[004-1a] 
欽定四庫全書
御製數理精藴上編卷四
幾何原本十一
幾何原本十二
[004-2a]
幾何原本十一
第一
作三界度等之三角形及兩界度等
之三角形法如欲作三界度等之三
角形則作一甲乙線取甲乙之度為
準以甲為心自甲至丙作弧一段又
以乙為心自乙至丙作弧一段兩弧
相交處至甲乙作二線即成三界度
[004-2b]
等之甲丙乙三角形矣葢甲乙丙三
角形之甲乙甲丙丙乙三界原係一
圜之輻線其度必等度既等而線未
有不等者也若欲作兩度等之三角
形仍作一甲乙線比甲乙線之度或
大或小取一度以甲乙二處為圜心
皆至丙作弧兩段仍於兩弧相交處
作二線即成兩界度等之甲丙乙三
角形矣葢甲丙丙乙二線雖比甲乙
[004-2b]
線或大或小然二線俱同為一圜之
[004-3a]
輻線其度自等兩度既等則兩界線
亦必等也
第二
平分直線角為兩分法如甲乙丙角
欲平分為兩分乃以一角為心任意
作弧線一段則乙甲乙丙二線截於
丁戊即成乙丁乙戊等度二線自弧兩
端復作一丁戊線照丁戊線度依前
[004-3b]
節法作一三界度等之丁己戊三角
形則己角與乙角正相對乃自乙角
至己角作一乙己直線即分甲乙丙
角為兩平分矣何也其乙丁己乙戊
己兩三角形之乙丁乙戊二界是一
圜之輻線其度等而丁己戊己二界
是三界度等三角形之兩傍界其度
亦等而乙己線既為兩形之共界
其等無疑此兩三角形之各界度既
[004-3b]
各相等則與丁己戊己界相對之丁
[004-4a]
乙己戊乙己二角亦必相等可見矣見/二
卷第/七節
第三
平分一直線為兩分法如有甲乙一直
線欲平分為兩叚乃如第一節法於甲
乙線上作乙甲丙乙三界度等之三角
形又如第二節法平分甲丙乙角為二
分自丙角作垂線至甲乙線即平分甲
[004-4b]
乙線於丁而甲丁丁乙兩叚必等也葢
甲丙乙原為三界度等之三角形今作
丙丁垂線平分為兩三角形則兩三角
形之相當各角各界必俱等而甲丁丁
乙為兩形相當之底界其度安得不等
乎
第四
横線上立縱線法如有甲乙一横線欲
於丙處立一縱線則於丙之兩傍任意
[004-4b]
取等度二分為戊丙己丙以戊為心於
[004-5a]
横線上作弧一叚又以己為心於横線
上作弧一叚兩弧相交於丁此丁處正
與丙相對自丁至丙作一直線即甲乙
線上正立之縱線也試自戊己至丁作
二線成一戊丁己三角形此形之丁戊
丁己兩線俱同一圜之輻線其度必等
而丁丙線既將戊己底線為兩平分則
丁丙線必為甲乙線之垂線矣見二卷/第十節
[004-5b]
第五
有一横線自此線上不拘何處立縱線
法如有甲乙一横線自此線上丙處至
甲乙線欲作一縱線則以丙為心作弧
線一叚截甲乙線於戊己乃自戊己至
丙作二線成一戊丙己三角形又照第
二節分角法平分丙角為二分自丙至
甲乙線上作丙丁線則此丙丁線即為
自丙至甲乙線之縱線也葢戊丙己三
[004-5b]
角形之丙戊丙己兩界度等故戊角與
[004-6a]
己角必等而丙丁線又平分丙角為二
則所分之戊丙丁己丙丁兩角度亦等
而丙丁戊丙丁己兩並角亦必等此兩
並角既等則成兩直角既成兩直角則
丙丁線必為甲乙横線之垂線矣見一/卷第
十/節
第六
在横線一邊立縱線法如有甲乙横線
[004-6b]
在乙邊欲立一縱線則於甲乙線上不
拘何處立為圜心如以丙為圜心自丙
至乙為圜界旋轉作一圜則於甲乙線
丁處相交即自丁處過丙心至相對界
作一直線交圜界於戊乃自戊至乙作
一戊乙直線即是乙邊所立之縱線也
葢丁乙戊角因在半圜必為直角見四/卷第
十四/節既為直角則戊乙線必為甲乙線
之垂線既為垂線故為横線一邊所立
[004-6b]
之縱線也若甲乙線一邊之上有一戊
[004-7a]
㸃欲自戊至甲乙線一邊作一垂線則
自戊至甲乙線任意作一戊丁斜線遂
將戊丁斜線平分於丙於是以丙為心
自戊旋轉作一圜則截甲乙線於己自
戊至己作一直線即是欲作之垂線也
葢戊己丁角既在半圜必為直角既為
直角則戊己必為垂線矣
第七
[004-7b]
一圜分為三百六十度法如甲乙丙丁
一圜界欲分為三百六十度則取圜之
輻線度縁圜界比之即分圜界為六叚
將六叚各平分為二則為十二叚十二
叚各平分為三則為三十六叚三十六
叚各平分為十即成三百六十度矣
第八
一直線上作角度法如甲乙線上欲作
三十度之角則用有度之圜依圜之丙
[004-7b]
丁輻線度截甲乙線於戊於是以甲為
[004-8a]
心自戊作弧一叚復依圜界之丙庚三
十度之分自戊截弧於己乃自己至甲
作一直線即成己甲戊三十度之角矣
第九
各種多界形倣己有之形或大或小叧
作一同式形法如有甲乙丙一三角形
欲倣此式叧作一形則考甲乙界度有
㡬分如甲乙界度為三分今取其二分
[004-8b]
作一丁戊線又以甲丙界度亦作三分
而取其二分以丁為圜心作弧一叚又
以乙丙界度亦作三分而取其二分以
戊為圜心作弧一段兩弧相交於己乃
自己至丁戊作二線即成丁戊己一小
三角形與原有甲乙丙大三角形為同
式也葢丁戊己三角形之三界雖與甲
乙丙三角形之三界不等而其相當各
角之度俱等因其相當各角之度俱等
[004-8b]
故其相當各界之比例皆同相當各界
[004-9a]
之比例既同則其二形之式不得不同
也若有一甲乙丙丁戊己六界形欲倣
此式叧作一形則在此六界形作分角
線分為四三角形照前法倣作四三角
形即成一庚辛壬癸子丑小六界形其
式與原有之甲乙丙丁戊己大六界形
同也
第十
[004-9b]
有一直線或上或下一㸃作與此線平
行一線法如甲乙線上有一丙㸃欲自
丙㸃作與甲乙線平行一線則以丙為
圜心任意取甲乙線之近甲邊一處作
弧一叚如丁又取甲乙線之近乙邊一
處為心如戊乃照丙丁原度於丙㸃相
對處作弧一叚如己復照丁戊度以丙
為心於丙㸃相對處作弧一叚則二弧
相交於己乃自丙至己交處作一丙己
[004-9b]
直線即為甲乙線之平行線也何則試
[004-10a]
自丁戊二處至丙己二處作二線即成
丙丁戊己一四界形此四界形之丙丁
己戊相對之兩縱線丙己丁戊相對之
兩横線因依各度所取必两两相等既
两两相等則必為平行線之四邊形然
則丙己甲乙為平行線四邊形之二線
豈有不平行之理哉
第十一
[004-10b]
有一直線上作一正方形法如甲乙一
直線欲作一正方形則以甲為心取甲
乙度自乙至丙作乙弧線又以乙為心
依甲乙度自甲至丁作一弧線又於甲
乙線之兩端照本卷第六節立甲丙乙
丁二縱線則乙丙弧截於丙甲丁弧截
於丁乃自丙至丁作一直線即成甲乙
丁丙一正方形也何則丙甲甲乙乙丁
三線俱同為一圜之輻線其度必等而
[004-10b]
丁丙丙甲二線又俱切一圜界為兩尖
[004-11a]
相合其度亦必等見四卷/第七節則四界俱等
矣且甲乙二角又為垂線所立之角必
成直角則丙丁二角亦必為直角而四
角又等矣四角皆等故甲乙丁丙形為
甲乙線上所立之正方形也
第十二
平分一弧為兩叚法如有甲乙弧欲平
分為兩叚則自甲至乙作一甲乙弦線
[004-11b]
將此弦線照本卷第三節平分直線為
兩分法作一戊丁縱線復自戊引至弧
界截甲乙弧於丙即平分甲乙弧為甲
丙丙乙兩叚矣葢丙丁縱線既平分甲
乙弦線則亦必平分甲乙弧之全圜既
平分甲乙弧之全圜則必平分甲乙弧
為兩叚可知矣見四卷/第六節
第十三
有一叚弧欲繼此弧作一全圜法如有
[004-11b]
甲乙一叚弧繼此弧欲作一全圜則在
[004-12a]
此弧界任意指三處如甲丙乙自甲乙
二處至丙作甲丙丙乙二線照前節作
平分甲丙丙乙兩弦之丁己戊己二線
引長則相交於己乃以己為心繼甲乙
弧界作一全圜即成甲乙弧之全圜也
葢丁己戊己二線既平分甲丙丙乙二
弦則必平分甲丙丙乙二弧見四卷/第六節既
平分甲丙丙乙二弧則其相交之處必
[004-12b]
為圜心故己為繼甲丙乙弧界所作全
圜之圜心也
第十四
不拘何處有三㸃求縁此三㸃作一圜
法如甲乙丙三㸃不在一直線上欲縁
此三㸃作一圜則依前節作甲丙丙乙
二線又平分此二線正中作丁己戊己
二垂線引長至己處相交遂以己為心
以甲乙丙為界作一圜則甲乙丙三㸃
[004-12b]
俱在一圜之界矣此節之理/與前節同
[004-13a]
第十五
有圜不知中心求知中心之法如有一
甲乙丙丁圜不知其中心欲求知之則
於此圜界隨便取甲乙丁三處從甲至
乙至丁作二弦線將此二線平分正中
為戊己二處自戊己作戊庚己庚兩垂
線則相交於庚此庚即是甲乙丙丁圜
之中心也此節之理/亦與前同
[004-13b]
第十六
有圜外一㸃將此㸃至圜界作切線法
如一圜之外有一甲㸃欲將此甲㸃與
圜界相切作一切線則以此甲㸃至圜
心作一甲乙直線又以乙為心以甲為
界作一甲丙圜界又自甲乙線所截圜
之丁處作一丁己垂線則此垂線即截
甲丙圜界於丙乃自丙至乙心作一丙
乙直線復自丙乙所截圜界戊處作一
[004-13b]
戊甲線即是自甲㸃至圜界所作之切
[004-14a]
線也何則此乙丁乙戊既同為一圜之
輻線其乙甲乙丙亦同為一圜之輻線
則甲乙戊與丙乙丁兩三角形之各兩
邊線必等而兩三角形又同一乙角然
則兩三角形之每相當各角必俱等矣
見二卷/第六節夫丁丙線原為甲乙輻線之垂
線則丁角必為直角而相當之戊角亦
必為直角矣戊角既為直角則甲戊線
[004-14b]
亦必為乙丙輻線之垂線故甲戊與丙
丁皆為圜界之切線也見四卷/第九節
第十七
有圜内弦線欲與此弦線平行作圜外
切線法如有一甲乙丙丁圜之乙丁弦
線欲與此乙丁弦線平行作切圜之切
線則從圜心戊至乙丁弦作戊己垂線
平分乙丁弦線於己引長截圜界於甲
為甲戊線又切甲處作庚辛線為甲戊
[004-14b]
之垂線即是所求之切線也何則此庚
[004-15a]
辛線既為甲戊線之垂線其戊甲庚角
必為直角又己戊線既為乙丁線之垂
線其戊己乙角亦必為直角然則戊甲
庚角與戊己乙角既俱為直角其度必
等因其度等故乙丁庚辛兩線為兩平
行線也又戊甲線為圜之輻線而庚辛
既為甲戊之垂線則必為甲乙丙丁圜
之切線可知矣見四卷/第九節
[004-15b]
第十八
作函三角形之圜法如甲乙丙三角形
欲作函此三角形之一圜則平分甲丙
邊於丁平分丙乙邊於戊自丁戊作二
垂線引長至己相交即以己為心任以
甲丙乙三角形之一角為界作一甲丙
乙庚圜即是函甲丙乙三角形之圜也
此節之理與本/卷第十三節同
第十九
[004-15b]
圜内作等度四角形及等度八角形法
[004-16a]
如甲丙乙丁圜内欲作一等度四角形
則以甲乙丙丁二徑線交於圜心皆作
直角復自甲丙乙丁四處作甲丙丙乙
乙丁丁甲四弦線即成甲丙乙丁等度
之四角形也何則甲乙丙丁二徑線在
圜心作直角相交則平分圜界為四分
矣既平分圜界為四分則甲丙丙乙乙
丁丁甲四弦線度必等而甲丙乙丁四
[004-16b]
角既俱立在一圜之半界亦必俱為直
角見四卷第/十四節既俱為直角必為正方形
可知矣苟欲作等度八角形則照前平
分圜界為四分將所分之每分又各平
分為二分即平分圜界為八分乃作八
弦線即成甲戊丙己乙庚丁辛一形為
圜内等度八角形也
第二十
圜内作等度六角形三角形十二角形
[004-16b]
法如甲圜内欲作等度六角形則以圜
[004-17a]
之甲乙輻線為度將圜界分為乙丙丙
丁丁戊戊己己庚庚乙六叚作六弦線
即成一乙丙丁戊己庚等度之六角形
也何則苟以乙為心以甲為界作一丙
甲庚弧線則乙丙乙甲二線俱為丙甲
庚圜之輻線而度必等夫乙丙丁戊己
庚六界形之諸界因俱照甲乙輻線度
所作故此形之六界俱相等也若欲作
[004-17b]
三角形則照前法將圜界分為六叚以
所分六叚兩兩相合為三叚作乙丁丁
己己乙三弦線即成一乙丁己等度三
角形也若欲作十二角形亦照前法將
圜界分為六叚以所分六叚各平分為
二分作十二弦線即成一乙辛丙壬丁
癸戊子己丑庚寅等度之十二角形也
第二十一
圜内作各種等度多界形總法苟甲圜
[004-17b]
内欲作等度多界各種形則察各種形
[004-18a]
之各角度見三卷第/十七節如等度三角形之
三角俱六十度四角形之四角俱九十
度五角形之五角俱一百零八度六角
形之六角俱一百二十度七角形之七
角俱一百二十八度三十四分一十七
秒八角形之八角俱一百三十五度九
角形之九角俱一百四十度十角形之
十角俱一百四十四度十一角形之十
[004-18b]
一角俱一百四十七度一十六分二十
二秒十二角形之十二角俱一百五十
度今甲圜内若欲作一等度九角形則
以九角形之每角一百四十度與一百
八十度相減餘四十度復以别有度之
圜取四十度之分以分甲圜界即平分
為乙丙丁戊己庚辛壬癸之九分再照
平分度作乙丙丙丁丁戊戊己己庚庚
辛辛壬壬癸癸乙九弦線即成甲圜内
[004-18b]
等度之九角形也何也從圜心甲作線
[004-19a]
至各角分九角形為九三角形其每三
角形之三角共一百八十度内減去二
界角一百四十度餘心角四十度即每
界所對之角此九角形之每界即九心
角之弦線故以心角度分圜界度即得
九角形之分也凡圜内欲作等邊多界
形皆依此法作之
第二十二
[004-19b]
作函圜等度多界形法如欲作函圜之
等度三角形四角形五角形或多界形
則將圜界照欲作之幾界平分為幾段
乃自圜心至所分各界作幾輻線於輻
線之末各作切界線俱引長至合角即
成函圜之等度多界形也如第一圖自
甲心至庚辛壬三角作甲庚甲辛甲壬
三線即成六三角形其庚甲乙庚甲丙
兩三角形之庚乙庚丙二線為合尖切
[004-19b]
圜之線其度必等見四卷/第七節而庚甲乙辛
[004-20a]
甲丁兩形之庚甲乙辛甲丁二角為對
角其度又等庚乙甲辛丁甲之二角為
輻線切線所成之角其度又皆為直角
相等見四卷/第五節則其餘一角亦必等而其
乙甲甲丁二界又同為一圜之輻線其
度必等則其他界亦必俱等可知再辛
丙辛丁二線壬丁壬乙二線俱為合尖
切圜之線其度相等而辛甲丙與壬甲
[004-20b]
乙兩三角形壬甲丁與庚甲丙兩三角
形必俱與前每相當之角等則此六三
角形俱相等矣六三角形俱相等則其
庚乙乙壬壬丁丁辛辛丙丙庚相等之
六界兩兩相合即成庚壬庚辛辛壬之
三界其度安得不等乎故庚辛壬三角
形為函圜等界形也其第二圖函圜四
角形第三圖函圜五角形或更欲作多
界形其理皆同
[004-20b]
第二十三
[004-21a]
作函等度多界形之圜法如甲乙丙三
角形或甲乙丙丁四角形或甲乙丙丁
戊五角形欲作函此三形之圜則任用
此三形之甲乙乙丙二界平分於庚辛
二處乃自庚辛二處各作垂線至各形
中心相交為己即以己為心以各形之
角為界作圜即成函此三形之圜也何
也各形之界皆為圜之弦線而弦線上
[004-21b]
所作之垂線必皆交於圜心今甲乙乙
丙二界上所作之庚己辛己二線既平
分二界而相交於已則己必為圜心故
以己為心作圜即成函各等界形之圜
也
第二十四
作函於等度多界形之圜法如甲乙丙
三角形或甲乙丙丁四角形或甲乙丙
丁戊五角形欲在此三形内各作一圜
[004-21b]
則照前節平分甲乙乙丙二界作己庚
[004-22a]
己辛二垂線引長相交於己即以己為
心以庚辛為界作圜即成多界形内所
函之圜也何也己庚己辛二線是平分
甲乙乙丙二線之垂線引長之必相交
於各形之中心今既相交於己則己必
為各形之心凡形心作垂線至各界其
度必等即如圜之輻線故以己為心庚
辛為界所作之圜即為各等界形所函
[004-22b]
之圜也
第二十五
有一三角形一圜形於此圜内作切圜
界三角形與原有之三角形同式法如
有甲乙丙一三角形丁戊己庚辛一圜
形欲於此圜内作一切界三角形與原
有之甲乙丙三角形同式則於圜界任
意作與甲角相等之辛角將此角之兩
邊線俱引至圜界作辛庚辛戊二線再
[004-22b]
自戊至庚作一戊庚線又於戊處作與
[004-23a]
乙角相等之庚戊丁角爰自戊至丁作
一丁戊線復自庚至丁作一庚丁線成
一丁戊庚三角形即是所求之圜内切
界三角形與原有之甲乙丙三角形為
同式也何則其庚辛戊三角形之辛角
與庚丁戊三角形之丁角其尖既俱與
圜界相切而共立於戊己庚一叚弧分
其度必等見四卷第/十二節此辛角原與甲角
[004-23b]
等則丁角亦必與甲角等又庚戊丁之
戊角原係依甲乙丙之乙角之度而作
者固相等夫丁角與甲角戊角與乙角
既等則所餘之庚角與丙角亦必等其
三角既俱等其兩形必為同式可知矣
第二十六
有一三角形一圜形於此圜外作切界
三角形與原有之三角形同式法如有
甲乙丙一三角形戊己庚一圜形欲於
[004-23b]
此圜外作一切界三角形與原有之甲
[004-24a]
乙丙三角形同式則將原有之甲乙丙
三角形之乙丙底線引長至辛壬二處
此兩傍即成辛乙甲壬丙甲二外角乃
於圜心丁處作與辛乙甲角相等之戊
丁庚角又作與壬丙甲角相等之己丁
庚角則成丁戊丁己丁庚之三輻線於
三輻線之末作三垂線引長相交成一
癸子丑三角形即是所求之圜外切界
[004-24b]
三角形與原有之甲乙丙三角形為同
式也何則凡三角形之三角相併必與
二直角等見二卷/第四節今戊丁庚子一四邊
形可分為兩三角形則此四邊形之四
角相併必與四直角等矣四直角内減
去子戊丁子庚丁之兩直角所餘戊丁
庚戊子庚兩角相併亦必與兩直角等
也又辛乙甲外角與甲乙丙内角相併
亦與二直角等見一卷第/十四節其戊丁庚角
[004-24b]
既係依辛乙甲角之度而作者則戊子
[004-25a]
庚角必與甲乙丙角相等其庚丑己角
亦必與甲丙乙角相等而己癸戊角又
必與乙甲丙角相等三角俱等則兩形
之式必相同也
第二十七
三角形内作切三界之圜法如有一甲
乙丙三角形欲與此形内切三界作一
圜則依此卷第二節之法將甲乙丙三
[004-25b]
角俱平分為兩分所分三角之三線俱
引長使相交於丁自丁至甲乙乙丙丙
甲三界線作丁戊丁己丁庚三垂線乃
以丁為心以戊己庚為界作一圜即是
三角形内之切界圜也何則戊甲丁與
庚甲丁兩小三角形之甲角因自一角
為兩平分其度必等又丁戊丁庚既係
兩垂線則甲戊丁甲庚丁二角俱為直
角而相等此戊甲丁庚甲丁兩小三角
[004-25b]
形内之二角既等其各三角必俱相等
[004-26a]
而又共用一甲丁線為邊則此兩三角
形之各相當邊亦必俱等故丁戊線與
丁庚線等者即是丁己線與丁戊線丁
庚線等也此三線既等以為輻線作戊
己庚圜則必與三角形之甲乙乙丙丙
甲三界相切矣
第二十八
勾股形内作正方法如有一甲乙丙勾
[004-26b]
股形欲於此形内作一正方形則以丙
為心以乙為界作一乙丁弧線將此弧
線平分於戊自戊至丙作一戊丙線即
平分丙角為兩分而截甲乙線於庚矣
乃自庚與甲丙線平行作庚己線又自
庚與乙丙線平行作庚辛線即成庚己
丙辛一正方形為所求甲乙丙勾股形
内之正方也何則甲丙乙勾股形之丙
角原是直角今庚辛庚己二線各與甲
[004-26b]
丙乙丙平行則庚己丙辛之四角必俱
[004-27a]
為直角矣而庚己丙三角形内己庚丙
角與己丙庚角又俱是直角之一半其
度必等則己丙線與庚己線相等而庚
辛線與己丙線庚己線與辛丙線皆為
平行線内之垂線其度亦等故庚己己
丙丙辛辛庚四線相等而庚己丙辛四
角俱為直角是為甲乙丙勾股形内之
正方形也
[004-27b]
第二十九
勾股形内作正方第二法如有一甲乙
丙勾股形欲於此形内作一正方則將
乙丙線引長照甲乙線度増於乙丙作
一壬丙線自此壬丙之兩末與甲乙線
平行作丁壬癸丙兩垂線使其度俱與
甲乙線等又自丁至癸與壬丙線平行
作一丁癸線自丁至丙作一對角線截
甲乙線於戊乃自戊與乙丙線平行作
[004-27b]
戊己線截甲丙線於己又自己與戊乙
[004-28a]
線平行作己庚垂線成一戊乙庚己正
方形即為甲乙丙勾股形内欲作之正
方也何則試將戊己線引長成辛戊己
子線則此辛戊己子線與甲乙線分丁
壬丙癸為四長方形其甲戊子癸長方
與辛壬乙戊長方既為丁壬丙癸大長
方對角線傍所成兩形其分必等見三/卷第
七/節故子戊線與戊辛線之比例同於乙
[004-28b]
戊線與戊甲線之比例也然此子戊線
與丙乙線等而戊辛線又與甲乙線等
則丙乙線與甲乙線之比例亦同於乙
戊線與戊甲線之比例也又甲乙丙與
甲戊己兩三角形為同式故丙乙線與
乙甲線之比例同於己戊線與戊甲線
之比例而乙戊線與戊甲線之比例又
同於己戊線與戊甲線之比例也乙戊
線既與己戊線相等而乙庚線與戊己
[004-28b]
線己庚線與戊乙線又為兩平行線内
[004-29a]
之垂線其度相等故戊乙庚己四角俱
為直角戊乙庚己四角既俱為直角則
戊乙庚己之方形即是甲乙丙勾股形
内之正方矣
第三十
三角形内作正方法如有甲乙丙三角
形欲於此形内作一正方則自甲角至
乙丙底線作一甲辛垂線將此垂線引
[004-29b]
長出甲角如乙丙底線度作一壬辛線
又自壬兩分如乙丙線度與乙丙線平
行作一子癸線又自癸至辛作癸辛線
截甲乙線於丁自子至辛作子辛線截
甲丙線於庚乃自丁至庚作一庚丁線
此線必與乙丙平行又自庚丁二處作
庚己丁戊二垂線即成丁戊己庚一正
方形即為甲乙丙三角形内欲作之正
方也何則壬辛線與壬子線之比同於
[004-29b]
辛丑線與丑庚線之比而辛壬線與壬
[004-30a]
癸線之比又同於辛丑線與丑丁線之
比故辛壬線與癸子線之比亦必同於
辛丑線與丁庚線之比也然辛壬與癸
子原相等則辛丑與丁庚亦必相等矣
辛丑與丁庚既等則丁戊戊己己庚庚
丁四邊亦必俱等丁戊戊己己庚庚丁
四邊既俱等則為甲乙丙三角形内之
正方無疑矣
[004-30b]
第三十一
有一直線將此線為正方對角線作正
方法如有一甲乙直線欲以此線為對
角線作一正方則將甲乙線平分為戊
以戊為心以甲乙為界作一圜即於此
圜内作一丙丁徑線為甲乙線之垂線
乃自甲至丙自丙至乙自乙至丁自丁
至甲作四直線即成甲丁乙丙一正方
形為所求之正方也葢甲丙乙角丙乙
[004-30b]
丁角乙丁甲角丁甲丙角既俱在半圜
[004-31a]
内必俱為直角而甲戊丙丙戊乙乙戊
丁丁戊甲四三角形之兩傍線俱是半
徑線必相等又此四三角形之兩傍線
所合之角俱為直角亦必相等則甲丙
丙乙乙丁丁甲四直線必俱相等可知
矣甲丙乙丁四邊形内四角既俱為直
角而四邊線又俱相等則必為正方形
而甲乙線為其對角線矣
[004-31b]
第三十二
有一直線為正方邊與對角線相較之
餘於此線求作其原正方法如有一甲
乙線為正方邊與對角線相較之餘求
作一正方則先將此甲乙線為一邊作
甲乙丙丁一小正方形次自甲至丙作
一小對角線於是以丙為心以乙為界
作一圜乃引甲丙線至圜界戊處作一
甲戊線將此甲戊線為度作一甲戊己
[004-31b]
庚大正方形即是所求之正方也試引
[004-32a]
甲乙線至己作甲己一對角線此對角
線之乙己一叚必與戊己邊線相等何
也其丙乙丙戊為一圜之二輻線既等
則丙乙戊丙戊乙二角亦等若於丙乙
己直角内減去丙乙戊角又於所作丙
戊己直角内減去丙戊乙角所餘戊乙
己乙戊己二角亦必相等此二角既等
則乙己戊己兩線必等矣因其相等則
[004-32b]
所作甲戊己庚一大正方之甲己對角
線與戊己一邊線相較則原有之甲乙
線為其相較之餘可知矣
[004-33a]
㡬何原本十二
第一
有一直線將此線為底作一兩邊度等
三角形使底之兩邊各一角俱比上一
角為大一倍之三角形法如有一甲乙
直線將此線為底欲作兩邊度等之三
角形而底之兩邊各一角俱比上一角
為大一倍則用十一卷第八節之法於
[004-33b]
甲乙線之兩頭各作一七十二度之角
將兩邊線俱引長相交於丙即成一甲
乙丙三角形為所求之形也何則凡三
角形之三角相併為一百八十度與二
直角等今此所作甲乙丙三角形之甲
乙兩角既俱係七十二度則於一百八
十度内減去甲乙二角共一百四十四
度餘三十六度即為丙角之度三十六
度者七十二度之半故甲乙兩底角比
[004-33b]
丙角各大一倍也
[004-34a]
第二
有一直線依此線度作兩邊度等三角
形使上一角小於兩底角一倍之三角
形法如有甲乙一直線以此線為一邊
復依此線度作一邊使此兩邊線所合
之上一角小於兩底角一倍之三角形
則用十一卷第八節之法以甲乙甲丙
二線之甲末相合作一乙甲丙角為三
[004-34b]
十六度再自丙至乙作一乙丙直線為
底即得一甲乙丙三角形為所求之形
也何則將甲角三十六度與全形三角
之共數一百八十度相減餘一百四十
四度為乙丙兩底角之共數今甲丙線
與甲乙線既等則乙角與丙角必等因
其相等將兩底角共數一百四十四度
折半得七十二度即為每一底角之數
七十二度者三十六度之倍數故甲角
[004-34b]
比乙丙兩底角俱為小一倍也
[004-35a]
第三
有一直線以此直線為一邊作等邊等
角之五界形法如有甲乙一直線以此
直線為一邊作一等邊等角之五界形
則將此甲乙直線為底用此卷第一節
法作一兩邊度等甲丙乙三角形其甲
丙乙角為丙乙甲丙甲乙二角之各一
半又用十一卷第十五節法於此三角
[004-35b]
形之週圍作一圜此甲丙丙乙兩直線
原係相等其相對之兩弧亦必相等乃
以此兩弧自戊丁二處為丙平分又自
甲至戊自戊至丙自丙至丁自丁至乙
作四直線即成甲乙丁丙戊五邊五角
等度之五界形也何則其甲丙乙角原
為丙乙甲角之一半則甲丙乙角為三
十六度試自甲乙二處至圜心作甲己
乙己二線成甲己乙一三角形則此甲
[004-35b]
己乙角比甲丙乙角亦為大一倍見四/卷第
[004-36a]
十一/節故甲己乙角為七十二度而甲乙
弧線亦為七十二度矣以七十二度於
全圜界三百六十度内減之餘二百八
十八度折半得一百四十四度即為甲
戊丙一叚弧線之數也冄將一百四十
四度折半得七十二度即為甲戊一叚
弧線之數也既得甲戊弧線之數則戊
丙丙丁丁乙各弧線度俱各為七十二
[004-36b]
度矣甲乙乙丁丁丙丙戊戊甲五線既
俱係相等弧之弦線則五線之度必俱
等五線之度既等則此形又在圜之内
而五角之度豈有不相等者哉
第四
有一直線分大小兩分為相連比例線
法如甲乙直線為全分甲丙一叚為大
分丙乙一叚為小分以甲乙全分與甲
丙大分之比同於甲丙大分與丙乙小
[004-36b]
分之比則用此甲乙線為一邊線依此
[004-37a]
卷第二節法作兩邊等度之兩底角比
上一角各大一倍之甲乙丁三角形又
依此卷第三節法取乙丁線度作邊角
俱等之甲戊乙丁已五邊形又自戊至
丁作一直線截甲乙線於丙乃得甲丙
一大叚為大分丙乙一小叚為小分即
是所欲作之相連比例線也何則甲戊
乙丁兩弧線度等則甲乙戊乙戊丁兩
[004-37b]
角度必等又乙戊丁角與乙甲丁角共
立於乙丁弧其度必等再甲戊丁與甲
乙丁二角亦同立於甲巳丁弧其度亦
必等也至於甲乙丁角原比乙甲丁角
大一倍故甲戊丁角比丙戊乙角丙乙
戊角俱大一倍其甲丙戊角因為戊丙
乙三角形之外角與丙乙戊丙戊乙兩
内角等故甲丙戊與甲戊丙兩角相等
此二角既等則甲丙甲戊兩線必等矣
[004-37b]
又甲戊戊乙兩線度原相等其戊甲乙
[004-38a]
角必與戊乙甲角等而甲乙戊一大三
角形必與戊乙丙一小三角形為同式
形矣葢小三角形之丙戊乙角與大三
角形之戊甲乙角等而小三角形之丙
乙戊角與大三角形之甲乙戊角為共
角而等則小三角形之戊丙乙角與大
三角形之甲戊乙角不得不等三角俱
等非同式形而何是故甲乙線與甲戊
[004-38b]
線之比必同於乙戊線與丙乙線之比
也夫甲戊原與甲丙相等而乙戊原與
甲戊相等故乙戊亦與甲丙相等然則
甲乙全線與所分甲丙大分之比必同
於甲丙大分與丙乙小分之比可知矣
故曰甲乙與甲丙甲丙與丙乙為相連
比例之線也
第五
平分一直線為數叚法如有甲乙一直
[004-38b]
線欲平分為三分則自甲乙線之兩末
[004-39a]
作甲丙乙丁二平行線隨意取一甲戊
度將甲丙線分為甲戊戊庚庚丙三叚
又依甲戊度將乙丁線亦分為乙辛辛
巳巳丁三叚乃自二平行線之三叚處
復作甲丁戊己庚辛丙乙四平行線即
平分甲乙直線為甲壬壬癸癸乙之三
分矣試觀甲乙丁三角形之甲乙乙丁
兩傍線為與甲丁線平行之壬己癸辛
[004-39b]
二線所分故俱為相當率今以甲乙全
線與乙丁全線之比同於丁已叚與甲
壬叚之比而已辛叚與壬癸叚之比辛
乙叚與癸乙叚之比亦皆與甲乙全線
與乙丁全線之比相同也因其比例俱
同故丁乙線之丁巳巳辛辛乙三叚為
平分而甲乙線之甲壬壬癸癸乙三叚
亦為平分也
第六
[004-39b]
有分數之直線將别一直線依此線分
[004-40a]
分為相當比例率法如有甲乙一直線
原分為甲巳巳辛辛乙三叚又有一丙
丁直線欲依此甲乙線分分作三分為
相當比例之率則齊二線之一端以為
平行線自甲乙線之甲端過丙丁線之
丙端作一縱線復自甲乙線之乙端過
丙丁線之丁端作一斜線則二線相交
於戊乃自戊至所分巳辛二處作戊巳
[004-40b]
戊辛二線則丙丁線即分為丙庚庚壬
壬丁三叚與甲乙線之甲巳己辛辛乙
三叚為相當比例率也試審戊甲乙全
形内戊丙庚戊甲已戊庚壬戊已辛戊
壬丁戊辛乙之大小六三角形其相當
各式皆同如戊丙庚與戊甲已為同式
戊庚壬與戊巳辛為同式戊壬丁與戊
辛乙為同式故丙庚與甲已為相當二
界庚壬與已辛為相當二界壬丁與辛
[004-40b]
乙為相當二界此六線既各為相當界
[004-41a]
故各為相當比例率也
第七
有二直線作與此二線相連比例之第
三線法如有甲乙甲丙二直線欲作與
此二線相連比例之第三線則將甲乙
甲丙二線之甲末合成一角照甲丙線
度增於甲乙線為甲戊線自乙末至丙
末作一乙丙線又與乙丙線平行自戊
[004-41b]
末作一戊己線將甲丙線引至已處乃
成一甲已線其自丙末所分之丙已線
即為與甲乙甲丙二線相連比例之第
三線也葢已戊線既與丙乙線平行故
甲乙丙三角形與甲戊己三角形為同
式而甲乙甲丙乙戊丙已四叚必為相
當比例之四率是以甲乙第一率與甲
丙第二率之比即同於乙戊第三率與
丙巳第四率之比也夫乙戊之度原與
[004-41b]
甲丙等故甲乙與甲丙之比即甲乙與
[004-42a]
乙戊之比而甲丙與丙已之比即乙戊
與丙巳之比然則甲乙與甲丙甲丙與
丙巳豈非相連比例之三線乎
第八
有三直線作與此三線相當比例之第
四線法如有甲乙甲丙乙丁三線欲作
與此三線相當比例之第四線則取甲
丙線度叧作一甲丙線將此所作甲丙
[004-42b]
線照甲乙線度紀於乙於是以甲為心
自乙作弧一叚又取原有之乙丁線度
自乙截弧線於丁即自乙至丁作一乙
丁線再依甲丙線度自甲過丁作一甲
戊線又與乙丁線平行作一戊丙線此
戊丙線即為原三線相當比例之第四
線也葢甲丙戊三角形與甲乙丁三角
形為同式故甲乙線與甲丙線之比即
同於丁乙線與戊丙線之比因其比例
[004-42b]
相同故戊丙線為原有之甲乙甲丙乙
[004-43a]
丁三線相當比例之第四線也或欲作
相當比例之數線則將甲角上下二線
引長為甲癸甲子凡相當各二處任意
截為㡬叚作㡬平行線既得相當比例
之數線矣如以甲角之甲子甲癸二線
截為丁乙戊丙庚巳壬辛子癸五叚於
所截五處作五平行線即得相當比例
之十率矣葢以甲乙與甲丙之比同於
[004-43b]
丁乙與戊丙之比以甲丙與甲巳之比
同於戊丙與庚已之比以甲已與甲辛
之比同於庚已與壬辛之比以甲辛與
甲癸之比同於壬辛與子癸之比故將
甲子甲癸二線雖分為無數叚作無數
平行線其比例亦無不相同也
第九
有二直線欲叧作一線為此二線之中
率法如有甲乙乙丙二線欲另作一線
[004-43b]
為此二線之中率則將甲乙乙丙二線
[004-44a]
相連為一甲丙全線乃平分全線於戊
以戊為心以甲丙兩末為界作一半圜
自二線相連乙處至圜界作一丁乙垂
線即為原有甲乙乙丙二線之中率線
也何也丁乙線既為圜徑上之垂線則
甲乙丁乙乙丙為相連比例之三率見/九
卷第/七節故甲乙線與乙丁線之比同於乙
丁線與乙丙線之比也比例既同則所
[004-44b]
作乙丁線為原有甲乙乙丙二線之中
率可知矣
第十
有二直線欲另作二線為此二線間之
兩率法如有甲乙乙戊二直線欲另作
二線為此二線間之兩率則將甲乙乙
戊二線之乙末相合為直角又自此二
線所合乙角引長為甲乙丙戊乙丁二
線次將二矩尺之二角正置於丁戊甲
[004-44b]
丙二線上如一矩尺為己庚辛一矩尺
[004-45a]
為壬癸子乃以巳庚辛矩尺之一股切
於丁戊線之戊末又以壬癸子矩尺之
一股切於甲丙線之甲末仍使二矩尺
之已庚癸子二股相合則癸庚二角亦
為直角而不離於所跨之線其二矩尺
之壬辛二股亦使不離於所切之線末
乃自甲至癸自戊至庚自庚至癸作三
線即截丁乙線於癸截乙丙線於庚成
[004-45b]
乙癸乙庚二線即為原有之甲乙乙戊
二線間之兩率也何也如平分戊癸線
於丑則丑為心戊為界成一戊庚癸半
圜若平分甲庚線於寅則寅為心甲為
界成一甲癸庚半圜今乙癸線為甲癸
庚半圜徑線上之垂線故乙癸為甲乙
乙庚二線之中率而乙庚線為戊庚癸
半圜徑線上之垂線故乙庚又為癸乙
乙戊二線之中率是以甲乙線與乙癸
[004-45b]
線之比同於乙癸線與乙庚線之比而
[004-46a]
乙癸線與乙庚線之比亦同於乙庚線
與乙戊線之比因其比例相同故乙癸
乙庚二線為甲乙乙戊二線間之兩率
也
第十一
有三角形依一界作等積之直角四界
形法如有甲乙丙一直角三角形欲依
其乙丙界作一直角四界形與原三角
[004-46b]
形積等則與乙丙平行作一甲丁線又
與甲乙平行作一丁丙線即成一甲乙
丙丁直角四界形於是平分甲乙線於
戊平分丙丁線於巳作一戊巳線則平
分甲乙丙丁四界形為兩形此所分甲
戊巳丁與戊乙丙已兩直角四界形之
積俱與甲乙丙三角形之積相等也葢
甲乙丙三角形為甲乙丙丁四界形之
一半今所分甲戊巳丁與戊乙丙已兩
[004-46b]
四界形既俱為甲乙丙丁四界形之一
[004-47a]
半則必與甲乙丙三角形之積俱相等
可知矣又如庚辛壬無直角之三角形
依辛壬界作一直角四界形與原三角
形積等則與辛壬平行作一庚癸線又
自辛壬至庚癸線作子辛癸壬二垂線
即成一子辛壬癸直角四界形於是平
分子辛線於丑平分癸壬線於寅作一
丑寅線則平分子辛壬癸四界形為兩
[004-47b]
形其所分子丑寅癸與丑辛壬寅兩直
角四界形之積俱與庚辛壬三角形之
積相等也試與庚辛線平行作一卯壬
線即成庚辛壬卯一斜方形為與子辛
壬癸方形同底同髙故其積必等見三/卷第
八/節今庚辛壬三角形為庚辛壬卯形之
一半則亦必為子辛壬癸方形之一半
矣既為一半則所分子丑寅癸與丑辛
壬寅直角四界形必與庚辛壬三角形
[004-47b]
之積相等可知矣
[004-48a]
第十二
有一長方形作與此積相等之正方形
法如有甲丙一長方形欲作與此長方
形相等之正方形則將甲丙形之丙乙
縱線合於甲乙横線照此卷第九節法
求得甲乙丙乙二線之中率為丁乙線
即以丁乙線為一邊作一丁戊正方形
即與甲丙長方形之積相等也何則大
[004-48b]
凡相連比例三率内中率所作之正方
形積與首率末率所作之長方形積相
等今丁乙線既為甲乙丙乙二線之中
率則丁乙線所作之丁戊正方形積焉
得不與甲乙丙乙二線相合所作之甲
丙長方形之積相等乎
第十三
凡多界形作與本形同式或大或小之
形法如有甲乙丙丁戊已庚辛之多界
[004-48b]
形欲作比此形小一半之同式形則自
[004-49a]
此形中心壬處至各角作衆線又取甲
乙乙丙丙丁丁戊戊己己庚庚辛辛甲
各界度之一半與各界平行置於對角
各線之間為癸子子丑丑寅寅卯卯辰
辰巳巳午午癸之八線即成癸子丑寅
卯辰巳午之形為原形每界減半之同
式形也何也如對角線間所成之甲乙
壬癸子壬大小兩三角形之甲乙癸子
[004-49b]
線既平行而又同一壬角則其相當各
角俱等而兩形之式相同倣此推之其
乙丙壬子丑壬二形丙丁壬丑寅壬二
形丁戊壬寅卯壬二形戊已壬卯辰壬
二形巳庚壬辰巳壬二形庚辛壬巳午
壬二形辛甲壬午癸壬二形必俱為同
式形此各相當大小兩形既俱同式則
所作癸子丑寅卯辰已午小形之各邊
為甲乙丙丁戊巳庚辛大形之各邊之
[004-49b]
一半而為同式形可知矣又如甲乙丙
[004-50a]
丁戊巳庚辛壬癸形從甲角作線至各
角取乙丙度之一半置於甲乙甲丙二
線之間與乙丙平行如子丑照此於諸
對角線間作諸界之平行線即成甲子
丑寅卯辰巳午未申小形為原形每界
減半之同式形其理亦與前同若欲作
比原形大㡬倍之形則以所作諸對角
線按分引長而於本形外作諸界之平
[004-50b]
行線即成所欲作之大形也
第十四
作分釐尺法如甲戊尺三寸每寸欲分
為百釐則將甲乙邊平分作十分將戊
巳邊亦平分為十分對所分之分作諸
横線與乙戊平行次將一寸之甲辛乙
丙兩邊俱分為十分冄於甲辛邊之第
一分作斜線至乙丙邊之乙處如此作
十斜線俱與第一分斜線平行即分乙
[004-50b]
丙之一寸為一百釐也何也甲辛乙丙
[004-51a]
皆為一寸之度俱平分為十分矣若將
每分又分為十釐即每寸亦得百釐然
度狹線多必致相淆今作斜線横線各
十其横斜相交處共有百分此百分即
百釐也如第一斜線與第一横線相交
之㸃即為一釐與第二横線相交之㸃
即為二釐以至第十横線相交之㸃為
十釐即甲辛邊所分之第一分之十釐
[004-51b]
也一斜線有十釐則十斜線豈非百釐
乎由此推之若作二十横線則一斜線
得二十釐每寸即分為二百釐作百横
線則一斜線得百釐每寸即分為千釐
其法甚簡而其用尤甚便也
第十五
凡有三角形知其一角之度及此一角
之兩傍界或知其二角之度及此二角
之間一界或不知角度但知三界欲求
[004-51b]
其餘角餘界法如有一甲乙丙三角形
[004-52a]
知丙角為三十八度四十四分及丙角
兩傍之丙甲界長十四丈丙乙界長十
三丈而欲知其餘角餘界則依十一卷
第八節法作與丙角相等之三十八度
四十四分之丁角將丁角兩傍之丁戊
界作十四分丁巳界作十三分乃自戊
至巳作一戊巳線成一丁戊巳小三角
形與甲乙丙大三角形同式量其戊己
[004-52b]
邊得九分即大形之甲乙邊為九丈也
再用有度之圜量取小形戊角得六十
四度三十七分即大形甲角之度也小
形巳角得七十六度三十九分即大形
乙角之度也何也夫甲乙丙戊已丁兩
三角形之式既同其相當各角各界必
俱相等小形之丁角即與大形之丙角
等其餘兩角亦必等小形之丁已邊既
以十三分當大形丙乙邊之十三丈則
[004-52b]
小形戊巳邊之九分必當大形甲乙邊
[004-53a]
之九丈矣又或知甲乙丙三角形之乙
角為七十六度三十九分丙角為三十
八度四十四分及乙丙界長十三丈而
欲知其餘角餘界則作己丁界為十三
分照乙角丙角度作已角丁角於是畫
巳戊丁戊二界相交於戊即成戊巳丁
同式之小三角形此小形之戊角必與
甲角等而小形之丁戊界十四分與大
[004-53b]
形之甲丙界十四丈相當小形之戊己
界九分與大形之甲乙界九丈相當矣
若知甲乙丙三角形之甲乙甲丙乙丙
三界而不知其角則照前將三界之度
作同式之小形量其三角之度即知大
形之角度矣
第十六
作分數比例測量儀器法以甲丙乙半
圜界分為一百八十度每度作六十分
[004-53b]
將此半圜之丁甲丁乙丁丙三半徑線
[004-54a]
照所容方界分截開分為一百分於每
分上俱與三半徑平行作縱横線於甲
乙徑線之甲乙兩末作兩定表以圜丁
心為樞作一遊表如丁巳將此遊表亦
如前所分一百分度作二百分復於此
儀器後面作一垂線記號以掛墜線如
庚即成一全儀器用以測髙深廣逺可
知其各角各界之度矣如有一辛壬旗
[004-54b]
杆欲測其髙則將儀器按墜線立準看
甲乙徑線兩末之定表與旗杆癸處相
對乃為地平再將丁巳遊表與旗杆頂
尖辛處相對次量儀器中心所對處至
旗杆癸處得㡬何如有四十丈則看儀
器丁乙線上自丁心至子得四十分以
當地平四十丈即視與子相對垂線至
遊表相交處有㡬何如丑子三十分即
為旗杆自辛至癸相當數為三十丈也
[004-54b]
再加癸壬髙即得旗杆辛壬之共髙度
[004-55a]
矣蓋儀器上之丁子丑小三角形與所
測得丁癸辛大三角形原為同式其相
當各界之比例必俱相同故以丁子四
十分與子丑三十分之比即同於丁癸
四十丈與癸辛三十丈之比也若欲知
丁辛弦線數即視遊表自丁至丑相交
之處得㡬何如有五十分其相當數即
為五十丈也若欲知丁癸辛三角形之
[004-55b]
各角度則視圜界與遊表相交處如巳
其乙巳弧度即丁角三十五度一十三
分其餘巳丙弧五十度四十七分即辛
角度而癸辛線原與子丑垂線平行為
平行線故癸角必是直角而為九十度
也
第十七
倣各種地形畫圖法如有甲乙丙丁地
形欲畫一圖則選能見各地之二處立
[004-55b]
儀器為戊為巳將戊與巳對准定表先
[004-56a]
自戊以遊表視庚辛壬癸等處得諸角
之度皆細記之如庚戊巳角得八十一
度辛戊巳角得五十度三十分壬戊巳
角得四十五度八分癸戊巳角得三十
三度二十分次自巳以遊表照前視庚
辛壬癸等處得諸角之度亦細記之如
庚已戊角得三十五度四十分辛巳戊
角得四十度十分壬已戊角得四十七
[004-56b]
度二十五分癸巳戊角得七十度於是
任意作一子丑線為戊己相當線於此
子丑線之兩末作諸角與所記諸角相
等將所作諸角之各線俱引長使相交
於寅卯辰巳等處乃以庚辛壬癸所有
之諸地形並其餘各處凡目之所見俱
畫於圖之相當各界即成一午未申酉
之圖即甲乙丙丁地形之圖也葢午未
申酉圖内所作寅子丑卯子丑類諸三
[004-56b]
角形之角度皆與甲乙丙丁地形之庚
[004-57a]
戊已辛戊巳類諸三角形之角度相等
而作故其相當各三角形俱為同式此
所以全圖與全地形為同式也
第十八
畫地理圖欲約為小圖或欲廣為大圖
法如有甲乙丙丁一地理圖欲約為小
圖為原圖四分之一則用甲乙丙丁形
界之四分之一畫一戊已庚辛形將甲
[004-57b]
乙丙丁原形任意分為數正方形而將
小形亦分為數正方形視原圖中所有
山川城郭村墅林園函於大圖之某正
方分者約而畫入小圖某正方形内則
此所畫之戊巳庚辛小圖即與原有甲
乙丙丁大圖為同式矣
第十九
作比例尺平分線法如此比例尺欲作
平分線則自甲樞心至乙丙二末作甲
[004-57b]
乙甲丙二線用本卷第五節法分之各
[004-58a]
平分為二百分即為比例尺之平分線
也以用法明之如有丁戊一直線欲平
分為十分則將比例尺一百分之己庚
二㸃照丁戊線度展開勿令移動次取
比例尺之第十分之辛壬二㸃相離之
度即是丁戊線之十分之一分也何則
自乙至丙作一線自己至庚作一線自
辛至壬復作一線其甲乙丙三角形與
[004-58b]
甲己庚三角形為同式而甲己庚三角
形又與甲辛壬三角形為同式是以所
分甲己線與甲乙線之比同於己庚線
與乙丙線之比而甲辛線與甲己線之
比亦同於辛壬線與己庚線之比也然
則十分之甲辛線既為百分之甲己線
之十分之一其辛壬線亦必為己庚線
之十分之一矣丁戊線原與己庚線同
度則辛壬線亦為丁戊線之十分之一
[004-58b]
可知矣
[004-59a]
第二十
作比例尺分圜線法如於比例尺欲作
分圜線則自甲樞心至乙丙二末作甲
乙甲丙二線乃平分甲乙線於未以未
為心以甲乙二末為界作一半圜於是
分圜界為一百八十度復以甲為圜心
至所分圜界戊巳庚辛壬癸子丑等處
作各弦線又將諸弦線度移於尺之甲
[004-59b]
乙甲丙二線則此二線即成一圜之諸
弦之總線也以用法明之如寅卯寅辰
二線所合寅角欲知其度則以寅為心
作一辰卯弧將比例尺六十度之丁未
兩㸃相距之度照寅辰或寅卯度展開
勿令移動次取卯辰相距之度於比例
尺上尋至八十度之申酉處恰符即是
寅角為八十度也何則若自丁至未自
申至酉作二線成甲申酉甲丁未兩同
[004-59b]
式三角形其相當各角各界俱為相當
[004-60a]
比例之率故甲未線與甲酉線之比同
於丁未線與申酉線之比也夫甲未線
既為比例尺所作甲庚六十度之弦線
而甲酉線又為甲辛八十度之弦線其
丁未線既與小圜寅卯輻線等而輻線
原與六十度之弦線等然則丁未線即
小圜六十度之弦線而申酉線亦為小
圜八十度之弦線也以此得知寅角之
[004-60b]
卯辰度為八十度也
第二十一
作比例尺分面線法如此比例尺欲作
分面線則以甲樞心處至乙丙二末作
甲乙甲丙二線自甲截甲丙線於丁照
所截甲丁度於甲心作一甲戊垂線自
戊至丁作一戊丁線又照戊丁線度自
甲截甲丙線於已自戊至已作一戊已
線又照戊已線度自甲截甲丙線於庚
[004-60b]
自戊至庚作一戊庚線又照戊庚線度
[004-61a]
自甲截甲丙線於辛自戊至辛作一戊
辛線又照戊辛線度自甲截甲丙線於
壬自戊至壬作一戊壬線照此累累截
之至丙末又將甲丙線所截各度移置
甲乙線即成比例尺之分面線也何則
於甲丁戊直角三角形之三界作卯丁
辰戊戊已三正方形其甲丁甲戊二線
因為相等度所作故卯丁辰戊二形必
[004-61b]
等再於戊甲丁直角相對之戊丁界所
作之戊巳一方形亦必與直角兩旁界
所作卯丁辰戊二方形相等也見九卷/第四節
次於甲已界作未巳正方形甲己界原
與戊丁等則甲已界所作未已方形即
與戊丁界所作之戊巳方形相等矣未
巳方形既與戊巳方形等則必與卯丁
辰戊二形相等而亦與卯丁之倍數相
等矣夫甲巳界即大於卯丁形一倍為
[004-61b]
未巳形之一界也倣此論之則甲庚界
[004-62a]
即為比卯丁形大二倍形之界而甲辛
甲壬等界即為比卯丁形大三倍四倍
形之界可知矣以用法明之如有一癸
子正方形欲作大二倍之正方形則將
比例尺展開使其丁丑相距之度與癸
子界度等次取比例尺寅庚相距之度
即是比癸子方形大二倍之方形之一
面界度也何則自丁至丑自庚至寅作
[004-62b]
丁丑庚寅二線成甲丁丑甲庚寅同式
兩三角形則甲丁線與甲庚線之比即
同於丁丑線與庚寅線之比也夫甲庚
線所作方形原比甲丁線所作方形大
二倍則庚寅線所作方形必比丁丑線
所作方形亦大二倍矣丁丑之度原與
子癸等則寅庚線豈非比子癸方形大
二倍方形之一界乎
第二十二
[004-62b]
作比例尺分體線法如於比例尺欲作
[004-63a]
分體線則以甲樞心之甲乙甲丙二線
任作丁已一正方體取其戊己一界之
度置於尺上自甲截甲乙線於庚次作
比戊已界大一倍之辛壬線又於戊巳
辛壬二線間照本卷第十節法作相連
比例之癸子丑寅二率乃取癸子線度
置於尺上仍自甲截甲乙線於辰則甲
辰所作卯子正方體必比甲庚所作丁
[004-63b]
已正方體大一倍矣何則試將癸子線
作卯子正方體則與丁己正方體為同
式其二體相比之比例必同於戊已癸
子二界所生連比例加二倍之比例今
辛壬線既為戊巳相連比例之第四率
則丁已卯子二體之比例必同於戊已
辛壬二線之比例矣辛壬線既比戊己
線大一倍則卯子體亦比丁已體大一
倍可知矣又作比戊已界大二倍之己
[004-63b]
未線仍照本卷第十節法作戊已巳未
[004-64a]
二線間相連比例之申酉戌亥二率乃
取申酉線度置於尺上自甲截甲乙線
於乾則甲乾所作午酉正方體即比甲
庚所作丁巳體大二倍矣照此屢倍戊
己界求相連比例之四線取其第二線
度置於尺之甲乙線上又按甲乙線所
截各度移置甲丙線即成比例尺之分
體線也以用法明之如有一坎庚正方
[004-64b]
體欲作大二倍之體則將比例尺展開
使其庚與庚第一次所/截之㸃相距之度與艮
庚界度等次取比例尺乾與乾第三次/所截之
㸃/相距之度即是比坎庚正方體大二
倍之正方體之一界度也何則自比例
尺之庚乾二處作庚庚乾乾二線即成
甲庚庚甲乾乾同式兩三角形則甲庚
線與甲乾線之比同於庚庚線與乾乾
線之比例矣夫甲乾線所作方體原大
[004-64b]
於甲庚線所作正方體之二倍則乾乾
[004-65a]
線所作正方體必大於庚庚線所作正
方體之二倍可知矣又㨗法設正方體
界一百釐其積數一百萬釐以二因之
成二百萬釐立方開之得界一百二十
五釐又以三因之成三百萬釐立方開
之得界一百四十四釐照此屢倍積數
開立方將所得之數於分釐尺上取其
度截比例尺之甲乙甲丙二線即成分
[004-65b]
體線與前求連比例之法無異也
御製數理精藴上編卷四
