[083-1a]
欽定四庫全書
新法算書卷八十三 明 徐光啟等 撰
㡬何要法
㡬何總論
㡬何家者脫物體而空窮度數數其截者度其完者度
有三曰線曰面曰體線以度長短面以度廣狹體以度
厚薄線自㸃始㸃引為線線展為面面運為體㸃者無
長線者無廣面者無厚㸃為線之界線為面之界面為
[083-1b]
體之界體不可為界㸃線面體㡬何之論起焉
界說章第一十六則/
界者一物之始終解篇中所用名目作界說
第一界
㡬何者度與數之府也
第二界
㸃者無分無長短廣狹厚薄故無分如上圖甲㸃真圓
□一真平相遇處止一㸃畢世積㸃不能結線凡圖十/干為識
干盡用十/二支等字
[083-1b]
第三界
[083-2a]
線止有長無廣厚如一平面光照之有光無光之間不
容一物是線也如上甲乙圖畢世積線不能結
面
第四界
面者有長有廣無厚一體所見為面凡體之影極似於
面無厚之極也如上甲乙丙丁圖畢世積面不
能結體
[083-2b]
第五界
體有長有廣有厚如上甲乙丙丁戊己庚圖
第六界
分者㡬何之㡬何也小能度大而盡之無贏不足者以
小為大之分若小不能盡度大當稱㡬分㡬何
之㡬如上甲乙四與丙丁八戊己十二等數皆
能盡分者則甲乙四為丙丁八戊己十二之分
若庚辛四與壬癸六一即贏二即不足不能盡度者不
[083-2b]
得正名為分則稱之為三分六之二他數/倣此
[083-3a]
第七界
㸃者非㡬何故不能為線及諸㡬何之分
第八界
線非廣狹之㡬何故不能為面之分
第九界
面非厚薄之㡬何故不能為體之分
第十界
線有曲直線之一㸃能遮兩界是直線如上圖
[083-3b]
甲乙不遮則不直如下圖丙丁
第十一界
面之中間線能遮兩界不礙不空是平面如上圖甲乙
丙丁不遮則不平如下圖戊己庚
第十二界
直線垂於横線之上為横線之垂線如上圖丁乙為甲
丙之垂線
[083-3b]
第十三界
[083-4a]
兩直線於同面行至無窮不相離亦不相逺終不得相
遇者為平行線如上甲乙丙丁兩線
第十四界
兩㡬何以㡬何相比之理為比例兩㡬何者或兩數或
兩線或兩面或兩體各以同類大小相比謂之比例若
線與面或數與線此異類不為比例若同類相比而不
以㡬何亦不為比例也如白線與黑線或有窮之線與
無窮之線雖則同類實無比例有窮之線畢世倍之不
[083-4b]
能及無窮之線故也
凡比例有三種有數之比例有量法之比例有樂律之
比例本卷論量法之比例
第十五界
比例相續不斷為連比例其中率與前後兩率遞
相為比例而中率既為前率之後又為後率之前
如上圖甲二與乙四比乙四又與丙八比是也
第十六界
中率一取不再用為斷比例如上圖甲四自與
[083-4b]
乙八比丙六自與丁十二比是也
[083-5a]
備噐章第二
㡬何在厯家則多用圖畫圖必先備噐噐有三曰尺曰
規曰矩尺以畫線而貴直規以畫圜而貴調矩以畫方
而貴凖噐凖矣不識用法則茫無措手今以用法著於
篇
審尺章第三
畫圖首畫線線貴直線界於尺故先求尺直
如甲乙為尺面丙丁為尺側一稜先以丙丁畫
[083-5b]
一戊己線丙合戊丁合己次轉丙丁稜畫一己
戊線丙合己丁合戊不出不入則尺直矣不直再當琢削
畫線章第四
尺既直矣線可無曲然畫時又有法須以鐡或銅鑄筆
上長其柄令可把手下截濶出復漸窄而下其正面削
極平背令稍圓去末寸許作一小
窩窩下漸細至末用時以墨汁入
小窩以平面𦂳倚尺作線則墨汁自就下或恐墨汙其
地將尺削去丙丁側一稜則墨線瑩細如絲即作於規
[083-5b]
末亦得
[083-6a]
審平面章第五
平面者諸方皆作直線
法曰如甲乙丙丁為面欲審其平即用直尺施於甲角
繞面運轉不礙不空全合直尺是平面
也
引線章第六
有一短直線求平引長之
[083-6b]
法曰如有甲乙線欲平引長之先以甲為心以乙為界
畫小半圜以乙為心任取一度於小半
圜上下各作規界線為丙為丁次以丙
丁為心任取一度向前作短界線相交
為戊末引甲乙線至戊則得所求若欲
更引長仍依此法
平分直線章第七法有二/
有有界之線求兩平分之
第一法
[083-6b]
如有甲乙線求兩平分先以甲為心任用一度但須長
[083-7a]
於甲乙線之半愈長愈凖向上向下各作一
短界線次用元度以乙為心亦如之兩界線
交處即丙丁末用尺作丙丁直線即甲乙有
界之線兩平分於戊矣
第二法
若所分之線下面無地可作短界線即於甲
乙線上先畫兩短界線於丙次或開或收規
度仍前從甲從乙向上又作兩短界線於丁
[083-7b]
規度愈相逺畫線愈凖末以丙丁二交用尺
如前畫線則得所求
作垂線章第八法有四/
有一直線任於一㸃上求作垂線
第一法
甲乙直線任指一㸃於丙求丙上作垂線先
於丙㸃左右任用一度愈逺愈凖各截一界
為丁為戊次以丁為心任用一度但須長於
丙丁線向丙上方作短界線次用元度以戊為心亦如
[083-7b]
之兩界線交處為己從己至丙以尺畫線則得所求
[083-8a]
第二法
於丙左右如上法截取丁與戊即任用一度以丁為心
於丙上下方各作短界線次用元度以戊為
心亦如之則上交為己下交為庚末作己庚
直線視直線交於丙㸃即得所求若丙㸃在
甲乙端上則當暗引長甲乙線後如前作亦得
第三法
若直線甲端上求立垂線又甲㸃外無地可
[083-8b]
暗引線則先以甲乙原線上方任取一㸃為
丙以丙為心甲為界作大半圜圜界與甲乙線相遇為
丁次自丁至丙依前法作直線引長之至戊為戊丁線
戊丁與圜界相遇為己末自己至甲作直線即所求
第四法
若甲乙線所欲立垂線之㸃乃在線末甲界
上甲外無餘線可截則於甲乙線上任取一
㸃為丙如前一二法於丙上立丁丙垂線次
以甲丙丁角兩平分之分法在後三/卷第四章為己丙線次以甲
[083-8b]
丙為度於丁丙垂線上截戊丙線又用元度以戊為心
[083-9a]
向己作短界線為庚末自庚至甲作直線得所求
立垂線章第九法有四/
有無界直線線外有一㸃求自彼㸃作垂線至直線上
第一法
如有甲乙無界直線直線外有丙㸃求自丙
㸃作垂線至甲乙線先以丙為心向直線兩
處各作小半圜或兩短界線為甲為乙次仍
用一度以甲為心向丙㸃相望處作短界線
[083-9b]
又以乙為心亦如之兩線相交處為丁末自丙至丁作
直線截甲乙線於戊則丙戊為垂線
第二法
於甲乙線上近甲或乙任取一㸃為心以丙
為界作一圜界於丙㸃及相望處各稍引長
之次於甲乙線上視前心或相望如前圖或
進或退如後圖任移一㸃為心以丙為界作
一圜界與前圜交處得丁末自丙至丁作直
線得丙戊垂線
[083-10a]
第三法
若丙㸃垂於甲乙線之界不能於丙㸃左右
畫圜如前二圖又或不能暗引長甲乙線則
當以甲為心於丙㸃及相望處各作短界線
於丙於丁又進以乙為心以丙為界仍相望
作兩短界線末從丙丁二交處作直線則得
所求
第四法
[083-10b]
若甲乙線在面之邉且下無地可措規如前四圖則當
用前章第三法或以丙為心任指甲乙線上
兩㸃為丁為戊次任取一度以丁為心向丙
上作短界線次用元度以戊為心仍向丙上
作短界線交於己末自己至丙作直線引長
之至庚得所求又有便法在後平行線中
作平行線章第十法有三/
一㸃求作直線與原設直線平行
第一法
[083-10b]
於甲㸃求作直線與乙丙線平行先任作甲丁線與乙
[083-11a]
丙斜交次以丁為心任作戊己圜界次用元度
以甲為心作庚辛圜界稍長於戊己次取戊己
圜線為度於庚辛圜界截取庚辛末自甲至辛
作直線即所求
第二法
先以甲㸃為心於乙丙線近乙處任指一㸃
作短界線為丁次任用一度以丁為心向丙
截取一分作短界線為戊又用丁戊元度以
[083-11b]
甲為心對甲平行作短界線為己次用甲丁
元度以戊為心對甲平行作短界線於己末自甲至己
作直線即所求
註曰凡有不等度須一度用一規始元度不爽如
一規而數易其度則元度永不復矣此丁先生秘
法
註曰以上二法以甲㸃定逺近若無甲㸃任指所
欲逺近為界可當甲㸃
第三法
[083-11b]
此法比前法更簡易即西本㡬何亦未載乃敝師伯先
[083-12a]
生所授如有甲乙線任逺近求作平行線近
甲取心向上以所求逺近為度作小半圜次
用元度近乙取心向上復作小半圜末以尺
依半圜為界作直線即所求
註曰以上平行數法可推用作沿邉直線之垂線如有
甲乙線求乙線界上作一垂線先以乙為心
向甲任取一㸃為丙又用元度以丙為心向
甲指一㸃為丁又以乙為心任取一度向上
[083-12b]
方作一短界線愈逺愈凖又以丁為心用元
度仍向上方作一短界線與前界線相交於戊次
自戊至丙作垂線末以前作平行線法隨用一法
以丙乙為度作平行線正垂在乙㸃上即得所求
求分一直線任為若干平分章第十一法有四/
凡造厯象數欲分直線為不等分不諳其法大費手力
抑且不凖宜熟後法以便用
第一法
如甲乙線求五平分先從甲任作甲丙線為丙甲乙角
[083-12b]
次從甲向丙任作五平度為甲丁丁戊戊己己庚庚辛
[083-13a]
次作辛乙直線末用平行線法作丁壬戊癸
己子庚丑四線皆與辛乙平行即壬癸子丑
與甲乙為五平分
第二法
如甲乙線求五平分即從乙任作乙丙線為
丙乙甲角次於乙丙任取一㸃為丁作丁戊
線與甲乙平行次從丁向戊任作五平分為
[083-13b]
丁己己庚庚辛辛壬壬癸而丁癸線令小於
甲乙次從甲過癸作甲子線遇乙丙於子末從子作子
壬子辛子庚子己四線各引長之而分甲乙於丑於寅
於卯於辰為五平分
第三法
如甲乙線求五平分即從甲從乙作甲丁乙
丙兩平行線次從乙任作戊己庚辛四平分
次用元度從甲作壬癸子丑四平分末作戊
丑己子庚癸辛壬四線相聨即分甲乙於己
[083-13b]
於辰於卯於寅為五平分
[083-14a]
第四法
此法極簡極神可分百千不等之線與百千不等之分
先作一噐如丙丁戊己為平
行線任平分為若干格噐愈
大格愈宻其用愈廣格毎分
作平行線相聨今欲分甲乙
為五平分即規取甲乙之度以一規髀任抵戊丙線上
一規髀抵第五庚辛線上如不在庚辛者即漸移之至
[083-14b]
線界而止既至壬即戊壬之分為甲乙之分
又如有甲乙線求十七平分先以規取甲乙之度以一
規髀抵戊丙
線一處以一
規髀抵此噐
庚辛第十七
格為壬次從
戊至壬畫一直線次取所過兩格相距之度以此為凖
分甲乙直線則得十七分矣或圖小而所分者大欲廣
[083-14b]
其用則逓倍之如圖一尺欲分一丈為十九分須取一
[083-15a]
丈十分之一為一尺用前法為十九分後以尺逓十倍
之則一丈己分為一百九十分矣毎十分作識如所求
餘以此推之
一直線求截所取之分章第十二法有二/
第一法
如有甲乙直線求截取三分之一先從甲任
作一甲丙線為丙甲乙角次從甲向丙任作所
命三分之平度如甲丁丁戊戊己為三分也
[083-15b]
次作乙己直線末作丁庚線與己乙平行即
甲庚為甲乙三分之一也
第二法
如甲乙直線求截取七分之三先以前章法
分甲乙線為七分後取其三於庚則得所求
如欲截取十分之七十四分之九等不均之
數亦如之
有一直線求截各分如所設之分章第十三一法/
法曰甲乙線求截各分如所設甲丙任分之丁戊者謂
[083-15b]
甲乙所分各分之比例若甲丁丁戊戊丙也先以甲乙
[083-16a]
甲丙兩線相聨於甲任作丙甲乙角次作丙
乙線相聨末從丁從戊作丁己戊庚兩線皆
與丙乙平行即分甲乙線於己於庚若甲丙
分於丁戊焉
有直線求兩分之而兩分之比例若所設兩線之比
例章第十四一法/
法曰如甲乙線求兩分之而兩分之比例若
所設丙與丁先從甲任作甲庚線為庚甲乙
[083-16b]
角次截取甲己與丙等己庚與丁等次作庚
乙線聨之末作己辛線與庚乙平行即分甲乙於辛而
甲辛與辛乙之比例若丙與丁
有兩直線求别作一線相與為連比例章第十五法/有
二/
第一法
有甲乙甲丙兩線求别作一線相與為連比例者任合
兩甲乙甲丙為甲角而甲乙與甲丙之比例
若甲丙與所求他線也先於甲乙引長之為
[083-16b]
乙丁與甲丙等次作乙丙線相聨次從丁作
[083-17a]
丁戊線與丙乙平行末於甲丙引長之遇於戊即丙戊
為所求線若以甲丙為/前率倣此
第二法
以甲乙乙丙兩線聨作甲乙丙直角次以甲
丙線聨之而甲乙引長之末從丙作丙丁為
甲丙之垂線遇引長線於丁即乙丁為所求
線
三直線求别作一線相與為斷比例章第十六
[083-17b]
法曰甲乙乙丙甲丁三直線求别作一線相與為斷比
例者謂甲丁與他線之比例若甲乙與乙丙
也先以甲乙乙丙作直線為甲丙次以甲丁
線合甲丙任作甲角次作丁乙線相聨次從
丙作丙戊線與丁乙平行末自甲丁引長之
遇丙戊於戊即丁戊為所求線
兩直線求别作一線為連比例之中率章第十七
法曰甲乙乙丙兩直線求别作一線為中率
者謂甲乙與他線之比例若他線與乙丙也
[083-17b]
先以兩線作一直線為甲丙次以甲丙兩平
[083-18a]
分於戊次以戊為心甲丙為界作甲丁丙半圜末從乙
至圜界作乙丁垂線即乙丁為甲乙乙丙之中率
[083-18b]
新法筭書卷八十三