[020-1a] 
欽定四庫全書
御製數理精蘊下編卷十五
面部五
割圜屢求/勾股
[020-2a]
割圜
周髀曰圓出於方方出於矩矩者所謂直角即勾股
也葢因方易度而圓難測方有盡而圓無盡故古人
用割圜之法内弦外切屢求勾股為無數多邊形以
切近圜界使弧線直線漸合為一而圓周始得是則
推圜者以方推方者以矩矣劉宋祖冲之以圜容六
邊起算元趙友欽以圜容四邊起算自明末西法入
中國又有割圜八線六宗三要等説而圜度内外諸
[020-2b]
線相求之法始偹要之圜内六邊起算者圜徑折半
即圜内六邊之一乃用屢求勾股之法自六邊而十
二邊自十二邊而二十四邊自二十四邊而四十八
邊如是累至億萬邊設徑為一而周得三一四一五
九二六五三有餘圜内四邊起算者則以圜徑為内
容正方之斜弦自乗折半開方而得四邊之一亦用
屢求勾股之法自四邊而八邊自八邊而十六邊自
十六邊而三十二邊如是累至億萬邊設徑為一而
周亦得三一四一五九二六五三有餘圜外四邊起
[020-2b]
算者圜徑即四邊之一圜徑自乗倍之開方即圜外
[020-3a]
正方之斜弦減去圜徑即圜外兩角之餘又即圜外
八邊之一以八邊之一折半為勾半徑為股求得弦
與半徑相減即股弦較又即小同式形之勾乃以八
邊之一折半之勾為一率半徑之股為二率小同式
形之勾為三率推得四率為小同式形之股倍之即
十六邊之一如是累至億萬邊設徑為一而周亦得
三一四一五九二六五三有餘圜外六邊起算者圜
徑為弦半徑為勾求得股倍之即圜外三邊之一取
[020-3b]
其三分之一即圜外六邊之一以六邊之一折半為
勾半徑為股求得弦與半徑相減即股弦較又即小
同式形之勾乃以六邊之一折半之勾為一率半徑
之股為二率小同式形之勾為三率推得四率為小
同式形之股倍之即十二邊之一如是累至億萬邊
設徑為一而周亦得三一四一五九二六五三有餘
此兩法者或自圜内容形之邊為勾股法使無數勾
股小弦逼近圜周将與圜周合而為一或自圜外切
形之邊為勾股法使無數勾股小股逼近圜周亦将
[020-3b]
與圜周合而為一二法既立故凡圜周圜徑諸法皆
[020-4a]
可以互相比例矣割圜八線則將圜周分為三百六
十度先求弧度通弦折半為正弦既得正弦而圜内
之正矢圜外之正切正割由之而生至於餘弦餘矢
餘切餘割則又由正而得名三百六十度平分四象
限每一象限九十度九十度之中得其正角為正餘
角為餘是以正餘相對而割圜八線之表以立一象
限中成勾股形者五千四百故凡勾股三角測量諸
法皆可以互相比例矣自圜内容形屢求勾股而得
[020-4b]
無數多邊自圜外切形屢求勾股而得無數多邊内
外湊集則圜周漸變為直線而設圜界為度分者内
而正弦外而切線至於無數則圜周亦漸變為直線
二者互相恭考俱為相符可見理之至者先後一揆
法之精者中外一理然則勾股即割圜之體而割圜
即勾股之用二者交相成而兩相得乎
[020-5a]
圜内容六邊起算
設如圜徑二兆用内容六邊起算問得圜周幾何
法以圜徑二兆折半得一兆為圜内所
容六邊形之每一邊乃以半徑一兆為
弦六邊之一邊一兆折半得五千億為
勾求得股八千六百六十億二千五百
四十萬三千七百八十四小餘四三八/六四六七六
三七二三一七○七五二/九三六一八三四七一與半徑相減
[020-5b]
餘一千三百三十九億七千四百五十
九萬六千二百一十五小餘五六一三/五三二三六二
七六八二九二四七○/六三八一六五二九復為勾六邊之
一邊折半之五千億為股求得弦五千
一百七十六億三千八百零九萬零二
百零五小餘○四一五二四六九七七/九七六七五二四八○九六六
五七六/六四為圜内所容十二邊形之每一
邊如是屢求得圜内二十四邊形之每
一邊為二千六百一十億五千二百三
[020-5b]
十八萬四千四百四十零小餘一○三/一八三○九
[020-6a]
六八一二四五五七九○/九七八○二○三八七圜内四十八
邊形之每一邊為一千三百零八億零
六百二十五萬八千四百六十零小餘/二八
六一三三六三○六三一一一七/五五○三五○八八二八七九圜内
九十六邊形之每一邊為六百五十四
億三千八百一十六萬五千六百四十
三小餘五五二二八四一二七三一二/二八八二四一六○八六七八四三
三/圜内一百九十二邊形之每一邊為
[020-6b]
三百二十七億二千三百四十六萬三
千二百五十二小餘九七三五六三二/八五九二八五六五八
九九一八九八/三三二一三圜内三百八十四邊形
之每一邊為一百六十三億六千二百
二十七萬九千二百零七小餘八七四/二五八五七
○三九八一四六五八九/五二六六七九九六四圜内七百六
十八邉形之每一邊為八十一億八千
一百二十萬八千零五十二小餘四六/九五七九
一八九二四八二一九九一/○○三六二五二三三七圜内一千
[020-6b]
五百三十六邊形之每一邊為四十億
[020-7a]
九千零六十一萬二千五百八十二小/餘
三二八一九○二二八八二六一一/七九六八五八五一九○○三九圜
内三千零七十二邊形之每一邊為二
十億四千五百三十萬七千三百六十
零小餘六七六六○九○八二三八五/九二二二九二一○二○七九○二
九/圜内六千一百四十四邊形之每一
邊為一十億二千二百六十五萬三千
八百一十四小餘○二七三九五○二/二○二八五九八九五八
[020-7b]
八五二二四/三九一七圜内一萬二千二百八十
八邊形之毎一邊為五億一千一百三
十二萬六千九百二十三小餘七二四/八三四六二
八一二三二九九○三一/九○八八四七六七九圜内二萬四
千五百七十六邊形之每一邊為二億
五千五百六十六萬三千四百六十三
小餘九五一三○九四八○五二三四/四九○一一一四一○六三一七六
圜内四萬九千一百五十二邊形之每
一邊為一億二千七百八十三萬一千
[020-7b]
七百三十二小餘二三六七六六二六/一八六九四七六四六四
[020-8a]
○四九二○/九九九七圜内九萬八千三百零四
邊形之毎一邊為六千三百九十一萬
五千八百六十六小餘一五一○二二/○七一一六○七○
八○七一二六三/八七○七五三圜内一十九萬六千
六百零八邊形之每一邊為三千一百
九十五萬七千九百三十三小餘○七/九五九○
九○三一○九三八一五四/一九三○六五三八○○圜内三十
九萬三千二百一十六邊形之毎一邊
[020-8b]
為一千五百九十七萬八千九百六十
六小餘五四○三○五五二八八九六/二四八七七九三七二三七五九六
七/圜内七十八萬六千四百三十二邊
形之每一邊為七百九十八萬九千四
百八十三小餘二七○二一六四六五/四二八○六六六八一○五
六一一一/一四八圜内一百五十七萬二千八
百六十四邊形之每一邊為三百九十
九萬四千七百四十一小餘六二五一/一七四五二九
七五八六八○七○六/八一一七九三三九圜内三百一十
[020-8b]
四萬五千七百二十八邊形之毎一邊
[020-9a]
為一百九十九萬七千三百七十零小/餘
八一七五五九○九六六六四○五/九二五四○○二八六七九六四圜
内六百二十九萬一千四百五十六邊
形之毎一邊為九十九萬八千六百八
十五小餘四○八七七九六七二八三/九七五五七五七四○六一一三
六一/四圜内一千二百五十八萬二千九
百一十二邊形之每一邊為四十九萬
九千三百四十二小餘七○四三八九/八五一九八三三一
[020-9b]
二三六三九八二/九九六三五五圜内二千五百一十
六萬五千八百二十四邊形之每一邊
為二十四萬九千六百七十一小餘三/五二一
九四九二七九三七○八八六/一七六九八八○二六五六圜内五
千零三十三萬一千六百四十八邊形
之每一邊為一十二萬四千八百三十
五小餘六七六○九七四六四二一一/七二三三二二五○四七○九四一
八/圜内一億零六十六萬三千二百九
十六邊形之毎一邊為六萬二千四百
[020-9b]
一十七小餘八三八○四八七三二一/三六二五九○六三二○九五
[020-10a]
八七八/四三圜内二億零一百三十二萬六
千五百九十二邊形之每一邊為三萬
一千二百零八小餘九一九○二四三/六六○七一九二九二
○四二六九一/一八四○二圜内四億零二百六十
五萬三千一百八十四邊形之每一邊
為一萬五千六百零四小餘四五九五/一二一八三○
三六四三九四九七一/○七三二○九五一圜内八億零五
百三十萬六千三百六十八邊形之毎
[020-10b]
一邊為七千八百零二小餘二二九七/五六○九一五
一八二七九一五○四/八二九一五一四二圜内一十六億
一千零六十一萬二千七百三十六邊
形之每一邊為三千九百零一小餘一/一四八
七八○四五七五九一四六九/九六五八一四八七○一五圜内三
十二億二千一百二十二萬五千四百
七十二邊形之每一邊為一千九百五
十零小餘五五七四三九○二二八七/九五七四五二九五三四四○六
八七/四圜内六十四億四千二百四十五
[020-10b]
萬零九百四十四邊形之每一邊為九
[020-11a]
百七十五小餘二七八七一九五一一/四三九七八七三二九三六
四一一九/九二六圜内一百二十八億八千四
百九十萬一千八百八十八邊形之每
一邊為四百八十七小餘六三九三五/九七五五七一九
八九三六七七四九/八九○九九○五圜内二百五十七
億六千九百八十萬三千七百七十六
邊形之每一邊為二百四十三小餘八/一九六
七九八七七八五九九四六八/三八七四九四五四九五三圜内五
[020-11b]
百一十五億三千九百六十萬七千五
百五十二邊形之每一邊為一百二十
一小餘九○九八三九九三八九二九/九七三四一四二四七九八七九○
九/乃以五百一十五億三千九百六十
萬七千五百五十二邊之數與其每一
邊一百二十一小餘九○九八三九九/三八九二九九七三四
一四二四七九/八七九○九之數相乗得六兆二千
八百三十一億八千五百三十萬七千
一百七十九小餘五八六四七六五八/○一三四八二二○三五
[020-11b]
五○一○八/八七六八為圜徑二兆之周數
[020-12a]
圜内容四邊起算
設如圜徑二兆用内容四邊起算問得圜周幾何
法以圜徑二兆折半得一兆自乗得一
穣倍之開方得一兆四千一百四十二
億一千三百五十六萬二千三百七十
三小餘○九五○四八八○一六八八/七二四二○九六九八○七八五六
九/為圜内所容四邊形之每一邊乃以
半徑一兆為弦四邊之一邊一兆四千
[020-12b]
一百四十二億一千三百五十六萬二
千三百七十三小餘○九五○四八八/○一六八八七二四二
○九六九八○/七八五六九折半得七千零七十一
億零六百七十八萬一千一百八十六
小餘五四七五二四四○○八四四三/六二一○四八四九○三九二八四
為勾亦即為股四邊折半所成之勾/股形其勾與股相等與
半徑相減餘二千九百二十八億九千
三百二十一萬八千八百一十三小餘/四五
二四七五五九九一五五六三七/八九五一五○九六○七一六復為
[020-12b]
勾四邊之一邊折半之七千零七十一
[020-13a]
億零六百七十八萬一千一百八十六
小餘五四七五二四四三九八四四三/六二一 四八四九 二八四
為股求得弦七千六百五十三億六千
六百八十六萬四千七百三十零小餘/一七
九五四三四五六九一九九六八/ 六 七九七七三三五二三為圜
内所容八邊形之每一邊復以半徑一
兆為弦八邊之一邊折半得三千八百
二十六億八千三百四十三萬二千三
[020-13b]
百六十五小餘九八九七七一七二八/四五 九八四 三 三九
八八六六/七六一為勾求得股九千二百三十
八億七千九百五十三萬二千五百一
十一小餘二八六七五六一二八一八/三一八九三九六七八八二八六
八二/二與半徑相減餘七百六十一億二
千零四十六萬七千四百八十八小餘/七一
三二四三八七一八一六八一○/六○三二一一七一三一七八復為
勾八邊之一邊折半之三千八百二十
六億八千三百四十三萬二千三百六
[020-13b]
十五小餘○八九七七一七二八四五/九九八四○三○三九八八六六
[020-14a]
七六/一為股求得弦三千九百零一億八
千零六十四萬四千零三十二小餘二/五六五
三五六九六五六九七三六九/五四○四四四八一八五五為圜内
所容十六邊形之毎一邊如是屢求得
圜内三十二邊形之每一邊為一千九
百六十億三千四百二十八萬零六百
五十九小餘一二一二○三九八八三/九一一二七七七七二八三六
九一七/二二圜内六十四邊形之每一邊為
[020-14b]
九百八十一億三千五百三十四萬八
千六百五十四小餘八三六○二八五/○九九一五○七三五
四一九二一八/○四五八六圜内一百二十八邊形
之每一邊為四百九十億八千二百四
十五萬七千零四十五小餘八二四五/七六○六三四
七一六二一○六二○/八五七五四一三二圜内二百五十
六邊形之每一邊為二百四十五億四
千三百零七萬六千五百七十一小餘/四三
九八五二一五八八一七八○五/二八三二二七○七一六○○圜内
[020-14b]
五百一十二邊形之每一邊為一百二
[020-15a]
十二億七千一百七十六萬九千二百
九十八小餘三○八九五○七一九二/八一一○九八九七五三九一
五○二/八七圜内一千零二十四邊形之毎
一邊為六十一億三千五百九十一萬
三千五百二十五小餘九三四八一八/四○○九三五六一
三五六一一八八/八五○三一八圜内二千零四十八
邊形之每一邊為三十億六千七百九
十六萬零三百七十二小餘五六九五/三一二二四六
[020-15b]
○七五五四四八二五/五三五七八○五四圜内四千零九
十六邊形之每一邊為一十五億三千
三百九十八萬零六百三十七小餘四/八五四
○九○五三八七七二一六八/○六九八○五三六五二九圜内八
千一百九十二邊形之每一邊為七億
六千六百九十九萬零三百七十五小/餘
一四二七九一一七八一四四九六/三四○七九一三二八八三一一圜
内一萬六千三百八十四邊形之毎一
邊為三億八千三百四十九萬五千一
[020-15b]
百九十四小餘六二一四○六六一四/八七九八三九一四六七五
[020-16a]
四三七○/三三三圜内三萬二千七百六十八
邊形之每一邊為一億九千一百七十
四萬七千五百九十八小餘一九一九/五四六九一七
四一○四四四三三三/四一二七四三一七圜内六萬五千
五百三十六邊形之每一邊為九千五
百八十七萬三千七百九十九小餘二/○六一
三三七六九○九八○一二九/八六六八三四九五八○七圜内一
十三萬一千零七十二邊形之每一邊
[020-16b]
為四千七百九十三萬六千八百九十
九小餘六一六八三六四三七四五八/三七五六五七一七七一三四八二
七/圜内二十六萬二千一百四十四邉
形之每一邊為二千三百九十六萬八
千四百四十九小餘八一○一三九四/一二八四三○四四三
七四六一七五/二八三三○圜内五十二萬四千二
百八十八邊形之毎一邊為一千一百
九十八萬四千二百二十四小餘九○/五二八四
八五五六八五七六○○四/九三二九五五四六八八圜内一百
[020-16b]
零四萬八千五百七十六邊形之每一
[020-17a]
邊為五百九十九萬二千一百一十二
小餘四五二六六九三二一五○○九/○九九三八七二六○○六○六五
圜内二百零九萬七千一百五十二邊
形之每一邊為二百九十九萬六千零
五十六小餘二二六三三八○二二四/五七七○八七一四一二○二
五三九/六六圜内四百一十九萬四千三百
零四邊形之毎一邊為一百四十九萬
八千零二十八小餘一一三一六九四/三一四四二二六一○
[020-17b]
七五三四七四/三二九三三圜内八百三十八萬八
千六百零八邊形之毎一邊為七十四
萬九千零一十四小餘○五六五八四/七六八二四七八○
六三七七四六五/一五五○七七圜内一千六百七十
七萬七千二百一十六邊形之毎一邊
為三十七萬四千五百零七小餘○二/八二九二
三九○六八九七三七六六/八七○六六八○○三二圜内三千
三百五十五萬四千四百三十二邊形
之每一邊為一十八萬七千二百五十
[020-17b]
三小餘五一四一四六一九六一六五/五九八一四四三五○一○八二二
[020-18a]
四/圜内六千七百一十萬八千八百六
十四邊形之每一邊為九萬三千六百
二十六小餘七五七○七三○九八一/八五三九○二三五九二四六
五○三/○六圜内一億三千四百二十一萬
七千七百二十八邊形之毎一邊為四
萬六千八百一十三小餘三七八五三/六五四九一○五
五一九○一三四三/一○二四六八二圜内二億六千八
百四十三萬五千四百五十六邊形之
[020-18b]
每一邊為二萬三千四百零六小餘六/八九二
六八二七四五五四三六二四/九三六四九○九九七八四圜内五
億三千六百八十七萬零九百一十二
邊形之每一邊為一萬一千七百零三
小餘三四四六三四一三七二七七三/八一六二○一九一二四八三二一
圜内一十億七千三百七十四萬一千
八百二十四邊形之每一邊為五千八
百五十一小餘六七二三一七○六八/六三八七一五八五六七六
六四六一/四六四圜内二十一億四千七百四
[020-18b]
十八萬三千六百四十八邊形之每一
[020-19a]
邊為二千九百二十五小餘八三六一/五八五三四三
一九三六一○五九二/一七○八五三九四圜内四十二億
九千四百九十六萬七千二百九十六
邊形之毎一邊為一千四百六十二小/餘
九一八○七九二六七一五九六八/○九二○九六二七七四五二九圜
内八十五億八千九百九十三萬四千
五百九十二邊形之每一邊為七百三
十一小餘四九五○三九六三三五七/九八四○五○三一四○一六六
[020-19b]
○二/七圜内一百七十一億七千九百八
十六萬九千一百八十四邊形之每一
邊為三百六十五小餘七二九五一九/八一六七八九九二
○二五七六八四/九九二八八六圜内三百四十三億
五千九百七十三萬八千三百六十八
邊形之毎一邊為一百八十二小餘八/六四七
五九九○八三九四九六○一/二九六○六八六○七七○乃以三
百四十三億五千九百七十三萬八千
三百六十八邊之數與其每一邊一百
[020-19b]
八十二小餘八六四七五九九○八三/九四九六○一二九六○六八
[020-20a]
六○七/七○之數相乗得六兆二千八百三
十一億八千五百三十萬七千一百七
十九小餘五八六四七六八六三○八/三一○六七五五○○三○二三
三六/○為圜徑二兆之周數
[020-21a]
圜外切六邊起算
設如圜徑二兆用外切六邊起算問得圜周幾何
法以圜徑二兆為弦半徑一兆為勾求
得股一兆七千三百二十億五千零八
十萬七千五百六十八小餘八七七二/九三五二七四
四六三四一五○五八/七二三六六九四二取其三分之二
得一兆一千五百四十七億零五十三
萬八千三百七十九小餘二五一五二/九○一八二九七
[020-21b]
五六一○○三九一/四九一一二九五即圜外六邊形之
毎一邊葢圜徑為弦半徑為勾所得股/即圜外三邊形之每邊之一半
倍之為圜外三邊形之每一邊其毎一/邊之三分之一即圜外六邊形之每一
邊今以六邊起算故省求三邊止以所/得之股取其三分之二為六邊形之毎
一邊/也乃以六邊形之每一邊一兆一千
五百四十七億零五十三萬八千三百
七十九小餘二五一五二九○一八二/九七五六一○○三九一四九
一一二/九五折半得五千七百七十三億五
千零二十六萬九千一百八十九小餘/六二
[020-21b]
五七六四五○九一四八七八○/五○一九五七四五五六四七為勾
[020-22a]
半徑一兆為股即用六邊之一邊為弦
圜内六邊與半徑等圜外六邊亦與本/形半徑等故即用六邊之一邊為弦也
與半徑相減餘一千五百四十七億零
五十三萬八千三百七十九小餘二五/一五二九
○一八二九七五六一○○/三九一四九一一二九五即股弦較
又即小同式形之勾復以六邊形之一
邊折半之勾五千七百七十三億五千
零二十六萬九千一百八十九小餘六/二五七
[020-22b]
六四五○九一四八七八○五/○一九五七四五五六四七為一率
半徑之股一兆為二率小同式形之勾
一千五百四十七億零五十三萬八千
三百七十九小餘二五一五二九○一/八二九七五六一○○三
九一四九一/一二九五為三率推得四率二千六
百七十九億四千九百一十九萬二千
四百三十一小餘一二二七○六四七/二五五三六五八四九四
一二七六三/三○五七為小同式形之股倍之得
五千三百五十八億九千八百三十八
[020-22b]
萬四千八百六十二小餘二四五四一/二九四五一○七
[020-23a]
三一六九八八二五/五二六六一一四為圜外十二邊形
之每一邊如是屢求得圜外二十四邊
形之毎一邊為二千六百三十三億零
四百九十九萬五千一百七十四小餘/七九
一七○六九四三○五二九一四/八一九四三四二○七一八四圜外
四十八邊形之每一邊為一千三百一
十億八千六百九十二萬五千六百三
十零小餘四七六四五七一二九○八/七四四九七五九八八五五八九
[020-23b]
八四/二圜外九十六邊形之每一邊為六
百五十四億七千三百二十二萬零八
百二十五小餘九四五一七二八七八/五一七八九七七八六九一
九二四七/三一○圜外一百九十二邊形之每
一邊為三百二十七億二千七百八十
四萬四千二百七十零小餘六二三一/六五三三○六
八二一五七二二五九/三九八八九七五六圜外三百八十
四邊形之每一邊為一百六十三億六
千二百八十二萬六千八百零七小餘/五八
[020-23b]
七七五二七四○七五○一二四/一四二六二九三○五五○二圜外
[020-24a]
七百六十八邊形之每一邊為八十一
億八千一百二十七萬六千五百零一
小餘五七四七一二三四○五二八六/五四七○二○六三七八四二四六
圜外一千五百三十六邊形之毎一邊
為四十億九千零六十二萬一千一百
三十八小餘四三九四八七一七七○/七三八九五七六二五○九三
○八六/七○圜外三千零七十二邊形之毎
一邊為二十億四千五百三十萬八千
[020-24b]
四百三十零小餘一八九六八二三○/九八七九八九二○四九
四○七三○/一四三八圜外六千一百四十四邊
形之毎一邊為一十億二千二百六十
五萬三千九百四十七小餘七一六五/○二九四○六
○七九二三六一七○/八二四○○七六八圜外一萬二千
二百八十八邊形之每一邊為五億一
千一百三十二萬六千九百四十零小/餘
四三五九七二三○一一六二四八/九八六三九六七三七八二六二圜
外二萬四千五百七十六邊形之每一
[020-24b]
邊為二億五千五百六十六萬三千四
[020-25a]
百六十六小餘○四○二○一六六四/○五二四五三七一九三三
九一五○/五八二圜外四萬九千一百五十二
邊形之每一邊為一億二千七百八十
三萬一千七百三十二小餘四九七八/七七七八四○
一○五六○七七四○/一○四六二三四八圜外九萬八千
三百零四邊形之毎一邊為六千三百
九十一萬五千八百六十六小餘一八/三六六一
○一一四○三三三五六四/一三七七六七八四八四圜外一十
[020-25b]
九萬六千六百零八邊形之每一邊為
三千一百九十五萬七千九百三十三
小餘○八三六七○七七○六三八九/二五一四九七五○二五一六九四
圜外三十九萬三千二百一十六邊形
之毎一邊為一千五百九十七萬八千
九百六十六小餘五四○八一五四一/八四三七○一○三七九
二○二九四/三三二二圜外七十八萬六千四百
三十二邊形之每一邊為七百九十八
萬九千四百八十三小餘二七○二八/○二一三三五八
[020-25b]
二一○八七二五八/六○四二○三○圜外一百五十七
[020-26a]
萬二千八百六十四邊形之每一邊為
三百九十九萬四千七百四十一小餘/六三
五一二四一六九六九六五六九/○二八一四八七○四五五八圜外
三百一十四萬五千七百二十八邊形
之每一邊為一百九十九萬七千三百
七十零小餘八一七五六○○九二七/二五四六七四七四九七七六
四四三/五四圜外六百二十九萬一千四百
五十六邊形之每一邊為九十九萬八
[020-26b]
千六百八十五小餘四○八七七九七/九七三四七三八一六
○七九七四二/七五二九八圜外一千二百五十八
萬二千九百一十二邊形之毎一邊為
四十九萬九千三百四十二小餘七○/四三八九
八六七五四六七七一七八/七八○九四六一二一四圜外二千
五百一十六萬五千八百二十四邊形
之每一邊為二十四萬九千六百七十
一小餘三五二一九四九二九八八二/五二一○六八八二八八四八八六
二/圜外五千零三十三萬一千六百四
[020-26b]
十八邊形之每一邊為一十二萬四千
[020-27a]
八百三十五小餘六七六○九七四六/四四五四九○二三九八
八一三七二/三○八二圜外一億零六十六萬三
千二百九十六邊形之每一邊為六萬
二千四百一十七小餘八三八○四八/七三二一六六六五
六四三五七○三/三九六九七六圜外二億零一百三
十二萬六千五百九十二邊形之每一
邊為三萬一千二百零八小餘九一九/○二四三六
六○七五七二八八七二/三八八七六五四二八圜外四億零
[020-27b]
二百六十五萬三千一百八十四邊形
之毎一邊為一萬五千六百零四小餘/四五
九五一二一八三○三六九一四/五一八○一一五一六○八○圜外
八億零五百三十萬六千三百六十八
邊形之每一邊為七千八百零二小餘/二二
九七五六○九一五一八二三八/五一九二三二八九九七一○圜外
一十六億一千零六十一萬二千七百
三十六邊形之毎一邊為三千九百零
一小餘一一四八七八○四五七五九/一五四四一七一四四八四二五六
[020-27b]
二/圜外三十二億二千一百二十二萬
[020-28a]
五千四百七十二邊形之每一邊為一
千九百五十零小餘五五七四三九○/二二八七九五七五三
五三二六三四/七○三六八圜外六十四億四千二
百四十五萬零九百四十四邊形之每
一邊為九百七十五小餘二七八七一/九五一一四三九
七八七四四四七一/八一一六三二○圜外一百二十八
億八千四百九十萬一千八百八十八
邊形之毎一邊為四百八十七小餘六/三九三
[020-28b]
五九七五五七一九八九三六/九三三六九八五五八○二圜外二
百五十七億六千九百八十萬三千七
百七十六邊形之每一邊為二百四十
三小餘八一九六七九八七七八五九/九四六八四三○六一二七七六○
六/圜外五百一十五億三千九百六十
萬七千五百五十二邊形之每一邊為
一百二十一小餘九○九八三九九三/八九二九九七三四二一
○七七六八/二五一六乃以五百一十五億三千
九百六十萬七千五百五十二邊之數
[020-28b]
與其每一邊一百二十一小餘九○九/八三九九三
[020-29a]
八九二九九七三四二一/○七七六八二五一六之數相乗得
六兆二千八百三十一億八千五百三
十萬七千一百七十九小餘五八六四/七六九三二一
五四六○一七七八二/八三九六○八三二為圜徑二兆之
周數
[020-30a]
圜外切四邊起算
設如圜徑二兆用外切四邊起算問得圜周幾何
法以圜徑二兆為外切四邊形之每一
邊乃以圜徑二兆為股亦即為勾求得
弦二兆八千二百八十四億二千七百
一十二萬四千七百四十六小餘一九/○○九七
六○三三七七四四八四一/九三九六一五七一三八為圜外四
邊形之斜弦與圜徑相減餘八千二百
[020-30b]
八十四億二千七百一十二萬四千七
百四十六小餘一九○○九七六○三/三七七四四八四一九三九
六一五七/一三八即圜外八邊形之每一邊又
以八邊形之毎一邊八千二百八十四
億二千七百一十二萬四千七百四十
六小餘一九○○九七六○三三七七/四四八四一九三九六一五七一三
八/折半得四千一百四十二億一千三
百五十六萬二千三百七十三小餘○/九五○
四八八○一六八八七二四二/○九六九八○七八五六九為勾半
[020-30b]
徑一兆為股求得弦一兆零八百二十
[020-31a]
三億九千二百二十萬零二百九十二
小餘三九三九六八八九九四四六四/一○七三二七七八八四○一二一
與半徑相減餘八百二十三億九千二
百二十萬零二百九十二小餘三九三/九六八八九
九四四六四一○七三二/七七八八四○一二一即股弦較又
即小同式形之勾復以八邊形之一邊
折半之勾四千一百四十二億一千三
百五十六萬二千三百七十三小餘○/九五○
[020-31b]
四八八○一六八八七二四二/○九六九八○七八五六九為一率
半徑之股一兆為二率小同式形之勾
八百二十三億九千二百二十萬零二
百九十二小餘三九三九六八八九九/四四六四一○七三二七七
八八四○/一二一為三率推得四率一千九百
八十九億一千二百三十六萬七千三
百七十九小餘六五八○○六九一一/五九七六二二六四四六七
六二二八/五九七為小同式形之股倍之得三
千九百七十八億二千四百七十三萬
[020-31b]
四千七百五十九小餘三一六○一三/八二三一九五二四
[020-32a]
五二八九三五二/四五七一九四為圜外十六邊形之
每一邊如是屢求得圜外三十二邊形
之毎一邊為一千九百六十九億八千
二百八十萬六千七百一十四小餘三/二八五
○六一五四三九五○四二五/八二六五四八六四五八四圜外六
十四邊形之每一邊為九百八十二億
五千三百六十九萬九千五百三十八
小餘九三四五○八二一○六八六六/四二五四二六二七二三四一五八
[020-32b]
圜外一百二十八邊形之毎一邊為四
百九十億九千七百二十四萬四千二
百一十七小餘八五○八八八二○九/一五九五○七九二一八一
七四四二/三八四圜外二百五十六邊形之毎
一邊為二百四十五億四千四百九十
二萬四千七百五十九小餘一三二五/五○四六一七
七五一○六四六八五/四一五九二八九○圜外五百一十
二邊形之毎一邊為一百二十二億七
千二百萬零三百一十五小餘二四六/八○三九二
[020-32b]
八五八八七三一二○二/六二一六七○五八二圜外一千零
[020-33a]
二十四邊形之毎一邊為六十一億三
千五百九十四萬二千四百零二小餘/八四
五三二九九七四一四七八三一/三六四二四三四七六五八四圜外
二千零四十八邊形之每一邊為三十
億六千七百九十六萬三千九百八十
二小餘一七七三三三○五六九八五/四四一六三六七○○八七四九四
四/圜外四千零九十六邊形之每一邊
為一十五億三千三百九十八萬一千
[020-33b]
零八十八小餘六八六一八五二一○/三四六四一五四二三二五
五八四七/五三八圜外八千一百九十二邊形
之每一邊為七億六千六百九十九萬
零四百三十一小餘五四二八八一九/七六六九一四六八三
六八一五四四/三九三二○圜外一萬六千三百八
十四邊形之毎一邊為三億八千三百
四十九萬五千二百零一小餘六七一/四一七七七
○二九一五五五一二一/七二六一八二一一○圜外三萬二
千七百六十八邊形之每一邊為一億
[020-33b]
九千一百七十四萬七千五百九十九
[020-34a]
小餘○七三二○六○八○○九二二/九六○九三一四五一四六一○六
圜外六萬五千五百三十六邊形之毎
一邊為九千五百八十七萬三千七百
九十九小餘三一六二九○一九二四/五二○六五五二六二○七六
一九八/五八圜外一十三萬一千零七十二
邊形之每一邊為四千七百九十三萬
六千八百九十九小餘六三○六○五/九九○三七一六九
七五二九八八九/四六二九四四圜外二十六萬二千
[020-34b]
一百四十四邊形之每一邊為二千三
百九十六萬八千四百四十九小餘八/一一八
六○六○六九五七○二三二/六九五八九三○一三二○圜外五
十二萬四千二百八十八邊形之每一
邊為一千一百九十八萬四千二百二
十四小餘九○五五○○○○四九五/○○○一一四八一五○○二三
三六/六圜外一百零四萬八千五百七十
六邊形之每一邊為五百九十九萬二
千一百一十二小餘四五二六九六二/一五一五八九三九六
[020-34b]
六○一二八○/二○一五四圜外二百零九萬七千
[020-35a]
一百五十二邊形之毎一邊為二百九
十九萬六千零五十六小餘二二六三/四一三八四一
六四九六二三○六三/四八二四八二二○圜外四百一十
九萬四千三百零四邊形之每一邊為
一百四十九萬八千零二十八小餘一/一三一
六九八五一六五五六六七七/一五五三八六四一七五四圜外八
百三十八萬八千六百零八邊形之每
一邊為七十四萬九千零一十四小餘/○五
[020-35b]
六五八四八二○七七四四八二/一七八一五三二九一四五二圜外
一千六百七十七萬七千二百一十六
邊形之每一邊為三十七萬四千五百
零七小餘○二八二九二三九七二五/五五七二一二九一二七四○四
七三/○圜外三千三百五十五萬四千四
百三十二邊形之毎一邊為一十八萬
七千二百五十三小餘五一四一四六/一九六九八六三二
七四四四五七○/一三三五七四圜外六千七百一十
萬八千八百六十四邊形之每一邊為
[020-35b]
九萬三千六百二十六小餘七五七○/七三○九八二
[020-36a]
八七九八一三九四七/八五八七三三八六圜外一億三千
四百二十一萬七千七百二十八邊形
之毎一邊為四萬六千八百一十三小/餘
三七八五三六五四九一一八三五/二九○六四五五五三七六○二圜
外二億六千八百四十三萬五千四百
五十六邊形之毎一邊為二萬三千四
百零六小餘六八九二六八二七四五/五五九六五四七九三六○五
九三九/一六圜外五億三千六百八十七萬
[020-36b]
零九百一十二邊形之每一邊為一萬
一千七百零三小餘三四四六三四一/三七二七七五八一九
九二九四六九/○○○九六圜外一十億七千三百
七十四萬一千八百二十四邊形之毎
一邊為五千八百五十一小餘六七二/三一七○六
八六三八七四○九○三/一三一七七五四四○圜外二十一
億四千七百四十八萬三千六百四十
八邊形之每一邊為二千九百二十五
小餘八三六一五八五三四三一九三/六四一八九八九八一七八三九四
[020-36b]
圜外四十二億九千四百九十六萬七
[020-37a]
千二百九十六邊形之毎一邊為一千
四百六十二小餘九一八○七九二六/七一五九六八一三九八
三六九八五/○二五二圜外八十五億八千九百
九十三萬四千五百九十二邊形之每
一邊為七百三十一小餘四五九○三/九六三三五七九
八四○六○一三四/六三六七一六六圜外一百七十一
億七千九百八十六萬九千一百八十
四邊形之每一邊為三百六十五小餘/七二
[020-37b]
九五一九八一六七八九九二○/二八八四四三三六三八三八圜外
三百四十三億五千九百七十三萬八
千三百六十八邊形之每一邊為一百
八十二小餘八六四七五九九○八三/九四九六○一四二六九二九
五四四/五○乃以三百四十三億五千九百
七十三萬八千三百六十八邊之數與
其每一邊一百八十二小餘八六四七/五九九○八三
九四九六○一四二六/九二九五四四五○之數相乗得六
兆二千八百三十一億八千五百三十
[020-37b]
萬七千一百七十九小餘五八六四七/七三一二七一七
[020-38a]
八六一八五八九四/一三三七六○○為圜徑二兆之周
數
[020-38b]
御製數理精藴下編卷十五
