩直角斜方形長九十尺上闊二十尺
 下闊三十八尺今欲截中闊二十七尺問上下各
 截長㡬何
[024-15b]
     法以上闊二十尺與下闊三十八尺相
[024-16a]
     減餘一十八尺為一率長九十尺為二
     率以上闊二十尺與所截中闊二十七
     尺相減餘七尺為三率求得四率三十
     五尺即上所截之長以上所截之長三
     十五尺與總長九十尺相減餘五十五
     尺即下所截之長也如欲先得下所截
     之長則仍以上闊二十尺與下闊三十
     八尺相減餘一十八尺為一率長九十
[024-16b]
     尺為二率乃以所截中闊二十七尺與
     下闊三十八尺相減餘一十一尺為三
     率求得四率五十五尺即下所截之長
     也如圖甲乙丙丁斜方形甲乙為長九
     十尺與丁戊等乙丙為下闊三十八尺
     甲丁為上闊二十尺與乙戊等己庚為
     所截中闊二十七尺上闊與下闊相減
     餘戊丙十八尺上闊與所截中闊相減
     餘辛庚七尺而戊丙與丁戊之比即同
[024-16b]
     於辛庚與丁辛之比也又甲乙丙丁斜
[024-17a]
      方形上闊與下闊相減餘戊丙十八尺
      所截中闊與下闊相減餘壬丙十一尺
      而戊丙與丁戊之比又同於壬丙與庚
      壬之比也如有所截上長或所截下長
      求截闊則以總長為一率上下闊相減
      所餘為二率截長為三率求得四率有
      上截長則與上闊相加有下截長則與
      下闊相減所得即所截之闊也
[024-17b]
設如梯形面積一千五百尺下闊四十尺中長五十
 尺問上闊幾何
      法以積一千五百尺倍之得三千尺用
      長五十尺除之得六十尺為上下兩闊
      相和之數内減下闊四十尺餘二十尺
      即上闊也如圖甲乙丙丁梯形倍之成
      甲乙己戊斜方形試將己角取直作己
      辛線則截斜方形一叚為己辛戊勾股
      形如以己辛戊勾股形移補於甲庚乙
[024-17b]
      遂成庚乙己辛長方形其積原與甲乙
[024-18a]
      己戊斜方形等今用庚乙中長除之得
      乙己即上下兩闊相和之數内減乙丙
      下闊所餘丙己與甲丁等即上闊也
設如不等邊兩直角斜方形積九千六百尺長一百
 二十尺上下兩闊相差之較四十尺問上闊下闊
 各㡬何
      法以積九千六百尺倍之得一萬九千
      二百尺用長一百二十尺除之得一百
[024-18b]
      六十尺為上下兩闊相和之數内減上
      下兩闊相差之較四十尺餘一百二十
      尺折半得六十尺為上闊加上下兩闊
      相差之較四十尺得一百尺即下闊也
      如圖甲乙丙丁斜方形其甲乙長一百
      二十尺甲丁上闊與乙丙下闊相差戊
      丙四十尺試將原積倍之遂成甲乙己
      庚長方形故以甲乙長除之得乙己為
      上下闊相和之數内減戊丙上下兩闊
[024-18b]
      相差之較餘數折半得乙戊與甲丁等
[024-19a]
     為上闊加戊丙較得乙丙為下闊也
設如梯形面積六千六百五十尺長九十五尺上下
 兩闊相差之較二十尺問上闊下闊各幾何
     法以積六千六百五十尺倍之得一萬
     三千三百尺用長九十五尺除之得一
     百四十尺為上下兩闊相和之數内減
     上下兩闊相差之較二十尺餘一百二
     十尺折半得六十尺為上闊加上下兩
[024-19b]
     闊相差之較二十尺得八十尺為下闊
     也如圖甲乙丙丁梯形甲戊長九十五
     尺甲丁上闊與乙丙下闊相差乙戊與
     己丙共二十尺試將原積倍之成甲乙
     庚辛斜方形與壬乙庚癸長方形之積
     等故以甲戊長除壬乙庚癸長方形得
     乙庚為上下兩闊相和之数内減乙戊
     與己丙上下兩闊相差之較餘折半得
     戊己與甲丁等為上闊加乙戊與己丙
[024-19b]
     上下兩闊相差之較得乙丙為下闊也
[024-20a]
設如方環形外周二百八十丈内周一百二十丈求
 面積幾何
      法以外周二百八十丈四歸之得七十
      丈自乗得四千九百丈又以内周一百
      二十丈四歸之得三十丈自乗得九百
      丈兩自乗数相減餘四千丈卽方環之
      面積也如圖甲乙丙丁外周二百八十
      丈四歸之得甲乙之一邊自乗得甲乙
[024-20b]
      丙丁大方積戊己庚辛内周一百二十
      丈四歸之得戊己之一邊自乗得戊己
      庚辛小方積兩方積相減所餘即方環
      之面積也
      又法以外周二百八十丈自乗得七萬
      八千四百丈内周一百二十丈自乗得
      一萬四千四百丈兩數相減餘六萬四
      千丈以十六除之得四千丈即方環面
      積也前法將内外周各四歸之而得内
[024-20b]
      外方邊故以内外方邊各自乗相減而
[024-21a]
     得方環面積此法即以内外周各自乘
     相減以十六除之而得方環面積也葢
     内外周為内外方邊之四倍内外周自
     乘之積必比内外方邊自乘之積大十
     六倍凡方邊大一倍則面積大四倍今/方邊大四倍故面積大十六倍為
     隔一位相加/之連比例也是以兩周各自乗相減之
     餘積比兩方邊各自乘相減之餘積亦
     大十六倍也
[024-21b]
     又有方環面積求外方邊至内方邊之
     闊則以外周二百八十丈與内周一百
     二十丈相加得四百丈折半得二百丈
     以除方環面積四千丈得二十丈即外
     方邊至内方邊之闊也如圖自方環内
     邊作壬癸子丑二線則甲乙癸壬子丑
     丙丁為外方邊與闊相乘之二長方壬
     戊辛子己癸丑庚為内方邊與闊相乘
     之二長方引而長之成寅夘辰己一長
[024-21b]
     方其長即半外周與半内周之和其闊
[024-22a]
      即外方邊至内方邊之闊故以外周與
      内周相併折半除方環面積而得外方
      邊至内方邊之闊也
      又法以内方邊三十丈與外方邊七十
      丈相減餘四十丈折半得二十丈亦即
      外方邊至内方邊之闊也如圖甲丁為
      外方邊減與戊辛内方邊相等之壬子
      餘甲壬與子丁折半得甲壬即方環之
[024-22b]
      闊也
設如方環面積四千尺闊二十尺求内外方邊各幾
 何
      法以闊二十尺自乘得四百尺四因之
      得一千六百尺與環積四千尺相減餘
      二千四百尺四歸之得六百尺以闊二
      十尺除之得三十尺即内方邊又以闊
      二十尺倍之得四十尺加内方邊三十
      尺得七十尺即外方邊也如圖甲乙丙
[024-22b]
      丁戊己庚辛方環形内減甲寅戊壬辰
[024-23a]
      乙癸已子辛卯丁庚丑丙巳闊自乘之
      四正方餘寅辰巳戊辛庚巳卯壬戊辛
      子巳癸丑庚四長方四歸之得寅辰已
      戊一長方其闊即方環之闊其長即方
      環内邊之長故以寅戊闊除之得戊己
      為内方邊也
      又法置環積四千尺以闊二十尺除之
      得二百尺四歸之得五十尺加闊二十
[024-23b]
      尺得七十尺即外方邊於五十尺内減
      闊二十尺餘三十尺即内方邊也如圖
      甲乙丙丁戊己庚辛方環積以闊除之
      即得壬癸子丑為内周外周相併折半
      之中數以四歸之即得壬癸一邊與戊
      寅等故加闊得外邊減闊得内邊也
設如勾股形股三十六尺勾二十七尺今從上叚截
 勾股形積五十四尺問截長闊各幾何
      法以股三十六尺為一率勾二十七尺
[024-23b]
      為二率截積五十四尺倍之得一百零
[024-24a]
      八尺為三率求得四率八十一尺開方
      得九尺即所截之闊既得所截之闊則
      以勾二十七尺為一率股三十六尺為
      二率所截之闊九尺為三率求得四率
      十二尺即所截之長也此法一率與二
      率為線與線之比例三率與四率為面
      與面之比例也如圖甲乙丙勾股形甲
      乙為股三十六尺乙丙為勾二十七尺
[024-24b]
      甲丁戊勾股形為截積五十四尺是故
      甲乙與乙丙之比應同於甲丁與丁戊
      之比然而無甲丁之數故將截積倍之
      為甲丁與丁戊相乘之長方則甲乙與
      乙丙之比必同於甲丁與丁戊相乘之
      長方與丁戊自乘之正方之比葢截積/倍之成
      己甲丁戊長方形丁戊自乘成庚丁戊/辛正方形此二形為二平行線内直角
      方形其面之互相為比同於其底之/互相為比見幾何原本八卷第七節
      開方而得丁戊為所截之闊又乙丙與
[024-24b]
      甲乙之比即同於丁戊與甲丁之比而
[024-25a]
      得甲丁為所截之長也若先求截長則
      以勾二十七尺為一率股三十六尺為
      二率倍截積一百零八尺為三率求得
      四率一百四十四尺開方得十二尺為
      所截之長葢乙丙與甲乙之比同於丁
      戊與甲丁之比亦必同於丁戊與甲丁
      相乘之長方與甲丁自乘之正方之比
      截積倍之成甲丁戊己長方形甲丁自/乘成甲丁庚辛正方形此二形之面互
[024-25b]
      相為比亦同於其/底之互相為比也故開方而得甲丁為
      所截之長也既得截長則用比例四率
      求之亦得所截之闊矣
      又法以勾二十七尺與股三十六尺相
      乘折半得勾股積四百八十六尺為一
      率所截之勾股形積五十四尺為二率
      勾二十七尺自乘得七百二十九尺為
      三率求得四率八十一尺開方得九尺
      為所截之闊若以股二十六尺自乘得
[024-25b]
      一千二百九十六尺為三率則得四率
[024-26a]
     一百四十四尺開方得十二尺為所截
     之長也如圖甲乙丙勾股形截甲丁戊
     勾股形積五十四尺此兩勾股形為同
     式形故甲乙丙勾股積與甲丁戊勾股
     積之比同於乙丙勾自乘之乙己庚丙
     正方形與丁戊勾自乘之丁辛壬戊正
     方形之比亦必同於甲乙股自乗之癸
     子乙甲正方形與甲丁股自乗之丑寅
[024-26b]
     丁甲正方形之比也
設如勾股形股三十六尺勾二十七尺今從下叚截
 斜方形積四百三十二尺問截長及上闊各幾何
     法以股三十六尺為一率勾二十七尺
     為二率截積四百三十二尺倍之得八
     百六十四尺為三率求得四率六百四
     十八尺乃以勾二十七尺自乗得七百
     二十九尺内減所得四率六百四十八
     尺餘八十一尺開方得九尺為所截之
[024-26b]
     上闊既得所截之上闊則以勾二十七
[024-27a]
      尺為一率股三十六尺為二率所截之
      上闊九尺與勾二十七尺相減餘一十
      八尺為三率求得四率二十四尺即所
      截之長也此法亦係線與線為比面與
      面為比也如圖甲乙丙勾股形甲乙為
      股三十六尺乙丙為勾二十七尺丁乙
      丙戊斜方形為截積四百三十二尺其
      甲乙與乙丙之比應同於戊己即丁/乙
[024-27b]
      己丙之比然而無戊己之數故將截積
      倍之遂成戊己之長與丁戊乙丙上下
      兩闊之和相乘之長方形將此長方形
      為三率所得四率即丁戊乙丙上下兩
      闊之較即己/丙也與丁戊乙丙上下兩闊之
      和相乘之長方形也葢截積倍之成庚/丁乙辛長方形己
      丙兩闊之較與两闊之和相乘成壬己/丙癸長方形此二長方形同以兩闊之
      和為長故丁乙與己丙之比即如庚丁/乙辛長方形與壬己丙癸長方形之比
      也/又己丙上下兩闊之較與丁戊乙丙
[024-27b]
      上下兩闊之和相乘之積與丁戊乙丙
[024-28a]
      上下兩闊之數各自乗相減之餘積等
      試依乙丙度作子丑寅卯一大正方形
      又依丁戊度作子辰巳午一小正方形
      兩正方形相減所餘為辰丑寅卯午巳
      磬折形引而長之遂成辰丑申未長方
      形其辰丑即上下兩闊之較其丑申即
      上下兩闊之和故所得四率長方形積
      與辰丑寅卯午巳磬折形之積等今於
[024-28b]
      乙丙自乘之子丑寅卯大正方形内減
      辰丑寅卯午巳磬折形所餘即丁戊自
      乘之子辰巳午小正方形故開方而得
      丁戊為所截之闊也既得所截之闊則
      以丁戊與乙丙相減餘巳丙而乙丙與
      甲乙之比卽同於己丙與戊己卽丁/乙
      比也
      又法以勾二十七尺與股三十六尺相
      乘折半得勾股積四百八十六尺内減
[024-28b]
      從下叚所截之斜方積四百三十二尺
[024-29a]
      餘五十四尺即為從上段所截之勾股
      形積依前法比例求之所得亦同
設如三角形中長二十尺底闊一十五尺今從上段
 截三角形積五十四尺問截長闊各幾何
      法以底闊一十五尺為一率中長二十
      尺為二率截積五十四尺倍之得一百
      零八尺為三率求得四率一百四十四
      尺開方得一十二尺即所截之長既得
[024-29b]
      所截之長則以中長二十尺為一率底
      闊十五尺為二率所截之長十二尺為
      三率求得四率九尺卽所截之闊也此
      法亦一率與二率為線與線之比例三
      率與四率為面與面之比例也如圖甲
      乙丙三角形甲丁中長二十尺乙丙底
      闊十五尺甲戊己三角形為截積五十
      四尺是故乙丙與甲丁之比應同於戊
      己與甲庚之比然而無戊己之數故將
[024-29b]
      截積倍之為戊己與甲庚相乘之長方
[024-30a]
     則乙丙與甲丁之比必同於戊己與甲
     庚相乘之長方與甲庚自乘之正方之
     比故開方而得甲庚為所截之長又甲
     丁與乙丙之比同於甲庚與戊己之比
     而得戊己為所截之闊也若先求截闊
     則以中長二十尺為一率底闊一十五
     尺為二率倍截積一百零八尺為三率
     求得四率八十一尺開方得九尺為所
[024-30b]
     截之闊葢甲丁與乙丙之比同於甲庚
     與戊己之比亦同於甲庚與戊己相乘
     之長方與戊己自乘之正方之比故開
     方而得戊己為所截之闊也既得截闊
     則用比例四率求之亦得所截之長矣
     又法以底闊十五尺與中長二十尺相
     乘折半得三角積一百五十尺為一率
     所截之三角積五十四尺為二率以底
     闊十五尺自乘得二百二十五尺為三
[024-30b]
     率求得四率八十一尺開方得九尺為
[024-31a]
      所截之闊若以中長二十尺自乘得四
      百尺為三率則得四率一百四十四尺
      開方得十二尺為所截之長也如圖甲
      乙丙三角形截甲戊己三角形積五十
      四尺此兩三角形為同式形故甲乙丙
      三角形積與甲戊己三角形積之比同
      於甲丁中長自乘之甲丁辛壬正方形
      與甲庚截長自乘之甲庚癸子正方形
[024-31b]
      之比亦同於乙丙底闊自乘之乙丙丑
      寅正方形與戊己截闊自乘之戊巳卯
      辰正方形之比也
設如三角形中長二十尺底闊十五尺今從下段截
 梯形積九十六尺問截長及上闊各幾何
      法以中長二十尺為一率底闊十五尺
      為二率截積九十六尺倍之得一百九
      十二尺為三率求得四率一百四十四
      尺乃以底闊十五尺自乘得二百二十
[024-31b]
      五尺内減所得四率一百四十四尺餘
[024-32a]
      八十一尺開方得九尺為所截之上闊
      既得所截之上闊則以底闊十五尺為
      一率中長二十尺為二率所截之上闊
      九尺與底闊十五尺相減餘六尺為三
      率求得四率八尺即所截下段之長也
      如圖甲乙丙三角形甲丁為中長二十
      尺乙丙為底闊十五尺戊乙丙己梯形
      為截積九十六尺戊己為所截之闊庚
[024-32b]
      丁與戊辛/己壬等為所截之長乙辛壬丙兩叚
      為截闊與底闊之較是故甲丁與乙丙
      之比應同於庚丁與乙辛壬丙兩段之
      比矣葢甲丁與乙丁之比同於等庚丁/之戊辛與乙辛之比又甲丁與丁
      丙之比同於等庚丁之己壬與壬丙之/比合之則甲丁與乙丁丁丙兩叚之比
      亦同於庚丁與乙辛/壬丙兩段之比也但今無庚丁之數
      故將截積倍之遂成庚丁所截之長與
      戊己乙丙上下兩闊之和相乘之長方
      形將此長方形為三率所得四率即乙
[024-32b]
      辛壬丙上下兩闊之較與戊己乙丙上
[024-33a]
      下兩闊之和相乘之長方形也又乙辛
      壬丙上下兩闊之較與戊己乙丙上下
      兩闊之和相乘之積與戊己乙丙上下
      兩闊之數各自乘相減之餘積等故以
      所得四率長方形積與乙丙自乘方積
      相減即餘戊己自乘方積開方而得戊
      己為所截之闊也既得戊己截闊則於
      乙丙底闊内減之餘乙辛壬丙而乙丙
[024-33b]
      與甲丁之比又同於乙辛壬丙兩段與
      庚丁截長之比也
      又法以底闊十五尺與中長二十尺相
      乘折半得三角形積一百五十尺内減
      從下段所截之梯形積九十六尺餘五
      十四尺卽為從上段所截之三角形積
      依前法比例求之所得亦同
設如不等邊兩直角斜方形長二十四尺上闊十二
 尺下闊二十尺今從上段截積一百六十八尺問
[024-33b]
 截長闊各幾何
[024-34a]
      法以長二十四尺為一率下闊二十尺
      内減上闊十二尺餘八尺為二率截積
      一百六十八尺倍之得三百三十六尺
      為三率求得四率一百一十二尺乃以
      上闊十二尺自乘得一百四十四尺與
      所得四率一百一十二尺相加得二百
      五十六尺開方得十六尺即所截之闊
      既得所截之闊則以上下兩闊相減之
[024-34b]
      較八尺為一率長二十四尺為二率截
      闊十六尺内減上闊十二尺餘四尺為
      三率求得四率十二尺即所截之長也
      此法亦係一率與二率為線與線之比
      例三率與四率為面與面之比例也如
      圖甲乙丙丁斜方形甲乙長二十四尺
      與丁戊等甲丁為上闊十二尺乙丙為
      下闊二十尺甲己庚丁斜方形為截積
      一百六十八尺是故丁戊與戊丙之比
[024-34b]
      應同於丁辛與辛庚之比然而無丁辛
[024-35a]
     之數故將截積倍之爲丁辛截長與甲
     丁己庚上中兩闊之和相乘之長方形
     為三率所得四率即辛庚上中兩闊之
     較與甲丁己庚上中兩闊之和相乘之
     長方形也又辛庚上中兩闊之較與甲
     丁己庚上中兩闊之和相乘之積與甲
     丁己庚上中兩闊之數各自乘相減之
     餘積等試依己庚度作壬癸子丑一大
[024-35b]
     正方形又依甲丁度作壬寅卯辰一小
     正方形兩正方形相減所餘為寅癸子
     丑辰卯磬折形引而長之遂成寅癸巳
     午長方形其寅癸即上中兩闊之較其
     癸己即上中兩闊之和故所得四率長
     方形積與寅癸子丑辰卯磬折形之積
     等今於甲丁自乘之壬寅卯辰小正方
     形外加寅癸子丑辰卯磬折形即得巳
     庚自乘之壬癸子丑大正方形故開方
[024-35b]
     而得已庚為所截之闊也既得所截之
[024-36a]
      闊則以己庚與甲丁相減餘辛庚而戊
      丙與丁戊之比卽同於辛庚與丁辛之
      比也
      又法將斜方形增作勾股形算之以上
      闊十二尺與下闊二十尺相減餘八尺
      為一率長二十四尺為二率上闊十二
      尺為三率求得四率三十六尺為斜方
      形上所增小勾股形之股與斜方形之
[024-36b]
      長二十四尺相加得六十尺為斜方形
      與所增小勾股形相併所成之大勾股
      形之股乃以上闊十二尺為小勾所得
      三十六尺為小股相乘得四百三十二
      尺折半得二百一十六尺為斜方形上
      所增之小勾股形積與截積一百六十
      八尺相加得三百八十四尺為所截之
      勾股形積乃用勾股形從上段截勾股
      積法算之而得所截之闊焉如圖甲乙
[024-36b]
      丙丁斜方形增作勾股形為壬乙丙其
[024-37a]
     上闊甲丁與下闊乙丙相減所餘為戊
     丙以戊丙與丁戊之比同於甲丁與壬
     甲之比得壬甲為小勾股形之股以壬
     甲與甲乙相加得壬乙為大勾股形之
     股又壬甲丁勾股形積與甲己庚丁斜
     方形截積相加得壬己庚勾股形積即
     壬乙丙大勾股形從上段截壬己庚勾
     股形積也
[024-37b]
設如不等邊兩直角斜方形長二十四尺上闊十二
 尺下闊二十尺今從下段截積二百一十六尺求
 截長闊各幾何
     法以長二十四尺為一率下闊二十尺
     内減上闊十二尺餘八尺為二率截積
     二百一十六尺倍之得四百三十二尺
     為三率求得四率一百四十四尺乃以
     下闊二十尺自乘得四百尺内減所得
     四率一百四十四尺餘二百五十六尺
[024-37b]
     開方得一十六尺為所截之闊既得所
[024-38a]
     截之闊則以上下兩闊相減之較八尺
     為一率長二十四尺為二率下闊二十
     尺内減截闊十六尺餘四尺為三率求
     得四率十二尺即所截下段之長也此
     與勾股形從下叚截斜方形積之理同
     前法從上段截積所得四率為上闊與
     截闊各自乘相減之餘積上闊小而截
     闊大故以上闊自乘與所得四率相加
[024-38b]
     開方而得截闊此法從下段截積所得
     四率為下闊與截闊各自乘相減之餘
     積下闊大而截闊小故以下闊自乘内
     減所得四率開方而得截闊也
設如梯形長十二丈上闊五丈下闊十一丈今從上
 段截積二十四丈問截長闊各幾何
     法以長十二丈為一率上闊五丈與下
     闊十一丈相減餘六丈為二率截積二
     十四丈倍之得四十八丈為三率求得
[024-38b]
     四率二十四丈乃以上闊五丈自乘得
[024-39a]
     二十五丈與所得四率二十四丈相加
     得四十九丈開方得七丈即所截之闊
     既得所截之闊則以上下兩闊相減之
     較六丈為一率長十二丈為二率截闊
     七丈内減上闊五丈餘二丈為三率求
     得四率四丈即所截之長也此法亦係
     一率與二率為線與線之比例三率與
     四率為面與面之比例也如圖甲乙丙
[024-39b]
     丁梯形甲戊長十二丈甲丁上闊五丈
     戊己庚辛俱相等乙丙下闊十一丈乙
     戊與己丙兩段為上下兩闊相減之較
     六丈甲壬癸丁小梯形為截積二十四
     丈是故甲戊總長與乙戊己丙上下兩
     闊之較之比應同於甲庚截長與壬庚
     辛癸上中兩闊之較之比然無甲庚之
     數故將截積倍之為甲庚截長與甲丁
     壬癸上中兩闊之和相乘之長方形為
[024-39b]
     三率所得四率即壬庚辛癸上中兩闊
[024-40a]
      之較與甲丁壬癸上中兩闊之和相乘
      之長方形也又壬庚辛癸上中兩闊之
      較與甲丁壬癸上中兩闊之和相乘之
      積與甲丁壬癸上中兩闊之數各自乘
      相減之餘積等故以所得四率長方形
      積與甲丁自乘方積相加即得壬癸自
      乗方積開方而得壬癸為所截之闊也
      既得壬癸截闊則以上下兩闊相減之
[024-40b]
      乙戊己丙兩叚與甲戊總長之比卽同
      於上中兩闊相減之壬庚辛癸兩叚與
      甲庚截長之比矣
      又法將梯形增作三角形算之以上闊
      五丈與下闊十一丈相減餘六丈為一
      率長十二丈為二率上闊五丈為三率
      求得四率十丈為梯形上所増小三角
      形之中長與梯形之長十二丈相加得
      二十二丈為梯形與所増小三角形相
[024-40b]
      併所成之大三角形之中長乃以上闊
[024-41a]
     五丈為底所得十丈為中長相乗得五
     十丈折半得二十五丈為梯形上所増
     之小三角形積與截積二十四丈相加
     得四十九丈為所截之三角形積乃用
     三角形從上段截三角積法算之而得
     所截之闊焉如圖甲乙丙丁梯形增作
     三角形為子乙丙其上闊甲丁與下闊
     乙丙相減所餘為乙戊己丙而乙戊己
[024-41b]
     丙與甲戊之比即同於甲丁與子丑之
     比得子丑為小三角形之中長以子丑
     與等甲戊之丑寅相加得子寅為大三
     角形之中長又子甲丁三角形積與甲
     壬癸丁斜方形截積相加得子壬癸三
     角形積即子乙丙大三角形從上段截
     子壬癸三角形積也
設如梯形長十二丈上闊五丈下闊十一丈今自下
 叚截積七十二丈問截長闊各幾何
[024-41b]
     法以長十二丈為一率上闊五丈與下
[024-42a]
     闊十一丈相減餘六丈為二率以截積
     七十二丈倍之得一百四十四丈為三
     率求得四率七十二丈乃以下闊十一
     丈自乗得一百二十一丈内減所得四
     率七十二丈餘四十九丈開方得七丈
     即所截之闊既得所截之闊則以上下
     兩闊相減之較六丈為一率長十二丈
     為二率截闊七丈與下闊十一丈相減
[024-42b]
     餘四丈為三率求得四率八丈即所截
     之長也如圖甲乙丙丁梯形甲戊長十
     二丈甲丁上闊五丈與戊己等乙丙下
     闊十一丈乙戊與己丙兩段為上下兩
     闊相減之較六丈庚乙丙辛梯形為截
     積七十二丈是故甲戊總長與乙戊己
     丙上下兩闊之較之比應同於庚壬截
     長與乙壬癸丙中下兩闊之較之比然
     無庚壬之數故將截積倍之為庚壬截
[024-42b]
     長與庚辛乙丙中下兩闊之和相乗之
[024-43a]
     長方形為三率所得四率卽乙壬癸丙
     中下兩闊之較與庚辛乙丙中下兩闊
     之和相乗之長方形也又乙壬癸丙中
     下兩闊之較與庚辛乙丙中下兩闊之
     和相乗之積與庚辛乙丙中下兩闊之
     數各自乗相減之餘積等故以所得四
     率長方形積與乙丙自乗方積相減即
     餘庚辛自乗方積開方而得庚辛為所
[024-43b]
     截之闊也
設如梯形長一百二十尺上闊二十尺下闊八十尺
 今自一邊截勾股積四百五十尺問截長闊各幾
 何
     法以長一百二十尺為一率上闊二十
     尺與下闊八十尺相減餘六十尺折半
     得三十尺為二率截積四百五十尺倍
     之得九百尺為三率求得四率二百二
     十五尺開方得一十五尺為所截之闊
[024-43b]
     既得所截之闊則以上下兩闊相減折
[024-44a]
     半之三十尺為一率長一百二十尺為
     二率截闊十五尺為三率求得四率六
     十尺為所截之長也如圖甲乙丙丁梯
     形甲丁上闊二十尺與戊己等乙丙下
     闊八十尺甲戊長一百二十尺乙戊為
     上下闊相減折半之三十尺庚乙辛為
     所截勾股積四百五十尺甲乙戊勾股
     形與庚乙辛勾股形為同式形故立算
[024-44b]
     與勾股形從上段截勾股積之法相同
     也
設如梯形長一百二十尺上闊四十尺下闊八十尺
 今自一邊截斜方形積四千二百尺問截上闊下
 闊各幾何
     法以上闊四十尺與下闊八十尺相減
     餘四十尺折半得二十尺為所截斜方
     形上闊與下闊之較又以截積四千二
     百尺倍之得八千四百尺以長一百二
[024-44b]
     十尺餘之得七十尺為所截斜方形上
[024-45a]
     闊與下闊之和内減上闊下闊之較二
     十尺餘五十尺折半得二十五尺為上
     闊加較二十尺得四十五尺為下闊也
     如圖甲乙丙丁梯形甲丁為上闊四十
     尺與戊己等乙丙為下闊八十尺甲戊
     為長一百二十尺甲乙辛庚為所截斜
     方形積四千二百尺倍之成壬癸辛庚
     長方形乙戊為所截斜方形上下兩闊
[024-45b]
     之較今以甲戊長除壬癸辛庚長方積
     得癸辛為上下兩闊之和内減乙戊上
     下兩闊之較餘癸乙與戊辛折半得戊
     辛與甲庚等即所截斜方形之上闊加
     乙戊上下兩闊之較得乙辛即所截斜
     方形之下闊也
設如三角形小腰邊二十丈大腰邊三十四丈底邊
 四十二丈面積三百三十六丈今欲平分面積一
 半與原三角形為同式形問所截三邊各幾何
[024-45b]
     法以原面積三百三十六丈為一率原
[024-46a]
     面積折半得一百六十八丈為二率底
     邊四十二丈自乗得一千七百六十四
     丈為三率求得四率八百八十二丈開
     方得二十九丈六尺九寸八分四釐八
     豪有餘為所截之底邊乃以全底邊四
     十二丈為一率大腰邊三十四丈為二
     率所截之底邊二十九丈六尺九寸八
     分四釐八豪有餘為三率求得四率二
[024-46b]
     十四丈零四寸一分六釐二豪有餘為
     所截之大腰邊仍以全底邊四十二丈
     為一率小腰邊二十丈為二率所截之
     底邊二十九丈六尺九寸八分有餘為
     三率求得四率十四丈一尺四寸二分
     一釐三豪有餘即所截之小腰邊也如
     圖甲乙丙三角形平分面積一半成丁
     戊丙三角形此兩三角形既為同式形
     則甲乙丙三角形之面積與丁戊丙三
[024-46b]
     角形之面積之比同於各邊各自乗之
[024-47a]
     正方面積與所截各邊各自乗之正方
     面積之比故以甲乙丙三角形面積為
     一率丁戊丙三角形面積為二率乙丙
     底邊自乗如乙己庚丙正方面為三率
     所得四率即戊丙截底自乗如戊辛壬
     丙正方面故開方得戊丙也既得戊丙
     則乙丙與甲丙之比同於戊丙與丁丙
     之比又乙丙與甲乙之比同於戊丙與
[024-47b]
     丁戊之比俱為相當比例四率也若取
     原積三分之一或幾分之幾者則將其
     積以其分數歸之比例並同
     又法以乙丙邊四十二丈自乗折半開
     方即得戊丙邊甲丙邊自乗折半開方
     即得丁丙邊甲乙邊自乗折半開方即
     得丁戊邊此即面與面比線與線比之
     理也
     又法設全積為一尺半積為五十寸乃
[024-47b]
     以五十寸開方得七寸零七釐一豪零
[024-48a]
      六忽而以各邊之數乗之即得各邊所
      截之數葢全積為一尺其全邊亦為一
      尺半積為五十寸其截邊為七寸零七
      釐一豪零六忽今以一尺與全邊之比
      即同於七寸零七釐一豪零六忽與截
      邊之比又因一尺為一率故省一率之
      除止用乗而即得也若取幾分之一者
      皆倣此類推之
[024-48b]
設如大小兩正方面積共四百一十尺大正方邊比
 小正方邊多六尺問兩正方邊及面積各幾何
      法以兩正方面積共四百一十尺倍之
      得八百二十尺又以多六尺自乗得三
      十六尺與倍共積八百二十尺相減餘
      七百八十四尺開方得二十八尺為大
      小兩正方邊之和加大正方比小正方
      每邊所多六尺得三十四尺折半得十
      七尺為大正方之邊内減六尺餘十一
[024-48b]
      尺為小正方之邊以大正方邊十七尺
[024-49a]
      自乗得二百八十九尺為大正方之面
      積以小正方邊十一尺自乗得一百二
      十一尺為小正方之面積也如圖甲乙
      丙丁一大正方形丁戊己庚一小正方
      形戊丙為兩正方邊之較試以兩正方
      之共積倍之則得甲辛壬庚一正方形
      仍餘癸子丙戊兩正方邊之較自乗之
      一正方形葢癸丑壬己正方形與甲乙
[024-49b]
      丙丁正方形等乙辛丑子正方形與丁
      戊己庚正方形等其中疊一癸子丙戊
      正方形即戊丙較自乗之積故以戊丙
      較自乗與所倍共積相減即得甲辛壬
      庚正方形開方得甲庚為兩正方邊之
      和加較折半得丁丙為大正方邊内減
      戊丙較得丁戊為小正方邊既得方邊
      則各自乗即得各面積矣
      又法以兩正方邊之較六尺自乗得三
[024-49b]
      十六尺與兩正方共積四百一十尺相
[024-50a]
     減餘三百七十四尺折半得一百八十
     七尺為長方積以兩正方邊之較六尺
     為長闊之較用帶縱較數開方法算之
     得闊十一尺為小正方之邊加較六尺
     得十七尺為大正方之邊也如圖甲乙
     丙丁一大正方形丁戊己庚一小正方
     形戊丙為兩正方邊之較以戊丙邊較
     自乗得辛壬丙戊一正方形與共積相
[024-50b]
     減餘甲乙壬辛己庚磬折形如以癸乙
     壬辛長方形移於庚己子丑即戊甲癸
     子丑一長方形折半得丁戊子丑一長
     方形庚丑與戊丙等即長闊之較故用
     帶縱較數開方法算之得丁戊闊即小
     方邊加庚丑較得丁丑與丁丙等即大
     方邊也
設如大小兩正方面積共六百一十七尺大小兩正
 方邊共三十五尺問大小兩正方邊及面積各幾
[024-50b]
 何
[024-51a]
     法以兩正方面積共六百一十七尺倍
     之得一千二百三十四尺又以兩正方
     邊共三十五尺自乗得一千二百二十
     五尺與倍共積一千二百三十四尺相
     減餘九尺開方得三尺為大小兩正方
     邊之較與共邊三十五尺相加得三十
     八尺折半得十九尺為大正方之邊内
     減兩正方邊之較三尺餘十六尺為小
[024-51b]
     正方之邊以大正方邊十九尺自乗得
     三百六十一尺為大正方之面積以小
     正方邊十六尺自乗得二百五十六尺
     為小正方之面積也如圖甲乙丙丁一
     大正方形丁戊己庚一小正方形甲庚
     為兩正方邊之和戊丙為兩正方邊之
     較試以兩正方之共積倍之則得甲辛
     壬庚正方形而多癸子丙戊較自乗之
     一正方形故以甲庚共邊自乗得甲辛
[024-51b]
     壬庚正方形與倍共積相減卽餘癸子
[024-52a]
      丙戊一小正方形開方得戊丙即兩正
      方邊之較與兩正方邊之和相加折半
      得丁丙為大正方邊内減戊丙較得丁
      戊為小正方邊旣得方邊則各自乗卽
      得各面積矣
      又法以兩正方邊之和三十五尺自乗
      得一千二百二十五尺内減兩正方共
      積六百一十七尺餘六百零八尺折半
[024-52b]
      得三百零四尺為長方積以兩正方邊
      之和三十五尺為長闊和用帶縱和數
      開方法算之得闊十六尺為小正方之
      邊與共積三十五尺相減餘十九尺為
      大正方之邊也如圖甲乙丙丁一大正
      方形戊己庚辛一小正方形以共邊自
      乗得壬癸子丑一正方形内減與甲乙
      丙丁大正方形相等之寅癸卯辰一正
      方形又減與戊己庚辛小正方形相等
[024-52b]
      之午辰己丑一正方形餘壬寅辰午與
[024-53a]
      辰卯子己二長方形折半得壬寅辰午
      一長方形其壬午長與甲乙大方邊等
      壬寅闊與戊己小方邊等兩正方之共
      邊卽長闊之和故用帶縱和數開方法
      算之得闊為小方邊得長為大方邊也
設如大小兩正方形大正方邊比小正方邊多七尺
 大正方積比小正方積多三百四十三尺問大小
 兩正方邊各幾何
[024-53b]
      法以大正方積比小正方積所多三百
      四十三尺用大正方邊比小正方邊所
      多七尺除之得四十九尺為大小兩正
      方邊之和加兩正方邊之較七尺得五
      十六尺折半得二十八尺為大正方之
      邊與共邊四十九尺相減餘二十一尺
      為小正方之邊也如圖甲乙丙丁一大
      正方形戊己庚辛一小正方形試於甲
      乙丙丁大正方形内作與戊己庚辛相
[024-53b]
      等之甲壬癸子小正方形則壬乙丙丁
[024-54a]
      子癸磬折形即大正方比小正方所多
      之積引而長之成壬乙丑寅一長方形
      其壬乙闊即兩正方邊之較乙丑長卽
      兩正方邊之和故以壬乙兩正方邊之
      較除之得乙丑兩正方邊之和以乙丑
      與丁乙相加折半得乙丙為大正方形
      之邊將乙丙與乙丑共邊相減餘丙丑
      與子癸等卽戊己為小正方形之邊也
[024-54b]
設如大小兩正方形共邊三十一尺大正方積比小
 正方積多一百五十五尺問大小兩正方邊各幾
 何
      法以大正方積比小正方積所多一百
      五十五尺用共邊三十一尺除之得五
      尺為大小兩正方邊之較與共邊三十
      一尺相加得三十六尺折半得十八尺
      為大正方之邊與共邊三十一尺相減
      餘十三尺為小正方之邊也如圖甲乙
[024-54b]
      丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方
[024-55a]
     形試於甲乙丙丁大正方形内作與戊
     己庚辛相等之甲壬癸子小正方形則
     壬乙丙丁子癸磬折形即大正方比小
     正方所多之積引而長之成壬乙丑寅
     長方形其乙丑長即兩正方邊之和其
     壬乙闊即兩正方邊之較故以乙丑兩
     正方邊之和除之得壬乙與乙丑相加
     折半得乙丙為大正方形之邊以乙丙
[024-55b]
     與乙丑相減餘丙丑與子癸等即戊己
     為小正方形之邊也
設如大小兩正方形共積一百三十尺大正方積比
 小正方積多三十二尺問大小兩正方邊各幾何
     法以大正方積比小正方積所多三十
     二尺與共積一百三十尺相減餘九十
     八尺折半得四十九尺為小正方之積
     開方得七尺為小正方之邊又以小正
     方積四十九尺與大正方積比小正方
[024-55b]
     積多三十二尺相加得八十一尺為大
[024-56a]
     正方之積開方得九尺為大正方之邊
     也如圖甲乙丙丁一大正方形戊己庚
     辛一小正方形試於甲乙丙丁大正方
     形内作與戊己庚辛相等之壬癸丙子
     小正方形則甲乙癸壬子丁磬折形即
     大正方比小正方所多之積以此磬折
     形積與兩正方形之共積相減餘壬癸
     丙子與戊己庚辛兩小正方形折半得
[024-56b]
     戊己庚辛一小正方形故開方得戊己
     為小方邊又以戊己庚辛相等之壬癸
     丙子小正方形積與甲乙癸壬子丁磬
     折形積相加即得甲乙丙丁大正方形
     故開方得甲乙為大方邊也
設如不等三正方形共積三百八十一尺大方邊比
 次方邊多三尺次方邊比小方邊多三尺問三方
 邊各幾何
     法以大方邊比次方邊所多三尺與次
[024-56b]
     方邊比小方邊所多三尺相加得六尺
[024-57a]
      為大方邊比小方邊所多之較自乗得
      二十六尺又以次方邊比小方邊所多
      三尺自乗得九尺兩數相併得四十五
      尺與共積三百八十一尺相減餘三百
      三十六尺三因之得一千零八尺為長
      方積以大方邊比小方邊多六尺倍之
      得十二尺又以次方邊比小方邊多三
      尺倍之得六尺兩數相併得十八尺為
[024-57b]
      長闊之較用帶縱較數開方法算之得
      闊二十四尺三歸之得八尺為小正方
      形之邊加次方邊比小方邊多三尺得
      十一尺為次正方形之邊又加大方邊
      比次方邊多三尺得十四尺為大正方
      形之邊也如圖甲乙丙丁一大正方形
      戊己庚辛一次正方形壬癸子丑一小
      正方形試於甲乙丙丁大正方形内作
      與壬癸子丑相等之寅乙卯辰小正方
[024-57b]
      形則辰己即大正方邊比小正方邊所
[024-58a]
     多之較又於戊己庚辛次正方形内作
     與壬癸子丑相等之午己未申小正方
     形則申酉即次正方邊比小正方邊所
     多之較以辰己自乗得辰己丁戌一正
     方形以申酉自乗得申酉辛亥一正形
     形以所得兩正方形之共積與三正方
     形之共積相減則餘寅乙卯辰午己未
     申壬癸子丑三小正方形及甲寅辰戌
[024-58b]
     辰卯丙己戊午申亥申未庚酉四長方
     形又試將此所餘三小正方形及四長
     方形之積共作壬癸乾坎一長方形加
     三倍卽成艮癸乾震一大長方形其艮
     癸闊為壬癸小方邊之三倍與癸巽等
     巽乾卽長闊之較而巽離乃辰己與甲
     寅相併之數為大方邊比小方邊所多
     之較之二倍離乾乃申酉與戊午相併
     之數為次方邊比小方邊所多之較之
[024-58b]
     二倍故以大方邊與小方邊之較倍之
[024-59a]
     得巽離又以次方邊與小方邊之較亦
     倍之得離乾巽離與離乾相併得巽乾
     為長闊之較用帶縱較數開方法算之
     得艮癸闊三歸之得壬癸為小正方形
     之邊加次方邊比小方邊所多之較卽
     得次正方形之邊又加大方邊比次方
     邊所多之較卽得大正方形之邊也
設如甲乙丙丁不等邊無直角四邊形甲乙邊十尺
[024-59b]
 甲丁邊十七尺丁丙邊二十八尺乙丙邊三十五
 尺自丁角至乙角斜線二十一尺問面積幾何
     法以丁乙斜線分為甲乙丁丁乙丙兩
     三角形算之先用甲乙丁三角形求得
     甲戊埀線八尺與乙丁二十一尺相乗
     折半得八十四尺為甲乙丁三角形之
     面積又用丁乙丙三角形求得丁己垂
     線一十六尺八寸與乙丙三十五尺相
     乗折半得二百九十四尺為丁乙丙三
[024-59b]
     角形之面積以兩三角形之面積相併
[024-60a]
     得三百七十八尺卽甲乙丙丁四邊形
     之面積也凡無法多邊形皆任以兩角
     作對角斜線分為幾三角形算之舊術
     四不等邊形分為兩段一為勾股形一
     為斜方形葢必有二平行線然後可算
     若此法非二平行線者則必分為丁己
     丙與丁甲庚二勾股形甲乙己庚一斜
     方然後可算不如分為兩三角形算之
[024-60b]
     為簡㨗而密合也
設如甲乙丙三角形面積三百八十四尺乙丙底邊
 二十二尺今自甲角將原積平分為二問每分底
 邊幾何
     法以乙丙底邊三十二尺折半得十六
     尺卽每分底邊之數也葢自甲至乙丙
     線上作甲戊垂線則甲丁乙甲丁丙兩
     三角形同以甲戊為髙即為二平行線
     内同底兩三角形其面積必等見幾何/原本三
[024-60b]
     卷第/十節故甲丁乙甲丁丙兩三角形積為
[024-61a]
     相等而各得甲乙丙三角形積之一半
     也如分三分或四分者倣此類推
設如甲乙丙丁二平行線無直角四邊形甲乙邊八
 丈丙丁邊十二丈面積一百六十丈今將原積分
 為四分問每分截邊幾何
     法以甲乙八丈與丙丁十二丈相加得
     二十丈四歸之得五丈即每分所截之
     邊乃自甲量至戊得五丈自戊至丙作
[024-61b]
     戊丙線成甲戊丙三角形為第一分又
     從丙量至己得五丈自戊至己作戊己
     線成丙戊己三角形為第二分又從己
     量至庚得五丈自戊至庚作戊庚線成
     己戊庚三角形為第三分又自庚至丁
     餘二丈自戊至乙餘三丈庚丁與戊乙
     相併亦得五丈成戊庚丁乙斜方形即
     為第四分也葢甲乙與丙丁二線既為
     平行自乙至辛作乙辛垂線則三三角
[024-61b]
     形與一斜方形同以乙辛為高其邊線
[024-62a]
     既等則所得各形之面積亦必相等而
     各為四邊形面積之四分之一也
設如甲乙丙丁戊不等邊無直角五邊形面積一十
 九丈九十八尺甲乙邊二丈五尺乙丙邊三丈九
 尺丙丁邊六丈丁戊邊一丈五尺甲戊邊四丈一
 尺自甲角至丙角斜線五丈六尺自甲角至丁角
 斜線五丈二尺今自甲角將面積平分為三分問
 截各邊幾何
[024-62b]
     法以面積十九丈九十八尺三分之每
     分得六丈六十六尺乃以甲丙甲丁二
     斜線分為甲乙丙甲丙丁甲丁戊三三
     角形算之用三角形求面積法求得甲
     乙丙三角形面積四丈二十尺甲丙丁
     三角形面積一十三丈四十四尺甲丁
     戊三角形面積二丈三十四尺因甲乙
     丙甲丁戊兩三角形面積俱不足一分
     所應得之數而甲丙丁三角形面積又
[024-62b]
     過一分所應得之數故先以甲乙丙三
[024-63a]
     角形面積四丈二十尺與每分所應得
     六丈六十六尺相減餘二丈四十六尺
     卽第一分應得甲乙丙三角形面積外
     又截甲丙丁三角形以補之之數乃以
     甲丙丁三角形面積一十三丈四十四
     尺為一率所應截之二丈四十六尺為
     二率丙丁邊六丈為三率求得四率一
     丈零九寸八分有餘為甲丙丁三角形
[024-63b]
     補甲乙丙三角形分數之邊如丙己乃
     自甲至己作甲己線成甲乙丙己不等
     邊四邊形為第一分又以甲丙丁三角
     形面積一十三丈四十四尺為一率每
     分所應得六丈六十六尺為二率丙丁
     邊六丈為三率求得四率二丈九尺七
     寸三分有餘為甲丙丁三角形内應得
     一分之邊如己庚又自甲至庚作甲庚
     線成甲己庚三角形為第二分餘甲庚
[024-63b]
     丁戊不等邊四邊形即第三分此三分
[024-64a]
     之面積俱為相等也葢兩形同髙者其
     面積之比例同於其底邊之比例故以
     甲丙丁三角形面積與甲丙己三角形
     截積之比同於丙丁與丙己之比而得
     甲丙己三角形面積為二丈四十六尺
     與甲乙丙三角形面積四丈二十尺相
     加得六丈六十六尺又甲丙丁三角形
     面積與甲己庚三角形面積之比同於
[024-64b]
     丙丁與己庚之比而得甲己庚三角形
     面積六丈六十六尺則所餘甲庚丁戊
     四邊形面積亦必為六丈六十六尺若
     以甲丁戊三角形面積二丈三十四尺
     與每分六丈六十六尺相減餘四丈三
     十二尺卽甲庚丁三角形面積乃以甲
     丙丁三角形面積與甲庚丁三角形面
     積之比同於丙丁與庚丁之比而得庚
     丁一丈九尺二寸八分有餘與丙己己
[024-64b]
     庚相加得六丈以合丙丁原數也
[024-65a]
 
 
 
 
 
 
 
 
[024-65b]
 
 
 
 
 
 
 
御製數理精蘊下編卷十九