[067-1a] 
欽定四庫全書
厯算全書卷五十四
宣城梅文鼎撰
三角法舉要卷五
測量三角用法算例已具兹則舉髙深廣逺/以徴諸實事亦與算例互相補備也
一測髙
一測逺
一測斜坡
[067-1b]
一測深
附隔水量田
附解測量全義
[067-2a]
三角測髙第一術
自平測髙
假如有塔不知其髙距三十丈立表一丈用象限儀測得
髙二十六度三十四分弱依切線術求得塔髙一十六丈
一半徑 一○○○○○
二戊角切線 五○○○○
三距塔根丙乙即/戊丁 三十丈
四塔頂髙甲丁端是截/算表 以上 十五丈
[067-2b]
加戊丙表一丈即丁/乙共得塔髙十六丈甲/乙
凡用象限儀以垂線作角與用指尺同理指尺即闚衡亦曰/闚管亦曰闚筩
若戊丙表立於髙所當更加立處之髙以為塔髙
省算法從表根丙平安象限
以一邉指塔根乙一邉指癸
乃順丙癸直線行至癸得三
十丈與丙乙等復於癸平安
象限作癸角與戊角等邉指
[067-3a]
丙尺指壬則壬丙逺即甲丁之髙亦加丁乙/為塔髙
論曰癸角同戊角丙癸同丙乙丙
與乙並正角則兩句股形等立面
與平面一也
又術自丙向癸却行以象限平安
邉指丙尺指乙求作戊之餘角得
己丙之距即同甲丁之髙
又省算法用有細分矩度自戊數至癸令其分如丙乙
[067-3b]
之距或兩倍/三倍從癸數壬癸直線之
分即甲丁之距也先以二分為丈/或三分為丈今
亦同/之
用矩度以垂線作角其用亦同
[067-4a]
三角測髙第二術
平面則不知逺之髙法用重測
假如有山頂欲測其髙而不知所距之逺依術立二表
相距一丈二尺用象限儀測得髙六十度十九分退測
後表得五十八度三十七分查其兩餘切線以相減得
較數為法表距乗半徑為實算
得山髙三十一丈
一 餘切線較○○四○○○
[067-4b]
二 半徑 一○○○○○
三 表距戊己 一丈二尺
四 山髙甲丁 三十丈
加表一丈共三十一丈
省算法用矩度假令先測指線
交於辛後測指線交于庚成辛
庚戊三角形法于兩指線中間
以兩測表距即戊/己變為分如壬
[067-5a]
癸小線引長之至丙即丙戊所當測髙
論曰此即古人重表法也或隔水量山或於城外測城
内之山並同
[067-5b]
三角測髙第三術
從髙測髙 又謂之因逺測髙
假如人在山顛欲知此山之髙但知山左有橋離山半
里用象限測橋得逺度一十八度二十六分强依切線
法求得山髙一里半
一 甲角切線 半徑一○○/○○○
二 半徑 甲角餘切三○○/○二八
三 橋逺戊丁/ 一百八十步
[067-6a]
四 山髙甲丁/ 五百四十步○五/尺
省算法用矩度作壬癸線以當
戊丁則己壬當甲丁
[067-6b]
三角測髙第四術
從髙測不知逺之髙 法用重測
假如人在山上欲知本山之髙然又無可㨿之逺但山
有樓或塔量得去山二十一丈以象限儀指定一處于
樓下測得五十五度二十六分又于樓上測得五十三
度五十分用餘切線求得山髙三百四十四丈五尺
一 兩餘切較 四二
二 下一測餘切 六八九
[067-7a]
三 樓髙兩測/之距 二十一丈
四 山髙 三百四十四
丈五尺
省算法用矩度上測交庚下測
交辛成辛己庚三角形法于兩
指線中間以上下兩測之距變
為分如壬癸小線引長之至丙
即壬丙當所測本山之髙
[067-7b]
三角測髙第五術
若山上無兩髙可測則先測其弦但山上有兩所可/以並見此物即可
測/矣
甲乙為山上兩所不拘平斜/但取直線任
指一處如戊於甲於乙用噐兩
測之成甲乙戊形此形有甲乙
兩角又有甲乙之距為兩角一
邉可求甲戊邉法為戊角之正
[067-8a]
弦與甲乙邉若乙角之正弦與甲戊
再用甲戊丁句股形為半徑與甲戊若甲角餘弦與甲
丁即山之高也
[067-8b]
三角測髙第六術
借兩逺測本山之髙
有山不知其髙亦無距山之逺但山前有大樹從此樹
向山而行相去一百八十五丈又有一樹人在山上可
見兩樹如一直線即於山上以象限儀測此二樹一測
逺樹四十三度三十二分一測近樹三十度○七分用
切線較得本山髙五百丈
一 切線較 三七○○○
[067-9a]
二 半徑 一○○○○○
三 兩逺之較 一百八十五丈
四 本山髙 五百丈
省算作壬癸小線當兩逺之距己/戊而丙甲當本山髙甲/丁
[067-9b]
三角測髙第七術
用山之前後兩逺測髙
甲為山顛可見戊己兩樹其樹
與山參相直如山南樹直正/子北樹直正午而
不知其距但山外有路與此樹
平行為庚辛其長三里如兩樹/正南北
此路亦自南/向正北行即借庚辛之距為
兩樹之距以兩切線并為法求之
[067-10a]
先從甲測巳得甲角一十七度○四分又從甲測戊得
甲角三十四度三十四分法為兩切線并與己戊若半
徑與甲丁也
一率兩切線并○九九/六○○二率半徑一○○/○○○三率己戊
即庚辛三/里求得四率甲丁三里○四步/又三之一强
[067-10b]
三角測髙第八術
測山上之兩髙
甲山上有塔如乙欲測其髙如
乙甲之距於戊安儀噐測乙測
甲得其兩戊角之度一乙戊丁/二甲戊丁
各取其切線相減得較法為半
徑比切線較若戊丁與乙甲
省算法數戊丙之分以當戊丁作壬癸丙小線則壬癸
[067-11a]
之分即當乙甲
用矩度亦同
[067-11b]
三角測髙第九術
隔水測兩髙之横距
有甲乙兩髙在水外欲測其相
距之逺任於丙用儀噐以邉向
丁窺筩指甲得甲丙丁角一百/二十
五/度又指乙得乙丙丁角五十/度次
依丙丁直線行至丁得一/百步再用
儀噐以邉向丙窺筩指甲得甲丁丙角三十/九度又指乙得
[067-12a]
乙丁丙角一百零/八度又甲丁乙角六十/九度得三角形三一甲/丁丙
二乙丁丙/三甲丁乙
今算甲丁丙形有丁丙邉丁丙二角求甲丁邉
一率甲角一十/六度正弦二七五/六四二率丁丙一百/步三率丙
角一百二/十五度正弦八一九/一五求得四率甲丁邉二百九/十七步
次乙丁丙形有丁丙邉丙丁二角求乙丁邉
一率乙角二十/二度正弦三七四/六一二率丁丙邉一百/步三率
丙角五十/度正弦七六六/○四求得四率乙丁邉二百○/四步
[067-12b]
末乙丁甲形有甲丁邉二百九/十七步乙丁邉二百○/四步丁角六/十
九/度先求甲角
一率兩邉之總五百○/一步二率兩邉之較九十/三步三率半
外角五十五/度半切線一四五/五○一求得四率半較角切線二/七
○○/九查表得一十五度○七分弱以減半外角得甲
角四十度二十三分强
次求甲乙邉
一率甲角正弦六四七/九○二率乙丁邉二百○/四步三率丁
[067-13a]
角正弦九三三/五九求得四率甲乙邉二百九十四步弱
論曰此所測甲丁及乙丁皆斜距也或甲乙兩髙並在
一山之上於山麓測之或甲乙分居兩峯於兩峯間平
地測之或甲在水之東乙在水之西於一岸測之並同
若用有度數之指尺並可用省算之法
[067-13b]
三角測髙第十術
隔水測兩髙之直距
有兩髙如乙與甲于戊于庚測
之
先以乙庚戊形求乙庚斜距次
以甲庚戊形求甲庚斜距末以
乙甲庚形有乙庚邉甲/庚邉及庚角求乙甲邉即所求
[067-14a]
三角測髙第十一術
若山之最髙顛為次髙所掩則用逓測
山前後左右地勢不同則用環
測環測者從髙測下與測深同
太髙之山則用屢測
癸極髙為甲次髙所掩則先測
甲復從甲測癸謂之逓測
乙丁與子丑居癸山之下為地
[067-14b]
平而各不等則從癸四面測之如測癸辛之髙以辛乙
為地平又測癸戍之髙以戌子丑為地平則乙丁與子
丑之較為戍辛謂之環測
若山太髙太大則於乙測甲又於甲測癸或先測卯又
測寅又測丑測子再從子丑測癸細細測之則真髙自
見而地之髙下亦從可知矣謂之屢測
[067-15a]
三角測逺第一術
平面測逺
有所測之物如乙於甲立表安象限以邉指乙餘一邉
對丁從甲乙直線上任取九歩如丁於丁復安象限以
邉對甲闚管指乙得丁角七十一度三十四分用切線
算得乙距甲二十七步
一 半徑
二 丁角切線
[067-15b]
三 丁甲
四 乙甲
若欲知丁乙之距依句股法甲丁甲乙各自乗并而開
方即得乙丁
若徑求乙丁則為以半徑比丁角之割線若甲丁與丁
乙也是為以句求弦
省算用矩度自丁數自癸取丁癸之分如丁甲之距或/以
[067-16a]
分當步或二分或/三分當一步皆可作壬癸丁小
句股則壬癸之分即乙甲也或/一
分當步或二分三/分並如丁癸之例而丁壬亦即
當丁乙若尺上有分/數即徑取之
若先從丁測測以測噐向甲指尺向乙作丁角次依丁
甲直線行至甲務令測噐之一邉順丁甲直線餘一邉
指乙則甲為正方角如前算之即得若甲非正方角則/于丁甲直線上或
前或後移測求/為正方角乃止
[067-16b]
三角測逺第二術
省算法
人在甲欲測乙之逺於甲置儀
噐一邉向乙一邉向丁成正方
角乃依甲丁直線行至丁以邉
向甲闚管指乙作四十五度角
即甲丁與甲乙等
若用矩度以乙丁線正對方角則丁角為正方角之半
[067-17a]
而甲丁等乙甲
論曰丁角為正方角之半則乙角亦正方角之半而句
與股齊故但量甲丁即知甲乙
又省算法
於甲置儀噐以邉向丁闚管指
乙作六十度角順甲丁直線行
至丁復作六十度角則甲丁等
甲乙
[067-17b]
論曰甲角丁角俱六十度則乙角亦六十度矣故三邉
俱等
若丁不能到則於甲丁線上取丙以儀噐二邉對甲對
乙成正方角則甲丙為乙甲之半
[067-18a]
三角測逺第三術
平面測逺用斜角
人在甲測乙而兩旁無餘地可
作句股則任指一可測之地如
丁量得丁甲二十丈於丁安儀
噐以邉向甲窺筩指乙得丁角
四十/六度又於甲安儀噐以邉指丁窺筩指乙得乙甲庚角
二十/一度加象限九十/度得甲鈍角一百一/十一度法為以乙角之正
[067-18b]
弦二十三度乃甲丁/二角减半周之餘比丁甲若丁角之正弦與乙甲算
得乙甲三十六丈八尺二寸
若求乙丁則為以乙角之正弦比丁甲若甲角之正弦
與乙丁算得乙丁四十七丈七尺八寸甲為銳/角法同
省算法於儀噐作壬甲線與乙丁平行作壬癸線與乙
甲平行成壬癸甲小三角形與丁乙甲等則甲癸當甲
丁而壬癸當甲乙又壬甲當乙丁用矩度同但于象限/内作横直
分用同/矩度
[067-19a]
論曰壬角既同乙角壬甲與乙丁平行壬癸與/乙甲平行則作角必相等癸鈍角
又同甲角則兩三角相似而比例等
銳角形於甲測乙用矩度之邉指
丁作甲角另用一矩度其矩須於/兩面紀度
從丁測之以邉向甲闚筩指乙作
丁角末移丁角作癸角於噐上作
壬癸線與乙丁平行則癸甲當丁
甲而壬甲當乙甲壬癸當乙丁
[067-19b]
三角測逺第四術
平面測逺借他線為比例
甲乙為兩所順甲乙直線行任取
若干步至丙又於丙任作直線至
丁得若干步於丁安儀噐以邉對
甲闚衡指丙作丁角順此直線至
戊復安儀噐邉對乙衡指丙作戊
角令與丁角等則丙丁比丁戊若丙甲與甲乙
[067-20a]
省算法於乙甲直線上取丙
又從丙作丙戊直線截丁丙
如乙丙於丁用象限闚乙作
丁角再於戊闚甲作戊角令
與丁角等則丁戊即甲乙
又法甲置儀噐指乙指丁作
角以減半周成外角己戊為/甲角之
度丙庚戊為/外角之度於丁置儀噐指
[067-20b]
甲指乙使丁角如半外角之度但量甲丁即得甲乙
論曰凡外角能兼内餘二角乙/丁之度丁角既為外角之
半則乙角亦外角之半矣角等者所對之邉亦等故甲
丁等甲乙
[067-21a]
三角測逺第五術
平面測逺借他形為比例法
從甲測乙任立一表於丙從甲
用儀噐以邉向乙闚管指丙得
甲角復於丁加儀噐以邉向戊
闚管指丙使丁丙甲為一直線
而作丁角與甲角等乃順儀噐邉取直線至戊令戊丙
乙為一直線則丁丙與丁戊若丙甲與甲乙鈍角形句/股形並同
[067-21b]
一/理
論曰丙戊丁與丙甲乙兩三
角形相似以兩形之丙角為
交角必相等而丁角又等甲
角則戊角亦等乙角矣故其
比例等
[067-22a]
三角測逺第六術 省算
有甲乙兩所欲測其距如前立丙
表以噐測得甲丙乙角之度又順
乙丙直線行至戊令丙戊之距同
甲丙而止再從戊行至丁從丁闚
丙至甲成一直線於此直線上進退移測使乙丁丙角
為乙丙甲角之半則但量丁戊即同乙甲甲為鈍角或/丙為鈍角並
同/
[067-22b]
論曰甲丙與丙戊既相等乙
丁丙角為乙丙甲外角之半
則丙乙丁角亦外角之半是
乙丙與丁丙亦等也而丙交
角又等是甲丙乙三角形與
戊丙丁形等角等邉也故丁
戊即乙甲
[067-23a]
三角測逺第七術 重測
甲乙為兩所欲測其距而俱不能
到則兩測之於戊於丁量得戊丁
之距十六/步半用噐測得戊角五十度/四十三
分/丁角三十六度/一十分兩角之餘切線
較五五○/○○為一率半徑一○○/○○○為二率戊丁十六/步半為三
率得四率為乙甲之距三十/步
若求戊甲之距以兩測之餘切較五五○/○○為一率先測
[067-23b]
戊角之餘切八一八/○○為二率丁戊十六/步半為三率得四率
戊甲二十四/步五四
論曰此即古人重表測逺法也必丁戊甲直線與乙甲
線横直相遇使甲為正角其算始真假如乙甲正南北
距則丁戊甲必正東西斯能横直相交而成正角也
[067-24a]
三角測逺第八術
分兩處重測
乙岸在河東欲測其距西岸之逺
如甲則任於甲之左右取丁戊兩
所與甲參相直而距河適均測得
丁角五十度四/十三分戊角五十五度/四十三分用
兩角度之餘切線并一五○/○○○為一
率半徑一○○/○○○為二率丁戊之距九十/六步為三率求得四
[067-24b]
率乙甲之距六十/四步為兩岸闊
論曰此法但取丁戊直距與河岸平行則不必預求甲
㸃而自有乙甲之距為丁戊之垂線尤便於測河視用
切線較更簡捷而穏當矣
[067-25a]
三角測逺第九術
用髙測逺
甲乙為兩所不知其逺而先知丁
乙之髙於甲用儀噐測丁乙之髙
幾何度分即知甲乙法為半徑比
甲角之餘切若丁乙髙與甲乙之逺
若人在髙處如丁用髙測逺則為半徑比丁角之切線
若丁乙與甲乙其理並同但於丁加儀噐而用正切
[067-25b]
三角測逺第十術
用不知之髙測逺
欲知丁乙之逺而不能至乙乙之
上有庚又不知庚乙之髙法用重
測先於丁測之得丁角三十八度/一十三分
又依丁乙直線進至甲測之得甲
角五十三度五/十二分强兩餘切較○五四/○○一
為一率丁角餘切一二七/○○一為二率丁甲之距二十/步為三
[067-26a]
率得四率丁乙四十七/步○三 或丁後有餘地退後測之亦
同
省算作壬癸丙線以壬癸分當丁甲之距壬丙當丁乙
之逺
若人在髙處如庚於庚測丁測甲以求丁乙其法亦同
但於庚施儀噐而用正切法為以兩庚角之切線較比/丁庚乙之切線若丁甲與丁
乙/
[067-26b]
三角測逺第十一術
用髙上之髙測逺
甲乙為兩所而乙之根為物所掩
如山麓有小阜坡陀礨砢林木/蔽虧或島嶼盤糾荻葦深阻難
得真距若用兩測甲外又無餘地
但取其髙處如戊為山顛山上又
有石臺臺上有塔如丁丁戊之髙
原有定距以此為用從甲測丁又測戊得兩角一丁甲/乙二戊
[067-27a]
甲/乙求其切線法為以切線較比半徑若丁戊與乙甲
省算作壬癸丙小線以壬癸當丁戊則甲丙當甲乙矩
度同
若從髙測逺則於丁於戊兩用儀噐測甲用丁戊兩角
之餘切較以當丁戊而半徑當甲乙其理亦同
[067-27b]
三角測逺第十二術
從髙測兩逺
甲乙兩逺人從髙處測之於丁用
儀器測甲測乙得兩丁角一甲丁/丙二乙
丁/丙法為以半徑比兩角之切線較
若丁丙髙與乙甲也
又法既得兩角則移儀噐窺戊作
戊丁甲角如甲丁丙之倍度又移窺己作己丁乙角如
[067-28a]
乙丁丙之倍度則但量己戊即知乙甲
[067-28b]
三角測逺第十三術
連測三逺
丙乙為跨水長橋甲乙為橋端斜岸今於丁測橋之長
并甲乙岸闊及其距丁之逺近
法於丁安儀噐以邉指戊衡指
甲指乙指丙作丁角五一甲丁/戊二乙
丁戊三乙丁甲四戊丁丙五/乙丁丙皆丁角而有大小
次順儀噐邉直行至戊得丁戊
[067-29a]
之距於戊復用儀噐以邉指丁衡指丙指乙指甲作戊
角三一丁戊丙二乙戊丙三甲/戊丁皆戊角而有大小
一甲丁戊形有丁角戊角有丁戊邉可求甲丁邉
一乙丁戊形有丁角戊角有丁戊邉可求乙丁邉
一戊丁丙形有戊角丁角有丁戊邉可求丁丙邉
以上並二角一邉求餘邉得甲乙丙三處距丁之
逺近
一乙丁丙形有丙丁邉乙丁邉有丁角可求乙丙邉
[067-29b]
一乙丁甲形有甲丁邉乙丁邉有丁角可求乙甲邉
以上並二邉一角求餘邉得岸闊與橋長
[067-30a]
三角測斜坡第一術
斜坡上平面測兩所之距
斜坡上有甲乙兩所欲量其相距
之數任立丙表測得乙丙甲角度
乃順甲丙直線進退闚乙至戊得
乙戊丙角為乙丙甲角之半又横
過至丁從丁闚丙至乙成一直線順此直線進退闚甲
至丁得甲丁丙角亦為丙角之半則丁戊即乙甲
[067-30b]
又法不必立表但任指一㸃為丙而於甲丙直線上任
取己㸃乙丙直線上任取庚㸃作庚丙己三角形有己
角庚角即知丙角末乃如上作丁戊兩角為丙角之半
即所求
論曰此因乙甲在斜面髙處而不能到故借用丁丙戊
形測之以丁丙戊乙丙甲兩形相等故也何則丙交角
既等而乙丙甲外角原兼有丙乙戊乙戊丙兩角之度
戊角既分其半乙角亦半則兩角等而乙丙戊丙兩邉
[067-31a]
亦等矣凖此論之則甲丁丙角為丙外角之半者丁甲
丙角亦必為丙外角之半而甲丙丁丙亦等矣兩形之
角既等各兩邉又等則三邉俱等而戊丁即乙甲
若甲乙兩所在下而丁戊兩測在上亦同
[067-31b]
三角測斜坡第二術
斜坡測對山之斜髙
對山之斜髙如甲戊乙於對
山之斜坡測之如丙丁先量
得丙丁之距於丙安儀噐得
丙角二一乙丙丁/二戊丙丁於丁安儀
噐得丁角四一乙丁丙二乙丁戊/三戊丁丙四乙丁甲成各三角形
先用乙丙丁形有丙角丁角/及丁丙邉測乙丁邉 次用戊丙丁
[067-32a]
形有丙丁二角/及丁丙邉測丁戊邉 三用乙丁戊形有乙丁戊/丁二邉及
丁/角測乙角及乙戊邉 四用乙丁甲形有乙角丁角/及乙丁邉測
乙甲邉乙甲内減乙戊得戊甲邉乙戊甲為垂/線之髙法同
[067-32b]
三角測斜坡第三術
測對坡之斜髙及其巖洞
從丙從丁測對面之斜坡戊甲及乙戊
一乙丙丁形有丙丁兩測之/距丙角丁角
可求乙丁邉 二戊丙丁形
有丙丁邉/丁角丙角可求丁戊丙戊二
邉 三乙丁戊形有乙丁邉/戊丁邉丁
角/可求乙戊邉為所測對山
[067-33a]
上斜入之巖 四丙丁甲形有丁角丙/角丙丁邉可求丙甲邉
五甲丙戊形有丙戊邉丙/甲邉丙角可求戊甲邉為所測對坡斜
髙
或戊為髙處基址乙為房檐亦同
[067-33b]
三角測深第一術
測井之深及濶
甲乙為井口之濶於甲作垂線至丁或用磚石投/之以識其處從乙
測之得乙角成甲乙丁句股
形即以甲乙井口為句得甲
丁股為井之深 既得乙丙
深即甲/丁即可用乙己戊形得
己戊為底濶法以半徑當井
[067-34a]
深乙/丙以兩乙角一戊乙丙/二己乙丙之
切線并當井底之濶己/戊
若不知井口則立表於井口
如庚甲求庚甲二角成庚甲
丁形測之
[067-34b]
三角測深第二術
登兩山測谷深
先於二山取甲乙之平而得其距
數為横線即可用三角形求丙丁
垂線為谷之深與測髙同理亦可/用以
測髙/也法為甲乙兩角之餘切線并比半徑若甲乙與丙丁
論曰深與髙同理測深之法即測髙之法也存此數則
以發其例有不盡者於測髙諸術詳之可也
[067-35a]
附隔水量田法
甲乙丙丁田在水中不可
得量于岸上戊庚兩處用
儀噐測之得諸三角形算
得其邉一甲乙二乙丙/三丙丁四丁甲次
求乙丁對角線分為兩三
角形一甲乙丁/二丙乙丁末用和較法求得分形之兩垂線一甲/癸二
壬/丙并兩垂線而半之以乗乙丁即得田積
[067-35b]
或用三較連乗法求三角形積并之亦同
凡有平面形在峭壁懸崖之上及屋上承塵可以仰觀
者並可以此法測之
[067-36a]
解測量全義一卷十二題加減法
甲寅象限弧 甲乙半徑全數
為首率
丙寅弧之正弦丙辛為一率
丁寅弧之正弦丁庚為三率
戊己為四率
二三相乗為實首率為法法除實得四此本法也今以
加減得之則不用乗除
[067-36b]
丙寅加丁寅即辰丙/為辰寅總弧其餘弦辰卯即子癸/
丙寅内減丁寅為丑寅即丙丁/存弧其餘弦癸丑
以子癸減癸丑餘子丑平分之於壬為壬子或壬丑即
四率其壬子壬丑/皆與戊己等 此因總弧
不及象限故以兩餘弦相減
甲寅象限弧甲乙半徑全數
為首率
丙寅弧之正弦丙辛為二率
[067-37a]
丁寅弧之正弦丁庚為三率
戊己為四率
以上皆與前同
丙寅加丁寅即辰丙/為辰寅總弧此總弧大/於象限其餘弦卯
辰即子癸/ 丙寅内減丁寅即丙丑/餘丑寅為存弧其
餘弦丑癸
以子癸加丑癸為子丑半之於壬分為壬子及壬丑二
線皆與戊己同即為四率如所求
[067-37b]
此因總弧過象限故以兩餘弦相加
今訂本書之譌
甲寅皆象限弧 甲乙半徑
一○○○○○為首率
丙辛○五九九九五為二率
丁庚○二五○一○為三率
以三率法取之得○一五○
○四為四率
[067-38a]
今用加减法
以丙辛線為正弦查其弧得丙寅三十六度五十二分
亦以丁庚線為正弦查其弧得丁寅十四度二十九分
以丙寅弧與丁寅弧相加得總弧辰寅五十一度二十
一分其餘弦○六二四五六如辰卯即子癸/
又以丙寅弧與丁寅弧相減得存弧丑寅二十二度二
十三分其餘弦○九二四六六如丑癸
因總弧小於象限當以兩餘弦相減其較○三○○一
[067-38b]
○如子丑於丑癸内减/子癸得之乃平分子丑於壬其數○一五
○○五為壬丑或壬子皆與戊己同即為四率 此所
得與三率所推但有微差而不相逺
按此以加減代乗除依其法宜如此今刻本相減相并
訛為并而相減又於相并之弧訛為五十度二十分相
減之存弧訛為二十二度二十四分故其正弦皆訛而
所得之四率只一四三一與三率所推不合矣
又按以加減代乗除之法不過以明圖法之妙其中又
[067-39a]
有此用耳若以入算終不如乗除之便何也設問毎多
整數而正弦之數皆有畸零不能恰合一也先用設數
求弧度必用中比例始得相合則於弧度亦有畸零二
也弧度既有畸零則其查餘弦又必用中比例三也兩
餘弦有用加之時有用減之時易至於訛四也及其所
得四率以較三率法之所得終有尾數之差五也盖論
數學則宜造其㣲而施之於用則貴其簡易若可以簡
易者而故引之繁重又何貴乎故曰不如乗除之便也
[067-39b]
觀設例之時便有訛錯如此則其不便於用亦可見矣
又按此加減法即測量全義第七卷所言加減也其以
總存兩餘弦相加減而半之者即初得數也然彼以兩
正弦相乗得之此以加減得之而省一乗矣實弧三角
中大法而彼但舉例而隠其圖姑示其端於此而又不
直言其即弧度之初得數此皆譯書者祕惜之故耳
向後二圖發明所以然之故
甲寅象限弧 乙丙半徑為首率
[067-40a]
丙寅弧之正弦丙辛為次率
丙丑弧之正弦丑戊為三率辰丙弧同丙丑其正/弦辰戊亦同丑戊
得戊巳為四率丑壬及壬/子並同
論曰戊巳辰或丑壬/戊亦同句股形與
丙辛乙句股形相似故其比例
等法為乙丙與丙辛若丑戊與
丑壬也或辰戊與/戊巳亦同
又論曰凡兩十字垂線相交作
[067-40b]
句股則其形俱相似如辰丑線即丙丑及丙辰之正弦
與丙乙半徑相交於戊㸃一十字也辰午線辰寅弧之/正弦也
丑癸線丑寅弧/之餘弦相交於子㸃一十字也此兩十字相交
而成諸句股形則俱相似矣故戊壬庚與丑壬戊相似
而戊壬庚原與丙辛乙相似則丑壬戊與丙辛乙不得
不為相似之形矣
解曰乙丙首率半徑也丙辛正弦為次率其弧丙寅丑
戊正弦為三率其弧丙丑丙丑既與丙辰同則以丙丑
[067-41a]
三率之/弧也加丙寅次率/之弧成辰寅總弧而辰卯則總弧之餘
弦也以丙丑三率/之弧减丙寅次率/之弧其餘丑寅為存弧而丑
癸則存弧之餘弦兩餘弦相減其較為子丑子癸同辰/卯故以子
癸减癸丑/得較子丑子丑折半於壬而壬丑與壬子皆同戊巳是
為所求之四率也
如此以量法代算法的確不易但細數難分耳
若以酉丙為過象限之大弧丙丑為小弧則酉丑為總
弧其正弦丑丁餘弦丑癸即丁乙/
[067-41b]
酉辰為存弧其正弦辰午餘弦辰卯即子癸/算法略同
但先所用者存弧之正弦小於總弧今則總弧正弦小
於存弧正弦大則餘弦小正弦小則餘弦反大加減之
用以小從大其理無二故其圖可通用也
又按壬丑即初得數也兩正弦相乗以半徑除之者也
乙亥即次得數也兩餘弦相乗以半徑除之者也今改
用加減則以兩弧相并為總弧而相較之餘為存弧存
總兩餘弦相加減而半之成初得數省兩正弦乗矣又
[067-42a]
以初得數去減餘弦成次得數省兩餘弦乗矣
兩餘弦加減例
凡總存二弧俱在象限内或俱出象限外則兩餘弦相
減 若存弧在象限内總弧在象限外則兩餘弦相加
初得數減餘弧例
凡存弧之正弦小於總弧即用存弧之餘弦在位以初
得數減之餘為次得數 若總弧之正弦小於存弧即
用總弧之餘弦在位以初得數減之餘為次得數盖弦
[067-42b]
小者餘弦大其餘弦内
皆兼有初得次得兩數詳
見環中黍尺
甲寅象限弧 乙丙半徑
為首率
丙寅弧之正弦丙/辛為次率
丙丑弧之正弦丑戊為三
率辰丙弧同丙丑其正/弦辰戊亦同丑戊
[067-43a]
求得戊巳為四率丑壬壬/子並同
以上皆與前圖同
論曰凖前論丙辛乙句股形與丑壬戊句股形相似法
為乙丙與丙辛若丑戊與丑壬也或辰戊與/戊巳亦同
解曰乙丙首率半徑全數也丙辛正弦為次率其弧丙
寅丑戊正弦為三率其弧丙丑而丙丑三率/即丙辰以
加丙寅次率/之弧成辰寅總弧而辰卯亦總弧之餘弦也以
丙丑三率/之弧減丙寅次率/之弧其餘丑寅為存弧而丑癸則亦
[067-43b]
存弧之餘弦也兩餘弦相加成子丑子癸同辰卯/皆總弧餘弦子丑
折半於壬而壬丑同壬子亦同戊巳則所求之四率也
厯算全書卷五十四
