唐 李淳風 注釋
盈不足以御隠雜互見
今有共買物人出八盈三人出七不足四問人數物價
各幾何答曰七人物價五十三
今有共買雞人出九盈一十一人出六不足十六
數雞價各幾何答曰九人雞價七十
[007-1b]
今有共買璡人出半盈四人出少半不足三問人數璡
價各幾何答曰四十二人璡價十七
今有共買牛七家共出一百九十不足三百三十九家
共出二百七十盈三十問家數牛價各
二十六家牛價三千七百五十
按此術并盈不足者為衆家之差故以為實置所出
率各以家數除之各得一家所出率以少減多者得
一家之差以除即家數以出率乗之減盈故得牛價
[007-2a]
也
術曰盈不足相與同共買物者案此十字原本訛在有/分者通之句下共訛作
其遂不可/通今改正置所出率盈不足各居其下令維乗所出率
并以為
約之實為物價法為人數與他術實如/法而一者不同此五字後人所加今刪
按盈者謂之朓不足者謂之朒所出率謂之假令盈
朒維乗兩設者欲為同齊之意據共買物人出八盈
三人出七不足四齊其假令同其盈朒盈朒俱十二
[007-2b]
通計齊則不盈不朒之正數故可并之為實并盈不
足為法齊之三十二者是四假令有盈十二齊之二
十一者是三假令亦朒十二并七假令合為一實故
并三四為法案此條原本訛在以御隠/雜互見之下今改正移此
有分者通之
若兩設有分者齊其子同其母此問兩設俱見零分
故齊其子同其母案此條首句之上原本有注云二/字接上條故并三四為法之下係
後人連合注文田其更端不相通/貫竄入注云二字以别之今刪正
[007-3a]
副置所出率案原本脱/副字今補以少減多餘以約法實實為物
價法為人數案此術前列四問本會通為一徽注辭不/逹意後人失其解遂妄加改竄據第二問
人出九盈十一人出六不足十六以十六互乗九得一/百四十四以十一互乗六得六十六并之二百一十為
實所謂相與同共買物者置所出率盈不足各俱其丅/令維乗所出率并以為實也盈十一及不足十六并之
二十七為法所謂并盈不足為法也于出九減出六餘/三以三約實二百一十得價七十以三約法二十七得
九人所謂副置所出率以少減多餘以約法實實為物/價法為人數也其第一問所出率相減餘一則法實無
庸約故維乗并之徑得物價并盈不足徑得人數偶省/一算耳第三問人出半盈四人出少半不足三半即二
分之一少半即三分之一也又即為二人共出一盈四/三人共出一不足三以二分通三之一得二以三分通
[007-3b]
二之一得三是齊其子也二分三分相乗得六是同其/母也以盈四互乗二得八以不足三互乗三得九并之
十七為實是盈不足維乗所出率并以為實也盈四及/不足三并而為七以分母相乗所得六通而齊之得四
十二為法是并盈不足為法也二三相減餘一以約法/實亦無庸約故徑得物價人數第四問七家共出一百
九十不足三百三十九家共出二百七十盈三十以九/家互乗一百九十得一千七百一十以七家互乗二百
七十得一千八百九十猶之齊其子也七家九家相乗/得六十三猶之同其母也以盈三十互乗一千七百一
十得五萬一千三百以不足三百三十互乗一千八百/九十得六十二萬三千七百并之六十七萬五千為實
是盈不足維乗所出率并以為實也盈三十及不足三/百三十并而為三百六十以六十三通而齊之得二萬
二千六百八十為法是并盈不足為法也于一千八百/九十減一千七百一十餘一百八十以一百八十約實
[007-4a]
六十七萬五千得價三千七百五十以一百八十約法/二萬二千六百八十得一百二十六家是副置所出率
以少減多餘以約法實也三四兩問皆所謂有分者通/之也由此觀之後人改竄之謬顯然後兩盈兩不足相
與同共買物者後人亦/改竄其文謬戻倣此
令下維乗上訖以同約之不可約故以乗同之所出
率以少減多者餘謂之設差以為少設則并盈朒是
為定實故以少設約定實則法為人數適足之實故
為物價案二十字有舛誤當云故以少設/約法則為人數約實則為物價盈朒當與
少設相通不可徧約亦當分母乗設差為約法實
[007-4b]
條首句之上原本有又云二字接上條故齊其子同/其母之丅亦後人連合注文田其更端竄入此二字
以别之/今改正
其一術曰并盈不足為實以所出率以少減多餘為法
實如法得一以所出率乗之減盈増不足即物價
此術意謂盈不足衆衆人之差以所出率以少減多
餘為一人之差以一人之差約衆人之差故得人數
也案此條原本訛在第/一問之下今改正
今有共買金人出四百盈三千四百人出三百盈一百
[007-5a]
問人數金價各幾何答曰三十三人金價九千八百
今有共買羊人出五不出四十五人出七不足
數羊價各幾何答曰二十一人羊價一百五十
術曰兩盈兩不足相與同共買物者案此十二字原本/亦訛在後有分者
通之句下共訛/作其今改正置所出率盈不足各居其下令維乗所
出率以少減多餘為實兩盈兩不足以少減多餘為法
案此下原本有實如法而/一五字亦後人妄加今刪有分者通之副置所出率案/原
木脱副/字今補以少減多餘以約法實實為物價法為人數
[007-5b]
按此術兩盈兩不足者兩設皆不足于正數其所以
變化猶兩盈案此有脱誤當云兩盈者
所以變化則兩/不足亦猶兩盈而或有勢同而情違者當其為實俱
令不足其相乗減則遺其所不足焉故其餘所以為
實者無朒數以損焉葢出而有餘兩盈兩設皆通于
正數案以上訛/舛不可通假令與共買物人出八盈三人出九
盈十齊其假令同其兩盈兩盈俱三十案原本脱/盈字今補舉
齊則兼去其餘所以為實者無盈數兩盈以少減多
[007-6a]
餘為法齊之八十者是十假令而凡盈三十者是齊
十以十三之案此七字舛誤不可通/當云是三以十齊之齊之二十七者
是三假令而凡盈三十者是三以十之案此五字亦/舛誤當云是
十以三/齊之今假令兩盈共十三以三減十餘七為一實
故令以三減十餘七為法所出率以少減多餘謂之
設差因設差為少設則兩盈之差是為定實故以設
法人數約實即得全數案此十二字亦舛誤當云故/以少設約法則為人數約實
則得/物價
[007-6b]
其一術曰置所出率以少減多餘為法兩
少減多餘為實實如法而一得人數以所出率乗之減
盈増不足即物價
置所出率以少減多得一人之差兩盈兩不足相減
餘為衆人之差案原本脱/餘字今補故以一人之差除之得人
數以所出率乗之減盈増不足即物價
今有共買犬人出五不足九十人出五十適足問人數
大價各幾何答曰二人
[007-7a]
術曰以盈及不足之數為實實置所出率以少多餘為
法實如法得一其求物價者以適足乗人數得物價
此術意謂以所出率以少減多者餘是一人不足之
差不
也適足數為實者案此句訛舛當云/盈不足數為實者數單見即衆人
差故以為實所出率以少減多餘即一人差案原本/脱餘字
今/補故以為法以除衆人差得人數以適足乗人數即
得物價也
[007-7b]
今有米在十斗桶中不知其數滿中添粟而舂之得米
七斗問故果幾何答曰二斗五升
術曰以盈不足術求之假令故米二斗不足二升令之
三斗有餘二升案此下有脱文當云以盈不足維乗假/令之數并為實并盈不足為法實如法
而一得故/米斗數
按桶受一斛若使故米二斗須添粟八斗以滿之八
斗得糲米四斗八升課于七斗是為不足二升若使
故米三斗須添粟七斗以滿之七斗得糲米四斗二
[007-8a]
升課于七斗是為有餘二升以盈不足維乗假令之
數者欲為齊同之意案此下原本云為齊同者假令/據共買物人出八盈三人出七
不足四齊其假令同其盈朒俱十二通計齊即不盈/不朒之正數故可以并之為實并盈不足為法齊之
三十二者是四假令有盈十二齊之二十一者是三/假令而凡物十二并七假令合為一實故亦并三四
為法几一百字已見前此處係重/出衍文與上下絶不相涉今刪去實如法即得故米
斗數乃不盈不朒之正數也
長一尺問幾何日相逄𤓰瓠各長幾何答曰五日十七
[007-8b]
分日之五𤓰長三尺七寸一十七分寸之一瓠長五尺
二寸一十七分寸之一十六
術曰假令五日不足五寸令之六日有餘一尺二寸案/此
下有脱文當云以盈不足維乗假令之數并/為實并盈不足為法實如法而一得日數
按假令五日不足五寸者𤓰生五日下垂蔓三尺五
寸瓠生五日上延蔓五尺課于九尺之垣是為不足
五寸令之六日有餘一尺二寸者若使𤓰生六日下
垂蔓四尺二寸瓠生六日上延蔓六尺課于九尺之
[007-9a]
垣是為有餘一尺二
欲為齊同之意案此下原本云假令據共買物者人/出八盈三人出七不足四齊其假令
同其盈朒俱十二通計齊即不盈不朒之正數故可/并以為實并盈不足為法齊之三十二者是四假令
有盈十二齊之二十一者足三假令而凡朒十二并/七假令合為一實故亦并三四為法凡九十六字即
上條重出衍文復雜入于此/與上下亦絶不相涉今刪去實如法而一即設差不
盈不朒之正數即
數
即得日數以𤓰瓠一日之長乗之故
各得其長之數也
今有蒲生一日長三尺莞生一日長一尺蒲日自半莞
[007-9b]
生日自倍問幾何日而長等答曰二日十三分日之六
各長四尺八寸一十三分寸之六
術曰假令二日不足一尺五寸令之三日有餘一尺七
寸半案此下有脱文當云以盈不足維秉假令之數并/為實并盈不足為法實如法而一得日數不盡者
等數約之而命分以後一日所長乗日分子如/日分母而一各増二長為二物共長齊等之數
按假令二日不足一尺五寸者蒲生二日長四尺五
寸莞生二日長三尺是為未相及一尺五寸故曰不
足令之三日有餘一尺七
[007-10a]
増前四尺是為過一尺七寸半故曰有餘以盈不足
乗除之又以後一日所長各乗日分子如日分母而
一者各得日分子之長也故各増二長即得其數
今有
三十得酒二斗問醇行酒各得幾何答曰醇酒二升半
行酒一斗七升半
術曰假令醇酒五升行酒一斗五升有餘一十令之醇
酒二升行酒一斗八升不足二案此下有脱文當云各/以盈不足維乗之并為
[007-10b]
實并盈不足為法實如/法而一得二酒之數
據醇酒五升直錢二十五行酒一斗五升直錢一十
五課于三十是為有餘十據醇酒二升直錢一十行
酒一斗八升直錢一十八課于三十是為不足二以
盈不足術求之此問已有重説及其齊同之意也
大小器各容幾何答曰大器容二十四分斛之十三小
器容二十四分斛之七
[007-11a]
術曰假令大器五斗小器亦五斗盈一十斗令之大器
五斗五升小器二斗五升不足二斗
按大器容五斗大器五容二斛五斗以減二斛餘五
斗即小器一所容故曰小器亦五斗小器五容二斛
五斗大器一合為三斛課于兩斛乃多十斗令之大
器五斗五升大器五合容二斛七斗五升以減三斛
餘二斗五升即小器一所容故
器一容五斗五升小器五合容一斛二斗五升合為
[007-11b]
一斛八斗課于二斛少二斗故曰不足二斗以盈不
足維乗除之案此句有脱文當云以盈不足維乗/之各并為實并盈不足為法除之
今有漆三得油四油四和漆五今有漆三斗欲令分以
易油還自和餘漆問出漆得油和漆各幾何答曰出漆
一斗一升四分升之一得油一斗五升和漆一斗八升
四分升之三
術曰假令出漆九升不足六升令之出漆
餘二升
[007-12a]
按此術三斗之漆出九升得油一斗二升可和漆一
斗五升餘有二斗一升則六升無油可和故曰不足
六升令之出漆一斗二升則易得油一斗六升可和
漆二斗于三斗之中已出一斗二升餘有一斗八升
見在油合和得漆二斗則是有餘二升以盈不足維
乗之為實并盈不足為法實如法而一得出漆升數
案此下有脱文當/云求油及和漆者四五各為所求率四三各為所有
率而今有之即得也
[007-12b]
今有玉方一寸重七兩石方一寸重六兩今有石立方
三寸中有玉并重十一斤問玉石重各幾何
十四寸重六斤二兩石一十三寸重四斤一十四兩
術曰假令皆玉多十三兩令之皆石不足一十四兩不
足為玉多為石各以一寸之重乗之得玉石之積重
立方三寸是一面之方計積二十七寸玉方一寸重
七兩石方一寸重六兩是為玉石重差一兩假令皆
玉合有一百八十九兩課于一十一斤有餘一十三
[007-13a]
兩案此下原本衍/故謂二字今刪玉重而石輕故有此多即二十七
寸之中有十三寸寸損一兩則以為石重故言多為
石言多之數出于石以為玉假令皆石合有一百六
十二兩課于十一斤少十四兩故曰不足此不足即
以重為輕故令減少數于石重
十四寸寸増一兩也案此句有脱文當云寸/増一兩則以為玉重也
今有善田一畞價三百惡田七畞價五百今并買一頃
價錢一萬問善惡田各幾何答曰善田一十二畞半惡
[007-13b]
田八十七畞半
術曰假令善田二十畞惡田八十畞多一千七百一十
四錢七分錢之二令之善田一十畞惡田九十畞不足
五百七十一錢七分錢之三
按善田二十畞直錢六千惡田八十畞直錢五千七
百一十四
十四七分錢之二令之善田十畝直錢三千惡田九
十畞直錢六千四百二十八七分錢之四課于一萬
[007-14a]
是為不足五百七十一七分錢之三以盈不足術求
之也
今有黄金九枚白銀一十一枚稱之重適等交易其一
金輕十三兩問金銀一枚各重幾何答曰金重二斤三
兩一十八銖銀重一斤一十三兩六銖
術曰假令黄金三斤白銀二斤一十一分斤之五不足
四十九于右行令之黄金二斤
之七多一十五于左行以分母各乗其行内之數以盈
[007-14b]
不足維乗所出率并以為實并盈不足為法實如法得
黄金重分母乗法以除得銀重約之得分也
按此術假令黄金九白銀一十一俱重二十七斤金
九約之得三斤銀一十一約之得二斤一十一分斤
之五各為金銀一枚重數就金重二十七斤之中減
一金之重以益銀銀重二十七斤之中減一銀之重
以益金則金重二十六斤一十一分斤之五銀重二
十七斤一十一分斤之六以少減多則金輕一十七
[007-15a]
兩一十一分兩之五課于一十三兩多四兩一十一
分兩之五通分内子言之是為不足四十九又令之
黄金九一枚
亦合重一十八斤也乃以一十一除之得一枚一斤
一十一分斤之七為銀一枚之重數今就金重一十
八斤之中減一枚金以益銀復減一枚銀以益金則
金重一十七斤一十一分斤之七銀重一十八斤一
十一分斤之四以少減多即金輕一十一分斤之八
[007-15b]
課于一十三兩少一兩一十一分兩之四通分内子
言之是為多一十五以盈不足為之如法得金重案/此
二句有脱誤當云以盈不/足術求之實如法得金重以除者為銀兩分母故同
之案此二句亦脱誤當云分母/乗法以除者謂銀兩分母同須通法而後乃除得
銀重餘皆約之者術省故也
今有良馬與駑馬發長安至齊齊去長安三千里良馬
初日行一百九十三里日増一十三里駑馬初日行九
十七里日減半里良馬先至齊復
[007-16a]
相逢及各行幾何答曰一十五日一百九十一分日之
一百三十五而相逢良馬行四千五百三十四里一百
九十一分里之四十六駑馬行一千四百六十五里一
百九十一分里之一百四十五
術曰假令十五日不足三百三十七里半令之十六日
多一百四十里以盈不足維
盈不足為法實如法而一得日數不盡者以等數除之
而命分案以盈不足維乗至此原本訛入注内今據前/術體例改正又此下仍有脱文當云求二馬各
[007-16b]
行里數以十五日初末之行并而半之十五乗之又以/後一日之定行乗日分子日分母為法得一各加于前
破半里為半/法以入殘分
求良馬行者十四乗益疾里數而半之加良馬初日
之行里數案此下有脱文當云以乗十五日得十五/日之凡行又以十五日乗益疾里數加良
馬初日/之行以乗日分子如日分母而一所得前良馬凡
行里數即得其不盡而命分案此二句有舛誤當云/所得及其不盡而命分
加于前良馬凡/行里數即得求駑馬行者以十四乗半里又半之
以減駑馬初日之行里數以乗十五日之凡行案又/半之
[007-17a]
至此有訛脱當云以減駑馬初日之行里數餘以并/初日之行又半之乗十五日得駑馬十五日之凡行
又以十五日乗半里以減駑馬初日之行餘以乗日
分子如日分母而一所得加前里即駑馬定行里數
其竒半里者為半法以半法増殘分即得其不盡者
而命分按令十五日不足三百三十七里半者據良
馬十五日凡行四千二百六十里除先去齊三千里
定還迎駑馬一千二百六十里駑馬十五日凡行一
千四百二里半并良馬二馬所行得二千六百六十
[007-17b]
二里半課于三千里少三百三十七里半故曰不足
令之十六日多一百四十里者據良馬十六日凡行
四千六百四十八里先除去齊三千里定還迎駑馬
一千六百四十八里駑
十二里并良駑二馬所行得三千一百四十里課于
三千里餘有一百四十里故謂之多也以盈不足之
案此五字脱誤不可通當云以盈不足維/乗假令之數并而為實并盈不足為法實如法而
一得日數者即設差不盈不朒之正數以二馬初日
[007-18a]
所行里乗十五日為一十五日平行數求初末益疾
減遲之數者并一與十四以十四乗而半之為中平
之積案此下原本有減益疾/之數五字係衍文今刪又令益疾減遲里數乗
之各為減益之中平里故各減益平行數得一十五
日定行里若求後一日以十六日之定行里數乗日
分子如日分母而一各得日分子之定行里數故各
之分故破半里為半法以増殘分即合所問也
[007-18b]
今有人持錢之蜀賈利十三初返歸一萬四千次返歸
一萬三千次返歸一萬二千次返歸一萬一千後返歸
一萬凡五返歸錢本利俱盡問本持錢及利各幾何答
曰本三萬四百六十八錢三十七萬一千二百九十三
分錢之八萬四千八百七十六
一錢三十七萬一千二百九十三分錢之二十八萬六
千四百一十七
術曰假令本錢三萬不足一千七百三十八錢半令之
[007-19a]
四萬多三萬五千三百九十錢八分
按假令本錢三萬并利為三萬九千除初返歸留餘
加利為三萬二千五百除二返歸留餘又加利為二
萬五千三百五十除第三返歸留餘又加利為一萬
七千三百五十五除第四返歸留餘又加利為八千
二百六十一錢半除第五返歸留合一萬錢不足一
千七百三十八錢半若使本錢四萬并利為五萬二
千除
[007-19b]
歸留餘又加利為四萬七千三百二十除第三返歸
留餘又加利為四萬五千九百一十六除第四返歸
留餘又加利為四萬五千三百九十錢八分除第五
返歸留合一萬餘三萬五千三百九十錢八分故曰
多
又術置後返歸一萬以十乗之十三而一即後所持
之本加一萬一千又以十乗之十三而一即第四返
之本加一萬二千又以十乗之十三而一即第三返
[007-20a]
之本加一萬三千又十乗之十三而一即第二返之
本加一萬四千又以十乗之十三而一即初持之本
并五返之錢以減之即利也
今有垣厚五尺兩䑕對穿大䑕日一尺小䑕亦日一尺
大䑕日自倍小䑕日自半問幾何日相逢各穿幾何答
曰二日一十七分日之二大䑕穿三尺四寸十七分寸
之一十二小䑕穿一尺五寸十七分寸之五
術曰假令二日不足五寸令之三日有餘三尺七寸半
[007-20b]
大䑕日倍二日合穿三尺小䑕日自半合穿一尺五
寸并大䑕所穿合四尺五寸課于垣厚五尺是為不
足五寸令之三日大䑕穿得七尺小䑕穿得一尺七
寸半并之以減垣厚五尺有餘三尺七寸半以盈不
足術求之即得以後一日所穿案原本訛作/求今改正乗日分
子如日分母而一即各得日分子之中所穿故各増
二日定穿即合所問也
九章算術卷七
[008-1a]
欽定四庫全書