[043-1a] 
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷三十八
末部八
對數比例
[043-2a]
對數比例
對數比例乃西士若往訥白爾所作以借數與眞數
對列成表故名對數表又有恩利格巴理知斯者復
加增修行之數十年始至中國其法以加代乘以減
代除以加倍代自乘故折半即開平方以三因代再
乘故三歸即開立方推之至於諸乘方莫不皆以假
數相求而得眞數葢為乘除之數甚繁而以假數代
之甚易也其立數之原起於連比例葢比例四率二
[043-2b]
率與三率相乘一率除之得四率而遞加遞減之四
數第二數第三數相加減第一數則得第四數作者
有見於此故設假數以加減代乘除之用此表之所
以立也然連比例之大者莫如十百千萬葢一與十
十與百百與千千與萬萬與十萬其數皆為一而遞
進一位取其整齊而無竒零也一為數之始以之乘
除數皆不變故一之假數定為○而十之假數定為
一百之假數定為二千之假數定為三萬之假數定
為四十萬之假數定為五推之百千萬億皆遞加一
[043-2b]
數此對數之大綱也其間之零數則用中比例累求
[043-3a]
而得以首率末率兩眞數相乘開方即得中率之眞
數以首率末率兩假數相加折半即得中率之假數
又法用遞乘而得以眞數遞次相乘其乘得之位數
即所得之假數此二法者理雖易明而數則甚繁也
又有遞次開方一法以眞數遞次開方假數遞次折
半至於數十次使彼此皆可為比例而假數由之而
生又有相較之一法省開方之多次尤為甚㨗至於
他數之可以乘除得者如二與三相乘而得六則以
[043-3b]
二之假數與三之假數相加即為六之假數又以二
除十而得五則以二之假數與十之假數相減即為
五之假數之類其不由乘除而得者則又以累乘累
除之法求之此對數之細目也今為推其理考其數
先詳作表之原次明用表之法使學者知作者之難
而用之甚易甚勿以易而忘其難也
[043-4a]
明對數之原之一
凡眞數連比例四率任對設遞加遞減之較相等之
四假數其第二率相對之假數與第三率相對之
假數相加内減第一率相對之假數即得第四率
相對之假數若減第四率相對之假數即得第一
率相對之假數
如二四八十六連比例四率任對設二
之假數為一四之假數為二八之假數
[043-4b]
為三十六之假數為四其遞加遞減之
數皆為一以二率四相對之假數二與
三率八相對之假數三相加得五内減
一率二相對之假數一即得四率十六
相對之假數四若減四率十六相對之
假數四即得一率二相對之假數一或
以二之假數為三四之假數為五八之
假數為七十六之假數為九其遞加遞
減之數皆為二以二率四相對之假數
[043-4b]
五與三率八相對之假數七相加内減
[043-5a]
一率二相對之假數三即得四率十六
相對之假數九若減四率十六相對之
假數九即得一率二相對之假數三
明對數之原之二
凡眞數連比例三率任對設遞加遞減之較相等之
三假數其中率相對之假數倍之内減首率相對
之假數即得末率相對之假數若減末率相對之
假數即得首率相對之假數
[043-5b]
如一三九連比例三率任對設一之假
數為四三之假數為五九之假數為六
其遞加遞減之數皆為一以中率三相
對之假數五倍之得十内減首率一相
對之假數四即得末率九相對之假數
六若減末率九相對之假數六即得首
率一相對之假數四或以一之假數為
八三之假數為五九之假數為二其遞
加遞減之數皆為三以中率三相對之
[043-5b]
假數五倍之内減首率一相對之假數
[043-6a]
八即得末率九相對之假數二若減末
率九相對之假數二即得首率一相對
之假數八
明對數之原之三
凡眞數連比例幾率任對設遞加遞減之較相等之
假數其中隔位取比例四率其第二率相對之假
數與第三率相對之假數相加内減第一率相對
之假數亦得第四率相對之假數若減第四率相
[043-6b]
對之假數亦得第一率相對之假數
如二四八十六三十二六十四一百二
十八二百五十六連比例幾率任對設
二之假數為一四之假數為二八之假
數為三十六之假數為四三十二之假
數為五六十四之假數為六一百二十
八之假數為七二百五十六之假數為
八其遞加遞減之數皆為一任取四八
六十四一百二十八之四率以二率八
[043-6b]
相對之假數三與三率六十四相對之
[043-7a]
假數六相加得九内減一率四相對之
假數二即得四率一百二十八相對之
假數七若減四率一百二十八相對之
假數七即得一率四相對之假數二
[043-8a]
明對數之綱之一
凡假數皆可隨意而定然一之假數必定為○方與
眞數相應而眞數連比例率十百千萬皆為一但
遞進一位則其假數亦皆遞加一數
葢乘除之數始於一故一不用乘亦不
用除而加減之數始於○故○無可加
亦無可減也假數旣以加減代乘除故
一之假數必定為○而一與十十與百
[043-8b]
百與千千與萬萬與十萬皆為加十倍
之相連比例率然其數皆為一但遞進
一位故一之假數定為○者十之假數
即定為一百之假數即定為二千之假
數即定為三萬之假數即定為四十萬
之假數即定為五百萬之假數即定為
六千萬之假數即定為七億之假數即
定為八亦皆遞加一數而假數即與位
數相同試以一百與一千相乘得十萬
[043-8b]
為進二位以一百相對之假數二與一
[043-9a]
千相對之假數三相加即得十萬相對
之假數五亦為加二數也以一十除一
千得一百為退一位以一十相對之假
數一與一千相對之假數三相減即得
一百相對之假數二亦為減一數也如
或以十之假數定為二百之假數定為
四千之假數定為六是為遞加二數未
甞不可然眞數進一位者假數則加二
[043-9b]
數即不得與位數相同矣
明對數之綱之二
凡眞數不同而位數同者其假數雖不同而首位必
同眞數相同而遞進幾位者其假數首位必遞加
幾數而次位以後却相同
如自一至九眞數皆為單位則假數首
位皆為○故二之假數為○三○一○
二九九九五七三之假數為○四七七
一二一二五四七四之假數為○六○
[043-9b]
二○五九九九一三五之假數為○六
[043-10a]
九八九七○○○四三六之假數為○
七七八一五一二五○四首位以後零
數遞增至十則首位皆為一至百則首
位皆為二至千則首位皆為三至萬則
首位皆為四至十萬則首位皆為五如
一十一一百一十一千一百一萬一千
一十一萬雖遞進一位而其數皆為一
一故其假數首位雖遞加一數而次位
[043-10b]
以後皆同為○四一三九二六八五二
[043-11a]
明對數之目用中比例求假數法之一
凡連比例率以首率末率兩眞數相乘開方即得中
率之眞數以首率末率兩假數相加折半即得中
率之假數
如一十為首率一百為中率一千為末
率以首率一十與末率一千相乘開平
方得一百為中率以首率一十之假數
一○○○○○○○○○○與末率一
[043-11b]
千之假數三○○○○○○○○○○
相加折半得二○○○○○○○○○
○即中率一百之假數葢首率末率相
乘與中率自乘之數等以首率末率兩
假數相加即與中率之假數加倍之數
等故折半為中率之假數也
明對數之目用中比例求假數法之二
凡十百千萬之假數既定而欲求其間零數之假數
則以前後相近之兩數一為首率一為末率求得
[043-11b]
中率之眞數並求得中率之假數累次比例使中
[043-12a]
率恰得所求之眞數其假數即為所求之假數
如求九之假數因九在一與十之間則
以一為首率十為末率相乘開方得三
一六二二七七七為第一次之中率即
以首率一之假數○○○○○○○○
○○○與末率十之假數一○○○○
○○○○○○相加折半得○五○○
○○○○○○○為第一次中率之假
[043-12b]
數此所得之中率較之首率去九為近
故以所得之中率復為首率十為末率
相乘開方得五六二三四一三二為第
二次之中率即以第二次之首率末率
兩假數相加折半得○七五○○○○
○○○○為第二次中率之假數又以
第二次所得之中率復為首率十為末
率相乘開方得七四九八九四二一為
第三次之中率即以第三次之首率末
[043-12b]
率兩假數相加折半得○八七五○○
[043-13a]
○○○○○為第三次中率之假數又
以第三次所得之中率復為首率十為
末率相乘開方得八六五九六四三二
為第四次之中率即以第四次之首率
末率兩假數相加折半得○九三七五
○○○○○○為第四次中率之假數
又以第四次所得之中率復為首率十
為末率相乘開方得九三○五七二○
[043-13b]
四為第五次之中率即以第五次之首
率末率兩假數相加折半得○九六八
七五○○○○○為第五次中率之假
數此所得之中率較之末率去九為近
故以第五次所得之中率復為末率仍
以第五次之首率為首率相乘開方得
八九七六八七一三為第六次之中率
即以第六次首率末率兩假數相加折
半得○九五三一二五○○○○為第
[043-13b]
六次中率之假數由此遞推去九漸近
[043-14a]
而即以相近之兩率比例相求得第七
次之中率為九一三九八一七○其假
數為○九六○九三七五○○○第八
次之中率為九○一七九七七七其假
數為○九五七○三一二五○○第九
次之中率為九○一七三三三三其假
數為○九五五○七八一二五○第十
次之中率為八九九七○七九六其假
[043-14b]
數為○九五四一○一五六二五第十
一次之中率為九○○七二○○八其
假數為○九五四五八九八四三七第
十二次之中率為九○○二一三八八
其假數為○九五四三四五七○三一
第十三次之中率為八九九九六○八
八其假數為○九五四二二三六三二
八第十四次之中率為九○○○八七
三七其假數為○九五四二八四六六
[043-14b]
七九第十五次之中率為九○○○二
[043-15a]
四一二其假數為○九五四二五四一
五○三第十六次之中率為八九九九
九二五○其假數為○九五四二三八
八九一五第十六次之中率為九○○
○○八二一其假數為○九五四二四
六五二○九第十八次之中率為九○
○○○○四一其假數為○九五四二
四二七○六二第十九次之中率為八
[043-15b]
九九九九六五○其假數為○九五四
二四○七九八九第二十次之中率為
八九九九九八四五其假數為○九五
四二四一七五二六第二十一次之中
率為八九九九九九四三其假數為○
九五四二四二二二九四第二十二次
之中率為八九九九九九九二其假數
為○九五四二四二四六七八第二十
三次之中率為九○○○○○一六其
[043-15b]
假數為○九五四二四二五八七○第
[043-16a]
二十四次之中率為九○○○○○○
四其假數為○九五四二四二五二七
四第二十五次之中率為八九九九九
九九八其假數為○九五四二四二四
九七六至第二十六次之中率則恰得
九○○○○○○○其假數為○九五
四二四二五一二五即所求之假數也
然所得中率雖爲九而七空位之後尚
[043-16b]
有竒零故所得之假數猶為稍大故開
方之位數愈多則所得之假數愈密也
[043-17a]
明對數之目用遞次自乘求假數法之一
凡連比例率之自小而大者以第一率之眞數遞次
自乘即得加倍各率之眞數以第一率之假數遞
次加倍即得加倍各率之假數而以各率之假數
按率除之即得第一率之假數
如以二為連比例第一率其假數為○
三○一○二九九九五七以第一率之
眞數二自乘得四為第二率之眞數以
[043-17b]
第一率之假數○三○一○二九九九
五七加倍得○六○二○五九九九一
三為第二率之假數而以第二率之假
數用二除之即得第一率之假數又以
第二率之眞數四自乘得十六為第四
率之眞數以第二率之假數○六○二
○五九九九一三加倍得一二○四一
一九九八二六為第四率之假數而以
第四率之假數用四除之即得第一率
[043-17b]
之假數也
[043-18a]
明對數之目用遞次自乘求假數法之二
凡連比例率自小而大者其假數之首位旣因眞數
之位數而遞加故求假數者以所求之眞數為連
比例第一率遞次自乘即得加倍各率之眞數以
第一率假數之首位遞次加倍即得加倍各率之
假數而眞數自乘又進一位者則假數加倍後又
加一數而以各率之假數按次除之即得所求第
一率之假數
[043-18b]
如求二之假數則以二為連比例第一
率是為單位故傍紀○即第二率之假
數首位為○也又以第一率之眞數二
自乘得四為第二率之眞數仍為單位
故傍亦紀○卽第二率之假數首位亦
為○也又以第二率之眞數四自乘得
十六為第四率之眞數是為進前一位
故傍紀一即第四率之假數首位為一
也又以第四率之眞數十六自乘得二
[043-18b]
百五十六為第八率之眞數以第四率
[043-19a]
之假數一倍之得二是為進前二位故
傍紀二即第八率之假數首位為二也
又以第八率之眞數二百五十六自乘
得六萬五千五百三十六為第十六率
之眞數以第八率之假數二倍之得四
是為進前四位故傍紀四即第十六率
之假數首位為四也又以第十六率之
眞數六萬五千五百三十六自乘得四
[043-19b]
十二億九千四百九十六萬七千二百
九十六為第三十二率之眞數以第十
六率之假數四倍之得八又因第十六
率眞數自乘所得首位乃逢十又進一
位之數故將假數加倍所得之八又加
一得九是為進前九位故傍紀九即第
三十二率之假數首位為九也由此遞
乘至第一萬六千三百八十四率之眞
數則自單位以前共得四千九百三十
[043-19b]
二位故傍紀四九三二為第一萬六千
[043-20a]
三百八十四率之假數以一萬六千三
百八十四除之得○三○一○即為第
一率二之假數葢以一萬除四千為實
不足法一倍則其首位必為○也然其
位數尚少故僅得五位若再遞乘至第
一千三百七十四億四千六百九十五
萬三千四百七十二率之眞數則自單
位以前共得四百一十三億七千五百
[043-20b]
六十五萬五千三百零七位即其假數
為四一三七五六五五三○七以率數
除之得○三○一○二九九九五六六
即為第一率二之假數也此法葢因眞
數進一位則假數首位加一數今遞乘
所得之眞數既得若干位則其假數首
位必加若干數乃以首位為單位遞進
向前者也而連比例各率之假數以率
數除之即得第一率之假數故以率數
[043-20b]
除之所得第一率之假數為首位以後
[043-21a]
之零數也
[043-22a]
明對數之目用遞次開方求假數法之一
凡連比例率之自大而小者以第一率之眞數遞次
開方即得加倍各率之眞數以第一率之假數遞
次折半即得加倍各率之假數而以各率之假數
按率乘之即得第一率之假數
如以二百五十六為連比例第一率其
假數為二四○八二三九九六五三以
第一率之眞數二百五十六開方得十
[043-22b]
六為第二率之眞數以第一率之假數
二四○八二三九九六五三折半得一
二○四一一九九八二六為第二率之
假數而以第二率之假數用二乘之即
得第一率之假數又以第二率之眞數
十六開方得四為第四率之眞數以第
二率之假數一二○四一一九九八二
六折半得○六○二○五九九九一三
為第四率之假數而以第四率之假數
[043-22b]
用四乘之即得第一率之假數
[043-23a]
明對數之目用遞次開方求假數法之二
凡遞次開方率皆用二倍葢眞數開方假數折半而
折半即二歸故遞次折半之假數以遞次加倍之
率數乘之即得第一率之假數
如原數為第一率加倍得二為第一次
開方之率數葢折半即二歸以二歸者/復用二乘必仍得原數也
又加倍得四為第二次開方之率數葢/折
半二次即四歸以四歸者/復用四乘必亦得原數也遞次加倍則
[043-23b]
第三次之率為八第四次之率為十六
第五次之率為三十二第六次之率為
六十四第七次之率為一百二十八第
八次之率為二百五十六第九次之率
為五百一十二第十次之率為一千零
二十四第二十次之率為一百零四萬
八千五百七十六第三十次之率為十
億七千三百七十四萬一千八百二十
四第四十次之率為一兆零九百九十
[043-23b]
五億一千一百六十二萬七千七百七
[043-24a]
十六第五十次之率為一千一百二十
五兆八千九百九十九億零六百八十
四萬二千六百二十四凡有眞數求假
數皆以所求之數為第一率眞數開方
幾次則假數必折半幾次今雖無第一
率之假數而苟得其折半第幾次之假
數則加倍幾次必得第一率之假數故
以加倍第幾次之率數與折半第幾次
[043-24b]
之假數相乘即得第一率之假數也
明對數之目用遞次開方求假數法之三
凡眞數不可與假數為比例者因眞數開方假數折
半其相比之分數不同若開方至於數十次則開
方之數即與折半之數相同故假數即可用眞數
比例而得是以凡求假數者皆以其眞數開方至
幾十次與此所得之假數相比即得其開方第幾
十次之假數按前率數乘之即得所求之假數
如眞數為一十假數為一○以眞數一
[043-24b]
十開方得三一六二二七七六六○一
[043-25a]
六八三七九三三一九九八八九三五
四第二次開方得一七七八二七九四
一○○三八九二二八○一一九七三
○四一三第三次開方得一三三三五
二一四三二一六三三二四○二五六
六五三八九三○八第四次開方得一
一五四七八一九八四六八九四五八
一七九六六一九一八二一三第五次
[043-25b]
開方得一○七四六○七八二八三二
一三一七四九七二一三八一七六五
三八第六次開方得一○三六六三二
九二八四三七六九七九九七二九○
六二七三一三一第七次開方得一○
一八一五一七二一七一八一八一八
四一四七三七二三八一四四如此遞
次開方至第五十四次則得一○○○
○○○○○○○○○○○○一二七
[043-25b]
八一九一四九三二○○三二三五而
[043-26a]
與第五十三次開方所得折半之數同
是故眞數即可與假數為比例矣乃以
一十之假數一○折半得○五第二次
折半得○二五第三次折半得○一二
五第四次折半得○○六二五第五次
折半得○○三一二五第六次折半得
○○一五六二五第七次折半得○○
○七八一二五如此遞次折半亦至第
[043-26b]
五十四次則得十七空位五五五一一
一五一二三一二五七八二七○即為
第五十四次開方之假數於是以眞數
之零數一二七八一九一四九三二○
○三二三五為一率假數之零數五五
五一一一五一二三一二五七八二七
○為二率眞數之零數一為三率一率/為十
七位則三率亦加十/六空位以足其分得四率四三四二
九四四八一九○三二五一八○四即
[043-26b]
為一○○○○○○○○○○○○○
[043-27a]
○○一之假數前亦仍得十七空位蓋
真數為一則假數為○今真數之零數
即比一多之較假數之零數即比○多
之較故以真數之較與假數之較為比
例也凡求假數者皆以真數開方至幾
十次首位得一又得十五空位則以其後
之零數與此所得之假數為比例即得
其開方第幾十次之假數按前率數乘
[043-27b]
之即得第一率之假數也
[043-28a]
[043-28b]
明對數之目用遞次開方求假數法之四
凡真數首位為一者則開方首位必得一若首位非一
者則以真數遞乘幾次使首位得一即以遞乘所得
之真數遞次開方至得十五空位乃以其後之零數
與前法所得一○○○○○○○○○○○○○○
○一之假數相比例即得開方第幾次之假數按
前率數乘之即得遞乘所得真數之假數再看遞
乘所得真數為連比例第幾率則以第幾率之數
除之即得所求之假數
[043-29a]
如求二之假數則以二為連比例第一
率遞次乘之第二率得四第三率得八
第四率得十六第五率得三十二第六
率得六十四第七率得一百二十八第
八率得二百五十六第九率得五百一
十二第十率得一千零二十四是首位
既得一又得一空位乃以此數命為第
一率其首位之一千命為單位開方得
[043-29b]
一○一一九二八八五一二五三八八
一三八六二三九七第二次開方得一
○○五九四六七四三七四六三四八
三二六六五四二四第三次開方得一
○○二九六八九六四四九八○七八
七三七三六二六八第四次開方得一
○○一四八三三八二○三七九○四
一八○三○一八三八第五次開方得
一○○○七四一四一六一六九九八
[043-29b]
三五三三六二四九○六第六次開方
[043-30a]
得一○○○三七○六三六三九八二
一○○一四○七一七六一五第七次
開方得一○○○一八五三○二五三
○五九一○八五三○五八二七七如
此遞次開方至第十七次則得一○○
○○○○一八○九四二七五四八四
四五三四三六三九五○一五四四第
二十七次則得一○○○○○○○○
[043-30b]
○一七六七○一八九三○五七○一
四一九四八二六二第三十七次則得
一○○○○○○○○○○○○一七
二五六○四四二四二三二五九四三
四七七第四十七次則得一○○○○
○○○○○○○○○○○一六八五
一六○五七○五三九四九七七是已
得十五空位矣乃以前法所得眞數之
零數一為一率三率有十七位則一率/亦加十六空位以足其
[043-30b]
分/其假數十七空位後之零數四三四
[043-31a]
二九四四八一九○三二五一八○四
為二率今所得眞數之零數一六八五
一六○五七○五三九四九七七為三
率得四率七三一八五五九三六九○
六二三九二六八即為開方第四十七
次之假數前亦仍為十七空位以加倍
四十七次之率數一四○七三七四八
八三五五三二八乘之得○○一○二
[043-31b]
九九九五六六三九八一一九五二六
五即為第一率一○二四之假數葢開/方第
四十七次之假數為十八位前十七空/位共三十五位今相乘得三十三位故
前止有二空位亦共三十/五位也此截用二十一位然一○二四
首位之一開方雖命為單位而其實則
為千位千之假數首位應為三故首位
加三得三○一○二九九九五六六三
九八一一九五二六五是為一千零二
十四之假數又因一千零二十四為二
[043-31b]
之連比例第十率故以十歸之得○三
[043-32a]
○一○二九九九五六六三九八一一
九五二六五即為所求之連比例第一
率二之假數也
明對數之目用遞次開方求假數法之五
凡求假數眞數開方之次數愈多則所得之假數愈
密然用假數不過至十二位觀前遞次開方表内
至九空位以後其開方之數與折半之數已同七
位其零數所差甚微故眞數開方至二十七次即
[043-32b]
可以立率
如求二之假數按前法遞次乘之至第
十率得一○二四開方至二十七次得
一○○○○○○○○○一七六七○
一八九三○五七○一四一九四八二
六二是已得九空位矣於是察前眞數
一○遞次開方表内第三十四次數得
一○○○○○○○○○一三四○二
八○九二三二六三八三九九二七七
[043-32b]
七亦為九空位即以其眞數之零數一
[043-33a]
三四○二八○九二三二六三八三九
九二七七七為一率其假數十一空位
後之零數五八二○七六六○九一三
四六七四○七二二六五六二五為二
率眞數之零數一為三率一率為二十/一位則三率
亦加二十空/位以足其分得四率四三四二九四四
八一八七四一四七九九七二○六九
五五即為一○○○○○○○○○一
[043-33b]
之假數前亦仍為十一空位乃即用此
數為比例以眞數之零數一為一率三/率
為二十二位則一率亦加/二十一空位以足其分其假數十一
空位後之零數四三四二九四四八一
八七四一四七九九七二○六九五五
為二率今以一○二四開方二十七次
所得之零數一七六七○一八九三○
五七○一四一九四八二六二為三率
得四率七六七四○六五七○九一三
[043-33b]
七七○八九○七○一四三九即為一
[043-34a]
○二四開方第二十七次之假數前亦
仍為十一空位以加倍二十七次之率
數一三四二一七七二八乘之得○○
一○二九九九五六六四○○即為第
一率一○二四之假數與前法所得之
數同前法得三九八収之亦為四○○/以後竒零㣲有不合止截用十二
位/再按前法首位加三而以率數十歸
之即得○三○一○二九九九五六六
[043-34b]
四○為二之假數也此法較之前法開
方省二十次而所得之數同故求假數
者用此法亦便也
明對數之目用遞次開方求假數法之六
凡開方之數與折半之數雖不同然而不同之較遞
次漸少故又有相較之法至開方第十次以後則
以較數相減即得開方之數
如求六之假數以六為連比例第一率
遞次乘之得連比例第九率為一千零
[043-34b]
七萬七千六百九十六乃以此數命為
[043-35a]
第一率其首位之一千萬命為單位開
方得一○○三八七七二八三三三六
九六二四五六六三八四六五五一第
二次開方得一○○一九三六七六六
一三六九四六六一六七五八七○二
二九第三次開方得一○○○九六七
九一四六三九○九九○一七二八八
九○七二○第四次開方得一○○○
[043-35b]
四八三八四○二六八八四六六二九
八五四九二五三五第五次開方得一
○○○二四一八九○八七八八二四
六八五六三八○八七二七與第四次
開方所得折半之數漸近乃以第四次
開方所得數折半首位之一不折半葢/首位之一諸次開方
皆同其數/不變也得二四一九二○一三四四
二三三一四九二七四六二六七與第
五次開方所得數相減餘二九二五五
[043-35b]
五九八六二九二八九三七五四○為
[043-36a]
第五次之較設使有第五次之較則將
第四次開方所得數折半内減第五次
之較即第五次開方所得數然第五次
之較乃與第五次開方數相減而得故
第五次猶必用開方也第六次開方得
一○○○一二○九三八一二六三九
七一三四五九四三九一九四又以第
五次開方所得數折半得一二○九四
[043-36b]
五四三九四一二三四二八一九○四
三六三與第六次開方所得數相減餘
七三一三○一五二○八二二四六五
一六九為第六次之第一較又將第五
次之較四歸之得七三一三八九九六
五七三二二三四三八五與第六次之
第一較相減餘八八四四四九○九七
六九二一五為第六次之第二較設使
有第二較則將第五次之較四歸之内
[043-36b]
減第六次之第二較即為第六次之第
[043-37a]
一較將第五次開方所得數折半内減
第六次之第一較即第六次開方所得
數然第二較乃與第一較相減而得而
第一較乃與第六次開方數相減而得
故第六次猶必用開方也第七次開方
得一○○○○六○四六七二三五○
五五三○九六八○一六○○五又以
第六次開方所得數折半得六○四六
[043-37b]
九○六三一九八五六七二九七一九
五九七與第七次開方所得數相減餘
一八二八一四三二五七六一七○三
五九二為第七次之第一較又將第六
次之第一較四歸之得一八二八二五
三八○二○五六一六二九二與第七
次之第一較相減餘一一○五四四四
三九一二七○○為第七次之第二較
又將第六次之第二較八歸之得一一
[043-37b]
○五五六一三七二一一五二與第七
[043-38a]
次之第二較相減餘一一六九八○八
四五二為第七次之第三較設使有第
三較則將第六次之第二較八歸之内
減第七次之第三較即為第七次之第
二較將第六次之第一較四歸之内減
第七次之第二較即為第七次之第一
較將第六次開方所得數折半内減第
七次之第一較即第七次開方所得數
[043-38b]
然第三較乃與第二較相減而得第二
較乃與第一較相減而得而第一較乃
與第七次開方數相減而得故第七次
猶必用開方也第八次開方得一○○
○○三○二三三一六○五○五六五
七七五九六四七九四又以第七次開
方所得數折半得三○二三三六一七
五二七六五四八四○○八○○二與
第八次開方所得數相減餘四五七○
[043-38b]
二一九九七○八○四三二○八為第
[043-39a]
八次之第一較又將第七次之第一較
四歸之得四五七○三五八一四四○
四二五八九八與第八次之第一較相
減餘一三八一七三二三八二六九○
為第八次之第二較又將第七次之第
二較八歸之得一三八一八○五四八
九○八七與第八次之第二較相減餘
七三一○六三九七為第八次之第三
[043-39b]
較又將第七次之第三較十六歸之得
七三一一三○二八與第八次之第三
較相減餘六六三一為第八次之第四
較設使有第四較則將第七次之第三
較十六歸之内減第八次之第四較即
為第八次之第三較將第七次之第二
較八歸之内減第八次之第三較即為
第八次之第二較將第七次之第一較
四歸之内減第八次之第二較即為第
[043-39b]
八次之第一較將第七次之開方數折
[043-40a]
半内減第八次之第一較即第八次開
方數然第四較乃與第三較相減而得
第三較乃與第二較相減而得第二較
乃與第一較相減而得而第一較乃與
第八次開方數相減而得故第八次猶
必用開方也至第九次開方得一○○
○○一五一一六四六五九九九○五
六七二九五○四八八又以第八次開
[043-40b]
方數折半得一五一一六五八○二五
二八二八八七九八二三九七與第九
次開方數相減餘一一四二五三七七
二一五○三一九○九為第九次之第
一較又將第八次之第一較四歸之得
一一四二五五四九九二七○一○八
○二與第九次之第一較相減餘一七
二七一一九七八八九三為第九次之
第二較又將第八次之第二較八歸之
[043-40b]
得一七二七一六五四七八三六與第
[043-41a]
九次之第二較相減餘四五六八九四
三為第九次之第三較又將第八次之
第三較十六歸之得四五六九一五○
與第九次之第三較相減餘二○七為
第九次之第四較又將第八次之第四
較三十二除之亦得二○七與第九次
之第四較同故自第十次以後則不用
開方若間方止用二十二位則第八次/之第三較已同至第九次即不用
[043-41b]
開方亦不/用第四較即以第九次之第四較三十
二除之得六為第十次之第四較將第
九次之第三較十六除之得二八五五
五八内減第十次之第四較餘二八五
五五二即為第十次之第三較將第九
次之第二較八歸之得二一五八八九
九七三六一内減第十次之第三較餘
二一五八八七一一八○九即為第十
次之第二較將第九次之第一較四歸
[043-41b]
之得二八五六三四四三○三七五七
[043-42a]
九七七内減第十次之第二較餘二八
五六三二二七一五○四六一六八即
為第十次之第一較將第九次開方所
得數折半得七五五八二三二九九九
五二八三六四七五二四四内減第十
次之第一較又加首位之一得一○○
○○○七五五八二○四四三六三○
一二一四二九○七六即為第十次開
[043-42b]
方所得數也至第十一次則將第十次
之第四較三十二除之不足一倍故無
第四較而以第十次之第三較十六除
之得一七八四七即為第十一次之第
三較將第十次之第三較八歸之得二
六九八五八八九七六内減第十一次
之第三較餘二六九八五七一一二九
即為第十一次之第二較將第十次之
第一較四歸之得七一四○八○六七
[043-42b]
八七六一五四二内減第十一次之第
[043-43a]
二較餘七一四○七七九八○一九○
四一三即為第十一次之第一較將第
十次開方所得數折半得三七七九一
○二二一八一五○六○七一四五三
八内減第十一次之第一較又加首位
之一得一○○○○○三七九九○九
五○七七三七○八○五二四一二五
即為第十一次開方所得數也由此遞
[043-43b]
推至第二十三次開方數得一○○○
○○○○○○九二二六二八八九一
○四三○七六六七是已得九空位矣
乃以前法所得眞數之零數一為一率
三率截用十四位則一率/亦加十三空位以足其分其假數十一
空位後之零數四三四二九四四八一
八七四一四為二率截用十四位/以從簡易今開
方二十三次所得之零數九二二六二
八八九一○四三○七為三率得四率
[043-43b]
四○○六九二六三六一九七六五二
[043-44a]
即為開方第二十三次之假數前則為
十空位二率有十四位而其前為十一/空位今四率得十五位故前為
十空/位以加倍二十三次之率數八三八
八六○八乘之得○○○三三六一二
五三四五葢開方第二十三次之假數/為十五位并前十空位共二
十五位今相乘得二十二位故前止有/三空位亦共為二十五位也此截用十
二/位即為第一率一○○七七六九六之
假數然首位之一開方雖命為單位其
[043-44b]
實則為千萬千萬之假數首位應為七
故首位為七得七○○三三六一二五
三四五是為一千零七萬七千六百九
十六之假數又因其為連比例第九率
故用九歸之得○七七八一五一二五
○三八即為連比例第一率六之假數
也
明對數之目用遞次開方求假數法之七
凡求假數先求得一至九一一至一九一○一至一
[043-44b]
○九一○○一至一○○九以及三○位零一至
[043-45a]
九四空位零一至九五空位零一至九六空位零
一至九七空位零一至九八空位零一至九九空
位零一至九之九十九數而他數皆由此生然此
九十九數内有以兩數相乘除而得者則以兩假
數相加減即為所求眞數之假數至五空位以後
則又可以比例而得不必逐一而求也
如一至九之九數惟二三七之三數用
前遞次開方求假數法求之至於四則
[043-45b]
係二與二相乘所得之數故以二之假
數○三○一○二九九九五六六倍之
得○六○二○五九九九一三三即為
四之假數至於五係以二除十所得之
數故以二之假數與十之假數相減餘
○六九八九七○○○四三四即為五
之假數至於六係二與三相乘所得之
數故以二之假數與三之假數相加得
○七七八一五一二五○三八即為六
[043-45b]
之假數或先得六之假數内減二/之假數即得三之假數至於
[043-46a]
八係二與四相乘所得之數故以二之
假數與四之假數相加得○九○三○
八九九八六九九即為八之假數至於
九係三與三相乘所得之數故以三之
假數○四七七一二一二五四七二倍
之得○九五四二四二五○九四四即
為九之假數或先得九之假數折/半即得三十假數如一
一至一九之九數惟一一一三一七一
[043-46b]
九之四數用前遞次開方求假數法求
之至於一二係二與六相乘所得之數
故以二之假數與六之假數相加得一
○七九一八一二四六○四為一十二
之假數内減首位之一餘○○七九一
八一二四六○四即為一二之假數葢/自
一一至九空位零九其首位之一皆為/單位首位以下為小餘試将一十二以
十除之仍得一二則其首位之一即為/單位二為小餘故於十二之假數内減
首位之一即減去十之假數/而所餘為一二之假數也至於一四
[043-46b]
乃二與七相乘所得之數故以二之假
[043-47a]
數與七之假數相加得一一四六一二
八○三五六七為一十四之假數内減
首位之一餘○一四六一二八○三五
六七即為一四之假數至於一五乃三
與五相乘所得之數故以三之假數與
五之假數相加得一一七六○九一二
五九○六為一十五之假數内減首位
之一餘○一七六○九一二五九○六
[043-47b]
即為一五之假數餘皆倣此詳見對/數闡㣲至
於一○○○○○一以後之假數則即
可用前遞次開方表内相近數比例而
得之如求一○○○○○一之假數則
以前表内開方第二十一次眞數五空
位後之零數一○九七九五八七三五
為一率截用十位/以從簡便其假數七空位後之
零數四七六八三七一五八二為二率
亦截用/十位今眞數之零數一為一率添九/空位
[043-47b]
以足/其分得四率四三四二九四三有餘前
[043-48a]
亦仍為七空位因假數止用十二位故/四率止求七位并七空
位為十四位/已為足用截前十二位得○○○○
○○○四三四二九即為一○○○○
○一之假數二因之得○○○○○○
○八六八五九第十三位滿五則/進一數餘倣此即為
一○○○○○二之假數三因之得○
○○○○○一三○二八八即為一○
○○○○三之假數又以前表内開方
[043-48b]
第十九次眞數五空位後之零數四三
九一八四二一七三為一率其假數六
空位後之零數一九○七三四八六三
二為二率今眞數之零數四為三率添/九
空位以/足其分得四率一七三七一七四○前
亦仍為六空位截前十二位得○○○
○○○一七三七一七即為一○○○
○○四之假數不以前所得四率四因/之者因前所得一○○
○○○一之假數四因之則㣲小且表/内第十九次開方數與此所求眞數相
[043-48b]
近故又用比/例以求其準將所得一○○○○○四
[043-49a]
之假數四歸五因將一○○○○○四/之假數四歸五因者
因欲得一○○○○○一/之假數而以五因之也得○○○○
○○二一七一四七即為一○○○○
○五之假數將所得一○○○○○四
之假數四歸六因得○○○○○○二
六○五七六即為一○○○○○六之
假數又以前表内開方第十八次眞數
五空位後之零數八七八三七○三六
[043-49b]
三四為一率其假數六空位後之零數
三八一四六九七二六五為二率今眞
數之零數七為三率得四率三○四○
○四八○前亦仍為六空位截前十二
位得○○○○○○三○四○○五即
為一○○○○○七之假數不以前所/得四率四
歸七因者因前所得一○○○○○四/之假數四歸七因之則㣲小且表内第
十八次開方數與此所求眞數/相近故又用比例以求其準將所得
一○○○○○七之假數七歸八因得
[043-49b]
一○○○○○三四七四三四即為一
[043-50a]
○○○○○八之假數又將所得一○
○○○○七之假數七歸九因得○○
○○○○三九○八六三即為一○○
○○○九之假數至於一○○○○○
○一以後之假數則并不用比例葢五
空位零一之假數為四三四二九而前
所得十五空位零一之假數亦為四三
四二九其假數皆相同但遞退一位故
[043-50b]
以五空位零一至九之假數從未截去
一位末位滿五以/上則進一數前添一空位即得六
空位零一至九之假數以六空位零一
至九之假數從末截去一位前添一空
位即得七空位零一至九之假數以七
空位零一至九之假數從末截去一位
前添一空位即得八空位零一至九之
假數以八空位零一至九之假數從末
截去一位前添一空位即得九空位零
[043-50b]
一至九之假數
[043-51a]
[043-52a]
明對數之目用前所得九十九數求他假數法
之一
凡求假數既得前九十九數而他數有由此乘除而
得者則以假數相加減即得所求之假數其不由
乘除而得者謂之數根因無他數可以度盡即算/法原本所謂連比例之至
小/數則其假數亦不可以加減而得然有雖為數根
而前九十九數中有為其根所生者則逆求之即
得原根之假數
[043-52b]
如前九十九數首位既皆為單位則以
十乘之即為十以百乘之即為百以千
乘之即為千以萬乘之即為萬故以二
之假數與一十之假數相加即為二十
之假數與一百之假數相加即為二百
之假數與一千之假數相加即為二千
之假數與一萬之假數相加即為二萬
之假數又如十一之假數與一十之假
數相加即為一百一十之假數以一○
[043-52b]
五之假數與一百之假數相加即為一
[043-53a]
百零五之假數與一千之假數相加即
為一千零五十之假數眞數同則假數
亦同但眞數進一位則假數首位加一
數耳又如三與七相乘得二十一則以
三之假數與七之假數相加即為二十
一之假數二與十一相乘得二十二則
以二之假數與十一之假數相加即為
二十二之假數至於二十三二十九之
[043-53b]
類則不以乘除而得是為數根若夫五
十三雖亦為數根然以五十三與二相
乘則得一百零六前既得一○六之假
數則與一百之假數相加即為一百零
六之假數内減二之假數即為五十三
之假數由此類推數自繁衍而其不可
以乘除而得者則又以累乘累除之法
而得之詳見/後要未有出於前九十九數
之外者也
[043-53b]
明對數之目用前所得九十九數求他假數法
[043-54a]
之二
凡求假數其眞數有以累乘而得者則以假數累加
之即得所求之假數
如二萬零七百零三為二萬與一○三
及一○○五累乘所得之數則以二萬
之假數四三○一○二九九九五六六
與一○三之假數○○一二八三七二
二四七一及一○○五之假數○○○
[043-54b]
二一六六○六一七六相加得四三一
六○三三二八二一三即為二萬零七
百零三之假數若先有假數四三一六
○三三二八二一三求眞數則視假數
内足減二萬之假數即以二萬之假數
書於原假數下相減餘○○一五○○
三二八六四七足減一○三之假數即
以一○三之假數書於減餘之下相減
餘○○○二一六六○六一七六與一
[043-54b]
○○五之假數恰合是知其假數為二
[043-55a]
萬與一○三及一○○五之三假數相
加所得之數則其眞數即知為三眞數
累乘所得之數矣乃以二萬與一○三
相乘得二萬零六百再以一○○五乘
之得二萬零七百零三即為所求之眞
數也
明對數之目用前所得九十九數求他假數法
之三
[043-55b]
凡求假數而不知其眞數為何數累乘而得者則以
所知前位之整數累除之除得累乘之眞數則以
其假數累加之即得所求之假數
如求二十三之假數而不知其為何數
累乘而得但知二十之假數為一三○
一○二九九九五六六則以二十三為
實以二十為法除之得一一又以兩層
所減數按位相加得二二即二十與一
一相乘之數以之為法除原實二十三
[043-55b]
得一○四又以兩層所減數按位相加
[043-56a]
得二二八八即二二與一○四相乘之
數以之爲法除原實二十三得一○○
五又以兩層所減數按位相加得二二
九九四四即二二八八與一○○五相
乘之數以之為法除原實二十三得一
○○○二又以兩層所減數按位相加
得二二九九八九九八八八即二二九
九四四與一○○○二相乘之數以之
[043-56b]
為法除原實二十三得一○○○○四
又以兩層所減數按位相加得二二九
九九九一八八四法止用十位故第十/一位滿五以上者進
一數用若不/滿五則去之即二二九九八九九八八
八與一○○○○四相乘之數以之為
法除原實二十三得一○○○○○三
又以兩層所减數相加得二二九九九
九八七八四即二二九九九九一八八
四與一○○○○○三相乘之數以之
[043-56b]
為法除原實二十三得一○○○○○
[043-57a]
○五又以兩層所減數按位相加得二
二九九九九九九三四即二二九九九
九八七八四與一○○○○○○五相
乘之數以之為法除原實二十三得一
○○○○○○○二又以兩層所減數
按位相加得二二九九九九九九八○
即二二九九九九九九三四與一○○
○○○○○二相乘之數以之為法除
[043-57b]
原實二十三得一○○○○○○○○
八又以兩層所減數按位相加得二二
九九九九九九九八即二二九九九九
九九八○與一○○○○○○○○八
相乘之數以之為法除原實二十三得
一○○○○○○○○○八是知二十
三係二十與一一及一○四一○○五
一○○○二一○○○○四一○○○
○○三一○○○○○○五一○○○
[043-57b]
○○○○二一○○○○○○○○八
[043-58a]
一○○○○○○○○○八累乘所得
之數乃以其各假數累加之得一三六
一七二七八三六○六即為二十三之
假數也若先有假數一三六一七二七
八三六○六求眞數則視假數内足減
二十之假數即以二十之假數書於原
假數之下相減餘○○六○六九七八
四○四○足減一一之假數即以一一
[043-58b]
之假數書於減餘之下相減餘○○一
九三○五一五五二四足減一○四之
假數即以一○四之假數書於減餘之
下相減餘○○○二二七一八一五九
四足減一○○五之假數即以一○○
五之假數書於減餘之下相減餘○○
○○一○五七五四一八足減一○○
○二之假數即以一○○○二之假數
書於減餘之下相減餘○○○○○一
[043-58b]
八九○三九七足減一○○○○四之
[043-59a]
假數即以一○○○○四之假數書於
減餘之下相減餘○○○○○○一五
三二五四足減一○○○○○三之假
數即以一○○○○○三之假數書於
減餘之下相減餘○○○○○○○二
二九六六足減一○○○○○○五之
假數即以一○○○○○○五之假數
書於減餘之下相減餘○○○○○○
[043-59b]
○○一二五一足減一○○○○○○
○二之假數即以一○○○○○○○
二之假數書於減餘之下相減餘○○
○○○○○○○三八二足減一○○
○○○○○○八之假數即以一○○
○○○○○○八之假數書於減餘之
下相減餘○○○○○○○○○○三
五足減一○○○○○○○○○八之
假數即以一○○○○○○○○○八
[043-59b]
之假數書於減餘之下相減恰盡是知
[043-60a]
其假數為此十一假數累加所得之數
而眞數即為此十一眞數累乘所得之
數乃以此十一眞數累乘之得二十三
即為所求之眞數也
又如求五千六百八十九之假數而不
知其為何數累乘而得但知五千六百
之假數為三七四八一八八○二七○
○則以五千六百八十九為實以五千
[043-60b]
六百為法除之得一○一又以兩層所
減數按位相加得五六五六即五千六
百與一○一相乘之數以之為法除原
實五千六百八十九得一○○五又以
兩層所減數按位相加得五六八四二
八即五六五六與一○○五相乘之數
以之為法除原實五千六百八十九得
一○○○八又以兩層所減數按位相
加得五六八八八二七四二四即五六
[043-60b]
八四二八與一○○○八相乘之數以
[043-61a]
之為法除原實五千六百八十九得一
○○○○三又以兩層所減數按位相
加得五六八八九九八○八九即五六
八八八二七四二四與一○○○○三
相乘之數以之為法除原實五千六百
八十九得一○○○○○○三又以兩
層所減數按位相加得五六八八九九
九七九六即五六八八九九八○八九
[043-61b]
與一○○○○○○三相乘之數以之
為法除原實五千六百八十九得一○
○○○○○○三又以兩層所減數按
位相加得五六八八九九九九六七即
五六八八九九九七九六與一○○○
○○○○三相乘之數以之為法除原
實五千六百八十九得一○○○○○
○○○五又以兩層所減數按位相加
得五六八八九九九九九五即五六八
[043-61b]
八九九九九六七與一○○○○○○
[043-62a]
○○五相乘之數以之為法除原實五
千六百八十九得一○○○○○○○
○○八是知五千六百八十九係五千
六百與一○一及一○○五一○○○
八一○○○○三一○○○○○○三
一○○○○○○○三一○○○○○
○○○五一○○○○○○○○○八
累乘所得之數乃以其各假數累加之
[043-62b]
得三七五五○三五九三三七一即為
五千六百八十九之假數也若先有假
數三七五五○三五九三三七一求眞
數則視假數内足減五千六百之假數
即以五千六百之假數書於原假數之
下相減餘○○○六八四七九○六七
一足減一○一之假數即以一○一之
假數書於減餘之下相減餘○○○二
五二六五三二九三足減一○○五之
[043-62b]
假數即以一○○五之假數書於減餘
[043-63a]
之下相減餘○○○○三六○四七一
一七足減一○○○八之假數即以一
○○○八之假數書於減餘之下相減
餘○○○○○一三一七四四八足減
一○○○○三之假數即以一○○○
○三之假數書於減餘之下相減餘○
○○○○○○一四五八四足減一○
○○○○○三之假數即以一○○○
[043-63b]
○○○三之假數書於減餘之下相減
餘○○○○○○○○一五五五足減
一○○○○○○○三之假數即以一
○○○○○○○三之假數書於減餘
之下相減餘○○○○○○○○○二
五二足減一○○○○○○○○五之
假數即以一○○○○○○○○五之
假數書於減餘之下相減餘○○○○
○○○○○○三五足減一○○○○
[043-63b]
○○○○○八之假數即以一○○○
[043-64a]
○○○○○○八之假數書於減餘之
下相減恰盡是知其假數為此九假數
累加所得之數而眞數即為此九眞數
累乘所得之數乃以此九眞數累乘之
得五千六百八十九即為所求之眞數
也
[043-65a]
求八線對數
凡求八線之假數定半徑為一百億位數既多為用
愈密且眞數十一位則假數首位為一○又取其
便於用也先以正弦餘弦之眞數求得假數復以
正弦餘弦之假數加減之即得切線割線之假數
如一分之正弦為二九○八八八二求
其假數得六四六三七二六一一○九
又如六十度之正弦為八六六○二五
[043-65b]
四○三八求其假數得九九三七五三
○六三一七如求六十度切線之假數
則以六十度正弦之假數九九三七五
三○六三一七為二率半徑之假數一
○○○○○○○○○○○為三率六
十度餘弦之假數九六九八九七○○
○四三為一率二三率相加内減一率
餘一○二三八五六○六二七四即六
十度正切線之假數如求六十度割線
[043-65b]
之假數則以半徑之假數一○○○○
[043-66a]
○○○○○○○為二率又為三率六
十度餘弦之假數九六九八九七○○
○四三為一率二率倍之内減一率餘
一○三○一○二九九九五七即六十
度正割線之假數也
[043-67a]
對數用法
設如一百二十三與四百五十六相乘問得幾何
法以對數表之一二三之假數二○八
九九○五一一一四與四五六之假數
二六五八九六四八四二七相加得四
七四八八六九九五四一乃查假數四
七四八八六九九五四一所對之眞數
得五六○八八即五萬六千零八十八
[043-67b]
為相乘所得之數也
設如三千四百五十六與二千六百七十九相乘問
得幾何
法以對數表之三四五六之假數三五
三八五七三七三三八與二六七九之
假數三四二七九七二七一三六相加
得六九六六五四六四四七四因對數
表假數首位止於四眞數止於五位故
將相加所得假數首位之六暫當四查
[043-67b]
假數四九六六五四六四四七四相近
[043-68a]
畧少者為四九六六五四五三二一六
其相對之眞數得九二五八六即為九
二五八六○○因假數首位多二數/則眞數必多二位又
以九二五八六○○之假數與九二五
八七○○之假數相減餘四六九○七
為一率以九二五八六○○與九二五
八七○○相減餘一○○為二率今相
加所得之假數與九二五八六○○之
[043-68b]
假數相減餘一一二五八為三率得四
率二四即眞數九二五八六之後二位
之數葢假數多四六九○七則眞數多
一百今假數多一一二五八則眞數應
多二十四為比例四率也乃以所得二
四與九二五八六○○相加得九二五
八六二四即九百二十五萬八千六百
二十四為相乘所得之數也大凡眞數
二四位以後其假數之較相差無多故
[043-68b]
眞數即可與假數為比例若用前累乘
[043-69a]
累除之法固為甚密然較之比例則難
而得數則同此對數表所以止於五位
也
設如三千七百四十四以十六除之問得幾何
法以對數表之三七四四之假數三五
七三三三五八四○一内減一六之假
數一二○四一一九九八二七餘二三
六九二一五八五七四乃查假數二三
[043-69b]
六九二一五八五七四所對之眞數得
三三四即二百三十四為歸除所得之
數也
設有米三十二石令一千零二十四人分之問毎一
人應得幾何
法以對數表之三二之假數首位加二
為三五○五一四九九七八三因法之/假數大
於實之假數故以實之假數加二/即如以實之眞數加兩空位也内減
一○二四之假數三○一○二九九九
[043-69b]
五六六餘○四九四八五○○二一七
[043-70a]
因假數首位為○卽知眞數應得單位
其得數首位為升仍以假數首位加三
查三四九四八五○○二一七所對之
眞數得三一七五因眞數得四位故將/假數首位作三查表
若眞數求五位則將假數首位作四查/表或五位後仍有餘數則用比例求之
即三升一合二勺五撮為毎人所應得
之數也
設如甲乙丙直角形甲角五十度丙角四十度甲乙
[043-70b]
邊十二丈求丙乙邊丙甲邊各幾何
法以甲角五十度之正弦假數九八八
四二五三九六六五與甲乙邊十二丈
作一二/○○○之假數四○七九一八一二四
六○相加得一三九六三四三五二一
二五内減丙角四十度之正弦假數九
八○八○六七四九六七餘四一五五
三六七七一五八為丙乙邊之假數查
假數相近所對之眞數得一四三○一
[043-70b]
即一十四丈三尺零一分為丙乙邊也
[043-71a]
求丙甲邊則以乙角九十度之正弦假
數一○○○○○○○○○○○即半/徑之
數/與甲乙邊十二丈之假數四○七九
一八一二四六○相加得一四○七九
一八一二四六○内減丙角四十度之
正弦假數九八○八○六七四九六七
餘四二七一一一三七四九三為丙甲
邊之假數查假數相近所對之眞數得
[043-71b]
一八六六九即一十八丈六尺六寸九
分為丙甲邊也
設如甲乙丙三角形甲角五十度甲乙邊十六丈甲
丙邊十二丈問丙角乙角及乙丙邊各若干
法以甲乙邊十六丈與甲丙邊十二丈
相加得二十八丈為邊總甲乙邊與甲
丙邊相減餘四丈為邊較甲角五十度
與一百八十度相減餘一百三十度折
半為六十五度為半外角乃以邊較四
[043-71b]
丈作四○/○○之假數三六○二○五九九
[043-72a]
九一三與半外角六十五度之正切假
數一○三三一三二七四五二二相加
得一三九三三三八七四四三五内減
邊總二十八丈作二八/○○○之假數四四四
七一五八○三一三餘九四八六二二
九四一二二爲半較角正切之假數查
正切假數相近所對之眞數得十七度
二分為半較角與半外角相加得八十
[043-72b]
二度二分為對甲乙大邊之丙角與半
外角六十五度相減餘四十七度五十
八分為對甲丙小邊之乙角也又求丙
乙邊則以五十度之正弦假數九八八
四二五三九六六五與十六丈作一六/○○○
之假數四二○四一一九九八二七相
加得一四○八八三七三九四九二内
減丙角八十二度二分之正弦假數九
九九五七八八二○九八餘四○九二
[043-72b]
五八五七三九四為丙乙邊之假數查
[043-73a]
假數相近所對之眞數得一二三七六
即一十二丈三尺七寸六分為丙乙邊
也凡眞數用加減然後比例者須以眞
數加減得數再查假數依法算之餘皆
倣此
設如六十四自乘問得幾何
法以對數表之六四之假數一八○六
一七九九七四○用二因之得三六一
[043-73b]
二三五九九四八○仍查假數所對之
眞數得四○九六即四千零九十六為
自乘所得之數也葢自乘兩數相同則
其兩假數亦相同故二因之即如二假
數相加也
設如正方面積三百六十一尺開平方問毎一邊數
幾何
法以對數表之三六一之假數二五五
七五○七二○一九折半得一二七八
[043-73b]
七五三六○○九仍查假數所對之眞
[043-74a]
數得一九即一十九尺為開平方所得
毎邊之數也葢正方面積之假數乃以
毎邊之假數加倍所得之數故折半即
得毎邊之假數對其眞數即得毎邊之
數也
設如正方面積一百五十二萬二千七百五十六尺
開平方問毎一邊數幾何
法先以方積前五位一五二二七查得
[043-74b]
假數為四一八二六一四三四七七因
方積係七位今止查得五位仍餘二位
故將假數首位之四加二得六一八二
六一四三四七七即為一五二二七○
○之假數又以一五二二七○○與一
五二二八○○相減餘一○○為一率
以一五二二七○○之假數與一五二
二八○○之假數相減餘二八五二○
四為二率方積之後二位數五六為三
[043-74b]
率得四率一五九七○四葢眞數多一
[043-75a]
百則假數多二八五二○四今眞數多
五十六則假數應多一五九七一四為
比例四率也乃以所得四率與一五二
二七○○之假數相加得六一八二六
三○三一九一即為一五二二七五六
之假數折半得三○九一三一五一五
九六仍查假數所對之眞數得一二三
四即一千二百三十四尺為開平方所
[043-75b]
得毎邊之數也
又㨗法以一五二二七之假數首位加
二得六一八二六一四三四七七即為
一五二二七○○之假數折半得三○
九一三○七一七三八查假數相近畧
大者葢一五二二七○○之假數畧少/於一五二二七五六之假數則其
折半之假數亦必畧少於一二/三四之假數亦取畧大者用之對其眞
數得一二三四即為毎邊之數也此法
因方根止四位查表即得不用比例故
[043-75b]
以方積前五位查表後有幾位則假數
[043-76a]
首位加幾數折半查假數相近者即可
得之若方根過五位以上者須用比例
則以方積查假數亦須用比例方得密
合
設如正方面積一百五十二兆四千一百五十七億
六千五百二十七萬九千三百八十四尺問毎一
邊數幾何
法以方積前五位一五二四一查得假
[043-76b]
數為四一八三○一三四六三一因方
積係十五位今止查得五位仍餘十位
故將假數首位之四加十得一四一八
三○一三四六三一即為一五二四一
○○○○○○○○○○之假數又以
一五二四一○○○○○○○○○○
與一五二四二○○○○○○○○○
○相減截用六空位得一○○○○○
○為一率以一五二四一之假數與一
[043-76b]
五二四二之假數相減餘二八四九四
[043-77a]
二為二率方積後十位數截用前六位
得五七六五二七為三率因表中假數/止於十一位
則眞數亦止須用十一位雖眞數後再/多幾位其假數前十一位亦相同故查
表用五位比例用/六位共為十一位得四率一六四二七
七與一五二四一○○○○○○○○
○○之假數相加得一四一八三○二
九八九○八即為一五二四一五七六
五二七○○○○之假數亦即同於一
[043-77b]
五二四一五七六五二七九三八四之
假數折半得七○九一五一四九四五
四因假數首位為七即知眞數應得八
位今對數表假數首位止於四眞數
止於五位故將折半所得假數首位之七
減去三得四○九一五一四九四五四
查假數相近畧少者為四○九一四九
一○九四三對其眞數得一二三四五
即為一二三四五○○○因假數首位/多三數則眞
[043-77b]
數進/三位又以一二三四五○○○之假數
[043-78a]
與一二三四六○○○之假數相減餘
三五一七八三為一率以一二三四五
○○○與一二三四六○○○相減餘
一○○○為二率今折半所餘之假數
與一二三四五○○○之假數相減餘
二三八五一一為三率得四率六七八
與一二三四五○○○相加得一二三
四五六七八即一千二百三十四萬五
[043-78b]
千六百七十八尺為開平方所得毎一
邊之數也
設如勾二十七尺股三十六尺求弦若干
法以對數表之二七之假數一四三一
三六三七六四二倍之得二八六二七
二七五二八四為勾自乘之假數仍查
假數所對之眞數得七二九為勾自乘
之眞數又以三六之假數一五五六三
○二五○○八倍之得三一一二六○
[043-78b]
五○○一六為股自乘之假數仍查假
[043-79a]
數所對之眞數得一二九六為股自乘
之眞數兩自乘之眞數相加不以兩自/乘之假數
相加者葢假數相加則是相乘/故必對其眞數然後相加也得二○
二五為弦自乘之眞數查其假數得三
三○六四二五○二七六折半得一六
五三二一二五一三八仍查假數所對
之眞數得四五即四十五尺為開方所
得之弦數也
[043-79b]
設如三十六自乘再乘問得幾何
法以對數表之三六之假數一五五六
三○二五○○八用三因之得四六六
八九○七五○二四仍查假數所對之
眞數得四六六五六即四萬六千六百
五十六為自乘再乘所得之數也葢自
乘再乘係以方根乘二次則假數亦加
二次故以方根之假數三因之即如以
方根之假數加二次也其或位數多者
[043-79b]
依乘法之例推之
[043-80a]
設如正方體積一萬三千八百二十四尺開立方問
毎一邊數幾何
法以對數表之一三八二四之假數四
一四○六三三七二五一用三歸之得
一三八○二一一二四一七仍查假數
所對之眞數得二四即二十四尺為開
立方所得每邊之數也葢正方體積之
假數乃以毎邊之假數三因所得之數
[043-80b]
故三歸之即得每邊之假數對其眞數
即得毎邊之數也其或位數多者依平
方之例推之
設如方根一十六尺問三乘方積幾何
法以對數表之一六之假數一二○四
一一九九八二七用四因之得四八一
六四七九九三○八仍查假數所對之
眞數得六五五三六即六萬五千五百
三十六尺為三乘方之積數也葢三乘
[043-80b]
方係以方根乘三次則其假數亦加三
[043-81a]
次故以方根之假數四因之即如以方
根之假數加三次也其或位數多者亦
依乘法之例推之
設如三乘方積二萬零七百三十六尺問方根幾何
法以對數表之二○七三六之假數四
三一六七二四九八四二用四歸之得
一○七九一八一二四六○仍查假數
所對之眞數得一二即一十二尺為開
[043-81b]
三乘方所得方根之數也葢三乘方積
之假數乃以方根之假數四因所得之
數故四歸之即得方根之假數對其眞
數即得方根之數也其或位數多者亦
依平方之例推之大凡開諸乘方之理
亦皆由於連比例葢方根為連比例第
一率平方積為第二率立方積為第三
率三乘方積為第四率四乘方積為第
五率五乘方積為第六率六乘方積為
[043-81b]
第七率七乘方積為第八率八乘方積
[043-82a]
為第九率九乘方積為第十率與借根/方比例
定位/表同以第一率方根之假數各以率數
乘之即得各乘方積之假數而以各乘
方積之假數各以率數除之亦即得第
一率方根之假數故由三乘方而進之
四乘方求積則用五因求根則用五歸
五乘方求積則用六因求根則用六歸
推之至於九乘方求積則用十因求根
[043-82b]
則用十歸即至於一百乘方則以方根
之假數用一百零一乘之即得方積之
假數以方積之假數用一百零一除之
即得方根之假數乘除之數愈繁愈見
對數之易此對數之大用也
[043-82b]
御製數理精藴下編卷三十八
