[011-1a] 
欽定四庫全書
厯算全書卷十一
宣城梅文鼎撰
環中黍尺卷五之六
加減捷法
用加減則乗除省矣今惟用初數則次數亦省又耑
求矢度省餘弦則角之銳鈍得矢自知邊之大小加
較即顯無諸擬議之煩故稱捷法
[011-1b]
如法角旁兩弧度相加為總相減為存視總弧過象
限以總存兩餘弦相加不過象限則相減並折半為初
數
若總弧過兩象限與過象限法同其餘弦/仍相加過三象限與
在象限内同其餘弦/仍相減若存弧亦過象限則反其加減總/弧
過象限或過半周宜相加今反以相減若/總弧過于三象限宜相減今反以相加並以兩餘弦
同在一半徑相減不然則加也
總存兩餘弦同在一半徑當相減折半圖
[011-2a]
乙丁丙三角形
丁為鈍角
丙卯為總弧其正弦卯
戊餘弦戊己 庚丙為
存弧其正弦庚壬餘弦壬巳 兩餘弦同在丙已半徑
宜相減壬巳餘弦内減/戊巳成戊壬折半為初數丑壬即甲庚亦/即未酉
[011-2b]
總存兩餘弦分在兩半徑當相加折半圖
乙丁丙形 丁為銳角
庚丙為總弧其正弧庚
壬餘弦壬巳 卯丙為
存弧其正弦卯戊餘弦
戊已徑兩餘弦分在丙巳子巳兩半徑宜相加以戊巳/加壬巳
[011-3a]
成壬/戊折半為初數丑戊即甲酉亦/即未卯
三邊求角初數恒為法以兩矢較乗半徑為實法為初
數與兩矢較若半徑與角之矢也
一 初數即角旁兩正弦相乗半徑/除之之數今以加減得之
二 兩矢較或兩俱正矢或兩俱大矢或/存弧用正矢對弧用大矢
三 半徑
四 角之矢正矢角銳/大矢角鈍
角求對邊則以初數乗角之矢為實半徑為法法為半
[011-3b]
徑與角之矢若初數與兩矢較也
一 半徑
二 角之矢或正矢/或大矢
三 初數
四 兩矢較並以較加存弧矢為對弧矢加滿半徑以上為/大矢其對弧大不滿半徑為正矢其對弧小
乙丁丙形 三邊求丁角
小邊乙丁正弦/卯辛大邊丙丁正弦/壬丙 初數卯癸兩正弦相乗/半徑除之也
今改用加減
[011-4a]
兩餘弦相減餘房/戊折半得
丑戊即初數卯癸與先所/得同
一系 總弧過半周而存弧亦過象限則餘弦相減
法為卯癸初數與兩矢較牛乙若卯辛正弦距等/半徑與乙
[011-4b]
庚距等/大矢亦即若寅巳半徑與角之大矢酉子
一 初數 卯癸即丑/戊
二 兩矢較 牛乙即房/甲
三 半徑 寅巳
四 角之大矢酉子
若先有丁鈍角而求乙丙對邊則反用其率
一 半徑 寅巳
二 角之大矢酉子
[011-5a]
三 初數 卯癸
四 兩矢較 牛乙
以所得兩矢較加存弧大矢房丙得大矢甲丙
乙丁丙形
三邊求丁角
小邊乙丁正弦/乙辛 大邊丙丁正弦/戊壬
初數戊癸
今用加減
[011-5b]
兩餘弦相減餘辰/甲折半得辰
丑即初數戊癸
對弧乙/丙大矢斗乙
存弧 大矢甲乙兩矢較/斗甲
法為初數戊癸與兩矢較斗甲若戊壬正弦距等/半徑與丙
庚距等/大矢亦即若寅巳半徑與角之大矢酉子
[011-6a]
一 初數戊癸即丑/甲
二 兩矢較 斗甲
三 半徑 寅巳
四 角之大矢酉子
論曰此移小邊于外周如法求之所得並同其故何也
先有之角及角旁二邊並同則諸數悉同矣然則句股
之形不同何也曰前圖是用乙丁小弧之正弦為徑分
大矢之比例則所用句股是丁丙大弧之正弦此圖是
[011-6b]
用丁丙大弧正弦為徑分大矢比例則所用句股是乙
丁小弧正弦故句股形異也然句股形既異而所得初
數何以復同曰此三率之精意也初數原為兩正弦相
乗半徑除之之數前圖用大弧正弦偕半徑為句與弦
而小弧正弦用為大矢分徑之比例是以大弧正弦為
二率而小弧正弦為三率也今改用小弧弦為二率大
弧弦為三率而首率之半徑不變則四率所得之初數
亦不變也又何疑焉
[011-7a]
一系 角旁二弧可任以一弧之正弦為全徑上分大
小矢之比例其餘一弧之正弦即用為句股比例不拘
大小同異其所得初數並同
又論曰以句股比例言之則戊庚通弦為弦即距等/圏全徑戊
女倍初數為句即總存兩餘弦/相加減之數一也戊壬正弦為弦則
戊癸初數為句二也丙庚為弦通弦之大分/即距等大矢則斗甲兩
矢較為句即丙/房三也丙壬為弦正弦之分綫/即距等餘弦則斗丑為
句對弧餘弦内減次數丑/巳得斗丑亦即丙牛四也戊丙為弦正弦之分綫/即距等小矢
[011-7b]
則午戊為句五也
以全與分之比例言之則戊庚為距等全徑與寅子全
徑相當一也戊壬正弦為距等半徑當寅巳半徑二也
丙庚如距等大矢當酉子大矢三也丙壬如距等餘弦
當酉巳餘弦四也戊丙如距等小矢當寅酉正矢五也
一系 初數恒與角旁一弧之正弦為句股比例其正
弦恒為弦初數恒為句而其全與分之比例俱等又即
與員半徑上全與分之比例俱等若倍初數即與全員
[011-8a]
徑上大小矢之比例等
一系 角旁兩弧任以一弧之正弦為徑上全與分之
比例初數皆能與之等
若先有丁鈍角求對邊乙丙則更其率
一 半徑 巳子
二 丁角大矢酉子
三 初數 丑甲
四 兩矢較 斗甲
[011-8b]
以四率斗甲加存弧大矢乙甲成斗乙為對弧大矢内
減巳乙半徑得斗巳為對弧餘弦撿表得未丙弧度以
減半周得對弧丙乙度
乙丁丙形 三邊求丁角
乙丁邊九十/五度 丁丙邊一百一/十二度 乙丙對弧一百一/十九度
總弧丙未二百○七度 餘弦辛巳 八九一○一
存弧丙戊一十七度 餘弦壬巳 九五六三○
兩餘弦相加辛壬一八四七三一
[011-9a]
初數卯亥即半辛/壬丑辛九二三六五
對弧大矢癸丙一四八四八一
存弧正矢壬丙 四三七○
兩矢較癸壬 一四四一一一
法曰卯亥即丑/辛與癸壬若
未亥與乙戊亦必若庚巳
與甲子
一 初數 卯亥 九二三六五
[011-9b]
二 兩矢較癸壬 一四四一一一
三 半徑 庚巳 一○○○○○
四 角之矢申子 一五六○二二
四率大于半徑為大矢其角鈍法當以半徑一○○
○○○減之餘五六○二二為鈍角餘弦撿表得餘
弦度五十五度五十六分以減半周為丁角度
依法求到丁鈍角一百二十四度○四分
論曰試作辰戊綫與倍初數辛壬平行而等又引未辛
[011-10a]
總弧/正弦至辰成未辰戊句股形又引牛乙癸對弧/正弦至寅作
亥丑綫引至斗各成句股形而相似則其比例等
一未辰戊大句股 以辰戊倍初數為句未戊通弦為弦
一乙寅戊次句股 以寅戊兩矢較為句乙戊距等/大矢為弦
一未卯亥/亥斗戊兩小句股並以卯亥/斗戊初數為句未亥/亥戊正弦為弦
辰戊倍初數與寅戊兩矢較若未戊通弦與乙戊距等
大矢是以大句股比小句股也
卯亥初數與癸壬兩矢較若未亥正弦與乙戊距等大
[011-10b]
矢是以小句股比大句股也 用亥斗戊形比乙寅戊
其理更著
又未戊通弦上全與分之比例原與全員徑上全與分
之比例等故三者之比例可通為一也
一大句股截數種小句股/故又為全與分之比例
仍用全圖取乙丁女形 求丁鋭角
乙丁邊九十/五度 女丁邊六十/八度 女乙對弧六十/一度
總弧女戊一百六/十三度餘弦壬/巳九五六三○
[011-11a]
存弧女未二十/七度 餘弦辛/巳八九一○一
兩餘弦并辛/壬一八四七三一初數卯亥九二三五六
一 初數 卯亥 九二三六五
二 兩矢較癸辛 四○六二○
三 半徑 巳庚一○○○○○
四 角之矢申庚 四三九七七 以減半徑得丁角餘/弦入表得丁角度
[011-11b]
依法求得丁鋭角五十五度五十六分
辛丁乙形
三邊求丁角
辛丁邊五十度一十分 乙丁邊六十
總弧卯辛一百一十度一十分
餘弦庚丙二四四七五
存弧戊辛九度五十分
餘弦子丙九八五三一
[011-12a]
餘弦并子庚一三三○○六
初數子午即戊/癸六六五○三
辛乙對弧八十度
對弧矢辛酉 八二六三五
存弧矢辛子 一四六九
兩矢較子酉 八一一六六
一 初數 子午 六六五○三
二 兩矢較 子酉 八一 一六六
[011-12b]
三 半徑 壬丙一○○○○○
四 丁角大矢壬甲一二二○五○用餘弦入表得丁外/角減半周得丁角度
依法求到丁鈍角一百○二度四十四分
論曰此如以日髙度求其地平上所加方位也乙為太
陽乙甲其髙度其餘度丁乙日距天頂也亥乙赤道北
緯辛乙為距緯之餘即去極緯度也辛壬為極出地度
其餘辛丁極距天頂也所求丁鈍角百○二度太距正
北壬之度外角七十七度少距正南巳之度也算得太
[011-13a]
陽在正東方過正卯位一十二度太
乙丙辛形 有辛丙三十三度/辛乙百卅二度 對弧乙丙百度/八
求辛角
總弧丙/壬一百六十五度
餘弦己/戊九六五九三
存弧丙/庚九十九度
餘弦己/甲一五六四三 兩餘弦相減餘戊/甲八○九五○
初數甲丑四○四七五 對弧大矢酉丙一三○九○二
[011-13b]
存弧大矢甲丙一一五六四三
兩矢較甲酉 一五二五九
一初數甲丑 四○四七五
二兩矢較甲酉一五二五九
三半徑申巳一○○○○○
四角之矢未申三五三五二
得辛鋭角四十九度二十八分
恒星歲差算例
[011-14a]
老人星黄道鶉首宫九度三十五分二十七秒為庚角康/熈
甲申年距厯元戊辰七十/七算毎年星行五十一秒
訃行一度○五分二十七/秒以加戊辰年經度鶉首
八度三十/分得今數
黄道南緯七十五度 距
黄極一百六十五度為庚
辛邊 用巳庚乙三角形
一角/二邊求對弧巳乙赤/緯
[011-14b]
餘弦較丁甲二○六六一
初數甲戊一○三三○
庚角正矢申酉 一三九八
一 半徑 申丙一○○○○○ 大矢内減半徑
二 庚角矢 申酉 一三九八 取餘弦檢表得
三 初數 甲戊 一○三三○ 三十八度廿三
[011-15a]
四 兩矢較 甲丑 一四四 分半以減半周
加存弧大矢巳甲一七八二三四 得星距北極一百
得對弧大矢巳丑一七八三七八 四十一度三十六
分半為對弧巳乙
求到甲申年老人星赤緯在赤道南五十一度三十六分半
以校厯元戊辰年緯五十一度三十三分及儀象志/康熈壬子年緯五十一度三十五分可以畧見恒星
赤緯歲/差之理
求巳角赤/經
[011-15b]
巳庚角旁弧二十三度三
十一分半
巳乙角旁弧一百四十一
度三十六分半
庚乙對弧一百六十五度
三邊求角
[011-16a]
餘弦較子斗 四九五七七
初數午斗 二四七八八
對弧大矢庚亥一九六五九三
存弧大矢庚斗一四七○七六
兩矢較亥斗 四九五一七
一 初數 午斗 二四七八八 大矢内減半徑得
二 兩矢較亥斗 四九五一七 餘弦檢表得度以
三 半徑 丙氐一○○○○○ 減半周得已角度
[011-16b]
四 角大矢亢氐一九九七六一 一百七十六度○二分
置三象限以已角度減之得星距春分九十三度五十八分
求到甲申年老人星赤道經度在鶉首宮三度五十八分
以校戊辰年赤經九十三度三十九分及儀象志壬子年/赤經九十三度五十一分可以見恒星赤經東移之理
加减㨗法補遺
㨗法以兩餘弦相加減以兩矢較偹四率其用巳簡
然有闕餘弦無可加減闕矢度無可較者雖非恒用
而時或遇之亦布算者所當知也
[011-17a]
一加減變例
凡餘弦必小於半徑常法也然或捴弧適足半周則
餘弦極大即用半徑為捴弧餘弦 法以存弧餘弦
加減半徑折半為初數視存弧不過象限則相/加存弧過象限則相减
又若角旁兩弧同數則無存弧而餘弦反大即用半
徑為存弧餘弦 法以捴弧餘弦加减半徑折半為
初數視捴弦過象限或過半周則相加捴/弧在象限内或過三象限則相减
以上用半徑為餘弦者六
[011-17b]
凡加減取初數必用兩餘弦常法也然或搃弧適足
一象限或三象限或存弧適足一象限皆無餘弦
法即用一餘弦折半為初數不湏加減搃弧無餘弦/即單用存弧
餘弦存弧無餘弦/即單用搃弧餘弦
又或捴弧適足象限/或三象限無餘弦而兩弧又同數準前論即以半/徑為存弧餘弦
或存弧適足/象限無餘弦而搃弧又適足半周即以半徑為/搃弧餘弦
二者並以半徑之半為初數不湏加减
以上無加减者六
[011-18a]
一兩矢較變例
凡兩矢相較常法也然或其弧滿象限則即以半徑
為矢對弧滿象限則以半徑為對弧矢與存弧矢相/較存弧滿象限亦然亦即以半徑與對弧矢相
較/ 㨗法視對弧存弧但有一弧滿象限即命其又
一弧之餘弦為兩矢較不更求矢對弧滿象限即用/存弧餘弦存弧滿
象限即用對弧餘弦並即/命為兩矢較與上法同
凡以矢較加存弧矢成對弧矢正矢則對弧小/大矢則對弧大常法
也然或有相加後適足半徑者其對弧必適足象限
[011-18b]
又有四率中無兩矢較者以無存弧矢故也凖前論/角旁兩
弧同度無存弧則亦/無存弧矢之可較法即以對弧矢為用不必更求
矢較 若角求對邊其所得第四率即對弧矢若三
邊求角其所用苐三率亦對弧矢餘詳/後例
設角旁兩弧同度總弧在象限以内 求對角之邊丙
乙丁形
乙角一百一十度餘弦三四二○二 乙丙 乙丁
並三十度
[011-19a]
[011-19b]
兩餘弦相減 五○○○○ 丙庚
半之為初數 二五○○○ 丙癸
一 半徑 寅已 一○○○○○
二 初數 丙癸 二五○○○
三 乙角/大矢 寅午 一三四二○二
四 對弧/矢 丙甲 三三五五○四率本為兩矢較因無存/弧矢故即為對弧之矢
對弧/餘弦 甲巳 六六四五○
求到對弧丁丙四十八度二十二分
[011-20a]
論曰以半徑為存弧餘弦何也弧大者餘弦小弧小者
餘弦大今存弧既相減而至于無則小之至也故其餘
弦亦大之至而成半徑也 四率即為對弧矢何也弧
大矢亦大弧小矢亦小既無存弧則亦無矢矣無矢則
無可較故四率即對弧矢也 然則其比例奈何曰半
徑寅已與大矢寅午若正弦子丙與距等大矢丁丙亦
即若初數丙癸與對弧矢丙甲
若三邊求角則反其率
[011-20b]
一初數 二半徑 三對弧矢 四乙角矢
若捴弧過三象限其法亦同
前圖丁丑丙形
丑角同乙角
[011-21a]
其所用四率以得對弧丁丙並同上法
若三邊求角則反其率
一初數 二半徑 三對弧矢 四丑角矢
一系 兩邊同度無存弧矢則徑以對弧矢當兩矢較之用
設總弧滿半周而較弧亦過象限 求對角之邊
前圖卯丑丁形
丑角 七十度餘弦 三四二○二 午已
丑丁 一百五十度
[011-21b]
丑卯 三十度
相減 五○○○○庚丙
初數 二五○○○庚癸
存弧大矢一五○○○○庚卯
丑角矢 六五七九八午酉
一 半徑 酉巳 一○○○○○
[011-22a]
二 初數 丙癸即庚/癸 二五○○○
三 丑角矢 午酉 六五七九八
四 兩矢較 庚甲 一六四四九
加存弧大矢庚卯 一五○○○○
得對弧大矢甲卯 一六六四四九
求到對弧卯丁一百三十一度三十八分
設三小邊同數
求角
[011-22b]
丙乙丁形
三邊並三十度
求乙角
[011-23a]
相減 五○○○○ 丙庚
初數 二五○○○ 丙癸
對弧丁/丙三十度餘弦 八六六○三 甲巳
矢 一三三九七 丙甲
一 初數 丙癸 二五○○○
二 半徑 寅己 一○○○○○
三 對弧矢丙甲 一三三九七
四 乙角矢寅午 五三五八八
[011-23b]
餘弦午巳 四六四一二
求到乙角六十二度二十分 丁丙二角同
論曰此亦因存弧無矢故以對弧矢為三率也其比例
為初數丙癸與對弧矢丙甲若乙丙正弦丙辰與丙丁
距等矢則亦若寅巳半徑與乙角矢寅午
一系 凡三邊等者三角亦等
前圖丁丑丙形 二大邊同度一小邊為大邊減半周之餘
三邊求角
[011-24a]
其對弧丁丙亦三十度所用四率並同上法所得丑角
六十二度二十分亦同乙角惟餘兩角丁/丙並一百一十
七度四十分皆為丑角減半周之餘
若先有角求對邊則反其率
[011-24b]
又于前圖取丁丑戊形
丑丁 一百五十度
丑戊 三十度
其對弧戊丁一百五/十度為丑戊三十/度減半周之餘故所用四率亦
同但所得矢度為丑外角之矢當以其度減半周得丑角
一百一十七/度四十分戊角同丑角丁角六十二度/二十分即丑外角
[011-25a]
一系凡二邊同度其餘一邊又為減半周之餘與三邊同
度者同法但知一角即知餘角其一角不同者亦為相同兩角
之外角
設角旁兩弧同數而捴弧適
足一象限求對角之邊
子乙丙形
乙角一百度餘弦 一七
三六五
[011-25b]
初數 五○○○○ 丙辛即半徑/之半
一 半徑 壬巳 一○○○○○
二 初數 丙辛 五○○○○
三 乙角大矢壬丑 一 一七三六五
[011-26a]
四 對弧矢 丙癸 五八六八二
餘弦癸巳 四一三一八
求到對弧子丙六十五度三十六分
論曰半半徑為初數何也凖前論半徑即存弧餘弦而
捴弧無餘弦無可相減故即半之為初數 問捴弧何
以無餘弦曰弧大者餘弦小捴弧滿象限則大之極也
故無餘弦 其比例可得言乎曰壬巳與壬丑若丙甲
與丙子則亦若丙辛與丙癸 若所設為子戊丙形
[011-26b]
戊角同乙角一百度
戊子/戊丙同為一百三十五度 捴二百七十度滿三/象限亦
無餘弦亦如上法以半半徑為初數依上四率求到對
戊角之子丙弧六十五度三十六分
若三邊求角則反其率
一初數 二半徑 三對弧矢 四角之矢
設角旁兩弧之捴滿半周而存弧亦滿象限 求對角
之弧 用前圖子戊卯形
[011-27a]
戊角 八十○度餘弦 一七三六五
子戊一百三十五度
卯戊 四十五度
餘弦無減半半徑為初數五○○○○ 己辛即庚甲
存弧滿象限半徑為正矢一○○○○○ 即卯巳半徑
一 半徑 辰巳 一○○○○○
[011-27b]
二 初數 己辛 五○○○○
三 戊角矢辰丑 八二六三五
四 兩矢較己癸 四一三一七 即對弧卯子餘弦
對弧大矢卯癸 一四一三一七 以兩矢較加存弧/矢得對弧大矢
求到對弧卯子一百一十四度二十四分
論曰捴弧以半徑為餘弦何也凡過弧大者餘弦大過
弧滿半周則大之至也故其餘弦亦最大而即為半徑
也 然則存弧又能以半徑為矢何也弧大者矢大存
[011-28a]
弧既滿象限故其矢亦滿半徑矣
問兩矢較巳癸即對弧之餘弦也何以又得為兩矢較
曰他存弧之矢有大小而不得正為半徑故其與對弧
矢相較亦有大小而不得正為餘弦今矢既為半徑較
必餘弦矣
若三邊求角則反其率
一 初數 巳辛 其比例為巳辛與巳癸若丁甲
二 半徑 辰巳 與丁子則亦若辰巳與辰丑
[011-28b]
三 兩矢較己癸
四 戊角矢辰丑
設對弧滿象限 三邊求角
乙丙甲形
對弧乙甲九十度 無餘弦
求丙角
[011-29a]
相加辰癸 一三五六二一
初數午癸 六七八一○
對弧滿象限矢即半徑已甲一○○○○○
用㨗法即以存弧餘弦癸已為矢較
一 初數 午癸 六七八一○
二 半徑 巳戊 一○○○○○
[011-29b]
三 矢較 巳癸 四二二六二 即存弧餘弦
四 丙角矢 庚戊 六二九○四
求到丙角六十八度一十四分
其比例為初數午癸與餘弦巳癸若正弦壬辛與距等
矢乙辛也亦必若半徑己戊與角之矢庚戊
若先有丙角求對弧則反其率
一半徑戊/巳 二初數午/癸 三丙角矢戊/庚 四兩矢較巳/癸
以所得四率與存弧矢甲癸五七七/三八相加適足半徑成巳/甲命
[011-30a]
對弧乙甲適足九十度 㨗法視所得四率矢較與
存弧餘弦同數即知對弧為象限不必更問存弧之矢
設角旁兩弧同數捴弧過象限
求對角之弧
辛乙丙形
乙角七十三度餘弦二九二三七
[011-30b]
相加折半為初數 八二一三九 癸丙
一 半徑 己戊一○○○○○
二 初數 癸丙 八二一三九
三 乙角矢甲戊 七○七六三
四 對弧矢丁丙 五八一二四
餘弦丁巳 四一八七六
[011-31a]
求到對弧辛丙六十五度一十五分
若三邊求角則反其率
一初數癸/丙 二半徑巳/戊 三對弧矢丁/丙四乙角矢甲/戊
設角旁弧同數捴弧過半周其算並同
前圖辛丑丙形
辛丑 丙丑並一百十五度
捴弧丙丑壬二百三十度餘弦 六四二七九 庚巳
丑角同乙角
[011-31b]
其所用四率求對弧及三邊求角並如上法
設捴弧滿半周而存弧不過象限 求對弧
前圖辛乙卯形
乙角 一百○七度餘弦 二九二三七 甲巳
乙卯 一百十五度
乙辛 六十五度
[011-32a]
相加半之為初數 八二一三九 癸庚即子辰
一 半徑 寅巳 一○○○○○
二 初數 庚癸 八二三一九
三 乙角大矢寅甲 一二九二三七
四 兩矢較 庚丁 一○六一五三 即辛未
加存弧正矢庚卯 三五七二一
得對弧大矢丁卯 一四一八七四
求到對弧卯辛一百一十四度四十五分
[011-32b]
加减又法解恒星暦指第四題三/率法與加減㨗法同理
弧三角有一角及角旁二邊求對角之弧
法曰以角旁大弧之餘度與小弧相加求其止弦為先
得弦 次以角旁兩弧相加視其度若適足九十度即
半先得弦為次得弦此大弧之餘/弧與小弧等
若角旁兩弧捴大于象限此大弧之餘/弧小于小弧則以大弧之餘
弧減小弧而求其弦以加先得弦然後半之為次得弦
若兩弧捴不及象限此大弧之餘/弧大于小弧則以小弧減大弧之
[011-33a]
餘弧而求其弦以減先得弦然後半之為次得弦
又以角之矢為後得弦
以後得弦乗次得弦為實半徑為法除之得數為他弦
一率 全數
二率 次得弦即初/數
三率 後得弦即角/之矢
四率 他弦即兩/矢較
並以他弦與先得弦相減為所求對角弧之餘弦若他
[011-33b]
弦大于先得弦即以先得弦減他弦不問何弦但/以小減大
右法不載測量全義而附見厯指人自江南來得小兒以燕/家信以此為問謂與環中黍尺有合也乃為摘録以疏其義
論曰此亦加減代乗除之一種也加減法以捴弧存弧
之餘弦相加減以取初數此則不用存弧而用存弧之
餘度以餘度取正弦即/存弧之餘弦故也又不正用存弧之餘度而用大
弧之餘度以大弧之餘度加小弧/即存弧之餘度故也至其加減又不用捴
弧而用大弧餘度與小弧相減之較弧以此較弧之正/弦即捴弧之餘
弦故/也取徑迂迴而理數脗合非兩法相提並論不足以
[011-34a]
明其立法之意也舉例如後
乙丙丁形有乙角及/角旁二邊求對弧丁丙以加減㨗法求得諸數與/恒星厯指法相參論之
乙丙小弧/乙丁大弧正弦甲丙/辰庚
捴/存弧戊丙/庚丙餘弦壬巳/癸巳
餘弦并癸壬/初數 癸甲 即辰寅/
丁丙對弦/庚丙存弧正矢卯丙/癸丙
一/ 半兩矢較卯癸/ 徑 酉巳
二/三 角之矢/初數 酉午即辰寅/甲癸
[011-34b]
四末兩矢較加癸卯癸卯即丁子/ 以卯癸 丙得 丙為對
弧矢乃查其度得對弧丁丙/
右加減法也
今改用恒星厯指之法 先以酉庚為角旁大弧乙/丁之
餘弧乙庚同乙丁大弧度也乙酉同乙午皆象限也乙/酉象限内減乙庚猶之乙午内減乙丁也故庚酉
即乙丁/之餘又以牛酉當角旁小弧乙丙乙酉與牛丙皆象/限内減同用之丙
酉同/乙丙二者相加成牛庚取其正弦戊庚是為先得弦
次視角旁兩弧乙丙/乙丁之捴丙/戊大于象限丙/辛法當以大弧
[011-35a]
餘度去減小弧得較于同小弧之午酉内減同大弧餘/度之氐酉其較牛氐與牛房等
而取其弦牛氐較與牛房等則氐井弦與房井等而/即與危戍等是危戌即牛氐較之弦也以
加先得弦以危戍加戌/庚成危庚然後半之危庚半之于/未成未庚為次得
弦
又以乙角之矢午/酉為後得弦與次得弦未/庚相乗為實半
徑為法除之得他弦亥/庚
未以他弦亥/庚减先得弦戌/庚其餘亥戌為對弧丁/丙之餘弦
查表得/對弧
[011-35b]
論曰牛庚之正弦戍庚與癸巳平行而等即存弧之餘
弦也牛庚為小弧與大弧餘度之并實即/存弧丙庚之餘度故戌庚即同癸巳次得弦未庚
與甲癸平行而等即初數也以危戍加戌庚而成危庚猶捴/存兩餘弦相加成癸壬也
危庚既同癸壬則其/半未庚亦同甲癸他弦庚亥與卯癸平行而等即兩
矢較也末以他弦與先得弦相減而得對弧餘弦猶以
兩矢較與存弧之矢相加而得對弧之矢也兩矢較即/兩餘弦較
也故加之得矢者/减之即得餘弦然則此兩法者固異名而同實矣
又論曰加減本法用大弧小弧之捴與較取其餘弦以
[011-36a]
相加減今此法則用大弧餘度與小弧之捴與較而
取其正弦以相加減如牛庚是大弧餘度與小弧之/捴牛氐是大弧餘度與小弧之
較/用若相反而得數並同者何也曰餘弧與正弧
互為消長其數相待是故大弧之餘度大于小弧
則捴弧不及象限矣大弧之餘度小于小弧則捴弧過
象限矣捴弧過象限宜相加此條是也捴弧不及象
限宜相減後條是也宜加宜減之數無一不同得數
安得而不同得數謂初數也在/此法則為次得弦
[011-36b]
又論曰此法之于加減法猶甲數乙數之于初數次數
也初數次數用餘弦甲數乙數用正弦加減法用餘弦
此法用正弦所以然者皆以角旁之弧半用餘度也甲/數
乙數法内一弧用本度一弧用餘/度此法小弧用本度大弧用餘度一加減法乃有四用
其省乗除並同而繁簡殊矣
乙丙丁形
有乙角及角旁二邊
求對弧丁丙
[011-37a]
乙丙小弧/乙丁大弧正弦申丙/辰庚
捴/存弧戊丙/庚丙餘弦壬巳/癸巳
餘弦較壬癸/ 初數癸甲
丁丙對弧/庚丙存弧正矢卯丙/癸丙
一/ 兩矢較卯癸/半徑 酉巳
二/三 角大矢/ 初數 酉午/甲癸
四/ 兩矢較/ 卯癸/
末以卯癸加癸丙成卯丙為對/弧矢查其餘弦得對弧丁丙
[011-37b]
右加減法也
今依恒星法改用大弧之餘度庚酉即/午丁與小弧牛酉即/乙丙
相加成牛庚即存弧/丙庚之餘度求其正弦為先得弦戍庚同巳癸/即存弧之餘
弦/次視兩弧之捴戊/丙不及象限法當以小弧減大弧餘
度取氐酉如酉庚/以牛酉減之得較氐牛與/牛房等取其正弦女房即女氐/亦即戍危
以減先得弦戍危減戌庚餘/危庚與癸壬等然後半之危庚半之于虚/成庚虚與甲癸
等/為次得弦又以乙/鈍角大矢午/酉為後得弦與次得弦
相乗為實半徑為法除之得他弦亢庚與/卯癸等末以他弦亢/庚
[011-38a]
減先得弦戍/庚其餘戍亢即卯/巳為對弧餘弦查表得對弧
丁丙
一率 半徑 酉巳
二率 次得弦庚虚即初數/甲癸
三率 後得弦午酉即角/大矢
四率 他弦 亢庚即兩矢/較卯癸
乙丙丁形有丙角及/角旁二邊求對弧丁乙
法以丁/丙大弧之餘午丁即/酉甲與小弧乙丙即/戊酉相加成甲/戊求
[011-38b]
其正弦庚/甲為先得弦次視兩弧
之總丑/乙適足象限即半先得弦
為次得弦癸甲或/癸庚又以角之大矢午/酉為
後得弦乘之午酉乘/癸甲半徑酉/巳除之
得他弦卯甲即/壬未以減先得弦甲/庚得
對弧餘弦卯庚即/壬巳查表度得對弧丁/乙
解曰此因大弧之餘酉甲與小弧戊酉同數則無加
減故即半先得弦為次得弦也在加減法則為總弧無
[011-39a]
餘弦而即半存弧餘弦為初數
丙戊丁形有戊角及/角旁二邊求對弧丁丙
如法以大邊丙/戊之餘卯丙即/癸庚
與小弧丁戊即/癸辛相加成辛/庚取
其正弦庚/乙為先得弦次眎角
旁兩弧之捴辰/丁大于象限法
當以癸庚減癸辛得較子辛
即辛/井而取其正弦子斗即井/斗亦即乙
[011-39b]
甲/以加先得弦乙/庚而半之甲庚之半/為甲丑為次得弦又以角
之大矢卯/癸為後得弦以乗次得弦為實半徑為法除之
得他弦牛/庚末以他弦牛/庚與先得弦庚/乙相減得牛乙即/壬巳為
對弧之餘弦查餘弦度以減半周得對弧丁丙
解曰此為他弦大于先得弦故反減也在加減法則所
得為對弧大矢與存弧小矢之較而兩矢較即兩餘弦
并也故減存弧餘弦得對弧餘弦
補求經度法
[011-40a]
法用角旁兩弧大弧用餘度/小弧用本度相加得數取正弦為先得
弦又相減得較取正弦以與先得弦相加減角旁兩弧/大于象限
則相加若小于/象限則相減而半之為次得弦若角旁兩弧并之適/足一象限則徑以先
得弦半之為次/得弦不須加減用為首率 次以對角弧之餘弦與先
得弦相加減得他弦為次率對弧大于象限相加/小于象限則相減 半
徑為三率 求得角之矢為四率正矢為鋭角/大矢為鈍角
假如丙戊丁形有三邊求戊角借用/前圖
一 次得弦 甲丑乃先得弦/甲庚之半即庚丑
[011-40b]
二 他弦 壬酉即牛庚乃對弧餘弦加先/得弦因對弧大故相加
三 半徑 巳癸
四 鈍角大矢卯癸卯癸大矢内減巳癸半徑為餘弦查/表得度以減半同為戊鈍角之度
論曰角求對邊者求緯度也三邊求角者求經度也二
者之分祗在四率中互換無他繆巧厯指注云求緯用
正弦求經用切線殊不可曉及查其後條用例亦無用
切綫之法殆有缺誤厯書中如此者甚多故在善讀耳
加減通法
[011-41a]
加減代乗除之法以算三邊求角及二邊一角求對
角之邊皆斜弧三角之難者也其算最難而其法益
簡故凡算例中兩正弦相乗者即可以加減代之則
雖正弧諸法實多所通故謂之通法
法曰凡四率中有以兩正弦相乗為實半徑為法者皆
可以初數取之 有以兩餘弦相乗為實半徑為法者
皆可以次數取之 有以餘弦與正弦相乗為實半徑
為法者皆可以甲乙數取之
[011-41b]
假如正弧形有角有角旁弧而求對角之弧此如有春/分角有黄
道而求/距度本法當以角之正弦與角旁弧之正弦相乗為
實半徑為法除之也今以初數取之即命為所求度正
弦
設黄道三十度求黄赤距度
春分角二十三度三十一分半/黄道 三十○度
捴弧/存弧 五十三度三十一分半/ 六度二十八分半餘弦五九四四七/九九三六二
用初數為正弦檢表得度 相减三九九一五即初數/折半一九九五七
[011-42a]
求到黄赤距度一十一度三十○分四十二秒
又設黄道七十五度求黄赤距度
春分角二十三度三十一分半/黄道 七十五度
捴/存弧 九十八度三十一分半/五十一度二十八分半餘弦一四八二四/六二二八五
用初數為正弦檢表得度 相加七七一○九/折半三八五五四
求到黄赤距度二十二度四十分三十九秒
又如句股方錐法有大距有黄道而求距緯本以大距
正弦黄道餘弦相乗半徑除之也今以甲數取之
[011-42b]
設黄道六十度求距緯句股方錐黄道以/距二至起算下同
黄赤大距二十三度三十一分半/黄道 六十○度
捴弧/存弧 八十三度三十一分半/三十六度二十八分半正弦九九三六二/五五四四七
用甲數為正弦檢表得度 相减三九九一五為甲數/半之一九九五七
求到距緯一十一度三十○分四十二秒
設黄道一十五度求距緯
黄赤大距二十三度三十一分半/黄道 一十五度
捴/存弧 三十八度三十一分半/ 八度三十一分半正弦六二二八五/一四八二四
[011-43a]
用甲數為正弦查表得度 相加七七一○九為甲數/半之三八五五四
求得距緯二十二度四十分三十九秒
又如次形法本以一正弦與一餘弦相乗半徑除之得
所求之餘弦今以初數取之
設甲丙乙形有甲正角有丙角及甲丙邊
而求乙角本法為半徑與丙角正弦若甲
丙餘弦與乙角餘弦今以初數即命為乙
角餘弦 丙角度度/甲丙餘相并/減為捴/存弧各取其
[011-43b]
餘弦如法相加減而半之成初數即命為乙角餘弦
本法用正弦與餘弦相乗而亦以初數取之何也曰甲
丙餘弦實次形丁丙正弦也故仍用初數
假如斜弧形作垂弧法本為半徑與角之正弦若角旁
弧之正弦與垂弧之正弦也今以初數即命為垂弧正弦
設丁乙丙形有乙鋭角有丁乙邊求作丁甲
垂弧 乙角度/乙丁弧相并/減為捴/存弧而取其餘弦
如法相加減而半之成初數即命為丁甲垂
[011-44a]
弧正弦
設丁乙丙形乙為鈍角而先有丁乙邊其
法亦同 乙外角/丁乙邊相并/減為捴/存弧而各取其
餘弦如上法取初數命為甲丁垂弧正弦
又如弧角比例法本為角之正弦與對角邊之正弦若
又一角之正弦與其對邊之正弦今以初數進五位即
為兩正弦相乗之實可以省乗
設乙甲丙形有丙角甲角有乙甲邊求乙丙邊本以甲角
[011-44b]
正弦與乙甲正弦相乗為實丙角正弦為
法除之得乙丙正弦今以甲角度與乙甲
弧相并減為捴存弧如法取初數進五位
為實以丙角正弦除之亦得乙丙正弦若/有
乙丙邊求丙角則以乙丙邊正/弦為法除之即得丙角之正弦
又如垂弧㨗法本以兩餘弦相乗為實又以餘弦為法
除之而得所求之餘弦今以次數進五位為兩餘弦相
乗之實即可省乗
[011-45a]
設甲丁亥鈍角形有亥甲邊有亥丁邊有引長之丁巳
邊而求甲丁邊本法為亥巳邊之餘弦與亥甲邊之餘
弦若丁巳邊之餘弦與甲丁邊之餘弦也 今以次數
代乗
亥甲/丁巳二弧相并為捴弧相減為存弧
而各取其餘弦如法相加減而半之
為次數下加五○即同亥甲與丁巳
兩餘弦相乗之實但以亥巳邊之餘
[011-45b]
弦為法除之即得甲丁邊之餘弦
進五○何也曰初數者兩正弦相乗半徑除之之數故
必進五位即同兩正弦相乗之實矣 次數進位之理
倣此論之
補加減㨗法
設壬丙甲弧三角形
甲壬邊適足九十度 丙甲邊八十三度 對弧壬
丙五十九度
[011-46a]
求甲角
法曰角旁有一邊
適足九十度則總
存兩餘弦同數當
以餘弦即命為初
數 依法求得五
十八度四十四分
為甲角
[011-46b]
存矢 申丙 七四五
矢較 戊申 四七七五一
一 初數 九九二五五已申
二 矢較 四七七五一戊申
[011-47a]
三 半徑一○○○○○己癸 查表得五十八度四十四分
四 角之/矢 四八一○九壬癸
餘弦 五一八九一壬巳
論曰此即算帶食法也凡算帶食其差角必在地平壬
甲九十度即髙弧全數丙甲八十三度月距北極也癸
丙七度黄赤距度也壬丙對弧極距天頂也其餘弦己
戊即極出地正弦所求甲角月出地平時地經赤道差
也
[011-47b]
㨗法以黄赤距度餘弦與極出地正弦相減餘進五位
為實仍以距度餘弦除之得差角矢
解㨗法曰極出地正弦即對弧餘弦黄赤距度餘弦即
存弧餘弦兩餘弦之較即矢較也
又解曰巳乙即己申亦即未丙並小弧甲丙正弦也即/存
弧癸丙/之餘弦未丙與戌丙若己癸與壬癸全與分之比例也
又解曰初數是兩正弦相乗半徑除之之數今甲壬邊
之正弦即半徑故省乗除竟以甲丙正弦為初數
[011-48a]
又設壬甲辛鈍角形即用/前圖 壬甲邉適足九十度 辛
甲邉九十七度 對邉辛壬一百二十一度 求甲角
依法求得甲鈍角一百二十一度一十六分
對弧辛壬一百卄一度餘弦巳戊 五一五○四
對弧大矢 戊辛 一五一五○四
存弧 矢 癸乙同酉辛 七四五亦同/丁庚
[011-48b]
兩矢 較 戊酉同辰辛一五○七五九亦同/丁壬
一 初數 丁巳同/午辛 九九二五五
二 矢較 丁壬同/辰辛一五○七五九
三 半徑 己庚一○○○○○
四 角大矢 壬庚一五一八九○
餘弦 己壬 五一八九○
查表得五十八度四十四分以去減半周得甲角一
百二十一度一十六分
[011-49a]
論曰縂弧過象限及過半周宜以餘弦相加折半成初
數今兩餘弦相同而徑用為初數亦折半之理也
嚮作加減法補遺自謂巳盡其變不知仍有此法故特
記之
因算帶食得此其用㨗法更竒甚矣學問之無窮也
壬甲丙鋭角形壬甲邉適足九十度 丙甲邉六十七度
對弧壬丙五十度 求甲角
依法求得甲角四十五度四十二分
[011-49b]
○五即為/初數
壬丙對弧五十○度餘弦六
四二七九 巳戊
對弧矢三五七二一 戊丙
[011-50a]
存弧矢 七九五○ 乙癸即申/丙
矢較 二七七七一 申戊
一 初數 九二○五 申巳
二 矢較 二七七一 申戊
三 半徑 一○○○○○ 己癸
四 角之矢 三○一六九 壬癸
餘弦 六九八三一 壬巳
查表得四十五度四十二分
[011-50b]
因前圖丙癸度小故復作此以明之
算甲餘角
又於本圖取辛甲壬鈍角形 壬甲九十度 辛甲一
百一十三度 壬丙五十度 求甲鈍角 依法求到
甲鈍角度一百三十四度一十八分
壬辛對弧一百三十○度餘弦巳戊六四二七九
[011-51a]
大矢 辛戊 一六四二七九
存弧矢 申丙即乙/癸 七九五○亦即/酉辛
矢較 酉戊 一五六三二九
一初數 九二○五○酉巳即丁/巳 二矢較一五六三/二九酉戊
三半徑一○○○○○庚巳 四角大/矢一六九八/三○庚壬
餘弦六九八三/○
查表得四十五度四十二分以減半周得甲鈍角一
百三十四度一十八分
[011-51b]
論曰試作庚亥線與辛丙徑平行又引對弧坎戊正弦
至亥成庚亥壬句股形即庚乾巳亦同角之小句股形
而庚亥同酉戊兩矢較也庚乾同酉巳初數也則初數
庚乾/小股與兩矢較庚亥/大股若半徑庚巳/小弦與角之大矢庚壬/大弦
凡角旁弧適足九十度則縂存兩餘弧同數法即以餘
弦命為初數
日月食帶食出入地平用此算其地經赤道差甚㨗
補甲數乙數法
[011-52a]
丁辛乙斜弧三角形
辛丁弧五十度一十分 辛乙弧八十度 丁乙
對弧六十度 又若辛乙弧八十度
求辛角 辛丁餘/弧三十九度五/十分
辛乙餘/弧一十度 縂弧一百十九度五/十分
辛丁弧五十度一十分 較弧 四十度一十分
[011-52b]
兩正弦總一五一/二四九半之為甲數七五六/二四
兩正弦較二二二/四七半之為乙數一一一/二三
丁乙對弧餘弦五○○/○○内減乙數餘三/八
八七/七為二率
一 甲數 七五六二四
二 三八八七七
三 半徑一○○○○○
四 辛角/餘弦 五一四○八
[011-53a]
查表得五十九度○四分為辛角
若前形有辛角而求丁乙對弧
一 半徑一○○○○○
二 辛角/餘弦 五一四○八
三 甲數 七五六二四
四 三八八七七
以加乙數 一一一二三
成對弧餘弦五○○○○
[011-53b]
查表得六十度
此因角旁餘弧小於正弧故乙數亦小於甲數而以所
得四率加乙數為對弧餘弦
丙乙丁形 乙鈍角一百一十度 乙丙/乙丁二弧並三十度
求丁丙對弧
乙丙餘弧六十度
乙丁弧 三十度
縂弧 九十度正弦一○○○○○
[011-54a]
較弧 三十度正弦 五○○○○
相加 一五○○○○
半之為乙數七五○○○
相減 五○○○○
半之為甲數二五○○○
一 半徑一○○○○○
二 乙角/餘弦 三四二○二
三 甲數 二五○○○
[011-54b]
四 八五五○
以減乙數 七五○○○
得對弧餘弦六六四五○
查表得四十八度二十一分
此因角旁乙丙餘弧大於乙丁正弧故乙數大於甲數
而以所得四率反減乙數為對弧餘弦
前例轉求乙鈍角 乙丙/乙丁二弧並三十度 丁丙對
弧四十八度二十一分
[011-55a]
求乙角
一 甲數 二五○○○ 二對弧餘弦减/乙數之餘八五五○
三 半徑一○○○○○ 四鈍角餘弦三四二○二
查表得七十度以減半周得一百一十度為乙角
縂論曰甲數乙數原以角旁兩弧之正弦錯乗而得今
改用加減故角旁兩弧一用正一用餘然有時餘弧大
於正弧者角旁兩弧之合數必過象限也有時餘弧小
於正弧者角旁兩弧之合必不及象限也若角旁兩弧
[011-55b]
之合適足象限則餘弧必與正弧等而無較弧
又設子乙丙形 乙鈍角一百度 乙丙/乙子二弧並四十
五度
求對角
乙丙餘弧四十五度
乙子 弧四十五度
[011-56a]
半之為/甲數五○○○○ 則無可加亦
亦為乙/數五○○○○ 無可減故皆
用縂弧正弦
折半為甲數
亦為乙數
一 半徑一○○○○○
二 鈍角/餘弦 一七三六五
三 甲數 五○○○○
[011-56b]
四 八六八二
加乙數共 五八六八二命為對/弧矢
得對弧餘/弦 四一三一八
查表得對弧子丙六十五度三十六分
若前例三邉求乙角
乃置對弧六十五度三十六分之餘弦四一三一八
求其矢得五八六八二
丙減乙數五○○○○
[011-57a]
仍餘八六八二為二率
一 甲數 五○○○○
二 八六八二
三 半徑一○○○○○
四 鈍角/餘弦 一七三六四
查表得八十度以減半周得一百度為乙角之度
補先數後數法
前式丙乙丁形 乙角一百一十度 乙丙/乙丁並三十度
[011-57b]
求丁丙對弧
一 半徑方 一○○○○○○○○○○
二 正弦方 二五○○○○○○○○
三 乙角大/矢 一三四二○二
四 兩矢較 三三五五○
對弧餘弦 六六四五○
查表亦得四十八度二十一分
此因角旁兩弧同度則無較弧之矢故徑以所得矢較
[011-58a]
命為對弧之矢
前式子乙丙形 乙角一百度 乙丙/乙子二弧並四十五度
求對弧
一 半徑方 一○○○○○○○○○○
二 正弦方 五○○○○○○○○○
三 角大矢 一一七三六五
四 矢較 五八六八二因無較弧矢故/即為對弧矢
對弧餘弦 四一三一八
[011-58b]
查表亦得對弧子丙六十五度三十六分
若先有對弧子丙而求乙角
一 正弦方 五○○○○○○○○○
二 半徑方 一○○○○○○○○○○
三 對弧矢 五八六八二因無較弧矢故即/以對弧矢為矢較
四 角大矢 一一七三六五
餘弦 一七三六五
查表得八十度以減半周得乙鈍角一百度
[011-59a]
又設乙角六十度
角旁乙丙/乙子二弧並四十五度 求子丙對弧
一 半徑方一○○○○○○○○○○
二 正弦方 五○○○○○○○○○
三 鋭角矢 五○○○○
四 矢較 二五○○○ 無較弧即用/為對弧矢
對弧餘弦 七五○○○
查表得對弧五十三度○八分
[011-59b]
厯算全書卷十一
