[007-1a] 
九章算術卷七算經十書/之二
魏 劉 徽 注
唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉勅注釋
盈不足以御隱/雜互見
今有共買物人出八盈三人出七不足四問人
數物價各幾何
荅曰七人
物價五十三
今有共買鷄人出九盈十一人出六不足十六
[007-1b]
問人數鷄價各幾何
苔曰九人
鷄價七十
今有共買璡人出半盈四人出少半不足三問
人數璡價各幾何
荅曰四十二人
璡價十七
今有共買牛七家共出一百九十不足三百三
十九家共出二百七十盈三十問家數牛價各
[007-2a]
幾何
荅曰一百二十六家
牛價三千七百五十按此術并盈不/足者爲衆家之
差故以爲實置所出率各以家數除/之各得一家所出率以少減多者得
一家之差以除卽家數以出/率乘之減盈故得牛價也
盈不足按盈者謂之朓不足者謂之朒所/出率謂之假令盈朒維乘兩設者
欲爲齊/同之意
術曰盈不足相與同共買物者置所出率
盈不足各居其下令維乘所出率并以爲
[007-2b]
實并盈不足爲法據共買物人出八盈三/人出七不足四齊其假
令同其盈朒盈朒俱十二通計齊則不盈/不朒之正數故可并以爲實并盈不足爲
法齊之三十二者是四假令有盈十二齊/之二十一者是三假令亦朒十二并七假
令合爲一實故/并三四爲法有分者通之若兩設有分/者齊其子同
其母此問兩設俱見零/分故齊其子同其母副置所出率以少
減多餘以約法實實爲物價法爲人數令/下
維乘上訖以同約之不可約故以乘同之/所出率以少減多者餘謂之設差以爲少
設則并盈朒是爲定實故以少設約法則/爲人數約實則爲物價盈朒當與少設相
通不可徧約亦當分/母乘設差爲約法實
[007-3a]
其一術曰并盈不足爲實以所出率以少
減多餘爲法實如法得一人以所出率乘
之減盈增不足卽物價此術意謂盈不足/爲衆人之差以所
出率以少減多餘爲一人之差以一/人之差約衆人之差故得人數也
今有共買金人出四百盈三千四百人出三百
盈一百問人數金價各幾何
荅曰三十三人
金價九千八百
今有共買羊人出五不足四十五人出七不足
[007-3b]
三問人數羊價各幾何
荅曰二十一人
羊價一百五十
兩盈兩不足
術曰兩盈兩不足相與同共買物者置所
出率盈不足各居其下令維乘所出率以
少減多餘爲實兩盈兩不足以少減多餘
爲法有分者通之副置所出率以少減多
餘以約法實實爲物價法爲人數按此術/兩盈者
[007-4a]
兩設皆逾於正數兩不足者兩設皆不足/於正數其所以變化則兩不足亦猶兩盈
而或有勢同而情違者當其爲實俱令不/足其相乘減則遺其所不足焉故其餘所
以爲實者無朒數以損焉葢出而有餘兩/盈兩設皆逾於正數假令與共買物人出
八盈三人出九盈十齊其假令同其兩盈/兩盈俱三十舉齊則兼去其餘所以爲實
者無盈數兩盈以少減多餘爲法齊之八/十者是十假令而凡盈三十是三以十齊
之齊之二十七者是三假令而凡盈三十/是十以三齊之兩盈共十三以三減十餘
七假令爲一實故令以三減十餘七爲法/所出率以少減多餘謂之設差因設差爲
少設則兩盈之差是爲定實故以少/設約法則爲人數約實則得物價
其一術曰置所出率以少減多餘爲法兩
[007-4b]
盈兩不足以少減多餘爲實實如法而一
得人數以所出率乘之減盈増不足卽物
價置所出率以少減多得一人之差兩盈/兩不足相減餘爲衆人之差故以一人
之差除之得人數以所出率/乘之減盈增不足卽物價
今有共買豕人出一百盈一百人出九十適足
問人數豕價各幾何
荅曰一十人
豕價九百
今有共買犬人出五不足九十人出五十適足
[007-5a]
問人數犬價各幾何
荅曰二人
犬價一百
盈適足不足適足
術曰以盈及不足之數爲實置所出率以
少減多餘爲法實如法得一人其求物價
者以適足乘人數得物價盈不足數爲實/者數單見卽衆
人差故以爲實所出率以少減多者餘卽/一人差故以爲法以除衆人差得人數以
適足乘人數卽得物價也/此術意謂所/出率以少減多者餘是一人不足之差不
[007-5b]
足數爲衆人之差以一人/差約之故得人之數也
今有米在十斗桶中不知其數滿中添粟而舂
之得米七斗問故米幾何
荅曰二斗五升
術曰以盈不足術求之假令故米二斗不
足二升令之三斗有餘二升按桶受一斛/若使故米二
斗須添粟八斗以滿之八斗得糲米四斗/八升課於七斗是爲不足二升若使故米
三斗須添粟七斗以滿之七斗得糲米四/斗二升課於七斗是爲有餘二升以盈不
足維乘假令之數者欲爲齊同之意實如/法卽得故米斗數乃不盈不朒之正數也
[007-6a]
今有垣高九尺瓜生其上蔓日長七寸瓠生其
下蔓日長一尺問幾何日相逢瓜瓠各長幾何
荅曰五日十七分日之五
瓜長三尺七寸十七分寸之一
瓠長五尺二寸十七分寸之十六
術曰假令五日不足五寸令之六日有餘
一尺二寸按假令五日不足五寸者瓜生/五日下垂蔓三尺五寸瓠生五
日上延蔓五尺課於九尺之垣是爲不足/五寸令之六日有餘一尺二寸者若使瓜
生六日下垂蔓四尺二寸瓠生六日上延/蔓六尺課於九尺之垣是爲有餘一尺二
[007-6b]
寸以盈不足維乘假令之數者欲爲齊同/之意實如法而一卽設差不盈不朒之正
數卽得日數以瓜瓠一日之/長乘之故各得其長之數也
今有蒲生一日長三尺莞生一日長一尺蒲生
日自半莞生日自倍問幾何日而長等
荅曰二日十三分日之六
各長四尺八寸十三分寸之六
術曰假令二日不足一尺五寸令之三日
有餘一尺七寸半按假令二日不足一尺/五寸者蒲生二日長四
尺五寸莞生二日長三尺是爲未相及一/尺五寸故曰不足令之三日有餘一尺七
[007-7a]
寸半者蒲增前七寸半莞增前四尺是爲/過一尺七寸半故日有餘以盈不足乘除
之又以後一日所長各乘日分子如日分/母而一者各得日分子之長也故各增二
長卽得/其數
今有垣厚五尺兩鼠對穿大鼠日一尺小鼠亦
日一尺大鼠日自倍小鼠日自半問幾何日相
逢各穿幾何
荅曰二日十七分日之二
大鼠穿三尺四寸十七分寸之十二
小鼠穿一尺五寸十七分寸之五
[007-7b]
術曰假令二日不足五寸令之三日有餘
三尺七寸半大鼠日倍二日合穿三尺小
鼠日自半合穿一尺五寸并大鼠所穿合
尺五寸課於垣厚五尺是爲不足五寸令
之三日大鼠穿得七尺小鼠穿得一尺七
寸半并之以減垣厚五尺有餘三尺七寸
半以盈不足術求之卽得以後一日所穿
乘日分子如日分母而一卽各得日分子
之中所穿故各増二日定穿卽合所問也
[007-8a]
今有醇酒一斗直錢五十行酒一斗直錢一十
今將錢三十得酒二斗問醇行酒各得幾何
荅曰醇酒二升半
行酒一斗七升半
術曰假令醇酒五升行酒一斗五升有餘
一十令之醇酒二升行酒一斗八升不足
二據醇酒五升直錢二十五行酒一斗五/升直錢十五課於三十是爲有餘十據
醇酒二升直錢一十行酒一斗八升直錢/一十八課於三十是爲不足二以盈不足
術求之此問已有重/說及其齊同之意也
[007-8b]
今有大器五小器一容三斛大器一小器五容
二斛問大小器各容幾何
荅曰大器容二十四分斛之十三
小器二十四分斛之七
術曰假令大器五斗小器亦五斗盈十斗
令之大器五斗五升小器二斗五升不足
二斗按大器容五斗大器五容二斛五斗/以減三斛餘五斗卽小器一所容故
曰小器亦五斗小器五容二斛五斗大器/一合爲三斛課於兩斛乃多十斗令之大
器五斗五升大器五合容二斛七斗五升/以減三斛餘二斗五升卽小器一所容故
[007-9a]
曰小器二斗五升大器一容五斗五升小/器五合容一斛二斗五升合爲一斛八斗
課於二斛少二斗故曰不足二斗以盈不/足維乘之各并爲實并盈不足爲法除之
今有漆三得油四油四和漆五今有漆三斗欲
令分以易油還自和餘漆問出漆得油和漆各
幾何
荅曰出漆一斗一升四分升之一
得油一斗五升
和漆一斗八升四分升之三
術曰假令出漆九升不足六升令之出漆
[007-9b]
一斗二升有餘二升按此術三斗之漆出/九升得油一斗二升
可和漆一斗五升餘有二斗一升則六升/無油可和故曰不足六升令之出漆一斗
二升則易得油一斗六升可和漆二斗於/三斗之中已出一斗二升餘有一斗八升
見在油合和得漆二斗則是有餘二升以/盈不足維乘之爲實并盈不足爲法實如
法而一得出漆升數求油及和漆者四五/各爲所求率四三各爲所有率而今有之
卽得/也
今有玉方一寸重七兩石方一寸重六兩今有
石立方三寸中有玉并重十一斤問玉石重各
幾何
[007-10a]
荅曰玉十四寸重六斤二兩
石十三寸重四斤十四兩
術曰假令皆玉多十三兩令之皆石不足
十四兩不足爲玉多爲石各以一寸之重
乘之得玉石之積重立方三寸是一面之/方計積二十七寸玉
方一寸重七兩石方一寸重六兩是爲玉/石重差一兩假令皆玉合有一百八十九
兩課於十一斤有餘十三兩玉重而石輕/故有此多卽二十七寸之中有十三寸寸
損一兩則以爲石重故言多爲石言多之/數出於石以爲玉假令皆石合有一百六
十二兩課於十一斤少十四兩故曰不足/此不足卽以重爲輕故令減少數於石重
[007-10b]
卽二十七寸之中有十四寸/寸增一兩則以爲玉重也
今有善田一畝價三百惡田七畝價五百今并
買一頃價錢一萬問善惡田各幾何
荅曰善田十二畝半
惡田八十七畝半
術曰假令善田二十畝惡田八十畝多一
千七百一十四錢七分錢之二令之善田
十畝惡田九十畝不足五百七十一錢七
分錢之三按善田二十畝直錢六千惡田/八十畝直錢五千七百一十四
[007-11a]
七分錢之二謂於一萬是多一千七百一/十四錢七分錢之二令之善田十畝直錢
三千惡田九十畝直錢六千四百二十八/七分錢之四課於一萬是爲不足五百七
十一錢七分錢之三/以盈不足術求之也
今有黃金九枚白銀十一枚稱之重適等交易
其一金輕十三兩問金銀一枚各重幾何
荅曰金重二斤三兩十八銖
銀重一斤十三兩六銖
術曰假令黃金三斤白銀二斤十一分斤
之五不足四十九於右行令之黃金二斤
[007-11b]
白銀一斤十一分斤之七多十五於左行
以分母各乘其行内之數以盈不足維乘
所出率并以爲實并盈不足爲法實如法
得黃金重分母乘法以除得銀重約之得
分也按此術假令黃金九白銀十一俱重/二十七斤金九約之得三斤銀十一
約之得二斤十一分斤之五各爲金銀一/枚重數就金重二十七斤之中減一金之
重以益銀銀重二十七斤之中減一銀之/重以益金則金重二十六斤十一分斤之
五銀重二十七斤十一分斤之六以少減/多則金輕十七兩十一分兩之五課於十
三兩多四兩十一分兩之五通分内子言/之是爲不足四十九又令之黃金九一枚
[007-12a]
重二斤九枚重十八斤白銀十一亦合重/十八斤也乃以十一除之得一枚一斤十
一分斤之七爲銀一枚之重數今就金重/十八斤之中減一枚金以益銀復減一枚
銀以益金則金重十七斤十一分斤之七/銀重十八斤十一分斤之四以少減多卽
金輕十一分斤之八課於十三兩少一兩/十一分兩之四通分内子言之是爲多十
五以盈不足術求之實如法得金重分母/乘法以除者謂銀兩分母同須通法而後
乃除得銀重餘皆/約之者術省故也
今有良馬與駑馬發長安至齊齊去長安三千
里良馬初日行一百九十三里日增十三里駑
馬初日行九十七里日減半里良馬先至齊復
[007-12b]
還迎駑馬問幾何日相逢及各行幾何
荅曰十五日一百九十一分日之一
百三十五而相逢
良馬行四千五百三十四里一百九
十一分里之四十六
駑馬行一千四百六十五里一百九
十一分里之一百四十五
術曰假令十五日不足三百三十七里半
令之十六日多一百四十里以盈不足維
[007-13a]
乘假令之數并而爲實并盈不足爲法實
如法而一得日數不盡者以等數除之而
命分求良馬行者十四乘益疾里數而半/之加良馬初日之行里數以乘日分
子如日分母而一所得及其不盡而命分/加於前良馬凡行里數卽得求駑馬行者
以十四乘半里以減駑馬初日之行里數/餘以并初日之行又半之乘十五日得駑
馬十五日之凡行又以十五日乘半里以/減駑馬初日之行餘以乘日分子如日分
母而一所得加前里卽駑馬定行里數其/奇半里者爲半法以半法增殘分卽得其
不盡者而命分按令十五日不足三百三/十七里半者據良馬十五日凡行四千二
百六十里除先去齊三千里定還迎駑馬/一千二百六十里駑馬凡十五日凡行一
[007-13b]
千四百二里半并良駑二馬所行得二千/六百六十二里半課於三千里少三百三
十七里半故曰不足令之十六日多一百/四十里者據良馬十六日凡行四千六百
四十八里先除去齊三千里定還迎駑馬/一千六百四十八里駑馬十六日凡行一
千四百九十二里并良駑二馬所行得三/千一百四十里課於三千里餘有一百四
十里故謂之多也以盈不足維乘假令之/數并而爲實并盈不足爲法實如法而一
得日數者卽設差不盈不朒之正數以二/馬初日所行里乘十五日爲十五日平行
數求初末益疾減遲之數者并一與十四/以十四乘而半之爲中平之積又令益疾
減遲里數乘之各爲減益之中平里故各/減益平行數得十五日定行里若求後一
日以十六日之定行里數乘日分子如日/分母而一各得日分子之定行里數故各
[007-14a]
并十五日定行里卽得其駑馬奇半里者/法爲全里之分故破半里爲半法以增殘
分卽合/所問也
今有人持錢之蜀賈利十三初返歸一萬四千
次返歸一萬三千次返歸一萬二千次返歸一
萬一千後返歸一萬凡五返歸錢本利俱盡問
本持錢及利各幾何
荅曰本三萬四百六十八錢三十七
萬一千二百九十三分錢之八萬四
千八百七十六
[007-14b]
利二萬九千五百三十一錢三十七
萬一千二百九十三分錢之二十八
萬六千四百一十七
術曰假令本錢三萬不足一千七百三十
八錢半令之四萬多三萬五千三百九十
錢八分按假令本錢三萬并利爲三萬九/千除初返歸留餘加利爲三萬二
千五百除二返歸留餘又加利爲二萬五/千三百五十除第三返歸留餘又加利爲
一萬七千三百五十五除第四返歸留餘/又加利爲八千二百六十一錢半除第五
返歸留合一萬錢不足一千七百三十八/錢半若使本錢四萬并利爲五萬二千除
[007-15a]
初返歸留餘加利爲四萬九千四百除第/二返歸留餘又加利爲四萬七千三百二
十除第三返歸留餘又加利爲四萬五千/九百一十六除第四返歸留餘又加利爲
四萬五千三百九十錢八分除第五返歸/留合一萬餘三萬五千三百九十錢八分
故曰多又術置後返歸一萬以十乘之十/三而一卽後所持之本加一萬一千又以
十乘之十三而一卽第四返之本加一萬/二千又以十乘之十三而一卽第三返之
本加一萬三千又以十乘之十三而一卽/第二返之本加一萬四千又以十乘之十
三而一卽初持之本并五/返之錢以減之卽利也
九章算術卷七終
[007-15b]
[007-15b]
九章算術卷七訂訛算經十書/之二
休寧 戴 震 東原
副置所出率以少減多餘以約法實實爲物價
法爲人數此術前列四問本通爲一徽注辭不/達意據第二問人出九盈十一人出
六不足十六以十六互乘九得一百四十四以/十一互乘六得六十六并之二百一十爲實所
謂相與同共買物者置所出率盈不足各居其/下令維乘所出率并以爲實也盈十一及不足
十六并之二十七爲法所謂幷盈不足爲法也/於出九減出六餘三以三約實二百一十得價
七十以三約法二十七得九人所謂副置所出/率以少減多餘以約法實實爲物價法爲人數
也其第一問所出率相減餘一則法實無庸約/故維乘并之徑得物價并盈不足徑得人數偶
[007-16a]
省一算耳第三問人出半盈四人出少半不足/三半卽二分之一少半卽三分之一也又卽爲
二人共出一盈四三人共出一不足三以二分/通三之一得二以三分通二之一得三是齊其
子也二分三分相乘得六是同其母也以盈四/互乘二得八以不足三互乘三得九并之十七
爲實是盈不足維乘所出率并以爲實也盈四/及不足三并而爲七以分母相乘所得六通而
齊之得四十二爲法是并盈不足爲法也二三/相減餘一以約法實亦無庸約故徑得物價人
數第四問七家共出一百九十不足三百三十/九家共出二百七十盈三十以九家互乘一百
九十得一千七百一十以七家互乘二百七十/得一千八百九十猶之齊其子也七家九家相
乘得六十三猶之同其母也以盈三十互乘一/千七百一十得五萬一千三百以不足三百三
十互乘一千八百九十得六十二萬三千七百/并之六十七萬五千爲實是盈不足維乘所出
[007-16b]
率并以爲實也盈三十及不足三百三十并而/爲三百六十以六十三通而齊之得二萬二千
六百八十爲法是并盈不足爲法也於一千八/百九十減一千七百一十餘一百八十以一百
八十約實六十七萬五千得價三千七百五十/以一百八十約法二萬二千六百八十得一百
二十六家是副置所出率以少減多餘以約/法實也三四兩問皆所謂有分者通之也
按此術兩盈者兩設皆逾於正數兩不足者兩
設皆不足於正數其所以變化則兩不足亦猶
兩盈而或有勢同而情違者當其爲實俱令不
足其相乘減則遺其所不足焉故其餘所以爲
實者無朒數以損焉葢出而有餘兩盈兩設皆
[007-17a]
逾於正數以上訛舛/不可通
術曰以盈不足術求之假令故米二斗不足二
升令之三斗有餘二升此下有脫文當云以盈/不足維乘假令之數并
爲實并盈不足爲法實/如法而一得故米斗數
術曰假令五日不足五寸令之六日有餘一尺
二寸此下有脫文當云以盈不足維乘假令之/數并爲實并盈不足爲法實如法而一得
日/數
術曰假令二日不足一尺五寸令之三日有餘
一尺七寸半此下有脫文當云以盈不足維乘/假令之數并爲實并盈不足爲法
[007-17b]
實如法而一得日數不盡者等數約之而命分/以後一日所長乘日分子如日分母而一各增
二長爲二物共/長齊等之數
術曰假令醇酒五升行酒一斗五升有餘一十
令之醇酒二升行酒一斗八升不足二此下有/脫文當
云各以盈不足維乘之并爲實并盈/不足爲法實如法而一得二酒之數
術曰假令一十五日不足三百三十七里半令
之一十六日多一百四十里以盈不足維乘假
令之數并而爲實并盈不足爲法實如法而一
得日數不盡者以等數除之而命分此下有脫/文當云求
[007-18a]
二馬各行里數以一十五日初末之行并而半/之一十五乘之又以後一日之定行乘日分子
日分母爲法而一各加於前/破半里爲半法以入殘分
求良馬行者一十四乘益疾里數而半之加良
馬初日之行里數此下有脫文當云以乘一十/五日得一十五日之凡行又
以一十五日乘益疾里/數加良馬初日之行
[007-18b]
