[030-1a] 
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷二十五
體部三
各體形總論
直線體
[030-2a]
各體形總論
體之為形成於面面之相合為厚角故凡體形皆自
厚角所合而生面之所合不能成厚角則體亦不能
成形惟渾圓則無角然求積之法亦合衆尖體而成
渾圓是雖無角而實賴於角也方體有正方斜方尖
方方環陽馬塹堵之異圓體則有渾圓長圓尖圓之
殊至於各等面體惟成於三角四角五角之面而兼
盡乎方圓之理函於圓者其角切於球之外面函圓
[030-2b]
者球之外面切於各面之中心而各體又有互相容
之妙因其各面皆等故其中心至每邊之線皆同就
其各形而分視之則成各等邊面形因其各形而細
剖之則成各同底尖體形然求積總以勾股為準則
葢體成於面面生於線理固然也有積求邊則必以
方圓為比例是以邊線等者體積不等如圓球徑與
各等面體之一邊俱設為一○○○則正方體積為
一○○○○○○○○○圓球體積為五二三五九
八七七五四面體積為一一七八五一一二九八面
[030-2b]
體積為四七一四○四五二一十二面體積為七六
[030-3a]
六三一一八九○三二十面體積為二一八一六九
四九六九此各形之體積皆以方積比例者也或以
圓球體積設為一○○○○○○○○○則圓球徑
得一二四○小餘七○○九八如圓球徑與各等面
體之一邊俱設為一二四○小餘七○○九八則圓
球體積為一○○○○○○○○○正方體積為一
九○九八五九三一七四面體積為二二五○七九
○七七八面體積為九○○三一六三一七十二面
[030-3b]
體積為一四六三五四七九○五一二十面體積為
四一六六七三○四六三此各形之體積皆以球積
比例者也葢因各形之邊線相等體積不同故皆定
為體與體之比例也體積等者邊線不等如圓球體
積與各等面體積俱設為一○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○○○○○○則正方體之
每邊為一○○○○○○○○而圓球徑為一二四
○七○○九八四面體之每邊為二○三九六四八
九○八面體之每邊為一二八四八九八二九十二
[030-3b]
面體之每邊為五○七二二二○七二十面體之每
[030-4a]
邊為七七一○二五三四此各形之邊線皆以方邊
比例者也或以圓球徑設為一○○○○○○○○
則圓球體積為五二三五九八七七五五九八二九
八八七三○七一九二三如圓球體積與各等面體
積俱設為五二三五九八七七五五九八二九八八
七三○七一九二三則圓球徑為一○○○○○○
○○正方體之每邊為八○五九九五九七四面體
之每邊為一六四三九四八八一八面體之每邊為
[030-4b]
一○三五六二二八五十二面體之每邊為四○八
八一八九五二十面體之每邊為六二一四四三三
二此各形之邊線皆以球徑比例者也葢因各形之
體積相等邊線不同故皆定為線與線之比例也要
之邊求積者亦皆本於勾股而積求邊者一皆歸之
正方此方所以為立法之原入算之本也
[030-5a]
直線體
設如正方體每邊二尺今將其積倍之問得方邊幾
何
法以每邊二尺自乘再乘得八尺倍之
得一十六尺開立方得二尺五寸一分
有餘即所求之方邊數也如圖甲乙丙
丁正方體每邊二尺其體積八尺倍之
得一十六尺即如戊己庚辛正方體積
[030-5b]
每邊得二尺五寸一分有餘試於戊己
庚辛正方體形内作甲乙丙丁正方體
形則其外之戊己乙甲壬丁丙庚辛癸
磬折體形即與甲乙丙丁正方體積相
等也
設如正方體每邊二尺今將其積八倍之問得方邊
幾何
法以每邊二尺倍之得四尺即所求之
方邊數也如圖甲乙丙丁正方體每邊
[030-5b]
二尺其體積八尺八倍之得六十四尺
[030-6a]
即如戊己庚辛正方體積其每邊得甲
乙丙丁正方形每邊之二倍是故不用
八倍其積開立方止以毎邊二尺倍之
而即得也此法葢因兩體積之比例比
之兩界之比例為連比例隔二位相加
之比例見幾何原本/十巻第四節故戊己庚辛正方
體積六十四尺與甲乙丙丁正方體積
之八尺相比為八分之一而戊己庚辛
[030-6b]
正方邊之四尺與甲乙丙丁正方邊之
二尺之比為二分之一夫六十四與三
十二三十二與十六十六與八八與四
四與二皆為二分之一之連比例而六
十四與八之比其間隔三十二與十六
之兩位故為連比例隔二位相加之比
例也
設如長方體長一尺二寸闊八寸高四寸今將其積
倍之仍與原形為同式形問得長闊高各幾何
[030-6b]
法以長一尺二寸自乘再乘得一尺七
[030-7a]
百二十八寸倍之得三尺四百五十六
寸開立方得一尺五寸一分一釐有餘
即所求之長既得長乃以原長一尺二
寸為一率原闊八寸為二率今所得之
長一尺五寸一分一釐有餘為三率求
得四率一尺零七釐有餘即所求之闊
也又以原長一尺二寸為一率原高四
寸為二率今所得之長一尺五寸一分
[030-7b]
一釐有餘為三率求得四率五寸零三
釐有餘即所求之高也或以闊八寸自
乘再乘倍之開立方亦得一尺零七釐
有餘為所求之闊以高四寸自乘再乘
倍之開立方亦得五寸零三釐有餘為
所求之高也如圖甲乙丙丁長方體甲
乙高四寸丁戊闊八寸甲戊長一尺二
寸將其積倍之即如己庚辛壬長方體
此兩長方體積之比例即同於其相當
[030-7b]
二界各作兩正方體積之比例見幾何/原本十
[030-8a]
巻第/五節故依甲乙丙丁長方體之甲戊長
界作甲戊丑子正方體將其積倍之即
如己庚辛壬長方體之己癸長界所作
之己癸卯寅正方體故開立方得己癸
為所求之長也既得己癸之長則以甲
戊與丁戊之比即同於己癸與壬癸之
比得壬癸為所求之闊又甲戊與甲乙
之比同於己癸與己庚之比得己庚為
[030-8b]
所求之高也若以原闊自乘再乘倍之
開立方亦得一尺零七釐有餘為今所
求之闊原高自乘再乘倍之開立方亦
得五寸零三釐有餘為今所求之高皆
如以其相當二界各作正方體互相為
比之理也
設如長方體長一尺二寸闊八寸高四寸今將其積
八倍之仍與原形為同式形問得長闊高各幾何
法以長一尺二寸倍之得二尺四寸即
[030-8b]
所求之長又以原闊八寸倍之得一尺
[030-9a]
六寸即所求之闊又以原高四寸倍之
得八寸即所求之高也如圖甲乙丙丁
長方體甲乙高四寸丁戊闊八寸甲戊
長一尺二寸將其積八倍之即如巳庚
辛壬長方體其每邊得甲乙丙丁長方
體毎邊之二倍是故不用八倍其積開
立方止以各邊之數倍之而即得也此
法蓋因兩長方體之比例既同於其相
[030-9b]
當二界各作正方體之比例而兩正方
體之比例比之二界之比例為連比例
隔二位相加之比例故兩長方體積之
比例較之兩體各界之比例亦為連比
例隔二位相加之比例也
設如塹堵體形闊五尺長十二尺高七尺問積幾何
法以闊五尺與長十二尺相乘得六十
尺又以高七尺再乘得四百二十尺折
半得二百一十尺即塹堵體形之積也
[030-9b]
葢塹堵體形即平行二勾股面之三稜
[030-10a]
長體如甲乙丙丁戊己塹堵體形其兩
端之二面皆為勾股形一為甲乙丙一
為丁戊己俱平行以乙丙闊與丙丁長
相乘成乙丙丁己長方面形又以甲乙
高再乘成甲乙丙丁庚戊長方體形凡
平行面之長方體自其一面之對角線
平分為兩三稜體此兩三稜體之積相
等見幾何原本五/卷第十七節夫一長方體所分兩
[030-10b]
三稜體之積既相等則三稜體積必為
長方體積之一半故將所得之甲乙丙
丁庚戊長方體積折半即得甲乙丙丁
戊己塹堵體形之積也
又法以闊五尺與高七尺相乘得三十
五尺折半得一十七尺五寸與長十二
尺相乘得二百一十尺即塹堵體形之
積也如甲乙丙丁戊己塹堵體形以甲
乙高與乙丙闊相乘折半得甲乙丙一
[030-10b]
勾股面積又與丙丁長相乘即得甲乙
[030-11a]
丙丁戊己塹堵體形之積也
設如芻蕘體形闊四尺長十二尺高四尺問積幾何
法以闊四尺與長十二尺相乘得四十
八尺又與高四尺相乘得一百九十二
尺折半得九十六尺即芻蕘體形之積
也葢芻蕘體形即平行兩三角面之三
稜長體有直角為塹堵體/無直角為芻蕘體如甲乙丙丁
戊己芻蕘體形其兩端之二面皆為三
[030-11b]
角形一為甲乙丙一為丁戊巳俱平行
以乙丙闊與丙丁長相乘成乙丙丁已
長方面形又以甲庚高再乘成辛乙丙
丁壬癸長方體形凡平行面之三稜體
積為平行面方體積之一半見幾何原/本五卷第
二十/節故將所得之辛乙丙丁壬癸長方
體積折半即得甲乙丙丁戊己芻蕘體
形之積也
又法以闊四尺與高四尺相乘得一十
[030-11b]
六尺折半得八尺與長十二尺相乘得
[030-12a]
九十六尺即芻蕘體形之積也如甲乙
丙丁戊己芻蕘體形以乙丙闊與甲庚
高相乘折半得甲乙丙三角形面積又
與丙丁長相乘即得甲乙丙丁戊己芻
蕘體形之積也
設如方底尖體形底方毎邊五尺自尖至四角之斜
線皆六尺問自尖至底中立垂線之高幾何
法以底方每邊五尺求對角斜線法求
[030-12b]
得底方對角斜線七尺零七分一釐零
六絲有餘折半得三尺五寸三分五釐
五豪三絲有餘為勾以自尖至四角之
斜線六尺為弦用勾弦求股法求得股
四尺八寸四分七釐六豪八絲有餘即
自尖至底中立垂線之高數也如圖甲
乙丙丁戊方底尖體形先求得乙丙丁
戊底方面之乙丁對角斜線折半於己
得乙巳為勾以自尖至角之甲乙斜線
[030-12b]
為弦求得甲己股即自尖至底中立垂
[030-13a]
線之高也
又法以底方每邊五尺為平面三角形
之底以自尖至四角之斜線六尺為兩
腰用平面三角形求中垂線法求得一
面中垂線五尺四寸五分四釐三豪五
絲為弦以底方每邊五尺折半得二尺
五寸為勾求得股四尺八寸四分七釐
六豪七絲有餘即自尖至底中立垂線
[030-13b]
之高數也如圖甲乙丙丁戊尖方體其
四面皆為平面三角形一為甲乙丙一
為甲丙丁一為甲丁戊一為甲戊乙任
以甲乙丙三角形之乙丙為底以甲乙
甲丙為兩腰求得甲庚中垂線而以此
甲庚為弦底邉折半得庚己為勾求得
甲己股即自尖至底中立垂線之高也
設如方底尖體形底方每邊六尺高三尺問積幾何
法以下方每邊六尺自乘得三十六尺
[030-13b]
又以高三尺再乘得一百零八尺三歸
[030-14a]
之得三十六尺即方底尖體形之積也
如甲乙丙丁戊方底尖體形以乙丙一
邊自乘得乙丙丁戊正方面形又以甲
己高再乘得庚乙丁辛扁方體形此扁
方體與尖方體之底面積等其高又等
故庚乙丁辛一扁方體之積與甲乙丙
丁戊尖方體三形之積等見幾何原本/五卷第二十
三/節試將甲己高倍之得壬己與乙丙丁
[030-14b]
戊底面積相乘得癸乙丁子正方體形
此正方體之乙丙丁戊子寅癸丑癸乙
丙丑戊丁子寅乙戊寅癸丙丁子丑六
方面皆與尖方體之底面積等又自甲
心依各稜至各角剖之則成甲乙丙丁
戊甲子寅癸丑甲癸乙丙丑甲戊丁子
寅甲乙戊寅癸甲丙丁子丑六尖方體
此每一尖方體俱為倍高正方體之六
分之一既為倍高正方體之六分之一
[030-14b]
則必為同高扁方體之三分之一故將
[030-15a]
所得庚乙丁辛之同高方體積三分之
而得甲乙丙丁戊尖方體之積也
設如陽馬體形底方毎邊六尺高亦六尺問積幾何
法以底方毎邊六尺自乘得三十六尺
又以高六尺再乘得二百一十六尺三
歸之得七十二尺即陽馬體形之積也
如甲乙丙丁戊陽馬體形以乙丙一邊
自乘得乙丙丁戊正方面形又以甲丁
[030-15b]
高再乘得己乙丁甲正方體形此己乙
丁甲一正方體之積與甲乙丙丁戊陽
馬體三形之積等故三分之即得陽馬
體之積也此陽馬體與尖方體形雖不
同而法則一葢尖方體形尖在正中陽
馬體形尖在一隅然大凡體形其底面
積等高度又等則其體積亦必相等見/幾
何原本二巻/第二十二節故今陽馬體之乙丙丁戊
底面積即如尖方體之底其甲丁高度
[030-15b]
即如尖方體之高度故形雖不同而積
[030-16a]
則一也
設如鼈臑體形長與闊俱四尺高九尺問積幾何
法以長與闊四尺自乘得十六尺以高
九尺再乘得一百四十四尺六歸之得
二十四尺即鼈臑體形之積也葢鼈臑
體即勾股面之尖體如甲乙丙丁鼈臑
體形以丁丙長與乙丙闊相乘成乙丙
丁戊正方面形以甲丁高再乘成甲庚
[030-16b]
戊乙丙己長方體形此一長方體之積
與甲戊乙丙丁陽馬體三形之積等而
甲乙丙丁鼈臑體之積又為甲戊乙丙
丁陽馬體積之一半葢各類尖體其底
面積等其高又等則其體積亦等見幾/何原
本二卷第/二十二節今甲乙丙丁鼈臑體之乙丙
丁底積為甲戊乙丙丁陽馬體之乙丙
丁戊底面積之一半則甲乙丙丁鼈臑
體積亦必為甲戊乙丙丁陽馬體積之
[030-16b]
一半鼈臑體既為陽馬體之一半而陽
[030-17a]
馬體又為長方體之三分之一則鼈臑
體必為長方體之六分之一故將所得
甲庚戊乙丙己長方體積六分之即得
甲乙丙丁鼈臑體之積也又凡正方體
或長方體按法剖之即成塹堵陽馬鼈
臑各體而自得其相比之率也如圖甲
乙丙丁戊己正方體自其庚乙一面對
角線至對面戊辛對角斜線平分之即
[030-17b]
得甲乙辛戊己與庚乙丙丁戊二塹堵
體又將庚乙丙丁戊塹堵體自其上稜
戊角至乙對角依乙丙下稜斜剖之則
得戊乙丙丁辛一陽馬體乙丙戊庚一
鼈臑體又將戊乙丙丁辛陽馬體自其
戊乙相對斜稜平分之則得戊乙丁辛
與戊乙丙丁二鼈臑體夫一正方體剖
之得二塹堵體是塹堵體為正方體二
分之一也一塹堵體剖之得一陽馬體
[030-17b]
一鼈臑體而一陽馬體剖之又得二鼈
[030-18a]
臑體是陽馬體為塹堵體之三分之二
即為正方體之三分之一而鼈臑體為
塹堵體之三分之一即為正方體之六
分之一也
設如上下不等正方體形上方毎邊四尺下方毎邊
六尺高八尺問積幾何
法以上方每邊四尺自乘得一十六尺
下方每邊六尺自乘得三十六尺又以
[030-18b]
上方毎邊四尺與下方毎邊六尺相乘
得二十四尺三數相併得七十六尺與
高八尺相乘得六百零八尺三歸之得
二百零二尺六百六十六寸有餘即上
下不等正方體形之積也如甲乙丙丁
上下不等正方體形戊丁上方邊自乘
得甲戊丁己正方面形庚丙下方邊自
乘得乙庚丙辛正方面形戊丁上方邊
與庚丙下方邊相乘得壬癸子丑長方
[030-18b]
面形將此三方面形相併與高八尺相
[030-19a]
乘得三長方體形其一上下方面俱如
甲戊丁己其一上下方面俱如乙庚丙
辛其一上下方面俱如壬癸子丑葢乙
庚丙辛長方體比甲戊丁己長方體多
壬癸戊甲戊寅卯丁己丁子丑辰甲已
巳四方廉體又多乙壬甲辰癸庚寅戊
丁卯丙子已已丑辛四長廉體而壬癸
子丑長方體比甲戊丁巳長方體多壬
[030-19b]
癸戊甲巳丁子丑二方廉體若將共多
之六方廉體四長廉體俱截去則此三
長方體之上下方面必皆如甲戊丁己
乃以每一方廉體變為二塹堵體每一
長廉體變為三陽馬體共得十二塹堵
體十二陽馬體將甲戊丁已類三長方
體各加四塹堵體四陽馬體則皆成上
下不等三正方體故三歸之而得甲乙
丙丁上下不等一正方體形之積也
[030-19b]
又法以上方邊四尺與下方邊六尺相
[030-20a]
減餘二尺折半得一尺為一率高八尺
為二率下方邊六尺折半得三尺為三
率求得四率二十四尺為上下不等正
方體形上補成一尖方體之共高乃以
下方邊六尺自乘得三十六尺與所得
共高二十四尺相乘得八百六十四尺
三歸之得二百八十八尺為大尖方體
之積又以高八尺與共高二十四尺相
[030-20b]
減餘十六尺為上小尖方體之高以上
方邊四尺自乘得十六尺與上高十六
尺相乘得二百五十六尺三歸之得八
十五尺三百三十三寸有餘為上小尖
方體之積與大尖方體積二百八十八
尺相減餘二百零二尺六百六十六寸
有餘即上下不等正方體形之積也如
甲乙丙丁上下不等正方體形加戊甲
丁小尖方體形遂成戊乙丙大尖方體
[030-20b]
形先以上方邊與丁方邊相減折半如
[030-21a]
巳庚下方邊折半如己辛依勾股比例
巳庚與壬庚之比即同於己辛與戊辛
之比以戊辛與乙丙下方面相乘三歸
之得戊乙丙大尖方體積以戊癸與甲
丁上方面相乘三歸之得戊甲丁小尖
方體積於戊乙丙大尖方體積内減去
戊甲丁小尖方體積所餘必甲乙丙丁
上下不等正方體形之積也
[030-21b]
設如上下不等長方體形上方長四尺闊三尺下方
長八尺闊六尺高十尺問積幾何
法以上長四尺與上闊三尺相乘得十
二尺倍之得二十四尺下長八尺與下
闊六尺相乘得四十八尺倍之得九十
六尺又以上闊三尺與下長八尺相乘
得二十四尺以下闊六尺與上長四尺
相乘得二十四尺四數相併得一百六
十八尺與高十尺相乘得一千六百八
[030-21b]
十尺六歸之得二百八十尺即上下不
[030-22a]
等長方體形之積也如甲乙丙丁上下
不等長方體形戊丁上長與甲戊上闊
相乘得一甲戊丁庚長方面形倍之得
二甲戊丁庚長方面形已丙下長與乙
己下闊相乘得一乙己丙辛長方面形
倍之得二乙己丙辛長方面形甲戊上
闊與已丙下長相乘得一壬癸子丑長
方面形乙己下闊與戊丁上長相乘得
[030-22b]
一寅卯辰巳長方面形將此六長方面
形相併與高十尺相乘得六長方體形
其二上下方面俱如甲戊丁庚其二上
下方面俱如乙己丙辛其一上下方面
俱如壬癸子丑其一上下方面俱如寅
卯辰巳葢二乙己丙辛長方體比二甲
戊丁庚長方體為多二壬癸戊甲二戊
卯辰丁二庚丁子丑二寅甲庚己八方
廉體又多二乙壬甲寅二癸巳卯戊二
[030-22b]
丁辰丙子二巳庚丑辛八長廉體而一
[030-23a]
壬癸子丑長方體比一甲戊丁庚長方
體多一壬癸戊甲一庚丁子丑二方廉
體而一寅卯辰巳長方體比一甲戊丁
庚長方體多一寅甲庚巳一戊卯辰丁
二方廉體若將共多之十二方廉體八
長廉體俱截去則此六長方體之上下
方面必皆如甲戊丁庚乃以每一方廉
體變為二塹堵體每一長廉體變為三
[030-23b]
陽馬體共得二十四塹堵體二十四陽
馬體將六長方體各加四塹堵體四陽
馬體則皆成上下不等六長方體故六
歸之而得甲乙丙丁上下不等長方體
形之積也
又法以上長四尺倍之得八尺加下長
八尺共十六尺與上闊三尺相乘得四
十八尺又以下長八尺倍之得十六尺
加上長四尺得二十尺與下闊六尺相
[030-23b]
乘得一百二十尺兩數相併得一百六
[030-24a]
十八尺與高十尺相乘得一千六百八
十尺六歸之得二百八十尺即上下不
等長方體形之積也此法與前法同此
法之以上長倍之加下長與上闊相乘
之數即前法之上長上闊相乘倍之又
加上闊與下長相乘之數也又此法之
以下長倍之加上長與下闊相乘之數
即前法之下長下闊相乘倍之又加下
[030-24b]
闊與上長相乘之數也圖解並同
又法以上長四尺與上闊三尺相乘得
十二尺下長八尺與下闊六尺相乘得
四十八尺又以上長四尺與下闊六尺
相乘下長八尺與上闊三尺相乘共得
四十八尺折半得二十四尺三數相併
得八十四尺與高十尺相乘得八百四
十尺三歸之得二百八十尺亦即上下
不等長方體形之積也葢此法與上下
[030-24b]
不等正方體求積之法同但正方體上
[030-25a]
下俱係正方面故止用上下方邊各自
乘上方邊與下方邊相乘此則上下方
面各有長闊既用上方長闊相乘下方
長闊相乘又必以上長乘下闊下長乘
上闊相加折半以取中數乃可相併而
與高數相乘三歸之而得體積也
又法以上長四尺與下長八尺相減餘
四尺折半得二尺為一率高十尺為二
[030-25b]
率下長八尺折半得四尺為三率求得
四率二十尺為上下不等長方體形上
補成一尖長方體之共高乃以下長八
尺與下闊六尺相乘得四十八尺與所
得共高二十尺相乘得九百六十尺三
歸之得三百二十尺為大尖長方體之
積又以高十尺與共高二十尺相減餘
十尺為上小尖長方體之高以上長四
尺與上闊三尺相乘得十二尺與上高
[030-25b]
十尺相乘得一百二十尺三歸之得四
[030-26a]
十尺為上小尖長方體之積與大尖長
方體積三百二十尺相減餘二百八十
尺即上下不等長方體形之積也如甲
乙丙丁上下不等長方體形加戊甲丁
小尖長方體形遂成戊乙丙大尖長方
體形先以上長與下長相減折半如己
庚以下長折半如己辛依勾股比例己
庚與壬庚之比即同於己辛與戊辛之
[030-26b]
比以戊辛與乙丙下長方面相乘三歸
之得戊乙丙大尖長方體積以戊癸與
甲丁上長方面相乘三歸之得戊甲丁
小尖長方體積於戊乙丙大尖體積内
減去戊甲丁小尖體積所餘必甲乙丙
丁上下不等長方體形之積也
設如上下不等芻蕘體形上長十尺下長十四尺下
闊五尺高十二尺問積幾何
法以上長十尺與下闊五尺相乘得五
[030-26b]
十尺以高十二尺再乘得六百尺折半
[030-27a]
得三百尺為上下相等芻蕘體積又以
上長十尺與下長十四尺相減餘四尺
與下闊五尺相乘得二十尺以高十二
尺再乘得二百四十尺三歸之得八十
尺與先所得上下相等芻蕘體積三百
尺相併得三百八十尺即上下不等芻
蕘體之積也如甲乙丙丁戊上下不等
芻蕘體形自其上稜之甲戊兩端直剖
[030-27b]
之則分為甲己辛壬戊一芻蕘體甲乙
丙辛與戊庚壬丁二尖方體故以與上
長相等之己庚與己辛闊與乙/丙等相乘即
得己辛壬庚芻蕘體之底面積與甲癸
高相乘折半得甲己辛壬戊芻蕘體積
又以甲戊上長與丙丁下長相減所餘
丙辛壬丁二叚即二尖方體之共長與
乙丙闊相乘得乙辛與庚丁二尖方體
之底面積與高相乘三歸之即得甲乙
[030-27b]
丙辛與戊庚壬丁二尖方體積與甲己
[030-28a]
辛壬戊一芻蕘積相加即得甲乙丙丁
戊一上下不等芻蕘體之總積也
設如兩兩平行邊斜長方體形長二尺四寸闊八寸
高三尺七寸問積幾何
法以長二尺四寸與闊八寸相乘得一
尺九十二寸又以高三尺七寸再乘得
七尺一百零四寸即兩兩平行邊斜長
方體形之積也如圖甲乙丙丁戊己斜
[030-28b]
長方體形以乙丙闊與丙丁長相乘得
乙丙丁庚長方面積以戊丙高再乘成
己乙丙丁辛壬長方體凡平行平面之
間所有立於等積底之各平行體其積
必俱相等見幾何原本五/巻第十九節故甲乙丙丁
戊己斜倚之長方體必與己乙丙丁辛
壬正立之長方體為相等也
設如空心正方體積一千二百一十六寸厚二寸問
内外方邊各幾何
[030-28b]
法以厚二寸自乘再乘得八寸八因之
[030-29a]
得六十四寸與共積一千二百一十六
寸相減餘一千一百五十二寸六歸之
得一百九十二寸用厚二寸除之得九
十六寸為内方邊與外方邊相乘長方
面積乃以厚二寸倍之得四寸為長闊
之較用帶縱較數開平方法算之得闊
八寸即内方邊得長一尺二寸即外方
邊也如圖甲乙丙丁戊己庚辛空心正
[030-29b]
方體其甲丑即空心正方體之厚以之
自乘再乘八因之得壬辛子癸類八小
隅體與空心正方體相減則餘空心正
方體之六面丑寅巳子類六長方扁體
六歸之得丑寅巳子一長方扁體用厚
二寸除之得丑寅卯辰一長方面積其
丑寅闊與戊己等即内方邊其丑辰長
與甲乙等即外方邊其丑戊辛辰皆與
甲丑厚度等丑戊辛辰並之即長闊之
[030-29b]
較故以厚二寸倍之為帶縱求得闊為
[030-30a]
内方邊長為外方邊也
又法以厚二寸倍之得四寸為内方邊
與外方邊之較自乘再乘得六十四寸
與空心正方體積一千二百一十六寸
相減餘一千一百五十二寸三歸之得
三百八十四寸以内外方邊之較四寸
除之得九十六寸為長方面積以内外
方邊之較四寸為長闊之較用帶縱較
[030-30b]
數開平方法算之得闊八寸即内方邊
加較四寸得一尺二寸即外方邊也如
圖甲乙丙丁戊己庚辛空心正方體以
戊己庚辛空心小正方形移置乙角之
一隅則空心正方體變為甲戊辛庚丙
丁壬磬折體形其甲戊即磬折體之厚
為甲乙外方邊與戊己内方邊之較依
開立方次商法分之得癸子丑三方廉
體寅卯辰三長廉體巳一小隅體以甲
[030-30b]
戊厚度自乘再乘得巳一小隅體與共
[030-31a]
積相減餘三方廉體三長廉體三歸之
則餘癸一方廉體寅一長廉體共成午
甲乙庚未申一扁方體其午甲厚與甲
戊等以午甲厚除午甲乙庚未申扁方
體則得甲乙庚未之長方面形甲戊即
長闊之較故用帶縱較數開平方法算
之得乙庚闊與戊乙等即空心方體之
内方邊以甲戊與戊乙相加得甲乙即
[030-31b]
空心方體之外方邊也
設如大小兩正方體大正方體比小正方體每邊多
四寸積多二千三百六十八寸問大小兩正方邊
各幾何
法以大正方邊比小正方邊所多之較
四寸自乘再乘得六十四寸與大正方
體比小正方體所多之積二千三百六
十八寸相減餘二千三百零四寸三歸
之得七百六十八寸以邊較四寸除之
[030-31b]
得一百九十二寸為長方面積乃以邊
[030-32a]
較四尺為長闊之較用帶縱較數開平
方法算之得闊十二尺即小正方之邊
數加較四尺得十六尺即大正方之邊
數也如圖甲乙丙丁一大正方體戊己
庚辛一小正方體試於甲乙丙丁大正
方體減去戊己庚辛小正方體餘壬甲
戊辛庚丙丁三面磬折體形即大正方
積比小正方積所多之較甲戊為磬折
[030-32b]
體之厚即大正方邊比小正方邊所多
之較此三面磬折體形依開立方次商
法分之則得癸子丑三方廉體寅卯辰
三長廉體巳一小隅體以甲戊邊較自
乘再乘得巳一小隅體與磬折體積相
減餘三方廉體三長廉體三歸之則得
癸一方廉體寅一長廉體共成午甲乙
庚未申一扁方體其午甲厚與甲戊等
以午甲厚除之則得甲乙庚未之長方
[030-32b]
面形甲戊即長闊之較故用帶縱開平
[030-33a]
方法算之得乙庚闊與戊乙等即小正
方之邊數以甲戊與戊乙相加得甲乙
即大正方之邊數也
設如大小二正方體共邊二十四尺共積四千六百
零八尺問兩體之每邊及體積各幾何
法以共邊二十四尺自乘再乘得一萬
三千八百二十四尺内減共積四千六
百零八尺餘九千二百一十六尺三歸
[030-33b]
之得三千零七十二尺以共邊二十四
尺除之得一百二十八尺為長方面積
乃以共邊二十四尺為長闊和用帶縱
和數開平方法算之得闊八尺即小正
方之邊數與共邊二十四尺相減餘十
六尺即大正方之邊數也如圖甲乙丙
丁一大正方體戊己庚辛一小正方體
以共邊二十四尺自乘再乘則成壬乙
癸子一總正方體内減甲乙丙丁與戊
[030-33b]
己庚辛大小兩正方體之共積餘丑寅
[030-34a]
卯三方廉體辰巳午三長廉體三歸之
則得丑一方廉體辰一長廉體共成未
壬乙丙戊申一扁方體用壬乙共邊除
之則得未壬戊申之長方面形其未壬
闊與壬甲等其壬戊長與甲乙等故以
壬乙共邊為長闊和用帶縱和數開平
方法算之得未壬闊即小正方之邊數
與長闊和相減餘壬戊長即大正方之
[030-34b]
邊數也
[030-34b]
御製數理精蘊下編卷二十五
