[032-1a] 
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷二十七
體部五
各等面體
[032-2a]
各等面體
設如四面體每邊一尺二寸求積幾何
法以每邊一尺二寸為弦每邊折半得
六寸為勾求得股一尺零三分九釐二
豪三絲零四微有餘為每一面之中垂
線與每邊一尺二寸相乗折半得六十
二寸三十五分三十八釐二十四豪有
餘為每一面之面積又以毎邊一尺二
[032-2b]
寸為弦每一面之中垂線取其三分之
二得六寸九分二釐八豪二絲零二㣲
有餘為勾求得股九寸七分九釐七豪
九絲五忽九微有餘為四面體自尖至
底中心之立垂線或以毎一面之中垂
線一尺零三分九釐二豪三絲零四微
有餘為弦每一面之中垂線取其三分
之一得三寸四分六釐四豪一絲零一
微有餘為勾亦得股九寸七分九釐七
[032-2b]
豪九絲五忽八微有餘為四面體自尖
[032-3a]
至底之中之立垂線以此立垂線與每
一面之面積六十二寸三十五分三十
八釐二十四豪有餘相乗三歸之得二
百零三寸六百四十六分七百三十七
釐有餘即四面體之積也如圗甲乙丙
丁四面體其稜六角四平鋪之則面亦
四各成一等邊三角形試以乙丙丁之
一面為底以乙丙一邊為弦丁丙一邊
[032-3b]
折半得戊丙為勾求得乙戊股與甲戊
等即每一面之中垂線與丁丙一邊相
乗折半得乙丙丁底面積又以甲丙一
邊為弦己丙中垂線之三分之二為勾
求得甲己股為自尖至底中心之立垂
線或以甲戊每一面之中垂線為弦己
戊中垂線之三分之一為勾亦得甲己
股為自尖至底中心之立垂線乃以甲
己立垂線與乙丙丁底面積相乗三歸
[032-3b]
之即得甲乙丙丁四面體之積也
[032-4a]
又求自尖至底中心之立垂線㨗法以
毎邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸
三歸二因得九十六寸開平方得九寸
七分九釐七豪九絲五忽八微有餘即
自尖至底中心之立垂線也此法葢因
甲丙為弦戊丙為勾求得甲戊股則甲
戊自乗方為甲丙自乗方之四分之三
見等邊三角形/求中垂線法又甲戊為弦己戊為勾
[032-4b]
求得甲己股則甲己自乗方為甲戊自
乗方之九分之八己戊為甲戊三分之/一則甲戊自乗方為
九分己戊自乗方為一/分甲己自乗方為八分甲戊自乗方既
為甲丙自乗方四分之三今命甲戊自
乗方為甲丙自乗方十二分之九而甲
己自乗方又為甲戊自乗方九分之八
則甲己自乗方必為甲丙自乗方十二
分之八即三分之二故以一邊自乗三
歸二因得甲己自乗方積而開方得甲
[032-4b]
己為立垂線之髙數也
[032-5a]
又用知一邊求髙數之定率比例求自
尖至底中心之立垂線以定率之四面
體之每邊一○○○○○○○○為一
率四面體之立垂線八一六四九六五
八為二率今所設之四面體之每邊一
尺二寸為三率求得四率九寸七分九
釐七豪九絲五忽八微有餘即四面體
自尖至底中心之立垂線也
[032-5b]
又用邊線相等體積不同之定率比例
以定率之正方體積一○○○○○○
○○○為一率四面體積一一七八五
一一二九為二率今所設之四面體之
每邊一尺二寸自乗再乗得一尺七百
二十八寸為三率求得四率二百零三
寸六百四十六分七百五十釐有餘即
四面體之積也葢四面體之每一邊為
一○○○則其自乗再乗之正方體積
[032-5b]
為一○○○○○○○○○而四面體
[032-6a]
之每一邊一○○○所得之四面體積
為一一七八五一一二九故以子丑寅
卯四面體之每邊一尺自乗再乗之辰
巳午未正方體積一○○○○○○○
○○與子丑寅卯四面體積一一七八
五一一二九之比即同於今所設之甲
乙丙丁四面體之每邊一尺二寸自乗
再乗之戊己庚辛正方體積一尺七百
[032-6b]
二十八寸與今所得之甲乙丙丁四面
體積二百零三寸六百四十六分七百
五十釐有餘之比也
又用體積相等邊線不同之定率比例
以定率之四面體之每邊二○三九六
四八九○為一率正方體之每邊一○
○○○○○○○為二率今所設之四
面體之毎邊一尺二寸為三率求得四
率五寸八分八釐三豪三絲六忽五微
[032-6b]
有餘為與四面體積相等之正方體每
[032-7a]
邊之數自乗再乗得二百零三寸六百
四十六分七百釐有餘即四面體之積
也葢四面體之每邊為二○三九六四
八九○正方體之每邊為一○○○○
○○○○則兩體積相等故以子丑寅
卯四面體之毎邊二○三九六四八九
○與辰巳午未正方體之每邊一○○
○○○○○○之比即同於今所設之
[032-7b]
甲乙丙丁四面體之每邊一尺二寸與
今所得之戊己庚辛正方體之每邊五
寸八分八釐三豪三絲六忽五微有餘
之比既得一邊自乗再乗得戊己庚辛
正方體積即與甲乙丙丁四面體之積
為相等也
如有四面體積二百零三寸六百四十
六分七百五十釐求每邊之數則用邊
線相等體積不同之定率比例以定率
[032-7b]
之四面體積一一七八五一一二九為
[032-8a]
一率正方體積一○○○○○○○○
○為二率今所設之四面體積二百零
三寸六百四十六分七百五十釐為三
率求得四率一尺七百二十八寸開立
方得一尺二寸即四面體之每一邊也
此法葢因四面體之每邊與正方體之
每邊相等四面體積與正方體積不同
故先定為體與體之比例既得正方體
[032-8b]
積而後開立方得線也
又法用體積相等邊線不同之定率比
例以定率之正方體之毎邊一○○○
○○○○○為一率四面體之每邊二
○三九六四八九○為二率今所設之
四面體積二百零三寸六百四十六分
七百五十釐開立方得五寸八分八釐
三豪三絲六忽五微有餘為三率求得
四率一尺二寸即四面體之每一邊也
[032-8b]
此法葢因四面體積與正方體積相等
[032-9a]
四面體之每邊與正方體之每邊不同
故以四面體積先開立方得正方體之
每邊而後為線與線之比例也
設如八面體每邊一尺二寸求積幾何
法以八面體分作二尖方體算之将每
邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸為
二尖方體之共底面積又以每邊自乗
之一尺四十四寸倍之得二尺八十八
[032-9b]
寸開平方得一尺六寸九分七釐零五
絲六忽二微有餘為二尖方體之共髙
即八面體之對角斜線以此斜線與二
尖方體之共底面積一尺四十四寸相
乗三歸之得八百一十四寸五百八十
六分九百七十六釐有餘即八面體之
積也如圖甲乙丙丁戊己八面體其稜
十二角六平鋪之則面為八各成一等
邊三角形自體正中對四角平分截之
[032-9b]
則成甲乙己丁戊丙乙戊丁己二尖方
[032-10a]
體甲丙為二尖方體之共髙即甲乙丙
丁正方形之對角斜線故以戊乙一邊
自乗得戊乙己丁正方面積為二尖方
體之共底又以戊乙己丁正方面積倍
之開平方即如甲乙為勾乙丙為股各
自乗相併開方得甲丙弦為八面體之
對角斜線即二尖方體之共髙以此共
髙與戊乙己丁二尖方體之底面積相
[032-10b]
乗三歸之得二尖方體積即八面體之
總積也
又用邊線相等體積不同之定率比例
以定率之正方體積一○○○○○○
○○○為一率八面體積四七一四○
四五二一為二率今所設之八面體之
每邊一尺二寸自乗再乗得一尺七百
二十八寸為三率求得四率八百一十
四寸五百八十七分一十二釐有餘即
[032-10b]
八面體之積也葢八面體之每一邊為
[032-11a]
一○○○則其自乗再乗之正方體積
為一○○○○○○○○○而八面體
之每一邊一○○○所得之八面體積
為四七一四○四五二一故以子丑寅
卯辰已八面體之每邊一尺自乗再乗
之午未申酉正方體積一○○○○○
○○○○與子丑寅卯辰己八面體積
四七一四○四五二一之比即同於今
[032-11b]
所設之甲乙丙丁戊己八面體之每邊
一尺二寸自乗再乗之庚辛壬癸正方
體積一尺七百二十八寸與今所得之
甲乙丙丁戊己八面體積八百一十四
寸五百八十七分一十二釐有餘之比
也
又用體積相等邊線不同之定率比例
以定率之八面體之每邊一二八四八
九八二九為一率正方體之每邊一○
[032-11b]
○○○○○○○為二率今所設之八
[032-12a]
面體之每邊一尺二寸為三率求得四
率九寸三分三釐九豪二絲六忽有餘
為與八面體積相等之正方體每邊之
數自乗再乗得八百一十四寸五百八
十六分八百五十六釐有餘即八面體
之積也葢八面體之每邊為一二八四
八九八二九正方體之毎邊為一○○
○○○○○○則兩體積相等故以子
[032-12b]
丑寅卯辰己八面體之每邊一二八四
八九八二九與午未申酉正方體之每
邊一○○○○○○○○之比即同於
今所設之甲乙丙丁戊己八面體之每
邊一尺二寸與今所得之庚辛壬癸正
方體之每邊九寸三分三釐九豪二絲
六忽有餘之比既得一邊自乗再乗得
庚辛壬癸正方體積即與甲乙丙丁戊
己八面體之積為相等也
[032-12b]
如有八面體積八百一十四寸五百八
[032-13a]
十七分一十二釐求每邊之數則用邊
線相等體積不同之定率比例以定率
之八面體積四七一四○四五二一為
一率正方體積一○○○○○○○○
○為二率今所設之八面體積八百一
十四寸五百八十七分一十二釐為三
率求得四率一尺七百二十八寸開立
方得一尺二寸即八面體之每一邊也
[032-13b]
此法葢因八面體之每邊與正方體之
每邊相等八面體積與正方體積不同
故先定為體與體之比例既得正方體
積而後開立方得線也
又法用體積相等邊線不同之定率比
例以定率之正方體之每邊一○○○
○○○○○為一率八面體之每邊一
二八四八九八二九為二率今所設之
八面體積八百一十四寸五百八十七
[032-13b]
分一十二釐開立方得九寸三分三釐
[032-14a]
九豪二絲六忽有餘為三率求得四率
一尺二寸即八面體之每一邊也此法
葢因八面體積與正方體積相等八面
體之每邊與正方體之每邊不同故以
八面體積先開立方得正方體之每邊
而後為線與線之比例也
設如十二面體每邊一尺二寸求積幾何
法以十二面體分作十二五角尖體算
[032-14b]
之将每邊一尺二寸求得五等邊形之
分角線為一尺零二分零七豪八絲零
九微有餘自中心至每邊之垂線為八
寸二分五釐八豪二絲九忽一微有餘
面積為二尺四十七寸七十四分八十
七釐三十豪有餘乃用理分中末線之
大分六一八○三三九九為一率全分
一○○○○○○○○為二率今所設
之每邊一尺二寸為三率求得四率一
[032-14b]
尺九寸四分一釐六豪四絲零七微有
[032-15a]
餘為每一面兩角相對之斜線又用理
分中末線之大分六一八○三三九九
為一率全分一○○○○○○○○為
二率今所得之每一面兩角相對之斜
線折半得九寸七分零八豪二絲零三
微有餘為三率求得四率一尺五寸七
分零八豪二絲零二微有餘為十二面
體之中心至每邊正中之斜線乃以此
[032-15b]
斜線為弦每一面中心至邊之垂線八
寸二分五釐八豪二絲九忽一微有餘
為勾求得股一尺三寸三分六釐二豪
一絲九忽六微有餘為十二面體之中
心至每一面中心之立垂線爰以此立
垂線與每一面積二尺四十七寸七十
四分八十七釐三十豪有餘相乗三歸
之得一尺一百零三寸四百八十九分
零二十九釐有餘為一五角尖體積十
[032-15b]
二因之得一十三尺二百四十一寸八
[032-16a]
百六十八分三百四十八釐有餘即十
二面體之總積也如圖甲乙丙丁戊十
二面體其稜三十角二十平鋪之則面
十二各成一等邊五角形先求得己庚
辛壬癸五等邊形之子已類分角線又
求得子丑自中心至每邊之垂線復求
得己庚辛壬癸五等邊形之面積次以
辛壬一邊為大分己辛兩角相對斜線
[032-16b]
為全分故辛壬與己辛之比同於理分
中末線之大分與全分之比而得兩角
相對之斜線又自十二面體之正中截
之則成十等邊之面形而其所截之處
皆正當每邊之一半故其所截之寅卯
等線亦為乙丙兩角相對斜線與己/辛等之
一半而為十等邊形之一邊故寅卯與
辰寅之比又同於理分中末線之大分
與全分之比而得十二面體之中心至
[032-16b]
每邊正中之斜線乃以辰寅斜線為弦
[032-17a]
每面中心至每邉之子丑垂線為勾求
得辰子股即十二面體中心至每面中
心之立垂線以此辰子立垂線與己庚
辛壬癸一面積相乗三歸之得辰巳庚
辛壬癸一五角尖體積十二因之即得
甲乙丙丁戊十二面體之總積也
又用邉線相等體積不同之定率比例
以定率之正方體積一○○○○○○
[032-17b]
○○○為一率十二面體積七六六三
一一八九○三為二率今所設之十二
面體之每邉一尺二寸自乗再乗得一
尺七百二十八寸為三率求得四率一
十三尺二百四十一寸八百六十九分
四百六十四釐有餘即十二面體之積
也蓋十二面體之每一邉為一○○○
則其自乗再乗之正方體積為一○○
○○○○○○○而十二面體之每一
[032-17b]
邉一○○○所得之十二面體積為七
[032-18a]
六六三一一八九○三故以子丑寅邜
辰十二面體之每邉一尺自乗再乗之
巳午未申正方體積一○○○○○○
○○○與子丑寅邜辰十二面體積七
六六三一一八九○三之比即同於今
所設之甲乙丙丁戊十二面體之每邉
一尺二寸自乗再乗之巳庚辛壬正方
體積一尺七百二十八寸與今所得之
[032-18b]
甲乙丙丁戊十二面體積一十三尺二
百四十一寸八百六十九分四百六十
四釐有餘之比也
又用體積相等邉線不同之定率比例
以定率之十二面體之每邉五○七二
二三○七為一率正方體之每邉一○
○○○○○○○為二率今所設之十
二面體之每邉一尺二寸為三率求得
四率二尺三寸六分五釐八豪二絲七
[032-18b]
忽六微有餘為與十二面體積相等之
[032-19a]
正方體每邉之數自乗再乗得一十三
尺二百四十一寸八百六十八分八百
四十八釐有餘即十二面體之積也葢
十二面體之每邉為五○七二二二○
七正方體之每邉為一○○○○○○
○○則兩體積相等故以子丑寅邜辰
十二面體之每邉五○七二二二○七
與巳午未申正方體之每邉一○○○
[032-19b]
○○○○○之比即同於今所設之甲
乙丙丁戊十二面體之每邉一尺二寸
與今所得之己庚辛壬正方體之每邉
二尺三寸六分五釐八豪二絲七忽六
微有餘之比既得一邉自乗再乗得己
庚辛壬正方體積即與甲乙丙丁戊十
二面體之積為相等也
如有十二面體積一十三尺二百四十
一寸八百六十九分四百六十四釐求
[032-19b]
每邉之數則用邉線相等體積不同之
[032-20a]
定率比例以定率之十二面體積七六
六三一一八九○三為一率正方體積
一○○○○○○○○○為二率今所
設之十二面體積一十三尺二百四十
一寸八百六十九分四百六十四釐為
三率求得四率一尺七百二十八寸開
立方得一尺二寸即十二面體之每一
邉也此法葢因十二面體之每邉與正
[032-20b]
方體之每邉相等十二面體積與正方
體積不同故先定為體與體之比例既
得正方體積而後開立方得線也
又法用體積相等邉線不同之定率比
例以定率之正方體之每邉一○○○
○○○○○為一率十二面體之每邉
五○七二二二○七為二率今所設之
十二面體積一十三尺二百四十一寸
八百六十九分四百六十四釐開立方
[032-20b]
得二尺三寸六分五釐八豪二絲七忽
[032-21a]
六微有餘為三率求得四率一尺二寸
即十二面體之每一邉也此法葢因十
二面體積與正方體積相等十二面體
之每邉與正方體之每邉不同故以十
二面體積先開立方得正方體之每邉
而後為線與線之比例也
設如二十面體每邉一尺二寸求積幾何
法以二十面體分作二十三角尖體算
[032-21b]
之將每邉一尺二寸求得三等邉形之
分角線為六寸九分二釐八豪二絲零
二微有餘自中心至每邉之垂線為三
寸四分六釐四豪一絲零一微有餘面
積為六十二寸三十五分三十八釐二
十四豪有餘乃用理分中末線之大分
六一八○三三九九為一率全分一○
○○○○○○○為二率今所設之每
邉一尺二寸折半得六寸為三率求得
[032-21b]
四率九寸七分零八豪二絲零三微有
[032-22a]
餘為二十面體之中心至每邉正中之
斜線乃以此斜線為弦每一面中心至
邉之垂線三寸四分六釐四豪一絲零
一微有餘為勾求得股九寸零六釐九
豪一絲三忽五微有餘為二十面體之
中心至每一面中心之立垂線爰以此
立垂線與每一面積六十二寸三十五
分三十八釐二十四豪有餘相乗三歸
[032-22b]
之得一百八十八寸四百九十八分四
百一十五釐有餘為一三角尖體積二
十因之得三尺七百六十九寸九百六
十八分三百釐有餘即二十面體之總
積也如圗甲乙丙丁戊二十面體其稜
三十角十二平鋪之則面二十各成一
等邉三角形先求得己丙丁三等邉形
之己庚類分角線又求得庚辛自中心
至每邉之垂線復求得巳丙丁三等邉
[032-22b]
形之面積次自二十面體之正中截之
[032-23a]
則成十等邉之面形而其所截之處皆
正當每邉之一半故其所截之壬癸等
線亦為乙丙每邉之一半而為十等邉
形之一邉故壬癸與子壬之比同於理
分中末線之大分與全分之比而得二
十面體之中心至每邉正中之斜線乃
以子壬斜線為弦每面中心至每邉之
庚辛垂線為勾求得子庚股即二十面
[032-23b]
體中心至每面中心之立垂線以此子
庚立垂線與己丙丁一面積相乗三歸
之得子己丙丁一三角尖體積二十因
之即得甲乙丙丁戊二十面體之總積
也
又用邉線相等體積不同之定率比例
以定率之正方體積一○○○○○○
○○○為一率二十面體積二一八一
六九四九六九為二率今所設之二十
[032-23b]
面體之每邉一尺二寸自乗再乗得一
[032-24a]
尺七百二十八寸為三率求得四率三
尺七百六十九寸九百六十八分九百
零六釐有餘即二十面體之積也葢二
十面體之每一邉為一○○○則其自
乗再乗之正方體積為一○○○○○
○○○○而二十面體之每一邉一○
○○所得之二十面體積為二一八一
六九四九六九故以子丑寅邜辰巳二
[032-24b]
十面體之毎邉一尺自乗再乗之午未
申酉正方體積一○○○○○○○○
○與子丑寅邜辰巳二十面體積二一
八一六九四九六九之比即同於今所
設之甲乙丙丁戊己二十面體之每邉
一尺二寸自乗再乗之庚辛壬癸正方
體積一尺七百二十八寸與今所得之
甲乙丙丁戊己二十面體積三尺七百
六十九寸九百六十八分九百零六釐
[032-24b]
有餘之比也
[032-25a]
又用體積相等邉線不同之定率比例
以定率之二十面體之每邉七七一○
二五三四為一率正方體之每邉一○
○○○○○○○為二率今所設之二
十面體之每邉一尺二寸為三率求得
四率一尺五寸五分六釐三豪六絲九
忽有餘為與二十面體積相等之正方
體每邉之數自乗再乗得三尺七百六
[032-25b]
十九寸九百六十八分四百四十九釐
有餘即二十面體之積也葢二十面體
之每邉為七七一○二五三四正方體
之每邉為一○○○○○○○○則兩
體積相等故以子丑寅邜辰巳二十面
體之每邉七七一○二五三四與午未
申酉正方體之每邉一○○○○○○
○○之比即同於今所設之甲乙丙丁
戊己二十面體之每邉一尺二寸與今
[032-25b]
所得之庚辛壬癸正方體之每邉一尺
[032-26a]
五寸五分六釐三豪六絲九忽有餘之
比既得一邊自乗再乗得庚辛壬癸正
方體積即與甲乙丙丁戊己二十面體
之積為相等也
如有二十面體積三尺七百六十九寸
九百六十八分九百零六釐求每邊之
數則用邊線相等體積不同之定率比
例以定率之二十面體積二一八一六
[032-26b]
九四九六九為一率正方體積一○○
○○○○○○○為二率今所設之二
十面體積三尺七百六十九寸九百六
十八分九百零六釐為三率求得四率
一尺七百二十八寸開立方得一尺二
寸即二十面體之每一邊也此法葢因
二十面體之每邊與正方體之毎邊相
等二十面體積與正方體積不同故先
定為體與體之比例既得正方體積而
[032-26b]
後開立方得線也
[032-27a]
又法用體積相等邉線不同之定率比
例以定率之正方體之每邉一○○○
○○○○○為一率二十面體之每邉
七七一○二五三四為二率今所設之
二十面體積三尺七百六十九寸九百
六十八分八百七十八釐開立方得一
尺五寸五分六釐三豪六絲九忽有餘
為三率求得四率一尺二寸即二十面
[032-27b]
體之每一邉也此法葢因二十面體積
與正方體積相等二十面體之毎邉與
正方體之每邉不同故以二十面體積
先開立方得正方體之每邉而後為線
與線之比例也
[032-27b]
御製數理精藴下編二十七
