[002-1a] 
欽定四庫全書
御製數理精蘊上編卷二
幾何原本一
幾何原本二
幾何原本三
幾何原本四
幾何原本五
[002-2a]
幾何原本一
第一
凡論數度必始於一點自點引之而為
線自線廣之而為面自而積之而為體
是名三大綱是以有長而無闊者謂之
線有長與闊而無厚者謂之面長與闊
厚俱全者謂之體惟點無長闊厚薄其
間不能容分不可以數度然線之兩端
[002-2b]
即點而線面體皆由此生點雖不入於
數實為衆數之本
第二
線有直曲兩種其二線之一端相合一
端漸離必成一角二線若俱直者謂之
直線角一線直一線曲者謂之不等線
角二線俱曲者謂之曲線角
第三
凡角之大小皆在於角空之寛狹出角
[002-2b]
之二線即如規之兩股漸漸張去自然
[002-3a]
開寛是以命角不論線之長短止看角
之大小如丙角兩線雖長其開股之空
狹遂為小角若丁角兩線雖短其開股
之空寛遂成大角矣
第四
凡命角必用三字為記如甲乙丙三角
形指甲角則云乙甲丙角指乙角則云
甲乙丙角指丙角則云甲丙乙角是也
[002-3b]
亦有單舉一字者則其所舉之一字即
是所指之角也如單言甲角乙/角丙角之類
第五
凡有一線以此線之一端為樞復以此
線之一端為界旋轉一周即成一圜如
甲乙一線以甲端為樞乙端為界旋轉
復至乙處即成乙丙丁戊之圜此圜線
謂之圜界圜界内所積之面度謂之圜
面
[002-3b]
第六
[002-4a]
凡圜界不拘長短其分界之所即為弧
線如乙丙丁戊之圜丙至丁丁至戊俱
為弧線因其形似弧故名之
第七
凡圜自一界過圜心至相對之界畫一
直線將一圜為兩平分則為圜徑如乙
丙丁戊之圜以甲為心自圜界乙處過
甲心至丁或自圜界丙處過甲心至戊
[002-4b]
畫乙甲丁及丙甲戊線皆為圜徑也
第八
凡自圜心至圜界作幾何線皆謂之輻
線其度俱相等因平分全徑之半故又
謂之半徑線
第九
凡圜界皆以所對之角而命其弧而角
又以所對之弧而命其度葢角度俱在
圜界而圜界為角度之規也如乙角為
[002-4b]
心甲丙為界則乙角相對之界即甲丙
[002-5a]
弧而甲丙弧即乙角之度也
第十
凡角相對之弧得圜界四分之一者此
角必直故謂之直角如甲丁丙戊之圜
甲乙丙之徑自中心乙至圜界丁畫一
半徑將半圜界又分為兩平分則成甲
乙丁丙乙丁之二角此二角各得圜界
四分之一則此二角為直角也若自丁
[002-5b]
界過乙心至圜界戊處畫一直線又成
丁乙戊之徑復得甲乙戊丙乙戊兩相
等之直角矣故凡畫一直線交於别線
其所成之角若直此線謂之垂線葢因
平分圜界為四其四弧相對之四角必
相等而皆為直角則其二徑相交必互
為垂線可知矣
第十一
凡角相對之弧不足圜界四分之一者
[002-5b]
謂之鋭角若過四分之一者謂之鈍角
[002-6a]
故自圜徑中心復畫一輻線而不平分
半圜之界則成一鋭角一鈍角如甲己
丙庚之圜於甲乙丙之徑自乙心至甲
己丙之半圜界不兩平分於丁處畫一
輻線遂成丙乙丁一鋭角甲乙丁一鈍
角再將丁乙線引於相對圜界戊處畫
一丁乙戊徑線復成甲乙戊一鋭角丙
乙戊一鈍角合前二角總為四角矣故
[002-6b]
凡二角兩尖相對謂之對角二角兩尖
相並謂之並角如甲乙戊丙乙丁二角
之兩尖相對即謂之對角丙乙戊甲乙
丁二角之兩尖亦相對故亦謂之對角
也如丙乙戊甲乙戊之二角兩尖相並
而同出一線則謂之並角矣
第十二
凡一圜内設兩角此一角相對之弧與
彼一角相對之弧其限若等則此二角
[002-6b]
之度亦必相等如甲丁丙戊之圜丙乙
[002-7a]
丁角相對之丙丁弧甲乙戊角相對之
甲戊弧其限相等故丙乙丁角甲乙戊
角其度亦相等也
第十三
凡有一圜其徑線之中心作相並之二
角此二角之度必與二直角等如甲丙
丁之圜自丁乙丙徑線之中心作甲乙
丙甲乙丁之相並二角此二角之度必
[002-7b]
與二直角相等也
第十四
凡一直線交於他直線其所成之二角
或為二直角或與二直角等如丙乙丁
直線上畫一甲乙直線至於乙處即成
甲乙丙甲乙丁之二直角也又或於丙
乙丁直線上畫一戊乙直線亦至乙處
復成丙乙戊一鋭角丁乙戊一鈍角此
二角必與二直角相等也再申明之以
[002-7b]
乙為心丙為界旋轉畫一圜則丙乙丁
[002-8a]
線為圜之徑線必將圜界平分為兩平
分矣此丙乙丁徑線之中心所畫之甲
乙線又將半圜界平分為兩平分則此
二角各相對之弧皆為一圜界四分之
一而各為一直角可知矣又如戊乙線
將半圜界雖不兩平分而成一鋭角一
鈍角然所成二角仍在丙乙丁徑線所
限半圜界度為全圜界四分之二故與
[002-8b]
二直角相等也
第十五
凡自一心畫為衆線其所成之角雖多
止與四直角相等如自甲心至乙至丙
至丁至戊至已畫衆輻線雖成衆角其
各角所函之度必與四直角等葢因甲
㸃為心衆輻線皆立一圜之界故衆角
所對之弧總不越一圜之全度前言一
圜之界僅有四直角之弧線兹角雖多
[002-8b]
亦未嘗出一圜之界故曰衆角雖多止
[002-9a]
與四直角等也
第十六
凡兩直線相交所成二對角之度必俱
相等如甲乙丙丁二線交於戊處成甲
戊丁丙戊乙之二對角斯二角之度必
俱相等今以二線相交之處為心旋轉
畫一全圜則甲乙丙丁二線俱為此圜
之徑線矣惟其俱為徑線故將一圜為
[002-9b]
兩平分而甲戊乙之徑線為甲丙乙之
半圜界丙戊丁之徑線為丙甲丁之半
圜界因兩半圜界俱係全圜徑線故相
交成對角其度必等兹將甲丙乙之半
圜界減去甲丙弧即餘丙乙弧丙甲丁
之半圜界亦減去丙甲弧又餘甲丁弧
凡兩相等之弧減去一段相等之弧所
餘之弧必相等今甲丙乙丙甲丁二半
圜之界内減去甲丙丙甲同體之弧則
[002-9b]
所餘丙乙甲丁相對之弧亦必相等矣
[002-10a]
此二弧之度既俱相等則所對之甲戊
丁丙戊乙二角之度亦必相等可知矣
其餘甲戊丙丁戊乙亦與甲戊丁丙戊
乙同理故其所對之角度亦必相等也
第十七
凡大小圜界俱定為三百六十度而一
度定為六十分一分定為六十秒一秒
定為六十㣲一㣲定為六十纖夫圜界
[002-10b]
定為三百六十度者取其數無竒零便
於布算即徴之經傳亦皆符合也易曰/凡三
百有六十當期之日邵子曰三百六十/中分之得一百八十為二至二分相去
之/數度下皆以六十起數者以三百六十
乃六六所成以六十度之可得整數也
凡有度之圜界可度角分之大小如甲
乙丙角欲求其度則以有度之圜心置
於乙角察乙丙乙甲之相離可以容圜
界之幾度如容九十度即是甲乙丙直
[002-10b]
角何以知為直角因九十度為全圜三/百六十度之四分之一前言凡角得
[002-11a]
圜界四分之一者為直/角故知其為直角也若過九十度者
為丁乙丙鈍角不足九十度者為丙乙
戊鋭角觀此三角之度其餘可類推矣
第十八
凡二線之間寛狹相離之分俱等則此
二線謂之平行線也
第十九
欲求平行線之間相距幾何則自上一
[002-11b]
線不拘何處至下一線畫二縱線則此
二線為相距度分也如甲乙丙丁二線
平行自上線甲乙二處至下線丙丁二
處畫二縱線則此二線為相等線其度
必等然則甲乙丙丁相對之間其相距
之遠近不已見耶
第二十
平行二線雖引至於無窮其端必不能
相合葢二線相離之度各處逺近俱為
[002-11b]
相等故也如甲乙丙丁平行二線隨意
[002-12a]
引於戊己又自戊至己畫一縱線其度
亦等於甲丙乙丁二縱線故曰平行線
雖引至於無窮其端終不能相合也
第二十一
凡平行二線或縱或斜畫一直線交加
於上則平行線上所成之二角必俱相
等如甲乙丙丁二平行線上畫一庚辛
斜線其甲乙線之庚戊乙角丙丁線之
[002-12b]
戊己丁角皆相等假使庚戊乙角大於
戊己丁角則戊乙線必離於庚戊線而
向丙丁線甲乙丙丁二線不平行矣若
甲乙丙丁二線毫無偏斜又得庚辛直
線相交成二角則此二角必然相等矣
第二十二
凡平行二線上畫一斜線則成八角此
八角度有相等者必是對角或内外角
如庚戊乙甲戊己一角其度相等因其
[002-12b]
兩尖相對謂之對角庚戊乙戊己丁二
[002-13a]
角其度亦相等因其在平行二線之内
外故謂之内外角甲戊己戊己丁二角
其度亦相等因其俱在平行二線之内
而立斜線之左右故又謂之相對錯角
又如甲戊庚度戊乙二角其度不等因
其立一線之界謂之並角庚戊甲丁己
辛二角其度亦相等因其俱在平行二
線之外故謂之外角乙戊己丙己戊二
[002-13b]
角其度亦相等因其又俱在平行二線
之内故又謂之内角總之二平行線上
交以斜線所成八角必兩兩相等也
第二十三
平行線上一邊之二内角或一邊之二
外角與二直角相等如丁己戊角與丙
己戊角為並角則此二並角與二直角
等前第十四節云凡一直線交於他直
線所成二角必與二直角相等則此二
[002-13b]
角同出於一直線為並角故亦與二直
[002-14a]
角等矣又如甲戊庚庚戊乙雖為外角
而亦為並角此二並角亦與二直角等
也他如甲戊己乙戊己二並角丙己辛
丁己辛二並角亦與二直角等也
第二十四
有平行二線復與一線相平行者此三
線互相為平行線也如甲乙丙丁二線
之間有戊己線與之平行則甲乙丙丁
[002-14b]
戊己三線互相為平行線也照前第二
十一節在此三線上畫一庚辛壬斜線
則所成之庚辛二角必相等而辛壬二
角亦必等也三線之與斜線相交所成
之角既各相等則三線互為平行可知
矣
[002-15a]
幾何原本二
第一
凡各種界所成俱謂之形其直界所成
者為直界形曲界所成者為曲界形凡
直界所成各形未有少於三角形界者
故三角形為諸形之首
第二
凡三角形一角直者為直角三角形一
[002-15b]
角鈍者為鈍角三角形三角俱鋭者為
鋭角三角形
第三
凡三角形其三邊線度等者為等邊三
角形兩邊線度等者為兩等邊三角形
三邊線度俱不等者為不等邊三角形
第四
凡三角形之三角度相併必與二直角
度等如甲乙丙三角形自乙角與甲丙
[002-15b]
線平行畫一乙丁線則成丙乙丁角與
[002-16a]
丙角為二尖交錯之二角其度必相等
見首卷第/二十二節而甲角與甲乙丁角為甲丙
乙丁二平行線内一邊之二内角與二
直角等見首卷第/二十三節今於甲乙丁直角内
減丙乙丁角所餘為甲乙丙角丙乙丁
角既與丙角度等則甲乙丙丙乙丁合
成之一直角與甲角之一直角非二直
角之度耶
[002-16b]
第五
凡三角形自一界線引長成一外角此
外角度與三角形内所有之二鋭角等
如甲乙丙三角形自甲乙線引長至丁
所成之丙乙丁角即為外角其度與三
角形内甲丙二鋭角之度等葢甲乙丙
三角形之三角度併之原與二直角等
如本卷第/四節云而甲丁直線與丙乙直線相
交所成之甲乙丙丁乙丙内外角亦與
[002-16b]
二直角等如首卷第/十四節云則此内外二角所
[002-17a]
併之度與三 形内三角所併之度亦
必相等今於内外角所併之二直角内
減去甲乙丙角則所餘之丙乙丁一外
角度與甲角丙角所併之度為相等可
知矣
第六
凡兩三角形其兩邊線之度相等二線
所合之角又等則二形底線之度必等
[002-17b]
二形之式亦等其底線之二角亦皆等
也如甲乙丙一三角形丁戊己一三角
形此二形之甲角丁角若等甲丙丁戊
二線甲乙丁己二線又互相等則乙丙
戊己之二底線必等其二形之三角式
亦必等而乙角己角相等丙角戊角亦
相等若將二形之甲角丁角相合則甲
丙丁戊二線甲乙丁己二線各度必等
因其俱等故丙乙線之二角與戊己線
[002-17b]
之二角俱恰相符而無偏側矣若謂乙
[002-18a]
丙底與戊己底不符必是戊己線上斜
於庚或下斜於辛不成直線形矣
第七
兩三角形其三邊線之度若等則三角
之度亦必相等而此形内所函之分亦
俱等也如甲乙丙丁戊己兩三角形之
甲乙線丁戊線甲丙線丁己線乙丙線
戊己線兩兩相等則甲角與丁角乙角
[002-18b]
與戊角丙角與己角必各相等而甲乙
丙三界所函之分丁戊己三界所函之
分亦俱相等葢因此兩三角形之各線
俱恰相符故所函之分亦俱恰相符也
第八
凡兩三角形有一線相等其相等線左
右所生之二角又相等則其他線他角
俱相等而二形之分亦相等也如甲乙
丙丁戊己兩三角形之甲乙線丁戊線
[002-18b]
若等而此二線左邊所成之甲角丁角
[002-19a]
右邊所成之乙角戊角亦相等則甲丙
線度與丁己線度等丙乙線度與己戊
線度等而丙角與己角亦等甲丙乙形
所函之分與丁己戊形所函之分自然
相等矣若將甲乙線與丁戊線相較再
將甲角與丁角乙角與戊角相較此二
線二角之度必俱相符此二線二角既
俱相符其他線他角亦必各相符矣若
[002-19b]
謂一線不符則相等之角亦必不符必
其一線斜出或一線偏入以致各角俱
不相等角既不相等而形式亦必不同
矣
第九
三角形之兩邊線若等其底線之兩角
度亦必等如甲乙丙三角形其甲乙丙
乙兩邊線之度等則其甲丙底線之甲
角丙角之度亦俱等也若以甲丙底平
[002-19b]
分於丁處自丁至乙角畫一直線遂成
[002-20a]
甲乙丁丙乙丁兩三角形此兩形之甲
乙線與丙乙線既相等而甲丙底線平
分之甲丁丙丁線度亦等則乙丁為兩
三角形所共用之各一邊線然則此兩
三角形之各三邊線度必俱相等可知
矣三角形之三線既各相等則其各角
之度亦必相等因其各角之度相等故
甲角丙角之度亦必等也
[002-20b]
第十
有兩邊相等之三角形自上角至底線
畫一直線將底線為兩平分則此線為
上角之平分線又為底線之垂線也如
甲乙丙乙兩邊線度相等之甲乙丙三
角形自上角乙至底線丁畫一直線將
甲丙底線為兩平分則為乙角之平分
線又為甲丙底線之垂線也葢乙丁線
將乙甲丙三角形平分為甲乙丁丙乙
[002-20b]
丁兩三角形此兩三角形之各界線度
[002-21a]
必各相等而各角之度又俱相等則甲
乙丁角丙乙丁角將乙角為兩平分矣
而甲丁乙角丙丁乙角又為相等之兩
直角因其為兩直角故乙丁線為平分
甲丙底線之垂線也
第十一
凡三角形内長界所對之角必大短界
所對之角必小如甲乙丙三角形之乙
[002-21b]
丙界長於甲丙界故其相對之甲角大
於乙角而甲乙界短於甲丙界故其所
對之丙角小於乙角也試依甲丙界度
截乙丙於丁復自甲至丁作甲丁線即
成甲丙丁兩界相等之三角形夫甲丙
丁丙兩界度既相等則甲丁丙丁甲丙
兩角亦相等今甲丁丙角相等之丁甲
丙角原自乙甲丙角所分則乙甲丙角
必大於甲丁丙角矣然此甲丁丙角為
[002-21b]
甲乙丁小三角形之外角與小三角形
[002-22a]
内之甲乙二角相併之度等見本卷/第五節既
與甲乙二角之度等則大於乙角可知
矣夫甲丁丙角既大於乙角則乙甲丙
角必更大於乙角矣丙角之小於乙角
其理亦同
第十二
凡三角形内必有二鋭角葢三角形之
三角併之與二直角等見本卷/第四節如甲乙
[002-22b]
丙三角形之乙角為直角則所餘甲角
丙角併之始與乙角相等二角併之僅
與一直角等則此二角獨較之必小於
直角矣故此甲丙二角為鋭角也又如
丁戊己三角形之戊角為鈍角則所餘
之丁角己角愈小於直角而為鋭角矣
第十三
凡自一㸃至一横線畫衆線而衆線内
有一垂線必短於他線而他線與垂線
[002-22b]
相離愈逺則愈長也如自甲㸃至乙丙
[002-23a]
線畫甲乙甲丁甲戊幾線此内甲乙為
垂線較之甲丁甲戊線則其度最短而
甲戊線與甲乙線相離既遠於甲丁故
更長於甲丁線也葢甲乙為垂線則乙
角必為直角見首卷/第十節而甲乙丁三角形
内丁角甲角必俱為鋭角而小於乙角
矣因乙角大於丁角故此乙角相對之
甲丁線必長於丁角相對之甲乙線又
[002-23b]
甲丁戊外角原與甲乙丁乙甲丁二内
角相併之度等見本卷/第五節則此甲丁戊一
外角必大於甲乙丁一内角矣甲丁戊
之外角既大於甲乙丁之内角則甲丁
戊角相對之甲戊線必長於甲乙丁角
相對之甲丁線可知矣
第十四
凡三角形將二界線相併必長於所餘
之一界線如甲乙丙三角形將甲乙甲
[002-23b]
丙二界線併之則長於所餘之乙丙界
[002-24a]
線也試以丙甲線引之至丁作丁甲線
與甲乙等則丁丙線為甲丙甲乙二界
線之共度矣復自丁至乙作丁乙線成
乙甲丁兩界相等之三角形其丁乙甲
角與丁角等見本卷/第九節則丁乙丙角必大
於丁角夫丁乙丙角既大於丁角則其
所對之丁丙線必長於丁角相對之乙
丙線可知矣見本卷第/十一節
[002-25a]
幾何原本三
第一
凡四邊線函四角者其形有五四邊線
度等而角度亦等者為正方形四角直
而兩邊線短兩邊線長者為長方形四
邊線度等而角度不等者為等邊斜方
形兩邊線長兩邊線短而角度又不等
者為兩等邊斜方形以上四形俱自平
[002-25b]
行線出如四邊線不等亦不平行而四
角度又不等者為不等邊斜方形
第二
凡四平行線所成方形其所函之角成
兩對角必兩兩相等如甲乙丙丁平行
線方形其甲角度丙角度等而乙角度
丁角度亦等若以丙丁線引長至戊作
一線成一丁外角與甲角為二尖交錯
之角其度相等見首卷第/二十二節而丁外角與
[002-25b]
丙角又為一邊之内外角其度亦等見/首
[002-26a]
卷第二/十二節夫甲丁二角既等丁丙二角又
等則甲角與丙角必自相等而丁乙兩
對角之相等不言可知矣
第三
凡平行四邊形自一角至相對之角作
一對角線必平分四邊形為兩三角形
如甲丙乙丁四邊形作甲乙對角線即
成丙甲乙丁甲乙兩相等三角形葢此
[002-26b]
四邊形之丙丁二角為對角其度必等
見本卷/第二節而對角線所分之丙甲乙丁乙
甲二角丙乙甲丁甲乙二角俱為二尖
交錯之角其度又兩兩相等見首卷第/二十二節
夫此兩三角形原自一四邊形而分各
角又俱相等則其所函之分必等而四
邊形平分為兩平分無疑矣
第四
凡平行線所成方形其兩兩平行線度
[002-26b]
俱相等如甲丙乙丁四邊形之丙甲線
[002-27a]
與乙丁線度等丙乙線與甲丁線度等
此即如前節作一對角線成兩三角形
而兩形之各角必俱相等則丙甲乙丁
二線丙乙甲丁二線俱為各相等角所
對之線其度亦必相等矣見二卷/第八節
第五
平行線方形内兩對角線其相交處必
平分二線之正中如甲乙丙丁二線相
[002-27b]
交於戊則所成甲戊戊乙二線丙戊戊
丁二線俱等葢因丙戊乙甲戊丁兩三
角形之丙乙甲丁二線為平行線其度
等見本卷/第四節而丙乙戊丁甲戊二角乙丙
戊甲丁戊二角皆為平行線内相對之
錯角其度俱等見首卷第/二十二節夫丙乙甲丁
二線既等各相對之錯角又等則丙乙
戊丁甲戊二等角相對之戊丙戊丁二
線度與甲丁戊乙丙戊二等角相對之
[002-27b]
戊甲戊乙二線度必皆相等可知矣見/二
[002-28a]
卷第/八節
第六
凡平行線方形内於對角線上或縱或
横正中截開即將此形為兩平分如甲
丙乙丁之方形其甲乙對角線上畫一
戊己線於庚處截開則平分甲丙乙丁
方形為丙戊己乙一段甲戊己丁一段
此二段内之戊甲庚己乙庚兩三角形
[002-28b]
之甲庚乙庚二線相等而戊甲庚己乙
庚之兩角又為平行線内二尖交錯之
角其度相等而甲庚戊乙庚己二尖相
對之角其度又等則此兩三角形度亦
必相等又如甲乙對角線將甲丙乙丁
方形為兩平分則其甲丙乙甲丁乙兩
三角形度必等將此兩相等之三角形
以戊己線截開於甲丙乙形内減甲戊
庚於甲丁乙形内減乙己庚則所餘之
[002-28b]
甲庚己丁乙庚戊丙二形度必等今所
[002-29a]
分各形既俱兩兩相等則甲丙乙丁之
方形為戊己線所截自為兩平分可知
矣
第七
凡四邊形於對角線不拘何處復作相
交二平行線即成四四邊形設如甲丙
乙丁四邊形於對角線之戊處復作一
壬戊己一辛戊庚相交之二平行線即
[002-29b]
成甲戊戊乙丙戊戊丁四四邊形此四
形中之甲戊戊乙二形為對角線上所
成之形丙戊戊丁二形為對角線旁所
成之形此對角線旁所成兩形必俱相
等如丙壬戊庚戊辛丁己兩形之分是
己葢甲丙乙丁之全形因甲乙對角線
平分為兩平分所成之甲丙乙甲丁乙
兩大三角形之分必等其對角線上所
成之一小方形復為甲戊對角線平分
[002-29b]
為兩平分成甲庚戊甲己戊兩小三角
[002-30a]
形此兩小三角形之分亦必等而對角
線上所成之一大方形又為戊乙對角
線平分為兩平分成戊壬乙戊辛乙兩
中三角形此兩中三角形之分亦必等
今將甲丙乙甲丁乙兩大三角形内減
去甲庚戊甲己戊之兩相等小三角形
再減去戊壬乙戊辛乙之兩相等中三
角形所餘對角線旁所成之丙壬戊庚
[002-30b]
戊辛丁己兩四邊形此兩四邊形自然
相等矣
第八
凡兩平行線内同底所成之四邊形其
面積必等如甲己乙辛兩平行線内於
乙丙底作甲乙丙丁一長方四邊形戊
乙丙己一斜方四邉形此兩形雖不同
而所容之分必相等何也試以兩三角
形考之如甲乙戊一三角形丁丙己一
[002-30b]
三角形此兩三角形之甲乙丁丙二線
[002-31a]
等甲戊丁己二線亦等甲丁戊己二線/俱與乙丙平行
而度分相等若於甲丁戊己二線各加/一丁戊線即成甲戊丁己線其度自然
相/等而戊甲乙己丁丙二角為甲乙丁丙
平行線一邊之内外角其度又等則此
兩三角形自然相等可知矣今於兩三
角形内各減去丁戊庚則所餘之甲乙
庚丁戊庚丙己二形之分必等復於此
二形内毎加一庚乙丙形則成甲乙丙
[002-31b]
丁戊乙丙己之兩四邊形其面積必然
相等也
第九
兩平行線内無論作幾四邊形其底度
若等則面積必俱等如甲乙丙丁二平
行線内作甲丙己戊庚辛丁乙兩平行
線四邊形其丙己辛丁兩底度相等則
其積亦等試自丙己底至庚乙畫二直
線即成一庚丙己乙斜四邊形此斜四
[002-31b]
邊形既與甲丙己戊四邊形同出於丙
[002-32a]
己之底即同前節两形面積俱等矣至
於庚辛丁乙與庚丙己乙又同出於庚
乙之底故此两形面積亦俱等觀此兩
兩相等則甲丙己戊庚辛丁乙兩形之
面積相等明矣
第十
凡兩平行線内同底所成之各種三角
形其面積俱等如甲乙丙丁兩平行線
[002-32b]
内於丙丁底作甲丙丁一三角形己丙
丁一三角形此兩三角形之面積必等
何也自丁至戊作一直線與甲丙平行
再自丁至乙作一直線與己丙平行即
成甲丙丁戊己丙丁乙兩四邊形此二
形既同出於丙丁底其面積相等而甲
丙丁己丙丁兩三角形為平分兩四邊
形之一半其面積亦必相等矣
第十一
[002-32b]
兩平行線内無論作幾三角形其底度
[002-33a]
若等其面積亦俱等如甲乙丙丁二平
行線内作甲丙戊庚戊己兩三角形其
丙戊戊己兩底度相等故其面積亦等
今自戊至辛作一直線與甲丙平行又
自己至乙作一直線與庚戊平行即同
前節成面積相等之兩四邊形而此甲
丙戊庚戊己兩三角形為面積相等兩
四邉形之各一半則此两三角形之面
[002-33b]
積必等可知矣
第十二
凡有幾三角形其底若俱在一直線而
各底相對之角又共遇於一處則其衆
三角形必在二平行線之間如甲乙丙
甲丙丁甲丁戊甲戊己四三角形其乙
丙丙丁丁戊戊己各底俱在一庚辛直
線上而各底相對之角又皆遇於甲處
則此四三角形俱同在庚辛壬癸二平
[002-33b]
行線之間矣
[002-34a]
第十三
凡等邊等角各形内五邊者為五角形
六邊者為六角形邊愈多角愈多者俱
隨其邊與角而名之焉
第十四
多邊多角形自角至心作線凡有幾界
即成幾三角形設如辛七邊形自心至
邉七角作七線即成七三角形而此各
[002-34b]
三角形之分俱相等也
第十五
欲知衆邊形各邊角之度將邊數加一
倍得數減四其所餘之數即為各邊角
度也如辛七邉形以七邊數加一倍共
為十四十四内減四所餘之十即為十
直角數為此七邊形之各邊角之總度
也何也假如辛形自心至七角作七線
成七三角形凡三角形之三角與二直
[002-34b]
角等見二卷/第四節則此七三角形之各三角
[002-35a]
度共與十四直角等其七三角形之辛
心所有之七角又與四直角等見首卷/第十五
節/若將十四直角内減四直角乃餘十
直角則此十直角與衆邊形之各邊角
之總度相等可知矣
[002-36a]
幾何原本四
第一
凡有直線切於圜界而不與圜界相交
者謂之切線如甲乙丙線切於丁圜乙
界其線雖自甲過乙至丙而與圜界不
出入相交此甲乙丙線即為圜之切線
也又如一圜與一圜界相切而不相交
則謂之切圜假如戊圜與己圜於庚界
[002-36b]
相切二界總未相交故又謂之切圜也
第二
凡一直線横分圜之兩界謂之弦線其
所分圜界之一段謂之弧此弧與弦相
交所成之二角謂之弧分角如甲丙線
横分甲乙丙丁圜界於甲丙則甲丙線
為弦其所分之甲丁丙一段甲乙丙一
段皆謂之弧而甲丙弦與甲乙丙弧相
交所成之甲丙乙丙甲乙二角即謂之
[002-36b]
弧分之角焉
[002-37a]
第三
凡自一圜弦線之兩頭復作二直線相
遇於圜界之一處其所成之角謂之圜
分内角又謂之弧分相對之界角也如
甲乙丁丙圜之甲乙丙一段自乙丙弦
線之兩頭各作一直線於甲處相遇其
所成之乙甲丙角即圜分内角然此甲
角與乙丁丙弧相對故又為弧分相對
[002-37b]
之界角也
第四
凡一圜有二輻線截弧之一段所成之
三角形謂之分圜面形如甲圜自甲心
至圜界乙丙二處作甲乙甲丙二輻線
所成之甲丙乙三角形即為分圜面形
也
第五
凡自圜之輻線之末與圜界相切作一
[002-37b]
垂線則此垂線與輻線之末在圜界僅
[002-38a]
一㸃相切其他全在圜外即如甲圜之
甲乙輻線於乙末作一丙乙垂線則此
丙乙垂線與甲乙輻線俱在圜界乙處
之一㸃相切而此垂線之丁等處俱在
圜外也若自圜之甲心至丁作一甲戊
丁線此線必長於甲乙輻線如二卷第/十三節云
因其長於輻線必出於圜界之外此甲
戊丁線既出於圜界之外則丙乙線全
[002-38b]
在圜外可知矣
第六
圜弦線上自圜心作一垂線則將弦線
為兩平分如乙丙弦自圜心甲至弦線
丁作一垂線必將乙丙弦為兩平分成
乙丁丁丙二段若自甲心至弦線乙丙
二末作二輻線成一甲乙丙三角形此
三角形之甲乙甲丙二線為一圜之輻
線其度必等此二輻線既等則甲乙丙
[002-38b]
三角形内甲丁垂線所分之乙丁丁丙
[002-39a]
二段亦必等矣若將垂線引長至弧界
戊作線則又將乙丙弧界為兩平分矣
第七
凡自圜外一處至圜界兩邊作二切線
此二線之度必等如自圜外甲至圜界
乙丙兩邊作甲乙甲丙二切線此二線
之度相等今於圜心丁至圜界乙丙二
切線之末作二輻線則此二輻線為甲
[002-39b]
乙甲丙之垂線矣如本卷第/五節云因其為垂
線則甲乙丁甲丙丁之二角必同為直
角見首卷/第十節再自丙至乙作一弦線即成
丁乙丙甲乙丙兩三角形丁乙丙三角
形之丁乙丁丙二線同為圜之輻線其
度必等因其相等故丁乙丙丁丙乙二
角亦必等夫甲乙丁甲丙丁二角原相
等此二角内減去丁乙丙丁丙乙二角
則所餘之甲乙丙甲丙乙二角亦自相
[002-39b]
等此二角既俱相等則甲乙甲丙二切
[002-40a]
線為等角傍之兩界線自然相等無疑
矣
第八
凡圜内兩弦線若等其分圜弧面之積
必等自心至兩弦所作垂線亦必等如
甲圜之丙乙丁戊二弦之度若等則所
分丙己乙辛丁庚戊壬二弧面積必等
自此圜之甲心至丙乙丁戊二弦各作
[002-40b]
甲壬甲辛垂線其度亦必等何也如自
甲心至丙乙丁戊二弦之末各作輻線
即成甲丙乙甲丁戊兩三角形此兩三
角形之各界線必兩兩相等則此兩三
角形内相等線所對之角亦必相等見/二
卷第/七節角既相等則等角相對弧界之丙
己乙丁庚戊二段亦必相等見首卷第/十二節
丙己乙丁庚戊二弧線既等丙乙丁戊
二弦線又等則丁庚戊壬之弧面積與
[002-40b]
丙己乙辛之弧面積自然相符矣又甲
[002-41a]
辛甲壬二垂線將丙乙丁戊二弦為兩
平分則丙辛乙辛丁壬戊壬之四線亦
俱等三角形之各界線既兩兩相等而
三角形内各角又兩兩相等則平分丙
乙丁戊二弦之甲辛甲壬之度自然相
等矣
第九
凡弦線之所屬有三種一為弧之切線
[002-41b]
一為弧之割線一為弧之弦線欲取弧
界各角之度用此三線求之必得也如
甲圜之甲乙輻線于乙末作丙乙垂線
復自圜心甲至圜界戊割出至丙乙垂
線丁分作甲丁線又從圜界戊至甲乙
輻線作戊己垂線則成三種線此三線
内丁乙線為乙戊弧之切線甲丁線為
乙戊弧之割線戊己線為乙戊弧之正
弦凡欲得各角弧界之度必於此三種
[002-41b]
線取之如欲取乙甲戊角相對弧度則
[002-42a]
自與甲角相對乙戊弧之丁乙切線取
之或自乙戊弧之甲丁割線取之或自
乙戊弧之戊己正弦取之皆得乙戊弧
之度數焉
第十
一圜界内任於圜界一段至圜心作二
線至圜界作二線即成二角在圜心者
為心角在圜界者為界角設如甲乙丁
[002-42b]
圜自甲乙一段至丙心作甲丙乙丙二
線仍自甲乙至丁界作甲丁乙丁二線
成甲丙乙甲丁乙二角其甲丙乙角為
心角甲丁乙角為界角也
第十一
圜内之心角界角同立圜界之一段而
各角之二線所成之式又分為三種有
界角心角同用一線者有界角心角不
同用一線者有界角二線跨心角二線
[002-42b]
者總之此三種心角皆大於界角一倍
[002-43a]
如有三圖圜心之甲丙乙角皆自圜界
甲乙一段作甲丙乙丙二線圜界之甲
丁乙角亦自圜界甲乙一段作甲丁乙
丁二線則第一圗之甲丁乙界角之乙
丁線同立於甲丙乙心角之乙丙線上
而甲丙乙心角為甲丙丁三角形之外
角與甲丁丙丙甲丁二内角等見二卷/第五節
其甲丙丙丁二線又為一圜之輻線其
[002-43b]
度亦等此二線既等則甲丁丙丙甲丁
二角亦必等見二卷/第九節今甲丙乙之外角
既與甲丁丙丙甲丁二内角等則甲丙
乙心角大于甲丁乙界角一倍可知矣
如第二圖甲丁乙界角之乙丁線不同
立于甲丙乙心角之乙丙線上而甲丙
乙心角在甲丁乙界角甲丁丁乙二直
線之外則自丁角過圜之丙心至對界
作一丁丙戊全徑線即成甲丙戊一大
[002-43b]
心角乙丙戊一小心角甲丁戊一大界
[002-44a]
角乙丁戊一小界角其甲丙戊大心角
即如第一圖必倍於甲丁戊大界角而
乙丙戊小心角亦必倍於乙丁戊小界
角於甲丙戊大心角内減去乙丙戊小
心角甲丁戊大界角内減去乙丁戊小
界角則所餘之甲丙乙心角必大於所
餘之甲丁乙界角一倍矣如第三圖甲
丁乙界角之二線正跨於甲丙乙心角
[002-44b]
二線之上而甲丙乙心角在甲丁乙界
角甲丁丁乙二直線之間則自丁角過
圜之丙心至對界作丁丙戊全徑線即
成甲丙戊乙丙戊二心角甲丁戊乙丁
戊二界角此甲丙戊心角必倍於甲丁
戊界角乙丙戊心角亦必倍於乙丁戊
界角以甲丙戊乙丙戊二心角併之乃
甲丙乙一心角以甲丁戊乙丁戊二界
角併之乃甲丁乙一界角今所分之二
[002-44b]
心角既各倍於所分之界角則此所併
[002-45a]
之甲丙乙心角必倍於所併之甲丁乙
界角矣
第十二
凡自圜之弧線一段任作相切界角幾
何其度必俱相等如甲乙丁丙之圜自
甲乙弧線一段至圜界丙丁作相切之
甲丙乙乙丁甲二界角此二角之度必
俱相等試自圜之戊心至圜界甲乙作
[002-45b]
二輻線即成甲戊乙一心角此甲戊乙
之心角與甲丙乙乙丁甲界角俱同一
圜弧線之一段則心角必倍於界角然
則甲丙乙乙丁甲二界角既俱為甲戊
乙心角之一半則此二角之度必等可
知矣
第十三
凡圜内心角所對弧線之度比界角所
對弧線之度少一半則二角之度必等
[002-45b]
如甲丙戊丁圜内有甲乙丙一心角甲
[002-46a]
丁戊一界角而甲乙丙心角相對甲丙
弧線之度比甲丁戊界角相對甲戊弧
線之度少一半則甲乙丙心角之度必
與甲丁戊界角之度相等試自丁角過
圜之乙心至對界作丁乙己全徑線復
自乙心至戊界作乙戊半徑線即成甲
乙己己乙戊二心角甲丁己己丁戊二
界角其甲乙己心角必倍於甲丁己界
[002-46b]
角而己乙戊心角亦必倍於己丁戊界
角今以甲乙己己乙戊二心角相併甲
丁己己丁戊二界角亦相併則甲乙己
己乙戊二心角所併之度必倍於甲丁
己己丁戊二界角所併之度矣是以甲
丁戊一界角必得甲乙己己乙戊二心
角所併之一半夫甲丙弧線既為甲戊
弧線之一半而甲乙丙角又為甲乙己
己乙戊二心角所併之一半則甲乙丙
[002-46b]
心角度必與甲丁戊界角之度相等矣
[002-47a]
第十四
凡圜内界角立於圜界之半者必為直
角如甲乙丙丁圜内之甲乙丙界角立
於甲丁丙圜界之正一半則此甲乙丙
角必然為直角也自甲丁丙之半圜於
丁界為兩平分復自丁界至圜心戊作
丁戊輻線即成甲戊丁角其相對之甲
丁弧為圜界四分之一既為圜界四分
[002-47b]
之一則必為直角如首卷第/十節云夫心角相
對弧線若為界角相對弧線之一半其
二角之度相等矣如本卷第/十三節云今甲戊丁
心角相對之甲丁弧線既為甲乙丙界
角相對之甲丁丙弧線之一半則甲戊
丁心角度必與甲乙丙界角度相等且
甲丁弧線既為圜界四分之一而甲丁
丙弧線又為圜界之正一半則甲戊丁
心角為直角而甲乙丙界角亦必為直
[002-47b]
角矣
[002-48a]
第十五
凡圜内界角其所對之弧過於圜界之
半者必為鈍角如甲乙丙戊圜内之甲
乙丙界角其相對之甲戊丙弧大於圜
界之一半故其相對之甲乙丙角為鈍
角也試將甲戊丙弧平分於戊為甲戊
戊丙兩段復自圜心丁至甲戊作二輻
線即成甲丁戊一心角其甲戊丙弧分
[002-48b]
既大於半圜則此甲戊弧線一段亦大
於圜之四分之一矣故此甲戊弧線相
對之甲丁戊心角必為鈍角見首卷第/十一節
夫心角相對之弧線比界角相對之弧
線少一半則二角之度必相等如本卷/第十三
節/云今甲丁戊心角相對之甲戊弧線正
為甲乙丙界角相對甲戊丙弧線之一
半則甲乙丙界角自然與甲丁戊心角
等矣夫甲丁戊心角既為鈍角則甲乙
[002-48b]
丙界角亦必為鈍角矣
[002-49a]
第十六
凡圜内界角其所對之弧不及圜界之
半者必為鋭角如甲乙丙戊圜内之甲
乙丙界角其相對之甲戊丙弧小於圜
界之一半故其相對之甲乙丙角為鋭
角也試將甲戊丙弧平分於戊為甲戊
戊丙兩段復自圜心丁至甲戊作二輻
線即成甲丁戊一心角此心角所對之
[002-49b]
甲戊弧線既不足圜界四分之一則此
甲丁戊心角必為鋭角矣見首卷第/十一節此
甲丁戊心角所對之弧比之甲乙丙界
角所對之弧為一半則此二角之度必
等夫甲丁戊心角既為鋭角則甲乙丙
界角亦必為鋭角矣
第十七
凡函圜各界形之各線與圜界相切而
不相交則謂之函圜切界形如甲乙丙
[002-49b]
三角形之甲乙乙丙丙甲三界線俱在
[002-50a]
庚圜界之丁己戊三處相切而不相交
故謂之函圜切界三角形又若甲乙丙
丁四方形之甲乙乙丙丙丁丁甲四界
線俱在戊圜界之己庚辛壬四處相切
而不相交則謂之函圜切界四邊形觀
此二圖則知函圜各界形必大於所函
圜界形之分矣
第十八
[002-50b]
凡圜内直界形之各角止抵圜界而不
割出則謂之圜内所函各邊形如甲乙
丙三角形之甲角乙角丙角俱與丁圜
界相抵而不曾割出即謂之圜内所函
三角形又如甲乙丙丁四方形之甲角
乙角丙角丁角俱與戊圜界相抵而不
割出則謂之圜内所函四邊形觀此二
圖則知函於圜界各界形必小於圜界
形之分矣
[002-50b]
第十九
[002-51a]
凡等邊衆界形或函圜或函於圜其界
數愈多愈與圜界相近如甲圜形函乙
丙丁等邉三角形又函乙己丙庚丁戊
等邉六角形以三角形之三邊比之六
角形之六邊則六角形之六邉與圜界
相近矣設有十二角形之十二邊比此
六角形之六邊則十二角之十二邊又
與圜界為近若有二十四角之二十四
[002-51b]
邊則又更近於十二角之十二邊矣葢
函衆界形之度必大於所函之衆界形
度見本卷第十/七十八兩節今甲圜既函等邊六角
形自大於六角形而此六角形又函等
邉三角形亦必大於三角形由此推之
十二角函六角二十四角函十二角其
邊愈多者其度愈大故與圜界愈近也
又如復有一函圜等邊四角形内又作
一函圜等邊八角形此四角形既函八
[002-51b]
角形必大於八角形可知矣若於八角
[002-52a]
形内復作十六角形十六角形内又作
三十二角形其所函形愈小邉數愈多
則與所函之圜界度愈近矣苟設一函
於圜界之多邉形為幾十萬邉設函於/圜界之
多邉形一自六邉起/算一自四邉起算復設一函圜界之
多邉形亦為幾十萬邉設函圜界之多/邉形亦一自六
邉起算一自/四邉起算使此函圜之多邉形自外
與圜界相比而函於圜界之多邉形自
[002-52b]
内與圜界相比則此二多邊形之每邊
直界線將與圜界曲線合而為一故圜
界曲線可得直線之度而多邉形之直
線亦可得為圜界度也
第二十
函圜切界等邊形其所函圜之輻線度
與一直角三角形之小邊之度等而等
邉形之衆界共度又與三角形之大邊
之度等則三角形之面積與等邊形之
[002-52b]
面積等如丙丁戊己庚等邉五角形其
[002-53a]
所函甲圜之甲乙輻線與辛壬癸直角
三角形之辛壬小邉線度等而五角形
之丙丁戊己庚五邉線共度又與三角
形之壬癸大邉線度等則此辛壬癸三
角形面積必與丙丁戊己庚等邉五角
形面積等也何以見之若自五邊形之
甲心至丙丁戊己庚之五角作甲丙甲
丁甲戊甲己甲庚五線即分成甲丙丁
[002-53b]
類五三角形夫辛壬癸三角形之壬癸
線度既與五角形之五邉共度等今將
壬癸線平分五分以所分之每分為底
依前所分五三角形式作甲壬丙類五
正式三角形復自所分丙丁戊己四處
俱至三角形之辛角作丙辛丁辛戊辛
己辛四線遂分辛壬癸一三角形為辛
壬丙類五斜式三角形再自甲壬丙類
五三角形之甲角至底各作一甲乙垂
[002-53b]
線俱與圜之輻線等則甲壬丙相等之
[002-54a]
五三角形之髙度亦自相等矣於是復
自辛壬癸三角形之辛角與五甲角相
切作一辛子線與壬癸為平行線則此
平行線内同底所成之各種三角形之
面積必俱相等矣見三卷/第十節葢辛壬丙甲
壬丙兩三角形為同底辛丙丁甲丙丁
兩三角形為同底辛丁戊甲丁戊兩三
角形為同底辛戊己甲戊己兩三角形
[002-54b]
為同底辛己癸甲己癸兩三角形為同
底故其面積俱相等也且辛壬丙三角
形與甲壬丙三角形既俱相等則辛壬
丙之類五斜式三角形之面積即如甲
壬丙之類五正式三角形之面積矣其
所分各形之面積俱等則其全形之面
積自然相等此所以辛壬癸直角三角
形之面積與丙丁戊己庚等邉五角形
之面積相等也
[002-54b]
第二十一
[002-55a]
圜界内函等邊衆界形其圜心至衆界
所作中垂線與一直角三角形之小邉
之度等而等邊衆界形之衆界共度又
與直角三角形之大邊之度等則此三
角形之面積與等邊衆界形之面積等
如甲圜所函乙丙丁戊己庚等邉六角
形其圜之甲心至衆界所作甲辛垂線
與壬癸子直角三角形之壬癸小邉線
[002-55b]
度等而六角形之乙丙丁戊己庚六邉
線共度又與三角形之癸子大邉線度
等則此壬子癸三角形面積必與乙丙
丁戊己庚等邉六角形面積等也若依
前節法將六邉形分為六三角形復以
三角形之癸子界照六邉形度分為六
分又照六邊形所分六三角形作六正
式三角形復自壬子癸三角形之壬角
至乙丙丁戊己五處作五斜線成六斜
[002-55b]
式三角形此兩式三角形同底又同在
[002-56a]
二平行線内則其面積必兩兩相等此
兩式六三角形之垂線既與壬癸子直
角三角形之壬癸小邉線度等而兩式
六三角形之底線共度又與壬子癸直
角三角形之癸子大邉線度等則壬癸
子直角三角形之面積必與乙丙丁戊
己庚等邉六角形之面積相等矣
第二十二
[002-56b]
凡圜形之輻線與一直角三角形之小
邊線度等而圜之周界與三角形之大
邉線度等則此直角三角形之面積與
圜形之面積相等如有一甲圜形其甲
乙輻線與丙丁戊直角三角形之丙丁
小邉線度等而甲圜形之乙周界又與
丙丁戊三角形之丁戊大邉線度等則
此丙丁戊三角形之面積即與甲圜形
之面積相等也何以見之甲圜之輻線
[002-56b]
與三角形之小邉等者即如等邉衆界
[002-57a]
形之中垂線與三角形之小邉等也甲
圜之周界與三角形之大邉等者即如
等邉衆界形之各界共度與三角形之
大邉等也若夫函圜衆界形相等之三
角形其小邊雖與圜之輻線等其大邉
則長於圜之周線故其積分亦大於圜
之積分而函於圜衆界形相等之三角
形其小邉既短於圜之輻線而大邊亦
[002-57b]
短於圜之周線故其積分亦小於圜之
積分今此甲圜形相等之丙丁戊三角
形其小邊既與圜之輻線等面三角形
之大邉又與圜之周線等則其積分與
圜形之積分相等無疑矣然圜周界曲
線也等邉衆界形之界度直線也觀之
似難於相通者如以圜之内外各設多
邉衆界形分為千萬邉如本卷第/十九節云則逼
圜界最近將合而為一乃依所分之段
[002-57b]
為千萬正式三角形此千萬正式三角
[002-58a]
形之中垂線亦將與圜之輻線合而為
一而千萬邉共界度既與圜周合而為
一則圜周之曲線亦變而為直線矣夫
千萬邉正式三角形之中垂線既成圜
之輻線則與丙丁戊三角形之小邊等
而千萬邉正式三角形之底界共度又
成圜之周度則又與丙丁戊三角形之
大邊度等矣復自丙丁戊三角形之丙
[002-58b]
角至千萬正式三角形之底界各作千
萬斜式三角形以比正式三角形因其
㡳同其分自相等故千萬斜式三角形
之共積比之千萬正式三角形之共積
千萬正式三角形之共積比之丙丁戊
一直角三角形之面積丙丁戊直角三
角形之面積比之甲圜形之面積俱相
等也
第二十三
[002-58b]
有一圜形又一衆界形此圜界度若與
[002-59a]
彼衆界總度等則圜形之面積必大於
衆界形之面積也如甲乙丙丁圜形之
周界與戊己庚辛等邊四角形之四邉
總度等則圜形之面積必大於等邉四
角形之面積矣前言凡圜形之輻線與
一直角三角形之小邉線度等而圜之
周界與三角形之大邉線度等則三角
形之面積與圜形之面積相等矣今試
[002-59b]
以甲乙丙丁圜形周界為三角形之大
邉以甲乙丙丁圜形之甲壬輻線為三
角形之小邉作一子丑寅直角三角形
則三角形之丑寅大邉線度亦與戊己
庚辛四角形之四邉總度等而三角形
之子丑小邉線度雖與圜形甲壬輻線
等却比四角形之自壬心至癸邉所作
垂線為長若將三角形之子丑小邉線
照四角形之壬癸垂線度截開則分子
[002-59b]
丑線於卯復自卯至寅作一斜弦即成
[002-60a]
卯丑寅一直角三角形而此卯丑寅三
角形之分與戊己庚辛四角形相等也
此卯丑寅三角形自子丑寅三角形分
之則卯丑寅形必小於子丑寅形今甲
乙丙丁圜形之面積既與子丑寅三角
形之面積等而戊己庚辛四角形之面
積又與卯丑寅三角形之面積等則戊
己庚辛四角形之面積必小於甲乙丙
[002-60b]
丁圜形之面積可知矣觀此凡界度相
等之形圜界所函之分比衆界所函之
分必大而衆界所函之分與圜界所函
之分同者則衆界之總度復比圜界度
大也
[002-61a]
㡬何原本五
第一
平面之上所立直線無少偏倚其各邊
所生之角必俱直則謂之平面上所立
垂線也如甲乙之平面正立一丙丁線
不偏不倚此即為平面上所立之垂線
矣
第二
[002-61b]
凡兩平面相對其所立衆垂線度俱各
相等則此相對之平面謂之平行面也
如甲乙丙丁二平面間所有戊己衆垂
線之度俱相等此甲乙丙丁二平面即
為平行面矣
第三
平面上復立一平面無少偏倚其兩邊
所成之角必皆為直角則謂之平面上
所立直面也如甲乙平面上所立之丙
[002-61b]
丁平面無偏無倚兩邊亦俱成直角此
[002-62a]
即為平面上所立之直面矣
第四
凡各面相合其每面之角所合處復成
一種體角則謂之厚角夫厚角必自三
面合之乃成其面多者為各瓣相併所
成之厚角也如甲圖四面為四瓣相併
所生之厚角乙圖五面為五瓣相併所
生之厚角是己
[002-62b]
第五
凡各面相併所成之厚角如將各面計
之則其衆角所合之分必不足於四直
角度也如甲圖五面合成之厚角若將
其五面展開使平作乙丙丁戊己平面
之五瓣復以甲為心作一甲圜其乙丙
丁戊己之五瓣相離處不能滿甲圜之
周界矣因其不滿於圜之周界故比四
直角為不足也或以四直角分强欲作
[002-62b]
一厚角則其瓣過於大必不能成平面
[002-63a]
所合之厚角矣
第六
凡等邊三面所合厚角其三面内之兩
面角倂之必大於一直角度也如甲丙
乙丁之等邉三面所合之甲厚角將乙
甲丙丙甲丁二面倂之必大於一直角
度矣依前節法將甲厚角展開使平雖
不足四直角之度而乙甲丙丙甲丁之
[002-63b]
二而併之則較之一直角度為大焉何
以見之夫三面展開其所離之虛分仍
有三面之分以三面之實分合三面之
虛分則為六角之全形此六角之全形
得四直角度矣六角而得四直角則三
角必得二直角三角既得二直角則二
角相倂必大於一直角可知矣
第七
凡平面二線交處作一垂線正立而無
[002-63b]
偏倚此線任在平面各處俱為垂線如
[002-64a]
甲乙丙丁平面上甲丙丁乙二線相交
己處作一戊己垂線正立而不偏倚則
此戊己線任在甲乙丙丁平面上某一
處俱為垂線也假使戊己垂線不能正
立而有所偏倚則如壬己線近於辛而
離於庚矣壬己線既近於辛而離於庚
則偏向於丁丙而逺於甲乙而壬己丁
壬己丙之二角為鋭角壬己甲壬己乙
[002-64b]
之二角為鈍角矣戊己既如壬己則不
得謂之甲丙丁乙二線相交處正立之
垂線矣
第八
衆線交處立一垂線其各角若俱直此
所交各線必在一平面也如甲丙乙丁
庚辛之三線相交處立一戊己垂線其
與衆線相接各角若俱直則此相交之
三線必在一平面也夫衆線之相交固
[002-64b]
在平面而垂線之所立正所以考面或
[002-65a]
一角不直則不得謂之平面矣
第九
平面上若立二垂線必互為平行線如
甲乙丙丁之平面上立戊己庚辛二垂
線則此二線互為平行線也試自辛過
己至壬作一辛壬線則戊己庚辛二垂
線所立之分必正其在甲乙丙丁平面
上任指何處所生之角俱是直角見本/卷首
[002-65b]
節/故戊己壬庚辛己二角俱為直角而
相等也且此二角又為二線與一線相
交所成之内外角其度既等則戊己庚
辛二線必為平行線矣如首卷第/二十一節
第十
有二線與一垂線平行雖不在平面之
一界此三線亦互相為平行線也如甲
乙丙丁二線俱與戊己一垂線平行不
立於一直線上雖不居平面之一界此
[002-65b]
三線亦必互為平行線也試於甲乙丙
[002-66a]
丁戊己三線之末作一庚辛平面此平
面上之戊己線為垂線其四圍平面所
生之各角俱是直角矣復自乙過己自
丁過己作相交二線則成甲乙己戊己
壬二角丙丁己戊己癸二角此各二角
俱為平行線一邉之内外角俱為相等
角矣見首卷第/二十一節而甲乙己丙丁己二角
亦俱為直角夫甲乙丙丁二線在庚辛
[002-66b]
平面上所生之角皆直又皆與戊己垂
線所生之角等則甲乙丙丁二線亦皆
得為垂線其與戊己線為互相平行之
三線可知矣
第十一
相對二平面之間横一直線此線在二
平面上所生角若俱直則此相對二面
互相為平行面也如甲辛乙庚丙癸丁
壬二平面之間横一戊己直線此戊己
[002-66b]
線末所抵處其四圍俱成直角則此二
[002-67a]
平面互相為平行面矣試將此二平面
之戊己横線所抵之處作甲乙庚辛相
交二線丙丁壬癸相交二線則戊己横
線於二平面各界所生之角俱為直角
如甲乙丙丁二線與戊己横線相抵所
生之甲戊己戊己癸二尖交錯之角相
等故甲乙丙丁相當之二線為平行矣
又如辛戊己戊己丙二尖交錯之角亦
[002-67b]
相等故庚辛壬癸相當二線亦為平行
矣相對二平面之上所有之相當各二
線既俱同為平行線則相對之二平面
自然互為平行面矣
第十二
有二平行面橫交一面其相交處所生
二線必平行如甲乙丙丁平行二面上
横交一戊己平面其庚辛壬癸之相交
處所生二線亦俱平行也何以言之庚
[002-67b]
辛壬癸平面相交處所生二縫既在甲
[002-68a]
乙丙丁二平面之上自然與甲乙丙丁
二面之甲丑子乙丙卯寅丁之各線同
為平行線且又在戊己一平面内其分
自然相對故此二平面與一平面相交
之縫線亦得為平行也
第十三
凡各種面内所積之實為體而皆因其
面以名之焉如全體不成角度止現圓
[002-68b]
之圓面則謂之圓體甲乙圖是也全體
各面俱平各邊相等所成各角又等則
謂之平面正方體丙丁圖是也全體各
面雖平體長而面成兩式其相對各面
仍兩兩相等相對各邊則又平行角又
相等此謂之平行長方體戊己圖是也
體有曲平兩面相雜而不成等邊等面
則謂之底平半圓體庚辛圖是也全體
相對之各面不平行上下兩面平行則
[002-68b]
謂之上下面平行體壬癸圖是也體圓
[002-69a]
而上下面俱平則謂之長圓體子圖是
也底為平面其各面俱合於一角而成
厚角則謂之尖瓣體底三角者謂之三
瓣尖體底四角者謂之四瓣尖體底衆
角者謂之衆瓣尖體如丑寅卯三圖是
也又或底面圓而漸鋭成形則謂之尖
圓體辰圖是也
第十四
[002-69b]
凡圓體長圓體尖圓體俱生於圜面故
其外皮面積亦生於圜界一旋轉之度
分耳如取甲乙丙丁之圓形則以甲乙
徑線為樞心將甲丙乙半圓作轉式旋
轉復還於原處即成甲丙乙丁一圓形
體如取甲乙戊己平行面之長圓形則
以甲乙中線為樞心將丙丁線界作轉
式旋轉復還於原處即成甲乙戊己一
長圓體如取甲丙丁平底尖圓形則以
[002-69b]
甲乙中線為樞心將甲丁邉線作轉式
[002-70a]
旋轉復還於原處即成甲乙丙丁一尖
圓體矣
第十五
凡各體形其各面平行相當則相對兩
邊面積俱相等如甲乙丙丁之正方體
其甲戊庚丁甲己戊丙甲丙乙丁六面
俱各平行故相對二面之積自兩兩相
等也
[002-70b]
第十六
凡體面式不一而積等者為積數相等
之體面式既同而體積又等者爲面式
體積全等之體如甲乙二體為積數相
等之體也丙丁二體為面式體積全等
之體也
第十七
凡平行面之長方體自一面之對角線
平分為兩三稜體此兩三稜體必爲面
[002-70b]
式體積全等之體矣如甲乙平行面長
[002-71a]
方體自丙丁二角至相對戊己二角分
為兩段成戊丙乙丁己甲兩三稜體為
面式體積全等體也試以甲丙庚戊辛
丁乙己兩平面形自戊丙丁己兩對角
線均分為兩三角形面則所分之戊庚
丙己乙丁丙甲戊丁辛己四三角形面
積俱相等而丙乙甲己甲丁戊乙各面
又互為平行必兩兩相等再對角線分
[002-71b]
成之丙丁己戊戊己丁丙二面原在一
界所分必各相等今所分二形之各面
既各相等則其積必等而為面式體積
全等體無疑矣
第十八
凡平行二平面之間若同底立各平行
體其積必相等設甲乙丙丁平行二平
面之間於戊己庚辛底立壬庚癸己二
平行體其積俱相等何也葢因壬戊己
[002-71b]
子丑寅平面三角形之壬戊己子面與
[002-72a]
卯辛庚辰癸午平面三角形之卯辛庚
辰面平行而壬戊己子丑寅平面三角
形之丑戊己寅面與卯辛庚辰癸午平
面三角形之癸辛庚午面平行故其各
面之度相等其壬子辰卯之面與丑寅
午癸一面俱與戊己庚辛一面平行其
度亦必相等此二面之度既等則壬子
寅丑卯辰午癸二面之度亦必俱等其
[002-72b]
上下各面度既等而平面兩三角形之
各面各邉度又俱等則此壬庚癸己二
平行體之積必然相等也可知矣
第十九
凡平行平面之間所有立於等積底之
各平行體其積必俱相等設如甲乙丙
丁平行二平面之間有戊己庚辛壬癸
子丑二等積之底立一寅庚正靣平行
體一卯子斜面平行體此二體之積必
[002-72b]
相等試自寅庚正面平行體之戊己庚
[002-73a]
辛底至卯子斜面平行體之卯辰午未
面復作一卯庚斜面平行體則寅庚卯
庚二體立於戊己庚辛之一底其積相
等矣如前節/所云而卯子卯庚二體又同立
於卯辰午未之面其積亦必相等是以
寅庚正面平行體卯子斜面平行體俱
與卯庚平行體相等故云凡平行平面
之間所有立於等積底之各平行體其
[002-73b]
積必俱相等也
第二十
平行平面之間有立於等積三角底之
各三面體其積必俱等如甲乙丙丁平
行二平面之間有子庚丑寅癸卯等積
三角底立戊庚己辛癸壬之兩三面體
此二體積必相等何以見之若以此二
體之上邊二面之戊辰辰己二界平行
作戊未己未二線辛午壬午二界平行
[002-73b]
作辛申壬申二線又於此二體之下邊
[002-74a]
二面之子庚庚丑二界平行作子酉酉
丑二線寅癸癸夘二界平行作寅戌戌
卯二線則二體所生酉子庚丑戌寅癸
卯四邊平行二底俱在子丑寅卯二對
角線其度相等見三卷/第三節其分比三角面
各大一倍矣復於所作二底邊酉戌二
處作酉未一縱線戌申一縱線即成未
庚申癸平行面二方體矣其酉子庚丑
[002-74b]
戌寅癸卯二底既俱相等則所生之未
庚申癸平行面之二方體亦自相等見/本
卷第十/九節此未庚申癸平行面二方體既
各相等則戊庚己辛癸壬之三面體為
未庚申癸二方體之正一半其積必等
無疑矣
第二十一
凡各種體形難以圖顯葢以圖止一面
故也必用木石製之始能相肖况此各
[002-74b]
種形體又或有外實而内空者必按其
[002-75a]
形以求其理始可發明其精藴矣
第二十二
凡各面所成體形内其各面俱平行或
上下面為平行而立於等積之底其體
之髙又等則其體之積亦相等如甲乙
體其各面俱平行又如丙丁體其上下
面平行立於等積之底其髙又等或又
如戊己體其上下面平行圓面積又等
[002-75b]
髙又等則其兩兩體積必相等矣又如
庚辛壬癸之類尖體形苟立於等積之
底其體之髙若等則其體之積亦相等
何以見之若將衆尖體分為平行底之
衆小體其所分衆小體之底度髙度必
俱相等如子丑圖其所分小體之積俱
等故其全體之積亦相等也
第二十三
凡上下面平行各體與平底尖體同底
[002-75b]
同髙者不論平面圓面其平底尖體皆
[002-76a]
得上下面平行體三分之一如甲乙上
下面平行之長方體與丙丁四瓣尖體
其乙丁兩底積等甲乙丙丁兩髙度又
等則甲乙長方體與丙丁尖體三形等
如戊己上下面平行之三稜體與庚辛
三瓣尖體其己辛兩厎積等戊己庚辛
兩髙度又等則戊己三稜體與庚辛尖
體三形等又如壬癸上下面平行之長
[002-76b]
圓體與子丑尖圓體其癸丑兩底積等
壬癸子丑兩高度又等則壬癸長圓體
與子丑尖圓體三形等又如壬癸長圓
體與甲乙戊己類體同底同髙則壬癸
長圓體亦與丙丁庚辛類尖體三倍所
合之數等又或子丑尖圓體與丙丁庚
辛類尖體同底同髙則子丑尖圓體三
倍之乃與甲乙一體戊己一體等也夫
同底同髙上下面平行體既俱爲尖體
[002-76b]
之三倍則尖體為上下面平行體三分
[002-77a]
之一可知矣葢甲乙戊己壬癸各體其/式雖不同苟底積高度相
等其積必等而丙丁庚辛子丑各體式/雖不同苟底積高度相等其積亦必等
故知丙丁庚辛子丑平底尖體互爲甲/乙戊己壬癸上下面平行各體三分之
一也如將上下面平行各體以木石為/之分作同底同髙之各平底尖體用權
衡以較其分量則各體/之積分自昭然可見矣
第二十四
凡長圓體外周面積與長方體底面積
相等而長圓體半徑又與長方體高度
[002-77b]
相等則長圓體積必得長方體積之半
也如甲乙丙丁長圓體其周圍外面積
與戊己長方體之庚己底面積等而長
圓體之壬丁半徑又與長方體之戊庚
髙度等則此甲乙丙丁長圓體積必得
戊己長方體積之一半也試將甲乙丙
丁長圓體從壬癸中線至周圍外面分
爲千萬分則成子丑己類千萬長尖體
此千萬長尖體之髙與長圓體之壬子
[002-77b]
半徑等而千萬長尖體之共底即長圓
[002-78a]
體之周圍外面積則此千萬長尖體必
爲戊己長方體之一半矣葢寅己辛三
角面爲午己長方面之一半見三卷/第三節而
此子丑己類衆三角面與寅己辛三角
面等見四卷第/二十節子丑己類衆三角面既
與寅己辛三角面等則子丑己類衆長
尖體亦必與卯辰庚辛己寅三角體等
此卯辰庚辛己寅三角體固爲戊己長
[002-78b]
方體之一半今長圓體所分之衆長尖
體既與卯辰庚辛己寅三角體等則亦
必爲戊己長方體之一半故甲乙丙丁
長圓體爲戊己長方體之一半也
第二十五
凡球體外面積與尖圓體之底積等而
球體之半徑與尖圓體之高度等則此
球體之積與尖圓體之積等也如甲乙
丙丁球體之外面積與己庚辛尖圓體
[002-78b]
之庚子辛癸底積等球體之甲戊半徑
[002-79a]
與尖圓體之己壬高度等則此球體之
積爲與尖圓體之積等也試將球體從
中心分爲千萬尖體復將尖圓體亦分
爲千萬尖體則球體所分尖體毎一分
必皆與尖圓體所分尖體一分等何也
葢球體所分尖體皆以球體之外面爲
底而以球體之甲戊半徑爲高其尖圓
體所分尖體皆以尖圓體之底爲底而
[002-79b]
以尖圓體之己壬高爲高夫尖圓體之
底積原與球體之外面積等而尖圓體
之高度又與球體甲戊半徑等故此兩
種千萬尖體皆爲同底同高其積相等
無疑矣見本卷第/十八節然此兩種千萬尖體
即球體尖圓體之所分其所分之體既
等則原體亦必相等可知故曰球體與
尖圓體俱相等也
第二十六
[002-79b]
凡各形外皮面積相等之體惟圓體所
[002-80a]
函之積數大於他種各體所函之積如
甲乙丙丁外皮面積相等各形内甲圓
體所函之積必大於乙丙丁直界體所
函之積也何也大凡圓形其半圓周一
旋轉間即成圓體此戊己庚半圓周一
次旋轉即成甲圓體見本卷第/十四節又凡平
面圓界所函之積必大於等邉各形所
函之積見四卷第/二十三節平面圓界所函猶大
[002-80b]
於各等邉所函之積則圓體所函必大
於各直界體所函之積可知矣
第二十七
厚角所成等面體形有五種各以面數
而名之其一爲四面體每面有三角各
三角之各三界度俱等如甲圖是也二
爲六面體毎面俱爲正方其方面之四
角俱爲直角而各界互等故又爲正方
體如乙圖是也三爲八面體毎面有三
[002-80b]
角各三角之各三界度俱等如丙圖是
[002-81a]
也四爲十二面體每面有五角各五角
之五界度俱等如丁圖是也五爲二十
面體每面有三角各三角之各三界度
俱等如戊圖是也
第二十八
前節發明五種厚角所成等面體形之
外不能復生他形葢此五種厚角體俱
是等邊三角四角五角之平面相合所
[002-81b]
成也凡平面自三界以下不能成面見/二
卷首/節而厚角自三面以下亦不能成角
故厚角自三面始如甲四面體其四厚
角皆三平面三角形所合而成也乙八
面體其六厚角皆四平面三角形所合
而成也丙二十面體其十二厚角皆五
平面三角形所合而成也然平面三角
形所合過於五形則不能成厚角故平
面六三角形合於一處即成庚形其甲
[002-81b]
乙丙丁戊己六角相合與四直角等見/首
[002-82a]
卷第十/五節既與四直角等則爲平面不成
厚角矣如本卷/第五節六形相合尚不能成厚
角况多形乎是故平面三角形所生厚
角體僅得四面八面二十面三種而已
若夫平面正方四角形所成厚角如丁
六面正方體其八厚角皆三平面四角
形所合而成此外更無他形若將四平
面四角形合於一處即成辛形其甲乙
[002-82b]
丙丁四角既俱爲直角必不能成厚角
矣故四角形所生厚角僅有一六面正
方體而已至於平面五角形所成厚角
如戊十二面體其二十厚角皆三平面
五角形所合而成此外更無他形也或
將四平面五角形如癸子丑寅之四角
合於壬此四角俱爲鈍角必大於四直
角既大於四直角在平面尚不能相合
厚角豈能成耶是以平面五角形所成
[002-82b]
之厚角僅有一十二面體而已或將平
[002-83a]
面六角形之三形合於一處爲癸其甲
乙丙三角度與四直角等故不成厚角
六角平面相合既不成厚角其七角八
角等形愈不能成厚角矣故曰四面六
面八面十二面二十面五種體只在三
角四角五角三種平面形所生此外不
能復成他形也
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御製數理精藴上編卷二
