[007-1a] 
欽定四庫全書
測圓海鏡分類釋術卷七
元 李 冶 撰
明 顧應祥 釋術
通勾股和與别勾股弦測望一
丙從城西門穿城東行二百五十六步而立丁從城北
門穿城南行三百七十五步而立甲乙二人俱在城
外西北乾隅甲向東乙向南各不知步數而立四人
[007-1b]
遙相望俱與城相叅直只云甲東乙南共步九百二
十問城徑
釋曰此以通勾股和與邉勾底股立法測望甲東行
為勾乙南行為股共步為通勾股和丙穿城東行邉
勾丁穿城南行底股也
術曰丙東行自之得六萬五千五百三十六為邉勾
筭 丁南行自之得一十四萬○六百二十五為底
股筭 相併得二十○萬六千一百六十一為二筭
[007-2a]
和 倍邉勾底股和與通勾股和相減餘三百四十
二又減於邉勾底股和餘二百八十九自之得八萬
三千五百二十一 以減二筭和餘一十二萬二千
六百四十為平實 以邉勾底股和六百三十一為
從 半步為隅算作負隅減從開平方法除之得全
徑
負隅減從開平方法見二卷通勾□勾條
丙出東門不知步數而立丁出南門不知步數而立甲
[007-2b]
乙二人俱在城外西北乾隅甲東行乙南行各立定
四人遙相望俱與城相叅直既而丁從立處向東北斜
行四百二十五步與甲㑹丙從立處向西南斜行五
百四十四步與乙㑹問甲乙行步則曰共行九百二
十問城徑
釋曰此通勾股和與邉弦底弦立法測望甲東行為
通勾乙南行為通股共行九百二十通勾股和也丙
從丁處斜行就甲底弦也丁從立處斜行就乙邉弦
[007-3a]
也
術曰二弦相減餘自之得一萬四千一百六十一為
實 二弦相併減共行步餘四十九為法實如法而
一得二百八十九減法為全徑
丙出南門東行稍逺丁出東門南行稍近甲乙二人俱
在城外西北乾隅甲東行乙南行各不知步數而立
相望俱與城相叅直既而丙從立處向東北斜行二
百七十二步與甲會丁從立處向東南斜行五百一
[007-3b]
十步與乙會問甲乙行步則曰共行九百二十步不
知城徑㡬何
釋曰此通勾股和與黄廣弦黄長弦立法測望甲東
行為勾乙南行為股共行九百二十步為通勾股和
也丙之就甲黄長弦也丁之就乙黄廣弦也
術曰併二弦以減通勾股和餘一百三十八為差
以併二弦乘差得一十○萬七千九百一十六為實
又以差加通勾股和得一千○五十八為法
[007-4a]
實如法而一得一百○二為太虚弦加差為全徑
丙出南門東行稍逺丁出東門南行稍近甲乙二人俱
在城外西北乾隅甲東行乙南行各不知步數而立
相望俱與城相叅直既而丙從立處向西南斜行四
百○八步與乙會丁從立處向東北斜行一百七十
步與甲會問甲乙行步則曰共行九百二十不知城
徑㡬何
釋曰此通勾股和與大差弦小差弦立法測望甲東
[007-4b]
行為通勾乙南行為通股共歩和也丙就乙大差弦
也丁斜就甲小差弦也
術曰二弦相併共五百七十八為二弦和以減通和
餘三百四十二為中率 以乘通和倍之得六十二
萬九千二百八十為實 三之通和得二千七百六
十 加中率得三千一百○二為從 二為隅算
作負隅減從開平方除之得全徑
負隅減從開平方法見二卷
[007-5a]
通勾股和與諸和較立法測望二
甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行共九百
二十步乙從城外東北艮隅南行丁從城外西南坤
隅東行四人遙相望而立俱與城相叅直既而甲還
至艮隅復南行一横一直共行二百三十步與乙會
丙還至坤隅復東行一横一直共行五百五十二步
與丁㑹問城徑
釋曰此通勾股和與大差勾股和小差勾股和立法
[007-5b]
測望甲東行為勾丙南行為股共行九百二十步通
勾股和也甲還至艮為小差勾復南行與乙會為小
差股共行二百三十步小差勾股和也丙還至坤為
大差股東行與丁會為大差勾共行五百五十二大
差勾股和也
術曰二差勾股和相併得七百八十二為大小差和
和以減通勾股和得一百三十八即太虚勾股和
又以大小差和和乘之得一十○萬七千九百一十
[007-6a]
六為平實 以通勾股和加太虚勾股和得一千○
五十八為法實如法而一得一百○二為虚弦加虚
和即城徑
又曰併二差和減通和得一百三十八為虚勾股和
二差和相減餘三百二十二乘之得四萬四千四
百三十六如前術得一千○五十八為法除之得四
十二為虚勾股較 以加和半之為股減和半之為
勾
[007-6b]
甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行共九百
二十步乙從城外東北艮隅南行丁從城外西南坤
隅東行各不知步數而立與甲丙共四人遙相望俱
與城相叅直既而乙復向東北斜行與甲㑹丁復向
西南斜行與丙會問其行步乙曰我南行不及斜行二
十步丁曰我東行不及斜行二百一十六步問城徑
釋曰此通勾股和與大差勾弦較小差股弦較立法
測望甲東行為通勾丙南行為通股共行九百二十
[007-7a]
步通勾股和也乙從艮隅南行為小差股斜行就甲
為小差弦不及二十步小差股弦較也丁從坤隅東
行為大差勾斜行就丙為大差弦不及二百一十六
步大差勾弦較也
術曰以小差股弦較減通和餘九百步復以二十步
乘之得一萬八千於上 又以大差勾弦較減九百
餘六百八十四半之得三百四十二乘上位得六百
一十五萬六千為立實 三因小差股弦較得六十
[007-7b]
以減通和餘八百六十於上 以半之大差勾弦較
一百○八減三百四十二餘二百三十四乘上位得
二十○萬一千二百四十為從方 以大差勾弦較
減通和餘七百○四 三之小差股弦較減通和餘
八百六十 相併得一千五百六十四於上 又以
大差勾弦較併三百四十二得五百五十八倍之得
一千一百一十六減去小差股弦較二十餘一千○
九十六以減上位餘四百六十八為益亷 四為常
[007-8a]
法作負隅帶亷減從開立方法除之得一百五十為
小差股加較為弦 弦較各自乘相減開其餘為勾
負隅帶益亷減從開立方曰初商一百 置一於
左上為法 置一乘益亷得四萬六千八百 置
一自之得一萬以隅法因之得四萬為隅法 併
益亷共八萬六千八百以減從方餘一十一萬四
千四百四十為下法與上法相乘除實一千一百
四十四萬四千實不滿法反除實六百一十五萬
[007-8b]
六千 餘五百二十八萬八千為負積 倍益亷
得九萬三千六百 三因隅法得一十二萬為方
法 三因初商得三百為亷法 次商五十 置
一於左上為法 置一乘從亷得二萬三千四百
併入倍亷共一十一萬七千為益亷 置一乘亷
法得一萬五千隅因得六萬 置一自之得二千
五百隅因得一萬為隅法併方亷隅共一十九萬
加益亷共三十○萬七千以減從方不及減反減
[007-9a]
從方二十○萬一千二百四十餘一十○萬五千
七百六十為負從與上法相乘除負積盡
此法雖已見前因有翻法故重出
又為帶從負隅添積開立方法
甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行共九百
二十步乙出東門東行丁出南門南行各不知步數
而立四人遙相望俱與城相叅直既而乙從立處斜
行與甲會丁從立處斜行與丙㑹以二斜行相和共
[007-9b]
三百九十一步相較得一百一十九步問城徑
釋曰此通勾股和與上高下平弦和上高下平弦較
立法測望甲東行通勾丙南行通股共步和也乙斜
就甲下平弦丁斜就丙上高弦共步和也相較較也
術曰二弦和自之得一十五萬二千八百八十一為
和筭 二弦較自之得一萬四千一百六十一為較
筭 較筭減弦筭餘半之得六萬九千三百六十為
實 以二弦和減通和餘五百二十九為從 作減
[007-10a]
從開平方法除之得二百四十為全徑
減從開平方法見二卷底勾□勾條
又曰和較相併半為高弦相減半之為平弦
甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行共九百
二十步乙丁二人俱在城外東南巽隅乙北行丁西
行各不知步數而立四人遙相望俱與城相叅直既
而乙復斜行至丁立處相㑹問其行步則曰乙直行
比丁直行較多其多步與斜行步相併共一百四十
[007-10b]
四步相減餘六十步問城徑
釋曰此通勾股和與太虚弦較和弦較較立法測望
甲東行為通勾丙南行為通股共步通勾股和也乙
從巽隅北行乃㢲之山與月之泛同太虚股也丁從
巽隅西行乃㢲之月即泛之山太虚勾也乙斜行就
丁乃山之月太虚弦也乙直行多於丁直行數太虚
勾股較也以多步併斜行一百四十四弦較和也多
歩減斜行六十弦較較也
[007-11a]
術曰弦較較減弦較和餘半之得四十二為太虛勾
股較 以減弦較和得弦自之得一萬○四百○四
倍之減較自乘一千七百六十四餘一萬九千○四
十四為實平方開之得一百三十八為太虛勾股和
加較半之為股減較半之為勾
通勾弦和與諸和較測望三
甲丙二人俱在城外西北乾隅甲直往東丙直往南乙
丁二人俱在城之南門乙向東行丁向南行俱不知
[007-11b]
步數而立四人遙相望俱與城相叅直既而甲向西
南斜至丙立處乙亦斜行至丁立處問其行步則甲
直斜共行一千步乙直斜共行二百二十五步問城
徑
釋曰此以通勾弦和明勾弦和立法測望甲在乾往
東為通勾斜行就丙為通弦直斜共步勾弦和也乙
在南門東行為明勾斜行就丁為明弦直斜共步勾
弦和也
[007-12a]
術曰乙共步自乘再乘得一千一百三十九萬○六
百二十五為平實 乙共歩自之得五萬○六百二
十五為從 甲共步一千為隅算 作負隅以從減
法開平方法除之得明股一百三十五
負隅以從減法開平方曰置實以從隅約之 初
商一百 置一於左上為法 置一乘隅算得一
十萬減去從方 餘四萬九千三百七十五為下
法與上法相乘除實四百九十三萬七千五百
[007-12b]
餘實六百四十五萬三千一百二十五為次實
下法再加十萬共一十四萬九千三百七十五為
方法次商三十 置一於左次為上法 置一乘
隅算得三萬併入方法共一十七萬九千三百七
十五為下法與上法相乘除實五百三十八萬一
千二百五十餘實一百○七萬一千八百七十五
為次實 下法内再加三萬共二十○萬九千三
百七十五為方法 次商五 置一於左次為上
[007-13a]
法 置一乘隅算得五千併入方法共二十一萬
四千三百七十五為下法相乘除實盡得明股一
百三十五
明股自之以勾弦和除之得勾弦較八十一加和
半之為股減和半之為勾
負隅以從減法開平方已見四卷大差勾黄長弦
下因此法有三位故重出而小變之
又為以從添積開平方
[007-13b]
其法曰初商一百置一於左上為法 置一乘從
得五百○六萬二千五百為益積添積共一千六百四
十五萬三千一百二十五為實 置一乘隅得一
十萬與上法相乘除實一千萬餘實六百四十五
萬三千一百二十五 倍隅法得二十萬為方法
約次商三十 置一於左次為上法 置一乘從
得一百五十一萬八千七百五十為益實 添餘
積共七百九十七萬一千八百七十五為實 置
[007-14a]
一乘隅得三萬併方法共二十三萬為下法與上
法相乘除實六百九十萬 餘實一百○七萬一
千八百七十五 下法内再加三萬共二十六萬
為方法 次商五 置一於左上為法置一乘從
方得二十五萬三千一百二十五為益積 添入
餘積共一百三十二萬五千為實 置一乘隅得
五千併方法共二十六萬五千為下法與上法相
乘除實盡
[007-14b]
法已見前卷
甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行乙丁二
人俱出東門乙東行丁南行各不知步數而立四人
遙相望俱與城相叅直既而甲復斜行與丙會乙復
斜行與丁會問其行步甲直斜共一千步乙直斜共
五十步問城徑
釋曰此通勾弦和與□勾弦和立法測望甲東行為
通勾斜行就丙為通弦共步和也乙出東門而東□
[007-15a]
勾也斜行就丁□弦也和為共步
術曰通勾弦和内減二之□勾弦和餘九百為汎率
汎率自之得八十一萬半之得四十○萬五千 □
勾弦和乘汎率得四萬五千二數相併得四十五萬為
平實 二十二乘汎率得一萬九千八百 四十二
乘□和得二千一百減汎率得一千二百 二數相
併得二萬一千為益從 四之□勾弦和得二百為
隅法作負隅減從開平方法除之得□股三十
[007-15b]
負隅減從開平方法見二卷通勾□勾條
甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行各不知
步數而立遙望與城相叅直既而甲復向西南斜行
與丙相會問其行步甲一直一斜共一千步甲斜直
相較與甲之斜丙之直相較共四百四十步問城徑
釋曰此通勾弦和與勾弦較股弦較和立法測望甲
東行為通勾丙南行為通股甲斜行為通弦一直一
斜勾弦和也直斜相較為勾弦較甲斜丙直相較為
[007-16a]
股弦較兩相較共四百四十步二較和也
術曰以二較和減勾弦和餘五百六十半之自乘得
七萬八千四百為平實 以和一千為從方 二分
五釐為常法 作減從開平方法開之得八十為小
差勾
負隅減從開平方法見二卷
又曰以二較和減勾弦和餘五百六十自之得三十
一萬三千六百為平實 四之勾弦和得四千為從
[007-16b]
方 作減從開平方除之得八十不用負隅
通股弦和與諸和較測望四
甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行乙丁二
人俱出南門乙東行丁南行各不知步數而立四人
遙相望俱與城相叅直既而甲復斜行與丙會乙復
斜行與丁會問其行步則甲之斜與丙之直共一千
二百八十步乙之斜與丁之直共二百八十八步問
城徑
[007-17a]
釋曰此通股弦和與明股弦和立法測望甲東行為
通勾丙南行通股也甲斜行與丙㑹通弦也甲之斜
丙之直共步通股弦和也乙出南門東行為明勾丁
南行明股也乙斜行與丁會明弦也乙之斜丁之直
共步明股弦和也
術曰二和相減餘九百九十二 以明和乘之得二
十八萬五千六百九十六減明和筭餘二十○萬二
千七百五十二半之得一十○萬一千三百七十六
[007-17b]
為泛率 以五萬七千六百乘泛率得五十八億三
千九百二十五萬七千六百為平實 通和加二之
明和又半之得九百二十八為次率 次率乘泛率
得九千四百○七萬六千九百二十八 明和乘泛
率得二千九百一十九萬六千二百八十八 二數
相減餘六千四百八十八萬○六百四十為從方
次率自之得二千二百○八以明和乘之得六十
三萬五千九百○四 二數相減餘二十二萬五千
[007-18a]
二百八十為隅法 作帶從平方開之得明勾七
十二 勾自乘和除之得股弦較以加和半之為弦
減和半之為股
帶從隅開平方曰置實從隅約之初商七十置一
於左上為法 置一乘負隅得一千五百七十六
萬九千六百為隅法併從方共八千○六十五萬
○二百四十為下法 與上法相乘除實五十六
億四千五百五十一萬六千八百餘一億九千三
[007-18b]
百七十四萬○八百為次實 二因隅法得三千
一百五十三萬九千二百為亷法 次商二置
一於左上為法 置一乘隅法得四十五萬○五
百六十為隅法併從方亷法共九千六百八十七
萬○四百為下法與上法相乘
此條平實原係一百○二億七千七百○九萬三
千三百七十六數多故減之
甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行乙丁二
[007-19a]
人俱出城東門乙東行丁南行各不知步數而立四
人遙相望俱與城相叅直既而丙復斜行與甲相㑹
丁亦斜行與乙相㑹問其行步則曰丙一直一斜共
一千二百八十步丁一直一斜共行六十四步問城
徑
釋曰此通股弦和與□股弦和立法測望甲東行為
通勾丙南行通股也丙又斜行與甲會通弦也一直
一斜共步通股弦和也乙出東門為□勾丁南行□
[007-19b]
股也丁又斜行與乙會□弦也一直一斜共步□股
弦和也
術曰二共步相乘得八萬一千九百二十為平實
以通股弦和一千二百八十為從 以□和除通和
得二十為汎率減一自之得三百六十一 倍汎率
減一得三十九相併共得四百為隅算作以從減泛
負隅開平方法除之得□勾一十六步 勾自乘得
二百五十六以□勾股和除之得□股弦較四加和
[007-20a]
半之為弦減和半之為股
負隅以從減法開平方見四卷大差勾黄長弦條
又為以從添積開平方法
通弦和和與諸和較測望五
甲乙同在城外西北乾隅甲南行較逺乙東行較近隔
城斜望與城相叅直甲復向東北斜行與乙相會二
人共行了一千六百步甲南行不及斜行八十歩問
城徑
[007-20b]
釋曰此通弦和和與股弦較立法測望乙東行為通
勾甲南行為通股斜行與乙相會為通弦二人共行
一千六百步通弦和和也甲南行不及斜行八十步
股弦較也
術曰四之股弦較以減弦和和餘自之得一百六十
三萬八千四百 股弦較自之得六千四百义十八
因之得一十一萬五千二百 相減餘一百五十二
萬三千二百為平實○四之弦和和得六千四百減
[007-21a]
十六較加十八較得六千五百六十為從 四為隅
法作負隅減從開平方法除之得勾股較二百八十
加股弦較即勾弦較三百六十 股弦較乘勾弦
較倍為實平方開之得弦和較二百四十
負隅減從開平方法見二卷通勾□勾條
甲乙同在乾隅甲南行乙東行隔城相望與城叅直甲
向東北斜行與乙相會二人共行了一千六百步乙
東行不及甲斜行三百六十步問城徑
[007-21b]
釋曰此通弦和和與勾弦較立法測望乙東行為通
勾甲南行為通股斜行為通弦共行一千六百步通
弦和和也乙東行不及甲斜行勾弦較也
術曰倍較以較乘之得二十五萬九千二百又九之
得二百三十三萬二千八百寄于左 倍較以加和
得二千三百二十 倍較以減倍和得二千四百八
十 二數相減餘一百六十為泛率自之得二萬五
千六百以減左位餘二百三十○萬七千二百為平
[007-22a]
實 十八因較得六千四百八十減四泛率得七千
一百二十為從方 四為隅筭作帶從負隅開平方
法除之得二百八十為勾股較 以減勾弦較餘八
十為股弦較 勾弦較乘股弦較倍之為實平方開
之得弦和較
帶從負隅開平方法見四卷底勾通弦條
甲乙二人俱在乾隅甲南行乙東行遙相望與城相叅
直甲復向東北斜行與乙相會二人共行了一千六
[007-22b]
百步乙東行不及甲南行二百八十步問城徑
釋曰此通弦和和與勾股較立法測望乙東行為通
勾甲南行為通股斜行與乙會為通弦共行一千六
百步通弦和和也乙東行不及甲南行二百八十步
勾股較也
術曰併和較自之得三百五十三萬四千四百 和
較相減自之得一百七十四萬二千四百 二數相
併共五百二十七萬六千八百為平實 四之和步
[007-23a]
得六千四百為從 二為隅法 作帶從負隅開平
方法除之得六百八十為通弦減較得勾
帶從負隅開平方法見四卷底勾通弦條
甲乙二人俱在乾隅甲南行乙東行遙相望與城相叅
直甲復向東北斜行與乙會二人共行一千六百步
甲南行不及斜行與乙東行不及甲斜行共四百四
十步問城徑
釋曰此通弦和和與勾弦較股弦較併立法測望二
[007-23b]
人共步通弦和和也甲南行不及斜行為股弦較乙
東行不及斜行為勾弦較共四百四十步勾弦較與
股弦較併也
術曰併和及二差併以三歸之即通弦
甲乙二人俱在乾隅甲南行逺乙東行近遙相望與城
相叅直既而甲復向東北斜行與乙會二人共行一
千六百步甲南行不及斜行乙東行不及甲南行乙
東行不及甲斜行三事共七百二十步問城徑
[007-24a]
釋曰此通弦和和與勾股較勾弦較股弦較并立法
測望甲南行通股斜行通弦乙東行通勾共一千六
百步通弦和和也乙東行不及甲南行為勾股較不
及甲斜行為勾弦較甲南行不及斜行為股弦較三
較相併共七百二十
術曰三較和半之自乘又三之得三十八萬八千八
百減弦和和餘三十八萬七千二百為平實 倍弦
和和半三較和五之 二數相倂得五千為從 二
[007-24b]
為隅算作負隅減從開平方法除之得股弦較八十
負隅減從開平方見二卷通勾□勾條
通弦和和與别弦測望六
甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行乙丁二
人俱在城中心乙穿城往東門外丁穿城往南門外
直行各不知步數而立四人遙相望俱與城相叅直
既而丙向東北斜行與甲會甲東行與丙一南一斜
共一千六百步丁亦從南門外立處斜行二百八十
[007-25a]
九步與乙會問城徑
釋曰此通弦和和與皇極弦立法測望甲東行通勾
丙南行通股斜行通弦共步弦和和也乙從城心出
東門為皇極勾丁從城心出南門為皇極股丁斜行
會乙則皇極弦也
術曰以皇極弦乘通弦和和平方開之即通弦
甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行乙出東
門南行丁出南門東行各不知步數而立四人遙相
[007-25b]
望與城相叅直既而甲復斜行與丙會乙復斜行與
丁會問其行步則曰甲一東一斜與丙之南共一千
六百步乙斜行一百○二步問城徑
釋曰此通弦和和與太虛弦立法測望甲東行為通
勾斜行為通弦丙南行為通股共步一千六百通弦
和和也乙斜行與丁會即月之山太虚弦也
術曰半乙斜行以乘甲丙共步得八萬一千六百為
實 以共步一千六百為從 四為隅算作負隅減
[007-26a]
從翻法開平方法除之得三百四十為半通弦倍之
以減弦和和餘九百二十為勾股和再減通弦即弦
和較
負隅減從翻法開平方曰置所得平實以從約之
初商三百置一於左上為法置一隅因得一千二
百為隅法以減從方餘四百為下法與上法相乘
得一十二萬除實不足反減實八萬一千六百餘
三萬八千四百為負積 倍隅法得二千四百為
[007-26b]
亷法 次商四十置一於左上為法 置一隅因
得一百六十為隅法併亷法共二千五百六十減
從不足反減從一千六百餘九百六十為下法與
上法相乘除實盡得半通弦三百四十
後凡言負隅減從開平方法俱倣此
測圓海鏡分類釋術卷七
