[006-1a] 
欽定四庫全書
測圓海鏡分類釋術卷六
元 李 冶 撰
明 顧應祥 釋術
勾與和測望一
甲乙俱在城外西北乾隅甲南行不知步數而立乙東
行三百二十步見之甲又斜行與相會計甲直行斜
行共一千二百八十步問城徑
[006-1b]
釋曰此通勾與通股弦和測望乙東行通勾也甲直
斜共行通股弦和也
術曰勾自之得一十○萬二千四百 以和除之得
八十為股弦較 以較減和半之為股 以勾股求
容圓術求之得城徑
又曰勾和各自乘相減為實倍和除之得股相併為
實倍和除之得弦
邉勾以下俱以類推即是
[006-2a]
乙出東門南行丙出南門東行各不知步數而立只云
丙行多於乙步甲從乾隅東行三百二十步望乙丙
與城相叅直計乙丙共行一百○二步問城徑
釋曰此以通勾與明勾□股和測望甲東行通勾也
乙出東門南行為□股丙出南門東行為明勾共計
一百○二步明勾□股和也
術曰倍共步乘東行筭得二千○八十八萬九千六
百為立方實 共步乘東行加東行筭得一十三萬
[006-2b]
五千○四十為從方 東行為從亷 五分為隅算
作帶從負隅以亷減從開立方法除之得全徑
帶從負隅以亷減從半翻法開立方曰置所得實
以從方約之初商二百 置一於左上為法 置
一乘從亷得六萬四千以減從方存七萬一千○
四十為從 置一自之得四萬以隅算五分因之
得二萬為隅法 併從共九萬一千○四十為下
法與上法相乘除實一千八百二十○萬八千餘
[006-3a]
實二百六十八萬一千六百 從方内再減六萬
四千止餘七千○四十為從三因隅法得六萬為
方法 三因初商得六百為亷法 次商四十
置一於左次為上法 置一乘從亷得一萬二千
八百以減餘從不及減反減餘從七千○四十餘
五千七百六十為負從 置一乘亷法以隅因得
一萬二千 置一自之隅因得八百為隅法 併
方亷隅共七萬二千八百減去負從餘六萬七千
[006-3b]
○四十為下法與上法相乘除實盡
法已見四卷通勾太虚弦條因以五分為隅故重
出
又為帶從負隅以亷添積開立方法
法見四卷通勾虚弦條下
乙出東門東行丙出南門南行各不知步數而立甲從
乾隅東行三百二十步望乙丙二人俱與城相參直
計乙丙共行一百五十一步問城徑
[006-4a]
釋曰此以通勾與□勾明股和立法測望甲東行通
勾乙東行□勾丙南行明股也
術曰通勾自之得一十萬○二千四百半之得五萬
一千二百又自之得二十六億二千一百四十四萬
為三乘方實以三百六十二乘半通勾筭得一千八百
五十三萬四千四百為從方 通勾乘和步得四萬
八千三百二十為從一亷 五之通勾得一千六百
為從二亷 二分五釐為常法作帶從方亷三乘方
[006-4b]
法開之得八十為小差小差者通股弦較也以減通
勾即城徑
帶從方亷負隅單位開三乘方曰置所得三乘方
實以亷隅約之 商得八十置一於左上為法
置一乘從一亷得三百八十六萬五千六百置一
自之以乘從二亷得一千○二十四萬 置一自
乘再得五十一萬二千以二分五釐因之得一十
二萬八千為隅法 併從方一亷二亷隅法得三
[006-5a]
千二百七十六萬八千為下法與上法相乘除實
盡
東門外徃南有樹乙出東門徃東不知步數而立甲出
北門東行二百步斜望乙與樹正與城相叅直既而
乙復折而斜行至樹下與甲相望計乙直行斜行共
五十步
釋曰此以底勾與□勾弦和立法測望甲出北門東
行底勾也乙一直一斜□勾□弦也
[006-5b]
術曰底勾與和相減餘一百五十為差 差加底勾
復以差乘之得數半之得二萬六千二百五十 差
自之得二萬二千五百 二數相減餘三千七百
五十為實 併勾和半之得一百二十五為法實如
法而得一
南門外往東不知步數有樹乙出南門南行不知步數
而立甲出北門東行二百步見樹與乙與城相叅直
乙復斜行至樹下與甲相望計乙一直一斜共二百
[006-6a]
八十八步問城徑
釋曰此以底勾與眀股弦和立法測望甲出北門東
行底勾也乙出南門南行明股也斜行明弦也
術曰勾和相減餘半之得四十四為半差 以減底
勾餘一百五十六為汛率汎率自之又倍之得四萬
八千六百七十二半差乘和步得一萬二千六百七
十二 二數相減餘三萬六千為實 半底勾減和
步得一百八十八 倍汎率得三百一十二 二數
[006-6b]
相併得五百為法實如法而一得明勾
勾與較測望二
甲乙俱在城外西北乾隅甲南行不知步數而立乙東
行三百二十步見之甲又斜行與乙相㑹計甲直行
不及斜行八十步
釋曰此以通勾與股弦較測望乙東行通勾也甲直
行不及斜行股弦較也
術曰較除勾筭得一千二百八十為股弦和減較半
[006-7a]
之為股加較半之為弦
邉勾以下俱即此類推
股與和測望三
甲乙二人俱在城外西北乾隅甲南行六百步而立乙
東行不知步數見之又斜行與甲相㑹計乙直斜共
行一千步問城徑
釋曰此以通股勾弦和測望甲南行通股也乙直東
行與斜行共勾弦和也
[006-7b]
術曰股自之得三十六萬 和除之得三百六十為
勾弦較 減和半之為勾 加和半之為弦
邉股以下推此
甲從乾隅南行六百步而立乙出南門直行丙出東門
直行三人相望俱與城相叅直計其行步則乙與丙
共行一百五十一步
釋曰此以通股□勾明股和立法測望甲行通股乙
行眀股丙行□勾也共之和也
[006-8a]
術曰通股為筭半而自之得三百二十四億為三乘
方實倍和加通股以乘半通股筭得一億六千二百
三十六萬為從方 通股乘和步得九萬○六百為
從一亷 通股加半股得九百為從二亷 二分五
釐為隅算作帶從方亷負隅以二亷減從翻法開三
乘方法除之得三百六十為股圓差 以減通股即
圓徑
帶從方亷負隅以二亷減從翻法開三乘方曰置
[006-8b]
所得三乘方實以從方亷隅約之初商三百 置
一於左上為法 置一自之以乘二亷得八千一
百萬以減從方餘八千一百三十六萬 置一乘
從一亷得二千七百一十八萬 置一自乘再乘
以隅算二分五釐因之得六百七十五萬為隅
法 併從方從一亷隅法共一億一千五百二十
九萬為下法 與上法相乘除實三百四十五億
八千七百萬實不滿法反減實三百二十四億餘
[006-9a]
二十一億八千七百萬為負積 四因隅法得二
千七百萬為方法初商自之六因又以隅因之得
一十三萬五千為上亷 初商四之隅因之得三
百為下亷 商次位得六十 置一於左次為上
法 倍初商加次商得六百六十以乘從二亷得
五十九萬四千又併初次商得三百六十因得二
億四千三百八十四萬以減餘從亦不及減反減
從八千一百三十六萬餘一億三千二百四十八
[006-9b]
萬為負從 置一倍初商加次商得六百六十以
乘從一亷得五千九百七十九萬六千 置一乘
上亷得八百一十萬 置一自之以乘下亷得一
百○八萬 置一自乘再乘隅因之得五萬四千
為隅法 併方法從一亷上下亷隅法共九千六
百○三萬 以減負從餘三千六百四十五萬與
上次法除負積二十一億八千七百萬
又為帶從方負隅以二亷添積開三乘方
[006-10a]
其法曰初商三百 置一於左上為法 置一自
之以乘從二亷得八千一百萬與上法相乘得二
百四十三億為益實加入原實共五百六十七億為
實 置一乘從一亷得二千七百一十八萬為益
亷 置一自乘再乘得二千七百萬以隅算二分
五釐因之得六百七十五萬為隅法 併從方從
益亷隅法共一億九千六百二十九萬為下法與
上法相乘除實五百八十八億八千七百萬實不
[006-10b]
滿法反除實五百六十七億餘二十一億八千七
百萬為負積 四因隅法得二千七百萬為方法
初商自之六因又以隅因之得一十三萬五千為
上亷 初商四之隅因得三百為下亷 次商六
十 置一於左次為上法 置一倍初商加次商
得六百六十又併初次商相因得三百六十得二
十三萬七千六百 又加初商自之九萬共三十
二萬七千六百以乘從二亷得二億九千四百八
[006-11a]
十四萬與上次法六十相乘得一百七十六億九
千○四十萬減去負積存一百五十五億○三百
四十萬為實 倍初加次共六百六十以乘從一
亷得五千九百七十九萬六千為益從亷 置一
乘上亷得八百一十萬置一自之以乘下亷得
一百○八萬 置一自乘再乘隅因得五萬四千
為隅法 併方法益亷上下亷隅法共九千六百
○三萬 併從方共二億五千八百三十九萬為
[006-11b]
下法與上法相乘除實盡
右開三乘方内俱帶翻法后如此類者倣此
南門之東不知步數有樹乙出南門南行不知步數而
立甲出西門南行四百八十步望乙與樹俱與城相叅
直乙復斜行至樹下與甲相望計乙直行斜行共二
百八十八步問城徑
釋曰此以邉股及明股弦和立法測望甲出西門南
行邉股也乙出南門直行明股斜行至樹明弦也共
[006-12a]
步明股弦和也
術曰股和相減餘一百九十二為差 加股復以差
乘之折半得六萬四千五百一十二差自之得三萬
六千八百六十四 二數相減餘二萬七千六百四
十八為實 併股和半之得三百八十四為法 實
如法而一得明勾七十二以明勾股求圎徑
東門外往南有樹乙出東門東行不知步數而立甲出
西門南行四百八十步望樹與乙俱與城相叅直既
[006-12b]
而乙斜行至樹下與甲相望計乙直斜行共五十步
釋曰此以邉股及□勾弦和立法測望甲出西門南
行邉股也乙直行□勾斜行□弦也
術曰股和相併半之得二百六十五為汛率以汎率
減邉股餘二百一十五自之得四萬六千二百二十
五 和步乘汎率得一萬三千二百五十半之得六
千六百二十五 二數相減餘三萬九千六百為平
實 以汎率減邉股六之得一千二百九十為從方
[006-13a]
作帶從開平方法開之得□股三十
𢃄從開平方法見一卷
股與較測望四
甲乙二人俱在城外西北乾隅甲南行六百步而立乙
東行不知步數見之又斜行與甲相㑹計乙行直步
不及斜三百六十步問城徑
釋曰此以通股勾弦較測望甲南行通股也乙東行
不及斜行勾弦較也
[006-13b]
術曰股自乘較除之得勾弦利減較半之為勾加較
半之為弦
邉股以下推此
弦與和測望五
甲乙二人俱在城外西北乾隅乙向南行不知步數而
立甲向東行亦不知步數望見之遂斜行六百八十
步與乙㑹計甲之東與乙之南共九百二十步問城
徑
[006-14a]
釋曰此以通弦與勾股和測望甲斜行與乙㑹弦也
甲之東為勾乙之南為股共步和也
術曰倍弦筭與和筭相減餘為實平方開之得勾股
較減和半之為勾加和半之為股
邉弦以下推此
甲從北門向東直行庚從西門穿城東行丙從西門向
南直行壬從北門穿城南行四人遙相望悉與城相
叅直只云甲丙相望處斜量六百八十步庚壬穿城
[006-14b]
共行了六百三十一步問城徑
釋曰此通弦與邉勾底股和立法測望甲丙相望通
弦也庚從西門穿城東行邉勾也壬從北門穿城南
行底股也共步和也
術曰共步自之得三十九萬八千一百六十一為和
筭共步減相望處步餘自之得二千四百○一為差
筭 差筭減和筭餘三十九萬五千七百六十為平
實 倍斜步加差四十九共一千四百○九為從
[006-15a]
作帶從開平方法除之得全徑
帶從開平方法見一卷
甲乙二人共立於城外東北艮隅乙南行過城門而立
甲東行望乙與城相叅直而止丙丁二人共立於城
外西南坤隅丁向東過城門而立丙向南行望丁及
甲乙悉與城相叅直丙復斜行六百八十步與甲相
㑹計乙之南與丁之東共三百四十二步問城徑
釋曰此通弦與大差勾小差股和立法測望乙從艮
[006-15b]
隅而南過城門而立山之艮小差股也以甲東行為
勾丁從坤隅東行過城門而立坤之月大差勾也以
丙南行為股丙斜行與甲相會通弦也乙丁直行共
步大差勾與小差股和也
術曰斜步共步相乘倍之得四十六萬五千一百二
十為實 斜步共步相減餘三百三十八為差 倍
斜行加差共一千六百九十八為從 作帶從開平
法除之得全徑
[006-16a]
帶從開平方法見前
甲出東門東行乙出南門南行各不知步數相望與城
相叅直甲復斜行二百八十九步與乙相㑹乙直行
長甲直行短共計一百五十一步問城徑
釋曰此以皇極弦□勾明股和立法測望甲東行為
□勾乙南行為明股甲之斜行皇極弦也
術曰斜行自之得八萬三千五百二十一為弦筭
共步自之得二萬二千八百○一為和筭 和筭減
[006-16b]
弦筭餘六萬○七百二十為實 倍共步減斜行餘
一十三步為從 作帶從開平方法除之得全徑
帶從開平方法見前
甲乙二人同出東門甲東行乙南行丙丁二人同出南
門丙南行丁東行各不知步數而立四人遙相望悉
與城相叅直問其步數則曰甲丙共行了一百五十
一步乙丁立處相距一百○二步問城徑
釋曰此太虛弦與□勾明股和立法測望甲出東門直
[006-17a]
行為□勾而乙南行為股丙出南門南行為明股而
丁東行為勾甲丙共步□勾明股和也乙丁相距太
虚弦也
術曰共步相距步相減餘四十九為差 自之得二
千四百○一為差筭 共步自之得二萬二千八百
○一為和筭 差筭減和筭餘二萬○四百為實
倍距步减差餘一百五十五為從 作以從減法開平
方法除之得全徑
[006-17b]
以從減法開平方法見前
又為以從添積開平方
其法曰初商二百 置一於左上為法 置一乘
從得三萬一千為益積 添入原積共五萬一千
四百為實 置一為隅法與上法相乘除實四萬
餘實一萬一千四百 倍隅法得四百為亷法
次商四十 置一於左上為法 置一乘從方
得六千二百為益實 添入餘積共一萬七千六
[006-18a]
百為實 置一併亷法共四百四十為下法與上
法相乘除實盡
後凡言以從添積開平方法俱倣此
岀南門向東有槐樹出東門向南有栁樹丙丁俱出南
門丙直往南丁往東至槐樹下立甲乙俱出東門甲直
往東乙往南至桞樹下立四人遙相望見各不知歩
數只云丙丁共行了二百○七步甲乙共行了四十
六步其甲丙立處相距二百八十九步問城徑
[006-18b]
釋曰此以皇極弦與明勾股和□勾股和立法測望
槐在南門之東為南之月明勾也丁直行往南為日
之南明股也共行二百○七明勾股和也栁在東門
之南為山之東□股也甲直行往東為東之川□勾
也共行四十六步□勾股和也甲丙立處相距為日
川皇極弦也
術曰二和相減餘以減相距餘半之得六十四為平
勾 以加二和相減為平股 相乘為實平方開之
[006-19a]
即半徑
又曰二和相併以減相距餘半之得一十八為汎率
加明和為長加□和為廣長廣相乘得半徑筭
南門之東有槐東門之南有栁丙出南門直行丁出南
門東至槐下甲出東門直行乙出東門南至栁下相
望俱與城相叅直計丙南丁東共行二百○七步甲
東乙南共行四十六步其二樹相距一百○二步問
城徑
[006-19b]
釋曰此與前問同前以逺相距言此以近相距言近
相距太虚弦也以太虚弦與明叀二和立法測望
術曰叀和乘虚弦又自之得二千二百○一萬四千
八百六十四為平實 併二和自之得六萬四千○
○九為二和筭 □和自之得二千一百一十六為
□和筭 明和自之得四萬二千八百四十九為明
和筭 併明和筭叀和筭以減二和筭 餘一萬九
千○四十四為益隅作負隅開平方法除之得叀弦
[006-20a]
倍弦筭與和筭相減開其餘得叀勾股較加和半之
為股減和半之為勾
負隅開平方曰置所得平實以益隅約之初商三
十 置一於左上為法 置一乘益隅得五十七
萬一千三百二十為下法與上法相乘除實一千
七百一十三萬九千六百 餘實四百八十七萬
五千二百六十四 倍下法得一百一十四萬二
千六百四十為亷法 約次商得四 置一於左
[006-20b]
上為法 置一乘益隅得七萬六千一百七十六
併入亷法共一百二十一萬八千八百一十六
為下法與上法相乘除實盡
此法已見一卷底勾弦條下因隅算多故重出
又曰隅算除平實即得叀弦筭
又曰明和乘虚弦又自之得四億四千五百八十○
萬○○九百九十六為平實 如前法為負隅平
方開之得明弦 若以益隅除平實徑得明弦筭
[006-21a]
又術虚弦自之得一萬○四百○四為虚弦筭 以
叀和乘之得四十七萬八千五百八十四為平實
倍明和得四百一十四為益隅開之得叀弦 若以
益隅除平實徑得叀弦筭
虚弦自之以明和乘之得二百一十五萬三千六百
二十八為平實 倍叀和為益隅開之得明弦 若
以益隅除平實徑得明弦筭
三位負隅開平方曰置平實四億四千五百八十
[006-21b]
○萬○九百九十六于左 以益隅一萬九千○
四十四約之 初商一百置一於左上為法 置
一於右下乘益隅得一百九十○萬四千四百為
下法與上法相乘除實一億九千○四十四萬
餘實二億五千五百三十六萬○九百九十六
倍下法得三百八十○萬八千八百為亷法 次
商五十 置一於左上為法 置一乘益隅得九
十五萬二千二百為隅法 併亷法共四百七十
[006-22a]
六萬一千為下法 與上次相乘除實二億三千
八百○五萬 餘實一千七百三十一萬○九百
九十六 倍隅法得一百九十○萬四千四百
併入亷法共五百七十一萬三千二百為亷法
約三商得三 置一於左為法 置一右下乘益
隅得五萬七千一百三十二為隅法 併入亷法
共五百七十七萬○三百三十二為下法與上法
相乘除實盡
[006-22b]
弦與較測望六
甲丙二人俱在城外西北隅起程丙南行甲東行各不
知步數隔城相望既而甲斜行六百八十步與丙相
㑹問其東行步數則曰我少於丙南行二百八十步
問城徑
釋曰此通弦與通勾股較立法測望甲東行為勾丙
南行為股甲少於丙步數勾股較也斜行弦也
術曰弦自乘倍之得九十二萬四千八百較自乘得
[006-23a]
七萬八千四百相減餘八十四萬六千四百為實
平方開之得勾股和九百二十加較半之為股减較
半之為勾
又曰弦較相減得四百為弦較較 相併得九百六
十為弦較和 弦較較弦較和相乘得三十八萬四
千為實 倍較得五百六十為從 二為隅筭 作
以從減法負隅開平方法除之得通股 作帶從負
隅開平方法除之得通勾
[006-23b]
帶從負隅開平方法見四卷底勾通弦條
帶從負隅以從減隅開平方法見四卷大差勾黄
長弦條下
又為以從添積負隅開平方
以六百乘從益實倍六百得一千二百為法即是
邉弦以下類推
乙出東門南行不知步數而立甲出西門直徃南行回
望乙與城相叅直又斜行五百一十步與乙相㑹問
[006-24a]
乙行步則曰少於城徑二百一十步不知城徑㡬何
釋曰此黄廣弦與叀股黄廣勾較立法測望乙出東
門南行為叀股城徑即黄廣勾少於城徑即叀股黄
廣勾較也斜行黄廣弦也
術曰較自之得四萬四千一百為較筭以為實 斜
歩四之減二較餘一千六百二十為從 五為隅算
作負隅減從開平方法除之得叀股三十加較為黄
廣勾即城徑
[006-24b]
負隅減從開平方法見二卷通勾叀勾條
乙出南門東行不知步數而立甲出北門直徃東行望
乙與城相叅直又斜行二百七十二歩與乙相㑹問
乙東行步則曰少於城徑一百六十八步不知城徑
㡬何
釋曰此黄長弦與明勾黄長股較立法測望乙出南
門東行為明勾城徑即黄長股少於城徑即明勾黄
長股較也斜行黄長弦也
[006-25a]
術曰較自之得二萬八千二百二十四為實四斜行
減二較餘七百五十二為從方五為隅算作負隅減
從開平方法除之得明勾七十二加較為黄長股即
城徑
負隅減從開平方法見二卷
[006-25b]
測圓海鏡分類釋術卷六
