[091-1a] 
欽定四庫全書
新法筭書卷九十一 明 徐光啟等 撰
測量全義卷五
圓靣求積
凡圓面積與其半經線偕半周線作矩内直角形之積等
依此法則量圓形者以半徑乘半周而已古髙士亞竒黙
徳作圜書内三題洞燭圎形之理今表而出之為元本焉
第一題
[091-1b]
圓形之半徑偕其周作句股形其容與圓形之積等
解曰丙丁戊己圓形其心乙其半徑乙丙即以為股形之
周為句成午申酉句股形題言两形之容等
論曰設有言不等必云或大或小云圓形為大句股形小
者索其較為亥形即于圏内作丙丁己戊正方形又作丙
庚丁辛戊壬己癸八角直線形從心至八角形之各邊作
甲乙等中垂線試於圓形内減其大半所餘又減其大半
末所餘以比較形亥必能為小矣十卷/首題如先減丁丙己戊
方形次減丙癸己等三角形八末餘丙庚丙癸等二角雜
[091-1b]
形八必小于亥形也次作午未戌三邊形與丙庚丁八角
[091-2a]
形等必小于午申酉三邊形何者
未午乙甲也小于圏半徑乙庚先
設午申酉三邊形及亥較形始與
圏等今午未戌三邊形及八兩角
雜形適與圏等夫午申酉三角形
大于午未戌三角形亥形又大于
八兩角雜形是合兩大形即午申/酉及亥
較/形與圏等者復謂合兩小形即午/未戌
[091-2b]
及八兩/角雜形與圏等有是理乎
次論曰若言圏形為小句股形大
者索其較為亥形即于圏外作子
寅丑己正方形又作卯辰八角形
夫寅己方形大于午申酉三角形
者方形之周線大于圎形之周線
也内减其大半即元/圈又减其大半
即卯辰子等/四三角形也末餘丙卯庚庚辰丁
等三角雜形八必小于較形亥又
[091-2b]
作午申亢三角形與丙卯辰八角
[091-3a]
形等兹形為圏之外切必大于元圏而午亢為外形之
周必大于午酉内圏之周先設圏及亥形與午申酉三
角形等今并圏及三角襍形八即丙卯庚等/八雜形也反大于午
申酉三角形是圜偕八雜小形而為大者又偕亥大形
而為小可乎
第二題
凡圏周三倍圏徑有竒二支/
此有二法其一云三倍又七十之十則朒其二云三倍
[091-3b]
又七十一之十則盈先解其一曰甲乙戊丁圏戊為心
甲戊乙戊為两徑輳心作直角從甲作午子切線從乙
從丁作乙己丁壬線與乙戊等乙戊己角六十度己戊
甲角必三十度為六邊形之半角也末從心過己過壬
作戊午戊子線成戊午子等角形己戊壬既六十度則
午子為等形之邊設甲午股一百五十三任設此數/以便推算午
子或午戊弦必三百○六各自之股方得二萬三千四
百○九弦方得九萬三千六百三十六相减餘七萬○
二百二十七為句方開得二百六十五有竒為戊甲句
[091-3b]
半徑也則戊甲與甲午之比例為二六五有竒與一五
[091-4a]
三次平分午戊甲角作戊庚
線任分午甲于庚則午戊與
戊甲若午庚與甲庚六卷/三題合
之戊午偕戊甲而與戊甲若
午庚偕甲庚而與甲庚更之戊午并戊甲而與午甲即/午
庚偕/甲庚若戊甲與甲庚先定戊午戊甲并得五七一有竒
午甲為一五三則戊午并戊甲與甲午之比例若五七
一與一五三若設甲庚一五三則戊甲與甲庚之比例
[091-4b]
為五七一與一五三矣即以兩數自之并而開方得五
九一又八之一不盡為庚戊
線戊甲甲/庚之弦則庚戊與甲庚之
比例若五九一又八之一不
盡與一五三次平分庚戊甲
角作戊辛線則戊庚并戊甲一一六二又八之一與庚
甲一五三若戊甲與甲辛若設甲辛一五三則戊甲為
一 一六二又八之一有竒兩數各自之并而開方得二
七二又八之一為辛戊線甲戊甲/辛之弦則辛戊與辛甲之比
[091-4b]
例若二七二又八之一與一五三次平分辛戊甲角作
[091-5a]
戊寅線則辛戊并戊甲二三三四又四之一與辛甲一
五三若戊甲與甲寅若設甲寅為一五三則戊甲為二
三三四又四之一有竒兩數各自之并而開方得二三
三九又四之一有竒為寅戊線戊甲甲/寅之弦則寅戊與寅甲
之比例若二三三九又四之一有竒與一五三次平分
寅戊甲角作未戊線則寅戊并戊甲四六七三半有竒
與寅甲一五三若戊甲與甲未若設甲未為一五三則
戊甲為四六七三半有竒
[091-5b]
論曰午戊子元角為三等角形之一即一直角三之二
午戊甲其半則三之一庚戊
甲其半則六之一辛戊甲其
半則十二之一寅戊甲其半
則二十四之一未戊甲其半
則四十八之一復作甲戊申角與甲戊未角等成未戊
申角形其戊角為直角二十四之一而未申
為象限
二十四之一于全周為九十六之一未甲申其切線
也為九十六邊形之一邊此邊與圈全徑之比例若戊
[091-5b]
甲四六七三半與甲未一五三末置九十六邊形之一
[091-6a]
邊為一五三因周為一四六八八徑為四六七三半有
竒則九十六邊圈外形之周與圏徑之比例為一四六
八八與四六七三半約之為三又七之一不足則徑為
一九十六邊圏外周為三又七之一不足夫形在周之
外尚不及三又七之一况圏周乎
二解三倍又七十一之十而盈者曰圏内作乙丙徑從
丙作六邊形之一邊丙甲與半徑戊丙等四卷/十五從乙作
乙甲成乙甲丙形在半圏之内則甲為直角三卷三/十一題設
[091-6b]
甲丙句七百八十○乙丙弦一千五百六十○兩數自
之相减開方得一千三百五十
一不足為乙甲股則乙甲與甲
丙之比例為一三五一與七八
○次平分甲乙丙角作乙丁線
又作丁丙線成乙丁丙丙丁己
兩直角形相似盖同用丁直角
在半圏内甲丁丁丙兩所乘之
等則丁丙己丁乙丙兩之
[091-6b]
角必等三卷二/十一夫兩形有兩角
[091-7a]
等者各腰俱相似則乙丁大形/之股與丁丙大形/之句若丁丙小/形
之/股與丁己小形/之句又乙丙大形/之弦與丁丙大形/之句若己丙小形/之弦
與丁己小形/之句更之乙丙與己丙兩/弦若丁丙與丁己兩/句是
乙丁與丁丙兩/股丁丙與丁己兩/句乙丙與己丙兩/弦三比例
皆等又乙丙與己丙兩/弦若乙丙并乙甲兩/腰與甲丙底之
兩分見前/解則乙丁與丁丙亦若乙丙并乙甲與甲丙先
定乙甲一三五一弱乙丙一五六○是乙甲乙丙并為
二九一一弱甲丙先設七八○則乙丁與丁丙亦為二
[091-7b]
九一一弱與七八○各自之并而開方得三○一二又
四之一弱為乙丙乙丁丁/丙之弦則乙
丙與丁丙之比例為三○一三
又四之一弱與七八○次平分
丁乙丙角作辛乙線因前比例
論得乙辛與辛丙比例之數盖
丁乙并乙丙與丙丁若乙辛與
辛丙先定乙丙三○一三又四
之一乙丁二九一一弱并為五
[091-7b]
九二四又四之一弱今丙丁為
[091-8a]
七八○則乙辛與辛丙為五九二四又四之一弱與七
八○欲省數改設辛丙二四○依三率法辛丙七八○
乙辛為五九二四有竒今辛丙二四○即乙辛為一八
二三弱兩數自之并而開方得一八三八又十一之九
弱為乙丙線乙辛辛/丙之弦則二四○與一八三八又十一之
九為丙辛乙辛之比例次平分辛乙丙角作乙壬壬丙
兩線辛乙乙丙兩數并為三六六一又十一之九弱與
辛丙二四○為乙壬與壬丙之比例又改設壬丙六六
[091-8b]
依三率法乙壬為一○○七弱兩數自之并而開方得
一○○九弱則六六與一○○
九為壬丙與乙丙兩線之比例
末平分壬乙丙角作乙庚庚丙
兩線乙庚與庚丙若壬乙并乙
丙二○一六又六之一與丙壬
六六兩數自之開方得二○一
七又四之一弱為乙丙乙庚庚/丙之弦
則庚丙與乙丙兩線之比例為
[091-8b]
六六與二○一七又四之一弱
[091-9a]
論曰丙甲為全圏六之一丙丁十二之一丙辛二十
四之一丙壬四十八之一丙庚九十六之一是丙庚為
九十六邊内切圏形之一邊也以九六乗六六得六三
三六為九六邊内切形之周乙丙徑為二○一七又四
之一弱兩數約之一得三又七一之十強形之周也一
得一圏之徑也夫圜周在多邊形之外即大則謂三倍
徑又七十一之十不又盈乎
第三題
[091-9b]
圜容積與徑上方形之比例
解曰一為十一與十四而朒一為二
百二十三與二百八十四而盈先解
朒者乙戊辛圈甲丙戊方引長甲丙
邊為甲丁其大于甲丙為三倍又七
之一則與周等為句甲乙邊圈之半
徑也為股成甲乙丁角形其積與圈
積畧等不甚/差故又乙甲丙直角形因丙
甲與甲丁若七與二十二則甲乙丙
[091-9b]
與甲乙丁兩形之積亦若七與二十
[091-10a]
二六卷/一題甲乙丁與圏等則甲乙丙形與圈積亦若七與
二十二夫甲乙丙為方形四之一四之得二十八即兩
形積之比例為二十八與二十二約之為十四與十一
也次解盈者甲丙設七十一甲丁二百二十三與圏周
等則甲乙丙與甲乙丁兩形之積為七一與二二三四
倍七一得二八四全方之積與甲乙丙形之比例為二
二三與二八四
一題之系 半徑全周成三邊形與圏積等依句股
[091-10b]
法半徑偕半周矩内方形與圏積等若全徑偕全周
矩内方形則四倍圏積幾何六卷/二題曰相似形之比例
為兩相似邊再加之比例故邊倍則實四之
二題之一系 設圏徑求周求容 凡設徑求周用
盈法七為一率二十二為二率所設徑為三率得四
率為所求周 用朒法為七十一與二二三若徑與
周古士論圏大小大都准此二論反之以周求徑亦
然
二系 圈之徑與徑若周與周子之徑與徑亦若母
[091-10b]
之周與周假如一圏之徑為七周為二十二他圏大
[091-11a]
于元圏四倍其徑二十八則其周八十八亦四倍大
于元圏之周
三系 周線上方形與圏之積若八九二與七十一
則盈若八八與七則朒周與他周若徑與他徑 周
線上方與他周上方若徑上方與他徑上方十二卷/二題
徑方與他徑方若圏與圏則周方與他周方亦若圏
與圏更之周之方與本圏之積若他周之方與其圏
之積如設周一用一系之法則八九二一率也七十
[091-11b]
一二率也所設一三率也所得之徑為二二三之七
十一其容積為八九二之七十一周之方一全數也
通之為八九二圏之積零數也為七十一是謂周方
與圏為八九二與七十一而盈或二十二與七其徑
二十二之七其積為八八之七周之方一全數也通
之為八八圏積為零數則周方與圏為八八與七也
三題之系 設徑求圏積則比例之母十四為一率
子十一為二率徑之方數為三率所得為圏之積而
盈或三八三為一率二二三為二率徑之方數為三
[091-11b]
率所得為圏之積而朒假如設徑十用盈法得七八
[091-12a]
又七之四圏之容也用朒法得七八又二八三之二
五七圏之容也反之設圈容求徑則十一與十四若
圜容與某數其方根為徑
又設周求圏之容因一系之法八九二與七十一若
周之方數與圏之容而盈或一八八與七若周之方
數與圏之容而朒反之設圏求周則七與八八若圏
容與某數其方根為周
徑與周之比例古士之法如此今士别立一法其差甚
[091-12b]
微然子母之數積至二十一字為萬億億難可施用○
徑一○○○○○○○○○○○○○○○○○○○
○○
大/周三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四
七
小/周三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四
六
約之首取三字為一百之三百一十四則三倍又百之
十四
[091-12b]
再約得七之一又朒如前
[091-13a]
論曰總之不論若干位但加一即贏减一即縮贏即外
切線縮即内弦也皆非周也
古設周問積法曰周自之十二而一此猶是徑一圍三
較之徑七圍二十二者尤疎也故不合
古設徑問積法以徑自乗三之四而一如設徑一自之
得一三之得三四而一則四之三為圏之積全數即母/數
為徑上之方形則知徑上之方與圏之積為四與三然
前論為一四與一一而合今之四與三則所謂虛隅二
[091-13b]
五也如圖甲乙設十自之為一百平分之為乙丙丁五
十又平分之為丁戊乙丙三角雜形丁戊
乙二角雜形各二十五二角雜形必小于
三角雜形安得合乎
量撱圓法 撱圓形者斜截圓柱所成兩面形也形有長
短二徑古士黙徳本論曰兩徑之中比例線為徑作圏
與撱圓等則兩
徑為第一第三
率相乗所得方
[091-13b]
數為第二率又同線上之正方與圏容為一四與一一
[091-14a]
今兩率相乗者即中率正方之數此比例法見幾何六/卷三十三題之第十
增/故以兩徑相乗得數以一一乗之以一四除之得撱
圓之積也
量圈之一分
第一圖名兩半徑/形
設半徑及用全與全若分與分之比
例 法曰以半徑乗得積半之為本
形積盖全周與全圈積若周之分與圈
[091-14b]
積之分如半徑六十二相乗得七十
二半之三十六為本形積
第二圖名兩弦内/形
設兩弦兩丙戊為徑從心作甲乙甲
丁線成甲乙丙甲丁戊各兩半徑形
依前法各求積又甲乙丁直線形兩腰
等有丁乙弦求其積三形積并為乙丙戊丁設形之積
第三圖
即第二圖之半同理
[091-15a]
第四圖名形/
有本圈徑設弦求其積法先求半圈積次
求兩弦形之積兩數相减餘為設形之積
如丙乙巳戊圈其徑丙戊設乙丁弦求乙
已丁之積置乙巳丁一一又七之六
圈徑十二先求本全圈之周得三十七又七之五半之
為十八又七之六内减設形之一一又七之六餘七
為丁戊乙丙兩之數半之為三半丁戊也作丁甲
[091-15b]
乙甲兩線因前法求丁戊乙丙兩弦形之積得二十八
又九之八又求半圈之積得五七又七之四
内减兩弦形之積二十八又九之八得二十
七又六十三之四十二為設形之積若不知
弦因丁甲乙形有丁甲乙甲兩邊有丁甲乙
角得丁乙邊為設形之弦
若形大于半圈者以兩弦之積加於半圈
之積
若不知本圈之徑則先求徑其法丁乙弦半
[091-15b]
之作巳辛垂線量其度得數為法弦之半數
[091-16a]
自之為實而一得本圏之徑㡬何三卷/五十五如量
己辛得一又九之五法也丁辛為四自之十
六實也除之得十又九之二加己辛得十二
全徑也若辛己不可得量是屬無法之形
第五圖
設小半形如甲乙丙則以甲丙句甲
乙股各自之并而開方得乙丙弦成乙
丙小形有乙丙弦依前法求積次求
[091-16b]
甲乙丙句股形之積并之即得一/圖
若止設一直線為徑之一分甲丙/也而知
本圏之徑法先求丁戊丙象限積次求
丁乙甲戊兩弦形之積相减餘為甲乙
丙形之積二/圖
若所設乙甲丙非直角而知本圏之徑
法先求戊丁丙象限積次求甲乙辛句
股積盖形有甲辛兩角甲乙邊可得餘
邊即得其積末用前法求乙辛丙半
[091-16b]
形之積内减甲乙辛句股積餘為設形
[091-17a]
之積三/圖
若乙甲丙為銳角乙辛股線在設形之
内則以甲乙辛形之積加于半形積
四/圖
或設本圏之徑作戊乙線法以半徑乗
得數半之得戊乙丙形次求甲乙戊
直線形之積則乙戊半徑也乙甲設形
之邊也戊甲為丙甲與半徑之較依法
[091-17b]
得積以减戊乙丙兩半徑形之積餘為
設形積五/圖
或依三角形法作乙丙線成甲乙丙三
角形有甲乙甲丙兩邊有甲角以求乙
丙餘如前六/圖
若半形之邊如甲乙甲丙大于半徑
即作乙戊線先求乙戊丙兩半徑形之
積次求甲戊乙三邊形之積并之如前
若不知本圏之徑則屬無法形之法七/圖
[091-17b]
或依三角形法以甲乙甲丙兩線及甲
[091-18a]
角求乙丙邊求積次求乙丙形之積如前法八/圖
第六圖名兩之形/
若知各之徑者法與一形等
若設兩亦設中長線則分元形為兩
形 若不知本圏之徑亦不知中長
線屬無法之形
第七圖
以弦分之成直線形者一成形
[091-18b]
者三四以上各以前法量之
若為球體撱圓體圓角體之外面法見量體法中第六/卷
古法設長濶問積見長方又設長闊總數長濶較等問
見句股義
量面用法
以木造矩錐平
者為盤直者為
幹盤徑五六寸
厚二寸面畫兩徑輳心成直角刻成渠深五分廣一分
[091-18b]
下作鑿以受幹也幹徑一寸以上長四五尺令平立者
[091-19a]
目切其盤之面幹之末施鐡鍤焉别具望竿數事略與
幹等器成先試之法于平地卓錐從一徑之渠向左向
右各距若干丈尺卓兩竿與徑為直線又從他徑之渠
向前向後各距若干丈尺卓兩竿與徑為直線次轉器
易徑以望先立諸竿仍作直線則為如法之器
第一題
直線内一㸃上求作垂線㡬何一/卷十一
法曰設㸃上卓錐轉器令一徑合于設線次從他徑卓
[091-19b]
數竿題言諸竿所作直線與元線為直角與盤上直角
等
第二題
直線外一㸃上求作垂線
法曰設㸃上卓一竿持器循設線上㳺移遷就令一徑
合于元線一徑與望竿為直線次從㸃至錐下作線則
[091-19b]
元線之垂線也
[091-20a]
凡設田形量其歩畆前法足矣然未知直線形之是否
直角曲線形之是否中且高下之數非目營可得欲
求其度立公法如下文總之以句股為本凡圖中斷線
所作線也聨線元形線也邊上有○卓錐之處也
三邊田法從大邊用器㳺移遷就向對
角立垂線分元形為兩句股形一/圖
[091-20b]
四邊田先用器試各角是否直角直者用正方量之不
直依圖
分句股
形令分
餘者各
兩對邊為平行線用正方長方法量之二三/四圖
多邊形田從大邊如甲上作
甲乙垂線從大邊兩界如丙
如丁作丙戊丁己兩垂線丁
[091-20b]
己線上立乙辛垂線又立庚
[091-21a]
寅己午兩垂線丙戊線上立酉乙垂線是元形内有二
方形七句股形量時依元設丈尺步數化大為小作圖
亦用元度作新立諸線各如數算之并之得元形之積
五/圖
若田形以曲線為邊宜先
求直線形法取一線為徑
徑上宻宻卓錐作諸平行
線末各直角上加器成諸
[091-21b]
長方形亦成諸三邊形曲
線為邊者大圏之也即依直線法量之所差甚微六/七
圖/
或田中為房舍林木等物所隔難作
中長線法于田外依一邊作大方形
形邊上向田之各角作線是元形之
外方形之内有若干句股形并諸句
股積以减方形積餘為元形之積八/圖
增題 多邊無法形量法從田心如癸加象限邉向乙
[091-21b]
角窺丙角定乙癸丙角之度次向丁向戊向己向庚向
[091-22a]
辛各定其癸角之度次以公量法量癸
乙癸丙等線元形内有三邊形七每形
有一角兩邉因法求餘邉求毎形之積
并而得元形之積
中空田法先求大形之積次求空形
之積如方田一叚各邊十丈中為圓
池徑七丈則方形之積一百丈池之
積三十八丈半减餘六十一丈半為
[091-22b]
設形之積
求環田積用兩圏之徑或周以次求
大小圓積相减餘為環田之積如設
環之外周為四十四内周為二十二
則大圓積一百五十四小圓積三十
八半减餘一百一十五半環田之積也
變形法
其一設三角形求變為等底等積方形
凡設形求變者皆截元形之實補求形之虛也如上一
[091-22b]
圖甲乙丙元形求變為丙丁戊方形其元形之大邊為
[091-23a]
底法平分兩腰作中線與底平行次以中線
為底作對角垂線成甲乙兩形從元底兩端
向中線各作垂線成戊丁兩形則截甲實形
移補交角之丁截乙實形移補交角之戊成
丁丙戊方形與元形等底等積
如二圖小邊為底亦平分兩腰作平行中線
次從上角從鈍角各向中線作垂線成甲乙
兩句股形及丙斜角形次截甲實形移為交
[091-23b]
角之乙并丙乙實形移為交角之丁成丁戊
方形如所求
如三圖鈍角上垂線截中線出元形之外甲
戊丁己兩線為等作己垂線成甲小形則截
交角之乙實形移為甲并甲兩實形移為交
角之丁并丁己成四邊實形移為相似之戊形并戊庚/如所求
[091-24a]
如四圖兩腰甚長亦如前作中線于中線上截取庚丁
壬己各形之邊皆與底等而成各直角四邊形又從兩
交截取癸形與夘等即甲與乙夘癸與夘各交角之兩
形各等先截取癸實形移補交角之虛夘次并夘乙作
三邊實形移補交角之虛甲次并甲丙作四邊實形移
補相似之虛壬次并壬丑作四邊實形移補相似之虛
丁次并丁戊作四邊實形移補相似之虛己次并己寅
作四邊實形移補相似之虛庚次并庚辛即所求
[091-24b]
其二設一方形一線求變為他方形其邊與設線等
如上一圖設丁戊方形求變他形其邊與甲
等法從乙丁邊取乙丙與甲等從戊角作戊
丙迤線丙非角故/不名對角引長之與己丁之引長線
遇于辛成丁辛丙三角虛形次于己戊邊取
己庚與甲等次從庚作垂線成壬庚戊三角實形以此
實形移補丁丙辛虛形又以戊丙迤線上形
移置壬辛迤線上即成庚辛方形如所求
如二圖設形為斜角與上同法
[091-24b]
若所設線甚小幾倍之得為元形邊則平分
[091-25a]
元形為幾形如前法變得各小形并之為一大形如所
求
如三圖所設線大于元形邊則引長己戊邊
為己庚與甲等作庚丁對角線成戊庚壬三
角虛形次取丁丙與壬庚等成丁辛丙實形移補壬戊
庚虛形又乙壬丁實形之壬角移為庚角成庚辛角形
即所求
其三設矩内形變為正方形
[091-25b]
如圖以設形之兩邊連為一直線求心作半圏次從兩
線之界㸃作垂線為兩率之中比例線即用為
設線依前法變設形為他形其邊為設線
其四設多邊形變為正方形
先以直線分元形為若干三邊形
次依第一法變各三邊形為矩内形
三任取一線為設線依上法變各矩形皆
為等邊形
[091-25b]
四并各等邊形成一大矩形
[091-26a]
五依第三法求大矩形兩邊之中比例線
成正方形
以上四法若反求之則亦反作之如一矩
形求作三角形一正方形求作有比例之
矩内形是也
其五兩正方形變為一正方㡬何原本一卷四十七/題備論其理此則用法置
兩正方形以角相切令其邊為直線角之外為直角即
成甲句股虛形其弦聨兩元形之各一角即以為底作
[091-26b]
正方形其積與兩元形并積等其變法作丙戊庚己丁
矩形及乙寅線又截壬形與子形庚形
等次截取癸實形移補丙丁虛形次取
丙子實形移補甲虛形次取壬實形移
補庚虛形次取庚丑實形移補戊己/庚虛
形次取戊實形移補辛虛形
成夘辰午未正方形
其六設矩形求變為他矩形
其邊各有比例如設一形欲
[091-26b]
作他形等積而兩邊之比例
[091-27a]
若五與四法分大邊為五小邊為四作平行分線如甲
乙形次依丙丁罄折線截訖移就成戊己形
第四題
截形法
借題云設多邊形截為多三角形求作多線以當各形
之比例如圖甲乙丙丁戊多邊形從甲
角作甲戊甲丁甲丙各對角線分元形
為四三角形求其比例法曰從各角向
[091-27b]
各對線為垂線如己向庚戊向辛丁向
壬又向子丙向癸乙向丑丁壬丙癸因對角線短故垂
線在形之外盖三角形論底論高不論垂線内外因幾
何六卷第一題增同底之形其比例若其高之比例今
甲戊己甲戊丁兩形同用甲戊為底即己庚壬丁兩垂
線為兩形之比例又甲戊丁甲丁丙
兩形同用甲丁為底即戊辛丙癸兩
垂線為兩形之比例甲丁丙甲乙丙
兩形同用甲丙線為底即丁子乙丑
[091-27b]
兩垂線為兩形之比例也今欲作四線之比例與此四
[091-28a]
形之比例等依幾何原本六卷第十九題三直線為連
比例則一線上形與二線上形若一線與三線今以一
垂線當一形以第二第三率通為一比例而求末率即/第
三/線則一形與二形若一線與三線也如上圖壬丁之形
與戊辛之形同底而壬丁為一率戊辛為二率己庚之
形與某線之形同底而己庚為三率某線為四率則以
戊辛之數通為己庚之數而求其線即壬丁與戊辛若
己庚元/數與某線而某線之數為己庚之次數又丁子與
[091-28b]
丙癸若乙丑元/數與某線而某線之數為乙丑之次數
今一設三角形從一角命截幾分之幾法于角之對邊
平分如命數從角作線截取一分為得數如甲乙丙形
從甲命分四之三即四平分丙乙線為丁戊己次從甲
作甲丁分元形為二其比例如丙丁與丁
乙
又命分四之一而其截線求與命角之對
邊如丙/乙平行法四平分甲乙腰四乗三命/分
數内减得分以/其餘乗命分得十二開方得三又百之
[091-28b]
四十八即得甲向乙取四分之三有半至
[091-29a]
丁作丁戊線與乙丙平行截元形為二其積如三與一
而丁丙為四之一甲乙戊為四之三
二設多邊形從一角命截幾分之幾法依前借題分本
形為若干三邊形又如前次第求各形
之比例線因形/求線合之成一直線如圖為
乙丙丁戊己若命分為四之一即四平
分之若第一分在乙丙線内則分甲乙
丙形之乙丙邊如乙丙比例線其一分
[091-29b]
所至為乙壬作甲壬線截甲乙壬形為元形四之一若
欲截分在甲己之旁則分甲己戊形之己戊邊如戊己
比例線其一分所至為己辛作甲辛線截甲己辛形為
元形四之一若命分之界不在元形之
角如甲乙邊内取庚㸃為界法從庚向
各角作線求各形之比例線如前
上二法俱從甲或庚為截分之總界其他
形若能為對角線在形之内者任用各邊
各角皆可為截分之界若作對角線而切
[091-29b]
本形邊或出形之外則不能為截界如圖
[091-30a]
甲戊丁乙四角己庚三角其截分或出形外甲庚甲乙
戊己戊丁諸線各切本邊但可從丙截之
三設方形命截幾分之幾法任分一邊
如命分數取得數作平行線或正方或
斜方或矩形皆同理若以角為截界則
與上文多邊形同法
四設梯田命截幾分之幾如四分
之一法上下兩邊各四平分而取/其一作直線聨之
[091-30b]
或用角為截界則與前多邊形同法
若命截線與底平行則用三率法依設形成三角形得
其腰求兩形之比例得全三角之積若干小
三角形之積若干以小减大得梯形積若干
因算梯形之㡬分得全形之幾分隨用前第
一設截三角形之法得所求
假如大底為十上邊為六斜邊得四上下邊之較四半
之得二為第一率大底半數五為二率斜邊四為三率
算得全形之腰為十此全形有兩腰有底求其積得四
[091-30b]
十三又三之一其小形有兩腰各六有底六求其積得
[091-31a]
十五又五之三以減全積得二十七又三之二弱為元
梯形之積今欲截取四之一以四而一得六又五之四
弱以除全積得六有五之二弱為元形四之一亦為全
形六分五之二分用平行截三角形之法六有竒為母
五有竒减一/得子為子相乗開方得五○○即從全形上角
分全腰為六分有五之二弱内取五又五之四強作平
行線分元形如所求或取三十二/而取二十九
若近小底命作截線其理同上但母子數不同上得元
[091-31b]
形四之一分為六又六十之四十六畧約五之四今所
求者四之三則三倍之得二十又三十之九以倍數與
全數相乗得數開方得二十九半即從上角如法取作
平行線分元形如所求或分全腰為四十三又三之/一從上角取二十九半作線
凡梯田在平行線内但底等即其積等
不論角大小
若兩梯田截法先求各形之積次算此
形所截之分為彼形之㡬分其用法如
前
[091-32a]
此外别形尚多各有本法本論於法算諸書中詳之此
不及備著
[091-32b]
新法算書卷九十一
