[034-1a] 
欽定四庫全書
厯算全書巻三十
宣城梅文鼎撰
籌算一
作籌之度
凡籌以牙為之或紙或竹片皆可長短任意以方正為
度
凡籌背面皆平分九行每行以曲線界之為兩半圓狀
[034-1b]
凡籌背面皆相對第一籌之隂即為第九便檢尋也二
與八三與七四與六五與空位皆倣此共五類類各
五籌當珠盤二十五位或更加之亦可 外有開方
大籌為平方立方之用詳見别巻
籌式列左
[034-2a]
[034-3a]
作籌之理
凡籌每行以曲線界之成兩位其下為本位上為進位
假如本位一兩則進位為十兩
凡列兩籌則行内成三位下之進位與上之本位兩半
圓合成一位故也 列三籌則成四位 列四籌則
成五位 五籌以上皆倣此
凡籌有明數有暗數明數者籌面所有之數是也暗數
者行數也假如第一行即為一數第二行即為二數
[034-3b]
凡籌與行數相因而成積數假如第二籌之第四行即
為八數第九籌之第八行即為七二數
籌算之資
凡用籌算當先知併減二法今各具一則
併法
併者合也合衆散數為一總數也又謂之垜積 其法
先列散數自上而下對位列之千對千百對百十對
十單對單以類相附
[034-4a]
列訖併為一總數 其法從最下小數起自下而上
如畫卦之法 數滿十者進位作暗馬而本位書其
零
恐混原數故以此
别之便覆核也
假如有米三千四百八十石又五千○六十八石又二
萬六千九百石合之共幾何
[034-4b]
如圖散數三宗依法併之為
一總數得三萬五千四百四
十八石
減積法
減者去也于總數内減去幾何則知其仍餘幾何也減
與併正相反減而剰者謂之減餘
其法以應減去之數列左以原有之總數列右而對
[034-5a]
減之
千對減千百對減百十對減十單對減單
減而盡者抹去之 減而不盡者改而書之
本位無數可減合上位減之假如欲減八十而原數
只有七十但其上位有一百則合而減之于一百七
十内減八十仍餘九十
假如有銀三十二萬五千三百一十兩支放過二十九
萬五千三百○五兩仍餘幾何
[034-5b]
依法減之仍餘三萬○○○
五兩
十萬千百十兩
如圖先于三十萬内減二十萬餘一十萬改三為一
次減九萬而萬位無九合上位共一十二萬減之
餘三萬抹去一二改書三
次減五千 次減三百 皆減盡皆抹去之書作○
[034-6a]
次減五兩而兩位無五于一十兩内減之抹去一
○改書○五 減訖餘二○○○三
凡算有乘有除乘者用併法除者用減法
籌算之用
凡算先别乘除乘除皆有法實實者現有之物也法者
今所用以乘之除之之規則也
凡籌算皆以實列位而以籌為法法有幾位則用幾籌
如法有十係兩位則用兩籌法有百係三位則用三
[034-6b]
籌
凡法實不可誤用唯乘法或可通融若除法必須細認
俱詳後
[034-7a]
乘法
勿菴氏曰凡理之可言者皆其有數者也數始於一相
縁以至於無窮故曰一與一為二二與一為三自此
以徃巧厯不能盡乘之義也故首乗法
解曰乗者増加之義其數漸陞如乗髙而進也亦曰因
言相因而多也珠算有因法有乗法在籌算總一乘
法殊為簡易
法曰凡兩數相乘任以一為實一為法
[034-7b]
假如以人數給糧或以人為實糧為法或以糧為實
人為法皆可
凡算先列實列書之于紙或粉板亦可依千/百十零之位列之自左而右
次以法數用籌乘之
法有幾位則用幾籌
假如法為六十四則用第六第四兩籌法為/三百八十四則用第三第八第四共三籌
凡乘皆從實末位最小數起
視原實某數即於籌其行取數列之
[034-8a]
假如實是二則/取第二行數
凡列乘數皆自下而上如畫卦
凡實有幾位挨次乗之但次乗之數必髙于前所列
之數一位
假如先乘者是單次乗/者必是十故進位列之
乗訖乃以併法併之合問
[034-9a]
[034-10a]
[034-10b]
又法
凡法尾空位者省不乗但于併數之後補作圏于其
下以存其位尤為簡捷
如上圖乘訖併得三○
○○因法尾有空又補
作一圏是為三○○○
○則知所得三萬
定位法見前
[034-11a]
[034-12a]
又若田為一畝二分則所得為三合何也畝下有分
故得數之三○○其尾○又是勺下之分也此定位
之精理須細審之
[034-13a]
[034-14a]
一四二四四四五七五共九位因實尾空位無零年/故也用
省乘法加一○于末位下共十位而以尾○命為分得
一十四萬二千四百四十四日五十七刻五十○分合
問
[034-14b]
除法
勿菴氏曰天地之道盈虚消息而已無有盈而不虛無
有消而不息乘者息也盈也除者消也虚也二者相
反而不能相無其數每相當不失毫釐如相報也邵
子曰算法雖多乘除盡之矣故除法次之
解曰除者分物之法也原作幾何今作幾分分之則成
各得之數而除去原數也有歸除有商除珠算任用
籌算則獨用商除為便以意商量用之故曰商除
[034-15a]
法曰凡除以所分之物為實今欲作幾分分之為法法
與實須審定倘一倒置則毫釐千里矣假如有糧若/干分給若干
人則當以糧為實以人之數為法除之盖糧數是所/分之物人數是用以分之之法也若倒用以糧分人
則所誤/多矣 凡法有幾位則用幾籌 乃列實自上而/下直書
之/ 視籌之第幾行中積數有與原實相同者或略
少於實者用其數以減原實而得初商 有不盡者
如法再商或三商以上皆如之實盡而止 餘實不
滿法以法命之
[034-15b]
凡商數皆以籌之行數為其數假如所減是等第一/行即商一數第二行
即商/二數
書商數法曰凡書商數皆與減數第一位相對 若所
減第一位是○則補作○于原實首位上而對之此/定
位之/根
定位法曰除畢以商得數與原實對位求之皆于法首
位之上一位命為單數程大位曰歸于法前得零/古法實如法而一是也
此有二法 有法少實多者從原實内尋法首位認
[034-16a]
定逆轉上一位命為單數如米則為單石錢/則為單文之類既得單
數則上而十百千萬下而分秒忽微皆定矣此為正
法
有法反多實反少者乃變法也法從原實首位逆溯
而上至法首位止又上一位命為單數此是虚位借/之以求實數
既得單數乃順下求之命所得為分秒之數
[034-16b]
初商除盡式 法此欲分為七十二分也故以七二為
假如太陽每 法用兩籌
嵗行天三百 實三六○ 如圖先列三百六十度
六十度分為 百十 為實次簡兩籌行内有
七十二候每 三六○與實相同用減
候幾何度 原實恰盡 次查所簡
答/曰每候五度 係籌之第五行商作五
又查所減第一位是三將商數五對三字書之
[034-17a]
定位法曰此法少于實也宜于原實内尋十度位即法
首位也法首再上一位為單度定所得為五度
假令實是三千六百則所得為五十度如後圖
定位法曰此亦法少于實也法亦于
原實内尋法首十位再上一位為單
位單位空補作圏再上一位是十度
定所得為五十度用籌同而得數逈
異定位之法所以當明也
[034-17b]
再商式 法此欲分為一十二分也故以一二
假如皇極經世 為法用兩籌
一元共一十二 實 如圖列實一元/總數簡
萬九千六百年 ○一二九六○○籌第一行是○一
分為一十二會 十萬千百十年二商作一數第一/行故
各幾何 商/一減實一十二萬
答曰每㑹一萬 餘九千六百不盡
○八百年 再用籌如法除之
[034-18a]
又因所減數是○一二故于原實首補作圏而以商
得一對此○位書之即所減籌上/第一位也此定位之根不可
錯須細審之
簡兩籌第八行是○九六與餘實
相合再商八第八行/故也減餘實九千
六百恰盡
此所減數亦是○九六故以商得
八進位書之以暗對其○
[034-18b]
如此審定商數位置已知不錯而初商次商隔一位
不相接是得數有空位也乃于其間補作圏為一○
八
假如隔兩位則作兩圏三位以上倣此求之若非于
商數審其位置鮮不誤矣此算中一大闗鍵也非此
則不能定位
定位訣曰此亦法少于實也從原實内尋法首十位再
上一位是單年單位空補作圏又上一位是十十亦
[034-19a]
空亦補作圈又上一位是百知所得為八百年也知
百知千萬矣定為一萬○八百年
[034-19b]
假如黄鍾之 法此欲分得二千一百八十
實一十七萬 七乃為一分故以二一八
七千一百四十 七為法用四籌
七其分法二
千一百八十
七問若干分
答曰八十一
分
[034-20a]
二千一百八十七再商之
簡籌第一行是○二一八七正合
餘實再商一除實恰盡
次商一進位書暗對所減○位
定位訣從原實尋法首位千逆轉
上一位得單分則餘位皆定
[034-20b]
按籌算原書于定位頗略又其為法原實横而商數縱
各居其方不相依附定位頗難故雖厯書間有訛位今
特詳之而兩兩直書于定位尤易亦足見余之非好為
異也
[034-21a]
[034-21b]
四商法
假如有小珠三十四 此欲分為九分有竒也以/錢
萬三千一百五十四 為主則六分五釐是其/竒零九分之分去聲故
粒換得大珠重九錢 以九六/五為法用籌三根
六分五釐每大珠一 如後圖列實先簡籌第三/
錢換小珠幾何粒 行二八/九五略少于實商三/減
答曰每錢換三萬五 實二十八萬/九千五百餘實五萬三/千六百
千五百六十粒 五十/四以候續商
[034-22a]
次簡籌第五/行是四八/二五為略少于餘
實商五/減餘實四萬八千/二百五十仍餘五/千
四百/○四以待第三商
原實 又簡籌第五/行是四八/二五為略少于餘
實又商五/減餘實四千八百/二十五仍餘
商數 五百七/十九知尚有第四商也
又簡籌第六/行是五七/九○與餘實恰合
四次商數俱對首位 商作六/除餘實五百七/十九恰盡
[034-22b]
定位訣從原實中尋法首單/位逆轉上一位得單/粒定
所得為三萬五千五/百六十○粒命為大珠每錢所換小珠之數
五園問曰法是錢數實是粒數不類也何定位亦如
是準乎勿菴曰此定位之法所以的確不易也且錢
與粒不類子疑之固矣抑知單與單之為一類乎葢所問
是每錢若干故錢數為單位若問每分若干則法首
錢數為十位得為三千五百/五十六矣故定位須詳問意乃
要訣也
[034-23a]
法有○籌式 法此欲分作九百○/七分也故以九○/七
假如布二萬 為法用三籌
一千七百六 如圖簡籌第二/行
十八丈給與 一八/一四商作二/減實
九百○七人 一萬八千/一百四十餘三千/六百
各幾何 二十/八丈次簡第四/行
答曰每人二/十四丈 三六/二八商四/除實盡
以上例皆法少于實故法首在原實中乃本法也
[034-24a]
[034-24b]
以上兩例皆法多于實者其法首位或在原實中必
原實首位也或不在原實中則在其原實上幾位也
要之皆不能滿法其所得必為分秒乃通變之法也
論曰除者分也吾欲作幾分分之則為法所分之物為
實所分之物能如所欲分之數則為滿法滿法則成
一整數假如三十/六人分布而布有三十/六丈則各人分
得一丈古云實如法而一正謂此也程大位算法統
宗曰歸扵法前得零其意亦同此立法之本意也
[034-25a]
乃有所分之物原少于所欲分之數是不滿法也既
不滿法則不能成一整數而所分者皆分秒之數假
如三十/六人分布二十/七丈則每人不能分一丈只各得
七尺/五寸是于一/丈内得其七分/五秒也然必先知整數然後可
以知分秒故必于原實上虚擬一滿法之位若曰能
如此則分得整數矣而今不能則所分得者皆分秒
也于是視所擬整數虚位距商數若干位而命之若
相差一位則得為十之一如兩有錢/尺有寸隔位則為百之
[034-25b]
一如兩有分/丈有寸此乃通變之法要其為法上得零則一
而已矣
又論曰此原實即不滿法也若餘實不滿法除之終不
能盡則以命分之法御之詳後
命分法
法曰凡除法商數至單已極而有餘實不盡者不能成
一整數也則以法命之此有二法
一法即以除法為命分不盡之數為得分則云幾十幾
[034-26a]
分之幾
解曰命分者以一整數擬作若干分而命之如滿此數
則成一整數而今數少故命之也得分者今所僅有
之數在命分數内得若干也命分者古謂之分母/得分者古謂之分子
假如古厯以九百四十分為日法每年三百六十五日
又九百四十分日之二百三十五約為四之一約法/見後
一法除之至盡古厯家所謂退除為分秒是也單下有
一位命為十分之幾有兩位命為百分之幾十幾三
[034-26b]
位則命分千四位則命分萬皆以除得數為得分
假如授時厯法每嵗三百六十五日二千四百二十五
分是以萬分為日即命分也
式如後
假如五尺為歩每方一歩積二十五尺今有積二百四
十尺得若干步
答曰九步又五分步之三
[034-27a]
如圖列實簡籌第九行是二二
五商作九第九/行故減實二百二十
五尺餘一十五不盡以法命之
命為九步又二十五分歩之一
十五約為五之三約分法/見後
若用第二命分法再列餘實加
○位商之以得其分秒如後
[034-27b]
餘實下加一圈則一十五尺通
為一百五十分可再商矣
簡等第六行是一五○商六分
除餘實恰盡
命分九歩六分即十分/歩之六
命分第二法與法多于實/除法同故皆曰除分秒也
若餘實為一十六尺則又不盡一尺法當於不盡一
○之下再加一圈為一○○使此一尺化為一百分而
[034-28a]
再除之得四釐共九歩六分四釐即百分歩/之六十四
約分法
約分者約其繁以從簡也
法曰母數子數平列相減而得其紐數即以紐數為法
轉除兩原數而得其可約之分
凡約分相減不拘左右但以少減多如左少右多則以
左減右左多右少則以右減左若減之後或多者變
而少則轉減之必減至左右相同無可減而止即紐
[034-28b]
數也若一減之即得紐/數則不必轉減
解曰紐數者互相減之餘數相等者也以此除兩數則
皆可分乃兩數之樞紐
若相減至盡而無紐數者則不可約
假如母數二十五子數一十五約之若干
畣曰五之三
一○ 先以十/五 復以一/十 ○五
二五 減二十/五一○轉減十/五 一○
[034-29a]
一五 餘一十/○一五 餘○/五 ○五
復以○/五轉減一/十餘○五左右皆/五即為紐數以紐數○/五為法轉除
母二十/五得五/除子數一十/五得三/故曰五之三葢母數
是五個五子數是三個五也
此轉減例
又如母數九百四十子數二百三十五約之若干
畣曰四之一
先以二百三/十五減九百/四十餘七百/○五又減之餘四百七/十○又減
[034-29b]
之餘二百三/十五
左右皆二百三/十五即紐數也
以紐數二百三/十五轉除母數九百/四十得四/除
子數二百三/十五得一故曰四之一
母數是四個二百三/十五
子數是一個二百三/十五
此不轉減例
厯算全書巻三十
