[003-1a] 
欽定四庫全書
測圓海鏡分類釋術卷三
元 李 冶 撰
明 顧應祥 釋術
通勾與别股測望一凡三/條
圓城不知周徑乙從城外西南坤隅南行三百六十步
而立甲從城外西北乾隅東行三百二十步見之問
城徑
[003-1b]
釋曰乙從坤南行大差股也甲從乾東行通勾也此
以通勾大差股測望通勾為城北大勾大差股為城
西南之虚股
術曰二行相乘得一十一萬五千二百為實 倍乙
行得七百二十為從作減從開平方法除之得全徑
減從開平方法見二卷
又曰二行相併得六百八十為通弦以通勾弦求容
圓法求之即得
[003-2a]
南門外一百三十五步有樹甲從城外西北乾隅東行
三百二十步見之問城徑
釋曰此以通勾明股立法樹距南門明股也甲之東
行通勾也通勾乃城北大勾明股乃城南餘股
術曰東行自之又以樹距南門步乘之得一千三百
八十二萬四千為立實 倍樹距南門步以乘東行
步得八萬六千四百為從方二為隅算作帶從負隅
開立方法除之得半徑
[003-2b]
帶從負隅開立方曰布實於左從尾數至首常超
二位又以從方約之定首位得一百 置一於左
上為法 置一自之隅因得二萬為隅法併從方
得一十○萬六千四百為下法與上法相乘除實
一千○六十四萬餘實三百一十八萬四千 三
因隅法得六萬為方法 三因初商得三百又以
隅筭因之得六百為廉法 約次商得二十 置
一於左次為上法 置一乘廉法得一萬二千
[003-3a]
置一自之隅因得八百為隅法併方法從方廉隅
共一十五萬九千二百為下法與上法相乘除實
盡
後凡言帶從負隅開立方法者俱倣此
乙出東門南行三十步甲從乾隅東行三百二十步望
乙與城叅直問城徑
釋曰此以通勾□股測望甲東行通勾也乙出東門
南行三十步□股也
[003-3b]
術曰二行相乘得九千六百為實 以東行三百二
十為從方二為隅算作減從負隅翻法開平方除之
得半徑
減從負隅翻法開平方曰初商一百 置一於左
上為法 置一隅因得二百為隅法以減從方餘
一百二十為下法與上法相乘除實一萬二千實
不滿法反減實九千六百餘二千四百為負積
倍餘法得四百為廉法次商二十 置一於左次
[003-4a]
為上法 置一隅因得四十為隅法併廉隅共四
百四十減從不足反減從方三百二十餘一百二
十為下法與上次法相乘除實盡
後凡言帶從負隅翻法開平方者俱倣此
底勾與别股測望二
城西門南四百八十步有樹出北門東行二百步見之
問城徑
釋曰此底勾邊股立法測望西門南四百八十步邊
[003-4b]
股也出北門東行二百步底勾也底勾居城北勾之
半邊股居城西股之半
術曰二行相乘得九萬六千為實 相併得六百八
十為從二為隅筭 作負隅減從開平方法除之得
半徑
負隅減從開平方法見二卷通勾□/勾條
圓城出北門北行一十五步折而東行二百○八步有
樹出西門西行八步折而南行四百九十五步見之
[003-5a]
問城徑
釋曰此以底勾過步帶短股邊股過步帶短勾立法
測望出北門北行為短股折而東為長勾過於底勾
出西門西行為短勾折而南為長股過於邊股
術曰西行為短勾東行為長勾北行為短股南行為
長股短勾併長勾以長股乘之得一十○萬六千九
百二十 短股併長股以短勾乘之得四千○八十
相減餘一十○萬二千八百四十為勾股維乘差
[003-5b]
又自之得一百○五億七千六百○六萬五千六百
為三乘方實 長股内減二短勾餘與長勾相減餘
二百七十一為股減勾差 長勾内減二短股餘與
長股相減餘三百一十七為勾減股差 股減勾差
與勾減股差復相減餘四十六以乘勾股維乘差得
四百七十三萬○六百四十為從方 股減勾差與
勾減股相乘得八萬五千九百○七 長短勾併與
長短股併相乘又倍之得二十二萬○三百二十
[003-6a]
倍勾股維乘差得二十○萬五千八百六十 三數
相併得五十一萬一千九百○七為從一廉長短勾
併得二百一十六又四之得八百六十四 倍股減
勾差得五百四十二 二數相併得一千四百 六
為從二廉作帶從方廉開三乘方法除之得半徑
帶從方廉開三乘方曰置所得三乘方積為實
以從方廉約之初商得一百 置一於左上為法
置一乘從一廉得五千一百一十九萬○七百
[003-6b]
置一自之以乘從二廉得一千四百○六萬
置一自乘再乘得一百萬為隅法 併從方廉
隅共七千○九十八萬一千三百四十為下法與
上法相乘除實七十○億九千八百一十三萬四
千餘積三十四億七千七百九十三萬一千六百
為次商之實
倍從一廉得一億○二百三十八萬一千四百
三因從二廉得四千二百一十八萬 四因隅法
[003-7a]
得四百萬 初商自之 六因得六萬 初商三
之以乘下廉得四十二萬一千八百相併加入從
一廉得九十九萬三千七百○七為上廉 初商
四之帶從二廉得一千八百○六為下廉次商二
十 置一為法 置一乘上廉得一千九百八十
七萬四千一百四十 置一自之以乘下廉得七
十二萬二千四百併方廉隅共一億七千三百八
十九萬六千五百八十為下法與上法相乘除實
[003-7b]
盡
或作初商一百 置一為法 置一乘從一廉
置一自之以乘從二廉 置一自乘再乘為隅法
併從方廉隅共七千○九十八萬一千三百四
十為下法與上法相乘除實七十○億九千八百
一十三萬四千餘實三十四億七千七百九十三
萬一千六百為次實 四因隅法得四百萬為方
法 初商自之 六因得六萬為上廉 初商
[003-8a]
四之得四百為下廉 次商二十 置一於左次
為上法 倍初商加次商得二百二十以乘從一
廉得一億一千二百六十一萬九千五百四十
初商三之併初次商因之得三萬六千 次商自
之得四百共三萬六千四百以乘從二廉得五千
一百一十七萬八千四百 以兩從廉併入從方
共一億六千八百五十二萬八千五百八十為從
置一乘上廉得一百二十萬 置一自之以乘
[003-8b]
下廉得一十六萬 置一自乘再乘得八千為隅
法併方廉隅共五百三十六萬八千帶從共一億
七千三百八十九萬六千五百八十為下法與上
法相乘除實盡
此法分别從方從廉明白故重録附之
出西門南行二百二十五步有塔出北門東行六十四
步望塔正居城之半問城徑
釋曰此以不及底勾與不及邊股測望南行二百二
[003-9a]
十五步與高股同即半徑為勾之股東行六十四步
與平勾同即半徑為股之勾也當以平勾高股立法
為是但其望塔當城之半故附底勾邊股條下
術曰二行相乘即半徑筭
乙從城外西南坤隅南行三百六十步甲出北門東行
二百步見之問城徑
釋曰此以底勾大差股立法測望乙從坤隅南行大
差股也甲東行底勾也底勾為城北東半勾大差股
[003-9b]
為城西南虚股
術曰二行相乘得七萬二千倍之得一十四萬四千
為實以南行三百六十為從方作帶從開平方法除
之得全徑
帶從開平方法見一卷
乙出南門直行一百三十五步甲出北門東行二百步
見之問城徑
釋曰此底勾明股立法測望乙出南門直行明股也
[003-10a]
甲出北門東行底勾也底勾為城北半勾明股為城
南餘股
術曰東行自之以南行乘之得五百四十萬又四之
得二千一百六十萬為立方實 以南門餘股一百
三十五為從廉作帶從廉開立方法除之得全徑
帶從廉開立方曰置所得立積為實 以從廉約
之初商二百 置一於左上為法 置一乘從廉
得二萬七千置一自之得四萬為隅法 併從廉
[003-10b]
共六萬七千為下法與上法相乘除實一千三百
四十萬餘實八百二十萬 倍從廉得五萬四千
三因隅法得一十二萬相併得一十七萬四千為
方法 三因初商帶從廉得七百三十五為廉法
約次商得四十 置一於左次為上法置一乘
廉法得二萬九千四百置一自之得一千六百為
隅法 併方廉隅共二十 萬五千為下法與上
法相乘除實盡
[003-11a]
後凡言帶從廉開立方法者俱倣此
乙出南門南行一百三十五步而立甲出北門北行一
十五步折而東行二百○八步見之問城徑
釋曰此底勾帶短股與明股立法測望乙出南門南
行明股也甲出北門北行北門外短股也折而東行
類底勾而過之
術曰以東行乗南行得二萬八千○八十自之得七
億八千八百四十八萬六千四百為三乘方實 東
[003-11b]
行自之得四萬三千二百六十四以乘南行得五百
八十四萬○六百四十倍之得一千一百六十八萬
一千二百八十為從方 北行自之於上 併南北
二行以減東行餘自之減上位餘數減上寄位 併
南北二行 以東行乘之倍之以減寄位 餘五萬
六千九百八十八為從一廉 四之東行得八百三
十二於上 併南北二行減東行餘五十八四之得二
百三十二以減上位餘六百為從二廉 四為虚隅
[003-12a]
作帶從二廉減從翻法開三乘方開之得半徑
帶一廉以從二廉益從減從為法翻法開三乘方
曰列所得三乘方實從一廉從二廉隅法約之
初商一百 置一於左上為法 置一乘從一廉
得五百六十九萬八千八百為益隅之廉 置一
自之以乘從二廉得六百萬為益從之廉併入從
方共一千七百六十八萬一千二百八十為通法
置一自乘再乘以隅因之得四百萬為隅法併
[003-12b]
益隅之廉共九百六十九萬八千八百為減實
以減通法餘七百九十八萬二千四百八十為
下法與上法相乘除實七億九千八百二十四
萬八千實不滿法翻減實七億八千八百四十八
萬六千四百餘九百七十六萬一千六百為負積
二因乘出從一廉得一千一百三十九萬七千
六百為益隅之廉 三因乘出從二廉得一千八
百萬為益從之廉 又三之初商乘從二廉得一
[003-13a]
十八萬為益從次廉 四因隅法得一千六百萬
為方法 初商自之六因又以隅因得二十四萬
為上廉 初商四之隅因得一千六百為下廉
次商二十 置一於左上為法 置一乘從一廉
得一百一十三萬九千七百六十併益隅之廉共
一千二百五十三萬七千三百六十共為益隅
置一乘益從次廉得三百六十萬 置一自之以
乘從二廉得二十四萬併二數加入益從之廉共
[003-13b]
二千一百八十四萬為益從 併入從方共三千
三百五十二萬一千二百八十為通法 置一乘
上廉得四百八十萬 置一自之以乘下廉得六
十四萬 置一自乘再乘隅因得三萬六千為隅
法 併方法上下廉隅法得二千一百四十七萬
二千 併益隅共三千四百○○萬九千三百六
十為減實 以減通法不及減反減通法三千三
百五十二萬一千二百八十餘四十八萬八千○
[003-14a]
八十為負法與上法相乘除負積盡
後凡言帶一廉以二廉益從減從翻法開三乘方
法者俱倣此
甲乙二人同出北門行至東北隅艮地分路乙往南行
一百五十步而立甲又東行連前共二百步望乙與
城相叅直問城徑
釋曰此底勾小差股立法測望甲前後共東行底勾
也乙往南行小差股也
[003-14b]
術曰二行相乘又以乙南行乘之得四百五十萬為
實二行相減以乘乙南行得七千五百二行相乘得
三萬 二數相併得三萬七千五百為法實如法而
一得半徑
又曰二行相乘得三萬為實 倍底勾減小差股餘
二百五十為法
乙出東門南行三十步而立甲出北門東行二百步望
乙與城相叅直問城徑
[003-15a]
釋曰此底勾□股立法測望乙出東門南行□股也
甲出北門東行底勾也
術曰二行相乘得六千為平實 相減得一百七十
為從方作減從翻法開平方法除之得半徑
減從翻法開平方法見二卷
又曰乙南行自之得九百為□股筭以乘東行得一
十八萬為立實 □股筭為從方 東行内減二之
乙南行餘一百四十為益廉作帶從減益廉翻法開
[003-15b]
立方法除之得半徑
帶從減益廉翻法開立方曰置所得積一十八萬
以從方廉約之 初商一百 置一於左上為法
置一乘從廉得一萬四千置一自之得一萬為
隅法帶從方共一萬 九百以減益廉餘三千一
百為下法與上法相乘除實二十一萬實不滿法
反減實一十八萬餘一十三萬為負積 倍益廉
得二萬八千三因隅法得三萬為方法 三因初
[003-16a]
商得三百為廉法 約次商得二十 置一於左
次為上法 置一乘益廉得二千八百併入倍益
廉得三萬○八百 置一乘廉法得六千置一自
之得四百為隅法併方從方廉隅共三萬七千三
百反減益廉三萬○八百餘六千五百為下法與
上法相乘除實盡
後凡言帶從減廉翻法開立方法者倣此
大差勾與别股測望三
[003-16b]
甲乙二人俱在城西門南行至西南坤隅分路乙往東
行一百九十二步而立甲復南行計前後共四百八
十步望乙與城相叅直問城徑
釋曰此大差勾與邊股立法測望乙自坤隅東行大
差勾也甲自西門往南共行邊股也
術曰二行相乘得九萬二千一百六十 又以乙東
行乘之得一千七百六十九萬四千七百二十為實
二行相減餘二百八十八亦以東行乘之得五萬
[003-17a]
五千二百九十六 加二行相乘之數共一十四萬
七千四百五十六為法實如法而一得半徑
又曰二行相乘為實 倍甲南行減乙東行餘為法
甲從城外西南坤隅東行一百九十二步乙從東北艮
隅南行一百五十步望甲與城相叅直問城徑
釋曰此大差勾與小差股立法測望甲東行大差勾
也乙南行小差股也與小差勾/大差股同
術曰二行相乘倍之即全徑筭
[003-17b]
小差勾與别股立法測望四
乙從城外東北艮隅東行八十步甲從城外西北乾隅
南行六百步見之問城徑
釋曰此小差勾與通股立法測望乙從艮隅東行小
差勾也甲從乾隅南行通股也與通勾大/差股同法
術曰二行相乘倍之得九萬六千為實 二之東行
得一百六十為從 作帶從開平方法除之得半徑
帶從開平方法見一卷
[003-18a]
乙從城外東北艮隅往東行八十步甲出西門南行四
百八十步見之問城徑
釋曰此小差勾與邊股立法測望乙東行小差勾也
甲南行邊股也
術曰二行相乘倍之得七萬六千八百為實以乙東
行為從作帶從開平方法除之得全徑
帶從開平方法見一卷
乙從艮隅東行八十步而立甲從城外西南坤隅南行
[003-18b]
三百六十步見之問城徑
釋曰此以小差勾大差股立法測望乙東行小差勾
也甲南行大差股也
術曰二行相乘倍之即圓徑筭
明勾與别股測望五
乙出南門東行七十二步而立甲從城外西北乾隅南
行六百步望乙與城相叅直問城徑
釋曰此明勾通股立法測望乙出南門東行明勾也
[003-19a]
甲從乾隅南行為通股
術曰二行相乘得四萬三千二百為實 以甲南行
六百為從方 二為隅法作負隅減從開平方法除
之得半徑
負隅減從開平方法見二卷
乙出南門東行七十二步而立甲出西門南行四百八
十步望乙與城相叅直問城徑
釋曰此明勾邊股立法測望乙東行明勾也甲南行
[003-19b]
邊股也
術曰乙東行自之得五千一百八十四為明勾筭以
南行乘之得二百四十八萬八千三百二十為立方
實 明勾筭為從 南行内減二東行餘三百三十
六為益廉 作帶從減廉開立方法除之得半徑
帶從減廉開立方曰置所得立方實以從方從廉
約之 初商一百 置一於左上為法 置一乘
益廉得三萬三千六百 置一自之得一萬為隅
[003-20a]
法帶從方共一萬五千一百八十四 以減益廉
餘一萬八千四百一十六為下法與上法相乘
除實一百八十四萬一千六百餘實六十四萬六
千七百二十為次商之實 倍益廉得六萬七千
二百 三因隅法得三萬為方法 三因初商得
三百為廉法 約次商得二十 置一於左上為
法 置一乘益廉得六千七百二十加入前倍廉
共七萬三千九百二十 置一乘廉法得六千
[003-20b]
置一自之得四百為隅法併方法從方廉隅共四
萬一千五百八十四以減益廉餘三萬二千三百
三十六為下法與上法相乘除實盡
後凡言帶從減廉開立方法者俱倣此
又曰明勾邊股相乘得三萬四千五百六十為實
明勾邊股相減餘四百○八為從方 一虚法作減
從開平方除之尤捷
甲出南門東行七十二步而立乙出東門南行三十步
[003-21a]
望乙與城相叅直問城徑
釋曰此明勾□股立法測望甲出南門東行明勾也
乙出東門南行□股也
術曰二行相乘得二千一百六十為實 相併得一
百○二為從 作以從減法開平方除之得半徑
以從減法翻法開平方曰置實于左從於右 約
初商得一百 置一於左上為法 置一為隅法
以從減隅隅不及減從内翻減隅一百餘二為負
[003-21b]
從以負從為下法與上法相乘得二百 反増入
實内共二千三百六十四為次商之實 倍隅法
得二百為廉法 約次商得二十 置一於左次
為上法 置一為隅法併廉隅共二百二十 以
從減之餘一百一十八為下法與上法相乘除實
盡
後凡如此類者俱倣此通變隨宜
又術二行相併得一百○二為太虚弦相減餘四十
[003-22a]
二即太虚勾股較 倍弦筭減較筭餘一萬九千○
四十四平方開之得一百三十八為太虚勾股和 加
較半之為股減較半之為勾 以太虚勾股求圓徑
又曰二行相乘倍為實 相減餘為從 作帶從開
平方法除之得虚勾二行相併即虚弦以勾弦求股
以得圓徑
□勾與别股立法測望四
乙出東門直行一十六步甲從城外西北乾隅南行六
[003-22b]
百步見之問城徑
釋曰此以□勾通股立法測望乙出東門直行□勾
也甲從乾隅南行通股也
術曰甲南行自之又以乙東行一十六乘之得五百
七十六萬為立方實 倍東行以乘南行得一萬九
千二百為從方 二為隅作帶從負隅開立方法除
之得半徑
帶從負隅開立方法見前通勾明股
[003-23a]
乙出東門直行一十六步甲出西門南行四百八十步
見之問城徑
釋曰此□勾邊股立法測望乙出東門直行□勾也
甲出西門南行邊股也
術曰二行相乘得七千六百八十又以南行乘之得
三百六十八萬六千四百又四之得一千四百七十
四萬五千六百為立方實 以東行一十六步為從
廉作帶從廉開立方法除之得全徑
[003-23b]
帶從廉開立方法見前底勾明股條
圓城不知周徑南門外一百三十五步有樹出東門直
行一十六步見之問城徑
釋曰此□勾明股立法測望出東門外一十六步為
□勾城東之餘勾也樹在城南一百三十五步為明
股城南之餘股也以餘勾餘股測城徑
術曰餘勾餘股相乘為勾乘股筭自之得四百六十
六萬五千六百為三乘方實 勾乘股筭倍之得四
[003-24a]
千三百二十又以餘勾餘股併乘之得六十五萬二
千三百二十為從方 餘勾餘股相併自之得二萬
二千八百○一餘勾餘股相減自之得一萬四千一
百六十二數相減餘八千六百四十為益廉 作帶
從廉添積開三乘方法除之得半徑
帶從益廉添積開三乘方曰置所得三乘方積以
從方廉約之初商一百 置一於左上為法 置
一乘從益廉得八十六萬四千併從方共一百五
[003-24b]
十一萬六千三百二十為益積之法與上法相乘
得一億五千一百六十三萬二千為益實添入原
積共一億五千六百二十九萬七千六百為通實
置一自乘再乘得一百萬為隅法與上法相乘
除實一億餘五千六百二十九萬七千六百為次
實 二因益廉得一百七十二萬八千 四因隅
法得四百萬為方法 初商自之 六因得六萬
為上廉 初商四之得四百為下廉 約次商得
[003-25a]
二十置一於左次為上法 置一乘益廉得一十
七萬二千八百併前倍廉共一百九十○萬○八
百 併從方共二百五十五萬三千一百二十為
益積之法與上法相乘得五千一百○六萬二千
四百為益實添入次實共一億○七百三十六萬
為通實置一乘上廉得一百二十萬 置一自之
以乘下廉得一十六萬置一自乘再乘得八千為
隅法併方廉隅共五百三十六萬八千為下法與
[003-25b]
上法相乘除實盡
又為帶從方廉減隅翻法開三乘方
其法曰初商一百 置一於左上為法 置一自
乘再乘得一百萬為隅法 置一乘從廉得八十
六萬四千併從方共一百五十一萬六千三百二
十以減隅法不及反減隅法一百餘五十一萬六
千三百二十為負隅與上法相乘得五千一百六
十三萬二千加原實共五千六百二十九萬七千
[003-26a]
六百為次商之實 四因隅法得四百萬為方法
初商自之六因得六萬為上廉 初商四之得
四百為下廉 次商二十置一於左次為上法
置一乘上廉得一百二十萬置一自之以乘下廉
得一十六萬 置一自乘再乘得八千為隅法併
方法廉隅共五百三十六萬八千為通隅 倍初
商加次商得二百二十以乘從廉得一百九十○
萬○八百併從方共二百五十五萬三千一百二
[003-26b]
十以減通隅餘二百八十一萬四千八百八十為
下法與上法相乘除實盡
後凡言如此類立法者倣此
又術曰以樹去南門步自之得一萬八千二百二十
五為餘股筭副置二位一以餘股乘之得二百四十
六萬○三百七十五為餘股立筭一以餘勾乘之得
二十九萬一千六百為勾乘股立筭相乘得七千一
百七十四億四千五百三十五萬為三乘方實 餘
[003-27a]
勾餘股相乘得二千一百六十為勾股相乘筭倍之
以乘餘股立筭得一百○六億二千八百八十二萬
為從方 餘勾自之得二百五十六為餘勾筭四之
以乘餘股得一十三萬八千二百四十 倍勾乘股
立筭得五十八萬三千二百 二數相減餘四十四
萬四千九百六十為從二減廉 以勾股相乘筭為
隅筭 作從廉減從方負隅開三乘方法除之得八
十一為明勾弦較以除明股筭得二百二十五為明
[003-27b]
勾弦和 加較半之為弦減較半之為勾 勾股相
乘倍為實 以較除之得通弦和較通弦和較即城
徑也
從㢘減從方負隅開三乘方曰約初商八十置一
於左上為法 置一自之以乘從廉得二十八億
四千七百七十四萬四千以減從方餘七十七億
八千一百○七萬六千 置一自乘再乘得五十
一萬二千以隅筭因之得一十一億○五百九
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十二萬為隅法 併從方共八十八億八千六百
九十九萬六千為下法與上法相乘除實七千一
百○九億五千九百六十八萬餘實六十四億八
千五百六十七萬為次實 四因隅法得四十四
億二千三百六十八萬為方法 初商自之六因
又以隅因得八千二百九十四萬四千為上廉 初
商四之隅因得六十九萬一千二百為下廉 約次
商得一 置一於左次為上法 倍初商加次商得
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一百六十一又併初次商為八十一乘之得一萬三
千○四十一以乘從廉得五十八億○二百七十
二萬三千三百六十以減餘從餘一十九億七千
八百三十五萬二千六百四十為從方 置一乘
上廉 置一自之以乘下廉俱如舊 置一自乘
再乘仍得一為隅法併方法從方廉隅共六十四
億八千五百六十七萬為下法與上法相乘除實
盡
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測圓海鏡分類釋術卷三
