KR3f0048 御製數理精薀-清-聖祖玄燁 (master)


[007-1a]
 欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷二
  首部二
   命分
   約分
   通分
[007-2a]
  命分
凡歸除分至最細而可以恰盡無餘者謂之無竒零
數若分至最細而屢除不盡者謂之有竒零數其竒
零若畧去之則不能復還原數此命分之所以立也
其法命為分母分子分母者即除數也分子者即除
不盡之數也凡不盡之數得分母中之幾分者即命
為幾分之幾是以命分之一法正所以濟歸除之所
不逮也
[007-2b]
設如有銀十一兩命三人分之問每人得若干
 法以三人分銀十一兩每人得銀三兩仍餘二兩
 所餘二兩再以三人分之每人得六錢六分六釐
 六豪如是每得六而仍餘二數不盡故立命分法
 以三人為分母所餘二兩為分子命為每人得三
 兩又三分兩之二葢將每兩剖作三分其所餘二
 兩則共剖作六分三人分之每人得二分故命為
 三分兩之二也如因三分兩之二求知原銀數則
 以三人與分子二分相乘得六分葢每人得二分
[007-2b]
 則三人共得六分也以六分用分母三分歸之得
[007-3a]
 二兩葢初分一兩為三分故終收三分為一兩也
 再加入三人所得整數共九兩一人三兩三/人共得九兩則得
 十一兩以合原數也
設如有銀一百八十七兩命十八人分之問每人得
 若干
 法以十八人分銀一百八十七兩每人得銀十兩
 仍餘七兩分之不盡則以十八人為分母所餘七
 兩為分子命為每人得一十兩又十八分兩之七
[007-3b]
 葢將每兩剖作十八分其所餘七兩則共剖作一
 百二十六分十八人分之每人得七分故命為十
 八分兩之七也如因十八分兩之七求知原銀數
 則以十八人與分子七分相乘得一百二十六分
 葢每人得七分則十八人共得一百二十六分也
 以一百二十六分用分母十八分歸之得七兩葢
 初分一兩為十八分故終收十八分為一兩也再
 加入十八人所得整數共一百八十兩一人十兩/十八人共
 得一百/八十兩則得一百八十七兩以合原數也
[007-4a]
  約分
約分者以所命之分約之以就整分也葢命分是隨
其數之多寡全而紀之而約分則即其多寡之數從
而約之以求簡易焉其法以分子分母兩數輾轉相
減務期減餘兩數相同是為度盡兩數之一數乃以
此數為一分以除分母得幾分者即約分母為幾分
又除分子得幾分者即約為分母幾分中之幾凡諸
法中有帶分者皆由約法而得故設例於此所以明
[007-4b]
帶分之根也
設如古厯歳實命為三百六十五日又一百分日之
 二十五今以法約之求相當最小數
 法置日分一百以餘分二十五減之餘七十五分
 再以二十五減之餘五十分再以二十五減之亦
 餘二十五分兩數齊等即以相等之數二十五轉
 除日分一百得四即為四分又以二十五除餘分
 二十五得一即為一分乃百分日之二十五約為
 四分之一是歳實共得三百六十五日又四分日
[007-4b]
 之一也葢將一日剖作四分/而得其四分之一也凡約分法以分母分
[007-5a]
 子相減必得相等之數然後用之葢因此數可以
 度盡分母又可以度盡分子故也今以相等之數
 二十五為一分則日分一百有四倍二十五故為
 四分而餘分二十五又恰足一分之數故為一分
 一百與二十五之比即同於四與一之比是四與
 一即一百與二十五之相當最小數也凡分母分
 子輾轉相減不得相等之數終減至於一是分母
 分子俱無一數可以度盡之數即不用約分用命
[007-5b]
 分誌之可也
設如有銀二百一十兩命一百四十七人分之每人
 得銀一兩仍餘六十三兩不盡以法約之求相當
 最小數
 法置一百四十七人以餘銀六十三減之餘八十
 四再以六十三減之餘二十一又置六十三轉以
 二十一減之因減數大於原數又不得兩/數齊等故以二十一轉減之餘四十
 二再以二十一減之亦餘二十一則兩數齊等即
 以相等之數二十一轉除一百四十七人得七即
[007-5b]
 為七分又以二十一除銀六十三兩得三即為三
[007-6a]
 分乃一百四十七人分餘銀六十三兩約為七分
 之三是每人得銀一兩又七分兩之三也葢將每/兩剖作
 七分而得其/七分之三也此法以一百四十七人與六十三兩
 輾轉相減得相等之數二十一是二十一可以度
 盡一百四十七人又可以度盡六十三兩故也既
 以二十一為一分則一百四十七有七倍二十一
 故為七分六十三有三倍二十一故為三分一百
 四十七與六十三之比即同於七與三之比是七
[007-6b]
 與三即一百四十七與六十三之相當最小數也
[007-7a]
  通分
凡竒零數目不以十遞析者難以立算則用通分如
斤通為兩宮通為度度通為分之類是也又有整數
而帶零分者則必通之以從其類如化整為零收零
作整之類是也或有零分而分母不同者則必通之
以同其母如互乘之類是也通分之法立然後竒零
數目得以歸有餘齊不足而帶分之法皆根於此故
為另設加減乘除之法以明其義焉
[007-7b]
  加法
凡竒零數相加兩分母同者即併兩分子為得數若
相加之數大於母數則於所得數内減去母數為一
整數紀其餘為零數
設如有九分丈之七一丈分為九分/而得其七分也與九分丈之五
 一丈分為九分/而得其五分也相加求總數
     法以九分之七與九分之五左右列之
     將兩分子七與五相加得一十二因子
     數大於母數乃於一十二内減去母數
[007-7b]
     九為一整數餘三為零數即得整數一
[007-8a]
     丈零九分丈之三為相加之數也此法
     因兩分母同為九分而兩分子亦同為
     九分中之零分故徑併兩零分之七與
     五得一十二又以母數九分收為一丈
     葢初以一丈分為九分今/滿九分即收為一丈也其所餘三亦
     仍為九分中之三分故得一丈零九分
     丈之三為兩零分之共數此分母相同
     之加法也如以真數明之九分丈之七/是將一丈分為九分得其九
[007-8b]
     分中之七分一丈分為九分則每一分/得一尺一寸一分一釐有餘九分中之
     七分則為七尺七寸七分七釐有餘也/九分中之五分則為五尺五寸五分五
     釐有餘也兩數相加共得一丈三尺三/寸三分三釐有餘即一丈零九分丈之
     三也葢一尺一寸一分一釐有餘既為/九分中之一分則三尺三寸三分三釐
     有餘即九分中之三分也如以九分除/三分即得三尺三寸三分三釐不盡之
     數是九分與一丈之比即同於三/分與三尺三寸三分有餘之比也
凡竒零數相加兩分母不同者則用互乘法以兩分
母相乘為共母數再以前分母乘後分子又以後分
母乘前分子以所得兩子數相加為共子數紀於共
[007-8b]
母數之下為共零數
[007-9a]
設如有三分丈之二一丈分為三分/而得其二分也與五分丈之三
 一丈分為五分/而得其三分也相加求總數
     法以兩分母三五相乘得一十五為共
     母數再以前分母三乘後分子三得九
     又以後分母五乘前分子二得十將兩
     得數相加得十九為共子數因子數大
     於母數乃於十九内減去共母數十五
     為一整數餘四為零數即得整數一丈
[007-9b]
     零十五分丈之四為相加之數也此法
     用互乘者本為齊其分母也夫以兩分
     母相乘得十五者乃以兩分母俱變為
     十五分也因分母不同難以/相加故變為同等以前分母
     三乘後分子三得九者乃以後分子變
     為十五分中之九也又以後分母五乘
     前分子二得十者是又以前分子亦變
     為十五分中之十也葢十五分之十與
     三分之二其比例等俱為五/倍比例而十五分
[007-9b]
     之九與五分之三其比例亦等俱為三/倍比例
[007-10a]
     兩分母既變為同等則兩分子亦俱為
     同分母之子矣故相加如第一法此分
     母不同之加法也如以真數明之三分/丈之二既變為十五
     分丈之十則每一分為六寸六分六釐/有餘今得十分即六尺六寸六分六釐
     有餘也又五分丈之三既變為十五分/丈之九則每一分亦為六寸六分六釐
     有餘今得九分即六尺也兩數相加共/得一丈二尺六寸六分六釐有餘即一
     丈零十五分丈之四也葢六寸六分六/釐有餘即為十五分中之一分今二尺
     六寸六分六釐有餘為四倍六寸六分/六釐有餘即十五分中之四分也如以
[007-10b]
     十五分除四分即得二尺六寸六分不/盡之數是十五分與一丈之比即同於
     四分與二尺六寸/六分有餘之比也
又或分母不同而可以加減之使同者則變而同之
可省互乘
設如有八分兩之一與十二分兩之三相加求總數
     法以十二分之三變為八分之二則與
     八分之一兩分母相同故徑併兩分子
     二與一得三即八分兩之三為相加之
     數也此法將十二分之三變為八分之
[007-10b]
     二者乃分母分子各減三分之一也母
[007-11a]
     數十二減三分之一餘八子數三減三
     分之一餘二葢十二分之三與八分之
     二其比例相等故變從簡易如數有參
     差者則當用下節之法如以真數明之/八分兩之一是
     將一兩分為八分其一分即一錢二分/五釐也又十二分兩之三是將一兩分
     為十二分其三分為二錢五分今變為/八分兩之二是將一兩分為八分其二
     分亦為二錢五分也兩數相加共得三/錢七分五釐即八分兩之三也葢一錢
     二分五釐為八分中之一分今三錢七/分五釐即八分中之三分也如以八分
[007-11b]
     除三分即得三錢七分五釐是八分與/一兩之比即同於三分與三錢七分五
     釐之/比也
設如有六分石之五與三分石之二相加求總數
     如依前法將六分之五折半為三分之
     二分半則兩分母雖同而分子却有竒
     零若將三分之二加一倍作六分之四
     變少從多則與六分之五兩分母相同
     乃徑併兩分子五與四得九因子數大
     於母數乃於九内減去母數六為一整
[007-11b]
     數餘三為零數即得整數一石零六分
[007-12a]
     石之三為相加之數也此法三分之二
     變為六分之四者乃分母分子各加一
     倍之比例也凡變分母分子或加或減
     務期所變之分數與原分數比例相同
     使其兩分母同而兩分子可併也此條
     與上條用加減雖各異而齊其分母以
     加之則同也如以真數明之六分石之/五是將一石分為六分則
     每一分得一斗六升六合六勺六撮六/抄有餘今得五分即八斗三升三合三
[007-12b]
     勺三撮三抄有餘也又三分石之二是/將一石分為三分其二分為六斗六升
     六合六勺六撮六抄有餘今變為六分/石之四是將一石分為六分其四分亦
     為六斗六升六合六勺六撮六抄有餘/也兩數相加共得一石四斗九升九合
     九勺九撮九抄有餘收為五斗即一石/零六分石之三也葢六分為一石則三
     分即五/斗也
凡子母數有三四種相加者其分母分子俱不同則
用互乘以齊其分母按前法加之三種者以第一數/與第二數依前互
乘法相加得數又與第三數依前互乘法相加四程/者以第一數第二數互乘相加得數與第三數互乘
相加得數復與第/四數互乘相加如兩分母相同者即併其兩分子
[007-12b]
而與所餘之分母不同者用互乘以加之又或有兩
[007-13a]
分母相乘後所得之數與所餘之分母相同者則直
以所得之分子與所餘之分子相加為得數即不用
互乘矣
設如有三分斤之一又四分斤之二又五分斤之三
 相加求總數
     法以前兩分子分母按互乘法相加得
     十二分斤之十以兩分母三與四相乘/得十二為共母數以前
     分母三乘後分子二得六又以後分母/四乘前分子一得四相加得一十為共
[007-13b]
     子數是為十/二分斤之十乃以十二分斤之十與第
     三子母分用互乘法相加得六十分斤
     之八十六以第三分母五與前兩分母/互乘所得之十二相乘得六
     十為共母數以前兩分母所得十二乘/第三分子三得三十六又以第三分母
     五乘前兩分子所得十得五十相加得/八十六為共子數是為六十分斤之八
     十/六因子數大於母數乃於共子數八十
     六内減去共母數六十為一整數餘二
     十六為零數即得一斤零六十分斤之
     二十六為總數也凡子母分有四種五
[007-13b]
     種相加者俱倣此如以真數明之三分/斤之一是將一斤分
[007-14a]
     為三分其一分即五兩三錢三分三釐/有餘也四分斤之二是將一斤分為四
     分則每一分為四兩今得二分即八兩/也五分斤之三是將一斤分為五分則
     每一分為三兩二錢今得三分即九兩/六錢也三數相加共得二十二兩九錢
     三分三釐有餘内收十六兩為一斤餘/六兩九錢三分三釐有餘即六十分斤
     之二十六也葢以十六兩分為六十分/每分得二錢六分六釐有餘今六兩九
     錢三分三釐有餘有二十六倍二錢/六分六釐有餘即為二十六分也
設如有五分丈之三又四分丈之一又五分丈之一
 相加求總數
[007-14b]
     法因五分丈之三與五分丈之一兩分
     母相同故直併其兩分子三與一為五
     分丈之四再以五分丈之四與四分丈
     之一依互乘法相加得二十分丈之二
     十一以前分母五與後分母四相乘得/二十為共母數以前分母五乘後
     分子一得五又以後分母四乘前分子/四得十六相加得二十一是為二十分
     丈之二/十一因子數大於母數乃於共子數
     二十一内減去共母數二十為一整數
     餘一為零數即得一丈零二十分丈之
[007-14b]
     一為總數也如以真數明之其五分丈/之三即六尺也其四分丈
[007-15a]
     之一即二尺五寸也其五分丈之一即/二尺也三數相加得一丈零五寸即一
     丈零二十分丈之一葢一丈/分為二十分每分得五寸也
設如有三分兩之二又四分兩之三又十二分兩之
 四相加求總數
     法以三分之二與四分之三用互乘法
     相加得十二分兩之十七以前分母三/與後分母四
     相乘得十二為共母數以前分母三乘/後分子三得九又以後分母四乘前分
     子二得八相加得十七/是為十二分兩之十七此所得之十二
[007-15b]
     分兩之十七與第三分母相同即以前
     兩分所得共子十七與後一分子四相
     加得二十一是為十二分兩之二十一
     因子數大於母數乃於共子數二十一
     内減去共母數十二為一整數餘九為
     零數即得一兩零十二分兩之九為總
     數也如以真數明之其三分兩之二即/六錢六分六釐有餘也其四分兩
     之三即七錢五分也其十二分兩之四/即三錢三分三釐有餘也三數相加得
     一兩七錢四分九釐有餘收作七錢五/分即一兩零十二分兩之九葢十二分
[007-15b]
     兩之九即七/錢五分也
[007-16a]
  減法
凡竒零數相減兩分母同者即將兩分子相減為餘

設如有十一分丈之七減十一分丈之五求餘數
     法以十一分丈之七與十一分丈之五
     左右列之將兩分子五與七相減餘二
     即得十一分丈之二為餘數也葢因兩
     分母同為十一分則兩分子亦同為十
[007-16b]
     一分中之零分故徑將兩分子相減餘
     二亦仍為十一分中之二分是以定為
     十一分丈之二此分母相同之減法也
     如以真數明之十一分丈之七是將一/丈分為十一分則每一分得九寸零九
     釐零九絲有餘其中之七分即六尺三/寸六分三釐六豪三絲有餘也其中之
     五分即四尺五寸四分五釐四豪五絲/有餘也相減餘一尺八寸一分八釐一
     豪八絲有餘即十一分中之二分也葢/九寸零九釐零九絲有餘為一分則一
     尺八寸一分八釐一豪八絲有餘即為/二分也如以十一分除二分亦得一尺
     八寸一分八釐一豪八絲不盡之數是/十一分與一丈之比即同於二分與一
[007-16b]
     尺八寸一分八釐一/豪八絲有餘之比也
[007-17a]
凡竒零數相減兩分母不同者則用互乘法以兩分
母相乘為共母數再以前分母乘後分子又以後分
母乘前分子以所得兩子數相減為餘數
設如有三分丈之二減五分丈之三求餘數
     法以兩分母三五相乘得一十五為共
     母數再以前分母三乘後分子三得九
     又以後分母五乘前分子二得一十將
     所得兩分子相減餘一即得十五分丈
[007-17b]
     之一為餘數也此法用互乘齊其分母
     將三分丈之二變為十五分丈之十將
     五分丈之三變為十五分丈之九兩分
     母既同為十五分故兩分子十與九相
     減餘一為十五分丈之一也此分母不
     同之減法也如兩分母不同可以加減
     之使其相同者減之亦如加法中例故
     不重設如以真數明之其三分丈之二/即六尺六寸六分六釐有餘也
     其五分丈之三即六尺也相減餘六寸/六分六釐有餘即十五分丈之一也葢
[007-17b]
     一丈分為十五分每一分/得六寸六分六釐不盡也
[007-18a]
凡零數與整數相減者即以分子與分母相減為餘

設如有米一石内減七分石之五求餘數
     法以整數一石變為七分為分母與分
     子五相減餘二即得七分石之二為餘
     數也葢將一石分為七分而於此七分
     内減去五分則所餘即七分石之二此
     整數中減零數法也如以真數明之將/一石分為七分則
[007-18b]
     每一分得一斗四升二合八勺五撮七/抄有餘其五分即七斗一升四合二勺
     八撮五抄有餘也與一石相減餘二斗/八升五合七勺一撮四抄有餘即七分
     石之二也葢一斗四升二合八勺五撮/七抄有餘為一分則二斗八升五合七
     勺一撮四抄有/餘自為二分也
凡整數帶零分相減者將兩零分用互乘法變為同
母然後減之
設如有銀八兩零五分兩之四内減五兩零七分兩
 之三求餘數
     法以八兩之零數五分之四與五兩之
[007-18b]
     零數七分之三用互乘法兩分母七五
[007-19a]
     相乘得三十五為共母數再以五兩之
     分母七乘八兩之分子四得二十八為
     八兩所變之子數又以八兩之分母五
     乘五兩之分子三得十五為五兩所變
     之子數乃以八兩五兩二整數相減餘
     三兩以兩子數二十八與十五相減餘
     十三即得三兩又三十五分兩之十三
     為餘數也葢既將兩子數變為同母則
[007-19b]
     八兩者為八兩零三十五分兩之二十
     八五兩者為五兩零三十五分兩之十
     五分母既同故以子數相減而得餘數
     此整數帶零分相減之法也如以真數/明之其八
     兩零五分兩之四即八兩八錢也其五/兩零七分兩之三即五兩四錢二分八
     釐五豪七絲有餘也相減餘三兩三錢/七分一釐四豪二絲有餘其三兩為整
     數其三錢七分一釐四豪二絲有餘即/三十五分中之十三分也葢將一兩分
     為三十五分則每一分得二分八釐五/豪七絲有餘其十三分即三錢七分一
     釐四豪二/絲有餘也
[007-19b]
凡子母數三四種相減者其分母分子俱不同則用
[007-20a]
互乘以齊其分母按前法減之如兩分母相同者即
將其兩分子相減而與所餘之分母不同者用互乘
以減之又或有兩分母相乘後所得之數與所餘之
分母相同者則直以所得之分子與所餘之分子相
減即得餘數其理與加法同
設如有銅九斤零八分斤之七内減二斤零四分斤
 之一又減八分斤之三求餘數
     法以九斤内減去二斤餘七斤為整數
[007-20b]
     乃以八分斤之七與四分斤之一用互
     乘法將八分斤之七變為三十二分斤
     之二十八將四分斤之一變為三十二
     分斤之八兩數相減餘三十二分斤之
     二十又以三十二分斤之二十與第三
     零數八分斤之三用互乘法將三十二
     分斤之二十變為二百五十六分斤之
     一百六十將八分斤之三變為二百五
     十六分斤之九十六兩數相減餘二百
[007-20b]
     五十六分斤之六十四合前整數共得
[007-21a]
     七斤又二百五十六分斤之六十四為
     餘數也如用約法則為七斤零四分斤
     之一葢二百五十六為四倍六十四今
     以六十四為一分則二百五十六自得
     四分也其餘幾種零分内有兩分母相
     同或兩分母乘出之數與餘一分母相
     同俱照同分母之例減之故不再設或
     零分有四種五種者亦俱倣此此幾種
[007-21b]
     零分相減之法也如以真數明之其九/斤零八分斤之七即
     九斤十四兩也内減二斤零四分斤之/一是減去二斤四兩又減去八分斤之
     三是又減去六兩也餘七斤零四兩即/七斤零四分斤之一也葢一斤分為四
     分則每一分得四兩今七斤零四/兩故謂七斤零四分斤之一也
  乘法
零分與零分相乘者兩分母兩分子各相乘所得之
數即乘出之分也
設如有三分丈之二與五分丈之四相乘問得幾何
     法以兩分母三五相乘得十五分為乘
[007-21b]
     出之分母又以兩分子二四相乘得八
[007-22a]
     分為乘出之分子即定為十五分丈之
     八為所得之數也今以圖明之如甲乙
     為一丈而甲丁亦為一丈作一甲乙丙
     丁正方形將甲丁分為三分甲乙分為
     五分内共容十五分即共母數乃兩分
     母三與五乘出之數也其甲丁之三分
     之二為甲戊甲乙之五分之四為甲己
     二數相乘得甲已庚戊長方形内容八
[007-22b]
     分即共子數乃兩分子二與四乘出之
     數也甲乙丙丁正方與甲己庚戊長方
     相較即知甲己庚戊長方為甲乙丙丁
     正方中之十五分之八矣此零分乘零
     分之法也如以真數明之其三分丈之/二即六尺六寸六分六釐有
     餘也其五分丈之四即八尺也相乘得/五十三尺三十三寸三十三分三十三
     釐有餘即十五分丈之八也葢一丈正/方内容百尺分為十五分則每一分得
     六尺六十六寸六十六分六十六釐有/餘今得其八分即五十三尺三十三寸
     三十三分三十/三釐有餘也
[007-22b]
零分與整數相乘者分子乘整數而以分母歸之即
[007-23a]
所得之數也
設如有七人每人賞銀五分兩之二問共得若干
     法以分子二與七人相乘得十四以分
     母五歸之得二兩八錢即七人共得之
     數也葢五分兩之二是一兩分為五分
     而得其二分也一人得二分則七人必
     共得十四分既以一兩分為五分今滿
     五分收為一兩故以五歸十四得二兩
[007-23b]
     八錢為共數此零分與整數相乘之法
     也
整數帶零分與整數乘者先將整數俱通為零分相
乘得數以分母自乘之數除之即得
設如有整數二丈又四分丈之一與八丈相乘問得
 幾何
     法以整數二丈用分母四通為八分加
     入分子一共得九分又以整數八丈用
     分母四通為三十二分乃與九分相乘
[007-23b]
     得二百八十八分以分母四自乘之一
[007-24a]
     十六除之得一十八即定為一丈正方
     一十八為所得之數也此法葢以一丈
     通為四分是四四自乘之數始合一丈
     自乘之數故一十六者即分母四自乘
     之數未乘之先既以四通之故相乘之
     後必以四四自乘之數收之乃得真數
     此整數帶零分與整數相乘之法也如/以
     真數明之其二丈又四分丈之一即二/丈二尺五寸與八丈相乘即得一十八
[007-24b]
     丈/也
整數帶零分與零分乘者先將整數通為零分相乘
得數以分母自乘之數除之即得
設如有整數二丈又五分丈之四與零分五分丈之
 三相乘問得幾何
     法以整數二丈用分母五通為十分加
     入分子四得十四分乃與零分分子三
     相乘得四十二以分母五自乘之二十
     五除之得一六八即定為一丈正方一
[007-24b]
     又一尺正方六十八為所得之數也此
[007-25a]
     法葢以一丈通為五分是五五自乘之
     數始合一丈自乘之數故以二十五除
     之又二丈之零分五分之四與所乘之
     零分五分之三為同母故用此法如兩
     零分分母不同則先將兩零分用互乘
     法變為同母然後用所變之分母化整
     為零再與彼一零分相乘得數以所變
     之分母自乘之數除之即得乘出之數
[007-25b]
     法見/下節此整數帶零分與零分相乘之法
     也如以真數明之其二丈又五分丈之/四即二丈八尺也其五分丈之三即
     六尺也以六尺與二丈八尺/相乘即得一丈六十八尺也
整數帶零分與整數帶零分相乘而零分之分母不
同者則以兩零分之分母用互乘法齊其數然後各
以相同之分母化整為零兩數相乘再以同母自乘
之數除之即得如所帶零分本為/同母者可省互乘
設如有長方田闊二丈又四分丈之三長三丈又三
 分丈之二求積
[007-25b]
     法以兩分母四三相乘得一十二為共
[007-26a]
     母數以前分母四乘後分子二得八以
     後分母三乘前分子三得九為兩分子
     數乃以共母數十二化闊二丈為二十
     四分加入分子九得三十三分為闊邊
     所變之分數又以共母數十二化長三
     丈為三十六分加入分子八得四十四
     分為長邊所變之分數爰以闊三十三
     分與長四十四分相乘得一千四百五
[007-26b]
     十二乃以共母數十二自乘之一百四
     十四除之得一○○八餘四八不盡即
     定為一丈正方十一尺正方八零一百
     四十四分尺之四十八約為三分尺之
     一為所得之數也此整數帶零分與整
     數帶零分相乘之法也如以真數明之/其闊二丈又四
     分丈之三即二丈七尺五寸也其長三/丈又三分丈之二即三丈六尺六寸六
     分六釐有餘也以二丈七尺五寸與三/丈六尺六寸六分六釐有餘相乘即得
     一十丈零八/尺有餘也
[007-26b]
大分下又帶小分相乘者其例有四所謂大分下帶/小分者是將大
[007-27a]
分之一分又分為幾分如大分五分之三又帶小分/四分之一是將大分五分之三之一分又分為四分
而得其/一分也有大小分母俱同者有大小分母俱不同者
有大分母同而小分母不同者有大分母不同而小
分母同者今以一法馭之總以小分母通大分母為
母數又以小分母通大分子加入小分子為子數然
後以所變之兩母數兩子數對乘即得總以小分母/通之者葢小
分母又為大分母之每一分之幾分小分不能使大/大分可以變小使大分母大分子俱變為小分母一
體然後可以相乘乘之即所以通之/也設法中以度數明之其理自顯
[007-27b]
設如有甲數五分丈之三又帶此一分之四分之一
 與乙數五分丈之四又帶此一分之四分之二相
 乘問得幾何此大小分母/俱同者也
     法以甲數小分母四通大分母五得二
     十仍以小分母四通大分子三得一十
     二再加入小分子一得一十三共得二
     十分之十三為甲大小分所變之數又
     以乙數小分母四通大分母五得二十
     仍以小分母四通大分子四得一十六
[007-27b]
     再加入小分子二得一十八共得二十
[007-28a]
     分之十八為乙大小分所變之數然後
     以甲所變之分母二十與乙所變之分
     母二十相乘得四百分為乘出之分母
     又以甲所變之分子十三與乙所變之
     分子十八相乘得二百三十四分為乘
     出之分子即定為四百分丈之二百三
     十四為所得之數也此法甲乙之小分/母俱為四故將其
     大分母之每分亦俱化為四分又將大/分子之每分亦俱化為四分使大分與
[007-28b]
     小分之子母一體然後乘之今以度數/明之甲之五分丈之三乃一丈内之六
     尺其所帶小分之四分之一乃二尺内/之五寸是甲數共為六尺五寸乙之五
     分丈之四乃一丈内之八尺其所帶小/分之四分之二乃二尺内之一尺是乙
     數共為九尺六尺五寸與九尺相乘得/五十八尺五十寸是一丈正方為一百
     尺而得其五十八尺又小餘五十寸也/若以分母四乘一百尺得四百分又乘
     得數五十八尺五十寸得二百三十四/分故為四百分之二百三十四也若以
     尺隨寸命之則五十八尺五十寸又為/五千八百五十寸以大分每一分通為
     小分四分則每一千寸分為四分每分/得二百五十寸以二百五十寸歸五千
     八百五十寸得二十三寸四十分乃四/十分中之二十三又小零分之四分進
[007-28b]
     而命為丈則為四百分/丈之二百三十四也
[007-29a]
設如有甲數四分丈之三又帶此一分之七分之二
 與乙數九分丈之五又帶此一分之三分之一相
 乘問得幾何此大小分母/俱不同者也
     法以甲數小分母七通大分母四得二
     十八仍以小分母七通大分子三得二
     十一再加入小分子二得二十三共得
     二十八分之二十三為甲大小分所變
     之數又以乙數小分母三通大分母九
[007-29b]
     得二十七仍以小分母三通大分子五
     得一十五再加入小分子一得一十六
     共得二十七分之一十六為乙大小分
     所變之數然後以甲所變之分母二十
     八與乙所變之分母二十七相乘得七
     百五十六分為乘出之分母又以甲所
     變之分子二十三與乙所變之分子一
     十六相乘得三百六十八分為乘出之
     分子即定為七百五十六分丈之三百
[007-29b]
     六十八為所得之數也如以真數明之/甲四分丈之三
[007-30a]
     即一丈内之七尺五寸又帶小分七分/之二即二尺五寸内之七寸一分四釐
     二豪有餘是甲數共為八尺二寸一分/四釐二豪有餘也乙九分丈之五即一
     丈内之五尺五寸五分五釐五豪有餘/又帶小分三分之一即一尺一寸一分
     一釐一豪有餘内之三寸七分零三豪/有餘是乙共為五尺九寸二分五釐九
     豪有餘也兩數相乘得四十八尺六十/七寸六十五分有餘即七百五十六分
     丈之三百六十八也如以七百五十六/分除三百六十八分亦得四十八尺六
     十七寸六十五分不盡之數葢七百五/十六分為一百尺則三百六十八分自
     得四十八尺六十七/寸六十五分有餘也
[007-30b]
設如有甲數八分丈之三又帶此一分之四分之一
 與乙數八分丈之四又帶此一分之六分之五相
 乘問得幾何此大分母同而小/分母不同者也
     法以甲數小分母四通大分母八得三
     十二仍以小分母四通大分子三得一
     十二再加入小分子一得一十三共得
     三十二分之一十三為甲大小分所變
     之數又以乙數小分母六通大分母八
     得四十八仍以小分母六通大分子四
[007-30b]
     得二十四再加入小分子五得二十九
[007-31a]
     共得四十八分之二十九為乙大小分
     所變之數然後以甲所變之分母三十
     二與乙所變之分母四十八相乘得一
     千五百三十六分為乘出之分母又以
     甲所變之分子十三與乙所變之分子
     二十九相乘得三百七十七分為乘出
     之分子即定為一千五百三十六分丈
     之三百七十七為所得之數也如以真/數明之
[007-31b]
     甲八分丈之三即三尺七寸五分又帶/此一分之四分之一即三寸一分二釐
     五豪是甲數共為四尺零六分二釐五/豪也乙八分丈之四即五尺又帶此一
     分之六分之五即一尺零四分一釐六/豪有餘是乙數共為六尺零四分一釐
     六豪有餘也兩數相乘得二十四尺五/十四寸四十二分有餘即一千五百三
     十六分丈之三百七十七也如以一千/五百三十六分除三百七十七分亦得
     二十四尺五十四寸四十二分不盡之/數葢一千五百三十六分為一百尺則
     三百七十七分自得二十四尺/五十四寸四十二分有餘也
設如有甲數六分丈之四又帶此一分之五分之一
 與乙數九分丈之七又帶此一分之五分之二相
[007-31b]
 乘問得幾何此大分母不同而/小分母同者也
[007-32a]
     法以甲數小分母五通大分母六得三
     十仍以小分母五通大分子四得二十
     再加入小分子一得二十一共得三十
     分丈之二十一為甲大小分所變之數
     又以乙數小分母五通大分母九得四
     十五仍以小分母五通大分子七得三
     十五再加入小分子二得三十七共得
     四十五分之三十七為乙大小分所變
[007-32b]
     之數然後以甲所變之分母三十與乙
     所變之分母四十五相乘得一千三百
     五十分為乘出之分母又以甲所變之
     分子二十一與乙所變之分子三十七
     相乘得七百七十七分為乘出之分子
     即定為一千三百五十分之七百七十
     七為所得之數也如以真數明之甲六/分丈之四即六尺六
     寸六分六釐六豪有餘又帶此一分之/五分之一即三寸三分三釐三豪有餘
     是甲數共為六尺九寸九分九釐九豪/有餘也乙九分丈之七即七尺七寸七
[007-32b]
     分七釐七豪有餘又帶此一分之五分/之二即四寸四分四釐四豪有餘是乙
[007-33a]
     數共為八尺二寸二分二釐二豪有餘/也兩數相乘得五十七尺五十五寸五
     十五分有餘即一千三百五十分丈之/七百七十七也如以一千三百五十分
     除七百七十七分亦得五十七尺五十/五寸五十五分不盡之數葢一千三百
     五十分為一百尺則七百七十七分自/得五十七尺五十五寸五十五分有餘
     也/
  除法
零分歸除零分者兩分母兩分子各自除之所得之
數即除出之分也如有竒零不盡者用互乘法齊之
[007-33b]
即得分數其比例與除出之法同
設如有九分丈之二以三分丈之一除之求得幾何
     法以九分丈之二為實三分丈之一為
     法以法分母三除實分母九得三為除
     出之分母又以法分子一除實分子二
     仍得二為除出之分子即定為三分丈
     之二為所得之數也此法即乘法内兩
     分母兩分子各相乘為所得之數者轉
     用之耳此零分除零分之法也
[007-33b]
     又法以互乘代除以實分母九乘法分
[007-34a]
     子一得九為除出之分母又以法分母
     三乘實分子二得六為除出之分子共
     得九分丈之六即所求之數也此法與
     前法所得之分母分子之數雖不同而
     理則一前法之三分之二與此法之九
     分之六其比例實同葢前法以法除實
     其得數為減分之比例此法以兩數互
     乘其得數為加分之比例故九分之六
[007-34b]
     即三分之二也但法中不用兩分母相
     乘之數省去一層耳如欲明晰其故則
     以兩分母九與三相乘得二十七法分
     母三與實分子二相乘得六實分母九
     與法分子一相乘得九是將三分之一
     變為二十七分之九將九分之二變為
     二十七分之六其兩分母既等則其兩
     分子自成比例故九與六之比即同於
     三與二之比九分之六以三約之非三
[007-34b]
     分之二耶如以真數明之實九分丈之/二為面積即二十二尺二十
[007-35a]
     二寸二十二分二十二釐有餘也法三/分丈之一為邊線即三尺三寸三分三
     釐有餘也除之得六尺六寸六分六釐/有餘即三分丈之二也如以三分除二
     分亦得六尺六寸六分六釐不盡之數/葢三分為一丈其二分自得六尺六寸
     六分六釐/有餘也
整數歸除零分者分母通整數以除分子即得所求
之數
設如有五分丈之三以八丈除之求得幾何
     法以分子三為實以分母五通整數八
[007-35b]
     丈得四十為法除之得七寸五分即所
     求之數也此法以五分乘八丈者是分
     母通整數將每丈俱通為五分也八丈
     既通為四十分則五分之三之每一分
     即與四十分中之每一分同等然而零
     數三分以四十分除之而得七寸五分
     者則又為變分為尺寸之比例矣四十
     分與一丈之比即同於三分與七寸五
     分之比此整數除零分之法也
[007-35b]
零分歸除整數者分母通整數而以分子除之即得
[007-36a]
所求之數
設如有六丈以三分丈之二除之求得幾何
     法以分母三通整數六丈得一十八為
     實以分子二為法除之得九丈即所求
     之數也此法以三分乘六丈者是將每
     丈俱通為三分也六丈既通為十八分
     則十八分中之每一分與三分之二之
     每一分同等故以分子二除十八得九
[007-36b]
     丈此零分除整數之法也
整數帶零分歸除整數者先將法實之兩整數俱通
為零分而於法中加入分子除之即得
設如有二十四丈以二丈零三分丈之二除之求得
 幾何
     法以分母三通二十四丈得七十二為
     實又以分母三通二丈得六加入分子
     二得八為法除之得九丈即所求之數
     也此法以分母三通實二十四丈是將
[007-36b]
     實之每丈俱化為三分也又以分母三
[007-37a]
     通法二丈是將法之每丈亦俱化為三
     分也兩整數俱化為同等則法實一體
     故法除實而得所求之數也此整數帶
     零分除整數之法也
整數歸除整數帶零分者先將法實之兩整數俱通
為零分而於實中加入分子以法除之即得
設如有二丈零三分丈之二以二十四丈除之求得
 幾何即以前法數目作/題者取其易明也
[007-37b]
     法以分母三通二丈得六加入分子二
     得八為實又以分母三通二十四丈得
     七十二為法除之得一尺一寸一分不
     盡約為九分丈之一即所求之數也此
     法以分母三通法實之兩整數者是將
     兩整數之每丈俱通為三分也一得七
     十二分一得八分以七十二與八之比
     即同於九與一之比故約為九分之一
     且以七十二除八得一一一不盡之數
[007-37b]
     定為一尺一寸一分有餘者葢七十二
[007-38a]
     分與一丈之比即同於八分與一尺一
     寸一分有餘之比也此整數除整數帶
     零分之法也
整數帶零分歸除零分者先將整數通為零分加入
分子除之即得
設如有五分丈之四以三丈零八分丈之一除之求
 得幾何
     法以五分丈之四為實以法之分母八
[007-38b]
     通三丈得二十四加入分子一得二十
     五共得八分丈之二十五為法用兩分
     母兩分子各自歸除之法以法分母八
     除實分母五得六二五為除出之分母
     以法分子二五除實分子四得一六○
     為除出之分子乃以所得之分母除所
     得之分子得二尺五寸六分即所求之
     數也葢法之三丈又八分丈之一乃三
     丈一尺二寸五分也實之五分丈之四
[007-38b]
     乃八尺也以三丈一尺二寸五分歸除
[007-39a]
     八尺每丈得二尺五寸六分是三丈一
     尺二寸五分與一丈之比即同於八尺
     與二尺五寸六分之比也今以分母六
     二五除分子一六○亦得二尺五寸六
     分是六二五與一丈之比即同於一六
     ○與二尺五寸六分之比也然六二五
     與三丈一尺二寸五分之比又即同於
     一六○與八尺之比而皆為加倍之比
[007-39b]
     例也此整數帶零分除零分之法也又
     或整數通為零分加入分子之後以法
     除實而數有竒零不盡者則用互乘代
     除之法如前數已將整數通為八分丈
     之二十五為法乃以實分母五乘法分
     子二十五得一百二十五為除出之分
     母又以法分母八乘實分子四得三十
     二為除出之分子乃以所得之分母除
     所得之分子亦得二尺五寸六分葢一
[007-39b]
     百二十五分與一丈之比即同於三十
[007-40a]
     二分與二尺五寸六分之比也後法之
     有竒零數而用互乘代除者皆同此例
零分歸除整數帶零分者先將整數通為零分加入
分子以法除之即得
設如有四丈又三分丈之二以七分丈之四除之求
 得幾何
     法以實之分母三通四丈得十二加入
     分子二得十四共得三分丈之十四為
[007-40b]
     實以七分丈之四為法用互乘代除之
     法以實分母三乘法分子四得十二為
     除出之分母以法分母七乘實分子一
     十四得九十八為除出之分子乃以所
     得之分母除所得之分子得八尺仍餘
     二不盡命為十二分尺之二以法約之
     為六分尺之一共得八尺零六分尺之
     一即所求之數也葢十二與一尺之比
     即同於九十八與八尺有餘之比也此
[007-40b]
     零分除整數帶零分之法也
[007-41a]
整數帶零分歸除整數帶零分者先各以整數通為
零分加入分子而以法除實即得
設如有田五畝又三分畝之二共租銀五兩又二十
 七分兩之一求每畝得租銀幾何
     法以銀分母二十七通五兩得一百三
     十五加入分子一得一百三十六共得
     二十七分兩之一百三十六為實又以
     田分母三通五畝得十五加入分子二
[007-41b]
     得十七共得三分畝之十七為法用互
     乘代除之法以銀分母二十七乘田分
     子一十七得四百五十九為除出之分
     母以田分母三乘銀分子一百三十六
     得四百零八為除出之分子乃以所得
     之分母除所得之分子得八錢八分八
     釐零四百五十九分釐之四百零八即
     每畝所租之銀數也葢四五九與一兩
     之比即同於四○八與八錢八分八釐
[007-41b]
     有餘之比也此整數帶零分除整數帶
[007-42a]
     零分之法也
大零分下又帶小零分相除者其例有四有大小分/母俱同者
有大小分母俱不同者有大分母同而小分/母不同者有大分母不同而小分母同者今以一
法馭之總以小分母通大分母為母數又以小分母
通大分子加入小分子為子數然後以所變之子母
數用互乘代除之法歸之即得如用子母各自對除/亦得但恐數有竒零
故用/此法
設如有甲八分丈之七又帶此一分之五分之三以
[007-42b]
 乙五分丈之二又帶此一分之四分之一除之求
 
     法以甲小分母五通大分母八得四十
     仍以小分母五通大分子七得三十五
     再加入小分子三得三十八共得四十
     分丈之三十八為甲大小分所變之數
     以之為實又以乙小分母四通大分母
     五得二十仍以小分母四通大分子二
     得八再加入小分子一得九共得二十
[007-42b]
     分丈之九為乙大小分所變之數以之
[007-43a]
      為法然後用互乘代除之法以甲所變
      之分母四十乘乙所變之分子九得三
      百六十為除出之分母又以乙所變之
      分母二十乘甲所變之分子三十八得
      七百六十為除出之分子乃以所得之
      分母三百六十除所得之分子七百六
      十得二尺一寸一分一釐零三百六十
      分釐之四十約為九分釐之一即所求
[007-43b]
      之數也葢三六○與一尺之比即同於
      七六○與二尺一寸一分一釐有餘之
      比也此大零分下帶小零分相除之法
      也其分母分子俱同及分母同而分子/不同分母不同而分子同者皆用此
      例故不/重設
 
 
 
 
[007-43b]
御製數理精蘊下編卷二