[010-1a] 
欽定四庫全書
測圓海鏡分類釋術卷十
元 李 冶 撰
明 顧應祥 釋術
和較參互帶分測望
圓城甲乙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行各
不知步數而立相望與城相叅直丙復斜行七百八
十步與甲會以甲東行步除丙南行得二步四分
[010-1b]
釋曰此弦與勾除股數立法測望斜行七百八十步
弦也二步四分乃以勾除股所得之數
術曰斜步自之得六十○萬八千四百為平實 以
二步四分自之得五步七分六釐加一步得六步七
分六釐為隅算平方開之得三百為勾勾弦求股得
七百二十
甲乙二人俱在城外西北乾隅甲南行不知步數而立
乙東行隔城見之甲復斜行與乙相會告乙曰我直
[010-2a]
行斜行共行了一千二百八十步汝東行步居我南
行步十五分之八
釋曰此通股弦和與通勾股相較分立法測望乙東
行為通勾甲南行為通股斜行為通弦共行通股弦
和也乙東行既居甲南行十五之八是股得十五勾
得八
術曰股弦和自之得一百六十三萬八千四百又以
十六因之得二千六百二十一萬四千四百為實
[010-2b]
以二百五十七因和步得三十二萬八千九百六十
為益從 以一十六為隅算作減從負隅開平方法
除之得股弦較八十加和半之為弦減和半之為股
負隅減從開平方法見二卷
又曰勾居股十五分之八宜以八為勾率十五為股
率各自乘併為實平方開之得一十七為弦率併股
弦率得三十二為法置和步一千二百八十為實
置二位一位以股率乘之以法除之得六百為股一
[010-3a]
位以弦率乘之以法除之得六百八十為弦此差分
之法簡易明白
甲乙二人俱在城外西北乾隅乙直徃南行不知步數
而立甲往東行見之甲復斜行與乙會甲云我直斜
共行了一千步東行得汝南行十五分之八
釋曰此通勾弦和與通勾股相較分立法測望甲東
行為勾斜行與乙會為弦乙南行為股
術曰和步自之得一百萬為和筭分母自之得二百
[010-3b]
二十五以乘和筭得二億二千五百萬為實 分母
併分子以分母乘之加入分子得三百五十三倍之
得七百○六以乘共步得七十○萬六千為益從
分母自之得二百二十五為隅法 作負隅減從開
平方法除之得三百六十為勾弦較以較減和得勾
負隅減從開平方法見二卷
又曰勾居股十五之八就以八為勾率十五為股率
勾股求弦得一十七為弦率併勾弦二率共二十五
[010-4a]
為法以和一千為實 副置二位一位以勾率乘之
以法除之得勾一位以弦率乘之以法除之得弦
甲乙二人俱在城外西北乾隅甲南行不知步數而立
乙東行亦不知步數望見之又斜行與甲相㑹乙云
我東行不及城周九分之五甲云我南行多與汝東
行二百八十步問城徑
釋曰此通勾股較與通勾城周相較分數立法測望
乙東行通勾甲南行通股南行多與乙東行為勾股
[010-4b]
較乙東行不及城周九分之五則城周得九通勾得
四
術曰東行步少城周九分之五則城徑得三東行得
四 四勾股較得一千一百二十為實 城徑得東
行四分之三以四為分母分母自之得一十六於上
分母減子餘一倍之得二以分母減子乘之仍得二
以減上倍餘一十四為法 除實得八十為一分之
數 二之為城徑四之為勾加較即股
[010-5a]
甲出西門南行不知步數而立乙出北門東行見之乙
云我東行居城徑六分之五甲云我南行多於乙二
百八十步問城徑
釋曰此底勾邉股較與底勾城徑相較分數立法測
望乙出北門東行為底勾甲出西門南行為邉股多
於乙行步為勾股較乙東行居城徑六分之五為底勾
城徑相較步數
術曰四之較步得一千一百二十為實分母自之得
[010-5b]
三十六於上半之分母減分子得二倍之得四又以
減子餘二乘之得八以減上位餘二十八為法除實
得四十為一分之數五之為東行六之為城徑
甲乙二人俱在城外西北乾隅乙南行不知步數而立
甲東行不知步數見之問其行步則甲乙共行了九
百二十步問城徑居乙南行四十分之一十六
釋曰此通勾股和與通股城徑較分數立法測望甲
東行為通勾乙南行為通股共行九百二十為勾股
[010-6a]
和城徑得南行四十分之十六為通股城徑相較分
數
術曰以分子減母餘倍之得四十八以乘共行得四
萬四千一百六十為實 分子減母倍之以乘母子
和得二千六百八十八子自之得二百五十六相併
得二千九百四十四以為法實如法而一得一十五
為一分之數
又曰列四十與一十六以約分法約之城徑得南行
[010-6b]
五分之二分母減子餘三倍之得六以乘共行得五
千五百二十為實 分母減子倍之以乘母子併得
四十二 分子自之得四相併得四十六為法 除
實得一百二十為一分之數五之為通股二之為城
徑
約分法曰副置分母子以少減多得八為等八除
分母得五除分子得二
甲乙二人俱在城中心甲穿城往南不知步數乙出東
[010-7a]
門不知步數見之復斜行與甲會計其行乙東行較
甲南行得十五分之八乙斜行減甲南行餘三十四
減乙東行餘一百五十三步問城徑
釋曰此皇極勾弦較股弦較與皇極勾股較分數立
法測望甲南行為皇極股乙東行為皇極勾斜行為
皇極弦斜行減南行餘三十四股弦較也斜行減東
行餘一百五十三勾弦較也東行得南行十五分之
八勾股較分數也
[010-7b]
術曰二餘數相乘得五千二百○二倍之得一萬○
四百○四平方開之得一百○二復加二餘得二百
八十九自之得八萬三千五百二十一於上 又以
二餘數相減餘一百一十九自之得一萬四千一百
六十一以減上位餘六萬九千三百六十為實 分
母子相乘得一百二十倍之得二百四十為隅算作
負隅開平方法除之得一十七為一分之數八之為
勾十五之為股各加餘步得弦
[010-8a]
甲出西門南行乙出北門東行各不知步數相見復相
向斜行各三百四十步相會甲云城徑居我南行二
分之一乙云我東行居城徑六分之五問城徑
釋曰此通弦與底勾城徑較分數邉股城徑較分數
立法測望甲出西門南行為邉股乙出北門東行為
底勾斜行各三百四十步共為通弦城徑居南行二
分之一邉股城徑較分數也東行居城徑六分之五
底勾城徑較分數也
[010-8b]
術曰併斜行自之得四十六萬二千四百為實 即
弦筭東行居城徑六分之五城徑得南行二分之
一是城徑為六東行為五南行為十二半城徑加南
行為十五自之得二百二十五 半城徑加東行為
八自之得六十四 相併得二百八十九為隅算
作負隅平方開之得四十為一分之數十二之為邉
股五之為底勾六之為城徑
負隅開平方法見一卷
[010-9a]
甲出西門南行不知步數而立乙出北門東行不知步
數見之又斜行與甲會二人共計行一千三百六十
步南行得斜行十七分之十二東行得斜行一十七
分之五問城徑
釋曰此邉股底勾通弦和與底勾通弦較分數邉股
通弦較分數立法測望甲出西門南行為邉股乙出
北門東行為底勾斜行與甲會為通弦共行一千三
百六十邉股底勾通弦和也東行得斜行十七分之
[010-9b]
五底勾通弦較分數也南行得斜行十七分之十二
邉股與通弦較分數也
術曰此用差分法各列置衰弦十七股十二勾五副
併得三十四為法 置共步一千三百六十為實
以十七因之以法除之得通弦 以十二因之以法
除之得邉股 以五因之以法除之得底勾 求城
徑用底勾邉股求容圓法
甲出西門南行不知步數而立乙出北門東行見之既
[010-10a]
而乙謂甲云我取汝六分之五得六百步甲謂乙云
我取汝五分之三亦六百步
釋曰此底勾邊股錯揉立法測望甲出西門南行為
邊股乙出北門東行為底勾
術曰此法用方程術以乙取甲分母六乘六百步得三
千六百 甲取乙分母五乘六百步得三千 乙取甲
六分之五是五箇甲行六箇乙行也甲取乙五分之三
是五箇甲行三箇乙行也置甲五 乙六 三千六百
[010-10b]
步於右 甲五乙三三千步於左 以右甲五互乘
左乙三得一十五左甲五互乘右乙六得三十二正相
减 餘一十五為法 右甲五互乘左三千得一萬五
千左甲五互乘右三千六得一萬八千相减餘三千為
乙行之實 右乙六互乘左三千得一萬八千左乙三
互乘右三千六百得一萬○八百相减餘七千二百為
甲行之實 法除乙實得乙行二百步法除甲實得
甲行四百八十步 二行步相併自之得四十六萬二
[010-11a]
千四百於上 二行各自之甲得二十三萬○四百
乙得四萬 相併得二十七萬○四百以减上位 餘
一十九萬二千為實 二行相併得六百八十為從方
半步為隅算 作負隅帶從開平方法除之得全徑
負隅𢃄從開平方法見四卷底勾通弦條
又曰二行相乘得九萬六千為實 相併得六百八
十為從作𢃄從開平方法除之得半徑
𢃄從開平方法見前卷
[010-11b]
甲從城外西南坤隅往南不知步數而立乙從城外東
北艮隅往東望見之既而乙謂甲云我取汝所行三
分之一得二百步甲謂乙云我减汝所行四分之三
得三百步問城徑
釋曰此大差股小差勾錯揉立法測望甲從坤隅南
行為大差股乙從艮隅東行為小差勾
術曰此用方程術先以甲取乙分 三乘二百步得
六百步乃三箇乙行一箇甲行也 又以乙减甲分
[010-12a]
母四乘三百步得一千二百乃四箇甲行内減三箇
乙行也 置甲一乙三六百步於右 甲四乙三
一千二百步於左 以右甲一互乘左乙三仍得三
左甲四互乘右乙三得一十二一正一負相併得
一十五為法 以右甲一互乘一千二百如舊左甲
四互乘六百得二千四百 相減餘一千二百為乙
行之實 右乙三互乘一千二百得三千六百左負
乙三互乘六百得一千八百 正負相併得五千四
[010-12b]
百為甲行之實 法除乙實得乙行八十 法除甲
實得甲行三百六十求城徑以二行相乘倍之得五
萬七千六百平方開之
甲乙二人俱在城外西北乾隅甲南行不知步數而立
乙東行不知步數見之問其行步則甲南行與城徑
相較其餘步居南行五分之三乙東行與城徑相較
其餘步居東行四分之一又云二餘步相減餘二百
八十步問城徑
[010-13a]
釋曰此股圓差與股較分數勾圓差與勾較分數及
股圓差勾圓差較立法測望甲南行為通股城徑相
較餘步為股圓差股圓差居股五分之三乙東行為
通勾城徑相較餘步為勾圓差勾圓差居勾四分之
一二差相減餘二百八十步為股圓差與勾圓差相
較也
術曰倍二餘步相減數得五百六十步為實 勾母
乘股子減股母得七為法除之得勾圓差八十 三
[010-13b]
之為城徑四之為勾
甲乙二人俱在城外西北乾隅甲南行乙東行各不知
步數相望問其行步但云甲南行與城徑相較餘步
居南行步五分之三乙東行與城徑相較餘步居東
行步四分之一 又記得東行分母每分不及南行
每分四十步問城徑
釋曰此亦股圓差與股較分數勾圓差與勾較分數
及二差分母相較數立法測望甲南行為股城徑不
[010-14a]
及股步為股圓差差得股五分之三乙東行為勾城
徑不及勾步為勾圓差差得勾四分之一勾分母與
股分母相較得四十也
術曰置少步倍之得八十為實 以股母子相減得
二 勾母子相減得三 相減餘一為法除之仍得
八十為勾圓差三之為城徑四之為勾 求股圓差
以勾圓差加少步四十得一百二十為一分 二之
為城徑三之為股圓差五之為股
[010-14b]
甲出南門直行不知步數而立乙出東門直行見之甲
云我行不及股圓差二十四分之一十五乙云我行
不及勾圓差五分之四又云甲直行多於乙直行一
百一十九步二差相較二百八十步問城徑
釋曰股圓差三百六十通股與圓徑較也甲出南門
直行為明股明股與股圓差相較不及二十四分之
一十五勾圓差八十通勾與圓徑相較也乙出東門
直行為□勾□勾與勾圓差相較不及五分之四
[010-15a]
甲行多於乙行一百一十九步明股□勾較也二差
相較二百八十步勾圓差不及股圓差數也
[010-15b]
測圓海鏡分類釋術卷十
