[012-1a] 
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷七
線部五
和較比例
[012-2a]
和較比例
比例之中有和數較數而復有和較者用和數相比
謂之和用較數相比謂之較至於設問中兩物相和
兩價相和或每色中㡬物相和乃於和數中推求較
數因較數而成比例是以和數為體而較數為用故
謂之和較比例在九章一名貴賤差分一名貴賤相
和其立法盖於縂物中求其相差之較或於每物中
求其相差之較此貴賤/差分法或用互乗以齊其數然後於
[012-2b]
互乗數中求其相差之較作為比例而得真數此貴/賤相
和/法按法立算雖各不同要之縂以和數推出較數為
比此和較之所以名也
設如有銀四百零五兩七錢共買米麥五百石米每
石價銀八錢六分麥每石價銀七錢二分五釐問
米麥各該㡬何
法以米麥共五百石用米每石價銀八
錢六分乗之得四百三十兩與縂銀四
百零五兩七錢相較則縂銀少二十四
[012-2b]
兩三錢又以米麥共五百石用麥每石
[012-3a]
價銀七錢二分五釐乗之得三百六十
二兩五錢與縂銀相較則縂銀多四十
三兩二錢乃以多少兩數相併得六十
七兩五錢為一率米麥共五百石為二
率少二十四兩三錢為三率得四率一
百八十石即麥數於共五百石内減之
餘三百二十石即米數如以多四十三
兩二錢為三率得四率三百二十石亦
[012-3b]
即米數也此法盖以五百石俱為米計
之則價應四百三十兩與今縂銀相較
則縂銀少二十四兩三錢如以五百石
俱為麥計之則價應三百六十二兩五
錢與今縂銀相較則縂銀多四十三兩
二錢是米五百石比麥五百石價多六
十七兩五錢即麥五百石比米五百石
價少六十七兩五錢也是知麥價比米
價少六十七兩五錢而麥為五百石今
[012-3b]
縂銀比米價少二十四兩三錢則麥必
[012-4a]
為一百八十石也又米價比麥價多六
十七兩五錢而米為五百石今縂銀比
麥價多四十三兩二錢則米必為三百
二十石也
又法以米麥每石價銀相減餘一錢三
分五釐為一率一石為二率以米麥共
五百石用米價乗之得四百三十兩與
縂銀四百零五兩七錢相減餘二十四
[012-4b]
兩三錢為三率得四率一百八十石即
麥數於共五百石内減之餘三百二十
石即米數如以米麥共五百石用麥價
乗之得三百六十二兩五錢與縂銀四
百零五兩七錢相減餘四十三兩二錢
為三率得四率三百二十石亦即米數
也此法盖因米一石比麥一石其價相
差一錢三分五釐是知少一錢三分五
釐而麥為一石今少二十四兩三錢則
[012-4b]
麥少為一百八十石也又多一錢三分
[012-5a]
五釐而米為一石今多四十三兩二錢
則米必為三百二十石也前法以五百
石縂價之較與五百石為比此法以每
一石價之較與一石為比其理同也
設如有銀一百兩共買紬絹一百疋紬每疋價銀一
兩六錢絹每疋價銀八錢問紬絹各得㡬何
法以紬絹共一百疋用紬價一兩六錢
乗之得一百六十兩與共銀一百兩相
[012-5b]
較則共銀少六十兩又以紬絹共一百
疋用絹價八錢乗之得八十兩與共銀
一百兩相較則共銀多二十兩乃以多
少兩數相併得八十兩為一率紬絹共
一百疋為二率少六十兩為三率得四
率七十五疋即絹數於共一百疋内減
之餘二十五疋即紬數如以多二十兩
為三率得四率二十五疋亦即紬數也
此法盖以一百疋俱為紬計之則價應
[012-5b]
一百六十兩與共銀相較則共銀少六
[012-6a]
十兩如以一百疋俱為絹計之則價應
八十兩與共銀相較則共銀多二十兩
是紬一百疋比絹一百疋價多八十兩
即絹一百疋比紬一百疋價少八十兩
也是知絹價比紬價少八十兩而絹為
一百疋今共價比紬價少六十兩則絹
必為七十五疋也又紬價比絹價多八
十兩而紬為一百疋今共價比絹價多
[012-6b]
二十兩則紬必為二十五疋也
又法以紬絹每疋價銀相減餘八錢為
一率紬一疋為二率以紬絹共一百疋
用紬價乗之得一百六十兩與共銀一
百兩相減餘六十兩為三率得四率七
十五疋即絹數於共一百疋内減之餘
二十五疋即紬數如以紬絹共一百疋
用絹價乗之得八十兩與共銀一百兩
相減餘二十兩為三率得四率二十五
[012-6b]
疋亦即紬數也此法盖因紬一疋比絹
[012-7a]
一疋其價相差八錢是知少八錢而絹
為一疋今少六十兩則絹必為七十五
疋也又多八錢而紬為一疋今多二十
兩則紬必為二十五疋也
設如雞兔同籠但知頭共三十六足共一百問雞兔
各㡬何
法以雞兔共三十六頭用雞二足乗之
得七十二足與共足一百相較則共足
[012-7b]
多二十八又以雞兔共三十六頭用兔
四足乗之得一百四十四足與共足一
百相較則共足少四十四乃以多少兩
數相併得七十二足為一率共三十六
頭為二率少四十四足為三率得四率
二十二即雞數於共三十六隻内減之
餘十四即兔數如以多二十八足為三
率得四率十四亦即兔數也此法盖以
三十六俱為雞計之則應七十二足與
[012-7b]
今共足相較則共足多二十八若以三
[012-8a]
十六俱為兔計之則應一百四十四足
與今共足相較則共足少四十四是兔
三十六比雞三十六多七十二足即雞
三十六比兔三十六少七十二足也是
知雞少於兔七十二足而雞為三十六
隻今雞少於兔四十四足則雞必為二
十二隻也又兔多於雞七十二足而兔
為三十六隻今兔多於雞二十八足則
[012-8b]
兔必為十四隻也
又法以雞二足兔四足相減餘二足為
一率一隻為二率又以共三十六隻用
兔四足乗之得一百四十四足與共足
一百相減餘四十四為三率得四率二
十二即雞數於共三十六隻内減之餘
十四即兔數如以共三十六隻用雞二
足乗之得七十二足與共足一百相減
餘二十八為三率得四率十四亦即兔
[012-8b]
數也此法盖因雞一隻比兔一隻差二
[012-9a]
足是知雞少於兔二足而雞為一隻今
少於兔四十四足則雞必為二十二隻
也又兔多於雞二足而兔為一隻今多
於雞二十八足則兔必為十四隻也
設如有羊一百四十隻大小不䓁共剪毛一百五十
斤大羊每隻剪毛一斤二兩小羊每隻剪毛十二
兩問大小羊各㡬何
法以共羊一百四十隻用大羊剪毛十
[012-9b]
八兩乗之一斤作十六兩加/二兩即十八兩也得二千五
百二十兩與共剪毛二千四百兩相較
一百五十斤變為/兩得二千四百兩則共剪毛數少一百
二十兩又以共羊一百四十隻用小羊
剪毛十二兩乗之得一千六百八十兩
與共剪毛二千四百兩相較則共剪毛
數多七百二十兩乃以多少兩數相併
得八百四十兩為一率共羊一百四十
隻為二率多七百二十兩為三率得四
[012-9b]
率一百二十隻即大羊數於共一百四
[012-10a]
十隻内減之餘二十隻即小羊數如以
少一百二十兩為三率得四率二十隻
亦即小羊數也此法盖以一百四十隻
俱為大羊計之則應剪毛二千五百二
十兩與共剪毛數相較則共剪毛數少
一百二十兩若以一百四十隻俱為小
羊計之則應剪毛一千六百八十兩與
共剪毛數相較則共剪毛數多七百二
[012-10b]
十兩是大羊一百四十隻比小羊一百
四十隻多八百四十兩即小羊一百四
十隻比大羊一百四十隻少八百四十
兩也是知多八百四十兩而大羊為一
百四十隻今少七百二十兩則大羊必
為一百二十隻也又少八百四十兩而
小羊為一百四十隻今少一百二十兩
則小羊必為二十隻也
又法以大羊剪毛十八兩小羊剪毛十
[012-10b]
二兩相減餘六兩為一率一隻為二率
[012-11a]
以共羊一百四十隻用小羊剪毛數乗
之得一千六百八十兩與共剪毛二千
四百兩相減餘七百二十兩為三率得
四率一百二十隻即大羊數於共一百
四十隻内減之餘二十隻即小羊數如
以共羊一百四十隻用大羊剪毛數乗
之得二千五百二十兩與共剪毛二千
四百兩相減餘一百二十兩為三率得
[012-11b]
四率二十隻亦即小羊數也此法盖以
大羊一隻比小羊一隻所剪毛差六兩
是知多六兩而大羊為一隻今多七百
二十兩則大羊必為一百二十隻也又
少六兩而小羊為一隻今少一百二十
兩則小羊必為二十隻也
設如有玉在石中但知正方每邉四寸共重一百六
十兩八錢問玉有㡬何
法以方邉四寸自乗再乗得六十四寸
[012-11b]
為正方體積乃以六十四寸用玉寸方
[012-12a]
定率二兩六錢乗之得一百六十六兩
四錢與共重一百六十兩八錢相較則
共重少五兩六錢又以六十四寸用石
寸方定率二兩五錢乗之得一百六十
兩與共重一百六十兩八錢相較則共
重多八錢乃以多少兩數相併得六兩
四錢為一率玉六十四寸為二率多八
錢為三率得四率八寸即玉數於共六
[012-12b]
十四寸内減之餘五十六寸即石數如
以少五兩六錢為三率得四率五十六
寸亦即石數也既得玉八寸則以玉寸
方定率二兩六錢乗之得二十兩八錢
即玉之重數於共重一百六十兩八錢
内減之餘一百四十兩即石之重數如
以石五十六寸用石寸方定率二兩五
錢乗之得一百四十兩亦即石之重數
也此法盖以六十四寸俱為玉計之則
[012-12b]
應重一百六十六兩四錢與共重數相
[012-13a]
較則共重數少五兩六錢若以六十四
寸俱為石計之則應重一百六十兩與
共重數相較則共重數多八錢是石六
十四寸比玉六十四寸少六兩四錢即
玉六十四寸比石六十四寸多六兩四
錢也是知多六兩四錢而玉為六十四
寸今多八錢則玉必為八寸也又少六
兩四錢而石為六十四寸今少五兩六
[012-13b]
錢則石必為五十六寸也
又法以玉寸方定率二兩六錢與石寸
方定率二兩五錢相減餘一錢為一率
一寸為二率以共積六十四寸用石寸
方定率二兩五錢乗之得一百六十兩
與共重一百六十兩八錢相減餘八錢
為三率得四率八寸即玉數於共六十
四寸内減之餘五十六寸即石數如以
共積六十四寸用玉寸方定率二兩六
[012-13b]
錢乗之得一百六十六兩四錢與共重
[012-14a]
一百六十兩八錢相減餘五兩六錢為
三率得四率五十六寸亦即石數也此
法盖以玉一寸比石一寸其重差一錢
是知多一錢而玉為一寸今多八錢則
玉必為八寸也又少一錢而石為一寸
今少五兩六錢則石必為五十六寸也
設如有金銀共重三百二十一兩鎔於一處作成一
正方體每邉三寸問金銀各重㡬何
[012-14b]
法以方邊三寸自乗再乗得二十七寸
為正方體積乃以二十七寸俱作金算
用金寸方定率十六兩八錢乗之得四
百五十三兩六錢與共重三百二十一
兩相較則共重少一百三十二兩六錢
又以二十七寸俱作銀算用銀寸方定
率九兩乗之得二百四十三兩與共重
三百二十一兩相較則共重多七十八
兩乃以多少兩數相併得二百一十兩
[012-14b]
六錢為一率金二十七寸重四百五十
[012-15a]
三兩六錢為二率多七十八兩為三率
得四率一百六十八兩即金數於共重
三百二十一兩内減之餘一百五十三
兩即銀數如以銀二十七寸重二百四
十三兩為二率少一百三十二兩六錢
為三率得四率一百五十三兩亦即銀
數也此法盖因金二十七寸比銀二十
七寸多二百一十兩六錢即銀二十七
[012-15b]
寸比金二十七寸少二百一十兩六錢
也是知金比銀多二百一十兩六錢而
金為四百五十三兩六錢今多七十八
兩則金必為一百六十八兩也又銀比
金少二百一十兩六錢而銀為二百四
十三兩今少一百三十二兩六錢則銀
必為一百五十三兩也
又法以銀寸方定率九兩與金寸方定
率十六兩八錢相減餘七兩八錢為一
[012-15b]
率金一寸重十六兩八錢為二率以共
[012-16a]
積二十七寸用銀寸方定率九兩乗之
得二百四十三兩與共重三百二十一
兩相減餘七十八兩為三率得四率一
百六十八兩即金數於共重三百二十
一兩内減之餘一百五十三兩即銀數
如以銀一寸重九兩為二率以共積二
十七寸用金寸方定率十六兩八錢乗
之得四百五十三兩六錢與共重三百
[012-16b]
二十一兩相減餘一百三十二兩六錢
為三率得四率一百五十三兩亦即銀
數也此法盖以金一寸比銀一寸其重
相差七兩八錢是知多七兩八錢而金
為十六兩八錢今多七十八兩則金必
為一百六十八兩也又少七兩八錢而
銀為九兩今少一百三十二兩六錢則
銀必為一百五十三兩也
設如有金器一件内有銀相参合共重一百七十兩
[012-16b]
四錢問金銀各重若干
[012-17a]
法用一桶盛水令滿将金器入内看溢
出之水得正方寸數㡬何假如得十二
寸即為金銀共積以金寸方定率十六
兩八錢乗之得二百零一兩六錢與共
重一百七十兩四錢相較則共重少三
十一兩二錢又以銀寸方定率九兩乗
之得一百零八兩與共重一百七十兩
四錢相較則共重多六十二兩四錢乃
[012-17b]
以多少兩數相併得九十三兩六錢為
一率金十二寸重二百零一兩六錢為
二率多六十二兩四錢為三率得四率
一百三十四兩四錢即金數於共重一
百七十兩四錢内減之餘三十六兩即
銀數如以銀十二寸重一百零八兩為
二率少三十一兩二錢為三率得四率
三十六兩亦即銀數也
又法以金寸方定率十六兩八錢與銀
[012-17b]
寸方定率九兩相減餘七兩八錢為一
[012-18a]
率金一寸重十六兩八錢為二率以共
積十二寸用銀寸方定率九兩乗之得
一百零八兩與共重一百七十兩四錢
相減餘六十二兩四錢為三率得四率
一百三十四兩四錢即金數於共重一
百七十兩四錢内減之餘三十六兩即
銀數如以銀一寸重九兩為二率以共
積十二寸用金寸方定率十六兩八錢
[012-18b]
乗之得二百零一兩六錢與共重一百
七十兩四錢相減餘三十一兩二錢為
三率得四率三十六兩亦即銀數也
設如有金鑄一器重三百兩俱係九六成色今用九
九成色及九一成色二䓁金替換問各得㡬何
法以九六成色與三百兩相乗得二百
八十八兩為原金數乃以九九成色與
三百兩相乗得二百九十七兩與原金
二百八十八兩相較則原金少九兩又
[012-18b]
以九一成色與三百兩相乗得二百七
[012-19a]
十三兩與原金二百八十八兩相較則
原金多十五兩爰以多少兩數相併得
二十四兩為一率三百兩為二率原金
比九一成色多十五兩為三率得四率
一百八十七兩五錢即九九成色金數
於共重三百兩内減之餘一百一十二
兩五錢即九一成色金數如以原金比
九九成色少九兩為三率得四率一百
[012-19b]
一十二兩五錢亦即九一成色金數也
盖九六成色金三百兩為十成金二百
八十八兩而九九成色金三百兩為十
成金二百九十七兩九一成色金三百
兩為十成金二百七十三兩是知九九
比九一多二十四兩而九九成色金為
三百兩今九六比九一多十五兩則九
九成色金必為一百八十七兩五錢也
又九一比九九少二十四兩而九一成
[012-19b]
色金為三百兩今九六比九九少九兩
[012-20a]
則九一成色金必為一百一十二兩五
錢也
又法以九九與九一相減餘八分為一
率金三百兩為二率以九一與九六相
減餘五分為三率得四率一百八十七
兩五錢即九九成色金數於共重三百
兩内減之餘一百一十二兩五錢即九
一成色金數如以九九與九六相減餘
[012-20b]
三分為三率得四率一百一十二兩五
錢亦即九一成色金數也盖九九比九
一多八分而九九成色金為三百兩今
九六比九一多五分則九九成色金必
為一百八十七兩五錢也又九一比九
九少八分而九一成色金為三百兩今
九六比九九少三分則九一成色金必
為一百一十二兩五錢也
設如甲乙二人有金成色不䓁甲金一兩可凖銀一
[012-20b]
十二兩乙金一兩可凖銀八兩今欲鎔為一處令
[012-21a]
金一兩凖銀九兩問甲乙二人於一兩金中各出
金㡬何
法以凖銀九兩為中數與甲金凖銀十
二兩相較少三兩與乙金凖銀八兩相
較多一兩乃以多少兩數併之得四兩
為一率金一兩為二率比甲少三兩為
三率得四率七錢五分即乙所出金數
如以比乙多一兩為三率得四率二錢
[012-21b]
五分即甲所出金數也此法因銀十二
兩與八兩皆金一兩所凖之數雖相乗
其數不動故直以十二與八相減作一
率以十二與九八與九之兩較相併/得四即十二與八相減之餘數也盖
乙比甲銀少四兩而乙金為一兩今比
甲銀少三兩則乙金必為七錢五分也
又甲比乙銀多四兩而甲金為一兩今
比乙銀多一兩則甲金必為二錢五分
也
[012-21b]
設如有錢四千九百九十五文買栗棗共五千枚只
[012-22a]
云栗九枚錢一十一文棗七枚錢四文問二色與
價各得若干
法先用互乗以齊其分以栗九與棗七
相乗得六十三為乗出之縂物分即以
六十三乗縂錢四千九百九十五文得
三十一萬四千六百八十五文為乗出
之縂錢數又以棗七乗栗價十一文得
七十七文為乗出之栗價以栗九乗棗
[012-22b]
價四文得三十六文為乗出之棗價然
後以栗棗共五千枚用栗價七十七文
乗之得三十八萬五千文與乗出之縂
錢三十一萬四千六百八十五文相較
則縂錢少七萬零三百一十五文又以
栗棗共五千枚用棗價三十六文乗之
得一十八萬文與乗出之縂錢三十一
萬四千六百八十五文相較則縂錢多
一十三萬四千六百八十五文乃以栗
[012-22b]
價七十七文與棗價三十六文相減餘
[012-23a]
四十一文為一率一枚為二率多一十
三萬四千六百八十五文為三率得四
率三千二百八十五枚即栗數於共五
千枚内減之餘一千七百一十五枚即
棗數如以少七萬零三百一十五文為
三率得四率一千七百一十五枚亦即
棗數也既得栗數則以九枚為一率十
一文為二率三千二百八十五枚為三
[012-23b]
率得四率四千零一十五文即栗之共
價既得棗數則以七枚為一率四文為
二率一千七百一十五枚為三率得四
率九百八十文即棗之共價也如欲先
得各價則以四十一文為一率栗價七
十七文為二率多一十三萬四千六百
八十五文為三率得四率二十五萬二
千九百四十五文以六十三除之得四
千零一十五文即栗之共價於共錢四
[012-23b]
千九百九十五文内減之餘九百八十
[012-24a]
文即棗之共價如以四十一文為一率
棗價三十六文為二率少七萬零三百
一十五文為三率得四率六萬一千七
百四十文以六十三除之得九百八十
文亦即棗之共價也此法九章名為貴
賤相和盖因栗九枚棗七枚其數不同
故用互乗以齊其分得栗六十三枚價
七十七文棗六十三枚價三十六文今
[012-24b]
以六十三枚當一枚則為栗一枚價七
十七文棗一枚價三十六文是其價各
加六十三倍故将縂錢亦加六十三倍
即為栗棗共五千枚共價三十一萬四
千六百八十五文而栗一枚比棗一枚
其價相差四十一文是知栗價比棗價
多四十一文而栗為一枚今共價比棗
價多一十三萬四千六百八十五文則
栗必為三千二百八十五枚也又棗價
[012-24b]
比栗價少四十一文而棗為一枚今共
[012-25a]
價比栗價少七萬零三百一十五文則
棗必為一千七百一十五枚也其先求
各價者盖因栗價比棗價多四十一文
而栗價為七十七文今共價比棗價多
一十三萬四千六百八十五文則栗價
少為二十五萬二千九百四十五文因
各價皆為加六十三倍故以六十三除
之得四千零一十五文為栗之共價也
[012-25b]
又棗價比栗價少四十一文而棗價為
三十六文今共價比栗價少七萬零三
百一十五文則棗價必為六萬一千七
百四十文亦以六十三除之得九百八
十文為棗之共價也
又法以棗七枚栗九枚共五千枚列於
上棗價四文栗價十一文共價四千九
百九十五文列於下乃以下棗價四文
遍乗上棗七枚栗九枚共五千枚得棗
[012-25b]
二十八枚栗三十六枚共二萬枚又以
[012-26a]
上棗七枚遍乗下棗價四文栗價十一
文共價四千九百九十五文得棗價二
十八文栗價七十七文共價三萬四千
九百六十五文兩下相較則棗數與棗
價同為二十八彼此減盡棗價比栗數
多四十一共價比共數多一萬四千九
百六十五爰以多四十一為一率栗九
枚為二率多一萬四千九百六十五為
[012-26b]
三率得四率三千二百八十五枚即栗
數於五千枚内減之餘一千七百一十
五枚即棗數如以栗價十一文為二率
得四率四千零一十五文即栗之共價
於四千九百九十五文内減之餘九百
八十文即棗之共價也若欲先得棗數
則以栗九枚價十一文移於前棗七枚
價四文移於後乃以下栗價十一文遍
乗上栗九枚棗七枚共五千枚得栗九
[012-26b]
十九枚棗七十七枚共五萬五千枚又
[012-27a]
以上栗九枚遍乗下栗價十一文棗價
四文共價四千九百九十五文得栗價
九十九文棗價三十六文共價四萬四
千九百五十五文兩下相較則栗數與
栗價同為九十九彼此減盡棗價比棗
數少四十一共價比共數少一萬零四
十五爰以少四十一為一率棗七枚為
二率少一萬零四十五為三率得四率
[012-27b]
一千七百一十五枚即棗數如以棗價
四文為二率得四率九百八十文即棗
之共價也此法與方程互乗齊分之理
同其先求栗數而以棗數列於前者盖
将棗數栗數共數皆加四倍棗價栗價
共價皆加七倍則棗數與棗價相同是
為每棗一枚價一文夫棗數與棗價既
相同而減盡無餘則棗栗共數内之共
棗數與棗栗共價内之共棗價亦必相
[012-27b]
同而減盡無餘所餘者即為共栗價多
[012-28a]
於共栗數之較是比每栗一枚價一文
所多之數是知栗價比栗數多四十一
文而栗為九枚栗價為十一文今共栗
價比共栗數多一萬四千九百六十五
文則栗必為三千二百八十五枚栗價
必為四千零一十五文也其先求棗數
而以栗數列於前者盖将栗數棗數共
數皆加十一倍栗價棗價共價皆加九
[012-28b]
倍則栗數與栗價相同是為每栗一枚
價一文夫栗數與栗價既相同而減盡
無餘則栗棗共數内之共栗數與栗棗
共價内之共栗價亦必相同而減盡無
餘所餘者即為共棗價少於共棗數之
較是比每棗一枚價一文所少之數是
知棗價比棗數少四十一文而棗為七
枚棗價為四文今共棗價比共棗數少
一萬零四十五文則棗必為一千七百
[012-28b]
一十五枚棗價必為九百八十文也
[012-29a]
設如有僧一百人給饅首一百箇大僧一人給三箇
小僧三人給一箇問大小僧數及各得饅首若干
法先用互乗以齊其分以大僧一人與
小僧三人相乗得三人為乗出之縂僧
數即以三人乗饅首一百箇得三百箇
為乗出之共饅首數又以小僧三人乗
大僧饅首三箇得九箇為乗出之大僧
饅首數以大僧一人乗小僧饅首一箇
[012-29b]
仍得一箇為乗出之小僧饅首數然後
以共僧一百人與大僧饅首九箇相乗
得九百箇與乗出之共饅首三百箇相
較則共饅首少六百箇又以共僧一百
人與小僧饅首一箇相乗得一百箇與
乗出之共饅首三百箇相較則共饅首
多二百箇乃以大僧饅首九箇與小僧
饅首一箇相減餘八箇為一率一人為
二率多二百箇為三率得四率二十五
[012-29b]
人即大僧數於共僧一百人内減之餘
[012-30a]
七十五人即小僧數如以少六百箇為
三率得四率七十五人亦即小僧數也
既得僧數則以一人為一率三箇為二
率大僧二十五人為三率得四率七十
五箇即大僧饅首數又以三人為一率
一箇為二率小僧七十五人為三率得
四率二十五箇即小僧饅首數也如欲
先得饅首數則仍以八箇為一率大僧
[012-30b]
饅首九箇為二率今多二百箇為三率
得四率二百二十五箇三歸之得七十
五箇即大僧饅首數於共饅首一百箇
内減之餘二十五箇即小僧饅首數如
以八箇為一率小僧饅首一箇為二率
今少六百箇為三率得四率七十五箇
三歸之得二十五箇亦即小僧饅首數
也此法用互乗得大僧三人饅首九箇
小僧三人饅首一箇今以三人當一人
[012-30b]
則為大僧一人饅首九箇小僧一人饅
[012-31a]
首一箇是饅首為加三倍故将共饅首
亦加三倍即為共僧一百人共饅首三
百箇而大僧一人比小僧一人饅首差
八箇是知多八箇而大僧為一人今多
二百箇則大僧必為二十五人也又少
八箇而小僧為一人今少六百箇則小
僧必為七十五人也其先求饅首者因
多八箇而大僧饅首為九箇今多二百
[012-31b]
箇則大僧饅首必為二百二十五箇因
饅首為加三倍故以三歸之得七十五
箇為大僧饅首數又少八箇而小僧饅
首為一箇今少六百箇則小僧饅首必
為七十五箇亦以三歸之得二十五箇
為小僧饅首數也
又法以小僧三人大僧一人共僧一百
人列於上小僧饅首一箇大僧饅首三
箇共饅首一百箇列於下乃以下小僧
[012-31b]
饅首一箇遍乗上小僧三人大僧一人
[012-32a]
共僧一百人仍得原數又以上小僧三
人遍乗下小僧饅首一箇大僧饅首三
箇共饅首一百箇得小僧饅首三箇大
僧饅首九箇共饅首三百箇兩下相較
則小僧人數與饅首數同為三彼此減
盡大僧饅首數比人數多八共饅首數
比共人數多二百爰以多八為一率大
僧一人為二率多二百為三率得四率
[012-32b]
二十五人即大僧數於共一百人内減
之餘七十五人即小僧數如以大僧饅
首三箇為二率得四率七十五箇即大
僧饅首數於共饅首一百箇内減之餘
二十五箇即小僧饅首數也若欲先得
小僧數則以大僧一人饅首三箇移於
前小僧三人饅首一箇移於後乃以下
大僧饅首三箇遍乗上大僧一人小僧
三人共僧一百人得大僧三人小僧九
[012-32b]
人共僧三百人又以上大僧一人遍乗
[012-33a]
下大僧饅首三箇小僧饅首一箇共饅
首一百箇仍得原數兩下相較則大僧
與大僧饅首同為三彼此減盡小僧饅
首數比人數少八共僧饅首數比共人
數少二百爰以少八為一率小僧三人
為二率少二百為三率得四率七十五
即小僧人數如以小僧饅首一箇為二
率得四率二十五箇即小僧饅首數也
[012-33b]
此法先求大僧數而以小僧列於前者
盖将小僧饅首大僧饅首共僧饅首數
皆加三倍則小僧人數與饅首數相同
是為每小僧一人饅首一箇夫小僧數
與饅首數既相同而減盡無餘則共僧
數内之共小僧數與共饅首數内之共
小僧饅首數亦必相同而減盡無餘所
餘者即為大僧共饅首數多於共人數
之較是比每大僧一人饅首一箇所多
[012-33b]
之數是知饅首比人數多八箇而大僧
[012-34a]
為一人大僧饅首為三箇今饅首比人
數多二百箇則大僧必為二十五人大
僧饅首必為七十五箇也其先求小僧
數而以大僧列於前者盖将大僧小僧
共僧數皆加三倍則大僧數與饅首數
相同是為每大僧一人饅首一箇夫大
僧數與饅首數既相同而減盡無餘則
共僧數内之共大僧數與共饅首數内
[012-34b]
之共大僧饅首數亦必相同而減盡無
餘所餘者即為小僧饅首數少於小僧
數之較是比每小僧一人饅首一箇所
少之數是知少八箇而小僧為三人小
僧饅首為一箇今少二百箇則小僧必
為七十五人小僧饅首必為二十五箇
也
設如有豆三十三石共換黄米京米一十九石止云
每黄米三石值豆一石每京米一石值豆三石問
[012-34b]
二色米各得㡬何
[012-35a]
法先用互乗以齊其分以黄米三石與
京米一石相乗得三石為乗出之共米
數即以三石乗共豆三十三石得九十
九石為乗出之共豆數以京米一石乗
豆一石仍得一石為乗出黄米所值之
豆數以黄米三石乗豆三石得九石為
乗出京米所值之豆數然後以共米一
十九石用黄米值豆一石乗之仍得一
[012-35b]
十九石與乗出之共豆九十九石相較
則共豆多八十石又以共米一十九石
用京米值豆九石乗之得一百七十一
石與乗出之共豆九十九石相較則共
豆多七十二石乃以黄米值豆一石與
京米值豆九石相減餘八石為一率一
石為二率少七十二石為三率得四率
九石即黄米數於共米十九石内減之
餘十石即京米數如以多八十石為三
[012-35b]
率得四率十石亦即京米數也此法用
[012-36a]
互乗得黄米三石值豆一石京米三石
值豆九石今以米三石當一石則為黄
米一石值豆一石京米一石值豆九石
是豆為加三倍故将共豆亦加三倍即
為共米一十九石共豆九十九石而黄
米一石比京米一石所值豆差八石是
知豆少八石而黄米為一石今少七十
二石則黄米必為九石也又豆多八石
[012-36b]
而京米為一石今多八十石則京米必
為十石也
又法以黄米三石京米一石共米一十
九石列於上黄米值豆一石京米值豆
三石共豆三十三石列於下乃以下黄
米值豆一石遍乗上黄米三石京米一
石共米一十九石仍得原數又以上黄
米三石遍乘下黄米值豆一石京米值
豆三石共豆三十三石得黄米值豆三
[012-36b]
石京米值豆九石共豆九十九石兩下
[012-37a]
相較則黄米與所值豆同為三石彼此
減盡京米所值豆比京米多八石共豆
比共米多八十石爰以多八石為一率
京米一石為二率多八十石為三率得
四率十石即京米數於共米一十九石
内減之餘九石即黄米數也如先求黄
米數則以京米一石值豆三石移於前
黄米三石值豆一石移於後乃以京米
[012-37b]
值豆三石遍乗上京米一石黄米三石
共米一十九石得京米三石黄米九石
共米五十七石又以上京米一石遍乗
下京米值豆三石黄米值豆一石共豆
三十三石仍得原數兩下相較則京米
與所值豆俱為三石彼此減盡黄米所
值豆比黄米少八石共豆比共米少二
十四石爰以少八石為一率黄米三石
為二率少二十四石為三率得四率九
[012-37b]
石即黄米數也此法先求京米數而以
[012-38a]
黄米列於前者盖将京米所值豆數黄
米所值豆數共米所值豆數皆加三倍
則黄米數與所值豆數相同是為每黄
米一石值豆一石夫黄米數與所值豆
數既相同而減盡無餘則共米數内之
共黄米數與共豆數内之共黄米所值
豆數亦必相同而減盡無餘所餘者即
為共京米所值豆數多於共京米之較
[012-38b]
是比每京米一石值豆一石所多之數
是知豆比米多八石而京米為一石今
豆比米多八十石則京米必為十石也
其先求黄米數而以京米列於前者盖
将京米黄米共米皆加三倍則京米數
與所值豆數相同是為每京米一石值
豆一石夫京米數與所值豆數既相同
而減盡無餘則共米數内之共京米數
與共豆數内之共京米所值豆數亦必
[012-38b]
相同而減盡無餘所餘者即為黄米所
[012-39a]
值豆數比黄米所少之較是比每黄米
一石值豆一石所少之數是知豆比米
少八石而黄米為三石今豆比米少二
十四石則黄米必為九石也
設如有船桅共五十七槳共二百零四但知大船毎
隻三桅六槳小船每隻一桅八槳問大小船數各
若干
法先用互乗以齊其分以大船三桅與
[012-39b]
小船一桅相乗得三桅為乗出之共桅
數即以三桅乗共槳二百零四得六百
一十二為乗出之共槳數以小船一桅
乗大船六槳仍得六槳為乗出大船之
槳數以大船三桅乗小船八槳得二十
四槳為乗出小船之槳數然後以共桅
五十七用大船六槳乗之得三百四十
二與乗出之共槳六百一十二相較則
共槳多二百七十又以共桅五十七用
[012-39b]
小船二十四槳乘之得一千三百六十
[012-40a]
八與乗出之共槳六百一十二相較則
共槳少七百五十六乃以大船六槳與
小船二十四槳相減餘十八槳為一率
一桅為二率少七百五十六槳為三率
得四率四十二即大船桅數三歸之得
十四即大船數也於共桅五十七内減
大船桅數餘十五即小船桅數亦即小
船數如以得二百七十槳為三率得四
[012-40b]
率十五亦即小船桅數也此法用互乗
得大船三桅六槳小船三桅二十四槳
今以三桅當一桅則為大船一桅六槳
小船一桅二十四槳是槳為加三倍故
将共槳亦加三倍即為共五十七桅共
六百一十二槳而大船一桅比小船一
桅差十八槳是知少十八槳而大船為
一桅今少七百五十六槳則大船必為
四十二桅也多十八槳而小船為一桅
[012-40b]
今多二百七十槳則小船必為十五桅
[012-41a]
也
又法以小船一桅大船三桅共五十七
桅列於上小船八槳大船六槳共二百
零四槳列於下乃以下小船八槳遍乗
上小船一桅大船三桅共五十七桅得
小船八桅大船二十四桅共四百五十
六桅又以上小船一桅遍乗下小船八
槳大船六槳共二百零四槳仍得原數
[012-41b]
两下相較則小船桅與槳同為八彼此
減盡大船桅比槳多十八共桅比共槳
多二百五十二爰以多十八為一率大
船三桅為二率多二百五十二為三率
得四率四十二桅即大船桅數三歸之
得十四即大船數於五十七桅内減去
大船四十二桅餘十五桅即小船桅數
亦即小船數也如欲先得小船數則以
大船三桅六槳移於前小船一桅八槳
[012-41b]
移於後乃以下大船六槳遍乗上大船
[012-42a]
三桅小船一桅共五十七桅得大船十
八桅小船六桅共三百四十二桅又以
上大船三桅遍乗下大船六槳小船八
槳共二百零四槳得大船十八槳小船
二十四槳共六百一十二槳兩下相較
則大船桅與槳同為十八彼此減盡小
船桅比槳少十八共桅比共槳少二百
七十爰以少十八為一率小船一桅為
[012-42b]
二率少二百七十為三率得四率十五
桅即小船桅數亦即小船數也此法先
求大船桅數而以小船列於前者盖将
小船桅數大船桅數共船桅數皆加八
倍則小船桅數與槳數相同是為毎小
船一桅一槳夫小船桅數與槳數既相
同而減盡無餘則共桅數内之小船共
桅數與共槳數内之小船共槳數亦必
相同而減盡無餘所餘者即為大船共
[012-42b]
桅數多於大船共槳數之較是比每大
[012-43a]
船一桅一槳所多之數是知多十八桅
而大船為三桅今多二百五十二桅則
大船必為四十二桅也其先求小船桅
數而以大船桅數列於前者盖将大船
桅數小船桅數共船桅數皆加六倍槳
數皆加三倍則大船桅數與槳數相同
是為大船一桅一槳夫大船桅數與槳
數既相同而減盡無餘則共桅數内之
[012-43b]
大船共桅數與共槳數内之大船共槳
數亦必相同而減盡無餘所餘者即為
小船共桅數少於小船共槳數之較是
比每小船一桅一槳所少之數是知少
十八桅而小船為一桅今少二百七十
桅則小船必為十五桅也
設如有銀八十七兩按飯銀馬銀二項分給衆人但
知三人共給二兩飯銀七人共給五兩馬銀問人
數及二項銀數各若干
[012-43b]
法以三人與七人相乗得二十一人又
[012-44a]
以三人乗馬銀五兩得一十五兩七人
乗飯銀二兩得一十四兩爰以十四兩
與十五兩相併得二十九兩為一率二
十一人為二率共銀八十七兩為三率
得四率六十三人即共人數也既得其
人數則以三人為一率飯銀二兩為二
率共六十三人為三率得四率四十二
兩為飯銀數於共銀八十七兩内減之
[012-44b]
餘四十五兩即馬銀數如以七人為一
率馬銀五兩為二率共六十三人為三
率得四率四十五兩亦即馬銀數也盖
三人給飯銀二兩則二十一人必給飯
銀十四兩七人給馬銀五兩則二十一
人必給馬銀十五兩夫二十一人既給
飯銀十四兩馬銀十五兩是二十一人
共給銀二十九兩矣是知有二十九兩
為二十一人今有八十七兩則必為六
[012-44b]
十三人也又三人共給飯銀二兩則六
[012-45a]
十三人必共給飯銀四十二兩七人共
給馬銀五兩則六十三人必共給馬銀
四十五兩也
設如賞人飯肉共用碗一百但知二人共飯一碗三
人共肉一碗問共人數及二項各用碗若干
法以二人與三人相乗得六人又以二
人乗肉一碗得二碗三人乗飯一碗得
三碗爰以三碗二碗相併得五碗為一
[012-45b]
率六人為二率共碗一百為三率得四
率一百二十人即共人數也既得共人
數則以二人為一率飯碗一為二率共
一百二十人為三率得四率六十為飯
碗數於共碗一百内減之餘四十即肉
碗數如以三人為一率得四率四十亦
即肉碗數也此法因二人共飯三人共
肉其數不同故用互乗以齊其分盖二
人共飯一碗則六人必共飯三碗三人
[012-45b]
共肉一碗則六人必共肉二碗夫六人
[012-46a]
既共飯三碗共肉二碗是六人共用五
碗矣是知有五碗為六人今有一百碗
則必為一百二十人也又二人共飯一
碗則一百二十人必共飯六十碗三人
共肉一碗則一百二十人必共肉四十
碗也
設如有兵三千四百七十四名每三人給衫絹七十
尺每四人給褲絹五十尺問縂絹若干
[012-46b]
法以三人與四人相乗得十二人又以
三人乗褲絹五十尺得一百五十尺四
人乗衫絹七十尺得二百八十尺爰以
十二人為一率二百八十尺與一百五
十尺相併得四百三十尺為二率兵三
千四百七十四名為三率得四率一十
二萬四千四百八十五尺為共絹數也
此法與前同但前法以共銀數求共人
數故以銀數為一率人數為二率此法
[012-46b]
以共人數求共絹數故以人數為一率
[012-47a]
絹數為二率其比例之理一也
設如賞人茶飯酒共用碗一千三百三十八但知三
人共茶二碗五人共酒三碗七人共飯六碗問共
人數及三項各用碗若干
法先以三人茶二碗五人酒三碗互乗
以三人與五人相乗得一十五人又以
三人乗酒三碗得九碗五人乗茶二碗
得十碗是為十五人共用茶酒十九碗
[012-47b]
復與七人飯六碗互乗以十五人與七
人相乗得一百零五人又以十五人乗
飯六碗得九十碗七人乗茶酒共十九
碗得一百三十三碗爰以一百三十三
碗與九十碗相併得二百二十三碗為
一率一百零五人為二率共碗一千三
百三十八為三率得四率六百三十人
即共人數也既得共人數乃以三人為
一率茶碗二為二率共六百三十人為
[012-47b]
三率得四率四百二十為茶碗數又以
[012-48a]
五人為一率酒碗三為二率共六百三
十人為三率得四率三百七十八為酒
碗數又以七人為一率飯碗六為二率
共六百三十人為三率得四率五百四
十為飯碗數也此法因用碗三項故用
兩次互乗以齊其分得一百零五人應
用三項碗共二百二十三是知有二百
二十三碗為一百零五人今有一千三
[012-48b]
百三十八碗則必為六百三十人也既
得共人數則以各項分數比例求之即
得各項碗之共數矣
設如有燈大小二䓁大燈居小燈三分之二但知大
燈三盞用油四兩小燈四盞用油三兩共用油十
八斤零七兩問大小燈數各若干
法以大燈三盞與小燈四盞相乗得十
二盞又以小燈四盞乗大燈用油四兩
得大燈用油十六兩以大燈三盞乗小
[012-48b]
燈用油三兩得小燈用油九兩又将大
[012-49a]
燈用油十六兩二因之大燈二分/故用二因得三
十二兩将小燈用油九兩三因之小燈/三分
故用/三因得二十七兩二數相併得五十九
兩為一率十二盞為二率共油十八斤
七兩通為二百九十五兩為三率得四
率六十盞為燈一分之數二因之得一
百二十盞即大燈數三因之得一百八
十盞即小燈數也此法因有𢃄分而互
[012-49b]
乗所得之十二盞為一分之衰數又因
共油數為大燈二分小燈三分之共數
故亦二因十六兩三因九兩併之為五
分之衰數是知油五分之衰數五十九
兩與燈一分之衰數十二盞之比即同
於五分共油二百九十五兩與一分燈
數六十盞之比也既得一分為六十盞
故二因之得大燈數三因之得小燈數
也
[012-49b]
設如有銀二十五兩三錢買銅鐡二色其重相䓁鐡
[012-50a]
三斤價四錢銅二斤價五錢問斤數及各價㡬何
法以鐡三斤與銅二斤相乗得六斤又
以銅二斤乗鐡價四錢得八錢以鐡三
斤乗銅價五錢得一兩五錢乃以八錢
與一兩五錢相併得二兩三錢為一率
六斤為二率縂銀二十五兩三錢為三
率得四率六十六斤為銅鐡相䓁之斤
數又以鐡三斤為一率價四錢為二率
[012-50b]
今鐡六十六斤為三率得四率八兩八
錢即鐡價於共銀二十五兩三錢内減
之餘十六兩五錢即銅價如以銅二斤
為一率價五錢為二率今銅六十六斤
為三率得四率十六兩五錢亦即銅價
也盖鐡三斤價四錢則六斤價八錢銅
二斤價五錢則六斤價一兩五錢是銅
鐡各六斤而共價為二兩三錢故以二
兩三錢與各六斤之比即同於共價二
[012-50b]
十五兩三錢與各六十六斤之比也既
[012-51a]
得各斤數則以各價比例求之即得各
價數矣
設如有米九百石令甲乙二處各因米價貴賤納之
其所納之銀適相等甲處米價每石五錢乙處米
價每石七錢問各米數及共價數㡬何
法以乙七錢乗甲一石得七石以甲五
錢乗乙一石得五石乃以七石與五石
相併得十二石為一率以甲七石為二
[012-51b]
率縂米九百石為三率得四率五百二
十五石即甲處納米之數於九百石内
減之餘三百七十五石即乙處納米之
數如以乙五石為二率得四率三百七
十五石亦即乙處納米之數以甲五百
二十五石與每石價五錢相乗得二百
六十二兩五錢以乙三百七十五石與
每石價七錢相乗亦得二百六十二兩
五錢是其所納之銀數適相䓁也盖甲
[012-51b]
處每石價五錢則七石之價為三兩五
[012-52a]
錢乙處每石價七錢則五石之價亦為
三兩五錢其價相䓁是十二石之中甲
應七石乙應五石故以十二石與甲七
石之比即同於縂米九百石與甲五百
二十五石之比又十二石與乙五石之
比即同於縂米九百石與乙三百七十
五石之比也
設如空車一日行三十里重車一日行二十里今載
[012-52b]
米至倉徃返足一日問距倉路逺㡬何
法以空車行三十里與重車行二十里
相乗得六百里又以重車行二十里乗
空車一日得二十日以空車行三十里
乗重車一日得三十日乃以二十日與
三十日相併得五十日為一率六百里
為二率一日為三率得四率一十二里
即距倉之里數也盖空車一日行三十
里則二十日行六百里重車一日行二
[012-52b]
十里則三十日亦行六百里一徃一返
[012-53a]
共五十日是知五十日徃返六百里則
今一日必徃返十二里也
設如重車一日行五十里輕車一日行七十五里今
載米至倉五日徃返三次問距倉里數㡬何
法以重車行五十里與輕車行七十五
里相乗得三千七百五十里又以輕車
行七十五里乗重車一日得七十五日
以重車行五十里乗輕車一日得五十
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日乃以七十五日與五十日相併得一
百二十五日為一率三千七百五十里
為二率五日為三率得四率一百五十
里即五日徃返之里數以三次除之得
五十里即距倉之里數也此法與前法
同前法一日徃返一次故所得即距倉
之里數此法五日徃返三次故所得為
徃返三次之里數是以用三次除之而
得距倉之里數也
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御製數理精藴下編卷七
