[029-1a] 
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷二十四
體部二
帶縱較數立方
帶縱和數立方勾股法四條附/
[029-2a]
帶縱較數立方
帶縱立方者兩兩等邊長方體積也高與闊相等惟
長不同者為帶一縱立方長與闊相等而皆比高多
者則為帶兩縱相同之立方至於長與闊與髙皆不
等者則為帶兩縱不同之立方開之之法大㮣與立
方同祗有帶縱之異耳其帶一縱之法如以髙與闊
相等惟長不同為問者則以初商為髙與闊以之自
乘又以初商加縱數為長以之再乘得初商積至次
[029-2b]
商以後亦有三方亷三長亷一小隅但其一方亷附
於初商積之方面者即初商數其二方亷附於初商
積之長面者則帶縱也其二長亷附於初商積之方
邊者即初商數其一長亷附於初商積之長邊者則
帶縱也其帶兩縱相同之法如以長與闊相等皆比
髙多為問者則以初商加縱數為長與闊以之自乘
又以初商為髙以之再乘得初商積至次商以後其
一方亷附於初商積之正面者則帶兩縱其二方亷
附於初商積之旁面者則各帶一縱也其一長亷附
[029-2b]
於初商積之髙邉者即初商數其二長亷附於初商
[029-3a]
積之長闊兩邊者則各帶一縱也其𢃄兩縱不同之
法如以闊比髙多長比闊又多為問者則以初商為
髙又以初商加闊縱為闊與髙相乘又加長縱為長
以之再乘得初商積至次商以後其一方亷附於初
商積之正面者則𢃄兩縱其二方亷附於初商積之
旁面者則一𢃄闊縱一𢃄長縱也其一長亷附於初
商積之髙邊者即初商數其二長亷附於初商積之
長闊兩邊者則各𢃄一縱也惟小隅則無論𢃄一縱
[029-3b]
兩縱皆各以所商之數自乘再乘成一小正方其每
邊之數即三方亷之厚亦即三長亷之闊與厚焉凡
有幾層亷隅皆依次商之例遞析推之法雖不一要
皆本於正方而後加𢃄縱故凡商出之數皆為小邊
方體共十二邊若𢃄一縱或𢃄兩縱相同者則八邊
相等四邊相等若𢃄兩縱不同者則每四邊各相等
是故得其一邊加入縱多即得各邊也
設如𢃄一縱立方積一百一十二尺其髙與闊相等
長比髙闊多三尺問髙闊長各幾何
[029-3b]
法列積如開立方法商之其積一百一
[029-4a]
十二尺止可商四尺乃以四尺書於原
積二尺之上而以所商四尺為髙與闊
因髙與闊等故四尺/即方之髙與闊也加縱多三尺得七
尺為長即以髙與闊四尺自乗得一十
六尺又以長七尺再乗得一百一十二
尺書於原積之下相減恰盡是知立方
之髙與闊俱四尺加縱多三尺得七尺
即立方之長也如圖甲乙丙丁戊己長
[029-4b]
方體形容積一百一十二尺其甲乙為
髙甲已為闊己戊為長甲乙甲已俱四
尺己戊為七尺己戊比己庚多三尺即
所𢃄之縱甲乙壬辛庚己正方形即初
商之正方積庚辛壬丙丁戊扁方形即
帶縱所多之扁方積也葢因此法髙與
闊俱止一位其積止一位之積故初商
所得即髙與闊之邊加入縱多即為長
邊也凡有帶一縱無次商者依此法開
[029-4b]
之
[029-5a]
設如𢃄一縱立方積二千四百四十八尺其髙與闊相
等長比髙闊多五尺問髙闊長各幾何
法列積如開立方法商之其二千尺為
初商積可商十尺乃以十尺書於原積
二千尺之上而以所商十尺為初商之
髙與闊加縱多五尺得十五尺為初商
之長即以初商之髙與闊十尺自乗得
一百尺又以初商之長十五尺再乗得
[029-5b]
一千五百尺書於原積之下相減餘九
百四十八尺為次商亷隅之共積乃以
初商之髙與闊十尺自乗得一百尺此/一
方亷初/商數也又以初商之髙與闊十尺與初
商之長十五尺相乗得一百五十尺倍
之得三百尺加倍為𢃄縱兩方亷/即初商加縱多也兩數
相併得四百尺為次商三方亷面積以
除次商亷隅之共積九百四十八尺足
二尺則以二尺書於原積八尺之上而
[029-5b]
以初商之髙與闊十尺倍之得二十尺
[029-6a]
此兩長亷/初商數也與初商之長十五尺相併此/𢃄
縱一長/亷也得三十五尺以次商之二尺乘
之得七十尺為次商三長亷面積又以
次商之二尺自乘得四尺為次商一小
隅面積合三方亷三長亷一小隅面積
共得四百七十四尺為亷隅共法以次
商之二尺乘之得九百四十八尺書於
餘積之下相減恰盡是知立方之髙與
[029-6b]
闊俱一十二尺加縱多五尺得一十七
尺即立方之長也如圖甲乙丙丁長方
體形容積二千四百四十八尺其甲乙
髙甲戊闊皆十二尺甲己長十七尺甲
已比庚已所多甲庚五尺即縱多之數
其從一角所分辛乙癸壬長方體形壬
癸與辛乙皆十尺即初商數壬辛十五
尺即初商加縱多之數辛乙癸壬長方
積一千五百尺即初商自乗又以初商
[029-6b]
加縱多再乘之數所餘子形丑形寅形
[029-7a]
為三方廉其中寅形為一正方廉每邊
十尺即初商數子形丑形為二長方廉
每闊十尺長十五尺其長比闊多五尺
即縱多之數其厚皆二尺即次商數卯
形辰形巳形為三長廉其辰形巳形皆
長十尺即初商數夘形比辰形巳形皆
長五尺即縱多之數其闊與厚皆二尺
亦即次商數其巳形一小正方體為隅
[029-7b]
其長闊與高皆二尺亦即次商數合子
丑寅三方廉夘辰巳三長廉巳一小方
隅共成一磬折體形附於初商長方體
之三面而成甲乙丙丁之總長方體積
也三商以後皆倣此遞析開之
又法以初商積二千尺商十尺書於原
積二千尺之上而以所商十尺為初商
之高與闊加縱多五尺得十五尺為初
商之長即以初商之高與闊十尺自乘
[029-7b]
得一百尺又以初商之長十五尺再乘
[029-8a]
得一千五百尺書於原積之下相減餘
九百四十八尺為次商積乃以初商之
髙與闊十尺自乘得一百尺又以初商
之髙與闊十尺與初商之長十五尺相
乘得一百五十尺倍之得三百尺兩數
相併得四百尺為次商三方亷面積以
除次商積九百四十八尺足二尺則以
二尺書於原積八尺之上合初商次商
[029-8b]
共一十二尺為初商次商之髙與闊加
縱多五尺得十七尺為初商次商之長
乃以初商次商之髙與闊十二尺自乘
得一百四十四尺又以初商次商之長
十七尺再乗得二千四百四十八尺與
原積相減恰盡即知立方之髙與闊俱
十二尺其長為十七尺也
設如帶一縱立方積一萬九千零八寸其髙與闊相
等長比髙闊多一百二十寸問髙闊長各幾何
[029-8b]
法列積如開立方法商之其一萬九千
[029-9a]
寸為初商積可商二十寸則以二十寸
為髙與闊加縱多一百二十寸得一百
四十寸為長即以髙與闊二十寸自乗
得四百寸又以長一百四十寸再乘得
五萬六千寸大於原積二倍有餘乃退
商十寸書於原積九千寸之上而以所
商十寸為初商之高與闊加縱多一百
二十寸得一百三十寸為初商之長乃
[029-9b]
以初商之髙與闊十寸自乘得一百寸
又以初商之長一百三十寸再乘得一
萬三千寸書於原積之下相減餘六千
零八寸為次商廉隅之共積乃以初商
之髙與闊十寸自乘得一百寸又以初
商之髙與闊十寸與初商之長一百三
十寸相乘得一千三百寸倍之得二千
六百寸兩數相併得二千七百寸為次
商三方廉面積以除次商廉隅之共積
[029-9b]
六千零八寸足二寸則以二寸書於原
[029-10a]
積八寸之上而以初商之髙與闊十寸
倍之得二十寸又與初商之長一百三
十寸相併得一百五十寸以次商之二
寸乘之得三百寸為次商三長廉面積
又以次商之二寸自乘得四寸為次商
一小隅面積合三方廉三長廉一小隅
面積共得三千零四寸為廉隅共法以
次商之二寸乘之得六千零八寸書於
[029-10b]
餘積之下相減恰盡是知立方之髙與
闊俱十二寸加縱多一百二十寸得一
百三十二寸即立方之長也此法因帶
縱甚大按立方例所得初商數並加縱
多所得初商積必大於原積㡬倍依次
漸取小數開之又至甚煩故約略其分
退商之至商出之積比原積微小而後
可是則帶縱立方立法之最難者也
設如帶一縱立方積二丈零四十二尺四百一十五
[029-10b]
寸其髙與闊相等長比髙闊多一尺二寸問髙闊
[029-11a]
長各㡬何
法列積如開立方法商之其二丈為初
商積可商一丈乃以一丈書於原積二
丈之上而以所商一丈為初商之高與
闊加縱多一尺二寸得一丈一尺二寸
為初商之長即以初商之高與闊一丈
自乘仍得一丈又以初商之長一丈一
尺二寸再乘得一丈一百二十尺書於
[029-11b]
原積之下相減餘九百二十二尺四百
一十五寸為次商廉隅之共積乃以初
商之高與闊一丈作一十尺自乘得一
百尺又以初商之長一丈一尺二寸作
一十一尺二寸與初商之高與闊一十
尺相乘得一百一十二尺倍之得二百
二十四尺兩數相併得三百二十四尺
為次商三方廉面積以除次商廉隅之
共積九百二十二尺足二尺則以二尺
[029-11b]
書於原積二尺之上而以初商之高與
[029-12a]
闊一十尺倍之得二十尺與初商之長
一十一尺二寸相併得三十一尺二寸
以次商之二尺乘之得六十二尺四十
寸為次商三長廉面積又以次商之二
尺自乘得四尺為次商一小隅面積合
三方廉三長廉一小隅面積共得三百
九十尺四十寸為廉隅共法以次商之
二尺乘之得七百八十尺八百寸書於
[029-12b]
餘積之下相減仍餘一百四十一尺六
百一十五寸即一十四萬一千六百一
十五寸為三商廉隅之共積其初商次
商所得之一丈二尺為高與闊加縱多
一尺二寸得一丈三尺二寸為長乃以
初商次商之高與闊一丈二尺作一百
二十寸自乘得一萬四千四百寸又以
初商次商之長一丈三尺二寸作一百
三十二寸與初商次商之高與闊一百
[029-12b]
二十寸相乘得一萬五千八百四十寸
[029-13a]
倍之得三萬一千六百八十寸兩數相
併得四萬六千零八十寸為三商三方
廉面積以除三商廉隅之共積一十四
萬一千六百一十五寸足三寸則以三
寸書於原積五寸之上而以初商次商
之髙與闊一百二十寸倍之得二百四
十寸與長一百三十二寸相併得三百
七十二寸以三商之三寸乘之得一千
[029-13b]
一百一十六寸為三商三長廉面積又
以三商之三寸自乘得九寸為三商一
小隅面積合三方廉三長廉一小隅面
積共得四萬七千二百零五寸為㢘隅
共法以三商之三寸乘之得一十四萬
一千六百一十五寸書於餘積之下相
減恰盡是知立方之高與闊俱一丈二
尺三寸加縱多一尺二寸俱一丈三尺
五寸即立方之長也
[029-13b]
又法以初商積二丈商一丈書於原積
[029-14a]
二丈之上而以所商一丈為初商之高
與闊加縱多一尺二寸得一丈一尺二
寸為初商之長即以初商之高與闊一
丈自乘仍得一丈又以初商之長一丈
一尺二寸再乘得一丈一百二十尺書
於原積之下相減餘九百二十二尺四
百一十五寸為次商積乃以初商之高
與闊一丈作一十尺自乘得一百尺又
[029-14b]
以初商之長一丈一尺二寸作一十一
尺二寸與初商之高與闊一十尺相乘
得一百一十二尺倍之得二百二十四
尺兩數相併得三百二十四尺為次商
三方廉面積以除次商積九百二十二
尺四百一十五寸足二尺則以二尺書
於原積二尺之上合初商次商共一丈
二尺為初商次商之高與闊加縱多一
尺二寸得一丈三尺二寸為初商次商
[029-14b]
之長乃以初商次商之髙與闊一丈二
[029-15a]
尺自乘得一丈四十四尺又以初商次
商之長一丈三尺二寸再乘得一丈九
百尺零八百寸與原積相減餘一百四
十一尺六百一十五寸即一十四萬一
千六百一十五寸為三商積乃以初商
次商之高與闊一丈二尺作一百二十
寸自乘得一萬四千四百寸又以初商
次商之長一丈三尺二寸作一百三十
[029-15b]
二寸與初商次商之高與闊一百二十
寸相乘得一萬五千八百四十寸倍之
得三萬一千六百八十寸兩數相併得
四萬六千零八十寸為三商三方㢘面
積以除三商積一十四萬一千六百一
十五寸足三寸則以三寸書於原積五
寸之上合初商次商三商共一丈二尺
三寸為初商次商三商之髙與闊加縱
多一尺二寸得一丈三尺五寸為初商
[029-15b]
次商三商之長乃以初商次商三商之
[029-16a]
髙與闊一丈二尺三寸自乘得一丈五
十一尺二十九寸又以初商次商三商
之長一丈三尺五寸再乘得二丈零四
十二尺四百一十五寸與原積相減恰
盡即知立方之高與闊俱一丈二尺三
寸其長為一丈三尺五寸也
設如帶兩縱相同立方積五百六十七尺其長與闊
俱比髙多二尺問長闊髙各㡬何
[029-16b]
法列積如開立方法商之共積五百六
十七尺可商八尺因留兩縱積故取略
小之數商七尺乃以七尺書於原積七
尺之上而以所商七尺為高加縱多二
尺得九尺為長與闊即以長與闊九尺
自乘得八十一尺又以髙七尺再乘得
五百六十七尺書於原積之下相減恰
盡是知立方之高為七尺加縱多二尺
得九尺即立方之長與闊也如圖甲乙
[029-16b]
丙丁戊己扁方體形容積五百六十七
[029-17a]
尺其甲乙為高甲子為闊甲巳為長甲
乙七尺甲子甲己皆比甲乙多二尺即
所帶之縱其甲乙癸壬辛庚正方形即
初商之積庚辛壬癸丙丁戊已磬折體
形即所帶之縱積也此法因長闊俱比
高多故初商所得為髙於高加縱多即
長與闊也
設如帶兩縱相同立方積三千四百六十八尺其長
[029-17b]
與闊俱比高多五尺問長闊高各㡬何
法列積如開立方法商之其三千尺為
初商積可商十尺乃以十尺書於原積
三千尺之上而以初商十尺為初商之
髙加縱多五尺得十五尺為初商之長
與闊即以初商之長與闊十五尺自乘
得二百二十五尺又以初商之髙十尺
再乘得二千二百五十尺書於原積之
下相減餘一千二百一十八尺為次商
[029-17b]
廉隅之共積乃以初商之長與闊十五
[029-18a]
尺自乘得二百二十五尺此一方廉長/闊皆帶一縱
也/又以初商之髙十尺與初商之長與
闊十五尺相乘得一百五十尺倍之得
三百尺加倍為帶縱兩方廉/即初商加縱多也兩數相併
得五百二十五尺為次商三方廉面積
以除次商廉隅之共積一千二百一十
八尺足二尺則以二尺書於原積八尺
之上而以初商之長與闊十五尺倍之
[029-18b]
得三十尺此兩長廉即長/闊各帶一縱也與初商之髙
十尺相併此一長廉/初商數也得四十尺以次商
之二尺乘之得八十尺為次商三長廉
面積又以次商之二尺自乘得四尺為
次商一小隅面積合三方廉三長廉一
小隅面積共得六百零九尺為廉隅共
法以次商之二尺乘之得一千二百一
十八尺書於餘積之下相減恰盡是知
立方之高為十二尺加縱多五尺得十
[029-18b]
七尺為立方之長與闊也如圖甲乙丙
[029-19a]
丁扁方體形容積三千四百六十八尺
其甲乙髙十二尺甲戊長甲已闊俱十
七尺甲戊比甲辛所多辛戊甲已比庚
己所多甲庚俱五尺即縱多之數其從
一角所分壬乙子癸扁方體形癸子與
壬乙皆十尺即初商數壬癸與癸申皆
十五尺即初商加縱多之數壬乙子癸
扁方積二千二百五十尺即初商加縱
[029-19b]
多自乘又以初商再乘之數所餘丑形
寅形夘形為三方廉其中寅形為一正
方廉每邊十五尺即初商加縱多之數
丑形夘形為二長方廉每高十尺長十
五尺其長比髙多五尺即縱多之數其
厚皆二尺即次商數辰形巳形午形為
三長廉巳形長十尺即初商數辰形午
形比巳形俱長五尺即縱多之數其闊
與厚皆一尺亦即次商數其巳形一小
[029-19b]
正方體為隅其長闊高皆二尺亦即次
[029-20a]
商數合丑寅夘三方廉辰巳午三長廉
巳一小方隅共成一磬折體形附於初
商長方體之三面而成甲乙丙丁之總
扁方體積也三商以後皆倣此遞析開
之
又法以初商積三千尺商十尺書於原
積三千尺之上而以所商十尺為初商
之髙加縱多五尺得十五尺為初商之
[029-20b]
長與闊即以初商之長與闊十五尺自
乘得二百二十五尺又以初商之髙十
尺再乘得二千二百五十尺書於原積
之下相減餘一千二百一十八尺為次
商積乃以初商之長與闊十五尺自乘
得二百二十五尺又以初商之高十尺
與初商之長與闊十五尺相乘得一百
五十尺倍之得三百尺兩數相併得五
百二十五尺為次商三方廉面積以除
[029-20b]
次商積一千二百一十八尺足二尺則
[029-21a]
以二尺書於原積八尺之上合初商次
商共十二尺為初商次商之髙加縱多
五尺得十七尺為初商次商之長與闊
乃以初商次商之長與闊十七尺自乘
得二百八十九尺又以初商次商之高
十二尺再乘得三千四百六十八尺與
原積相減恰盡即知立方之高為十二
尺其長與闊得十七尺也
[029-21b]
設如帶兩縱相同立方積一百零三萬四千二百八
十九寸其長與闊俱比高多三百三十寸問長闊
髙各㡬何
法列積如開立方法商之其一百萬寸
為初商積可商一百寸乃以所商一百
寸為高加縱多三百三十寸得四百三
十寸為長與闊即以長與闊四百三十
寸自乘得一十八萬四千九百寸又以
高一百寸再乘得一千八百四十九萬
[029-21b]
寸大於原積十倍有餘是初商不可商
[029-22a]
一百寸也乃改商十寸為高既大於原/積十倍有
餘故取十分之/一商之為十寸加縱多三百三十寸得
三百四十寸為長與闊即以長與闊三
百四十寸自乘得一十一萬五千六百
寸又以髙十寸再乘得一百一十五萬
六千寸仍大於原積是亦不可商一十
寸也乃改商九寸書於原積九寸之上
而以所商九寸為髙加縱多三百三十
[029-22b]
寸得三百三十九寸為長與闊即以長
與闊三百三十九寸自乘得一十一萬
四千九百二十一寸又以髙九寸再乘
得一百零三萬四千二百八十九寸書
於原積之下相減恰盡是知立方之髙
為九寸加縱多三百三十寸得三百三
十九寸為立方之長與闊也
設如帶兩縱相同立方積一十一丈五百零九尺二
百六十八寸其長與闊俱比高多二尺一寸問長
[029-22b]
闊髙各㡬何
[029-23a]
法列積如開立方法商之其一十一丈
為初商積可商二丈乃以二丈書於原
積一丈之上而以所商二丈為初商之
髙加縱多二尺一寸得二丈二尺一寸
為初商之長與闊乃以初商之長與闊
二丈二尺一寸自乘得四丈八十八尺
四十一寸又以初商之髙二丈再乘得
九丈七百六十八尺二百寸書於原積
[029-23b]
之下相減餘一丈七百四十一尺零六
十八寸即一千七百四十一尺零六十
八寸為次商廉隅之共積乃以初商之
長與闊二丈二尺一寸作二十二尺一
寸自乘得四百八十八尺四十一寸又
以初商之髙二丈作二十尺與初商之
長與闊二十二尺一寸相乘得四百四
十二尺倍之得八百八十四尺兩數相
併得一千三百七十二尺四十一寸為
[029-23b]
次商三方廉面積以除次商廉隅之共
[029-24a]
積一千七百四十一尺零六十八寸足
一尺則以一尺書於原積九尺之上而
以初商之長與闊二十二尺一寸倍之
得四十四尺二寸與初商之髙二十尺
相併得六十四尺二寸以次商之一尺
乘之得六十四尺二十寸為次商三長
廉面積又以次商之一尺自乘仍得一
尺為次商一小隅面積合三方廉三長
[029-24b]
廉一小隅面積共得一千四百三十七
尺六十一寸為廉隅共法以次商之一
尺乘之得一千四百三十七尺六百一
十寸書於餘積之下相減仍餘三百零
三尺四百五十八寸即三十萬三千四
百五十八寸為三商廉隅之共積其初
商次商所得之二丈一尺為髙加縱多
二尺一寸得二丈三尺一寸為長與闊
乃以初商次商之長與闊二丈三尺一
[029-24b]
寸作二百三十一寸自乘得五萬三千
[029-25a]
三百六十一寸又以初商次商之髙二
丈一尺作二百一十寸與初商次商之
長與闊二百三十一寸相乘得四萬八
千五百一十寸倍之得九萬七千零二
十寸兩數相併得一十五萬零三百八
十一寸為三商三方廉面積以除三商
廉隅之共積三十萬零三千四百五十
八寸足二寸則以二寸書於原積八寸
[029-25b]
之上而以初商次商之長與闊二百三
十一寸倍之得四百六十二寸與初商
次商之髙二百一十寸相加得六百七
十二寸以三商之二寸乘之得一千三
百四十四寸為三商三長廉面積又以
三商之二寸自乘得四寸為三商一小
隅面積合三方廉三長廉一小隅面積
共得一十五萬一千七百二十九寸為
廉隅共法以三商之二寸乘之得三十
[029-25b]
萬三千四百五十八寸書於餘積之下
[029-26a]
相減恰盡是知立方之高得二丈一尺
二寸加縱多二尺一寸得二丈三尺三
寸即立方之長與闊也
設如帶兩縱不同立方積一百九十二尺其闊比高
多二尺其長比闊又多二尺問髙闊長各㡬何
法列積如開立方法商之其積一百九
十二尺可商五尺乃以所商五尺為髙
加闊比髙多二尺得七尺為闊再加長
[029-26b]
比闊多二尺得九尺為長即以高五尺
與闊七尺相乘得三十五尺又以長九
尺再乘得三百一十五尺大於原積乃
改商四尺書於原積二尺之上而以所
商四尺為髙加闊比髙多二尺得六尺
為闊再加長比闊多二尺得八尺為長
即以髙四尺與闊六尺相乘得二十四
尺又以長八尺再乘得一百九十二尺
書於原積之下相減恰盡是知立方之
[029-26b]
髙為四尺其闊為六尺其長為八尺也
[029-27a]
如圖甲乙丙丁戊己長方體形容積一
百九十二尺其甲乙為髙四尺甲已為
闊六尺己戊為長八尺甲已比甲庚所
多庚已二尺即闊比髙所帶之縱己戊
比己辛所多辛戊四尺即長比髙所帶
之縱甲乙子癸壬庚正方形即初商之
正方積庚壬癸子丙丁戊辛已磬折體
形即長闊兩縱所多之長方積也此法
[029-27b]
因長比闊多闊又比髙多故初商所得
即為髙於髙加闊縱為闊於闊加長縱
為長也
設如帶兩縱不同立方積三千零二十四尺其闊比
髙多二尺其長比闊又多四尺問髙闊長各㡬何
法列積如開立方法商之其三千尺為
初商積可商十尺乃以十尺書於原積
三千尺之上而以所商十尺為初商之
髙加闊比髙多二尺得十二尺為初商
[029-27b]
之闊再加長比闊多四尺得十六尺為
[029-28a]
初商之長乃以初商之高十尺與初商
之闊十二尺相乘得一百二十尺又以
初商之長十六尺再乘得一千九百二
十尺書於原積之下相減餘一千一百
零四尺為次商廉隅之共積乃以初商
之髙十尺與初商之闊十二尺相乘得
一百二十尺此帶闊縱/一方廉也又以初商之高
十尺與初商之長十六尺相乘得一百
[029-28b]
六十尺此帶長縱/一方廉也又以初商之闊十二
尺與初商之長十六尺相乘得一百九
十二尺此帶長闊兩/縱一方廉也三數相併得四百
七十二尺為次商三方廉面積以除次
商廉隅之共積一千一百零四尺足二
尺則以二尺書於原積四尺之上而以
初商之髙十尺此一長廉/初商數也與初商之闊
十二尺相併此帶闊縱/一長廉也得二十二尺又
與初商之長十六尺相併此帶長縱/一長廉也得
[029-28b]
三十八尺以次商之二尺乘之得七十
[029-29a]
六尺為次商三長廉面積又以次商之
二尺自乘得四尺為次商一小隅面積
合三方廉三長廉一小隅面積共得五
百五十二尺為廉隅共法以次商之二
尺乘之得一千一百零四尺書於原積
之下相減恰盡是知立方之高得十二
尺加闊比髙多二尺得十四尺為闊又
加長比闊多四尺得十八尺為長也如
[029-29b]
圖甲乙丙丁長方體形容積三千零二
十四尺其甲乙髙十二尺甲戊闊十四
尺甲已長十八尺甲戊比甲庚所多二
尺即闊比髙所多之數甲已比辛己所
多六尺即長比髙所多之數其從一角
所分壬乙子癸長方體形壬乙與癸子
皆十尺即初商之數壬未與癸申皆十
二尺即初商之髙加闊多之數壬癸與
未申皆十六尺即初商之髙加闊多又
[029-29b]
加長多之數壬乙子癸長方體形所容
[029-30a]
一千九百二十尺即初商積所餘丑形
寅形夘形為三方廉其夘形之髙十尺
即初商之數其帶闊縱二尺如酉即闊
多之數其丑形之髙十尺亦即初商之
數其帶長縱六尺如戌即長多之數其
寅形之闊十尺又帶闊多二尺如亥即
初商之髙加闊多之數其帶長縱六尺
如乾即初商之髙加闊多又加長多之
[029-30b]
數其厚皆二尺即次商之數辰形巳形
午形為三長廉其辰形之長十尺即初
商之數巳形比辰形所多二尺如坎即
闊多之數其午形比辰形所多六尺如
艮即長多之數其闊與厚皆二尺亦即
次商之數其已形一小正方體為隅其
長闊與髙俱二尺亦即次商之數合三
方廉三長廉一小隅共成一磬折體形
附於初商長方體之三面而成甲乙丙
[029-30b]
丁之總長方體積也三商以後皆倣此
[029-31a]
遞析開之
又法以初商積三千尺商十尺書於原
積三千尺之上而以所商十尺為初商
之髙加闊比髙多二尺得十二尺為初
商之闊再加長比闊多四尺得十六尺
為初商之長即以初商之髙十尺與初
商之闊十二尺相乘得一百二十尺又
以初商之長十六尺再乘得一千九百
[029-31b]
二十尺書於原積之下相減餘一千一
百零四尺為次商積乃以初商之闊十
二尺與初商之長十六尺相乘得一百
九十二尺又以初商之髙十尺與初商
之闊十二尺相乘得一百二十尺又以
初商之髙十尺與初商之長十六尺相
乘得一百六十尺三數相併得四百七
十二尺為次商三方廉面積以除次商
積一千一百零四尺足二尺則以二尺
[029-31b]
書於原積四尺之上合初商次商共十
[029-32a]
二尺為初商次商之髙加闊比髙多二
尺得十四尺為初商次商之闊再加長
比闊多四尺得十八尺為初商次商之
長乃以初商次商之高十二尺與初商
次商之闊十四尺相乘得一百六十八
尺又以初商次商之長十八尺再乘得
三千零二十四尺與原積相減恰盡即
知立方之髙為十二尺其闊為十四尺
[029-32b]
其長為十八尺也
設如帶兩縱不同立方積三十萬零一百六十寸其
闊比髙多九十二寸其長比髙多一百一十四寸
問髙闊長各㡬何
法列積如開立方法商之其三十萬寸
為初商積可商六十寸乃以所商六十
寸為髙加闊比髙多九十二寸得一百
五十二寸為闊再加長比髙多一百一
十四寸得一百七十四寸為長即以高
[029-32b]
六十寸與闊一百五十二寸相乘得九
[029-33a]
千一百二十寸又以長一百七十四寸
再乘得一百五十八萬六千八百八十
寸大於原積五倍有餘是初商不可商
六十寸也乃改商二十寸書於原積空
千寸之上而以所商二十寸為高加闊
比髙多九十二寸得一百一十二寸為
闊又以高二十寸加長比高多一百一
十四寸得一百三十四寸為長乃以高
[029-33b]
二十寸與闊一百一十二寸相乘得二
千二百四十寸又以長一百三十四寸
再乘得三十萬零一百六十寸書於原
積之下相減恰盡是知次商為空位而
立方之髙為二十寸其闊為一百一十
二寸其長為一百三十四寸也
設如帶兩縱不同立方積一萬三千二百八十四寸
其闊比髙多三寸其長比闊多一百一十一寸問
髙闊長各㡬何
[029-33b]
法列積如開立方法商之其一萬三千
[029-34a]
寸為初商積可商二十寸乃以所商二
十寸為高加闊比髙多三寸得二十三
寸為闊再加長比闊多一百一十一寸
得一百三十四寸為長即以髙與闊與
長按法相乘得六萬一千六百四十寸
大於原積四倍有餘是初商不可商二
十寸也乃退商十寸而以所商十寸為
髙加闊比高多三寸得十三寸為闊再
[029-34b]
加長比闊多一百一十一寸得一百二
十四寸為長即以髙與闊與長按法相
乘得一萬六千一百二十寸仍大於原
積乃復退商九寸書於原積四寸之上
而以所商九寸為髙加闊比髙多三寸
得十二寸為闊再加長比闊多一百一
十一寸共一百二十三寸為長即以高
九寸與闊十二寸相乘得一百零八寸
又以長一百二十三寸再乘得一萬三
[029-34b]
千二百八十四寸書於原積之下相減
[029-35a]
恰盡是知立方之髙為九寸其闊為十
二寸其長為一百二十三寸也
設如帶兩縱不同立方積一十三丈二百四十九尺
五百四十五寸其闊比髙多一尺其長比闊又多
二尺二寸問髙闊長㡬何
法列積如開立方法商之其一十三丈
為初商積可商二丈乃以二丈書於原
積三丈之上而以所商二丈為初商之
[029-35b]
髙加闊比髙多一尺得二丈一尺為初
商之闊再加長比闊多二尺二寸得二
丈三尺二寸為初商之長即以初商之
髙二丈與初商之闊二丈一尺相乘得
四丈二十尺又以初商之長二丈三尺
二寸再乘得九丈七百四十四尺書於
原積之下相減餘三丈五百零五尺五
百四十五寸即三千五百零五尺五百
四十五寸為次商廉隅之共積乃以初
[029-35b]
商之髙二丈作二十尺初商之闊二丈
[029-36a]
一尺作二十一尺相乘得四百二十尺
又以初商之長二丈三尺二寸作二十
三尺二寸與初商之髙二十尺相乘得
四百六十四尺又以初商之闊二十一
尺與初商之長二十三尺二寸相乘得
四百八十七尺二十寸三數相併得一
千三百七十一尺二十寸為次商三方
廉面積以除次商廉隅之共積三千五
[029-36b]
百零五尺五百四十五寸足二尺則以
二尺書於原積九尺之上而以初商之
髙二十尺與初商之闊二十一尺初商
之長二十三尺二寸相併得六十四尺
二寸以次商之二尺乘之得一百二十
八尺四十寸為次商三長廉面積又以
次商之二尺自乘得四尺為次商一小
隅面積合三方廉三長廉一小隅面積
共得一千五百零三尺六十寸為廉隅
[029-36b]
共法以次商之二尺乘之得三千零七
[029-37a]
尺二百寸書於餘積之下相減仍餘四
百九十八尺三百四十五寸即四十九
萬八千三百四十五寸為三商廉隅之
共積其初商次商所得之二丈二尺為
髙加闊比髙多一尺得二丈三尺為闊
又加長比闊多二尺二寸得二丈五尺
二寸為長乃以初商次商之髙二丈二
尺作二百二十寸初商次商之闊二丈
[029-37b]
三尺作二百三十寸相乘得五萬零六
百寸又以初商次商之長二丈五尺二
寸作二百五十二寸與初商次商之髙
二百二十寸相乘得五萬五千四百四
十寸又以初商次商之闊二百三十寸
與初商次商之長二百五十二寸相乘
得五萬七千九百六十寸三數相併得
一十六萬四千寸為三商三方廉面積
以除三商廉隅之共積四十九萬八千
[029-37b]
三百四十五寸足三寸則以三寸書於
[029-38a]
原積五寸之上而以初商次商之髙二
百二十寸與初商次商之闊二百三十
寸初商次商之長二百五十二寸相併
得七百零二寸以三商之三寸乘之得
二千一百零六寸為三商三長廉面積
又以三商之三寸自乘得九寸為三商
一小隅面積合三方廉三長廉一小隅
面積共得一十六萬六千一百一十五
[029-38b]
寸為廉隅共法以三商之三寸乘之得
四十九萬八千三百四十五寸書於餘
積之下相減恰盡是知立方之髙得二
丈二尺三寸加闊比髙多一尺得二丈
三尺三寸為闊又加長比闊多二尺二
寸得二丈五尺五寸為長也
設如帶兩縱不同立方積一百三十二萬八千二百
五十尺其闊比髙多五尺其長比闊又多五尺問
髙闊長各㡬何
[029-38b]
法列積如開立方法商之其一百萬尺
[029-39a]
為初商積可商一百尺乃以一百尺書
於原積一百萬尺之上而以所商之一
百尺為初商之髙加闊比髙多五尺得
一百零五尺為初商之闊再加長比闊
多五尺得一百一十尺為初商之長乃
以初商之髙一百尺與初商之闊一百
零五尺相乘得一萬零五百尺又以初
商之長一百一十尺再乘得一百一十
[029-39b]
五萬五千尺書於原積之下相減餘一
十七萬三千二百五十尺為次商廉隅
之共積乃以初商之髙一百尺與初商
之闊一百零五尺相乘得一萬零五百
尺又以初商之髙一百尺與初商之長
一百一十尺相乘得一萬一千尺又以
初商之闊一百零五尺與初商之長一
百一十尺相乘得一萬一千五百五十
尺三數相併得三萬三千零五十尺為
[029-39b]
次商三方廉面積以除次商廉隅之共
[029-40a]
積一十七萬三千二百五十尺不足一
十尺僅足五尺是次商為空位也乃書
一空於原積八千尺之上以存次商之
位復以所商五尺書於原積空尺之上
而以初商次商之髙一百尺與初商次
商之闊一百零五尺初商次商之長一
百一十尺相併得三百一十五尺以三
商之五尺乘之得一千五百七十五尺
[029-40b]
為三商三長廉面積又以三商五尺自
乘得二十五尺為三商一小隅面積合
三方廉三長廉一小隅面積共得三萬
四千六百五十尺為廉隅共法以三商
之五尺乘之得一十七萬三千二百五
十尺書於餘積之下相減恰盡是知立
方之髙為一百零五尺加闊比髙多五
尺得一百一十尺為闊又加長比闊多
五尺得一百一十五尺為長也
[029-40b]
設如一尺土方三萬九千六百八十八尺築堤一段
[029-41a]
其髙與闊相等其長比高闊多六十尺問髙闊長
各㡬何
法列積用帶一縱立方法開之其三萬
九千尺為初商積可商三十尺乃以所
商三十尺為髙與闊加縱多六十尺得
九十尺為長即以髙與闊三十尺自乘
得九百尺又以長九十尺再乘得八萬
一千尺大於原積乃改商二十尺書於
[029-41b]
原積九千尺之上而以所商二十尺為
初商之髙與闊加縱多六十尺得八十
尺為初商之長即以初商之髙與闊二
十尺自乘得四百尺又以初商之長八
十尺再乘得三萬二千尺書於原積之
下相減餘七千六百八十八尺為次商
廉隅之共積乃以初商之高與闊二十
尺自乘得四百尺又以初商之長八十
尺與初商之高與闊二十尺相乘得一
[029-41b]
千六百尺倍之得三千二百尺兩數相
[029-42a]
併得三千六百尺為次商三方廉面積
以除次商廉隅之共積七千六百八十
八尺足二尺則以二尺書於原積八尺
之上而以初商之髙與闊二十尺倍之
得四十尺與初商之長八十尺相併得
一百二十尺以次商之二尺乘之得二
百四十尺為次商三長廉面積又以次
商之二尺自乘得四尺為次商一小隅
[029-42b]
面積合三方廉三長廉一小隅面積共
得三千八百四十四尺為廉隅共法以
次商之二尺乘之得七千六百八十八
尺書於餘積之下相減恰盡是知堤之
髙與闊俱二十二尺加長比髙闊多六
十尺得八十二尺為堤一段之長也
設如有倉一座容米二千四百石其倉之長與闊俱
比髙多五尺問倉之長闊髙各㡬何
法将米二千四百石用每石定法二尺
[029-42b]
五百寸乘之得六千尺乃以六千尺為
[029-43a]
帶兩縱相同立方積用帶兩縱相同法
開之其六千尺為初商積可商十尺乃
以十尺書於原積六千尺之上而以所
商十尺為初商之高加縱多五尺得十
五尺為初商之長與闊乃以初商之長
與闊十五尺自乘得二百二十五尺又
以初商之髙十尺再乘得二千二百五
十尺書於原積之下相減餘三千七百
[029-43b]
五十尺為次商廉隅之共積乃以初商
之長與闊十五尺自乘得二百二十五
尺又以初商之髙十尺與初商之長與
闊十五尺相乘得一百五十尺倍之得
三百尺兩數相併得五百二十五尺為
次商三方廉面積以除次商廉隅之共
積三千七百五十尺足七尺乃按法算
之得廉隅共法八百五十四尺以次商
之七尺乘之得五千九百七十八尺大
[029-43b]
於次商廉隅之共積乃改商六尺按法
[029-44a]
算之得廉隅共法八百零一尺以次商
之六尺乘之仍大於次商廉隅之共積
又改商五尺書於原積空尺之上而以
初商之長與闊十五尺倍之得三十尺
與初商之高十尺相併得四十尺以次
商之五尺乘之得二百尺為次商三長
廉面積又以次商之五尺自乘得二十
五尺為次商一小隅面積合三方廉三
[029-44b]
長廉一小隅面積共得七百五十尺為
廉隅共法以次商之五尺乘之得三千
七百五十尺書於餘積之下相減恰盡
是知倉之高為一十五尺加縱多五尺
得二十尺為倉之長與闊也
設如挑河一段但知挑出土方七萬六千一百四十
尺其寬比深多三尺其長比寬多二百六十四尺
問寬長深各㡬何
法列積用帶兩縱不同立方法開之其
[029-44b]
七萬六千尺為初商積可商四十尺因
[029-45a]
長縱甚多故取小數商二十尺為深加
寬比深多三尺得二十三尺為寬再加
長比寬多二百六十四尺得二百八十
七尺為長以三數相乘得十萬三千二
百零二十尺大於原積乃改商十尺書
於原積六千尺之上而以所商十尺為
初商之深加寬比深多三尺得十三尺
為初商之寬再加長比寬多二百六十
[029-45b]
四尺得二百七十七尺為初商之長乃
以初商之深十尺與初商之寬十三尺
相乘得一百三十尺又以初商之長二
百七十七尺再乘得三萬六千零十尺
書於原積之下相減餘四萬零一百三
十尺為次商亷隅之共積乃以初商之
深十尺與初商之寬十三尺相乘得一
百三十尺又以初商之寬十三尺與初
商之長二百七十七尺相乘得三千六
[029-45b]
百零一尺又以初商之深十尺與初商
[029-46a]
之長二百七十七尺相乘得二千七百
七十尺三數相併得六千五百零一尺
為次商三方廉面積以除次商廉隅之
共積四萬零一百三十尺足五尺則以
五尺書於原積空尺之上而以初商之
深十尺與初商之寬十三尺初商之長
二百七十七尺相併得三百尺以次商
之五尺乘之得一千五百尺為次商三
[029-46b]
長亷面積又以次商之五尺自乘得二
十五尺為次商一小隅面積合三方廉
三長廉一小隅面積共得八千零二十
六尺為廉隅共法以次商之五尺乘之
得四萬零一百三十尺書於餘積之下
相減恰盡是知挑河之深為十五尺加
寬比深多三尺得十八尺為寬再加長
比寛多二百六十四尺得二百八十二
尺為河一段之長也
[029-47a]
𢃄縱和數立方
𢃄縱較數立方其法已難而𢃄縱和數立方立法尤
難故古無傳而以理推之則法有與較數相對待者
其𢃄一縱立方高與闊相等惟長不同如以長與高
和或長與闊和為問者則以初商為高與闊而與和
數相減餘為長乃以高與闊自乗以長再乗為初商
積其或和數甚多而積甚少按立方法商之必至大
於原積者則以和數除原積得數約開平方可得幾
[029-47b]
數取略大數以定初商初商減積有餘實者其初商
方積外有二方亷一長亷成兩面磬折體形而初商
之高與闊少一次商初商之長多一次商故内少一
方亷積商除之法則以初商之高與闊與初商之長
相乗倍之為二方亷面積視餘實足方亷面積幾倍
取略大數以定次商而以初商自乗次商再乗得一
方亷積與餘實相加始足次商二方亷一長亷之共
積故以次商與初商之長相減餘為初商次商之共
長與初商相乗倍之為二方亷面積又以初商次商
[029-47b]
之共長與次商相乗為一長亷面積合二方亷一長
[029-48a]
亷面積以次商乗之為二方亷一長亷之共積所謂
初商方積外成兩面磬折體形是也其𢃄兩縱相同
立方長與闊相等惟高不同如以高與闊和或高與
長和為問者則以初商為高與和數相減餘為長與
闊乃以長與闊自乗以高再乗為初商積其或和數
甚多而積甚少按立方法商之必至大於原積者則
以和數自乗除原積約足幾倍取略大數以定初商
初商減積有餘實者初商方積外止一方亷成一扁
[029-48b]
方體形而初商之高少一次商初商之長與闊各多
一次商故内少二方亷一長亷積商除之法則以初
商之長與闊自乗為一方亷面積視餘實足方亷面
積幾倍取略大數以定次商以次商與初商之長與
闊相減餘為初商次商之長與闊而與初商相乗次
商再乗倍之為二方亷積又以次商自乗初商再乗
為一長亷積合二方亷一長亷積與餘實相加始足
次商一方亷積故以初商次商之長與闊自乗次商
再乗為一方亷積所謂初商方積外成一扁方體形
[029-48b]
是也其𢃄兩縱不同立方與𢃄兩縱相同立方同但
[029-49a]
帶兩縱相同者其次商積為一正方廉帶兩縱不同
者其次商積為一長方廉耳要之定商皆以小於半
和為準有時退商而反不足進商而反有餘須合初
商次商以斟酌之至次商以後因有益積之法故廉
法亦不足憑則又須較量而増損之可也
設如帶一縱立方積七百六十八尺其高與闊等長
與闊和二十尺問高闊長各㡬何
法列積如開立方法商之其積七百六
[029-49b]
十八尺可商九尺則以九尺為高與闊
與長闊和二十尺相減餘十一尺為長
即以高與闊九尺自乘得八十一尺又
以長十一尺再乘得八百九十一尺大
於原積乃退商八尺書於原積八尺之
上而以所商八尺為高與闊與長闊和
二十尺相減餘十二尺為長即以髙與
闊八尺自乘得六十四尺又以長十二
尺再乘得七百六十八尺書於原積之
[029-49b]
下相減恰盡是知立方之高與闊俱八
[029-50a]
尺長十二尺也如圖甲乙丙丁戊己長
方體形容積七百六十八尺其甲乙為
高乙丙為闊丙丁為長甲乙乙丙俱八
尺丙丁為十二尺乙丙與丙丁共二十
尺即長闊之和初商所得即高與闊於
長闊和内減去初商所餘即長也此法
與較數帶縱立方有加減之異彼以所
商之數與較數相加此則以所商之數
[029-50b]
與和數相減也
設如帶一縱立方積二千四百四十八尺其高與闊
相等長與闊和二十九尺問髙闊長各㡬何
法列積如開立方法商之其二千尺為
初商積可商十尺乃以十尺書於原積
二千尺之上而以所商十尺為初商之
高與闊與長闊和二十九尺相減餘十
九尺為初商之長即以初商之高與闊
十尺自乘得一百尺又以初商之長十
[029-50b]
九尺再乘得一千九百尺書於原積之
[029-51a]
下相減餘五百四十八尺乃以初商之
髙與闊十尺與初商之長十九尺相乘
得一百九十尺倍之得三百八十尺以
除餘積五百四十八尺足一尺因仍益
積且初商之長尚減去次商數故取大
數為二尺則以二尺書於原積八尺之
上而以初商十尺自乘又以次商二尺
再乘得二百尺與餘積五百四十八尺
[029-51b]
相加得七百四十八尺為次商二方廉
一長廉之共積乃以次商二尺與初高
之長十九尺相減餘十七尺為初商次
商之長與初商之高與闊十尺相乘得
一百七十尺倍之得三百四十尺為二
方廉面積又以次商二尺與初商次商
之長十七尺相乘得三十四尺為一長
廉面積合二方廉一長廉面積共三百
七十四尺以次商二尺乘之得七百四
[029-51b]
十八尺書於餘積之下相減恰盡是知
[029-52a]
立方之高與闊俱十二尺長十七尺也
如圖甲乙丙丁長方體形甲乙高乙戊
闊皆十二尺戊丙長十七尺乙戊與戊
丙共二十九尺即長闊之和其從一角
所分己乙壬癸長方體形己乙與乙庚
皆十尺即初商數壬庚十九尺即長闊
和内減初商所餘之數比戊丙多子壬
一段即次商數己乙壬癸長方積一千
[029-52b]
九百尺即初商自乘又以初商與長闊
和相減之餘再乘之數比初商原體積
多丑寅壬癸一扁方體形因初商積内
多減去此積故以初商自乗次商再乗
而得丑寅壬癸扁方體積與餘積相加
即得甲己辛庚丙丁兩面磬折體形其
辰形巳形為兩方廉其闊十尺即初商
數其長十七尺即長闊和内減初商次
商之數其厚皆二尺即次商數午形為
[029-52b]
一長廉其長十七尺與方廉同其闊與
[029-53a]
厚皆二尺亦即次商數合二方廉一長
廉共成一磬折體形附於長方體之兩
面而成甲乙丙丁之總長方體積也
設如帶一縱立方積九萬九千九百五十四尺其高
與闊相等長與闊和一千二百四十三尺問高闊
長各㡬何
法列積如開立方法商之其九萬九千
尺為初商積可商四十尺而長闊和為
[029-53b]
一千二百四十三尺按法相乘過大於
原積爰以長闊和一千二百四十三尺
除原積九萬九千九百五十四尺足八
十尺有餘以八十尺開平方約足九尺
乃以九尺書於原積四尺之上而以所
商九尺為髙與闊與長闊和一千二百
四十三尺相減餘一千二百三十四尺
為長即以髙與闊九尺自乘得八十一
尺又以長一千二百三十四尺再乘得
[029-53b]
九萬九千九百五十四尺書於原積之
[029-54a]
下相減恰盡是知立方之髙與闊俱九
尺長一千二百三十四尺也此法葢因
帶一縱甚多高與闊甚少其長闊和比
長所多無㡬故以長闊和除原積即得
髙與闊自乘之一面積而開平方所得
即髙與闊與長闊和相減所餘即長也
設如帶兩縱相同立方積三百八十四尺其長與闊
相等高與闊和十四尺問髙闊長各㡬何
[029-54b]
法列積如開立方法商之其積三百八
十四尺可商七尺因欲得小於半和之
數乃退商六尺書於原積四尺之上而
以所商六尺為高與高闊和十四尺相
減餘八尺為長與闊即以長與闊八尺
自乘得六十四尺又以高六尺再乘得
三百八十四尺書於原積之下相減恰
盡是知立方之高為六尺長與闊皆八
尺也如圖甲乙丙丁戊己扁方體形容
[029-54b]
積三百八十四尺其甲乙為高乙丙為
[029-55a]
闊丙丁為長甲乙六尺乙丙與丙丁皆
八尺甲乙與乙丙共十四尺即高與闊
之和初商所得為高於高闊和内減去
初商所餘為闊亦即長也
設如帶兩縱相同立方積六千九百一十二尺其長
與闊相等高與闊和三十六尺問高闊長各㡬何
法列積如開立方法商之其六千尺為
初商積可商十尺乃以十尺書於原積
[029-55b]
六千尺之上而以所商十尺為初商之
高與高闊和三十六尺相減餘二十六
尺為初商之長與闊即以初商之長與
闊二十六尺自乘得六百七十六尺又
以初商之高十尺再乘得六千七百六
十尺書於原積之下相減餘一百五十
二尺乃以初商之長與闊二十六尺自
乘得六百七十六尺以除餘積一百五
十二尺不足一尺因仍益積且初商之
[029-55b]
長與闊内尚減去次商數故取大數為
[029-56a]
二尺書於原積二尺之上而以次商二
尺與初商之長與闊二十六尺相減餘
二十四尺為初商次商之長與闊與初
商十尺相乘得二百四十尺以次商二
尺再乘得四百八十尺倍之得九百六
十尺為二方廉積又以次商二尺自乘
以初商十尺再乘得四十尺為一長廉
積合二方廉一長廉積共一千尺與餘
[029-56b]
積一百五十二尺相加得一千一百五
十二尺為次商一方廉積乃以初商次
商之長二十四尺自乘得五百七十六
尺以次商二尺再乘得一千一百五十
二尺書於餘積之下相減恰盡是知立
方之高十二尺長與闊皆二十四尺也
如圖甲乙丙丁扁方體形容積六千九
百一十二尺甲乙高十二尺甲戊長甲
己闊俱二十四尺甲己與甲乙共三十
[029-56b]
六尺即高與闊之和其從一面所分庚
[029-57a]
乙癸子扁方體形庚乙十尺即初商數
庚丑與庚寅皆二十六尺即高闊和内
減初商之數庚丑比甲戊多庚夘一段
庚寅比甲己多辰寅一段即次商數庚
乙癸子長方積六千七百六十尺即初
商與高闊和相減之餘數自乘又以初
商再乘之數比初商原體積多巳午二
方廉積未一長廉積因初商積内多減
[029-57b]
去此積故以初商次商之長與闊與初
商相乘以次商再乘倍之即得巳午二
方廉積又以次商自乘以初商再乘即
得未一長廉積與餘積相加即得甲庚
辛壬丁戊扁方體形其甲戊長甲己闊
皆二十四尺即高闊和内減初商次商
之數甲庚厚二尺即次商數附於初商
扁方體之一面而成甲乙丙丁之總扁
方體積也三商以後皆倣此遞析推之
[029-57b]
設如帶兩縱相同立方積三百九十六萬八千零六
[029-58a]
十四尺其長與闊相等高與闊和一千尺問高闊
長各㡬何
法列積如開立方法商之其三百萬尺
為初商積可商一百尺而高闊和為一
千尺按法相乘過大於原積爰以髙闊
和一千尺自乘得一百萬尺以除原積
三百九十六萬八千零六十四尺足三
尺取略大數為四尺乃以四尺書於原
[029-58b]
積四尺之上而以所商四尺為髙與高
闊和一千尺相減餘九百九十六尺為
長與闊即以長與闊九百九十六尺自
乘得九十九萬二千零一十六尺又以
髙四尺再乘得三百九十六萬八千零
六十四尺書於原積之下相減恰盡是
知立方之髙為四尺長與闊俱九百九
十六尺也此法葢因帶兩縱甚多而高
數甚少其高闊和比原長原闊所多無
[029-58b]
㡬故以高闊和自乘得一面積以除原
[029-59a]
積即得高與高闊和相減所餘為闊亦
即長邊也
設如帶兩縱不同立方積四百八十尺高與闊和十
四尺高與長和十六尺問高闊長各㡬何
法列積如開立方法商之其積四百八
十尺可商七尺因欲得小於半和之數
乃退商六尺書於原積空尺之上而以
所商六尺為高與高與闊和十四尺相
[029-59b]
減餘八尺為闊又以高六尺與高與長
和十六尺相減餘十尺為長即以高六
尺與闊八尺相乘得四十八尺又以長
十尺再乘得四百八十尺書於原積之
下相減恰盡是知立方之高為六尺其
闊為八尺其長為十尺也如圖甲乙丙
丁戊己長方體形容積四百八十尺其
甲乙為高六尺乙丙為闊八尺甲己為
長十尺甲己與甲乙共十六尺即高與
[029-59b]
長之和甲乙與乙丙共十四尺即高與
[029-60a]
闊之和初商所得為高與高闊和相減
所餘為闊以高與高長和相減所餘即
長也
設如帶兩縱不同立方積八千零六十四尺高與闊
和三十六尺高與長和四十尺問高闊長各㡬何
法列積如開立方法商之其八千尺為
初商積可商二十尺因欲得小於半和
之數乃退商十尺書於原積八千尺之
[029-60b]
上而以所商十尺為初商之高與高闊
和三十六尺相減餘二十六尺為初商
之闊又以初商之高十尺與高長和四
十尺相減餘三十尺為初商之長即以
初商之高十尺與初商之闊二十六尺
相乘得二百六十尺以初商之長三十
尺再乘得七千八百尺書於原積之下
相減餘二百六十四尺為一長方廉積
其厚即次商之數其長與闊比初商之
[029-60b]
長與闊各少一次商之數乃以初商之
[029-61a]
長三十尺與初商之闊二十六尺相乘
得七百八十尺以除餘積二百六十四
尺不足一尺因仍益積且初商之長闊
尚減去次商數故取大數為二尺書於
原積四尺之上而以所商二尺與初商
之闊二十六尺相減餘二十四尺為初
商次商之闊以所商二尺與初商之長
三十尺相減餘二十八尺為初商次商
[029-61b]
之長即以初商次商之闊二十四尺與
初商之高十尺相乘得二百四十尺又
以初商次商之長二十八尺與初商之
高十尺相乘得二百八十尺兩數相併
得五百二十尺以次商二尺乘之得一
十零四十尺為二方廉積又以次商二
尺自乘得四尺以初商十尺再乘得四
十尺為一長廉積合二方廉一長廉積
共一千零八十尺與餘積二百六十四
[029-61b]
尺相加得一千三百四十四尺為次商
[029-62a]
一方廉積乃以初商次商之闊二十四
尺與長二十八尺相乘得六百七十二
尺以次商二尺再乘得一千三百四十
四尺書於餘積之下相減恰盡是知立
方之高十二尺闊二十四尺長二十八
尺也如圗甲乙丙丁扁長方體形容積
八千零六十四尺甲乙高十二尺甲戊
長二十八尺甲己闊二十四尺甲乙與
[029-62b]
甲己共三十六尺即高與闊之和甲乙
與甲戊共四十尺即高與長之和其從
一面所分庚乙癸子扁長方體形庚乙
十尺即初商數庚丑三十尺即高與長
和内減初商之數庚寅二十六尺即高
與闊和内減初商之數庚丑比甲戊多
庚夘一段庚寅比甲己多辰寅一段即
次商數庚乙癸子長方積七千八百尺
即初商之長與初商之闊相乘又以初
[029-62b]
商之高再乘之數比原長原闊多巳午
[029-63a]
二方廉積未一長廉積因初商積内多
減去此積故以初商次商之長與初商
之髙相乘以初商次商之闊與初商之
髙相乘兩數相併以次商再乘即得巳
午二方廉積又以次商自乘以初商之
髙再乘即得未一長廉積與餘積相加
即得甲庚辛壬丁戊一扁長方體形其
甲巳闊二十四尺即髙闊和内減初商
[029-63b]
次商之數甲戊長二十八尺即髙長和
内減初商次啇之數甲庚厚二尺即次
啇數附於初啇扁長方體之一面而成
甲乙丙丁之總扁長方體積也三商以
後皆倣此逓折推之
設如帶兩縱不同立方積一十七萬二千六百九十
二尺髙與闊和一百二十九尺髙與長和二百四
十尺問髙闊長各幾何
法列積如開立方法商之其一十七萬
[029-63b]
二千尺為初商積可啇五十尺而長即
[029-64a]
為一百九十尺闊即為七十九尺按法
相乘過大於原積爰以髙與闊和一百
二十九尺與髙與長和二百四十尺相
乘得三萬零八百六十尺以除原積一
十七萬二千六百九十二尺足五尺取
略大之數為六尺乃以六尺書於原積
二尺之上而以所商六尺為髙與髙與
闊和一百二十九尺相減餘一百二十
[029-64b]
三尺為闊又以髙六尺與髙與長和二
百四十尺相減餘二百三十四尺為長
即以闊一百二十三尺與長二百三十
四尺相乘得二萬八千七百八十二尺
又以髙六尺再乘得一十七萬二千六
百九十二尺書於原積之下相減恰盡
是知立方之髙為六尺闊為一百二十
三尺長為二百三十四尺也此法蓋因
帶兩縱甚多而髙數甚少其髙與闊和
[029-64b]
比原闊所多無幾髙與長和比原長所
[029-65a]
多亦無㡬故以高與闊和與高與長和
相乘得一面積以除原積即得高與高
闊和相減所餘為闊與高與長和相減
所餘即長也
[029-66a]
附勾股法四條
設如勾股積六尺勾弦較二尺求勾股弦各㡬何
法以勾股積六尺倍之得十二尺自乘
得一百四十四尺以勾弦較二尺除之
得七十二尺折半得三十六尺為長方
體積乃以勾弦較二尺折半得一尺為
長方體之長比髙闊所多之較用帶一
縱較數開立方法算之得髙與闊三尺
[029-66b]
為勾加勾弦較二尺得五尺為弦以勾
三尺除倍積十二尺得四尺為股也此
法有勾股積勾弦較必得股自乘積以
勾弦較除之始得勾弦和而勾弦和為
二勾一勾弦較之共數將勾弦和半之
為一勾半勾弦較之共數今作為帶縱
立方體算者即如以勾為帶縱立方之
髙與闊勾與半勾弦較之共數為帶縱
立方之長半勾弦較為帶縱之較用帶
[029-66b]
縱較數立方法開之得髙與闊即勾也
[029-67a]
如甲乙丙勾股積倍之成甲丁乙丙勾
股相乘之長方面積自乘得戊己庚辛
正方面積即如勾自乘股自乘兩自乘
數再相乘之壬癸子丑長方面積試將
此長方面積變為長方體積其底為勾
自乘之數其長為股自乘之數其勾自
乘之底邊即勾而股自乘之長又為勾
弦較與勾弦和相乘之數是暗中已得
[029-67b]
股自乘之一數矣其長方體即如寅卯
辰巳長方體形然又試作一申甲乙酉
弦自乘之正方内申戌乙丙為勾自乘
之正方則戌甲乙酉丙乙磬折形與股
自乘之正方等引而長之成戌甲丙亥
之長方其戌甲闊即勾弦較甲乙丙長
即勾弦和今以股自乘之數用勾弦較
除之得勾弦和即如寅卯辰巳之長方
體積用勾弦較除之而得乾坎辰巳之
[029-67b]
長方體積其午未辰巳之髙闊相乘之
[029-68a]
面積未減而坎未之長即為勾弦和矣
勾弦和既為二勾一勾弦較之共數折
半則得一勾半勾弦較之共數故將所
得之乾坎辰巳長方體積折半為艮震
辰巳長方體積其巳辰髙未辰闊仍皆
為勾與巽未等其震未長為勾與半勾
弦較之共數震巽為半勾弦較即長比
髙闊所多之數故以勾弦較折半用帶
[029-68b]
一縱較數開立方法算之得髙與闊為
勾也
設如勾股積六尺勾弦和八尺求勾股弦各㡬何
法以勾股積六尺倍之得十二尺自乘
得一百四十四尺以勾弦和八尺除之
得十八尺折半得九尺為扁方體積乃
以勾弦和八尺折半得四尺為扁方體
之髙與長闊之和用帶兩縱相同和數
開立方法算之得長與闊三尺為勾於
[029-68b]
勾弦和八尺内減勾三尺餘五尺為弦
[029-69a]
以勾三尺除倍積十二尺得四尺為股
也此法有勾股積勾弦和必得股自乘
積以勾弦和除之始得勾弦較半之為
半勾弦較今作為帶縱立方體算者即
如以勾為帶縱立方之長與闊半勾弦
較為帶縱立方之髙一勾半勾弦較之
共數為帶縱立方之髙與長闊之和用
帶兩縱相同和數立方法開之得長與
[029-69b]
闊即勾也如甲乙丙勾股積倍之成甲
丁乙丙勾股相乘之長方面積自乘得
戊己庚辛正方面積即如勾自乘股自
乘兩自乘數再相乘之壬癸子丑長方
面積試將此長方面積變為長方體積
其底為勾自乘之數其髙為股自乘之
數其勾自乘之底邊即勾而股自乘之
髙又為勾弦較與勾弦和相乘之數是
暗中已得股自乘之一數矣其長方體
[029-69b]
即如寅卯辰巳長方體形然又試作一
[029-70a]
申甲乙酉弦自乘之正方内申戊乙丙
為勾自乘之正方則戌甲乙酉丙乙磬
折形與股自乘之正方等引而長之成
戌甲丙亥之長方其戌甲闊即勾弦較
甲乙丙長即勾弦和今以股自乘之數
用勾弦和除之則得勾弦較即如寅卯
辰巳之長方體積用勾弦和除之而得
乾卯辰坎扁方體積其卯午辰未之長
[029-70b]
闊相乘之面積未減而乾卯之髙即為
勾弦較矣折半則得艮卯辰震扁方體
積其卯午長午辰闊仍皆為勾而艮卯
之髙為半勾弦較其艮卯與卯午即髙
與長闊之和為一勾半勾弦較之共數
而勾弦和乃二勾一勾弦較之共數故
以勾弦和折半得一勾半勾弦較用帶
兩縱相同和數開立方法算之得長與
闊為勾也
[029-70b]
設如勾股積六尺股弦較一尺求勾股弦各㡬何
[029-71a]
法以勾股積六尺倍之得十二尺自乘
得一百四十四尺以股弦較一尺除之
仍得一百四十四尺折半得七十二尺
為長方體積乃以股弦較一尺折半得
五寸為長方體之長比髙闊所多之較
用帶一縱較數開立方法算之得髙與
闊四尺為股加股弦較一尺得五尺為
弦以股四尺除倍積十二尺得三尺為
[029-71b]
勾也此法有勾股積有股弦較必得勾
自乘積以股弦較除之始得股弦和而
股弦和為二股一股弦較之共數將股
弦和半之為一股半股弦較之共數今
作為帶縱立方體算者即如以股為帶
縱立方之髙與闊股與半股弦較之共
數為帶縱立方之長半股弦較為帶縱
之較用帶縱較數立方法開之得髙與
闊即股也如甲乙丙勾股積倍之則成
[029-71b]
甲丁乙丙勾股相乘之長方面積自乘
[029-72a]
得戊己庚辛正方面積即如股自乘勾
自乘兩自乘數再相乘之壬癸子丑長
方面積試將此長方面積變為長方體
積其底為股自乘之數其長為勾自乘
之數其股自乘之底邊即股而勾自乘
之長又為股弦較與股弦和相乘之數
是暗中已得勾自乘之一數矣其長方
體即如寅卯辰巳之長方體形然又試
[029-72b]
作一申乙甲酉弦自乘之正方内申戌
丙甲為股自乘之正方則戌乙甲酉甲
丙磬折形與勾自乘之正方等引而長
之成戌乙丙亥之長方其戌乙闊即股
弦較乙甲丙長即股弦和今以勾自乘
之數用股弦較除之得股弦和即如寅
卯辰巳之長方體積用股弦較除之仍
得寅卯辰巳之長方體積其午未辰巳
髙闊相乘之面積與卯未之長俱未減
[029-72b]
而卯未之長即命為股弦和矣股弦和
[029-73a]
既為二股一股弦較之共數折半則得
一股半股弦較之共數故將所得之寅
卯辰已長方體積折半為乾坎辰已長
方體積其未辰闊已辰髙仍皆為股與
艮未等其坎未長為股與半股弦較之
共數坎艮為半股弦較即長比髙闊所
多之數故以股弦較折半用帶一縱較
數開立方法算之得髙與闊為股也
[029-73b]
設如勾股積六尺股弦和九尺求勾股弦各幾何
法以勾股積六尺倍之得十二尺自乘
得一百四十四尺以股弦和九尺除之
得十六尺折半得八尺為扁方體積乃
以股弦和九尺折半得四尺五寸為扁
方體之髙與長闊之和用帶兩縱相同
和數開立方法算之得長與闊四尺為
股於股弦和九尺内減股四尺餘五尺
為弦以股四尺除倍積十二尺得三尺
[029-73b]
為勾也此法有勾股積股弦和必得勾
[029-74a]
自乘積以股弦和除之始得股弦較半
之為半股弦較今作為帶縱立方體算
者即如以股為帶縱立方之長與闊半
股弦較為帶縱立方之髙一股半股弦
較之共數為帶縱立方之髙與長闊之
和用帶兩縱相同和數立方法開之得
長與闊即股也如甲乙丙勾股積倍之
成甲丁乙丙勾股相乘之長方面積自
[029-74b]
乘得戊己庚辛正方面積即如股自乘
勾自乘兩自乘數再相乘之壬癸子丑
長方面積試將此長方面積變為長方
體積其底為股自乘之數其髙為勾自
乘之數其股自乘之底邊即股而勾自
乘之髙又為股弦和與股弦較相乘之
數是暗中已得勾自乘之一數矣其長
方體即如寅卯辰巳長方體形然又試
作一申乙甲酉弦自乘之正方内申戌
[029-74b]
丙甲為股自乘之正方則戌乙甲酉甲
[029-75a]
丙磬折形與勾自乘之正方等引而長
之成戌乙丙亥之長方其戌乙闊即股
弦較乙甲丙長即股弦和今以勾自乘
之數用股弦和除之則得股弦較即如
寅夘辰巳之長方體積用股弦和除之
而得乾夘辰坎扁方體積其夘午辰未
長闊相乘之面積未減而乾夘之高即
為股弦較矣折半則得艮夘辰震扁方
[029-75b]
體積其夘午長午辰闊仍皆為股而艮
夘之高為半股弦較其艮夘與夘午即
高與長闊之和為一股半股弦較之共
數而股弦和乃二股一股弦較之共數
故以股弦和折半得一股半股弦較用
帶兩縱相同和數開立方法算之得長
與闊為股也
[029-75b]
御製數理精藴下編卷二十四
