[004-1a] 
九章算術卷四算經十書/之二
魏 劉 徽 注
唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉勅注釋
少廣以御積/羃方圓
少廣臣淳風等謹按一畝之田廣一步長/二百四十步今欲截取其從少以益
其廣故/曰少廣
術曰置全步及分母子以最下分母徧乘
諸分子及全步臣淳風等謹按以分母乘/全步者通其分也以母乘
子者齊/其子也各以其母除其子置之於左命通
[004-1b]
分者又以分母徧乘諸分子及已通者皆
通而同之并之爲法臣淳風等謹按諸子/悉通故可并之爲法
亦不宜用合分術列數尤多若用乘/則算數至䌓故别制此術從省約置所
求步數以全步積分乘之爲實此以田廣/爲法以畝
積步爲實法有分者當同其母齊其子以/同乘法實而并齊於法今以分母乘全步
及子子如母而一竝以并全法則法實/俱長意亦等也故如法而一得從步數實
如法而一得從步
今有田廣一步半求田一畝問從幾何
荅曰一百六十步
[004-2a]
術曰下有半是二分之一以一爲二半爲
一并之得三爲法置田二百四十步亦以
一爲二乘之爲實實如法得從步
今有田廣一步半三分步之一求田一畝問從
幾何
荅曰一百三十步一十一分步之一
十
術曰下有三分以一爲六半爲三三分之
一爲二并之得一十一爲法置田二百四
[004-2b]
十步亦以一爲六乘之爲實實如法得從
歩
今有田廣一步半三分步之一四分步之一求
田一畝問從幾何
荅曰一百一十五步五分步之一
術曰下有四分以一爲一十二半爲六三
分之一爲四四分之一爲三并之得二十
五以爲法置田二百四十步亦以一爲一
十二乘之爲實實如法而一得從步
[004-3a]
今有田廣一步半三分步之一四分步之一五
分步之一求田一畝問從幾何
荅曰一百五步一百三十七分步之
一十五
術曰下有五分以一爲六十半爲三十三
分之一爲二十四分之一爲一十五五分
之一爲一十二并之得一百三十七以爲
法置田二百四十步亦以一爲六十乘之
爲實實如法得從步
[004-3b]
今有田廣一步半三分步之一四分步之一五
分步之一六分步之一求田一畝問從幾何
荅曰九十七步四十九分步之四十
七
術曰下有六分以一爲一百二十半爲六
十三分之一爲四十四分之一爲三十五
分之一爲二十四六分之一爲二十并之
得二百九十四以爲法置田二百四十歩
亦以一爲一百二十乘之爲實實如法得
[004-4a]
從步
今有田廣一步半三分步之一四分步之一五
分步之一六分步之一七分步之一求田一畝
問從幾何
荅曰九十二步一百二十一分步之
六十八
術曰下有七分以一爲四百二十半爲二
百一十三分之一爲一百四十四分之一
爲一百五五分之一爲八十四六分之一
[004-4b]
爲七十七分之一爲六十并之得一千八
十九以爲法置田二百四十步亦以一爲
四百二十乘之爲實實如法得從步
今有田廣一步半三分步之一四分步之一五
分步之一六分步之一七分步之一八分步之
一求田一畝問從幾何
荅曰八十八步七百六十一分步之
二百三十二
術曰下有八分以一爲八百四十半爲四
[004-5a]
百二十三分之一爲二百八十四分之一
爲二百一十五分之一爲一百六十八六
分之一爲一百四十七分之一爲一百二
十八分之一爲一百五并之得二千二百
八十三以爲法置田二百四十步亦以一
爲八百四十乘之爲實實如法得從步
今有田廣一步半三分步之一四分步之一五
分步之一六分步之一七分步之一八分步之
一九分步之一求田一畝問從幾何
[004-5b]
荅曰八十四步七千一百二十九分
步之五千九百六十四
術曰下有九分以一爲二千五百二十半
爲一千二百六十三分之一爲八百四十
四分之一爲六百三十五分之一爲五百
四六分之一爲四百二十七分之一爲三
百六十八分之一爲三百一十五九分之
一爲二百八十并之得七千一百二十九
以爲法置田二百四十步亦以一爲二千
[004-6a]
五百二十乘之爲實實如法得從步
今有田廣一步半三分步之一四分步之一五
分步之一六分步之一七分步之一八分步之
一九分步之一十分步之一求田一畝問從幾
何
荅曰八十一步七千三百八十一分
步之六千九百三十九
術曰下有一十分以一爲二千五百二十
半爲一千二百六十三分之一爲八百四
[004-6b]
十四分之一爲六百三十五分之一爲五
百四六分之一爲四百二十七分之一爲
三百六十八分之一爲三百一十五九分
之一爲二百八十十分之一爲二百五十
二并之得七千三百八十一以爲法置田
二百四十步亦以一爲二千五百二十乘
之爲實實如法得從步
今有田廣一步半三分步之一四分步之一五
分步之一六分步之一七分步之一八分步之
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一九分步之一十分步之一十一分步之一求
田一畝問從幾何
荅曰七十九步八萬三千七百一十
一分步之三萬九千六百三十一
術曰下有一十一分以一爲二萬七千七
百二十半爲一萬三千八百六十三分之
一爲九千二百四十四分之一爲六千九
百三十五分之一爲五千五百四十四六
分之一爲四千六百二十七分之一爲三
[004-7b]
千九百六十八分之一爲三千四百六十
五九分之一爲三千八十一十分之一爲
二千七百七十二一十一分之一爲二千
五百二十并之得八萬三千七百一十一
以爲法置田二百四十步亦以一爲二萬
七千七百二十乘之爲實實如法得從步
今有田廣一步半三分步之一四分步之一五
分步之一六分步之一七分步之一八分步之
一九分步之一十分步之一十一分步之一十
[004-8a]
二分步之一求田一畝問從幾何
荅曰七十七步八萬六千二十一分
步之二萬九千一百八十三
術曰下有一十二分以一爲八萬三千一
百六十半爲四萬一千五百八十三分之
一爲二萬七千七百二十四分之一爲二
萬七百九十五分之一爲一萬六千六百
三十二六分之一爲一萬三千八百六十
七分之一爲一萬一千八百八十八分之
[004-8b]
一爲一萬三百九十五九分之一爲九千
二百四十一十分之一爲八千三百一十
六十一分之一爲七千五百六十十二分
之一爲六千九百三十并之得二十五萬
八千六十三以爲法置田二百四十步亦
以一爲八萬三千一百六十乘之爲實實
如法得從步臣淳風等謹按凡爲術之意/約省爲善宜云下有一十二
分以一爲二萬七千七百二十半爲一萬/三千八百六十三分之一爲九千二百四
十四分之一爲六千九百三十五分之一/爲五千五百四十四六分之一爲四千六
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百二十七分之一爲三千九百六十八分/之一爲三千四百六十五九分之一爲三
千八十十分之一爲二千七百七十二十/一分之一爲二千五百二十十二分之一
爲二千三百一十并之得八萬六千二十/一以爲法置田二百四十步亦以一爲二
萬七千七百二十乘之以爲實實/如法得從步其術亦得知不繁也
今有積五萬五千二百二十五步問爲方幾何
荅曰二百三十五步
又有積二萬五千二百八十一步問爲方幾何
荅曰一百五十九步
又有積七萬一千八百二十四步問爲方幾何
[004-9b]
荅曰二百六十八步
又有積五十六萬四千七百五十二步四分步
之一問爲方幾何
荅曰七百五十一步半
又有積三十九億七千二百一十五萬六百二
十五步問爲方幾何
荅曰六萬三千二十五步
開方求方羃之/一面也
術曰置積爲實借一算步之超一等言百/之面
[004-10a]
十也言萬/之面百也議所得以一乘所借一算爲法
而以除先得黃甲之面上下/相命是自乘而除也除已倍法爲
定法倍之者豫張兩面朱羃定/袤以待復除故曰定法其復除折
法而下欲除朱羃者本當副置所得成方/倍之爲定法以折議乘而以除如
是當復步之而止乃得/相命故使就上折下復置借算步之如
初以復議一乘之欲除朱羃之角黃乙之/羃其意如初之所得也
所得副以加定法以除以所得副從定法
再以黄乙之面加定法/者是則張兩青羃之袤復除折下如前若
開之不盡者爲不可開當以面命之術或/有以
[004-10b]
借算加定法而命分者雖麤相近不可用/也凡開積爲方方之自乘當還復其積分
令不加借算而命分則常微少其加借算/而命分則又微多其數不可得而定故惟
以面命之爲不失耳譬猶以三除十以其/餘爲三分之一而復其數可舉不以面命
之加定法如前求其微數微數無名者以/爲分子其一退以十爲母其再退以百爲
母退之彌下其分彌細則朱羃/雖有所乘之數不足言之也若實有分
者通分內子爲定實乃開之訖開其母報
除臣淳風等謹按分母可開者竝通之積/先合二母旣開之後一母尚存故開分
母求一母爲/法以報除也若母不可開者又以母再乘
定實乃開之訖令如母而一臣淳風等謹/按分母不可
[004-11a]
開者本一母也又以母乘之乃合二母旣/開之後亦一母存焉故令如母而一得全
面也又按此術開方者求方羃之一面也/借一算者假借一算空有列位之名而無
除積之實方隅得面是故借算列之於下/也步之超一等者方十自乘其積有百方
百自乘其積有萬故超位至百而言十至/萬而言百也議所得以一乘所借一算爲
法而以除者先得黃甲之面以方爲積者/兩相乘故開方除之還令兩面上下相命
是自乘而除之也除已倍法爲定法者實/積未盡當復更除故豫張兩面朱羃定袤
以待復除故曰定除也其復除折法而下/者欲除朱羃本當副置所得成方倍之爲
定法以折議乘之而以除如是當復步之/而止乃得相命故使就上折之而下也復
置借算步之如初以復議一乘之所得副/以加定法以除者欲除朱羃之角黃乙之
[004-11b]
羃以所得副從定法者再以黃乙之羃加/定法是則張兩青羃之袤故如前開之卽
合所/問
今有積一千五百一十八步四分步之三問爲
圓周幾何
荅曰一百三十五步於徽術當周一/百三十八步一
十分步之一/臣淳風等謹按此依/密率爲周一百三十八步五十分步
之/九
又有積三百步問爲圓周幾何
荅曰六十步於徽術當周六十一步/五十分步之十九/臣
[004-12a]
淳風等謹按依密率爲周六/十一步一百分步之四十一
開圓
術曰置積步數以十二乘之以開方除之
卽得周此術以周三徑一爲率與舊圓田/術相返覆也於徽術以三百一十
四乘積如二十五而一所得開方除之卽/周也開方除之卽徑是爲據見羃以求周
猶失之於微少其以二百乘積一百五十/七而一開方除之卽徑猶失之於微多
臣淳風等謹按此注於徽術求周之法其/中不用開方除之卽徑六字今本有者衍
賸也依密率八十八乘之七而一按周三/徑一之率假令周六徑二半周半徑相乘
得羃三周六自乘得三十六俱以等數除/羃得一周之數十二也其積本周自乘合
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以一乘之十二而一得積三也術爲一乘/不長故以十二而一得此積今還原置此
積三以十二乘之復其本周自乘之數凡/物自乘開方除之復其本數故開方除之
卽/周
今有積一百八十六萬八百六十七尺此尺謂/立方之
尺也凡物有高深/而言積者曰立方問爲立方幾何
荅曰一百二十三尺
今有積一千九百五十三尺八分尺之一問爲
立方幾何
荅曰一十二尺半
[004-13a]
今有積六萬三千四百一尺五百一十二分尺
之四百四十七問爲立方幾何
荅曰三十九尺八分尺之七
又有積一百九十三萬七千五百四十一尺二
十七分尺之一十七問爲立方幾何
荅曰一百二十四尺太半尺
開立方立方適等求/其一面也
術曰置積爲實借一算步之超二等言千/之面
十言百萬/之面百議所得以再乘所借一算爲法
[004-13b]
而除之再乘者亦求爲方羃以上/議命而除之則立方等也除已三
之爲定法爲當復除故豫張三面/以定方羃爲定法也復除折
而下復除者三面方羃以皆自乘之數須/得折議定其厚薄爾開平羃者方百
之面十開立羃者方千之面十據定法已/有成方之羃故復除當以千爲百折下一
等/也以三乘所得數置中行設三亷/之定長復借一
算置下行欲以爲隅方立方等未有/定數且置一算定其位步之
中超一下超二位上方法長自乘而一折/中亷法但有長故降一
等下隅法無面長/故又降一等也復置議以一乘中爲三/亷備
羃/也再乘下令隅自乘/爲方羃也皆副以加定法以定
[004-14a]
法除三面三亷一隅皆已有羃以上/議命之而除去三袤之厚也除已
倍下并中從定法凡再以中三以下加定/法者三亷各當以兩面
之羃連於兩方之面一隅連於三亷之端/以待復除也言不盡意解此要當以棊乃
得明/耳復除折下如前開之不盡者亦爲不
可開術亦有以定法命分者不如/故羃開方以微數爲分也若積有
分者通分內子爲定實定實乃開之訖開
其母以報除臣淳風等按分母可開者竝/通之積先合三母旣開之後
一母尙存故開分母求/一母爲法以報除也若母不可開者又
以母再乘定實乃開之訖令如母而一臣/淳
[004-14b]
風等謹按分母不可開者本一母也又以/母再乘之今合三母旣開之後一母猶存
故令如母而一得全面也按開立方者立/方適等求其一面之數也借一算步之超
二等者立方求積方再自乘就積開之故/超二位言千之面十言百萬之面百也議
所得以再乘所借一算爲法而以除者求/爲方羃以議命之而除則立方等也除已
三之爲定法者爲積未盡當復更除故豫/張三面已定方羃爲定法也復除折而下
者三面方羃皆已有自乘之數須得折議/定其厚薄據開平方百之面十其開立方
卽千之面十而定法已有成方之羃故復/除之當以千爲百折卞一等也以三乘所
得數置中行者設三亷之定長也復借一/算置下行者欲以爲隅方立方等未有數
且置一算定其位也步之中超一下超二/者上方法長自乘而一折中亷法但有長
[004-15a]
故降一等下隅法無面長故又降一等也/復置議以一乘中者爲三亷借羃也再乘
下者當令隅自乘爲方羃也皆副以加定/法以定法除者三面三亷一隅皆已有羃
以上議命之而除去三袤之厚也除已倍/下併中從定法者三亷各當以兩面之羃
連於兩方之面一隅連於三亷之端以待/復除也其開之不盡者折下如前開方卽
合所問有分者通分內子開之訖開其母/以報除可開者並通之積先合三母旣開
之後一母尙存故開分母者求一母爲法/以報除若母不可開者又以母再乘定實
乃開之訖令如母而一分母不可開者本/一母又以母再乘今合三母旣開之後亦
一母尙存故令如/母而一得全面也
今有積四千五百尺亦謂立方/之尺也問爲立圓徑幾
[004-15b]
何
荅曰二十尺依密率立圓徑二十八/尺計積四千一百九十
尺二十一分/尺之一十
又有積一萬六千四百四十八億六千六百四
十三萬七千五百尺問爲立圓徑幾何
荅曰一萬四千三百尺依密率爲徑/一萬四千六
百四十三尺/四分尺之三
開立圓
術曰置積尺數以十六乘之九而一所得
[004-16a]
開立方除之卽丸徑立圓卽丸也爲術者/蓋依周三徑一之率
令圓羃居方羃四分之三圓囷居立方亦/四分之三更令圓囷爲方率十二爲丸率
九丸居圓囷又四分之三也置四分自乘/得十六三分自乘得九故丸居立方十六
分之九也故以十六乘積九而一得立方/之積丸徑與立方等故開立方而除得徑
也然此意非也何以驗之取立方棊八枚/皆令立方一寸積之爲立方二寸規之爲
圓囷徑二寸高二寸又復橫規之則其形/有似牟合方蓋矣八棊皆似陽馬圓然也
按合蓋者方率也丸居其中卽圓率也推/此言之謂夫圓囷爲方率豈不闕哉以周
三徑一爲圓率則圓羃傷少令圓囷爲方/率則丸積傷多互相通補是以丸與十六
之率偶與實相近而丸猶傷多耳觀立方/之內合蓋之外雖衰殺有漸而多少不掩
[004-16b]
判合總結方圓相纏濃纖詭互不可等正/欲陋形措意懼失正理敢不闕疑以俟能
言者/黃金方寸重十六兩金丸徑寸重/九兩率生於此未曾驗也周官考工記㮚
氏爲量改煎金錫則不耗不耗然後權之/權之然後凖之凖之然後量之言錬金使
極精而後分之則可以爲率也令丸徑自/乘三而一開方除之卽丸中之立方也假
令丸中立方五尺五尺爲句句自乘羃二/十五尺倍之得五十尺以爲股羃謂平面
方五尺之弦也以此弦羃爲股亦以五尺/爲句并句股羃得七十五尺是爲大弦羃
開方除之則大弦可知也大弦則中立方/之長邪邪卽丸徑也故中立方自乘之羃
於丸徑自乘之羃三分之一也令大弦還/乘其羃卽丸外立方之積也大弦羃開之
不盡令其羃七十五再自乘之爲面命得/外立方積四十二萬一千八百七十五尺
[004-17a]
之面又令中立方五尺自乘又以方乘之/得積一百二十五尺一百二十五尺自乘
爲面命得積一萬五千六百二十五尺之/面皆以六百二十五約之外立方積六百
七十五尺之面中立方積二十五尺之面/也/張衡算又謂立方爲質立圓爲渾衡
言質之與中外之渾六百七十五尺之面/開方除之不足一謂外質積二十六也內
渾二十五之面謂積五尺也今徽令質言/中渾渾又言質則二質相與之率猶衡二
渾相與之率也衡蓋亦先二質之率推以/言渾之率也衡又言質六十四之面渾二
十五之面質復言渾謂居質八分之五也/又云方八之面圓六之面圓渾相推知其
復以圓囷爲方率渾爲圓率也失之遠矣/衡說之自然欲恊其陰陽奇耦之說而不
顧疎密矣雖有文辭斯亂道破義病也置/外質積二十六以九乘之十六而一得積
[004-17b]
一十四尺八分之五卽質中之渾也以分/母乘全內子得一百一十七又置內質積
五以分母乘之得四十是爲質居渾一百/一十七分之四十而渾率猶爲傷多也假
令方二尺方四面并得八尺也謂之方周/其中令圓徑與方等亦二尺也丸半徑以
乘圓周之半卽圓羃也半方以乘方周之/半卽方羃也然則方周知方羃之率也圓
周知圓羃之率也按如衡術方周率八之/面圓周率五之面也令方周六十四尺之
面卽圓周四十尺之面也又令徑一尺方/周四尺自乘得十六尺之面是爲圓周率
十二之面而徑率一之面也衡亦以周三/徑一之率爲非是故更著此法然增周太
多過其實矣/臣淳風等謹按祖暅之謂/劉徽張衡二人皆以圓囷爲方率丸爲圓
率乃設新法祖暅之開立圓術日以二十/一乘積十一而一開立方除之卽立圓徑
[004-18a]
其意何也取立方棊一枚令立樞於左後/之下隅從規去其右上之亷又合而横規
之去其前上之亷右前之亷於是立方之/棊分而爲四規內棊一謂之內棊規外棊
三謂之外棊規更合四棊復橫斷之以句/股言之令餘高爲句內棊斷上方爲股本
方之數其弦也句股之法以句羃減弦羃/則餘爲股羃若令餘高自乘減本方之羃
餘卽內減棊斷上方之羃也本方之羃卽/外四棊之斷上羃然則餘高自乘卽外三
棊之斷上羃矣不問高卑勢皆然也然固/有所歸同而塗殊者爾而乃控遠以演類
借况以析㣲按陽馬方高數參等者列而/立之横截去上則高自乘與斷上羃數亦
等焉夫疊棊成立積緣羃勢旣同則積不/容異由此觀之規之外三棊旁蹙爲一卽
一陽馬也三分立方則陽馬居一內棊居/二可知矣合八小方成一大方合八內棊
[004-18b]
成一合蓋內棊居小方三分之二則合蓋/居立方亦三分之二較然驗矣置三分之
二以圓羃率三乘之如方羃率四而一約/而定之以爲丸率故曰丸居立方三分之
一也等數旣密心亦昭晰張衡放舊貽哂/於後劉徽循故未暇校新夫豈難哉抑未
之思也依密率立此圓積本以圓徑再自/乘十一乘之二十一而一約此積今欲求
其本積故以二十一乘之十一而一凡物/再自乘開立方除之復其本數故立方除
之卽丸/徑也
九章算術卷四
[004-19a]
[004-20a]
祖暅之開立圓術曰以二十一乘積十一而一
開立方除之卽立圓徑其意何也取立方棊一
枚令立樞於左後之下隅從規去其右上之廉
又合而橫規之去其前上之廉右前之廉於是
立方之棊分而爲四規內棊一謂之內棊規外
棊三謂之外棊更合四棊復横斷之以句股言
之令餘高爲句內棊斷上方爲股本方之數其
弦也句股之法以句幂減弦幂則餘爲股幂若
令餘高自乘減本方之幂餘卽內減棊斷上方
[004-20b]
之幂也本方之幂卽外四棊之斷上幂然則餘
高自乘卽外三棊之斷上幂矣不問高卑勢皆
然也以上借立方棊以論立圓而所言僅及/句股弦與平幂不足見圓術當有脫誤
故曰丸居立方三分之一也此句舛誤據上言/置三分之二以三
乘之如四而一乃丸居立方二分之一非三分/之一况以上眀祖氏圓術其率乃丸居立方二
十一分之十一下云圓徑再自乘十一乘之如/二十一而一是也若二分之一於祖氏術不恊
矣又祖氏方幂率十四圓幂率十一亦不得用/方幂四圓幂三之疎率以解祖氏說自祖暅之
開立方圓術曰至此似因傳寫旣訛後人妄加/竄改遂不可通今考立方與圓囷猶之平方與
平圓也其率亦方積十四圓囷積十一而丸居/圓囷三分之二與十四分之十一通之分母乘
[004-21a]
[004-22a]
