[069-1a] 
欽定四庫全書
古今律厯考卷六十九 明 邢雲路 撰
厯原三
厯原
求黄赤道弧矢勾股割圓差率度
周天徑一百二十一度七十五分少少不/用
半徑六十○度八十七分半又黄赤道大弦/又立勾股弦
黄赤道内外半弧背二十四度所測/就整
[069-1b]
黄赤道弧矢四度八十四分八十二秒
黄赤道大勾二十三度八十分七十秒
黄赤道大股五十六度二分六十八秒又為/立股
如問半弧背一度下黄赤道矢度若干
答曰八十二秒微以下/不用
術曰置半弧背一度自之得一度為半弧背冪
置周天徑一百二十一度太自之得一萬四千八百二
十三度六分二十五秒為徑冪又為/上廉
[069-2a]
置二冪相乘得一萬四千八百二十三度○六二五為
正實
置徑冪一萬四千八百二十三度○六二五以周徑一
百二十一度太乘之得一百八十○萬四千七百○
七度八十五分九十三秒七五為益從方
置半弧背一度倍之得二度以周徑乘之得二百四十
三度五十分為下廉
初商八十秒
[069-2b]
置初商八十秒乘上廉一萬四千八百二十三度○六
二五得一百一十八度五八四五以減益從方一百
八十○萬四千七百○七度八五九三七五餘一百
八十○萬四千五百八十九度二七四八七五為從
方
置初商八十秒自之得六十四微以減下廉餘二百四
十三度四九九九三六以八十秒乘之得一度九四
七九九九四八八為從廉併從方共得一百八十○
[069-3a]
萬四千五百九十一度二二二八七四四八八為下
法除正實餘實三百八十六度三十三分二七一七
○○四○九六置秒自之得微者葢八十秒自之原/得六十四分以萬定分定萬秒為分
筭得微/也餘同
次商二秒
置初商八十秒倍之得一分六十秒加次商二秒得一
分六十二秒乘上廉一萬四千八百二十三度○六
二五得二百四十○度一三三六一二五以減益從
[069-3b]
方餘一百八十○萬四千四百六十七度七二五七
六二五為從方
置初次商八十二秒自之得六十七微加初商八十秒
自之之數得一秒三十一微以減下亷二百四十三
度五十分餘二百四十三度四九九八六九以前所
得一分六十二秒乘之得三度九十四分四六九七
八七七八為從亷併從方共得一百八十○萬四千
四百七十一度六十七分○四六○三七七八為下
[069-4a]
法除餘實又餘實二十五度四三八三不足一秒/不用下同
是求得矢度八十二秒即授時厯元所謂立天元一
也
問黄道半弧背一度下赤道積度若干
答曰一度○八分六十五秒
術曰置半徑六十○度八十七分五十秒又為黄赤/道大弦内
減矢度八十二秒餘六十○度八六六八為黄赤道
小弦
[069-4b]
置黄赤道小弦以黄赤道大股五十六度○二分六十
八秒乘之得三千四百一十○度一七二○三○二
四以黄赤道大弦六十○度八七五而一得五十六
度○一分九十二秒為黄赤道小股又為赤/道小勾
置矢度八十二秒自之得六十七微以周天徑一百二
十一度太而一得五十五纖為黄道半背弦差微以/下不
用下/同
置黄道半弧背一度内減黄道半背弦差餘為黄道半
[069-5a]
弧弦今黄道半背弦差在/微以下所以不減即為黄道半弧弦
置黄道半弧弦一度自之得一度為弦冪
置黄赤道小股五十六度○一分九二自之得三千一
百三十八度一十五分○七六八六四為股冪
置二冪相併得三千一百三十九度一五○七六八六
四以平方法開之得五十六度○二分八一為赤道
小弦弧中以至黄/道小勾股隅
置黄道半弧弦一度以黄赤道大弦乘之得六十○度
[069-5b]
八七五以赤道小弦五十六度○二八一而一得一
度○八分六十五秒為赤道半弧弦
置黄赤道小股五十六度○一九二又為赤道/横小勾以乘黄
赤道大弦六十○度八七五得三千四百一十○度
一六八八以赤道小弦五十六度○二分八一而一
得六十○度八十六分五十三秒為赤道横大勾
置半徑六十○度八七五内減赤道横大勾六十○度
八六五三餘九十七秒為赤道横弧矢
[069-6a]
置赤道横弧矢九十七秒自之得九十四微○九以周
天徑而一得七十七纖為赤道背弦差
置赤道半弧弦一度○八分六十五秒内加赤道背弦
差為赤道積度今赤道背弦差/在微以下不加即為赤道積度
是求得赤道積度一度○八分六十五秒
問半弧背二度下黄赤道矢度若干
答曰三分二十八秒
術曰置半弧背二度自之得四度為半弧背冪
[069-6b]
置周天徑一百二十一度太自之得一萬四千八百二
十三度○六二五為徑冪又為/上廉
置二冪相乘得五萬九千二百九十二度二五為正實
置徑冪一萬四千八百二十三度○六二五以周天徑
一百二十一度太乘之得一百八十○萬四千七百
○七度八五九三七五為益從方
置半弧背倍之得四度以周天徑一百二十一度太乘
之得四百八十七度為下廉
[069-7a]
初商三分
置初商三分乘上廉一萬四千八百二十三度○六二
五得四百四十四度六九一八七五以減益從方一
百八十○萬四千七百○七度八五九三七五餘一
百八十○萬四千二百六十三度一六七五為從方
置初商三分自之得九秒以減下廉四百八十七度餘
四百八十六度九九九一以初商三分乘之得一十
四度六○九九七三為從廉併從方共得一百八十
[069-7b]
○萬四千二百七十七度七十七分七四七三為下
法除正實餘實五千一百六十三度九一六六七五
八一
次商二十秒
置初商三分倍之加次商二十秒得六分二十秒乘上
廉一萬四千八百二十三度○六二五得九百一十
九度○二九八七五以減益從方一百八十○萬四
千七百○七度八五九三七五餘一百八十○萬三
[069-8a]
千七百八十八度八十二分九十五秒為從方
置初次商三分二十秒自之得一十○秒二四加初商
三分自之之數得一十九秒二四以減下廉四百八
十七度餘四百八十六度九九八○七六以前所得
六分二十秒乘之得三十○度一九三八八○七一
二為從廉併從方共得一百八十○萬三千八百一
十九度○二三三八○七一二為下法除餘實又餘
實一千五百五十六度二七八六二九○五
[069-8b]
又商八秒
置初次商三分二十秒倍之得六分四十秒加三商八
秒共得六分四十八秒乘上廉一萬四千八百二十
三度○六二五得九百六十○度五三四四五以減
益從方餘一百八十○萬三千七百四十七度三二
四九二五為從方
置初次三商三分二十八秒自之得一十○秒七五八
四加初次商三分二十秒自之得一十○秒二四内
[069-9a]
共得二十○秒九九八四以減下廉四百八十七度
餘四百八十六度九九七九○○一六以六分四十
八秒乘之得三十一度五五七四六三九三為從廉
併從方得一百八十○萬三千七百七十八度八八
二三八八九三為下法除餘實又餘實一百一十三
度二五五五
是求得矢度三分二十八秒
問半弧背二度下赤道積度若干
[069-9b]
答曰二度一十七分二十八秒
術曰置半徑六十○度八七五又為黄赤/道大弦内減矢度三
分二十八秒餘六十○度八十四分二十二秒為黄
赤道小弦
置黄赤道小弦以黄赤道大股五十六度○二分六八
乘之得三千四百○八度七九三七七○九六以黄
赤道大弦而一得五十五度九九六六一二為黄赤
道小股又為赤/道小勾
[069-10a]
置矢度三分二十八秒自之得一十○秒七五八四以
周天徑一百二十一度太而一得八微八為黄道半
背弦差
置黄道半背二度内減黄道半背弦差餘為黄道半弧
弦今黄道半背弦差/在微以下不減即為黄道半弧弦
置黄道半弧弦二度自之得四度為弦冪
置黄赤道小股五十五度九九六六一二自之得三千
一百三十五度六二○五五五四七為股冪
[069-10b]
置二冪相併得三千一百三十九度六二○五五五四
七以平方法開之得五十六度○三二三一六為赤
道小弦弧中以至黄/道小勾股隅
置黄道半弧弦二度以黄赤道大弦乘之得一百二十
一度七五以赤道小弦五十六度○三二三一六而
一得二度一十七分二十八秒為赤道半弧弦
置黄赤道小股五十五度九九六六一二又為赤道/横小勾以
乘黄赤道大弦六十○度八七五得三千四百○八
[069-11a]
度七九三七五五五以赤道小弦五十六度○三二
三一六而一得六十○度八三六二為赤道横大勾
置半徑六十○度八七五内減赤道横大勾六十○度
八三六二餘三分八十八秒為赤道横弧矢
置赤道横弧矢自之得一十五秒○四六六四以周天
徑而一得一十二微為赤道背弦差
置赤道半弧弦二度一十七分二十八秒内加赤道背
弦差為赤道積度今赤道背弦差/在微以下不加即為赤道積度
[069-11b]
是求得赤道積度二度一十七分二十八秒
置一度下積度一度○八分六十五秒與二度下積度
二度一十七分二十八秒相減餘一度○八分六十
三秒為黄道一度下赤道度率後皆倣此
置一度下矢度八十二秒與二度下矢度三分二十八
秒相減餘二分四十六秒為黄道一度下差率後皆
倣此
問半弧背二十四度下黄赤道矢度若干
[069-12a]
答曰四度八十四分八十二秒
術曰置半弧背二十四度自之得五百七十六度為半
弧冪
置周天徑一百二十一度太自之得一萬四千八百二
十三度○六二五為徑冪又為/上廉
置二冪相乘得八百五十三萬八千○百八十四度為
正實
置徑冪以周天徑乘之得一百八十○萬四千七百○
[069-12b]
七度八五九三七五為益從方
置半弧背倍之得四十八度乘周徑一百二十一度太
得五千八百四十四度為下廉
初商四度
置初商四度乘上廉得五萬九千二百九十二度二十
五分以減益從方餘一百七十四萬五千四百一十
五度六○九三七五為從方
置初商四度自之得一十六度以減下廉餘五千八百
[069-13a]
二十八度以四度乘之得二萬三千三百一十二度
為從廉併從方共得一百七十六萬八千七百二十
七度六○九三七五為下法除正實餘實一百四十
六萬三千一百七十三度五十六分二十五秒
次商八十分
置初商四度倍之得八度加次商八十分共得八度八
十分乘上廉得一十三萬○四百四十二度九五以
減益從方餘一百六十七萬四千二百六十四度九
[069-13b]
○九三七五為從方
置初次商四度八十分自之得二十三度○四加初商
四度自之之數得三十九度○四以減下廉餘五千
八百○四度九六以乘八度八十分得五萬一千○
八十三度六四八為從廉併從方共得一百七十二
萬五千三百四十八度五五七三七五為下法除餘
實又餘實八萬二千八百九十四度七一六六
又商四分
[069-14a]
置初次商四度八十分倍之加又商四分得九度六四
乘上廉得一十四萬二千八百九十四度三二二五
減益從方餘一百六十六萬一千八百一十三度五
三六八七五為從方
置初次三商四度八十四分自之得二十三度四二五
六加初次商自之之數共得四十六度四六五六以
減下廉餘五千七百九十七度五三四四以乘九度
六十四分得五萬五千八百八十八度二三一六一
[069-14b]
六為從廉併從方共得一百七十一萬七千七百○
一度七六八四九一為下法除餘實又餘實一萬四
千一百八十六度六四五八六○三六
又商八十秒
置初次三商四度八十四分倍之加又商八十秒共得
九度六十八分八十秒乘上廉得一十四萬三千六
百○五度八二九五以減益從方餘一百六十六萬
一千一百○二度○二九八七五為從方
[069-15a]
置初次三四商四度八十四分八十秒自之得二十三
度五○三一○四加初次三商自之之數共得四十
六度九二八七○四以減下廉餘五千七百九十七
度○七一二九六以乘九度六八八得五萬六千一
百六十二度○二六七一五六四八為從廉併從方
共得一百七十一萬七千二百六十四度○五六五
九○六四八為下法除餘實又餘實四百四十八度
五三三四○七六三四八一六
[069-15b]
又商二秒
置初次三四商四度八四八倍之加又商二秒共得九
度六十九分六二以乘上廉得一十四萬三千七百
二十七度三七八六一二五以減益從方餘一百六
十六萬○九百八十○度四八○七六二五為從方
置初次三四五商得四度八四八二自之得二十三度
五○五○四三二四加初次三四商自之之數共得
四十七度○○八一四七二四以減下廉餘五千七
[069-16a]
百九十六度九九一八五二七六以乘九度六九六
二得五萬六千二百○八度七九二四○二七三一
五一二為從廉併從方共得一百七十一萬七千一
百八十九度二七三一六五二三一五一二為下法
除餘實又餘實一百○五度○九五五五三
是求得矢度四度八十四分八十二秒
問半弧背二十四度下赤道積度若干
答曰二十五度七十七分五十二秒
[069-16b]
術曰置周天半徑内減矢四度八四八二餘五十六度
○二六八為黄赤道小弦即黄赤/道大股
置黄赤道小弦與黄赤道大股相乘今同即/自之得三千一
百三十九度○○二三一八以半徑而一得五十一
度五六四七為黄赤道小股
置矢度四度八四八二自之得二十三度五○五以周
天徑而一得一十九分三為黄赤道背弦差在半弧
背二十四度内減之餘二十三度八○七為黄道半
[069-17a]
弧弦又為黄赤/道大勾自之得五百六十六度七七三二四
九為弦冪
置黄赤道小股自之得二千六百五十八度九一八二
八六○九為股冪併弦冪共得三千二百二十五度
六九一五三五○九以平方法開之得五十六度七
十九分五十一秒為赤道小弦弧中以至黄/道小勾股隅
置黄道半弧弦以半徑乘之得一千四百四十九度二
五一一二五以赤道小弦而一得二十五度五一七
[069-17b]
一為赤道半弧弦
置黄赤道小股五十一度五六四七以乘半徑得三千
一百三十九度以赤道小弦而一得五十五度二六
八八為赤道横大勾在半徑内減之餘五度六○六
二為赤道横弧矢自之得三十一度四二九四七八
四四以周天徑而一得二十五分八十一秒為赤道
背弦差加入赤道半弧弦内共得二十五度七十七
分五十二秒為赤道積度
[069-18a]
是求得赤道積度二十五度七十七分五十二秒
問半弧背四十四度下矢度若干
答曰一十六度五十六分八十二秒
術曰置周天徑自之得一萬四千八百二十三度○六
二五為徑冪又為/上廉
置半背四十四度自之得一千九百三十六度為半弧
背冪以乘徑冪得二千八百六十九萬七千四百四
十九度為正實
[069-18b]
置徑冪以乘周天徑得一百八十○萬四千七百○七
度八五九三七五為益從方
置半弧背倍之得八十八度以乘周徑得一萬○七百
一十四度為下廉
初商一十度
置初商乘上廉以減益從方餘一百六十五萬六千四
百七十七度二三四三七五為從方
置初商自之得一百度以減下廉餘一萬○六百一十
[069-19a]
四度以初商一十度乘之得一十○萬六千一百四
十度為從廉併從方共得一百七十六萬二千六百
一十七度二三四三七五為下法除正實餘實一千
一百○七萬一千二百七十六度六五六二五
次商六度
置初商倍之得二十度加次商六度共得二十六度以
乘上廉得三十八萬五千三百九十九度六二五以
減益從方餘一百四十一萬九千三百○八度二三
[069-19b]
四三七五為從方
置初次商得一十六度自之得二百五十六度加初商
自之之數共得三百五十六度以減下廉餘一萬○
三百五十八度以乘二十六度得二十六萬九千三
百○八度為從廉併從方共得一百六十八萬八千
六百一十六度二三四三七五為下法除餘實又餘
實九十三萬九千五百七十九度二五
又商五十分
[069-20a]
置初次商倍之加三商五十分共得三十二度五乘上
廉得四十八萬一千七百四十九度五三一二五以
減益從方餘一百三十二萬二千九百五十八度三
二八一二五為從方
置初次三商得一十六度五自之得二百七十二度二
五加初次商自之之數共得五百二十八度二五以
減下廉餘一萬○一百八十五度七五以乘三十二
度五得三十三萬一千○三十六度八七五為從廉
[069-20b]
併從方共得一百六十五萬三千九百九十五度二
○三一二五為下法除餘實又餘實一十一萬二千
五百八十一度六四八四三七五
又商六分
置初次三商倍之加又商六分共得三十三度○六乘
上廉得四十九萬○○五○四四六二五以減益從
方餘一百三十一萬四千六百五十七度四一三一
二五為從方
[069-21a]
置初次三四商得一十六度五六自之得二百七十四
度二三三六加初次三商得一十六度五自之之數
共得五百四十六度四八三六以減下廉餘一萬○
一百六十七度五一六四以乘三十三度○六得三
十三萬六千一百三十八度○九二一八四為從廉
併從方共得一百六十五萬○七百九十五度五○
五三○九為下法除餘實又餘實一萬三千五百三
十三度九一八一一八九六
[069-21b]
又商八十秒
置初次三四商得一十六度五六倍之加又商八十秒
共得三十三度一二八乘上廉得四十九萬一千○
五十八度四一四五以減益從方餘一百三十一萬
三千六百四十九度四四四八七五為從方
置初次三四五商得一十六度五六八自之得二百七
十四度四九八六二四加初次三四商得一十六度
五六自之之數共得五百四十八度七三二二二四
[069-22a]
以減下廉餘一萬○一百六十五度二六七七七六
以乘三十三度一二八得三十三萬六千七百五十
四度九九○八八三三二八為從廉併從方共得一
百六十五萬○四百○四度四三五七五八三二八
為下法除餘實又餘實三百三十○度六八二六三
二八九三三七六
又商二秒
置初次三四五商倍之加又商二秒共得三十三度一
[069-22b]
三六二乘上廉得四十九萬一千一百七十九度九
六三六一二五以減益從方餘一百三十一萬三千
五百二十七度八九五七六二五為從方
置初次三四五六商得一十六度五六八二自之得二
百七十四度五○五二五一二四加初次三四五商
得一十六度五六八自之之數共得五百四十九度
○○三八七五二四以減下廉餘一萬○一百六十
四度九九六一二四七六以乘三十三度一三六二
[069-23a]
得三十三萬六千八百二十九度二四四五八九二
六為從廉併從方共得一百六十五萬○三百五十
七度二四○三五一七六為下法除餘實又餘實六
十一分
是求得矢度一十六度五十六分八十二秒
問半弧背四十四度下赤道積度若干
答曰四十六度三十分八十五秒
術曰置周天半徑内減矢度一十六度五六八二餘四
[069-23b]
十四度三○六八為黄赤道小弦
置黄赤道小弦以乘黄赤道大股得二千四百八十二
度三六八二二二二四以黄赤道大弦而一得四十
○度七七八一為黄赤道小股
置矢度一十六度五六八二自之得二百七十四度五
○五二五一二四以圓徑而一得二度二五四六為
黄赤道背弦差以減半弧背四十四度餘四十一度
七四五四為黄道半弧弦又為赤/道小股自之得一千七百
[069-24a]
四十二度六七八四二一一六為弦冪
置黄赤道小股四十○度七七八一自之得一千六百
六十二度八五三四三九六一為股冪併弦冪共得
三千四百○五度五三一八六○七七以平方法開
之得五十八度三五六九為赤道小弦弧中以至黄/道小勾股隅
置黄道半弧弦四十一度七四五四以乘半徑得二千
五百四十一度二五一二二五以赤道小弦而一得
四十三度五十四分六十七秒為赤道半弧弦
[069-24b]
置黄赤道小股四十○度七七八一又為赤/道小勾乘半徑得
二千四百八十二度三六六八三七五以赤道小弦
而一得四十二度五十三分七六為赤道横大勾以
減半徑餘一十八度三三七四為赤道弧矢自之得
三百三十六度二六○二三八七六以圓徑而一得
二度七六一八為赤道背弦差加入赤道半弧弦内
共得四十六度三○八五為赤道積度
是求得赤道積度四十六度三○八五
[069-25a]
以新法密率推
周天徑一百一十六度八十四分五十秒就/整
黄道内外半弧背二十四度所測/就整
黄赤道大弦五十八度四十二分二十五秒即半徑又/名勾股弦
黄赤道弧矢五度○五分八十秒
黄赤道大句二十三度七十七分八十五秒即半/弧弦
黄赤道大股五十三度三十六分四十五秒以矢減/大弦得
問黄赤道内外二十四度為半弧背為矢若干
[069-25b]
答曰五度○五分八十秒
術曰置半弧背自之得五百七十六度為半弧冪
置周天徑一百一十六度八十四分五十秒自之得一
萬三千六百五十二度七五四○二五為徑冪又為/上廉
置徑冪以半背弧冪乘之得七百八十六萬三千九百
八十六度三一八四為正實
置徑冪以周天徑乘之得一百五十九萬五千二百五
十六度○四四○五一一二五為益從方
[069-26a]
置周天徑以倍半弧背得四十八度為全弧背乘之得
五千六百八十八度五六為下廉
置初商五度以因上廉得六萬八千二百六十三度七
七○一二五以減益從方餘一百五十二萬六千九
百九十二度二七三九二六一二五為從方
置初商五度自之得二十五度以減下廉餘五千六百
六十三度五六以初商五度因之得二萬八千三百
一十七度八為從廉併從方共得一百五十五萬五
[069-26b]
千三百一十○度○七三九二一二五為下法以除
正實得五度餘實八萬七千四百三十五度九四八
七六八九三七五
置初商五度倍之得十度加次商五分共得一十○度
○五分以乘上廉得一十三萬七千二百一十○度
一七七七八六五以減益從方餘一百四十四萬八
千○四十五度八六六二六四六二五為從方
置初次商五度○五分自之得二十五度五○二五以
[069-27a]
加初商自之之數二十五度共得五十○度五○二
五以減下廉餘五千六百三十八度○五七五以倍
初商加次商一十○度○五分乘之得五萬六千六
百六十二度四七七八七五為從廉以併從方得一
百五十○萬四千七百○八度三四四一九六二五
為下法以除餘實得五分餘次餘實一萬二千二百
○○度五三一五六一九五六二五
置初次商倍之得一十○度一十○分再加再商八十
[069-27b]
秒共得一十○度一十○分八十秒以乘上廉得一
十三萬八千七百二十二度○三七六八四七以減
益從方餘一百四十五萬六千五百三十四度○○
六三六六四二五為從方
置初次再三商五度○五八自之得二十五度五八三
三六六四再加初次商自之之數二十五度五○二
五共得五十一度○八五八六四以減下廉餘五千
六百三十七度四七一三六以初次商倍之再加再
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商之數共一十○度一十○分八十秒乘之得五萬
六千九百八十三度五八八七九四○四為從廉以
併從方共得一百五十一萬三千五百一十七度五
九五六○四六五以除次餘實得八十秒餘再次餘
實九十七度一七四八五八二七五三
置黄赤道大股自之得二千八百四十七度七六九八
六○二五為股冪
置黄赤道大弦自之得三千四百一十三度一八八五
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○二五為弦冪
置二冪相減餘五百六十五度四一八六四六以平方
法開之得二十三度七十七分八十五秒為大句又/為
立/句
右二法前乃授時舊法後乃新推密率且如黄鍾之率
推者非一古率圍三徑一魏劉徽以一百五十七之五
十為密率宋祖冲之以二十二之七為密率皆未善也
須以圓取實量圓中求徑乃得真率圓徑相取皆三一
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二六為率虚實積取率皆十三為準以此步筭周天三
百六十五度二十五分七十五秒得周天徑一百一十
六度八十四分五十秒弱較授時所用圍三徑一之古
法差四度九十分有奇徑差則矢句股弦皆差矣雖曰
圍三徑一與新推密率以步割圓分至於碎數亦相符
然圍三徑一非正法也須密率所求方為正法
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古今律厯考卷六十九
